58 statistics

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี1 สถิติ(푆푡푎푡푖푠푡푖푐푠)

คําส่ังจากตารางที่กําหนดจงเติมตัวเลขแสดงคาตางๆลงในชองวางทุกชองในตารางขอที่1

คะแนน 3 − 8 10– 18 20– 30 31– 50 51– 60

จํานวนคน(푓) 2 10 8 12 18

ขอบลาง(퐿) 2 9 19 30.5 50.5

ขอบบน(푈) 9 19 30.5 50.5 60.5

ความกวาง(푖) 7 10 11.5 20 10

จุดก่ึงกลางชั้น(푥) 2 + 92

14 24.75 40.5 30.25

ความถ่ีสะสม(퐹) 2 12 20 32 50

ความถ่ีสะสมสัมพัทธ (퐹푟)

250

1250

2050

3250

5050

ความถ่ีสัมพัทธ (푓푟)

250

1050

850

1250

1850

รอยละของ ความถ่ีสะสมสัมพัทธ

4 24 40 64 100

รอยละของความถ่ีสัมพัทธ 4 20 16 24 36

ขอที่ 2

คะแนน 1 − 10 11– 20 21– 30 31– 40 41– 50

จํานวนคน(푓) 4 6 10 12 8

ขอบลาง(퐿) 0.5 10.5 20.5 30.5 40.5

ขอบบน(푈) 10.5 20.5 30.5 40.5 50.5

ความกวาง(푖) 10 10 10 10 10

จุดก่ึงกลางชั้น(푥) 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5

ความถ่ีสะสม(퐹) 4 10 20 32 40

ความถ่ีสะสมสัมพัทธ(퐹푟 0.1 0.25 0.5 0.8 1

ความถ่ีสัมพัทธ(푓푟) 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2


10 25 50 80 100

รอยละของความถ่ีสัมพัทธ 10 15 25 30 20

คําส่ังจากตารางที่กําหนดจงเติมตัวเลขแสดงคาตางๆลงในชองวางทุกชองในตาราง ขอที่1

คะแนน 2 − 8 10– 20 22– 30 34– 50 54– 60

จํานวนคน(푓) 1 11 8 22 8

ขอบลาง(퐿)

ขอบบน(푈)

ความกวาง(푖)

จุดก่ึงกลางชั้น(푥)

ความถ่ีสะสม(퐹)

ความถ่ีสะสมสัมพัทธ (퐹푟)

ความถ่ีสัมพัทธ (푓푟)


รอยละของความถ่ีสัมพัทธ

ขอที่ 2 คะแนน 3 − 8 9– 14 15– 20 21– 26 27– 32

จํานวนคน(푓) 4 6 10 12 8

ขอบลาง(퐿)

ขอบบน(푈)

ความกวาง(푖)

จุดก่ึงกลางชั้น(푥)

ความถ่ีสะสม(퐹)

ความถ่ีสะสมสัมพัทธ(퐹푟

ความถ่ีสัมพัทธ(푓푟)


รอยละของความถ่ีสัมพัทธ

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี2 ชุดที่1.1คากลางของขอมูลในกรณี푈푛푔푟표푢푝퐷푎푡푎푠퐸푥1จงหาคากลางเลขคณิตของขอมูล(퐷푎푡푎)ชุดตอไปนี้12, 22, 31, 8, 19, 28 วิธีทํา

จาก푥 = ∑ 푥

푛

∴ 푥̅ =12 + 22 + 31 + 8 + 19 + 28

6 =1206 = 20퐴푛푠

퐸푥2จงหาคากลางเลขคณิตของขอมูล(퐷푎푡푎)ชุดตอไปนี้2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 17

วิธีทําจาก푥 = ∑ 푓푥

푛

∴ 푥 =5(2) + 2(3) + 1(5) + 1(7) + 1(17)

10

=4510 = 4.5퐴푛푠.

퐸푥3จงหาคากลางเลขคณิตแบบสมมุติคาตัวกลาง(แบบลัด)ของขอมูล(퐷푎푡푎)ชุดตอไปนี้112, 131, 126, 131, 141, 122, 128, 131, 110, 125

วิธีทําสมมุติให131เปนคาตัวกลางเลขคณิต“푎”(สมมุติคาเทาไรก็ไดแตนิยมสมมุติคาตัวขอมูลที่มีคาซ้ํากันมากสุด)ดังนั้นจะไดวา푥จริง = 푥สมมุติ + คาความคลาดเคล่ือนเฉล่ียให푎เปนตัวกลางที่สมมุติข้ึน และ푑เปนคาที่ขอมูลคลาดเคล่ือนจากตัวกลางที่เราสมมุติข้ึน

∴ 푥̅ = 푎 +∑푑푛

푥 112 131 126 131 141

푑 = 푥 − 푎 −19 0 −5 0 10 훴푑 = −14

푥 122 128 131 110 125

푑 = 푥 − 푎 −9 −3 0 −21 −6 훴푑 = −39

จาก 푥̅ = 푎 +

∑푑푛 = 131 +

(−14) + (−39)10

∴ 푥̅ = 131 + (−5.3) = 125.7퐴푛푠.

แบบฝกชุดที่11. จงหาคากลางเลขคณิตของขอมูล(퐷푎푡푎) ชุดตอไปนี้35, 56, 22, 18, 48, 31(퐵표푛푢푠 + 1) 2. จงหาคากลางเลขคณิตของขอมูล(퐷푎푡푎)ชุดตอไปนี้

(퐵표푛푢푠 + 1)17, 17, 17, 22, 22, 33, 33, 15, 27, 27 3. จงหาคากลางเลขคณิตแบบสมมุติคาตัวกลาง(แบบลัด)ของขอมูล(퐷푎푡푎)ชุดตอไปนี้172,135,146,150, 150, 150, 165, 142, 150, 150 (퐵표푛푢푠 + 1) วิธีทํา푎 = …………………………… . .สมมุติคาเทาไรก็ไดแตนิยมสมมุติคาตัวขอมูลที่มีคาซ้ํากันมากสุด)ดังนั้นจะไดวา푥จริง = 푥สมมุติ + คาความคลาดเคล่ือนเฉล่ียให푎เปนตัวกลางที่สมมุติข้ึน และ푑เปนคาที่ขอมูลคลาดเคล่ือนจากตัวกลางที่เราสมมุติข้ึน

∴ 푥̅ = 푎 + ∑

푥

푑 = 푥 − 푎 훴푑 = −14

푥

푑 = 푥 − 푎 훴푑 = −39

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี3 퐸푥3จากขอมูลคะแนนการสอบวิชาค33202ของนักเรียนกลุมตางๆ3.1)จงหาผลรวมของคะแนนแตละกลุมและจงหาคาตัวกลางเลขคณิต

กลุม คะแนน 푛 푥 푥̅

A 5 2 6 12 18 3 4 8 9 13 10 80 8

B 20 12 8 23 7 5 70 14

C 14 5 11 10 4 40 10

D 3 5 17 12 13 10 6 60 10

E 11 12 7 10 5 12 13 7 70 10

F 2 9 5 12 10 16 15 11 8 80 10

G 2 7 18 11 5 10 6 19 21 9 99 11

H 12 13 8 9 10 20 6 72 12

3.2)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตเมื่อรวมกลุม퐷กับกลุม퐶푥̅ =

40 + 604 + 6 = 10퐴푛푠.

3.3)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตเมื่อรวมกลุม퐴กับกลุม퐵, 퐶, 퐷푥̅ =

80 + 70 + 40 + 6010 + 5 + 4 + 6 = 10퐴푛푠.

3.4)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตของนักเรียน เมื่อรวมทุกกลุมเขาเปนกลุมเดียวกัน

푥̅ =80 + 70 + 40 + 60 + 70 + 80 + 99 + 72

10 + 5 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 6

= 10.38퐴푛푠. 3.5)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตของกลุม퐶 เมื่อเพิ่มคะแนนใหคนละ2คะแนน푥̅ =

40 + 2(4)4 =

484 = 12퐴푛푠.

3.6)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตของกลุม퐵 เมื่อแกคะแนนทุกคนเปน2เทาคะแนนเดิม

푥̅ =2(20) + 2(12) + 2(8) + 2(23) + 2(7)

5

푥̅ =2(20 + 12 + 8 + 23 + 7)

5

=2(70)5 = 2(14) = 28퐴푛푠.

3.7)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตของกลุม퐷 เมื่อแกคะแนน17เปน11 และแกคะแนน13เปน18푥̅ =

60 + (11 − 17) + (18 − 13)6 =

596 = 9.83퐴푛푠.

3.8)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตของกลุม퐺เมื่อแกคะแนน11 เปน24และเอานักเรียนที่ไดคะแนนนอยสุด2คนออกจากกลุม

푥̅ = 99 + (24 − 11) − 2 − 5

9 − 2

=1057 = 15퐴푛푠.

3.จากข้อมูลคะแนนการสอบวิชา ค33202 ของนักเรียนกลุ่มต่าง (ๆBonus+3)

3.1)จงหาผลรวมของคะแนนในแต่ละกลุ่มและจงหาค่าตัวกลางเลขคณิต

กลุม คะแนน 푛 푥 푥̅

A 8 2 4 10 18 13 6 9 5 15

B 4 16 28 17 5 6

C 13 15 21 11

D 2 16 18 12 22 10 4

E 10 14 6 8 17 12 17

F 5 4 22 7 15 16

G 8 5 12 20 5 11 3 14 12 10

H 14 25 5 16 10

3.2)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตเมื่อรวมกลุม퐵กับกลุม퐶푥̅ = ………………………………… . . ……… .. 3.3)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตเมื่อรวมกลุม퐷, 퐸, 퐹푥̅ = ……………………… . . ……… . . ……… .. 3.4)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตของนักเรียน เมื่อรวมทุกกลุมเขาเปนกลุมเดียวกัน푥̅ = …………………………… . . ………… . .. 3.5)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตของกลุม퐹 เมื่อเพิ่มคะแนนใหคนละ25คะแนน푥̅ = …………………………… . . ………… .. 3.6)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตของกลุม퐺 เมื่อแกคะแนนทุกคนเปน3เทาคะแนนเดิม푥̅ = ……………………………… . . ……… .. 3.7)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตของกลุม퐴เมื่อแกคะแนน4เปน14และแกคะแนน13เปน5푥̅ = ……………………………… . . ……… .. 3.8)จงหาคาตัวกลางเลขคณิตของกลุม퐸เมื่อเอานักเรียนที่ไดคะแนน มากสุด2คนออกจากกลุมและแกคะแนน14เปน7และแก12เปน5푥̅ = ……………………………… . . ……… ..

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี4 แบบที่2การหาคากลางของขอมูลแบบฐานนิยม

ฐานนิยมคือคะแนนตัวที่มีความถี่สูงสุด 퐸푥5.1จงหาฐานนิยมของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งที่มี

คะแนนดังนี้1, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 9, 9, 15 ตอบฐานนิยม = 5

퐸푥5.2จงหาฐานนิยมของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งที่มีคะแนน

ดังนี้2, 3, 7, 10, 10, 10, 15, 20, 23, 23, 23, 30, 30, 35

ตอบไมมีฐานนิยมเพราะฐานนิยมมีเพียงคาเดียวเทานั้น

퐸푥5.3จงหาฐานนิยมของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งที่มีคะแนน

ดังนี้3, 5, 5, 5, 9, 9, 9, 13, 13, 13ตอบไมมีคาฐานนิยมเพราะคะแนนแตละคามีความถี่เทากันทุกตัว

และมมีากกวา1คา

แบบที่3การหาคาตัวกลางแบบมัธยฐาน(Median)

퐸푥6จงหาตัวกลางมัธยฐานจากขอมูลตอไปนี้10, 2, 5, 8, 15, 19, 22, 13, 30

วิธีทําทําตามข้ันตอนดังนี้

ข้ันตอนที่1เรียงคะแนนตามตําแหนงจากคานอยไปคามากดังนี้Rank 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 2 5 8 10 13 15 19 22 30

ข้ันตอนที่2หาตําแหนงของมัธยฐาน(RankMed. )

จากสูตรRankMed. = n+12=

9+1

2= 5

ข้ันตอนที่3หาคาขอมูลตรงตําแหนงที่5ซึ่งก็คือ13∴ มัธยฐานคือ13Ans.

5.จงหาฐานนิยมของขอมูลตอไปนี้(퐵표푛푢푠 + 1)

5.1จงหาฐานนิยมของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งที่

มีคะแนนดังนี้20,33, 33, 25, 25, 17, 17, 6, 6, 25ตอบ………………………………………

5.2จงหาฐานนิยมของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งที่มีคะแนน

ดังนี้23,33, 18, 22, 22, 22, 23, 20, 17, 17, 23, 31ตอบ……………………………………………………


ดังนี้7,7, 3, 3, 3, 8, 8, 8, 10, 10,11,11

ตอบ…………………………………………………


ดังนี้7,7, 3, 3, 3, 8, 8, 8, 10, 10, 22, 22, 22, 4,4,1,1ตอบ………………………………………………

6.จงหาตัวกลางมัธยฐานจากขอมูลตอไปนี้15, 4, 2, 12, 18, 9, 22, 25, 30(Bonus + 1)

วิธีทําRank 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี5 퐸푥7จงหาตัวกลางมัธยฐานจากขอมูลตอไปนี้15,12, 5, 18, 25, 19, 22, 23, 30, 40

วิธีทําทําตามข้ันตอนดังนี้ ข้ันตอนที่1เรียงคะแนนตามตําแหนงจากคานอยไปคามากดังนี้Rank 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 5 12 15 18 19 22 23 25 30 40

ข้ันตอนที่2หาตําแหนงของมัธยฐาน(RankMed. )

จากสูตรRankMed. = n+12=

10+1

2= 5.5

ข้ันตอนที่3คามัธยฐานคือขอมูลตรงตําแหนงที่5.5ซึ่งก็คือ

Med. =x5 + x6

2=

19 + 22

2= 20.5Ans.

แบบที่4การหาคาตัวกลางเรขาคณิต(G.M. )G.M. = x x x … . x

퐸푥8จงหาคาตัวกลางเรขาคณิตจากขอมูลชุดตอไปนี้2, 2, 2, 3, 3, 5, 8

วิธีทําG.M. = x1x2x3 … . xnn

∴ G.M.= (2)(2)(2)(3)(3)(5)(8)

= √2880 = 3.12Ans.

แบบที่5การหาคาตัวกลางฮารโมนิค

H. M.= n

∑ fx

퐸푥9จงหาตัวกลางฮารโมนิคจากขอมูลตอไปนี้3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 7, 5, 5

วิธีทําH. M. = n

∑ fx

=10

43 +

32 +

17 +

25

∴ H.M. = 10

4(70) + 3(105) + 30 + 2(42)210

=2100709 = 2.96Ans.

7. จงหาตัวกลางมัธยฐานจากขอมูลตอไปนี้(Bonus + 1)

31,42, 25, 18, 35, 20, 29, 13, 38, 40

วิธีทํา

Rank 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

8.จงหาคาตัวกลางเรขาคณิตจากขอมูลชุดตอไปนี้6, 6, 4, 10, 12, 16, 4,4(Bonus + 1)

9.จงหาตัวกลางฮารโมนิคจากขอมูลตอไปนี้(Bonus + 1)

5, 2, 3, 3, 2, 5, 2, 3, 5, 5

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี6 퐸푥10จงหาความเร็วเฉล่ียในการขับรถจากเมืองAไปเมืองB

ระยะทาง200กม. ขับดวยความเร็ว100กม./ชม. และขับตอไปเมืองCระยะทาง300กม. ขับดวยความเร็ว60กม./ชม. และ

ขับตอไปเมืองDระยะทาง200กม. ขับดวยความเร็ว40กม./ชม.

วิธีทําในการหาความเร็วเฉล่ียจะใชคากลางแบบฮารโมนิค

ความเร็วเฉล่ีย =ผลบวกของระทางทั้งหมด

ผลบวกของเวลาที่ใชในแตละชวง

จากv =s

t ∴ t =

s

v

H. M.=s + s + ssv + s

v + sv

H.M. =200 + 300 + 200200100 +

30060 + 200

40=

7002 + 5 + 5 =

70012

∴ H.M. = 70012 = 58.33กม.ตอชม.Ans.

ชุดที่1.1การคากลางของขอมูลในกรณีGroupData

แบบที่1การหาตัวกลางเลขคณิตEx11จงหาตัวกลางเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งที่มีคะแนนดังนี้

วิธีทําสรางตารางและหาคาตางๆตามสูตร

จาก푥̅ = ∑ 푓푥푛

∴ 푥̅ = ∑ 푓푥푛 =

103040 = 25.75퐴푛푠.

10.จงหาความเร็วเฉล่ียในการขับรถจากเมืองAไปเมืองBระยะทาง450กม. ขับดวยความเร็ว90กม./ชม. และขับตอไปเมืองCระยะทาง240กม. ขับดวยความเร็ว80กม./ชม. และ

ขับตอไปเมืองDระยะทาง120กม. ขับดวยความเร็ว60กม./ชม.(Bonus + 1)

11. จงหาตัวกลางเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งที่มีคะแนนดังนี้(Bonus + 2)

วิธีทํา สรางตารางและหาคาตางๆตาม

ใชสูตรการหาคา푥̅ = ∑ 푓푥푛 = ……………

คะแนน 1 − 10 11 − 20 21 − 30 31 − 40 41 − 50

จํานวนคน(f) 5 7 15 8 5

คะแนน จํานวนคน(f) 푥 푓푥 1-10 5 5.5 27.511-20 7 15.5 108.521-30 15 25.5 382.531-40 8 35.5 28441-50 5 45.5 227.5

รวม N=40 1030

คะแนน 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50

จํานวนคน(f) 3 8 12 6 11

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี7 แบบที่2การหาตัวกลางฐานนิยม(푀표푑푒)

퐸푥12จงหาฐานนิยมของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งที่มีคะแนนดังนี้

คะแนน 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50

จํานวนคน 5 7 15 8 5

วิธีทํา푀표푑푒 = 퐿 + 푖푑1

푑1 + 푑2

Lคือขีดจํากัดลางของอันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด(L=20.5)푖คือความกวางของอันตรภาคชั้น(∴i=10)푑 คือผลตางระหวางความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุดกับความถี่ของ อันตรภาคชั้นกอนชั้นที่มีความถี่สูงสุด(∴푑 =15-7=8)푑 คือ ผลตางระหวางความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุดกับความถี่ของ อันตรภาคชั้นถัดลงมา(∴푑 =15-8=7)

∴ Mode = 20.5 + 10 = 25.8Ans..

หมายเหตุ ในกรณีที่ความกวางของชั้นเทากัน จะถือวาคากึ่งกลางของชั้นที่มีความถี่มากสุดเปนฐานนิยมโดยประมาณ

∴ Mode =20.5 + 30.5

2 = 25.5

12. จงหาฐานนิยมของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งที่มีคะแนนดังนี้(퐵표푛푢푠 + 2)คะแนน 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50


วิธีทํา푀표푑푒 = 퐿 + 푖푑1

푑1 + 푑2

푙 = …………… . .푖 = ………… . . …

푑 = …………… .푑 = …………… ..

푀표푑푒 = …………………………… ..

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี8

คะแนน 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50

จํานวนคน(푓) 2 18 20 5 5

퐸푥13ขอมูลชุดนี้มีฐานนิยมเทากับ34.5จงหาคา푥

คะแนน 1 − 10 11-20 21-30 31-40 41-50

จํานวนคน 5 5 6 푥 4

วิธีทําจาก푀표푑푒 = 퐿 + 푖푑1

푑1 + 푑2

ชั้นของฐานนิยมคือชั้นที่4ดังนั้นจะไดวา∴ 34.5 = 30.5 + 10

(푥 − 6)(푥 − 6) + (푥 − 4)

∴ 34.5 − 30.5 = 10(푥 − 6)

(푥 − 6) + (푥 − 4)

∴ 4 = 10(푥 − 6)

(푥 − 6) + (푥 − 4)

∴ 4(2푥 − 10) = 10(푥 − 6)

8푥 − 40 = 10푥 − 60

−2푥 = −20 ∴ 푥 = 10퐴푛푠.

แบบที่3การหาตัวกลางมัธยฐาน(푀푒푑푖푎푛)퐸푥14จงหาตัวกลางมัธยฐานจากตารางขอมูลตอไปนี ้

วิธีทํา1)สรางตารางเพิ่มเติมแลวหา푅푎푛푘푀푒푑

จากสูตร푅푎푛푘푀푒푑. =푛

2=

40

2= 20

2)푀푒푑. จะตกอยูในชั้นที่4(31 − 40คะแนน)

จะมีคาขอบลาง(퐿) = 30.5มีความกวางของชั้น(푖) = 10퐹 = 16, 푓 = 20 3)หาคา푀푒푑.จากสูตร

푀푒푑. = 퐿 + 푖푛2 − 퐹푓

∴ 푀푒푑. = 30.5 + 10402 − 1620 = 32.5퐴푛푠.

13. ขอมูลชุดนี้มีฐานนิยมเทากับ18.5จงหาคา푥 (퐵표푛푢푠 + 2)

คะแนน 5 − 10 11 − 15 16 − 20 21 − 25 26 − 30

จํานวนคน 2 3 푥 4 5

14. จงหาตัวกลางมัธยฐานจากตารางขอมูลตอไปนี้ (퐵표푛푢푠 + 2)

คะแนน 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50

จํานวนคน(푓) 3 7 6 20 4

คะแนน 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50

จํานวนคน(f) 3 7 6 20 4

퐹 3 10 16 36 40

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี9 퐸푥15. จงหาค่า푥จากตารางข้อมูลต่อไปนี

เมื่อตัวกลางมัธยฐานมีคาเทากับ35.5

วิธีทํา1)จากสูตร푅푎푛푘푀푒푑. =푛

2=

35 + 푥

2

2)푀푒푑. = 35.5จะตกอยูในชั้นที่3จะมีคาขอบลาง(퐿) = 30.5

มีความกวางของชั้น(푖) = 45.5 − 30.5 = 15

มี퐹 = 5 + 15 = 20และมี푓 = 푥

3) จากสูตร35.5 = 30.5 + 1535+푥2−20

푥

35.5 − 30.5 = 1535 + 푥2 − 20푥

5 = 1535 + 푥2 − 20푥

5푥 = 1535 + 푥2 − 20

푥 = 335 + 푥 − 40

2

2푥 = 3(푥 − 5)

2푥 = 3푥 − 15 ∴ 푥 = 15퐴푛푠

15. จงหาคา푥จากตารางขอมูลตอไปนี้

เมื่อตัวกลางมัธยฐานมีคาเทากับ38(퐵표푛푢푠 + 2)

คะแนน 1-15 16-30 31-45 46-60 61-75

จํานวนคน(푓) 5 15 푥 10 5 คะแนน 6-15 16-25 26-35 36-45 46-55

จํานวนคน(푓) 2 8 5 푥 5

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี10 퐸푥16ขอมูล2ชุด

ชุดที่1มี6จํานวนมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ15


แลวคาเฉล่ียเลขคณิตรวมของ2ชุดมีคาเทาไร

วิธีทําจากสูตร 푥 = 푛푥และ푥 =∑ 푥1 + ∑ 푥2푛1 + 푛2

∴ 푥̅ =6(15) + 8(10)

6 + 8 =90 + 8014 = 12.143퐴푛푠.

퐸푥17ผลสอบยอยวิชาภาษาไทยของนักเรียน3กลุมเปนดังนี้

จํานวนคนคาเฉล่ียเลขคณิต

กลุมที่1푥28

กลุมที่21624


และคาคะแนนเฉล่ียของนักเรียนทั้งหมดเทากับ30คะแนน

แลวนักเรียนกลุมที่1มีกี่คน

วิธีทําจากสูตร 푥 = 푛푥

และ푥 =∑ 푥1 + ∑ 푥2 + ∑ 푥3

푛1 + 푛2 + 푛3

∴ 30 =푥(28) + 16(24) + 14(40)

푥 + 16 + 14

∴ 30 =푥(28) + 384 + 560

푥 + 30

∴ 30(푥 + 30) = 푥(28) + 944

∴ 30푥 + 900 = 28푥 + 944

∴ 2푥 = 44 ∴ 푥 = 22퐴푛푠.

16.ขอมูล2ชุด



แลวคาเฉล่ียเลขคณิตรวมของ2ชุดมีคาเทาไร(퐵표푛푢푠 + 1)

17.ผลสอบยอยวิชาภาษาไทยของนักเรียน3กลุมเปนดังนี้

จํานวนคนคาเฉล่ียเลขคณิต

กลุมที่1푥20



และคาคะแนนเฉล่ียของนักเรียนทั้งหมดเทากับ19.04คะแนน

แลวนักเรียนกลุมที่1มีกี่คน(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี11 퐸푥18จากการทดสอบอายุการใชงานของเครื่องยนตเล็ก

ชนิดเดียวกัน3ย่ีหอไดผลดังนี ้ย่ีหอที่1ทดสอบ22เครื่องไดอายุการใชงานเฉล่ีย12ป

ย่ีหอที่2ทดสอบ8เครื่องไดอายุการใชงานเฉล่ียของย่ีหอทื่1

รวมกับย่ีหอที่2มีคาเทากับ13.6ป

ย่ีหอที่3จําไมไดวาทดสอบกี่เครื่องแตมีอายุการใชงานเฉล่ีย16ป

ถาอายุเฉล่ียการใชงานทั้ง3ย่ีหอเทากับ14.2ป

จงหาวาจํานวนเครื่องที่ใชทดสอบของย่ีหอที่3มีกี่เครื่อง

วิธีทําจากสูตร 푥 = 푛푥และ

푥̅ =∑ 푥 + ∑푥 + ∑푥푛 + 푛 + 푛

จากการทดสอบ2ย่ีหอแรกจะไดวา

13.6 =22(12) + 8푥̅

22 + 8

(13.6)(30) = 264 + 8푥̅

408 = 264 + 8푥̅

8푥̅ = 408 − 264 = 144 ∴ 푥̅ = 18

จากการทดสอบ3ย่ีหอจะไดวา

14.2 =22(12) + 8(18) + 푛 (16)

22 + 8 + 푛

14.2(30 + 푛 ) = 264 + 144 + 16푛

426 + 14.2푛 = 408 + 16푛

1.8푛 = 18 ∴ 푛 = 10퐴푛푠.

18. จากการทดสอบอายุการใชงานของรถยนตขนาดเดียวกัน

3ย่ีหอพบวา

ย่ีหอที่1ทดสอบ10เครื่องไดอายุการใชงานเฉล่ีย8ป

ย่ีหอที่2ทดสอบ6เครื่องไดอายุการใชงานเฉล่ียรวมย่ีหอที่1และ2

มีคาเทากับ6.875ป

ย่ีหอที่3ทดสอบ4เครื่องจําไมไดวามีอายุการใชงานเฉล่ียกี่ป

ถาอายุเฉล่ียการใชงานทั้ง3ย่ีหอเทากับ6.9ป

จงหาวาย่ีหอที่3มีอายุการใชงานเฉล่ียกี่ป(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี12 퐸푥19ในปพ. ศ.2550คาเฉล่ียเลขคณิตของอายุพนักงานบริษัท

แหงหนึ่งเทากับ23ปในปตอมาบริษัทรับพนักงานเพิ่มอีก20คน

ทําใหคาเฉล่ียของอายุของพนักงานในปพ. ศ. 2551เทากับ25ป

และผลรวมของอายุพนักงานเพิ่มข้ึนจากป2550อีก625ป

(1)เมื่อส้ินป2551บริษัทแหงนี้มีพนักงานทั้งหมดกี่คน(2)ถาในป2551บริษัทมีพนักงานชายจํานวน46คน

มีอายุเฉล่ีย24ปแลวพนักงานหญิงจะมีอายุเฉล่ียเทาไร

วิธีทํา(1)สมมุติใหในป2550บริษัทมีพนักงานจํานวน푛คน

ในป2550อายุรวมของพนักงาน = 23푛

ในป2551มีพนักงานรวม = 푛 + 20และ푥 = 25 ∴ ในป2551อายุรวมของพนักงาน = 25(푛 + 20)

จากผลรวมของอายุพนักงานเพิ่มข้ึนจากป2550อีก652ป∴ 25(푛 + 20) − 23푛 = 652

∴ 25푛 + 500 − 23푛 = 652

∴ 2푛 = 152 ∴ 푛 = 76

∴ ในป2550บริษัทมีพนักงานจํานวน푛คนหรือ76คน ∴ ในป2551บริษัทจะมีพนักงานจํานวน = 76 + 20 = 96คน퐴푛푠.

วิธีทํา(2)จากสูตร푥 =∑ 푥1 + ∑ 푥2푛1 + 푛2

∴ ในป2551บริษัทมีพนักงานจํานวน96คนเปนชาย46คนอายุเฉล่ียเทากับ24ปจะเปนผูหญิง50คน

∴ 25 =46(24) + 50푥̅ญ

96

∴ 25(96) = 1104 − 50푥̅ญ

∴ 2400 = 1104 + 50푥̅ญ

푥̅ญ =129650 = 25.92ป퐴푛푠.

19. ในปพ. ศ.2551คาเฉล่ียเลขคณิตของอายุพนักงานบริษัท

แหงหนึ่งเทากับ26ปและมีพนักงานมากกวาป2550จํานวน

20คนโดยที่คาเฉล่ียของอายุของพนักงานในปพ. ศ. 2550

เทากับ25ปและผลรวมของอายุพนักงานเพิ่มข้ึนจากป2550

อีก580ปจงหาวา(1)เมื่อป2550บริษัทแหงนี้มีพนักงานทั้งหมดกี่คน(2)ในจํานวนพนักงานที่เพิ่มข้ึนจากป2550เปนผูชายจํานวน

5คนอายุเฉล่ีย30ปแลวพนักงานหญิงอายุเฉล่ียเทาไร (퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี13 퐸푥20อายุเฉล่ียของคนกลุมหนึ่งเทากับ31ป

ถาอายุเฉล่ียของผูหญิงในกลุมนี้เทากับ35ปและอายุเฉล่ียของผูชาย

ในกลุมนี้เทากับ25ปแลวอัตราสวนระหวางจํานวนผูหญิงตอผูชาย

ในกลุมนี้เปนเทาใด

วิธีทําสมมุติใหชายและหญิงมีจํานวน푛, 푚คนตามลําดับ

จากสุตร푥̅ = 푛푥̅ + 푚푥̅푛 + 푚

∴ 31 =25푛 + 35푚푛 + 푚

∴ 31(푛 +푚) = 25푛 + 35푚

∴ 31푛 + 31푚 = 25푛 + 35푚

∴ 31푛 − 25푛 = 35푚 − 31푚

∴ 6푛 = 4푚 ∴ 푚푛 =

64 =

32

∴ 푚: 푛 = 3: 2퐴푛푠.

퐸푥21ในการสอบ3ครั้งวิชัยทําคะแนนได66, 74, 84คะแนน

ตามลําดับโดยความสําคัญของการสอบ3ครั้งตางกันโดยการสอบ

ครั้งที่2มีความสําคัญเปน1.5เทาของครั้งแรกและการสอบครั้งที่3

มีความสําคัญเปน2.5เทาของครั้งแรกแลวคะแนนเฉล่ียในการสอบ

ทั้ง3ครั้งมีคาเทาไร

วิธีทําใหน้ําหนักการสอบครั้งแรกเทากับ푤1 = 1หนวย

น้ําหนักการสอบครั้งที่2 = 푤2 = 1 × 1.5 = 1.5หนวย

น้ําหนักการสอบครั้งที่3 = 푤3 = 1 × 2.5 = 2.5หนวย

푥̅ = 푤 푥̅ + 푤 푥̅ + 푤 푥̅

푤 + 푤 + 푤

푥̅ = 1(66) + 1.5(74) + 2.5(84)

1 + 1.5 + 2.5

푥̅ =66 + 111 + 210

5 =3875 = 77.4퐴푛푠.

20. อายุเฉล่ียของคนกลุมหนึ่งเทากับ11.2ปถาอายุเฉล่ียของ

ผูหญิงในกลุมนี้เทากับ12ปและอายุเฉล่ียของผูชายในกลุมนี้

เทากับ10ปแลวอัตราสวนระหวางจํานวนผูหญิงตอจํานวน

ผูชายในกลุมนี้เปนเทาใด(퐵표푛푢푠 + 2)

21.ในการสอบ3ครั้งวิชัยทําคะแนนได75, 45, 60คะแนนตามลําดับโดยความสําคัญของการสอบโดยการสอบครั้งที่2มีความสําคัญเปน2เทาของครั้งแรกและ

การสอบครั้งที่3มีความสําคัญเปน푎เทาของครั้งที่2

แลวคะแนนเฉล่ียในการสอบทั้ง3ครั้งมีคาเทากับ58.5จงหาคา푎(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี14 퐸푥22ชายกลุมหนึ่งมีอายุเฉล่ียเทากับ41ปตอมามผีูหญิงมา

รวมกลุมอีกจํานวน5คนซึ่งผูหญิงกลุมนี้มีอายุเฉล่ีย30ปทําให

อายุเฉล่ียของทั้งหมดเปน38.8ปอยากทราบวาคนกลุมนี้มีกี่คน

วิธีทําสมมุติใหผูชายมีทั้งหมด푛คน

จากสูตร 푥 = 푛푥

ดังนั้นกลุมผูชายจะมีอายุรวมกัน = 푥ช = 41푛ป

กลุมผูหญิงมี5คนมีอายุรวมกันเทากับ5 × 30 = 150ป

จากสูตร푥1+2 =∑ 푥1 + ∑ 푥2푛1 + 푛2

∴ 38.8 =41푛 + 150푛 + 5

∴ 38.8(푛 + 5) = 41푛 + 150

∴ 38.8푛 + 194 = 41푛 + 150

∴ 41푛 − 38.8푛 = 194 − 150

∴ 2.2푛 = 44 ∴ 푛 = 20คน∴ คนกลุมนี้จะม푛ี + 5คนนั้นคือ20 + 5 = 25คน퐴푛푠.

퐸푥23โรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียน200คนมีคาเฉล่ียเลขคณิต

ของสวนสูงของนักเรียนทั้งหมดเทากับ165เซนติเมตรถาตอมาม ี

นักเรียนที่มีสวนสูง150เซนติเมตรลาออก20คนแลวโรงเรียน

แหงนี้จะมีคาเฉล่ียเลขคณิตของสวนสูงของนักเรียนเปนกี่เซนติเมตร

วิธีทํากอนจะมีการลาออกมีนักเรียนทั้งหมด200คน ความสูงรวมเทากับ200 × 165 = 33000ซม.

นักเรียนที่ลาออกมี20คนความสูงรวม20 × 150 = 3000ซม.

เมื่อนักเรียนลาออกจะเหลือนักเรียน = 200 − 20 = 180คนความสูงรวมจะเหลือ = 33000 − 3000 = 30000ซม.

∴ นักเรียนที่เหลือจะมีความสูงเฉล่ีย

= 30000180 = 166.67ซม.퐴푛푠.

22. โรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียน100คนมีคาเฉล่ียเลขคณิตของ

สวนสูงของนักเรียนทั้งหมดเทากับ160เซนติเมตรถาตอมา

มีนักเรียนเพิ่มข้ึนอีกจํานวน25คนซึ่งมีสวนสูง175เซนติเมตร

แลวโรงเรียนแหงนี้จะมีคาเฉล่ียเลขคณิตของสวนสูงของนักเรียน

เปนกี่เซนติเมตร(퐵표푛푢푠 + 2)

23. คนกลุมหนึ่งมีอายุเฉล่ียเทากับ25.5ปตอมามคีนที่มีอายุเฉล่ีย

22ปจํานวน15คนออกจากกลุมทําใหคนที่เหลือมีอายุเฉล่ีย

27ปจงหาวาคนที่เหลือมีกี่คน(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี15 퐸푥24ความสัมพันธระหวางกําไร(푦)และราคาทุน(푥)ของสินคา

ในรานแหงหนึ่งเปนไปตามสมการ푦 = 2푥– 30

ถาราคาทุนของสินคา5ชนิดเทากับ31, 34, 35, 36, 39บาท

แลวคาเฉล่ียเลขคณิตของกําไรในการขายสินคาทั้ง5ชนิดนี้เทาไร วิธีทํา

∴ 푥 =31 + 34 + 35 + 36 + 39

5=175

5= 35

จากสูตรถา푦 = 푎푥 + 푏แลวจะได푦 = 푎푥 + 푏เสมอ ∴ ถา푦 = 2푥 − 30แลวจะได푦 = 2푥̅ − 30

∴ จะได푦 = 2(35) − 30 = 70 − 30 = 44บาท퐴푛푠. 퐸푥25ขอมูลตอไปนี้เปนขอมูลขอคู푥, 푦ซึ่งมีความสัมพันธกันดังนี้

ถา푊 = 2푥 + 3푦แลวคาของ푊มีคาเทาไรวิธีทํา

แลวคาของ푊หาไดจาก ∴ 푊 = 2푥 + 3푦 = 2(6) + 3(3)

= 12 + 9 = 21퐴푛푠.

24. ความสัมพันธระหวางกําไร(푦)และราคาทุน(푥)ของสินคา

ในรานแหงหนึ่งเปนไปตามสมการ푦 = 3푥 + 2

ถาราคาทุนของสินคา6ชนิดเทากับ50, 58, 47, 70, 60, 45บาท

แลวคาเฉล่ียเลขคณิตของกําไรในการขายสินคาทั้ง6ชนิดนี้เทาไร(퐵표푛푢푠 + 1)

25. ขอมูลตอไปนี้เปนขอมูลขอคู푥, 푦ซึ่งมีความสัมพันธกันดังนี้

ถา푊 = 3푥 − 2푦แลวคาของ푊มีคาเทาไร(퐵표푛푢푠 + 2)

푥 2 4 6 8 10

푦 1 2 3 4 5

푥 2 4 6 8 10푥 =30 푥̅ =

305 = 6

푦 1 2 3 4 5푦 =15 푦 =

155 = 3

푥 7 10 5 8 30

푦 9 12 21 8 10

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี16 퐸푥26ผลการสอบของกมลชนกมีดังนี้

แลวเกรดเฉล่ียของกมลชนกใน5วิชานี้มีคาเทาใด.วิธีทําจากสูตร

푥̅ =푤 푥̅ + 푤 푥̅ + 푤 푥̅ + 푤 푥̅ + 푤 푥̅

푤 + 푤 +푤 + 푤 +푤

ในที่นี้หนวยกิตเสมือนคา푤และเกรดที่ไดเสมือนคา푥

∴ 푥̅ =2(3) + 1.5(2.5) + 3(2) + 2.5(3) + 1(3.5)

2 + 1.5 + 3 + 2.5 + 1

∴ 푥̅ =6 + 3.75 + 6 + 7.5 + 3.5

10 = 2.675퐴푛푠.

퐸푥27ถาขอมูล푥มี (푥 − 20) มีคานอยที่สุด

และ푦 = 2푥 + 50แลว푦มีคาเทาไร

วิธีทําขอมูล푥

มี (푥 − 푎)2 มีคานอยที่สุด

ก็ตอเมื่อ푎 = 푥̅

จากโจทยกําหนดให (푥 − 20)2 มีคานอยที่สุดก็แสดงวา

คาของ20ตองเปนคาของ푥

∴ สรุปไดวา푥̅ = 20

จาก푦 = 2푥 + 50แลว푦 = 2푥 + 50

∴ 푦 = 2(20) + 50퐴푛푠.

26.ผลการสอบของสมชัยที่เขาสอบ5วิชาปรากฏวาสมชัยไดเกรด

เฉล่ีย2.225และจําไดวาผลสอบ4วิชาแรกมีดังนี้

แตจําไมไดวาวิชาว33201จํานวน1.5หนวยกิตสอบไดเกรดเทาไร

นักเรียนจงคํานวณหาวาวิชาที่เหลือของสมชัยไดเกรดเทาไร (퐵표푛푢푠 + 2)

27.ถา푥 , 푦 เปนอายุของกลุมคนงานชายและหญิงตามลําดับ

ในกลุมคนงานชายมีจํานวนเปน3เทาของจํานวนคนงานหญิงและ

พบวามี (푥푖 − 25)2 มีคานอยที่สุด

และ 푦푖 − 33 = 0

จงหาวาอายุเฉล่ียของคนงานทั้งหมดเปนเทาไร(퐵표푛푢푠 + 1)

วิชา หนวยกิต เกรดที่ไดท33101 2 3ส33101 1.5 2.5อ33101 3 2ค33201 2.5 3ว33201 1 3.5

วิชา หนวยกิต เกรดที่ได

ท33101 1.5 4

ส33101 1 3

อ33101 2.5 2

ค33201 3.5 1.5

ว33201 1.5 푥

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี17 퐸푥28ในการสอบครั้งหนึ่งของนักเรียน푛คนซึ่งนักเรียนแตละคน สอบไดคะแนน푥 ถาผลรวมของคะแนนของทุกคนเทากับ2400

คะแนนมี (푥푖 − 60) = 0

และนักเรียนชายมีทั้งหมด15คนสอบไดคะแนนเฉล่ีย70คะแนนจงหาวานักเรียนหญิงจะสอบไดคะแนนเฉล่ียเทาไรวิธีทําจากนิยามที่วา (푥푖 − 푎) = 0 แสดงวา푎 = 푥

∴ จากโจทยจะไดวา푥̅ = 60, และมี 푥 = 2400

∴ จะไดวา푛 = ∑푥푥̅ =

240060 = 40,

∴ 푛ญ = 40 − 15 = 25

∴ 푥ญ = 2400 − 15(70) = 1350

∴ 푥̅ญ =135025 = 54퐴푛푠.

퐸푥29แผนภาพตน− ใบแสดงผลสอบของนักเรียน10คนจํานวน2วิชาซึ่งแตละวิชามีคะแนนเต็ม50คะแนนวิชาท่ี1วิชาท่ี2 2 4 3 3 8 6 2 2 3 2 2 2 3 3 3 2 1 3 4 5 2 2 1 3 จากแผนภาพตน − ใบ(1)คาเฉล่ียของคะแนนรายวิชาทั้งสองตางกันเทาไร(2)ฐานนิยมของคะแนนรายวิชาทั้งสองตางกันเทาไร(3)มัธยฐานของคะแนนรายวิชาทั้งสองตางกันเทาไรวิธีทําวิชาที่1มี푥̅ =

2(10) + 3(20) + 4(30) + 1(40) + (2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 2+ 2+ 6 + 8 + 2)10

∴ 푥̅ = 27.3

วิชาที่2ม ี

푥̅ =1(10) + 4(20) + 3(30) + 2(40) + (3 + 1 + 3 + 4 + 5 + 2+ 2+ 2 + 3 + 3)

10

∴ 푥̅ = 28.8คาเฉล่ียของ2วิชาตางกัน = 28.8 − 27.3 = 1.5퐴푛푠.(2)ฐานนิยมของวิชาที่1คือ23ฐานนิยมของวิชาที่2คือ32

ฐานนิยมของ2วิชาตางกัน = 32 − 23 = 9퐴푛푠.

(3)ตําแหนงของมัธยฐานจะตรงกับตําแหนงที่10 + 12 = 5.5

วิชาที่1คะแนนตําแหนงที่5.5คือ23 + 32

2= 27.5

วิชาที่2คะแนนตําแหนงที่5.5คือ25 + 32

2= 28.5

ดังนั้นมัธยฐานจะตางกัน = 28.5 − 27.5 = 1퐴푛푠.

28. ในการสอบครั้งหนึ่งของนักเรียน푛คนซึ่งนักเรียนแตละคนสอบไดคะแนน푥푖ถาผลรวมของคะแนนของทุกคนเทากับ1500คะแนน

มี (푥푖 − 25) = 0 และนักเรียนชายมีทั้งหมด15คน

มี (푥ช − 28) = 0

จงหาวานักเรียนหญิงจะสอบไดคะแนนเฉล่ียเทาไร(퐵표푛푢푠 + 2)

29. แผนภาพตน− ใบแสดงผลสอบของนักเรียน10คน จํานวน2วิชาซึ่งแตละวิชามีคะแนนเต็ม50คะแนน

วิชาที่1วิชาที่2 2 4 5 5 5 5 5 5 3 3 4 4 5 2 2 2 2 0 0 0 2 2 1 1

จากแผนภาพตน − ใบ(퐵표푛푢푠 + 2)(1)คาเฉล่ียของคะแนนรายวิชาทั้งสองตางกันเทาไร(2)ฐานนิยมของคะแนนรายวิชาทั้งสองตางกันเทาไร(3)มัธยฐานของคะแนนรายวิชาทั้งสองตางกันเทาไร

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี18 퐸푥30ถาคะแนนเฉล่ียวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน10คนคือ30โดยที่มีนักเรียนชาย5คนสอบไดคะแนนดังนี้20,28,35,27,50และคะแนนของนักเรียนหญิง5คนมีพิสัยเทากับ20คะแนนมีฐานนิยมเทากับ35คะแนนมีมัธยฐานเทากับ30คะแนน

จงหาคามัธยฐานของขอมูลทั้งหมดวามีคาเทาไรวิธีทําผลรวมของคะแนนของทุกคน(10คน) = 푛푥

= 10(30) = 300

ผลรวมของคะแนนของนักเรียนชาย5คน= 20 + 28 + 35 + 27 + 50 = 160

ดังนั้นคะแนนรวมของนักเรียนหญิง5คนที่เหลือ

จะมีคาเทากับ300 − 160 = 140

ดังนั้นกลุมนักเรียนหญิงจะมี푥 =140

5= 28

สมมุติใหคะแนนของนักเรียนหญิงเรียงจากนอยไปมากมีดังนี้

푥1, 푥2, 푥3, 푥4, 푥5

เนื่องจากขอมูลม푚ี푒푎푛(푥) = 28, 푚푒푑 = 30, 푚표푑푒 = 35

∴ 푚푒푎푛 < 푚푒푑 < 푚표푑푒เปนกราฟเบซาย(โยขวา)

ดังนั้นสรุปไดวา푥3 = 30, 푥4 = 푥5 = 푚표푑푒 = 30

จากพิสัย = คะแนนสูงสุด − คะแนนต่ําสุด∴ 20 = 35 − 푥 ∴ 푥 = 15

จาก푥1 + 푥2 + 푥3 + 푥4 + 푥5 = 140

∴ 15 + 푥2 + 30 + 35 + 35 = 140

∴ 푥 + 115 = 140 ∴ 푥 = 25

เรียงขอมลูใหมจากนอยไปมากจะไดดังนี้15,20,25,27,28,30,35,35,35,50

ตําแหนงของมัธยฐานเทากับ푛 + 1

2=10 + 1

2= 5.5

푚푒푑 = 푥 . =푥 + 푥

2 =28 + 30

2 = 29퐴푛푠.

30. ถาคะแนนเฉล่ียวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน15คนคือ25

โดยนักเรียนชายมี10คนไดคะแนนดังนี ้20,58,52,36,12,18,10,9,23,37

และกลุมนักเรียนหญิงมี5คนมีพิสัยเทากับ25คะแนน

มีฐานนิยมเทากับ30คะแนนมีมัธยฐานเทากับ25คะแนน

จงหาคามัธยฐานของขอมูลทั้งหมดวามีคาเทาไร(퐵표푛푢푠 + 3)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี19 퐸푥31คะแนนสอบของนักเรียน5คนเรียงเปนอันดับเลขคณิตมีพิสัย(คะแนนสูงสุดมากกวาคะแนนต่ําสุด)เทากับ20

มีมัธยฐานเทากับ13มีคาเฉล่ียเลขคณิตเทาใด

วิธีทําสมมุติใหคะแนนทั้ง5คนเปนดังนี้푥 − 2푑,푥 − 푑,푥,푥 + 푑,푥 + 2푑

จากโจทยที่วาพิสัยเทากับ20ดังนั้นจะไดวา(푥 + 2푑) − (푥 − 2푑) = 20 ∴ 4푑 = 20 ∴ 푑 = 5

จากโจทยที่วามัธยฐานเทากับ13ดังนั้นจะไดวา∴ 푥 = 13

ดังนั้นจะสรุปไดวาขอมูลทั้งหมดคือ3,8,13,18,23

푥̅ =3 + 8 + 13 + 18 + 23

5 =655 = 13퐴푛푠.

퐸푥32ครอบครัวหนึ่งมีบุตร4คนบุตร2คนมีน้ําหนักเทากันและ

มีน้ําหนักนอยกวาบุตรอีก2คนถาน้ําหนักของบุตรทั้ง4คนมี푀표푑푒,푀푒푑푖푎푛,พิสัย = 45, 47.5, 7กก. ตามลําดับแลว푀푒푎푛ของน้ําหนักของบุตรทั้ง4คนเทาใด

วิธีทําสมมุติใหอายุของบุตร4คนเรียงจากนอยไปมากมีดังนี้푥 , 푥 , 푥 , 푥 จากโจทยจะสรุปไดวา푥 = 푥 = 푚표푑푒 = 45

และจาก푚푒푑 = 47.5 ∴ 푥 + 푥

2 = 47.5

∴ 45 + 푥

2 = 47.5 ∴ 푥 = 95 − 45 = 50

และจากที่วาพิสัยเทากับ7∴ 푥 − 푥 = 7 ∴ 푥 − 45 = 7 ∴ 푥 = 52

∴ 푥̅ =45 + 45 + 50 + 52

4 =1924 = 48퐴푛푠.

31. คะแนนสอบของนักเรียน6คนเรียงเปนอันดับเลขคณิตมีพิสัย(คะแนนสูงสุดมากกวาคะแนนต่ําสุด)เทากับ20

มีมัธยฐานเทากับ12มีคาเฉล่ียเลขคณิตเทาใด(퐵표푛푢푠 + 2)

32. ครอบครัวหนึ่งมีบุตร5คนบุตร2คนมีน้ําหนักเทากันและ

มีน้ําหนักนอยกวาบุตรอีก3คนถาน้ําหนักของบุตรทั้ง5คน

มี푀표푑푒,푀푒푑푖푎푛,พิสัย = 42, 48, 30กก.ตามลําดับ

และบุตรที่มีน้ําหนักมากสุด2คนมีน้ําหนักเฉล่ีย61กก

แลว푀푒푎푛ของน้ําหนักของบุตรทั้ง5คนเทาใดอายุเทาไร

(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี20 Ex33อุณหภูมิในรอบ1เดือนจะมีลักษณะสูงข้ึนโดยเฉล่ียสัปดาหละ 1องศาฟาเรนไฮตเสมอนับจากของสัปดาหแรกจนส้ินสุดสัปดาห สุดทายของเดือนถามีการวัดอุณหภูมิของสัปดาหแรกใน7เดือน ไดผลดังนี้76, 78, 79, 82, 78, 78.2, 78องศาฟาเรนไฮต แลวอุณหภูมิเฉล่ียของสัปดาหที่4ทั้ง7เดือนมีคากี่องศาเซลเซียส..

โดยกําหนดใหc

5=F − 32

9 ∴ C =

5

9(F − 32)

วิธีทําอุณหภูมิในสัปดาหที่4ใน7เดือนไดแก(76 + 3), (78 + 3), (79 + 3), (82 + 3), (78 + 3),

(78.2 + 3), (78 + 3)

หรือ(79), (81), (82), (85), (81), (81.2), (81)

F =79 + 81 + 82 + 85 + 81 + 81.2 + 81

7 =570.27

จาก c5 =F − 329 ∴ C =

59 (F − 32)

∴ C =59570.27 − 32 =

59570.2 − 224

7

= 59346.27 = 27.48Ans.

Ex34อุณหภูมิที่สูงกวา26องศาเซลเซียสในรอบสัปดาห

เมื่อเวลา12.00น.มีดังนี้6, 7, 5, 3, 0, 3, 4

คาเฉล่ียเลขคณิตของอุณหภูมิในรอบสัปดาหเมื่อเวลา12.00น.

สูงกี่องศาฟาเรนไฮต

วิธีทําอุณหภูมิที่สูงข้ึนจะมีคาเฉล่ีย

=6 + 7 + 5 + 3 + 0 + 3 + 4

7 =287 = 4

∴ C = 26 + 4 = 30

จาก c5 =F − 329 ∴ F =

95C + 32

∴ F =95(30) + 32 = 54 + 32 = 86°퐹Ans.

33. อุณหภูมิในรอบ1เดือนจะมีลักษณะสูงข้ึนโดยเฉล่ียสัปดาหละ

1องศาฟาเรนไฮตเสมอนับจากของสัปดาหแรกจนส้ินสุดสัปดาห

สุดทายของเดือนถามีการวัดอุณหภูมิของสัปดาหแรกใน1ปไดผล

ดังนี้75, 74, 76, 80, 72, 77, 74,78, 82, 80, 76, 74

องศาฟาเรนไฮตจงหาวาอุณหภูมิเฉล่ียของสัปดาหที่3ทั้งป

มีคากี่องศาเซลเซียส

โดยกําหนดใหc

5=F − 32

9(Bonus + 2)

34. อุณหภูมิที่สูงกวา24องศาเซลเซียสในรอบสัปดาห

เมื่อเวลา12.00น.มีดังนี้3, 5, 6, 4, 0, 0, 3

แลวคาเฉล่ียเลขคณิตของอุณหภูมิในรอบสัปดาหเมื่อเวลา12.00น.

สูงกี่องศาฟาเรนไฮต(Bonus + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี21 Ex35คะแนนของนักเรียนชาย4คนมีคาสถิติดังนี้x = 24,Med = 23.5,พิสัย = 5,Mode < Med.

คะแนนของนักเรียนหญิง5คนมีคาสถิติดังนี้x = 25,Med = 26,พิสัย = 5,Mode > Med.

และนักเรียนหญิงที่ไดคะแนนต่ําสุด2คนมีคะแนน

รวมกันเทากับ45จงหาคามัธยฐานของคะแนนของคนทั้งหมด วิธีทํา

สมมุติใหคะแนนของนักเรียนชาย4คนเรียงจากนอยไปมากมีดังนี ้

x1, x2, x3, x4 จากโจทยจะไดวาx + x + x + x = 4(24) = 96

จากที่วาMode < Med. ดังนั้นจะไดวาx = x = Mode จากโจทยมีMed = 23.5

∴ x + x

2 = 23.5 ∴ x + x = 47

จากโจทยx + x + x + x = 96

x + (47) + x = 96 ∴ x = 49 − x

จากโจทยมีพิสัย = 5

∴ x − x = 5 ∴ x − (49 − x ) = 5 ∴ x = 27

∴ 27 − x = 5 ∴ x = 22 = x

∴ x = 47 − 22 = 25

∴ คะแนนของผูชายมีดังนี้22,22,25,27

สมมุติใหคะแนนของนักเรียนหญิง5คนเรียงจากนอยไปมากมีดังนี ้

x5, x6, x7, x8, x9

จากโจทยจะไดวาx = 26, x = x = Mode, x − x = 5,

x + x = 45 (x + x ) + x + x + x = 5(25) = 125

∴ (45) + 26 + 2x = 125 ∴ x = 27

∴ x = 22, x = 23, x = 26, x = 27, x = 27 ถาเรียงคะแนนของนักเรียนทั้งหมดจากนอยไปมากจะไดดังนี้ 22,22,22,23,25,26,27,27,27

∴ Med = x5 = 25Ans.

35. คะแนนของนักเรียนชาย5คนมีคาสถิติดังนี้푥̅ = 14,푀푒푑 = 13,พิสัย = 13,푀표푑푒 > 푀푒푑.

และนักเรียนชายที่ไดคะแนนต่ําสุด2คนมีคะแนนรวมกันเทากับ17

คะแนนของนักเรียนหญิง4คนมีคาสถิติดังนี้푥̅ = 15,푀푒푑 = 14,พิสัย = 12,푀표푑푒 < 푀푒푑.

จงหาผลรวมของคามัธยฐานกับฐานนิยมของคะแนนของคนทั้งหมด (퐵표푛푢푠 + 3)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี22 Ex36กําหนดขอมูลใหดังตารางตอไปนี้

และ ∑(x − a) = 0 , ∑|x − c|มีคานอยสุด , Mode = b

จงหาคาของa + b + c

วิธีทํา จากโจทยสรุปไดวา a = xและc = Med.

จากสูตร x = ∑ ,Mode = L + i

และMed = L + i เราสรางตารางเพื่อหาคาดังนี้

x − 74 =∑ fxn =

67550 = 13.5 ∴ x = 87.5

Mode = L + id

d + d

= 89.5 + 5(15 − 6)

(15 − 6) + (15 − 9)

∴ Mode = 89.5 + 59

9 + 6 = 89.5 + 3 = 92.5

RankMed =502 = 25ตกชั้นที่3

∴ Med = L + in2 − Ff

= 84.5 + 525 − 20

6 = 88.67

∴ a + b + c = 87.5 + 92.5 + 88.67

= 268.67Ans.

36. กําหนดขอมูลใหดังตารางตอไปนี้

และ ∑(x − a) = 0 , ∑|x − c|มีคานอยสุด , Mode = b

จงหาคาของ a + b − c(Bonus+3)

คะแนน 75-79 80-84 85-89 90-94 95-99

ความถี่ 8 12 6 15 9

คะแนน 75-79

80-84

85-89

90-94

95-99

ความถี่(f) 8 12 6 15 9 n = 50

คะแนน -74 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

x 3 8 13 18 23

fx 24 96 78 270 207 fx = 675

คะแนน 155-159 160-164 165-169 170-174 175-179

ความถี่ 7 13 6 15 9

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี23 Ex37คะแนนปลายภาคของนักเรียนม.4จํานวน120คนคนที่สอบไดคะแนนนอยสุดสอบได50คะแนนคนที่สอบไดคะแนน

มากที่สุดสอบได73คะแนนและคะแนนของนักเรียนแตละคนเปน

จํานวนเต็มตามตารางตอไปนี้

คะแนนเฉล่ียของนักเรียนกลุมนี้มีคาเทาใด

วิธีทําเนื่องจากคะแนนทุกคะแนนเปนจํานวนเต็มเราสามารถ

สรางตารางใหมไดดังนี้

푥̅ =∑푓푥푛 =

7404120 = 61.7퐴푛푠.

37.คะแนนปลายภาคของนักเรียน ม.4 จํานวน 100 คน คนที่สอบไดคะแนนนอยสุด สอบได 40 คะแนน คนที่สอบไดมากที่สุดสอบได 70 คะแนน และคะแนนของนักเรียนแตละคนเปนจํานวนเต็มตามตารางตอไปนี้

คะแนนเฉล่ียและมัธยฐานของนักเรียนกลุมนี้มีคาเทาใด (퐵표푛푢푠 + 2)

คะแนน จํานวนนักเรียน

ต่ํากวา 54 8






คะแนน ความถี่สะสม

(F) 푓 푥 푓푥

50-53 8 8 52 416

54-57 26 18 56 1008

58-61 68 42 60 2520

62-65 95 27 64 1728

66-69 112 17 68 1156

70-73 120 8 72 576

푛 = 120 푓푥 = 7404









(퐹) 푓 푥 푓푥

푛 = 푓푥 =

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี24 การหาคาตําแหนงของขอมูลกรณี Ungroupdata

Ex38ถาผลการสอบวิชาค33201ของนักเรียน10คนมีผลดังนี้23,15,32,28,11,16,25,19,26,8

จงหา1)P + D − Q

2)นักเรียนที่สอบได16คะแนนจะสอบไดตําแหนงควอไทลที่เทาไร 3)นักเรียนที่สอบได25คะแนนซึ่งต่ําสุดของเกรดAแลวนักเรียนที่ไดเกรดAมีกี่เปอรเซ็นต วิธีทํา 1)เรียงคะแนนตามตําแหนงจากนอยไปมากRank 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนน 8 11 15 16 19 23 25 26 28 32

2)ใชสูตรหาRankP = (n + 1)

∴ RankP =82100

(10 + 1) = 9.02

∴ P = x . = x + (0.02)(x − x )= 28 + (0.02)(32 − 28) = 28.08

RankD =x10

(n + 1)

∴ RankD =610

(10 + 1) = 6.6

∴ D = x . = x + (0.6)(x − x )= 23 + (0.6)(25 − 23) = 24.2

RankQ =x4(n + 1)

∴ RankQ =14(10 + 1) = 2.75

∴ Q = x . = x + (0.75)(x − x )= 11 + (0.75)(15 − 11) = 14

∴ P + D − Q = 28.08 + 24.2 − 14 = 38.28Ans.2)นักเรียนที่สอบได16คะแนนอยูในตําแหนงที่4ของขอมูลทั้งหมด∴ จากสูตรRankQ =

x4(n + 1)

∴ 4 =x4(10 + 1) ∴ x =

1611 = 1.45

นักเรียนที่สอบได16คะแนนจะสอบไดตําแหนงควอไทลที่1.45Ans.3)นักเรียนที่สอบได25คะแนนซึ่งต่ําสุดของเกรดAจะอยูตําแหนงที่7ของขอมูลจากสูตรRankPx =

x

100(n + 1)

∴ 7 =x100

(10 + 1) ∴ x = 70011 = 63.63

∴ แสดงวานักเรียนที่สอบได25คะแนนซึ่งเปนคนที่ไดเกรดAคนสุดทายอยุที่P63.63 ∴ แสดงวานักเรียนที่สอบไดเกรดAจะมีทั้งหมด= 100 − 63.63 = 36.37%Ans.

38.ถาผลการสอบวิชาค33201ของนักเรียน11คนมีผลดังนี้7,21,19,31,29,11,15,25,40,36,38

จงหา1)P + D − Q .

2)นักเรียนที่สอบได21คะแนนจะสอบไดตําแหนงควอไทลที่เทาไร 3)นักเรียนที่สอบได36คะแนนซึ่งต่ําสุดของเกรดAและนักเรียนที่ไดคะแนนต่ําสุดของเกรดBคือ25จงหาวานักเรียนที่ไดเกรดBมีกี่เปอรเซ็นต(Bonus+3)วิธีทํา 1)เรียงคะแนนตามตําแหนงจากนอยไปมากRank 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

คะแนน

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี25 Ex39ถาผลคะแนนของนักเรียนจํานวน20คนมีดังนี้

39, 38, 46, 38, 42, 46, 49, 51, 42, 60, 42, 35,43,

46, 56, 44, 43, 48, 58, 51

1)ถาจะตัดเกรดใหจํานวนผูไดเกรดAเพียง10%ของนักเรียนทั้งหมดจงหาคะแนนต่ําสุดของเกรดA2)ถาจะตัดสินใหนักเรียนสอบตกเพียง20%ของจํานวนนักเรียนทั้งหมดจงหาวาคะแนนของคนสุดทายที่สอบผานวามีคาเทาไร

วิธีทําเรียงคะแนนจากนอยไปมากไดดังนี้Rank 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนน 35 38 38 39 42 42 42 43 43 44

Rank 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

คะแนน 46 46 46 48 49 51 51 56 58 60

1)เกรดAจะมีเพียง10%ดังนั้นผูที่ไดคะแนนต่ําสุดของกลุมAจะตรงกับ푃

จากสูตรRank푃푥 = 푥

100(n + 1)

∴ Rank푃 =90100 (20 + 1) = 18.9

∴ 푃 = 푥 . = 푥 + (0.9)(푥 − 푥 )

= 56 + (0.9)(58 − 56) = 57.8

∴ นักเรียนที่สอบไดคะแนนต่ําสุดของกลุมAในกลุมนี้คือ58Ans.

2)สอบตกมี20%หรือ2ใน10นั่นเอง

ดังนั้นคะแนนสูงสุดของกลุมตกอยูในตําแหนง퐷

Rank퐷 =푥10

(n + 1)

∴ Rank퐷 =210(20 + 1) = 4.2

∴ 퐷 = 푥 . = 푥 + (0.2)(푥 − 푥 )

= 39 + (0.2)(42 − 39) = 39.6

∴ นักเรียนที่สอบไดคะแนนสูงสุดของกลุมตกจะสอบไดคะแนน39.6

∴ แสดงวานักเรียนในกลุมนี้ที่สอบผานคนสุดทาย

คือคนที่สอบไดคะแนน42คะแนนAns.

39.ถาผลคะแนนของนักเรียนจํานวน17คนมีดังนี้61, 56, 78, 26, 43, 40, 69, 36, 64, 48, 75, 29, 32,67, 72, 53, 58

1)ถาจะตัดเกรดใหจํานวนผูไดเกรดAเพียง15%ของนักเรียนทั้งหมดจงหาคะแนนต่ําสุดของเกรดA2)ถาจะตัดสินใหนักเรียนสอบตกเพียง1ใน5ของจํานวนนักเรียนทั้งหมดจงหาวาคะแนนของนักเรียนคนสุดทายที่สอบผานวามีคาเทาไรวิธีทําเรียงคะแนนจากนอยไปมากไดดังนี้

Rank 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนน

Rank 11 12 13 14 15 16 17

คะแนน

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี26 การหาคาตําแหนงของขอมูลกรณีGroupdatas

Ex40จากตารางผลการสอบของนักเรียนจํานวน60คนที่กําหนดใหตอไปนี้

คะแนน 16 − 20 21 − 25 26 − 30 31 − 35 36 − 40

จํานวนคน 3 17 12 20 8

จงหาคาของP67 + D2 − Q3

วิธีทํา 1)ใชสูตรหาP , D , Q ไดดังนี ้

จากRankP =x100

(n)

∴ 푅푎푛푘P =67100

(60) = 40.2ตกชั้นที่4

จากสูตรP = L + iR − Ff

∴ P = 30.5 + 540.2 − 32

20

= 30.5 + 2.05 = 32.55

RankD =x10

(n)

∴ RankD =(60) = 12ตกชั้นที่2

จากสูตรD = L + iR − Ff

∴ D = 20.5 + 512 − 317

= 20.5 + 2.65 = 23.15

RankQ = (n) ∴ RankQ = (60) = 45ตกชั้นที่4

∴ Q = 30.5 + 545 − 3220 = 30.5 + 3.25 = 33.75

∴ P + D − Q = 32.55 + 23.15 − 33.75

= 21.95Ans.

40จากตารางผลการสอบของนักเรียนจํานวน80คนที่กําหนดใหตอไปนี้

คะแนน 21 − 25 26 − 30 31 − 35 36 − 40 41 − 46

จํานวนคน 5 15 12 40 8

จงหาP37 + D3 − Q1

(Bonus+1)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี27 Ex41จากตารางผลการสอบของนักเรียนจํานวน60คนที่กําหนดใหตอไปนี้

คะแนน 16 − 20 21 − 25 26 − 30 31 − 35 36 − 40

จํานวนคน 3 17 12 20 8

จงหาวา1)นักเรียนที่สอบได27คะแนน

จะสอบไดตําแหนงควอไทลที่เทาไร2)นักเรียนที่สอบได34คะแนนซึ่งต่ําสุดของเกรดA

แลวนักเรียนที่ไดเกรดAมีกี่เปอรเซ็นตวิธีทํา1)นักเรียนที่สอบได27คะแนนเปนคะแนนอยูในชั้นที่3

จากสูตรQ = L + ixn4 − Ff

∴ 27 = 25.5 + 5x(60)4 − 2012

∴ 27 − 25.5 = 515x − 20

12

∴ 1.5(12)

5 = 15x − 20

∴ 15x = 3.6 + 20 = 23.6

∴ x = 1.57

ดังนั้นนักเรียนที่สอบได27คะแนนจะอยูในตําแหนงQ1.57Ans.

2)นักเรียนที่สอบได34คะแนนอยูในชั้นที่4

จากสูตรP = L + ixn100 − F

f

∴ 34 = 30.5 + 5x(60)100 − 32

20

∴ 34 − 30.5 = 53x5 − 3220

∴3.5(20)

5 + 32 =3x5 ∴

3x5 = 46 ∴ x = 76.67

ดังนั้นนักเรียนที่สอบไดเกรดAจะมีทั้งหมด= 100 − 76.67 = 23.33%Ans.

41.จากตารางผลการสอบของนักเรียนจํานวน80คนที่กําหนดใหตอไปนี้

คะแนน 21 − 25 26 − 30 31 − 35 36 − 40 41 − 46

จํานวนคน 5 15 12 40 8

จงหาวา 1)นักเรียนที่สอบได38คะแนนจะสอบไดตําแหนงควอไทลที่เทาไร2)นักเรียนที่สอบได39คะแนนซึ่งต่ําสุดของเกรดAแลวนักเรียนที่ไดเกรดAมีกี่เปอรเซ็นต(Bonus+1)


Ex42จากตารางผลการสอบของนักเรียนจํานวน60คนที่กําหนดใหตอไปนี้

คะแนน 16 − 20 21 − 25 26 − 30 31 − 35 36 − 40

จํานวนคน 3 17 12 20 8

จงหาจงหาวามีนักเรียนรอยละเทาไร

ที่ไดคะแนนในชวง22 − 32คะแนน

วิธีทําคะแนน22ตกในชั้นที่2และคะแนน32ตกชั้นที่4

จากสูตรP = L + ixn100 − F

f

∴ 22 = 20.5 + 5x(60)100 − 317

∴ x = 13.5 ∴ แสดงวาคะแนน22ตรงกับP .

และคะแนน32ตกชั้นที่4

∴ 32 = 30.5 + 5x(60)100 − 32

20

∴ x = 63.33 ∴ แสดงวาคะแนน32ตรงกับP .

∴ จะมีนักเรียนที่สอบไดคะแนนตั้งแต22 − 32

= 63.33%− 13.5% = 49.83%Ans.

42.จากตารางผลการสอบของนักเรียนจํานวน80คนที่กําหนดใหตอไปนี้

คะแนน 21 − 25 26 − 30 31 − 35 36 − 40 41 − 46

จํานวนคน 5 15 12 40 8

ถาคะแนนสูงสุดของเกรดDคือ28และต่ําสุดของเกรดBคือ37

จงหาวานักเรียนมีนักเรียนรอยละเทาไรที่ไดเกรดC(Bonus+1)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี29 퐸푥43ขอมูลความสูงของนักเรียนกลุมหนึ่งมีดังนี้

ความสูง(ซ. ม. )

171 − 180 161 − 170 151 − 160 141 − 150 131 − 140

จํานวนคน 12 푎 34 10 2

ถาคะแนน163ของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับเปอรเซน็ไทลที่64.375จงหาจํานวนนักเรียนที่มีความสูงมากกวา162ซ. ม. มีกี่เปอรเซ็นตวิธีทําจัดเรียงขอมูลใหมดังนี้ความสูง(ซ. ม. ) 131 − 140 141 − 150 151 − 160 161 − 170 171 − 180

จํานวนคน 2 10 34 푎 12

จากสูตรPx = L + i

xn100 − Fl

fx

∴ 163 = 160.5 + 1064.375(a + 58)

100 − 46a

∴ a = 22นักเรียนที่สูง162ซ. ม. ตกชั้นที่4จะหาเปอรเซ็นไทลไดดังนี ้

∴ 162 = 160.5 + 10x(80)100 − 46

22

∴ x = 61.625∴ จะมีนักเรียนที่สูงกวา162จํานวน= 100 − 61.625 = 38.375%Ans.퐸푥44ตารางความถี่ของนักเรียนกลุมหนึ่งกวางอัตรภาคชั้นละ10มัธยฐานมีคาเทากับ57อยูในชวงคะแนน50− 59มีนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํากวา49.5จํานวน12คนมีนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา59.5จํานวน20คนจงหาวานักเรียนกลุมนี้มีกี่คนวิธีทําจากโจทยเราสามารถสรางตารางไดดังนี้

จากสูตรMed. = L + i

n2 − Flfm

∴ 57 = 49.5 + 1012 + x + 20

2 − 12x ∴ x = 16

∴ นักเรียนกลุมนี้มีทั้งหมด = 12 + 16 + 20 = 46คน퐴푛푠.

43.ขอมูลผลการสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งมีดังนี ้คะแนน 28-24 23-19 18-14 13-9 8-4

จํานวนคน 6 푎 12 5 7

ถาคะแนน20ของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับเปอรเซน็ไทลที่60 จงหาจํานวนนักเรียนที่มีคะแนนมากกวา12คะแนนมีกี่เปอรเซ็นต (퐵표푛푢푠 + 2)

44.ตารางความถี่ของนักเรียนกลุมหนึ่งกวางอัตรภาคชั้นละ20 มัธยฐานมีคาเทากับ67อยูในชวงคะแนน60 − 79มีนักเรียนที่ได คะแนนต่ํากวา59.5จํานวน22คนมีนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 79.5จํานวน8คนจงหาวานักเรียนที่ไดมากกวา75คะแนน มีกี่เปอรเซ็นต (Bonus+2)

คะแนน 푓 F

12

50− 59 x

20

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี30 Ex45จากผลสอบของนักเรียน39คนพบวาเปอรเซ็นตไทลที่25ของคะแนนสอบเทากับ35คะแนนและมีนักเรียน30คนไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ80คะแนนและมีนักเรียนสอบได35คะแนนเพียงคนเดียวแลวนักเรียนที่สอบไดคะแนนอยูในชวงคะแนน35 − 80มีกี่คนวิธีทําสรุปจากโจทยจะไดวา푛 = 39, 푃25 = 35,

푛(푥 ≤ 80) = 30, 푛(푥 = 35) = 1

∴ 푅푎푛푘푃 =25100

(39 + 1) = 10

∴ 푛(푥 ≤ 35) = 10

∴ 푛(푥 ≤ 80) = 30

∴ 푛(35 < 푥 ≤ 80) = 30 − 10 = 20

∴ 푛(35 ≤ 푥 ≤ 80) = 1 + 20 = 21คน퐴푛푠. Ex46ขอมูลชุดหนึ่งมี5จํานวนมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ12ถาควอไทลที่1และ3ของขอมูลชุดนี้เทากับ5, 20ตามลําดับแลวเดไซลที่5ของขอมูลชุดนี้เปนเทาใดวิธีทํา สมมุติใหขอมูลทั้ง5คือx1 , x2 , x3, x4, x5

จาก x = nx̅

∴ x + x + x + x + x = 5(12) = 60

RankQ =14(5 + 1) = 1.5

จากQ = 5 ∴ x + x

2 = 5 ∴ x + x = 10

RankQ =34(5 + 1) = 4.5

จากQ = 12 ∴ x + x

2 = 12 ∴ x + x = 24

จาก(x1 + x2) + x3 + (x4 + x5) = 60

∴ (10) + x3 + (24) = 60 ∴ x3 = 26

x เปนขอมูลที่อยูตรงกลาง ∴ D = 26Ans.

45. จากผลสอบของนักเรียน59คนพบวาเปอรเซ็นตไทลที่30ของคะแนนสอบเทากับ46คะแนนและมีนักเรียน40คนไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ72คะแนนและมีนักเรียนสอบได46คะแนนจํานวน5คนแลวนักเรียนที่สอบไดคะแนนอยูในชวงคะแนน46 − 72มีกี่คน (Bonus + 2)

46. ขอมูลชุดหนึ่งมี5จํานวนมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ8

ถาควอไทลที่1และ7

3ของขอมูลชุดนี้เทากับ4, 9ตามลําดับแลว

คาสูงสุดของขอมูลชุดนี้เปนเทาใด(Bonus + 2)

80

20

35

1

1

30 80

3510

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี31 퐸푥47ผลการสอบวิชาค33201ของนักเรียน30คนมีผลดังนี ้

ถาครูตัดเกรดตามเกณฑดังนี ้퐸(푥 ≤ 푃 ),퐷(푃 < 푥 ≤ 푃 ), 퐶(푃 < 푥 ≤ 푃 ) , 퐵(푃 < 푥 ≤ 푃 ), 퐴(푥 > 푃 ) จงหาวา1)จํานวนนักเรียนที่ไดในแตละเกรดมีกี่คน2)นักเรียนเลขที่27ไดเกรดอะไร

วิธีทําจัดขอมูลใหมเรียงคะแนนจากนอยไปมากไดดังนี้ 퐸(푥 ≤ 푃 ) ∴ 푟푎푛푘푃 =

30100

(30 + 1) = 9.3

คะแนนตําแหนงที่9คือ25คะแนนตําแหนงที่10คือ26 เกรด퐸คือผูที่ไดคะแนน(푥 ≤ 25)มีทั้งหมด9คน 퐷(푃 < 푥 ≤ 푃 ) ∴ 푟푎푛푘푃 =

50100

(30 + 1) = 15.5

คะแนนตําแหนงที่15คือ33คะแนนตําแหนงที่16คือ34 เกรด퐷คือผูที่ไดคะแนน(25 < 푥 ≤ 33)มีทั้งหมด6คน퐶(푃 < 푥 ≤ 푃 ) ∴ 푟푎푛푘푃 =

65100

(30 + 1) = 20.15

คะแนนตําแหนงที่20คือ37คะแนนตําแหนงที่21คือ38 เกรด퐶คือผูที่ไดคะแนน(33 < 푥 ≤ 37)มีทั้งหมด5คน퐵(푃 < 푥 ≤ 푃 )

∴ 푟푎푛푘푃 =75100

(30 + 1) = 23.25

คะแนนตําแหนงที่23คือ39คะแนนตําแหนงที่24คือ40 เกรด퐵คือผูที่ไดคะแนน(37 < 푥 ≤ 39)มีทั้งหมด3คน ∴ เกรด퐴คือผูที่ไดคะแนน(푥 > 39)มีทั้งหมด7คน2)เลขที่27ได36คะแนนอยูในตําแหนงที่19∴ จากสูตร푅푎푛푘푃 =

푥100

(푛 + 1)

∴ 19 =푥100

(30 + 1) ∴ 푥 =190031 = 61.29

คะแนน36ตรงกับ푃 . ไดเกรด퐶퐴푛푠.

47.ผลการสอบวิชาค33201ของนักเรียน25คนมีผลดังนี ้No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนน 44 29 22 35 33 38 40 42 45 31

No. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

คะแนน 24 28 32 23 52 50 43 48 55 54

No. 21 22 23 24 25

คะแนน 37 20 30 46 34

ถาครูตัดเกรดตามเกณฑดังนี้퐸(푥 ≤ 푃 ),퐷(푃 < 푥 ≤ 푃 ), 퐶(푃 < 푥 ≤ 푃 )

, 퐵(푃 < 푥 ≤ 푃 ), 퐴(푥 > 푃 ) จงหาวา1)จํานวนนักเรียนที่ไดในแตละเกรดมีกี่คน 2)นักเรียนเลขที่9ไดเกรดอะไร

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนน 29 34 22 25 33 37 39 42 45 34

No. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

คะแนน 24 26 35 38 25 17 40 43 18 38

No. 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

คะแนน 30 20 26 41 44 33 36 21 43 21

Rank 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนน 17 18 20 21 21 22 24 25 25 26

Rank 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

คะแนน 26 29 30 33 33 34 34 35 36 37

Rank 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

คะแนน 38 38 39 40 41 42 43 43 44 45

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี32 퐸푥48ผลการสอบวิชาคณิตศาสตรภาคปลายปการศึกษา2550ปรากฎวาโรงเรียนกและโรงเรียนขมีจํานวนนักเรียนที่ไดคะแนน ในระดับ퐴อยู10%퐵20%퐶45%퐷20%퐹5%เทากันโดยที่โรงเรียนขมีนักเรียนที่ไดคะแนนชวงตางๆดังนี้ชวงคะแนน 0 -29 30-49 50-69 70-89 90-100

จํานวนนร. 5 25 40 20 10

ถานายอมรอยูโรงเรียนกและนายชํานิอยูโรงเรียนขไดคะแนน 65คะแนนเทากันแตคะแนนของนายอมรอยูในตําแหนงเปอรเซ็นตไทล ที่73แลวนายชํานิจะอยูในตําแหนงเปอรเซ็นตไทลที่เทาไรและ อมรกับชํานิไดเกรดตางกันเทาไรวิธีทํา นายอมรได65คะแนนอยูตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่73จะไดเกรด퐵นายอมรได65คะแนนหาตําแหนงเปอรเซ็นไทลไดจากสูตร

푃 = 퐿 + 푖푥푛100 − 퐹

푓

คะแนน65คะแนนตกอยูในชั้น50 − 69

∴ 65 = 49.5 + 20푥100100 − 30

40

∴ 65 − 49.5 = 20푥 − 3040

∴ 15.5 =푥 − 302

∴ 31 = 푥 − 30 ∴ 푥 = 61 นายอมรได65คะแนนหาตําแหนงเปอรเซ็นไทล61จะไดเกรด퐶∴ คนทั้งสองจะไดเกรดตางกัน1เกรด퐴푛푠.

48. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตรภาคปลาย ปการศึกษา 2550

ปรากฎวาโรงเรียนกและโรงเรียนขมีจํานวนนักเรียนที่ไดคะแนน ในระดับ퐴อยู10%퐵20%퐶40%퐷20%퐹10%เทากันโดยที่โรงเรียนขมีนักเรียนที่ไดคะแนนชวงตางๆดังนี้ชวงคะแนน 0-19 20-39 40-59 60-79 80-99

จํานวนนร. 5 25 50 15 5

ถาธงชัยอยูโรงเรียนกและสมบัติอยูโรงเรียนขไดคะแนน 65คะแนนเทากันแตคะแนนของธงชัยอยูในตําแหนงเปอรเซ็นตไทลที่ 35แลวนายสมบัติจะอยูในตําแหนงเปอรเซ็นตไทลที่เทาไรและ สมบัติกับธงชัยไดเกรดตางกันเทาไร(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี33 49. จากตารางคะแนนที่กําหนดให

ถาควอไทลที่1เทากับ18.5คะแนนแลวมัธยฐานของขอมูลชุดนี้จะมีคาเทาใด(퐵표푛푢푠 + 2)

50)คะแนนวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมหนึ่งมีดังนี ้ชวงคะแนน 30-39 40-49 50-59 60-69

จํานวนนร. 2 5 6 11

ชวงคะแนน 70-79 80-89 90-99

จํานวนนร. 11 4 1

ในการสอบครั้งนี้กัลยาได50คะแนนปรานีได55คะแนน วิชัยได60คะแนนจงหาตําแหนงเปอรเซ็นตไทลของคนทั้งสาม


คะแนนสอบ ความถี(่คน)

16-18 A

19-21 2

22-24 3

25-27 6

28-30 4

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี34 51.กําหนดตารางผลการสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งมีดังนี้

ชวงคะแนน 21 - 31-40 41-50 51-60

จํานวนนร. 2 5 8 24

ชวงคะแนน 61-70 71-80 81-90

จํานวนนร. 6 9 6

สุมิตรและนารีเปนนักเรียนในกลุมนี้สุมิตรไดคะแนนในตําแหนงควอไทลที่3และนารีไดคะแนนอยุในตําแหนงเดไซลที่9ซึ่งคะแนนเต็ม เทากับ 100 นารีไดคะแนนมากกวาสุมิตรกี่เปอรเซ็นต (퐵표푛푢푠 + 2)

52. อายุของเด็กกลุมหนึ่งเปนดังนี้อายุ – – – – –

จํานวนเด็ก a

ถ้าเปอรเซ็นตไทลที่25ของอายุเด็กกลุมนี้เทากับ6.5ปแลวเด็กที่มีอายุต่ํากวา10ปมีกี่คน(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี35 53. ถาตารางแสดงคาจางรายวันของคนงานกลุมหนึ่งมีดังนี้

คาจาง 81-85 86-90 91-95 96-100

จํานวนคน 1 3 푥 5

คาจาง 101-105 106-110 111-115 116-120

จํานวนคน 8 푦 10 4

ถาขอมูลชุดนี้มีP25 = 100.5และQ3 = 110.5

แลวจํานวนคนงานที่ไดคาจางรายวันต่ํากวา105.5บาทมีกี่คน

(Bonus + 2)

54. ตารางแจกแจงความถี่ของระดับคะแนนเฉล่ียของนักเรียนมีดังนี้

ถานักเรียนที่เรียนดีคือผูที่ไดคาระดับคะแนนเฉล่ียไมต่ํากวา

เปอรเซ็นตไทลที่90ดังนั้นนักเรียนที่เรียนดีควรไดระดับคะแนนเฉล่ีย

ไมต่ํากวาเทาใด(Bonus + 2)

ระดับคะแนนเฉล่ีย ความถี(่คน) 1.35 - 1.54 151.55 - 1.74 251.75 - 1.94 301.95 - 2.14 222.15 - 2.34 162.35 – 2.54 12

รวม 120

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี36 55.กําหนดตารางผลการสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งมีดังนี้

ถาคะแนนที่เปอรเซ็นตไทลที่24เทากับ12คะแนนแลวaมีคาเทาไร(Bonus + 2)

56. คะแนนสอบวิชาเคมีของนักเรียนกลุมหนึ่งเปนดังนี้คะแนน 21-30 31-40 41-50 51-60

จํานวนคน 2 5 8 24

คะแนน 61-70 71-80 81-90

จํานวนคน 10 10 1

กมลและกรองทองเปนนักศึกษาในกลุมนี้กมลไดคะแนนตําแหนงควอไทลที่3กรองทองไดคะแนนตําแหนงเดไซลที่9ถาคะแนนเต็ม120คะแนนกรองทองไดคะแนนมากกวากมลกี่เปอรเซ็นต(Bonus + 2)

คะแนนสอบ ความถี(่คน) 5-9 5

10-14 a

15-19 720-24 825-29 3

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี37 57. ขอมูลชุดหนึ่งมี5จํานวนถาควอไทลที่1,2, 3เทากับ18, 25, 28ตามลําดับแลวคาเฉล่ียเลขคณิตมีคาเทาใด(Bonus + 2)

58. คะแนนสอบของนักเรียน40คนมีเสนโคงของความถี่เปนเสนโคงเบทางขวาโดยที่Mean = P55 คะแนนของสมชาย = ModeคะแนนของสมชายตางจากMeanอยู6คะแนนและทราบวานักเรียนที่สอบไดที่18ไดคะแนน68คะแนนนักเรียนที่สอบไดที่19ได62คะแนนแลวสมชายสอบไดกี่คะแนน(Bonus + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี38 1.3การวัดการกระจายของขอมูลโดยทั่วไปจะแบงออกเปน2วิธี 1.3.1)การวัดการกระจายสัมบูรณ(퐴푏푠표푙푢푡푒푣푎푟푖푎푡푖표푛) คือการวัดการกระจายเพียงชุดเดียวโดยดูวาขอมูลในชุดนั้นแตละคา

แตกตางกันมากนอยเพียงไรที่นิยมใชมี4แบบคือ 1.3.1.1.พิสัย(푅푎푛푔푒)푅 = 푥 − 푥

1.3.1.2. สวนเบี่ยงเบนควอไทล(푄푢푎푟푡푖푙푒퐷푒푣푖푎푡푖표푛)

푄.퐷 =푄 − 푄

2

1.3.1.3. สวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푀푒푎푛퐷푒푣푖푎푡푖표푛)

กรณีขอมูลประชากรไมแจกแจงความถี่푀.퐷 =∑|푥 − 휇|

푁

กรณีขอมูลประชากรแจกแจงความถี่푀.퐷 =∑푓|푥 − 휇|

푁

1.3.1.4. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(푆푡푎푛푑푎푟푑퐷푒푣푖푎푡푖표푛)

กรณีขอมูลประชากรไมแจกแจงความถี่휎 = ∑(푥 − 휇)푁

กรณีขอมูลประชากรแจกแจงความถี่휎 = ∑ 푥2

푁− 휇2

กรณีขอมูลกลุมตัวอยางไมแจกแจงความถี่푠푑 =∑(푥 − 푥)2

푛 − 1

หรือใชสูตร푠푑.= ∑푥 − 푛푥̅푛 − 1

กรณีข้อมูลกลุ่มตัวอย่างไม่แจกแจงความถี

휎 =∑푓(푥 −푥)2

푛−1 หรือใช้สูตร휎 =∑푓푥 − 푛푥̅

푛 − 1

1.3.2)การวัดการกระจายสัมพัทธ(푅푒푙푎푡푖푣푒푣푎푟푖푎푡푖표푛) คือการหาคาเพื่อเปรียบเทียบการกระจายของขอมูลมากกวา1ชุด

โดยใชอัตราสวนที่นิยมใชมี4แบบคือ 1.3.2.1. สัมประสิทธิ์ของพิสัย(푐표푒푓푓푖푐푖푒푛푡표푓푟푎푛푔푒)

퐶푅. =푥 − 푥 푥 + 푥

1.3.2.2. สวนเบี่ยงเบนควอไทล (푐표푒푓푓푖푐푖푒푛푡표푓푞푢푎푟푡푖푙푒푑푒푣푖푎푡푖표푛)

퐶푅. =푄 − 푄 푄 + 푄

1.3.2.3. สวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย (푐표푒푓푓푖푐푖푒푛푡표푓푎푣푒푟푔푒푑푒푣푖푎푡푖표푛)

กรณีขอมูลเปนกลุมประชากร퐶푀퐷.=푀퐷.

휇

กรณีขอมูลเปนกลุมตัวอยาง퐶푀퐷.=푀퐷.

푥

1.3.2.4. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(푐표푒푓푓푖푐푖푒푛푡표푓푣푎푟푖푎푡푖표푛)

กรณีขอมูลเปนกลุมประชากร퐶푉.= 휎.휇

กรณีขอมูลเปนกลุมตัวอยาง퐶푉. = 푆퐷.푥̅

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี39 퐸푥59จากผลการสอบของนักเรียนจํานวน5คนมีดังนี้2, 9, 5, 8, 1จงหาพิสัย(푅푎푛푔푒)

วิธีทําพิสัย = คาสูงสุด − คาต่ําสุด = 9– 1 = 8퐴푛푠.

퐸푥60จากผลการสอบของนักเรียนจํานวน5คนมีดังนี้2, 9, 5, 8, 1จงหาสวนเบี่ยงเบนควอไทล(푄. 퐷)วิธีทําเรียงคะแนนจากนอยไปหามาก

푅푎푛푘 1 2 3 4 5

푥 1 2 5 8 9

จากสูตรสวนเบี่ยงเบนควอไทล푄. 퐷 =푄 − 푄

2

푅푎푛푘푄 =14(5 + 1) = 1.5

∴ 푄 = 푥 . = 푥 + (0.5)(푥 − 푥 )

∴ 푄 = 1 + (0.5)(2 − 1) = 1.5

푅푎푛푘푄 =34(5 + 1) = 4.5

∴ 푄 = 푥 . = 푥 + (0.5)(푥 − 푥 )

∴ 푄 = 8 + (0.5)(9 − 8) = 8.5

∴ 푄. 퐷 =푄 − 푄

2 =8.5 − 1.5

2 = 3.5퐴푛푠.

퐸푥61จากผลการสอบของนักเรียนจํานวน5คนมีดังนี้2, 9, 5, 8, 1จงหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(휎)

วิธีทําจากสูตรการหาสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푀. 퐷)

푀.퐷 =∑|푥 − 휇|

푁 ตองหาคา휇ของขอมูลกอนดังนี้

จากสูตร휇 = ∑ 푓푥푁

∴ 휇 = 1 + 2 + 5 + 8 + 9

5 =255 = 5

จากสูตร푀. 퐷 =∑|푥 − 휇|

푁

∴ 푀.퐷 =|1 − 5| + |2 − 5| + |5 − 5| + |8 − 5| + |9 − 5|

5

∴ 푀. 퐷 =4 + 3 + 0 + 3 + 4

5 =145 = 2.8퐴푛푠.

59. กําหนดขอมูลผลการสอบของนักเรียนจํานวน5คนมีดังนี้10, 5, 7, 1, 2จงหาพิสัย(푅푎푛푔푒)

60. กําหนดขอมูลผลการสอบของนักเรียนจํานวน9คนมีดังนี้20, 16, 32, 15, 10, 5, 7, 1, 2

จงหาสวนเบี่ยงเบนควอไทล(푄. 퐷)(퐵표푛푢푠 + 1)

61. กําหนดขอมูลผลการสอบของนักเรียนจํานวน8คนมีดังนี้10, 5, 7, 1, 2, 22, 16, 9

จงหาสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푀. 퐷)(퐵표푛푢푠 + 1)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี40 퐸푥62จากผลการสอบของนักเรียน(ประชากร)จํานวน5คนมีดังนี้

2, 9, 5, 8, 1จงหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(휎)

วิธีทําหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

จากสูตร휎 = ∑(푥 − 휇)푁

휎 =(1 − 5) + (2 − 5) + (5 − 5) + (8 − 5) + (9 − 5)

5

=(−4) + (−3) + (0) + (3) + (4)

5

=16 + 9 + 0 + 9 + 16

5 =505 = 3.16

หรือจะใชสูตร휎 = ∑푥푁 − 휇

휎 = 12+22+52+82 +92

5 − (5)2

휎 =1 + 4 + 25 + 64 + 81

5 − (5)

휎 =1755 − 25 =

175 − 1255 = √10 = 3.16퐴푛푠.

62. กําหนดขอมูลผลการสอบของนักเรียน(ประชากร)จํานวน5คน

มีดังนี้10, 5, 7, 1, 2จงหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(휎)

โดยใชสูตร휎 = ∑(푥 − 휇)푁

เปรียบเทียบกับสูตร휎 = ∑푥푁 − 휇 (퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี41 퐸푥63กําหนดขอมูลประชากรผลการสอบของ(ประชากร)นักเรียน

มีดังนี้คะแนน 4 7 9 11 15


จงหา 1)พิสัย(푅푎푛푔푒) 2)สวนเบี่ยงเบนควอไทล(푄. 퐷)

วิธีทํา1)พิสัย = คาสูงสุด− คาต่ําสุด = 15– 4 = 11Ans.

2)สวนเบี่ยงเบนควอไทล푄. 퐷 =푄 − 푄

2

∗∗∗ กอนอ่ืนตองตําแหนงของ푄 , 푄 เสียกอนแลวคอยหาวา

∗∗∗ ขอมูลตรงตําแหนงที่หามานั้นมีคาเทาไร

푅푎푛푘푄 =14(20 + 1) = 5.25

∴ 푄 = 푥 .

= 푥 + (0.25)(푥 − 푥 )

= 7 + (0.25)(9 − 7) = 7.5

푅푎푛푘푄 =34(20 + 1) = 15.75

∴ 푄 = 푥 .

= 푥 + (0.75)(푥 − 푥 )

= 11 + (0.75)((11 − 11) = 11

∴ 푄. 퐷 = = . = 1.75퐴푛푠.

63.กําหนดขอมูลผลการสอบของนักเรียน(ประชากร)มีดังนี้

คะแนน 1 2 5 8 10


จงหา 1)พิสัย(푅푎푛푔푒) 2)สวนเบี่ยงเบนควอไทล(푄. 퐷)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี42 퐸푥64กําหนดขอมูลประชากรผลการสอบของนักเรียน(ประชากร)

มีดังนี้

คะแนน 4 7 9 11 15


จงหาสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푀. 퐷)

วิธีทําตองสรางตารางทดหาคาตางๆในสูตรที่จะใชกอนดังนี้

푥 4 7 9 11 15 รวม 푓 3 2 9 2 4 20

푓푥 12 14 81 22 60 189

|푥 − 휇| 5.45 2.45 0.45 1.55 5.55

푓|푥 − 휇| 16.35 4.9 4.05 3.1 22.2 50.6

จากสูตรที่ใชหา푀. 퐷 =∑ 푓|푥 − 휇|

푁ตองหาคาμกอน

จากสูตร휇 =∑ 푓푥

푁=189

20= 9.45

∴ 푀. 퐷 =∑푓|푥 − 휇|

푁 =50.620 = 2.53퐴푛푠.


คะแนน 1 2 5 8 10


จงหาสวนเบ่ียงเบนเฉลี่ย(푀.퐷)(퐵표푛푢푠 + 2)

푥 รวม

푓

푓푥

|푥 − 휇|

푓|푥 − 휇|



คะแนน 4 7 9 11 15


จงหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(휎)

วิธีทําตองสรางตารางทดหาคาตางๆในสูตรที่จะใชกอนดังนี้ 푥 4 7 9 11 15 รวม 푓 3 2 9 2 4 20

푓푥 12 14 81 22 60 189

푥 − 휇 −5.45 −2.45 −0.45 1.55 5.55

(푥 − 휇) 29.703 6.003 0.202 2.403 30.803

푓(푥 − 휇) 89.11 12.01 1.82 4.81 123.21 230.95

หาคาของ 푓(푥 − 휇)2 = 230.95

จากสูตร휎 =∑(푥 − 휇)2

푁

=230.9520 = √11.5475 = 3.398퐴푛푠.

หรือใชสูตร휎 =∑ 푓푥2

푁− (휇)2

푥 4 7 9 11 15 รวม

푓 3 2 9 2 4 20

푓푥 12 14 81 22 60 189

푥 16 49 81 121 225

푓푥 48 98 729 242 900 2017

휎 = ∑ 푓푥푁 − (휇)

=201720 − 9.45

= √100.85 − 89.3025

∴ 휎 = √11.5475 = 3.398퐴푛푠.


คะแนน 1 2 5 8 10


จงหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(휎)(퐵표푛푢푠 + 1)

푥 รวม 푓

푓푥

푥 − 휇

(푥 − 휇)

푓(푥 − 휇)

푥 รวม

푓

푓푥

푥

푓푥


มีดังนี้คะแนน 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25


จงหา 1)พิสัย(푅푎푛푔푒) 2)สวนเบี่ยงเบนควอไทล(푄. 퐷) 3)สวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푀.퐷)4)สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(휎)วิธีทํา1)พิสัย = คาสูงสุด − คาต่ําสุด = 25.5– 0.5 = 25퐴푛푠.

2)สวนเบี่ยงเบนควอไทล푄. 퐷 =푄 − 푄

2

จากสูตรหาตําแหนง푅푎푛푘푄 =푥4(푛)

∴ 푅푎푛푘푄 = (10) = 2.5ตกในชั้นที่2

∴ 푄 = 5.5 + 52.5 − 12 = 5.5 + 3.75 = 9.25

푅푎푛푘푄 =34(10) = 7.5ตกในชั้นที่4

สูตร푄 = 퐿 + 푖푅푎푛푘푄 − 퐹

푓

∴ 푄 = 15.5 + 57.5 − 53 = 15.5 + 4.17 = 19.67

푄. 퐷 =푄 − 푄

2 =19.67 − 9.25

2 = 5.21퐴푛푠.

3)สวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푀.퐷)푀. 퐷 =∑푓|푥 − 휇|

푁

วิธีทําตองสรางตารางทดหาคาตางๆในสูตรที่จะใชกอนดังนี้

คะแนน 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 รวมจํานวนคน(푓) 1 2 2 3 2 10

푥 3 8 13 18 23

푓푥 3 16 26 54 46 145

|푥 − 휇| 11.5 6.5 1.5 3.5 8.5

푓|푥 − 휇| 11.5 13 3 10.5 17 55

ตองหาคาของ휇 = ∑푓푥푁 =

14510 = 14.5เพื่อแทนคาใน

∴ 푀. 퐷 =∑푓|푥 − 휇|

푁 =5510 = 5.5퐴푛푠.

66. กําหนดขอมูลประชากรผลการสอบของนักเรียน(ประชากร)


คะแนน 1-7 8-14 15-21 22-28


จงหา(퐵표푛푢푠 + 2)

1)พิสัย(푅푎푛푔푒) 2)สวนเบี่ยงเบนควอไทล(푄. 퐷) 3)สวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푀.퐷)


มีดังนี้คะแนน 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25


จงหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(휎)

วิธีทําตองสรางตารางเพื่อทดหาคาตางๆไปแทนในสูตรที่จะใช

คะแนน 1 - 5 6 - 10 11 -15 16 - 20 21 - 25 รวม

จํานวน(푓) 1 2 2 3 2 10

푥 3 8 13 18 23

푓푥 3 16 26 54 46 145

(푥 − 휇) -11.5 -6.5 -1.5 3.5 8.5

(푥 − 휇) 132.25 42.25 2.25 12.25 72.25

푓(푥 − 휇) 132.25 84.5 4.5 36.75 144.5 402.5

푥 9 64 169 324 529

푓푥 9 128 338 972 1058 2505

ตองหาคาของ휇 = ∑푓푥푁 =

14510 = 14.5เพื่อแทนคาใน

กรณีใชสูตรσ = ∑ f(x − μ)N

∴ 휎 =∑푓(푥 − 휇)

푁 =402.510 = √40.25 = 6.34

กรณีใชสูตร휎 = ∑푓푥푁 − (휇)

∴ σ =250510 − 14.5 = √250.5 − 210.25

∴ σ = √40.25 = 6.34Ans.

67. กําหนดขอมูลประชากรผลการสอบของนักเรียน(ประชากร)


คะแนน 1-7 8-14 15-21 22-28


จงหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(휎)(퐵표푛푢푠 + 1)


คะแนน 1-7 8-14 15-21 22-28 รวม

จํานวน(푓) 2 3 4 1

푥

푓푥

(푥 − 휇)

(푥 − 휇)

푓(푥 − 휇)

푥

푓푥

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี46 퐸푥68กําหนดขอมูลผลการสอบของนักเรียน(ประชากร)มีดังนี้

คะแนน 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25


จงหาสัมประสิทธิ์ของพิสัย(푐표푒푓푓푖푐푖푒푛푡표푓푟푎푛푔푒)


สัมประสิทธิ์ของพิสัย = คาสูงสุด − คาต่ําสุดคาสูงสุด + คาต่ําสุด

∴ สัมประสิทธิ์ของพิสัย = 25.5– 0.525.5 + 0.5 =

2526 = 0.96퐴푛푠.

퐸푥69กําหนดขอมูลผลการสอบของนักเรียน(ประชากร)มีดังนี้

คะแนน 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25


จงหาสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนควอไทล(퐶푄퐷. )

วิธีทําสปส. ของสวนเบี่ยงเบนควอไทล퐶푄퐷. =푄3 − 푄1푄3 + 푄1

จากสูตรหาตําแหนง푅푎푛푘푄 =푥4(푛)

∴ 푅푎푛푘푄 = (10) = 2.5ตกในชั้นที่2

∴ 푄 = 5.5 + 52.5 − 12 = 5.5 + 3.75 = 9.25

푅푎푛푘푄 =34(10) = 7.5ตกในชั้นที่4

สูตร푄 = 퐿 + 푖푅푎푛푘푄 − 퐹

푓

∴ 푄 = 15.5 + 57.5 − 53 = 15.5 + 4.17 = 19.67

จากสูตร퐶푄퐷.= 푄 − 푄푄 + 푄

∴ 퐶푄퐷. =19.67 − 9.2519.67 + 9.25 =

10.4228.92 = 0.36퐴푛푠.

68. กําหนดขอมูลผลการสอบของนักเรียน(ประชากร)มีดังนี้ คะแนน 1-7 8-14 15-21 22-28


จงหาสัมประสิทธิ์ของพิสัย(푐표푒푓푓푖푐푖푒푛푡표푓푟푎푛푔푒)(퐵표푛푢푠 + 1)

69. กําหนดขอมูลผลการสอบของนักเรียน(ประชากร)มีดังนี้

คะแนน 1-7 8-14 15-21 22-28


จงหาสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนควอไทล(퐶푄퐷. )(퐵표푛푢푠 + 1)


คะแนน 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25


จงหาสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(퐶푀퐷. )วิธีทําจากสูตรการหาสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(CMD. )

퐶푀퐷.=푀퐷.휇

ตองสรางตารางทดหาคาตางๆในสูตรที่จะใชกอนดังนี้

คะแนน 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 รวม

จํานวนคน(푓) 1 2 2 3 2 10

푥 3 8 13 18 23

푓푥 3 16 26 54 46 145

|푥 − 휇| 11.5 6.5 1.5 3.5 8.5

푓|푥 − 휇| 11.5 13 3 10.5 17 55

ตองหาคาของ휇กอนพื่อแทนคาในสูตร휇 = ∑푓푥푁

∴ μ =14510 = 14.5

∴ 푀퐷.= ∑푓 푥−휇푁 = 55

10=5.5

แทนคาในสูตร퐶푀퐷.= 푀퐷.휇

∴ 퐶푀퐷.= 5.514.5= 0.379퐴푛푠.


คะแนน 1-7 8-14 15-21 22-28


จงหาสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(퐶푀퐷. )(퐵표푛푢푠 + 1)


คะแนน 1-7 8-14 15-21 22-28



คะแนน 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25


จงหาสัมประสิทธิ์ของความแปรผัน(퐶푉. )วิธีทําตองสรางตารางทดหาคาตางๆในสูตรที่จะใชกอนดังนี้

คะแนน 1 - 5 6 - 10 11 -15 16 - 20 21 - 25 รวม

จํานวน(푓) 1 2 2 3 2 10

푥 3 8 13 18 23

푓푥 3 16 26 54 46 145

(푥 − 휇) -11.5 -6.5 -1.5 3.5 8.5

(푥 − 휇) 132.25 42.25 2.25 12.25 72.25

푓(푥 − 휇) 132.25 84.5 4.5 36.75 144.5 402.5

푥 9 64 169 324 529

푓푥 9 128 338 972 1058 2505

ตองหาคาของ휇กอนพื่อแทนคาในสูตร휇 = ∑푓푥푁

∴ μ =14510 = 14.5

กรณีใชสูตรσ = ∑ f(x − μ)N

∴ 휎 =∑푓(푥 − 휇)

푁 =402.510 = √40.25 = 6.34

กรณีใชสูตร휎 = ∑푓푥푁 − (휇)

∴ σ =250510 − 14.5 = √250.5 − 210.25

∴ σ = √40.25 = 6.34Ans.

จากสูตรการหาสัมประสิทธิ์ของความแปรผัน(퐶푉. )

∴ 퐶푉 =휎휇 =

6.3414.5 = 0.437Ans.


คะแนน 1-7 8-14 15-21 22-28


จงหาสัมประสิทธิ์ของความแปรผัน(퐶푉. )(퐵표푛푢푠 + 1)

วิธีทําตองสรางตารางทดหาคาตางๆในสูตรที่จะใชกอนดังนี้ คะแนน 1-7 8-14 15-21 22-28 รวม


จงหาสัมประสิทธิ์ของความแปรผัน(퐶푉. )

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี49 퐸푥72ถาขอมูลผลการสอบของนักเรียน กลุมตัวอยาง มีดังนี้

คะแนน 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25


จงหาสัมประสิทธิ์ของความแปรผัน(퐶푉. )วิธีทําตองสรางตารางทดหาคาตางๆในสูตรที่จะใชกอนดังนี้

คะแนน 1 - 5 6 - 10 11 -15 16 - 20 21 - 25 รวม

จํานวน(푓) 1 2 2 3 2 10

푥 3 8 13 18 23

푓푥 3 16 26 54 46 145

(푥 − 푥) -11.5 -6.5 -1.5 3.5 8.5

(푥 − 푥) 132.25 42.25 2.25 12.25 72.25

푓(푥 − 푥) 132.25 84.5 4.5 36.75 144.5 402.5

푥 9 64 169 324 529

푓푥 9 128 338 972 1058 2505

ตองหาคาของ푥̅กอนพื่อแทนคาในสูตร푥̅ = ∑푓푥푛

∴ 푥̅ =14510 = 14.5

กรณีใชสูตรsd.= ∑ f(x − 푥̅)n − 1

∴ 푠푑. =∑푓(푥 − 푥̅)

푛 − 1 =402.59 = √44.72 = 6.69

กรณีใชสูตร푠푑. = ∑푓푥 − 푛(푥̅)푛 − 1

∴ sd. =2505 − 10(14.5 )

10 − 1 =2505 − 2102.5

9

∴ sd.=402.59 = √44.72 = 6.69Ans.

จากสูตรการหาสัมประสิทธิ์ของความแปรผัน(퐶푉. )∴ 퐶푉 =

푠푑.푥̅ =

6.6914.5 = 0.46Ans.

72. ถาขอมูลผลการสอบของนักเรียน กลุมตัวอยาง มีดังนี้

คะแนน 1-7 8-14 15-21 22-28






เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี50 73. กําหนดขอมูลผลการสอบของนักเรียน กลุมตัวอยาง มีดังนี้

คะแนน 10-17 18-24 25-31 32-38






74. กําหนดขอมูลผลการสอบของนักเรียน กลุมตัวอยาง มีดังนี้

คะแนน 6-12 13-19 20-26 27-33






เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี51 퐸푥75กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี้

กลุม퐴มีจํานวน5ตัวมีคาเฉล่ียเปน10มีความแปรปรวนเปน3

กลุม퐵มีจํานวน5ตัวมีคาเฉล่ียเปน20มีความแปรปรวนเปน2

เมื่อนําขอมูลทั้งสองกลุมมารวมกันจะมีความแปรปรวนเทาไร

วิธีทําจากโจทยจะไดวา

กลุม퐴มี푁1 = 5, 휇1 = 10, 휎12 = 3

กลุม퐵มี푁2 = 5, 휇2 = 20, 휎22 = 2

วิธีที่1ทําแบบใชสูตร

휎2 =∑ 푥1

2 + ∑ 푥22

푁1 + 푁2−

푁1휇1 + 푁2휇2푁1 + 푁2

2

หาคาของ 푥12 กลุม퐴จากสูตร 푥1

2 = 푛1 휇12 + 휎1

2

∴ 푥 = 5(10 + 3) = 5(103) = 515

หาคาของ 푥22 กลุม퐵จากสูตร 푥2

2 = 푛2 휇22 + 휎2

2

∴ 푥 = 5(20 + 2) = 5(402) = 2010

หาความแปรปรวนรวมจากสูตร

휎2 =∑ 푥1

2 + ∑ 푥22

푁1 + 푁2−

푁1휇1 + 푁2휇2푁1 + 푁2

2

∴ 휎 = 515 + 2010

5 + 5 −5(10) + 5(20)

5 + 5

= 252510 −

15010 =

252510 − 225

∴ 휎 =2525 − 2250

10 =27510 = 27.5퐴푛푠.

75.กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี ้




ทําตามแบบวิธีที่1 (퐵표푛푢푠 + 1)






กลุม퐴มี푁1 = 5, 휇1 = 10, 휎12 = 3

กลุม퐵มี푁2 = 5, 휇2 = 20, 휎22 = 2


휎2 =푁휎1

2 + 푁2휎22

푁1 + 푁2+ 푁1푁2

휇1 − 휇2푁1 + 푁2

2

นําคาจากโจทยมาแทนคาในสูตรไดดังนี้

휎 =(5)(3) + (5)(2)

5 + 5 + (5)(5)10 − 205 + 5

∴ 휎 =15 + 105 + 5 + 25

−1010

= 2.5 + 25 = 27.5퐴푛푠.


휎2 =푁1휎1

2 + 푁2휎22 + 푁1 휇 − 휇1

2+ 푁2 휇 − 휇2

2

푛1 + 푛2

ตองหาคาμจากสูตร휇 =푁1휇1 + 푁2휇2푁1 + 푁2

휇 =푁 휇 + 푁 휇푁 + 푁 =

5(10) + 5(20)5 + 5 = 15

นําคาจากโจทยมาแทนคาในสูตรไดดังนี ้

휎 =5(3) + 5(2) + 5(15 − 10) + 5(15 − 20)

5 + 5

휎 =15 + 10 + 5(25) + 5(25)

10 =27510 = 27.5퐴푛푠.

76. กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี ้




ทําตามแบบวิธีที่2และแบบที่3 (퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี53 77.1กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี้




ทําตามแบบวิธีที่2 (퐵표푛푢푠 + 1)

77.2กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี้




(ทําตามแบบวิธีที่3)(퐵표푛푢푠 + 1)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี54 77.3กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี้(ทําตามแบบวิธีที1่)





77.4กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี(้ทําตามแบบวิธีที1่)





เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี55 77.5กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี้(ทําตามแบบวิธีที2่)





77.6กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี(้ทําตามแบบวิธีที2่)





เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี56 77.7กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี(้ทําตามแบบวิธีที3่)





77.8กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี้(ทําตามแบบวิธีที3่)






กลุมที1่มีจํานวน12ตัวมีคาเฉล่ียเปน10มีความแปรปรวนเปน3

กลุมที2่มีจํานวน8ตัวมีคาเฉล่ียเปน10มีความแปรปรวนเปน5

และเมื่อนําขอมูลทั้งสองกลุมมารวมกันจะมีความแปรปรวนเทาไร


จากสูตรหาความแปรปรวนรวม

휎 =푁 휎 + 푁 휎 +푁 (휇 − 휇 ) + 푁 (휇 − 휇 )

푛 + 푛

ตองหาคาเฉล่ียรวมของคากลางกอนจากสูตรรวม

휇 =푁 휇 + 푁 휇푁 + 푁

∴ 휇 =(12)(10) + (8)(10)

12 + 8 =20020 = 10

นําคาตางๆมาหาความแปรปรวนรวมจากสูตร

휎 =푁 휎 + 푁 휎 +푁 (휇 − 휇 ) + 푁 (휇 − 휇 )

푛 + 푛

=(12)(3) + (8)(5) + 12(10 − 10) + 8(10 − 10)

12 + 8

∴ 휎 =36 + 40 + 0 + 0

20 =7620 = 3.8퐴푛푠.

จะเห็นวาถา휇1 = 휇2แลว휇1 = 휇2 = 휇รวม

∴ 휎 =푁 휎 + 푁 휎 +푁 (휇 − 휇) + 푁 (휇 − 휇)

푛 + 푛

∴ 휎 =푁 휎 + 푁 휎 +푁 (0) + 푁 (0)

푛 + 푛

∴ จะไดวา휎 =푁 휎 + 푁 휎푁 + 푁 สําหรับ휇 = 휇

78.1กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี้กลุมที่1มีจํานวน3ตัวมีคาเฉล่ียเปน20มีความแปรปรวนเปน6 กลุมที่2มีจํานวน7ตัวมีคาเฉล่ียเปน20มีความแปรปรวนเปน8 และเมื่อนําขอมูลทั้งสองกลุมมารวมกันจะมีความแปรปรวนเทาไร

โดยใชสูตร휎2 =푁1휎1

2 + 푁2휎22

푁1 + 푁2 (퐵표푛푢푠 + 1)

78.2กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี(้퐵표푛푢푠 + 1)กลุมที1่มีจํานวน15ตัวมีคาเฉล่ียเปน50มีความแปรปรวนเปน7 กลุมที2่มีจํานวน5ตัวมีคาเฉล่ียเปน50มีความแปรปรวนเปน4 และเมื่อนําขอมูลทั้งสองกลุมมารวมกันจะมีความแปรปรวนเทาไร

โดยใชสูตร휎2 =푁1휎1

2 + 푁2휎22

푁1 + 푁2 (퐵표푛푢푠 + 1)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี58 78.3กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี(้퐵표푛푢푠 + 1)

กลุมที่1มีจํานวน20ตัวมีคาเฉล่ียเปน8มีความแปรปรวนเปน4



78.4กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี(้퐵표푛푢푠 + 1)




78.5กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี้(퐵표푛푢푠 + 1)




78.6กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี้(퐵표푛푢푠 + 1)






กลุม퐵มีจํานวน4ตัวมีคาเฉล่ียเปน10และเมื่อนําขอมูล

ทั้งสองกลุมมารวมกันจะมีความแปรปรวนเทากับ15

จงหาวากลุม퐵มีความแปรปรวนเทาใด

วิธีทําจากสูตร 푥2 = 푁(휇2 + 휎2)

ในกลุม퐴จะมี 푥퐴2 = 푁퐴 휇퐴

2 + 휎퐴2

푥 = 푁 (휇 + 휎 ) = 6(5 + 3) = 168

휇 =푁 휇 + 푁 휇푁 + 푁 =

(6)(5) + (4)(10)6 + 4 = 7

∴ 휎 =∑푥 + ∑푥푛 + 푛 −휇

∴ 15 =168 + ∑푥6 + 4 − 7

∴ (15 + 49)(10) = 168 + 푥

∴ 푥 = 640 − 168 = 472

∴ จากสูตร휎 =∑푥푁 − 휇

∴ 휎 =4724 − 10 = 118 − 100 = 18퐴푛푠.

79.1กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี้กลุมที่1มีจํานวน5ตัวมีคาเฉล่ียเปน5มีความแปรปรวนเปน2 กลุมที่2มีจํานวน3ตัวและเมื่อนําขอมูลทั้งสองกลุมมารวมกันจะมีความแปรปรวนเทากับ3.125และคาเฉล่ียรวมเทากับ5จงหาวากลุมที่2มีความแปรปรวนเทาใดและมีคาเฉล่ียเทาไร


เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี60 79.2กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี ้กลุมที่1มีจํานวน4ตัวมีคาเฉล่ียเปน5มีความแปรปรวนเปน2 กลุมที่2มีจํานวน6ตัวมีคาเฉล่ียเปน10และเมื่อนําขอมูลทั้งสองกลุมมารวมกันจะมีความแปรปรวนเทากับ7.4จงหาวากลุมที่2มีความแปรปรวนเทาใด(퐵표푛푢푠 + 2)

79.3กําหนดใหประชากร2กลุมมีขอมูลดังนี้(퐵표푛푢푠 + 2) กลุมที่1มีจํานวน12ตัวมีคาเฉล่ียเปน2มีความแปรปรวนเปน3 กลุมที่2มีจํานวน8ตัวและเมื่อนําขอมูลทั้งสองกลุมมารวมกันจะมี ความแปรปรวนเทากับ8.6และคาเฉล่ียรวมเทากับ4จงหาวากลุมที่2มีความแปรปรวนเทาใดและมีคาเฉล่ียเทาไร

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี61 ®휴Ϊ휴®สําคัญมากๆตองรูและจดจํานําไปใช กําหนดให휇푥 = คาเฉล่ียเลขคณิตของกลุมประชากร푥 휎 = คาความแปรปรวนของกลุมประชากร푥 휇 = คาเฉล่ียเลขคณิตของกลุมประชากร푦 휎 = คาความแปรปรวนของกลุมประชากร푦 ถา푦 = 푎푥 + 푏แลวจะไดวา 1)휇 = 휇 = 푎휇 + 푏 2)휎 = 휎 = 푎 휎

3) 푦 = 푁휇 = 푁휇 = 푁(푎휇 + 푏)

หรือ (푎푥 + 푏) = 푁(푎휇 + 푏)

4)N =∑yμ =

∑(ax + b)(aμ + b)

퐸푥80กําหนดขอมูลประชากร(푥)ให5ตัวคือ1, 2, 5, 8, 9 ใหประชากร푦โดยที่푦 = 푥 + 3 จงหาคาของ휇 และ휎 วิธีทํา

휇 =∑푥푁 =

1+ 2 + 5 + 8 + 95 =

255 = 5

휎 =∑푥푁 − 휇

=1 + 2 + 5 + 8 + 9

5 − 5 =1755 − 25

∴ 휎 = 35 − 25 = 10 1)ขอมูล푦 = 푥 + 3แทนคา푥แลวจะได푦 ∶ 4, 5, 8, 11,12

휇 =∑푦푁 =

4+ 5 + 8 + 11 + 125 =

405 = 8퐴푛푠.

휎 =∑푦푁 − 휇 =

4 + 5 + 8 + 11 + 125 − 8

∴ 휎 =3705 − 64 = 74 − 64 = 10퐴푛푠.

2)ใหประชากร푦โดยที่푦 = 3푥 − 2จงหาคาของ휇 และ휎 ถา푦 = 3푥 − 2แลวขอมูล푦ทั้งหมดคือ1, 4, 13, 22, 25

휇 =∑푦푁 =

1+ 4 + 13 + 22 + 255 =

655 = 13퐴푛푠.

휎 =∑푦푁 − 휇 =

1 + 4 + 13 + 22 + 255 − 13

∴ 휎 =12955 − 169 = 295 − 169 = 90퐴푛푠.

80. กําหนดขอมูลประชากร(푥)ให5ตัวคือ2, 2, 3, 5, 8 จงหาวาถากําหนดใหประชากร푦โดยที่푦 = 2푥 − 3 จงหาคาของ휇 และ휎 (퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี62 퐸푥81ขอมูลประชากร푥มีจํานวน20ตัว

มี휇 = 10มีความแปรปรวน = 5จงหาคาของ

1) 푥

2) (5푥 − 3)

3) 푥

4) (3푥 − 2)


1)จากสูตร 푥 = 푁휇

∴ 푥 = (20)(10) = 200퐴푛푠.

2)จากสูตร (푎푥 + 푏) = 푁(푎휇 + 푏)

(5푥 − 3) = 푁(5휇 − 3)

= 20[5(10) − 3] = 940퐴푛푠.

3)จากสูตร 푥 = 푁(휇 + 휎 )

∴ 푥 = 20(10 + 5) =2100퐴푛푠.

4)จากสูตร 푦 = 푁 휇 + 휎

จากสูตรถาy = ax + bแลวμ = μ = aμ + b

จากสูตรถาy = ax + bแลวσ = σ = a σ

∴ จาก 푦 = 푁 휇 + 휎 และ푦 = 3푥 − 2

แลวจะไดวา (3푥 − 2) = 푁[ (3휇 − 2) + 3 σ ]

∴ (3푥 − 2) = 20[ (3(10) − 2) + 3 (5)]

∴ (3푥 − 2) = 20[784 + 45] = 16580퐴푛푠.

81.1ใหประชากร푥จํานวน10ตัวมีคา휇 = 5 มีความแปรปรวน = 4

จงหาคาของ1) (3푥 − 5)2) (푥 + 3)2

3) (2푥 − 5) 4) (3푥 + 1)

(Bonus+3)

81.2ใหประชากร푥มี (3푥 − 2) = 70, 휇 = 3, 휎 = 2

จงหา1)จํานวนประชากร2)휎2푥−52 3) (2푥 + 1)2


เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี63 퐸푥82ขอมูลชุดหนึ่งมี8ตัวมีคาเฉล่ียเทากับ5

มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ2

จงหาคาของ 푥 + 푥


จากสูตร 푥 = 푁(휇 + 휎 )

∴ 푥 = 8(5 + 2 ) = 8(29) = 232

จากสูตร 푥 = 푁휇

∴ 푥 = (8)(5) = 40

∴ 푥 + 푥 = 232 + 40 = 272퐴푛푠.

퐸푥83ขอมูลชุดหนึ่งมี10ตัวมีคาเฉล่ียเทากับ3


จงหาคาของ (푥 + 3) + (푥 − 2)

วิธีทําจากสูตร (푎푥 + 푏)2 = 푁[ (푎휇푥 + 푏)2 + 푎2σx2]

∴ (푥 + 3) = 푁[(휇 + 3) + 1 σ ]

จากโจทย푁 = 10,휇푥 = 3,휎푥 = 2

∴ (푥 + 3) = 10[(3 + 3) + 2 ]

= 10(81 + 4) = 850

จากสูตร (푎푥 + 푏) = 푁(푎휇 + 푏)

∴ (푥 − 2) = 10(3 − 2) = 10

∴ (푥 + 3) + (푥 − 2)

= 850 + 10 = 860퐴푛푠

82.ขอมูลชุดหนึ่งมี20ตัวมีคาเฉล่ียเทากับ8


จงหาคาของ 푥 + 푥(퐵표푛푢푠 + 2)



จงหาคาของ (2푥 − 3) + (3푥 − 2)



มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ2 ถานําขอมูลทุกตัวบวกดวย5แลวความแปรปรวนจะมีคาเทาไร

วิธีทําให푦เปนขอมูลใหมซึ่ง푦 = 푥 + 5

∴ จากสูตร휎 = 휎 = (푎휎 )

∴ จะไดวา휎 = 휎 = (1휎 ) = 휎

∴ ขอมูลชุดใดๆก็ตามถานําคาคงที่มีบวกเขาหรือลบออกจากคาของ

ขอมูลทุกตัวแลวคาของความแปรปรวนจะไมเปล่ียนแปลง퐴푛푠.


มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ2 ถานําขอมูลทุกตัวคูณดวย3แลวความแปรปรวนจะมีคาเทาไร

วิธีทําให푦เปนขอมูลใหมซึ่ง푦 = 3푥


∴ จะไดวา휎 = 휎 = (3휎 ) = [3(2)] = 36퐴푛푠.


มีความแปรปรวนเทากับ6 ถานําขอมูลทุกตัวคูณดวย2แลวความแปรปรวนจะมีคาเทาไร

วิธีทําให푦เปนขอมูลใหมซึ่ง푦 = 2푥


∴ จะไดวา휎 = 휎 = (2휎 ) = 4휎 = 4(6) = 24퐴푛푠.


มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ5ถานําขอมูลทุกตัวบวกดวย20

แลวความแปรปรวนจะมีคาเทาไร(퐵표푛푢푠 + 1)


มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ5ถานําขอมูลทุกตัวคูณดวย4



มีความแปรปรวนเทากับ6ถานําขอมูลทุกตัวคูณดวย2



มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ5 ถานําขอมูลเกาออก2ตัวคือ12, 8แลวนําขอมูลตัวใหม อีก4ตัวคือ3, 7,1, 9เพิ่มเขาไปในขอมูลชุดนี้ แลวความแปรปรวนของขอมูลใหมจะมีคาเทาไร

วิธีทําถานําขอมูล2ตัวซึ่งมี12, 8ออกแลวเพิ่มเขาไป

อีก4ตัวคือ3,7,1,9แลวจะมีวิธีคําหาความแปรปรวนใหมไดดังนี ้ กลาวคือตองคํานวณหาคาสถิติกอนเปล่ียนและหลังเปล่ียน ∗∗∗∗ กอนการเปล่ียนขอมูลจะมี푁 = 8

และมี 푥 = 푁(휇 + 휎 )

= 8(5 + 2 ) = 8(29) = 232

และมี 푥 = 푁휇 = (8)(5) = 40

∗∗∗∗ หลังการเปล่ียน

จะมีจํานวนขอมูล푁ใหม = 푁เกา− 2 + 4 = 8 + 2 = 10

และมี 푥 ใหม

= 푥 เกา− 12 − 8 + 3 + 7 + 1 + 9

= 232 − 144 − 64 + 9 + 49 + 1 + 81 = 164

∴ 푥 ใหม = 164

และมี 푥 ใหม = 푥 เกา− 12 − 8 + 3 + 7 + 1 + 9

= 40 + 0 = 40

∴ จะมีคา휇ใหม = ∑ 푥 ใหม푁ใหม =

4010 = 4

∴ จะมี휎 ใหม = ∑ 푥ใหม

푁ใหม − (휇ใหม)

=16410 − 4 = 16.4 − 16 = 0.4퐴푛푠.

87.ขอมูลชุดหนึ่งมี10จํานวนมีคาเฉล่ียเทากับ20


ถาเอาขอมูล4จํานวนคือ1,2,5,7ออกจากกลุมขอมูลนี้

แลวนําขอมูลตัวใหมอีก2ตัวคือ5, 10เพิ่มเขาไปในขอมูลชุดนี ้แลวความแปรปรวนของขอมูลใหมจะมีคาเทาไร(퐵표푛푢푠 + 3)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี66 퐸푥88ในการหาคาทางสถิติของผลการสอบของนักเรียน10คน พบวามีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ5มีความแปรปรวนเทากับ3ตอมาตรวจพบวาลงคะแนนผิดโดยที่8ถูกลงเปน5และ2ถูกลงเปน7แลวจงหาความแปรปรวนที่ถูกตองวิธีทํา ขอมูลสถิติกอนแกไข ชุดทีผ่ิดพลาด คือ

푥× = 푁휇 = (10)(5) = 50

푥× = 푁(휇 + 휎 ) = 10(5 + 3) = 280

ขอมูลสถิติหลังการดําเนินการแกไขไดคาตางๆดังนี้

푥√ = 푥× − 5 + 8 − 7 + 2

= 280 − 25 + 64 − 49 + 4 = 274

และ 푥√ = 푥× − 5 + 8 − 7 + 2

= 50 − 5 + 8 − 7 + 2 = 48

∴ 휇√ =∑푥√푁 =

4810 = 4.8

และ휎√2 =∑ 푥√

2

푁− 휇√

2 =274

10− 4.82 = 4.36퐴푛푠.

퐸푥89ขอมูลชุดหนึ่งมีคาสถิติดังนี้

(푥 + 3) = 200, (푥 + 2) = 20

휇 = 2จงหา휎

วิธีทําจากสูตร휎푦2 =∑ 푦2

푁−휇푦

2

∴ 휎 = ∑(푥 + 3)

푁 − (휇 )

จาก (푥 + 3)2 = 200

และ휇푥+3 = 휇푥 + 3 = 2 + 3 = 5

หาคา푁จากสูตร푁 =∑ 푦

휇푦ให푦 = 푥 + 2

∴ 푁 =∑(푥 + 2)휇 =

20휇 + 2 =

202 + 2 = 5

∴ 휎 = 휎 =2005 − (2 + 3) = 40 − 25 = 15퐴푛푠.

88. ในการหาคาทางสถิติของผลการสอบของนักเรียน15คนพบวามีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ10มีความแปรปรวนเทากับ4ตอมาตรวจพบวาลงคะแนนผิด2จํานวนคือ2ถูกบันทึกเปน5 และ8ถูกบันทึกเปน3มีการเพิ่มขอมูลอีก5ตัวคือ1,1,2,2,4 จงหาความแปรปรวนหลังมีการแกไขเปล่ียนแปลงแลว(퐵표푛푢푠 + 2)

89.ขอมูลชุดหนึ่งมีคาสถิติดังนี้

(푥 − 2) = 2180, (푥 + 3) = 300

휇 = 12จงหา휎

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี67 퐸푥90ใหขอมูลชุดหนึ่งมีคาสถิติดังนี้

(푥 − 5) = 220, (푥 − 2) = 40,휇 = 6

จงหาคาของความแปรปรวนของขอมูลทุกตัวที่บวกดวย8

วิธีทําจากสูตร휎푦2 =∑ 푦2

푁− 휇푦

2

∴ 휎 =∑(푥 − 5)

푁 − (휇 − 5)

ตองหาคาตางๆมาแทนในสูตร

จากโจทยจะไดคา (푥 − 5)2 = 220 , 휇푥 = 5

ตองหาคา푁จากสูตร

푁 =∑푦휇 =

∑(푥 − 2)휇 =

40휇 − 2 =

406 − 2 = 10

∴ นําคามาแทนเพื่อหา휎 =∑(푥 − 5)

푁 − (휇 − 5)

∴ 휎 =22010

− (6 − 5) = 22 − 1 = 21

เนื่องจาก휎 = (푎휎 )

∴ 휎 = 휎 ∴ 휎 = 21

∴ 휎 = 휎 = 21퐴푛푠.

90. ใหขอมูลชุดหนึ่งมีคาสถิติดังนี้

(푥 + 3) = 3460, 휇 = 10, (푥 + 5) = 150

จงหาคาของความแปรปรวนของขอมูลทุกตัว

ทีคู่ณดวย2แลวบวกดวย8

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี68 퐸푥91ความยาวของรัศมีวงกลม10วงมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ3"

มีความแปรปรวนเทากับ5"

จงหาวาวงกลมทั้ง10วงจะมีพื้นที่รวมกันเปนเทาไร

วิธีทําขอมูลที่โจทยใหมาเปนขอมูลเกี่ยวกับรัศมี(푟) ∴ 푥 = 푟

푁 = 10, 휇 = 3, 휎 = 5

푥 = 푟 = 푁(휇 + 휎 ) = 10(3 + 5) = 140

พื้นที่วงกลม10วง = 휋푟12 + 휋푟22 + 휋푟3

2 + ⋯+ 휋푟102

= 휋(푟 + 푟 + 푟 +⋯+ 푟 )

= 휋 푟

= 휋(140) = 140휋

≈ 140 227 ≈ 440퐴푛푠.

91. ความยาวของรัศมีวงกลม20วงมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ2"

มีความแปรปรวนเทากับ3"จงหาวาวงกลมทั้ง20วง

มีพื้นที่รวมกันเปนเทาไร(퐵표푛푢푠 + 1)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี69 퐸푥92ขอมูลชุดหนึ่งมีสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푚푑. ) = 30 มีสปส. ของสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푐푚푑. ) = 3

และมี (푥 + 1) = 1250, (푥 − 2) = 80

จงหาคาของความแปรปรวน วิธีทําจาก푐푚푑. = 푚푑.

휇 ∴ 3 =30휇 ∴ 휇 = 10

จาก (푥 − 2) = 푁(휇 − 2)

∴ 푛 =∑(푥 − 2)(휇 − 2) =

8010 − 2 = 10

휎 =∑(푥 + 1)

푁 − (휇 + 1) =125010 − (10 + 1)

∴ 휎 = 125 − 121 = 4퐴푛푠. 퐸푥93ในการสอบวิชาภาษาอังกฤษถาคะแนนสอบของนักเรียนหญิง จํานวน200คนมีความแปรปรวนเทากับ81และมีสปส. ของ การแปรผันเทากับ0.15และคะแนนสอบของนักเรียนชายจํานวน 300คนมีความแปรปรวนเทากับ64และมีสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย 푀퐷.= 80มีสปส. สวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푐푚푑. ) = 2 แลวคาเฉล่ียเลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนนทั้งหมดเปนเทาไรวิธีทํากลุมนักเรียนหญิงมี푁1 = 200, 휎1

2 = 81, 푐푣. = 0.15

∴ จากสูตร푐푣. = 휎휇 ∴ 0.15 =

9휇 ∴ 휇 =

90.15 = 60

นักเรียนชายมี푁2 = 300, 휎22 = 64, 푐푣. = 2, 푚푑 = 80

∴ จากสูตร푐푚푑. = 푚푑휇 ∴ 2 =

80휇 ∴ 휇 =

802 = 40

∴ 휇 =푁 휇 + 푁 휇푁 + 푁 =

200(60) + 300(40)200 + 300

∴ 휇 =12000+ 12000

500 = 48

จากสูตร휎2 =푁1휎1

2 + 푁2휎22

푁1 + 푁2+ 푁1푁2

휇1 − 휇2푛1 + 푛2

2

∴ 휎 =200(81) + 300(64)

200 + 300+ 200(300)

60 − 40300 + 200

∴ 휎 =16200 + 19200

500 + 6000020500

∴ 휎 =3545 + 60000

42500

= 70.8 + 96 = 166.8퐴푛푠.

92. ขอมูลชุดหนึ่งมีสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푚. 푑) = 40 มีสปส. ของสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푐. 푚. 푑) = 5

(푥 + 2) = 2040, (푥 − 3) = 100

จงหาคาของความแปรปรวน(퐵표푛푢푠 + 1) 93. ในการสอบวิชาภาษาอังกฤษถาคะแนนสอบของนักเรียนหญิง จํานวน40คนมีความแปรปรวนเทากับ144และมีสปส. ของ การแปรผันเทากับ1.2และคะแนนสอบของนักเรียนชายจํานวน 10คนมีความแปรปรวนเทากับ81และมีสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย 푀퐷.= 40มีสปส. สวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(푐푚푑. ) = 2แลว

คาเฉล่ียเลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนนทั้งหมดเปนเทาไร(퐵표푛푢푠 + 3)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี70 퐸푥94ใหขอมูลชุดหนึ่งมี20จํานวนมีคาสถิติตางๆดังนี้ (푥 − 푀푒푑. ) = 500

|푥 − 푎| มีคานอยสุดเมื่อ푎 = 5

และ (푥 − 푘) มีคานอยสุดเมื่อ푘 = 8

จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน

วิธีทํา |푥 − 푎| มีคานอยสุดเมื่อ푎 = 푀푒푑.

แสดงวา푀푒푑.= 5

จาก (푥 − 푘) มีคานอยสุดเมื่อ푘 = 휇 ∴ 휇 = 8

∴ แสดงวา휇 = 8

จากสูตร휎푦2 =∑ 푦2

푁− 휇푦

2

휎 =∑(푥 − 5)

20 − (휇 − 5)

=50020 − (8 − 5) = 25 − 9 = 16

∴ 휎 = 4แต휎 = 휎 = 4

∴ 푐푣. =휎휇 =

48 = 0.5퐴푛푠.

94. ขอมูลชุดหนึ่งมี10จํานวนมีคาสถิติตางๆดังนี้ (푥 − 푀푒푑. ) = 300และ

มี |푥 − 푎| มีคานอยสุดเมื่อ푎 = 4

และ (푥 − 푘) มีคานอยสุดเมื่อ푘 = 6

จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน(퐵표푛푢푠 + 2)


คะแนนมาตรฐาน푺풕풂풏풅풂풓풅푺풄풐풓풆 สูตรที่ใชในการหาคาคะแนนมาตรฐานไดแก푍 =

푥 − 휇휎 หรือ푍 = 푥 − 푥̅

푠푑. ขอสังเกตเกี่ยวกับคาคะแนนมาตรฐานมีดังนี้1)푍จะเปนคาบวกหรือคาลบหรือ0ก็ได2)โดยทั่วไปคา푍จะอยูระหวาง − 3กับ33)휇 = 0และ휎 = 1เสมอ 4) 푍 = 0และ 푧 = 푛 เสมอ

∵ 푍 = 푁(휇 + 휎 ) = 푁(0 + 1) = 푁 퐸푥95จงหาคะแนนมาตรฐานของขอมูล2, 4, 5, 6, 8และหาคา휇푥, 휎푥 , 휎푧2, 휇푧 , 푧2

วิธีทํา 휇 =

∑푥푛 =

2 + 4 + 5 + 6 + 85 =

255 = 5퐴푛푠.

휎 = ∑ 푥푛 − 휇

= 2 + 4 + 5 + 6 + 8

5 − 5

= 4 + 16 + 25 + 36 + 64

5 − 25 = 29 − 25 = 4 ∴ 휎 = 2퐴푛푠.

∴ 푥 = 2ทําเปน푍ได푧 =푥 − 휇휎 =

2 − 52 = −1.5


4 − 52 = −0.5


5 − 52 = 0


6 − 52 = 0.5


8 − 52 = 1.5

푍 = 푧 + 푧 + 푧 + 푧 + 푧 = −1.5 − 0.5 + 0 + 0.5 + 1.5 = 0

∴ 휇 =∑푧푛 =

푧 + 푧 + 푧 + 푧 + 푧5 =

05 = 0퐴푛푠.

푧 = (−1.5) + (−0.5) + 0 + 0.5 + 1.5

푧 = 2.25 + 0.25 + 0 + 0.25 + 2.25 = 5

∴ 푧 = 5 = 푛 퐴푛푠.

휎 =∑ 푧푁 − 휇 =

55 − 0 = 1퐴푛푠.

95. กําหนดขอมูลกลุมหนึ่งมี5จํานวนดังนี้1, 2, 5, 8, 9 จงหาคะแนนมาตรฐานของขอมูลแตละตัวและหาคา휇푥, 휎푥 , 휎푧2, 휇푧, 푧2 (푩풐풏풖풔 + ퟑ)


การทําโจทยเร่ืองน้ีพอสรุปแนวทางไดดังน้ีจากสูตร푍 = 푥 − 푢

휎 มีตัวแปร4ตัวคือ푍, 푋, 휇, 휎 แนวทางทีퟏถาบอกคมาใหퟑคาสามารถหาคาที่ퟒไดกลาวคือ 1)บอกคา푥, 휇, 휎สามารถหาคา푧ได 퐸푥96ในการสอบครั้งหนึ่งมีคะแนนเฉล่ียเทากับ50คะแนน มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ5ถานายพิชัยสอบได60คะแนน จงหาวานายพิชัยจะสอบไดมีคะแนนมาตรฐานเทาไร

วิธีทําจากโจทยสรุปไดวา푥 = 60, 휇 = 50, 휎 = 5

∴ 푧 = 푥 − 휇휎 =

60 − 505 =

105 = 2퐴푛푠.

2)บอกคา푧, 휇, 휎สามารถหาคา풙ได 퐸푥97ในการสอบครั้งหนึ่งมีคะแนนเฉล่ียเทากับ40คะแนน มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ30ถานายพิชัยสอบไดคิดเปน คะแนนมาตรฐานเทากับ2จงหาวานายพิชัยสอบไดกี่คะแนนวิธีทําจากโจทยสรุปไดวา휇 = 40, 휎 = 30, 푧 = 2 ส่ิงที่ตองหาคือ푥ที่นํามาแปลงคาเปน푧 = 2

∴ จากสูตร푧 = 푥 − 휇휎

∴ 2 = 푥 − 4030 ∴ 60 = 푥 − 40

∴ 푥 = 100퐴푛푠. 3)บอกคา푧, 푥, 휇สามารถหาคา흈ได 퐸푥98 ในการสอบครั้งหนึ่งมีคะแนนเฉล่ียเทากับ20คะแนน ถานายสมชายสอบได50คะแนนคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ3จงหาคาของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานวิธีทํา จากโจทยสรุปไดวา 푥 = 50,푧 = 3, 휇 = 20


∴ 3 = 50 − 20

휎 ∴ 3휎 = 30

∴ 휎 = 10퐴푛푠. 4)บอกคา푧, 푥, 휎สามารถหาคา흁ได 퐸푥99ในการสอบครั้งหนึ่งคาความแปรปรวนเทากับ25 ถานายทวีสอบได50คะแนนคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ3จงหาวาคะแนนเฉล่ียมีคาเทาใด

วิธีทําจากโจทยสรุปไดวา휎2 = 25, 푥 = 50,푧 = 3 ∴ จากสูตร푧 = 푥 − 휇

휎

∴ 3 =50 − 휇5 ∴ 15 = 50 − 휇

∴ 휇 = 35퐴푛푠.

96. ในการสอบครั้งหนึ่งมีคะแนนเฉล่ียเทากับ25คะแนน มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ3ถานายพรสอบได28คะแนน จงหาวานายพรจะสอบไดคะแนนมาตรฐานเทาไร(푩풐풏풖풔 + ퟏ)

97.ในการสอบครั้งหนึ่งมีคะแนนเฉล่ียเทากับ50คะแนน มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ8ถานายพิชัยสอบไดคิดเปน คะแนนมาตรฐานเทากับ − 2.1 จงหาวานายพิชัยสอบไดกี่คะแนน 98. ในการสอบครั้งหนึ่งมีคะแนนเฉล่ียเทากับ25คะแนน ถานายสมชายสอบได13คะแนนคิดเปนคะแนนมาตรฐาน เทากับ − 1.2จงหาคาของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 99.ในการสอบครั้งหนึ่งคาความแปรปรวนเทากับ16 ถานายทวีสอบได20คะแนนคิดเปนคะแนนมาตรฐาน เทากับ − 2จงหาวาคะแนนเฉล่ียมีคาเทาใด

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี73 แนวทางทีퟐใชหลักเกณฑที่วาในขอมูลชุดเดียวกัน ใชคาμ, 휎เปนคาคงที่ที่ใชรวมกันได퐸푥100ในการสอบครั้งหนึ่งมีคะแนนเฉล่ียเทากับ15คะแนนถานายพรสอบได11คะแนนคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ − 2ถานายสมศักดิ์สอบได18คะแนนแลวจงหาวานายสมศักดิ์สอบไดเปนคะแนนมาตรฐานเทาไรและถานภาพรสอบไดคะแนนมาตรฐานเทากับ2.5แลวนภาพรจะสอบไดกี่คะแนน วิธีทําจากโจทยสรุปไดวา푥 = 11, 푧 = −2, 휇 = 15


∴ −2 = 11 − 15

휎

∴ −2휎 = −4 ∴ 휎 = 2 ในขอมูลชุดเดียวกันจะมีคา휇และ휎เปนคาคงที่

ดังนั้นถา푥 = 18แลวคิดเปน푍 =18 − 15

2= 1.5퐴푛푠.

ดังนั้นถา푍 = 2.5 ∴ 2.5 =푥 − 15

2

∴ 5 = 푥 − 15 ∴ 푥 = 20 นั่นก็คือนภาพรจะสอบได20คะแนน퐴푛푠.

퐸푥101ในการสอบครั้งหนึ่งคาความแปรปรวนเทากับ25 ถานายทวีสอบได50คะแนนคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ3จงหาวาคะแนนเฉล่ียมีคาเทาใดและถาสมพรสอบได25คะแนนแลวสมพรจะสอบไดคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทาไรและชัยพรสอบได คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ − 1แลวชัยพรสอบไดกี่คะแนน วิธีทําจากโจทยสรุปไดวา휎2 = 25, 푥 = 50,푧 = 3


∴ 3 =50 − 휇5 ∴ 15 = 50 − 휇

∴ 휇 = 35 ในขอมูลชุดเดียวกันจะมีคา휇และ휎เปนคาคงที่ดังนั้นถา푥 = 25แลวคิดเปน푍 = 25−35

5= −2

ดังนั้นสมพรจะสอบไดคะแนนมาตรฐานเทากับ − 2퐴푛푠.

และถา푍 = −1 ∴ จากสูตร푧 = 푥 − 휇

휎

∴ −1 =푥 − 355 ∴ −5 = 푥 − 35

∴ นั่นก็คือชัยพรจะสอบได30คะแนน퐴푛푠.

100.ในการสอบครั้งหนึ่งมีคะแนนเฉล่ียเทากับ23คะแนน ถานายพรสอบได17คะแนนคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ − 2ถานายสมศักดิ์สอบได29คะแนนแลวจงหาวานายสมศักดิ์ สอบไดเปนคะแนนมาตรฐานเทาไรและถานภาพรสอบไดคะแนน มาตรฐานนอยกวาสมศักดิ์1.5คะแนน แลวนภาพรจะสอบไดกี่คะแนน(푩풐풏풖풔 + ퟏ)

101.ในการสอบครั้งหนึ่งคาความแปรปรวนเทากับ16ถานายทวีสอบได23คะแนนคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ − 2จงหาวาคะแนนเฉล่ียมีคาเทาใดและถาสมพรสอบได35คะแนนแลวสมพรจะสอบไดคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทาไรและชัยพรสอบไดคิด

เปนคะแนนมาตรฐานจะเทากับ2เทาของคะแนนมาตรฐานของสมพร แลวชัยพรสอบไดกี่คะแนน(푩풐풏풖풔 + ퟐ)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี74 3)บอกคา푋, 푍มาให2ครั้งคือ푥 , 푧 และ푥 , 푧 สามารถหาคา휎,휇ได

푧 =푥 − 휇휎 ∴ 푥 − 휇 = 휎푧 …… (1)

푧 =푥 − 휇휎 ∴ 푥 − 휇 = 휎푧 …… (2)

(1) − (2), ∴ (푥 − 휇) − (푥 − 휇) = 휎. 푧 − 휎. 푧 ∴ 푥 − 푥 = (푧 − 푧 )(휎)

∴ 휎 = 푥 − 푥푧 − 푧

퐸푥102ในการสอบของนักเรียนหองหนึ่งพบวานายพรชัยสอบ ไดคะแนน5คะแนนทําเปนคะแนนมาตรฐานได − 1และ นายพรศักดิ์สอบได20คะแนนทําเปนคะแนนมาตรฐานได2จงหาวา 1)นายสมพรสอบได14คะแนนแลวจะคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทาไร 2)นามสมศักดิ์สอบไดคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ− 2 แลวนายสมศักดิ์สอบไดกี่คะแนน 3)ถาคะแนนนายเชิงชายมากกวาคะแนนของนายเชิงชัย7คะแนนแลว คะแนนมาตรฐานของนายเชิงชายมากกวานายเชิงชัยเทาไร วิธีทําจากโจทยจะไดวา 푥 = 5, 푍 = −1,푥 = 20, 푍 = 2

จากสูตร휎 = 푥2 − 푥1푧2 − 푧1

∴ 휎 = 20 − 52 − (−1) =

153 = 5

นําคาσที่ไดไปหาคาμจากสูตร푧1 = 푥1 − 휇

휎

∴ −1 = 5 − 휇5 ∴ 휇 = 10

คาμ, 휎ที่หาไดจะเปนคาคงที่ที่ขอมูลทุกตัวนําไปใชหาคา푍ได 1)ถา푥 = 14

∴ 푧 = 푥 − 휇휎 =

14 − 105 = 0.8퐴푛푠.

2)ถา푧 = −2

∴ −2 =푥 − 105 ∴ 푥 = 0퐴푛푠.

3)ถา푥 − 푥 = 7

∴ จากสูตร푧 − 푧 =푥 − 푥

휎 =75 = 1.2퐴푛푠.

102. ในการสอบของนักเรียนหองหนึ่งพบวานายแดงสอบได9คะแนน ทําเปนคะแนนมาตรฐานได − 1.5และนายขาว สอบไดคะแนน25คะแนนทําเปนคะแนนมาตรฐานได2.5 จงหาวา 1)นายเขียวได21คะแนนแลวจะคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทาไร 2)นามดําสอบไดคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ− 1 แลวนายดําสอบไดกี่คะแนน 3)ถาคะแนนมาตรฐานของนายพินิจมากกวาคะแนนมาตรฐาน ของนายสําเริง3คะแนนแลวนายพินิจไดคะแนนมากกวา นายสําเริงกี่คะแนน(푩풐풏풖풔 + ퟐ)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี75 퐸푥103ในการสอบของนักเรียนหองหนึ่งพบวานายแสงชัยสอบ ไดคะแนนมากกวานายสุริยาอยู16คะแนนแตถาคิดเปนคะแนน มาตรฐานแลวนายแสงชัยจะไดมากกวาอยู4คะแนนและนายทวีศักดิ์ สอบไดคะแนน21คะแนนทําเปนคะแนนมาตรฐานได1.5 จงหาวาถานายแสงชัยสอบได23คะแนนแลวนายสุริยา จะไดคะแนนมาตรฐานเทาไร วิธีทําจากโจทยจะไดวา 푥 − 푥 = 16,푍 − 푍 = 4,푥 = 21,푍 = 1.5


∴ 휎 = 16

4= 4

จากสูตร푧3 = 푥3 − 휇

휎 ∴ 1.5 =

21 − 휇

4 ∴ 휇 = 15

∴ ถานายแสงชัยได23คะแนนคิดเปนคะแนนมาตรฐานไดดังนี ้


휎 ∴ 푧1 =

23 − 15

4= 2

∴ นายสุริยาจะไดคะแนนมาตรฐานเทากับ2 − 4 = −2퐴푛푠. 퐸푥104ในการสอบของนักเรียนหองหนึ่งพบวาถาคะแนนมาตรฐาน ตางกัน2คะแนนแลวคะแนนที่สอบไดจะตางกัน8คะแนนซึ่งในการ สอบครั้งนี้มีสัมประสิทธิ์ของความแปรผันเทากับ0.25จงหาวา ถาคะแนนตางกัน12คะแนนแลวคะแนนมาตรฐานจะตางกันเทาไร และถาสอบได10คะแนนแลวจะคิดเปนคะแนนมาตรฐานเทาไร วิธีทําจากโจทยจะไดวา푍1 − 푍2 = 2, 푥1 − 푥2 = 8, 푐푣 = 0.25, 푥 − 푥 = 12, 푥 = 10, 푍 =?


∴ 휎 = 8

2= 4

푐푣 =휎휇 ∴ 0.25 =

4휇 ∴ 휇 = 16

จากสูตร푧3 − 푧4 = 푥3 − 푥4

휎 ∴ 푧3 − 푧4 =

12

4= 3퐴푛푠.


휎

∴ 푧 = 10 − 16

4 ∴ 푧 = −1.5퐴푛푠.

103. ในการสอบของนักเรียนหองหนึ่งพบวานายดําสอบได คะแนนมากกวานายขาวอยู30คะแนนแตถาคิดเปน คะแนนมาตรฐานแลวนายดําจะไดมากกวาอยู3คะแนน และนายแดงสอบไดคะแนน20คะแนนทําเปนคะแนน มาตรฐานได − 1จงหาวาถานายดําสอบได45คะแนน แลวนายขาวจะไดคะแนนมาตรฐานเทาไร

(푩풐풏풖풔 + ퟐ) 104. ในการสอบของนักเรียนหองหนึ่งพบวาถาคะแนนมาตรฐาน ตางกัน4คะแนนแลวคะแนนที่สอบไดจะตางกัน20คะแนน ซึ่งในการสอบครั้งนี้มีสัมประสิทธิ์ของความแปรผันเทากับ0.2 จงหาวาถาคะแนนตางกัน45คะแนนแลวคะแนนมาตรฐาน จะตางกันเทาไรและถาสอบได12คะแนนแลวจะคิดเปนคะแนน มาตรฐานเทาไร(푩풐풏풖풔 + ퟐ)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี76 퐸푥105ในการสอบของนักเรียนหองหนึ่งซึ่งมีนักเรียน20คนพบวา ถาคะแนนมาตรฐานตางกัน1.75แลวคะแนนที่สอบไดจะตางกัน 7คะแนนซึ่งในการสอบครั้งนี้มีสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย เทากับ0.625และมีสวนเบี่ยงเบนเฉล่ียเทากับ5

ถา푥푖เปนคะแนนสอบของนักเรียนจงหา 푥푖2

20

푖=1

วิธีทําจากโจทยจะไดวา푛 = 20 푍 − 푍 = 1.75,푥 − 푥 = 7, 푐푚푑 = 0.625,푚푑 = 5


∴ 휎 = 7

1.75= 4

จากสูตร푐푚푑 = 푚푑

휇 ∴ 0.625 =

5

휇 ∴ 휇 = 8

푥 = 푛(휇 + 휎 ) = 20(4 + 8 ) = 1600퐴푛푠.

퐸푥106ในการสอบของนักเรียนหองหนึ่งจํานวน25คนพบวา ถาคะแนนมาตรฐานตางกัน1.4แลวคะแนนที่สอบไดจะตางกัน 7คะแนนซึ่งในการสอบครั้งนี้มีสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบน มาตรฐานเทากับ0.25จงหาคะแนนรวมของนักเรียนทั้งหมด วิธีทําจากโจทยจะไดวา푛 = 25 푍 − 푍 = 1.4, 푥 − 푥 = 7, 푐푣 = 0.25


∴ 휎 = 7

1.4= 5

จากสูตร푐푣 = 휎

휇 ∴ 0.25 =

5

휇 ∴ 휇 = 20

푥 = 푛휇 = 25(20) = 500퐴푛푠.

105. ในการสอบของนักเรียนหองหนึ่งซึ่งมีนักเรียน25คนพบวา ถาคะแนนมาตรฐานตางกัน1.2แลวคะแนนที่สอบไดจะตางกัน 12คะแนนซึ่งในการสอบครั้งนี้มีสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉล่ีย เทากับ1.5และมีสวนเบี่ยงเบนเฉล่ียเทากับ45

ถา푥푖เปนคะแนนสอบของนักเรียนจงหา 푥푖2

25

푖=1

106.ในการสอบของนักเรียนหองหนึ่งจํานวน25คนพบวา ถาคะแนนมาตรฐานตางกัน3แลวคะแนนที่สอบไดจะตางกัน 15คะแนนซึ่งในการสอบครั้งนี้มีสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบน

มาตรฐานเทากับ1

3จงหาคะแนนรวมของนักเรียนทั้งหมด

(푩풐풏풖풔 + ퟐ)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี77 퐸푥107ในการสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน40คนซึ่งมีนักเรียน ชาย15คนผลการสอบปรากฎวาคะแนนเฉล่ียของนักเรียนชายและ นักเรียนหญิงมีคาเทากันคะแนนสอบของนักเรียนชายมีความแปรปรวน เทากับ16นายสมชายและนางสาวบังอรเปนนักเรียนหองนี้สมชาย สอบได12คะแนนบังสอบได10คะแนนคิดเปนคะแนนมาตรฐาน ของกลุมตนเองไดเทากันคือ − 2จงหาความแปรปรวนของ คะแนนสอบของนักเรียนหองนี้ วิธีทําจากโจทยจะไดวา 푛 = 15,푛 = 40 − 15 = 25 휇 = 휇 ,휎 = 16, 푥 = 12,푥 = 10,푧 = 푧 = −2

จากสูตร푍 =푥 − 휇

휎

∴ 푧 =푥 − 휇휎

∴ −2 =12 − 휇

4 ∴ 휇 = 20

∴ 휇 = 휇 = 20

จากสูตร푧2 =푥2 − 휇2휎2

∴ −2 =10 − 20휎 ∴ 휎 = 5

จากสูตร휎1+22 = 푛1휎1

2 + 푛2휎22

푛1 + 푛2เมื่อ휇1 = 휇2

∴ 휎 = 15(16) + 25(25)

15 + 25

=240 + 626

40 =86540 = 21.625퐴푛푠.

107. ในการสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน50คนซึ่งมีนักเรียน ชาย20คนผลการสอบปรากฎวาคะแนนเฉล่ียของนักเรียนชายและ นักเรียนหญิงมีคาเทากันคะแนนสอบของนักเรียนชายมีความแปร ปรวนเทากับ25นายสมชายและนางสาวบังอรเปนนักเรียนหองนี้ สมชายสอบได40คะแนนบังอรสอบได38คะแนนคิดเปนคะแนน มาตรฐานของกลุมตนเองไดเทากันคือ2จงหาความแปรปรวนของ คะแนนสอบของนักเรียนหองนี้(퐵표푛푢푠 + 3)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี78 퐸푥108ในการสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน40คนซึ่ง มีคาเฉล่ียเทากับ20คะแนนวิชัยสอบได10คะแนนทําเปนคะแนน มาตรฐานได − 2ถาครูเพิ่มคะแนนใหนักเรียนทุกคนคนละ5คะแนน จงหาวาคะแนนมาตรฐานของวิชัยจะเปล่ียนไปเทาไร

วิธีทําจากสูตร푍 =푥 − 휇

휎

∴ −2 =10 − 20

휎 ∴ 휎 = 5

จาก휇 = 휇 + 5 = 20 + 5 = 25

จาก휎푥+5 = 휎푥 = 5

∴ 푍 = (10 + 5) − (20 + 5)

5 = −2เทาเดิม คาคะแนนมาตรฐานไมเปล่ียนแปลง퐴푛푠. 퐸푥109ในการสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน50คนซึ่งมีคาเฉล่ีย เทากับ30คะแนนวิชัยสอบได26คะแนนทําเปนคะแนนมาตรฐาน ไดเทากับ − 1ถาครูเพิ่มคะแนนใหนักเรียนทุกคนคนละ2เทา ของคะแนนเดิมจงหาวาคะแนนมาตรฐานของวิชัยจะเปล่ียนไปเทาไร

วิธีทําจากสูตร푍 =푥 − 휇

휎 ∴ −1 =

26 − 30

휎 ∴ 휎 = 4

จาก휇 = 2휇 = 2(30) = 60 จาก휎2푥 = 2휎푥 = 2(4) = 8 จากคะแนนเดิม26จะไดคะแนนใหมเปน2(26) = 52

∴ 푍 = 52 − 60

8 = −1เทาเดิม

คาคะแนนมาตรฐานไมเปล่ียนแปลง퐴푛푠.

108. ในการสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน50คนซึ่ง มีคาเฉล่ียเทากับ30คะแนนวิชัยสอบได40คะแนนทําเปนคะแนน มาตรฐานได2ถาครลูดคะแนนนักเรียนทุกคนคนละ2คะแนน จงหาวาคะแนนมาตรฐานของวิชัยจะเปล่ียนไปเทาไร (퐵표푛푢푠 + 3)

109. ในการสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน50คนซึ่งมีคาเฉล่ีย เทากับ40คะแนนวิชัยสอบได35คะแนนทําเปนคะแนนมาตรฐาน ไดเทากับ − 1ถาครูเพิ่มคะแนนใหนักเรียนทุกคนคนละ3เทา ของคะแนนเดิมแลวบวกเพิ่มอีก5คะแนน จงหาวาคะแนนมาตรฐานของวิชัยจะเปล่ียนไปเทาไร(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี79 ลักษณะกราฟของขอมูล

จากตารางขอมูลการสอบของนักเรียนหองAและB

เรานํามาสรางกราฟแทงไดดังนี้

และสรางเปนกราฟเชิงเสนไดดังนี้

กราฟเหลานี้จะแสดงจํานวนขอมูลในชวงคะแนนตางๆโดยวัดจากความสูงของกราฟ กราฟเหลานี้มิใชกราฟปกติเสนกราฟ퐴มีลักษณะที่เรียกวากราฟเบขวา(โยซาย)กลาวคือ 푚표푑푒 < 푚푒푎푛 < 푚푒푑푖푎푛เสนกราฟ퐴มีลักษณะที่เรียกวากราฟเบซาย(โยขวา)กลาวคือ 푚푒푑푖푎푛 < 푚푒푎푛 < 푚표푑푒เสนกราฟโคงปกติ푁표푟푚푎푙퐶푢푟푣푒 푚푒푑푖푎푛 = 푚푒푎푛 = 푚표푑푒

พื้นที่ใตโคงปกติของขอมูลโคงปกติมีคุณสมบัติดังนี้1)สมการของกราฟ푛표푟푚푎푙퐶푢푟푣푒푓(푥) =

√푒 ,푒 ≈ 2.718,휋 ≈ 3.1416

2)휇 = 푚푒푑푖푎푛 = 푚표푑푒 = 푎, 푎 ∈ 푅และ휎 > 0 3)สมมุติใหพื้นที่ใตโคงปกติมีคาเทากับ1ตารางหนวยเสมอพื้นที่ซีกซาย = พื้นที่ซีกขวาเสมอ = 0.5 การเปรียบเทียบกราฟของโคงปกติของขอมูล2ชุด

กรณีที1่휇 = 휇 และ휎 < 휎 กรณีที2่휇1 < 휇2และ휎1 = 휎2

กรณีที่3휇 < 휇 และ휎 < 휎

กรณีที่4휇1 < 휇2และ휎1 > 휎2

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-1 -0.5 0.5 1 1.5

2

1.5

1

0.5

-1 1

0.5

-1 1 2

1

0.5

-1 1 2

1

0.5

-1 1 2


พื้นที่ใตโคงปกติของคะแนนมาตรฐาน มีคุณสมบัติดังนี้

1)สมการของกราฟของคะแนนมาตรฐาน(푍)จะเปนโคงปกติซึ่งมี휇 = 푚푒푑푖푎푛 = 푚표푑푒 = 0, 휎 = 1 มีสมการของกราฟดังนี้

푓(푥) =1√2휋

푒 ,푒 ≈ 2.718, 휋 ≈ 3.1416

2)สมมุติใหพื้นที่ใตโคงปกติจะมีคาเทากับ1เสมอพื้นที่ซีกซาย = พื้นที่ซีกขวาเสมอ = 0.5

3)พื้นที่ใตโคงปกติที่ควรทราบ

4)ถา푧 = 2จะมี퐴 = 0.4773หมายถึง พื้นที่ใตโคงปกติที่วัดจากแกนกลางถึงระยะ푍 = 2จะมีพื้นที่เทากับ0.4773จากพื้นที่ใตโคงทั้งหมด1หนวย

�

5)คาพื้นที่ที่ใหจากตารางจะเปนคาของพื้นที่ที่วัดจากแกนกลางถึงคา푍ที่เปนคาบวกเทานั้นคา푍ที่เปนคาลบจะมีพื้นที่สมมาตรกับ

พื้นที่ของคา푍ที่เปนคาบวกเสมอเชน푍 = 2.0มี퐴 = 0.4773แลว푍 = −2.0จะมี퐴 = 0.4773เชนเดียวกัน

6)ความหมายของ푍 = 2,퐴 = 0.4773หมายความวาจากพื้นที่1หนวย(푁 = 1) จะมีพื้นที่ที่วัดจากแกนกลาง(푍 = 0)ถึงคะแนน푍 = 2 มีคาเทากับ0.4773ตัวและถาขอมูลมีทั้งหมดมี10,000ตัว แลวจํานวนขอมูลที่มีคาตั้งแต푍 = 0ถึง푍 = 2 จะมขีอมูลทั้งหมดเทากับ0.4773 × 10000 = 4773จํานวน

0.6

0.4

0.2

-0.2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-0.6

-1 -0.5 0.5 1

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี81 퐸푥110กําหนดให푍 = 0.5,퐴 = 0.1915푍 = 0.8,퐴 = 0.2881푍 = 1.2,퐴 = 0.3849푍 = 1.8,퐴 = 0.4641푍 = 2.35, 퐴 = 0.4906푍 = 3,퐴 = 0.4986จงหาพื้นที่ใตโคงปกติของคะแนนมาตรฐานในชวง0.5 ≤ 푍 ≤ 1.8


∴ 퐴(0.5 ≤ 푍 ≤ 1.8)

= 퐴(0 ≤ 푧 ≤ 1.8) − 퐴(0 ≤ 푧 ≤ 0.5)

= 0.4641 − 0.1915 = 0.2726퐴푛푠.

퐸푥111กําหนดให푍 = 0.5,퐴 = 0.1915푍 = 0.8,퐴 = 0.2881푍 = 1.2,퐴 = 0.3849푍 = 1.8,퐴 = 0.4641푍 = 2.35, 퐴 = 0.4906푍 = 3,퐴 = 0.4986จงหาพื้นที่ใตโคงปกติในชวง − 1.8 ≤ 푍 ≤ 2.35วิธีทํา

� ∴ 퐴(−1.8 ≤ 푍 ≤ 2.35)

= 퐴(−1.8 ≤ 푧 ≤ 0) + 퐴(0 ≤ 푧 ≤ 2.35)

= 0.4641 + 0.4906 = 0.9547퐴푛푠.

110.กําหนดให푍 = 0.45퐴 = 0.1736, 푍 = 0.72퐴 = 0.2642 푍 = 1.3퐴 = 0.4032, 푍 = 1.5퐴 = 0.4332 푍 = 2.4퐴 = 0.4918, 푍 = 3퐴 = 0.4986 จงหาพื้นที่ใตโคงปกติของ0.72 ≤ 푍 ≤ 1.5(퐵표푛푢푠 + 1)

111.กําหนดให푍 = 0.45퐴 = 0.1736, 푍 = 0.72퐴 = 0.2642 푍 = 1.3퐴 = 0.4032, 푍 = 1.5퐴 = 0.4332 푍 = 2.4퐴 = 0.4918, 푍 = 3퐴 = 0.4986 จงหาพื้นที่ใตโคงปกติของ − 0.45 ≤ 푍 ≤ 2.4(퐵표푛푢푠 + 1)

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-1 -0.5 0.5 1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-1 -0.5 0.5 1

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี82 퐸푥112กําหนดให푍 = 0.5,퐴 = 0.1915푍 = 0.8,퐴 = 0.2881푍 = 1.2,퐴 = 0.3849푍 = 1.8,퐴 = 0.4641푍 = 2.35, 퐴 = 0.4906푍 = 3,퐴 = 0.4986จงหาพื้นที่ใตโคงปกติในชวง − 3 ≤ 푍 ≤ −1.2วิธีทํา

∴ 퐴(−3 ≤ 푍 ≤ −1.2)

= 퐴(−3 ≤ 푧 ≤ 0) − 퐴(−1.2 ≤ 푧 ≤ 0)

= 0.4986 − 0.3849 = 0.1137퐴푛푠. 퐸푥113กําหนดให푍 = 0.5,퐴 = 0.1915푍 = 0.8,퐴 = 0.2881푍 = 1.2,퐴 = 0.3849푍 = 1.8,퐴 = 0.4641푍 = 2.35, 퐴 = 0.4906푍 = 3,퐴 = 0.4986จงหาพื้นที่ใตโคงปกติในชวง푍 < −2.35หรือ푍 > −1.8 วิธีทํา

∴ 퐴(푍 < −2.35หรือ푍 > −1.8)

= [퐴(푧 ≤ 0) − 퐴(−2.35 ≤ 푧 ≤ 0)]

+퐴(−1.8 ≤ 푧 ≤ 0) + 퐴(푧 ≥ 0)

= [(0.5 − 0.4906)] + (0.4641) + (0.5)

= (0.0094) + 0.4641 + 0.5

∴ 퐴(푍 < −1.8หรือ푍 > −0.5) = 0.9735퐴푛푠.

112.กําหนดให푍 = 0.45퐴 = 0.1736, 푍 = 0.72퐴 = 0.2642 푍 = 1.3퐴 = 0.4032, 푍 = 1.5퐴 = 0.4332 푍 = 2.4퐴 = 0.4918, 푍 = 3퐴 = 0.4986 จงหาพื้นที่ใตโคงปกติของ − 2.4 ≤ 푍 ≤ −1.3(퐵표푛푢푠 + 1) 113.กําหนดให푍 = 0.45퐴 = 0.1736, 푍 = 0.72퐴 = 0.2642 푍 = 1.3퐴 = 0.4032, 푍 = 1.5퐴 = 0.4332 푍 = 2.4퐴 = 0.4918, 푍 = 3퐴 = 0.4986 จงหาพื้นที่ใตโคงปกติของ푍 < −1.5หรือ푍 > −0.72 (퐵표푛푢푠 + 1)

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-1 -0.5 0.5 1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-1 -0.5 0.5 1

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี83 퐸푥114ในการสอบของนักเรียน20000คนพบวามีคาสถิติดังนี ้휇 = 32, 휎 = 5 ถาครูผูตัดเกรดดังนี ้เกรด퐸จะตองมีคะแนนอยูในชวง0 ≤ 푥 < 22 เกรด퐷จะตองมีคะแนนอยูในชวง22 ≤ 푥 < 27 เกรด퐶จะตองมีคะแนนอยูในชวง27 ≤ 푥 ≤ 43 เกรด퐵จะตองมีคะแนนอยูในชวง43 < 푥 ≤ 46 เกรด퐴จะตองมีคะแนนอยูในชวง푥 > 46 จงหาวาแตละเกรดจะมีนักเรียนกี่คน(ให푍 = 1퐴 = 0.3413,푍 = 2퐴 = 0.4773 푍 = 2.2퐴 = 0.4861,푍 = 2.8퐴 = 0.4974)วิธีทําแปลงคะแนนที่เปนจุดแบงเกรดใหเปนคามาตรฐานไดดังนี้จากสูตรการหาคาคะแนนมาตรฐาน푍 =

푥 − 휇

휎

푥 = 22แปลงเปน푍ได푧 = 22 − 325 = −2

푥 = 27แปลงเปน푍ได푧 = 27 − 325 = −1

푥 = 43แปลงเปน푍ได푧 = 43 − 325 = 2.2

푥 = 46แปลงเปน푍ได푧 = 46 − 325 = 2.8

ลงจุดและหาพื้นที่ในกราฟปกติจะไดดังนี้

เกรด퐸จะมีนักเรียนทั้งหมด = 20000(0.5 − 0.4773)= 20000(0.0227) = 454คน퐴푛푠.เกรด퐷จะมีนักเรียนทั้งหมด = 20000(0.4773 − 0.3413)= 20000(0.136) = 2720คน퐴푛푠.เกรด퐶จะมีนักเรียนทั้งหมด = 20000(0.3413 + 0.4861)= 20000(0.8274) = 16548คน퐴푛푠.เกรด퐵จะมีนักเรียนทั้งหมด = 20000(0.4974 − 0.4861)= 20000(0.0113) = 226คน퐴푛푠.เกรด퐴จะมีนักเรียนทั้งหมด = 20000(0.5 − 0.4974)= 20000(0.0026) = 52คน퐴푛푠.

114. ในการสอบของนักเรียน50,000คนพบวามีคาสถิติดังนี ้휇 = 70, 휎 = 4 ถาครูผูตัดเกรดดังนี ้เกรด퐸จะตองมีคะแนนอยูในชวง0 ≤ 푥 < 62 เกรด퐷จะตองมีคะแนนอยูในชวง62 ≤ 푥 < 66 เกรด퐶จะตองมีคะแนนอยูในชวง66 ≤ 푥 ≤ 76 เกรด퐵จะตองมีคะแนนอยูในชวง76 < 푥 ≤ 80 เกรด퐴จะตองมีคะแนนอยูในชวง푥 > 80 จงหาวาแตละเกรดจะมีนักเรียนกี่คน(퐵표푛푢푠 + 3)(ให푍 = 1퐴 = 0.3413,푍 = 2퐴 = 0.4773푍 = 1.5퐴 = 0.4332,푍 = 2.5퐴 = 0.4938)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี84 퐸푥115. ในการวัดความรูทางคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นม.5 ของโรงเรียนแหงหนึ่งพบวาคะแนนสอบมีการแจกแจงแบบโคงปกติ มีคาเฉล่ียเลขคณิตเปน64สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน8 ถานักเรียนคนหนึ่งสอบได62คะแนนเขาสอบจะสอบในตําแหนง เปอรเซ็นไทลที่เทาใด (พื้นที่ใตโคงระหวาง푍 = 0ถึง푍 = 0.25เทากับ0.0987)

วิธีทําจากโจทยสรุปไดวา휇 = 64, 휎 = 8, 푥 = 62

จากสูตร푧 = 푥 − 휇

휎

∴ 푧 = 62 − 64

8 = −0.25

พิจารณาจากพื้นที่ใตโคงปกติจะไดวา

푍 =−0.25จะมี퐴 = 0.0987

ดังนั้นพื้นที่퐴2 = 0.5 − 0.0987 = 0.4013

นักเรียนคนนี้จะชนะคนอ่ืน0.4013คนในจํานวนคน1คน

ดังนั้นในจํานวน100คนจะชนะคนจานวน = 100(0.4013)

= 40.13คน ดังนั้นนักเรียนคนนี้จะอยูในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่40.13퐴푛푠

115. ในการวัดความรูทางคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นม.5ของ โรงเรียนแหงหนึ่งพบวาคะแนนสอบมีการแจกแจงแบบโคงปกติ มีคาเฉล่ียเลขคณิตเปน60สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน10 ถานักเรียนคนหนึ่งสอบได43คะแนนเขาสอบจะสอบในตําแหนง เปอรเซ็นไทลที่เทาใดพื้นที่ใตโคงระหวาง푍 = 0ถึง푍 = 1.7เทากับ0.445 (퐵표푛푢푠 + 1)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี85 퐸푥116ในการสอบวิชาสังคมศึกษาของนักเรียนกลุมหนึ่ง

จํานวน5000คนพบวามีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน18คะแนน

คาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ90คะแนนเกณฑตัดสินวา

ผูสอบผานตองไดคะแนนไมต่ํากวา117คะแนน แลวจงหาวาผูสอบไมผานมีจํานวนและสอบผานเทาใด(กําหนดให푍 = 0.625퐴 = 0.2422,

푍 = 1퐴 = 0.3413,푍 = 1.5퐴 = 0.4332)

วิธีทําจากโจทย푛 = 5000, 휇 = 90, 휎 = 18, 푥 = 117

จากสูตร푧 =푥 − 휇

휎

∴ 푧 =117 − 90

18 = 1.5

พื้นที่ใตโคงปกติ푍 = 1.50จะมี퐴1 = 0.4332

พื้นที่ของคนสอบไมผาน = 퐴2 + 퐴1 = 0.5 + 0.4332 = 0.9332จํานวนคนที่สอบไมผาน = (0.9332)푥5000 = 4666คนพื้นที่ของคนสอบผาน = 퐴3 = 0.5 − 퐴1 = 0.5 − 0.4332 = 0.0668จํานวนคนที่สอบไมผาน = (0.0668)푥5000 = 344คน퐴푛푠.

116. ในการสอบคัดเลือกคนเขาทํางานมีผูสมัครสอบ2500คน

พบวาามีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ65คะแนนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เปน8คะแนนโดยมีเกณฑตัดสินวาการรับดังนี้

ตําแหนงพนักงานทั่วไปตองไดสอบคะแนนในชวง55– 70คะแนน

และตําแหนงหัวหนางานตองไดคะแนนมากกวา70คะแนนข้ึนไป

จงหาวามีผูสอบไดในแตละตําแหนงมีกี่คน(퐵표푛푢푠 + 1)

(กําหนดให푍 = 0.625퐴 = 0.2422,

푍 = 1.25퐴 = 0.3944,푍 = 1.5퐴 = 0.4332)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี86 퐸푥117.ในการวัดความรูทางคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นม. 5

ของโรงเรียนแหงหนึ่งพบวาคะแนนสอบมีการแจกแจงปกติมีคา

เฉล่ียเลขคณิตเปน64สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน8

ถานักเรียนคนหนึ่งสอบได62คะแนนเขาสอบจะไดคะแนนตรง

กับเปอรเซ็นไทลที่เทาไร(กําหนดให푍 = 0.25퐴 = 0.0987,

푍 = 0.7퐴 = 0.258, 푍 = 3.1퐴 = 0.499)

วิธีทําตองแปลงคะแนนสอบเปนคะแนนมาตรฐานเพื่อเปรียบเทียบ

กับพื้นที่ใตโคงปกติ1หนวยแลวนําไปเทียบ100หนวยดังนี้

จากโจทยสรุปไดดังนี้푥 = 62,휇 = 64,휎 = 8

จากสูตร푧 = 푥 − 휇

휎,

∴ 푧 = 62 − 64

8 = −0.25

ลงจุดแลวหาพื้นที่ใตโคงในสวนที่ตองการ . ให퐵 = พื้นที่ใตโคงปกติในชวง푧 < −0.25

= 0.5 − 0.0987 = 0.4013

∴ ทําเปน100หนวยได = 0.4013 × 100 = 40.13

∴ นักเรียนที่สอบได62คะแนนจะตรงกับ푃 . 퐴푛푠.

117. ในการวัดความรูทางคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นม. 5ของ

โรงเรียนแหงหนึ่งพบวาคะแนนสอบมีการแจกแจงปกติมีคา

เฉล่ียเลขคณิตเปน32และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน5

ถานักเรียนคนหนึ่งสอบได26คะแนนเขาสอบจะไดคะแนนตรง

กับเดไซลที่เทาไร(퐵표푛푢푠 + 1)

(กําหนดให푍 = 1.2퐴 = 0.3849,

푍 = 1.5퐴 = 0.4332,푍 = 3.1퐴 = 0.499)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี87 퐸푥118ขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยที่คาสูงสุดของขอมูลตรง

กับคา푃99.9และคาต่ําสุดของขอมูลตรงกับคา푃24.2

ถาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ10แลวจงหาคาของพิสัย(กําหนดให푍 = 0.70퐴 = 0.258,

푍 = 1.5퐴 = 0.4332,푍 = 3.10퐴 = 0.499)

แนวคิดเปล่ียนเปอรเซ็นไทลของคาสูงสุดและต่ําสุดเปนพื้นที่1หนวย

แลวเทียบหาคา푍จากคา푍ใชสูตรหาคา푥สูงสุดและคาต่ําสุด

แลวหาคาพิสัยวิธีทํา

푃99.9ทําเปน1หนวยได =99.9

100= 0.999

ตรงกับ퐴 = 0.499, 푍 = 3.10

푥 = 휇 + 휎푧 = 휇 + 10(3.1) = 휇 + 31

และคาของ푃 . ทําเปน1หนวยได = 24.2100 = 0.242

ตรงกับ퐴 = 0.258,푍 = −0.7

푥 = 휇 + 휎푧 = 휇 + 10(−0.7)) = 휇 − 7

พิสัย = 푥 − 푥

= (휇 + 31) − (휇 − 7) = 38퐴푛푠.

118. ขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยที่คาสูงสุดของขอมูลตรง

กับคา푃95.91และคาต่ําสุดของขอมูลตรงกับคา푃20.33

ถาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ5แลวจงหาคาของพิสัย(กําหนดให푍 = 1.74퐴 = 0.4591,

푍 = 0.83퐴 = 0.2967,푍 = 1.1퐴 = 0.3643)


เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี88 퐸푥119ในการแจกแจงคะแนนสอบครั้งหนึ่งเปนแบบปกติมีคาเฉล่ีย

เทากับ60คะแนนมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ10คะแนนจงหาวาคะแนนที่ควอรไทลที่3มีคาเทาไร(กําหนดให푍 = 0.68,퐴 = 0.25

และ푍 = 0.25, 퐴 = 0.0987)

วิธีทําจากโจทยจะได휇 = 60, 휎 = 10

ณจุดของ푄3 = 푃75จะมี퐴 = 0.25ตรงกับคา푍 = 0.68

푥 = 휇 + 휎푍 = 60 + 10(0.68) = 66.8퐴푛푠.

퐸푥120 ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมหนึ่งที่มี

จํานวน20,000คนมีการแจกแจงปกติแลวนักเรียนที่สอบไดคะแนน

ซึ่งตางจากคะแนนเฉล่ียมากกวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทาใด

กําหนดพื้นที่ใตโคงปกติ푍 = 1, 퐴 = 0.3413

วิธีทําจากโจทย푛 = 20,000, 푛(푥 − 푢 > 휎) =? ณจุด푥 − 푢 = 휎 ∴ 푥 = 푢 + 휎

จากสูตร푥 = 푢 + 휎푍ถา푍 = 1จะได푥 = 푢 + 휎

∴ 퐴(푍 > 1) = 0.5 − 0.3413 = 0.1587

∴ 푛(푍 > 1) = 0.1587(20,000) = 3174คน퐴푛푠.

119. ในการแจกแจงคะแนนสอบครั้งหนึ่งเปนแบบปกติมีคาเฉล่ีย เทากับ50คะแนนมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ5คะแนนจงหาวาเดไซลที่4.09และเดไซลที่8.79มีคะแนนตางกันเทาไร(กําหนดให푍 = 0.23,퐴 = 0.091 และ푍 = 1.17, 퐴 = 0.3790)(퐵표푛푢푠 + 1)

120. ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมหนึ่งที่มีจํานวน 50,000คนมีการแจกแจงปกติแลวจงหาวาจะมีนักเรียนที่สอบได คะแนนซึ่งรวมกับ1.2เทาของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยมีคามาก กวาคะแนนเฉล่ียมีจํานวนกี่คน กําหนดพื้นที่ใตโคงปกติ푍 = 1.2, 퐴 = 0.3849(퐵표푛푢푠 + 1)

4

2

-2

-5 5Z = 1.0

A( Z>1) = 0.5-0.3413=0.1587

A = 0.3413

Z

3

2

4

56

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี89 퐸푥121อายุคนงานแหงหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีคาเฉล่ีย

เลขคณิตเปน휇มีความแปรปรวนเปน휎2 สมหวังมีอายุ휇 + 0.5휎และสมพรมีอายุ휇 − 0.9휎

จงหาวาคนที่อายุมากกวาสมพรแตนอยกวาสมหวังมีกี่เปอรเซนต (กําหนดให푍 = 0.5, 퐴 = 0.1915,

푍 = 0.9퐴 = 0.3159,푍 = 1퐴 = 0.3413)

วิธีทําคะแนนของสมหวัง = 푥1 = 휇 + 휎푍1 = 휇 + 0.5휎

∴ คะแนนสมหวังแปลงเปน푍ได푍 = 0.5

คะแนนของสมพร = 푥 = 휇 + 휎푍 = 휇 − 0.9휎

∴ คะแนนสมพรแปลงเปน푍ได푍 = −0.99

ภายใตโคงปกติพื้นที่1หนวยจะมีจํานวนคนที่ไดคะแนนในชวง= 푊(−0.9 < 푍 < 0.5) = 0.3159 + 0.1915 = 0.5074

คิดเปนรอยละจะไดเทากับ0.5074(100) = 50.74퐴푛푠.

121. อายุคนงานแหงหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีคาเฉล่ีย เลขคณิตเปน휇มีความแปรปรวนเปน휎2 สมชายมีอายุ휇 + 1.5휎และสมบุญมีอายุ휇 + 0.4휎 จงหาวาคนที่อายุมากกวาสมบุญแตนอยกวาสมชายมีรอยละเทาไร (퐵표푛푢푠 + 1)(กําหนดให푍 = 0.4, 퐴 = 0.1554,

푍 = 0.1퐴 = 0.3413,푍 = 1.5퐴 = 0.4332)

4

2

-5 5Z = -0.9

A=0.3159

Z = 0.5

A = 0.1915

v

Z

3

2

4

56

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี90 퐸푥122คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมหนึ่ง แจกแจงปกติโดยมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ64คะแนนถามีนักเรียน ที่สอบไดมากกวา80คะแนนมีอยู7.35%แลวสปส. ของการ แปรผันของคะแนนวิชานี้มีคาเทาใด (푍 = 1.45, 퐴 = 0.4265)

วิธีทํา จากโจทยจะได 푢 = 64, 푥 = 80, 푛(푥 > 80) = 7.35%

ให퐵 = พื้นที่ในชวง푥 > 80มีพื้นที่ = 7.35%

แปลงใหเปน1หนวยจะได퐵 =7.35

100= 0.0735

∴ 퐴 = 0.5 − 0.0735 = 0.4267ตรงกับ퐴ของ푍 = 1.45 จากสูตร푥 = 푢 + 휎푍

∴ 80 = 64 + 1.45휎

∴ 휎 = 80 − 641.45 ≈ 11.03

∴ 퐶푉. =휎휇 =

11.0364 ≈ 0.172퐴푛푠.

122. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมหนึ่ง

แจกแจงปกติโดยมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ40คะแนนถามีนักเรียน

ที่สอบไดนอยกวา27คะแนนมีอยู9.68%แลวสปส. ของการ

แปรผันของคะแนนวิชานี้มีคาเทาใด(푍 = 1.2퐴 = 0.3849, 푍 = 1.3퐴 = 0.4032)


เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี91 퐸푥123ถาความสูงของนักเรียนหองหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติมีมัธยฐานเทากับ160เซ็นติเมตรและมีนักเรียนที่สูงนอยกวา142เซ็นติเมตรมีอยู3.79%จงหาวามีนักเรียนที่สูงมากกวา172เซนติเมตรกี่เปอรเซ็นต(푍 = 0.3퐴 = 0.1179, 푍 = 1.2 퐴 = 0.3849, 푍 = 1.8퐴 = 0.4641)

วิธีทําจากโจทยจะได푀푒푑. = 160, 푛(푥 < 142) = 3.79%ในโคงปกติจะมี휇 = 푀표푑푒 = 푀푒푑 ∴ 휇 = 160푛(푥 < 142) = 3.79%ทําเปน1หนวยไดพื้นที่เทากับ0.0379

แสดงพื้นใตโคงปกติดังนี ้

ให퐵 = พื้นที่ในชวง142มีพื้นที่ = 3.79%

แปลงใหเปน1หนวยจะได퐵 =3.79

100= 0.0379

∴ 퐴 = 0.5 − 0.0379 = 0.4621

ตรงกับ퐴ของ푍 = −1.8 จากสูตร푥 = 푢 + 휎푍

∴ 142 = 160 − 1.8휎

∴ 휎 = 160 − 142

1.8 = 10

ถา푥 = 172จะมี푍 =172 − 160

10= 1.2

ให퐶เปนพื้นที่ของ푍 = 1.2 ∴ 퐶 = 0.3849

ให퐷เปนพื้นที่ของ푍 > 1.2

∴ 퐷 = 0.5 − 0.3849 = 0.1151

푛(푥 > 172)ทําเปนรอยละได = 100(0.1151) = 11.51퐴푛푠.

123.ถาคะแนนสอบของนักเรียนหองหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติมีมัธยฐานเทากับ80คะแนนและมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวา

99คะแนนมีอยู82.89%จงหาวามีนักเรียนที่ไดคะแนนสูงมากกวา73คะแนนกี่เปอรเซ็นต(푍 = 0.35퐴 = 0.1368,푍 = 0.95퐴 = 0.3289 푍 = 1.8퐴 = 0.4641)(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี92 Ex124ถาน้ําหนักของนักเรียนอนุบาลแหงหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีคามัธยฐานเทากับสามเทาของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ

55.57%มีน้ําหนักนอยกวา15.7กิโลกรัมแลวนักเรียนที่มีน้ําหนัก

อยูระหวาง13กิโลกรัมถึง18กิโลกรัมมีกี่เปอรเซ็นต

โดยกําหนดตารางพื้นที่ใตโคงปกติใหดังนี้ให 푍 0.13 0.14 0.2 0.4 0.6 0.7퐴 0.0517 0.0557 0.0793 0.1554 0.2258 0.2580

วิธีทําจากโจทยสรุปไดวาแจกแจงเปนโคงปกติ 휇 = 푚푒푑. = 3휎,푛(푥 < 15.7) = 55.57%

จะตองหาวา푛(13 < 푥 < 18)มีกี่เปอรเซ็นต จาก푛(푥 < 15.7) = 55.57%ทําเปน1หนวยได0.5557

∴ พื้นที่ของ(푥 < 15.7) = 0.5 + 0.0557ตรงกับ푍 = 0.14

∴ 푥 = 15.7มีคา푍 = 0.14

ถา푥 = 15.7 ∴ 푍 =푥 − 휇

휎 ∴ 0.14 =

15.7 − 3휎

휎

∴ 0.14휎 = 15.7 − 3휎 ∴ 3.14휎 = 15.7 ∴ 휎 = 5 ∴ จาก휇 = 푥 − 휎푧 = 15.7 − 5(0.14) = 15 ∴ 휇 = 15

∴ 푥 = 13แปลงเปน푍 = 13 − 155 = −0.4,

푧 = −0.4จะมี퐴 = 0.1554 ∴ 푥 = 18แปลงเปน푍 = 18 − 15

5 = 0.6

푧 = 0.จะมี퐴 = 0.2258

พื้นที่(−0.4 < 푍 < 0.6) = 0.1554 + 0.2258 = 0.3812 푛(13 < 푥 < 18)ทําเปนรอยละจะได = 38.12%퐴푛푠.

124. ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการ แจกแจงแบบปกติมีคาฐานนิยมเปน6เทาของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และมีนักเรียน15.87%ไดคะแนนนอยกวา50คะแนน แลวนักเรียนที่สอบไดคะแนนระหวาง75ถึง85คะแนนมีกี่เปอรเซ็นตโดยที่(푍 = 1퐴 = 0.3413, 푍 = 1.5퐴 = 0.4332, 푍 = 2.5퐴 = 0.4938)(퐵표푛푢푠 + 1)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี93 퐸푥125คะแนนสอบวิชาหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติถามีนักเรียนสอบ

ไดคะแนนนอยกวา36คะแนนจํานวน57.93%และไดคะแนน มากกวา47คะแนนอยู0.82%จงหาวามีนักเรียนที่สอบไดคะแนน

มากกวา44คะแนนกี่เปอรเซ็นตและสัมประสิทธิ์ของการแปรผันมีคา เทาใดโดยกําหนดพื้นที่ใตโคงปกติใหดังนี้(푍 = 0.2퐴 = 0.0793, 푍 = 1.8퐴 = 0.4641 푍 = 2.4퐴 = 0.4918)วิธีทําจากโจทยสรุปไดวา푛(푥 < 36) = 57.93%และ푛(푥 > 47) = 0.82%ตองการหา푛(푥 > 44)ทําเปนพื้นที่1หนวยจะไดวา푛(푥 < 36) = 0.5793 = 0.5 + 0.0793ตรงกับ푍 = 0.2 푛(푥 > 47) = 0.0082 = 0.5 − 0.4918ตรงกับ푍 = 2.4 ∴ จากสูตร푥 = 휇 + 휎푍 ∴ ถา푥 = 36, 푧 = 0.2 ∴ 36 = 휇 + 0.2휎… . . (1) ∴ ถา푥 = 47, 푧 = 2.4 ∴ 47 = 휇 + 2.4휎… . . (2) ∴ (2) − (1), 47 − 36 = 2.4휎 − 0.2휎 ∴ 11 = 2.2휎 ∴ 휎 = 5 แลวแทนคาใน(1)ได휇 = 35

∴ 푥 = 44หา푍 = 44 − 355 = 1.8มี퐴 = 0.4641

∴ 푛(푥 > 44) = 0.5 − 0.4641 = 0.0359 ทําเปนรอยละจะได∴ 푛(푥 > 44) = 0.0359(100) = 3.59%퐴푛푠. ∴ 퐶푉 =

휎휇 =

535 =

17 퐴푛푠.

125. คะแนนสอบวิชาหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติถามีนักเรียนสอบ ไดคะแนนนอยกวา36คะแนนจํานวน30.85%และไดคะแนน มากกวา60คะแนนอยู0.62%จงหาวามีนักเรียนที่สอบไดคะแนน มากกวา52คะแนนกี่เปอรเซ็นตและสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน มีคาเทาใดโดยกําหนดพื้นที่ใตโคงปกติใหดังนี้(퐵표푛푢푠 + 3)(푍 = 0.5퐴 = 0.1915, 푍 = 1.5퐴 = 0.4332, 푍 = 2.5퐴 = 0.4938)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี94 퐸푥126ถาคะแนนสอบความถนัดทางคณิตศาสตรของนักเรียน กลุมหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ60คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ10คะแนนและทราบวา พื้นที่ใตโคงปกติมีรูปดังตารางดานลางนี้แลวนักเรียนที่สอบไดคะแนน ระหวาง75ถึง85คะแนนคิดเปนรอยละเทาไร วิธีทําส่ิงที่ไดจากโจทย휇 = 60, 휎 = 10 หาคา푍ของ푥 = 40, 50, 60, 70, 75, 80, 85ไดดังนี ้푥 = 40, 푧 =

40 − 6010 = −2.0

푥 = 45, 푧 =45 − 6010 = −1.5

푥 = 50, 푧 =50 − 6010 = −1.0

푥 = 60, 푧 =60 − 6010 = 0.0

푥 = 70, 푧 =70 − 6010 = 1.0

푥 = 75, 푧 =75 − 6010 = 1.5

푥 = 80, 푧 =80 − 6010 = 2.0

푥 = 85, 푧 =85 − 6010 = 2.5

พื้นที่퐵 = 0.5 − 퐴 − 퐶 − 퐷 แตพ. ท. 퐷 = พ. ท. 퐸 = 0.3413 = 0.5 − 0.0227− 0.0919 − 0.3413 = 0.0441พื้นที่퐵 = พื้นที่퐺 = 0.0441 พื้นที่퐶 = พื้นที่퐹 = 0.0919∴ จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนในชวง75ถึง85มีพื้นที่ = 퐺 +퐻 = 0.0441 + 0.0165 = 0.0606 ∴ จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนในชวง75ถึง85 มีทั้งหมดคิดเปนรอยละ = 0.0606(100) = 6.06%퐴푛푠.

126.ถาคะแนนสอบความถนัดทางคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมหนึ่ง มีการแจกแจงแบบปกติมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ50คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ10คะแนนและทราบวา พื้นที่ใตโคงปกติมีรูปดังตารางดานลางนี้แลวนักเรียนที่สอบไดคะแนน ระหวาง23ถึง68คะแนนคิดเปนรอยละเทาไร(퐵표푛푢푠 + 2)

คะแนน 32 < 푥 < 38 50 < 푥 < 62 푥 > 77 พื้นที่ใตโคง 0.0792 0.3849 0.0035

คะแนน 푥 < 40 45 < 푥 < 50 60 < 푥 < 70 80 < 푥 < 85

พื้นที่ใตโคง 0.0227 0.0919 0.3413 0.165

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี95 퐸푥127ผลการสอบของนักเรียนหองหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยม ี

ความแปรปรวนเทากับ9ถานักเรียนที่สอบไดคะแนนนอยกวา60 คะแนนมีจํานวนเทากับนักเรียนที่สอบไดมากกวา72คะแนน แลวนักเรียนที่สอบไดนอยกวา60คะแนนมีจํานวนรอยละเทาใด(푍 = 2퐴 = 0.4773, 푍 = 0.22퐴 = 0.4861)

วิธีทําจากโจทย휎2 = 9 ∴ 휎 = 3 และ푛(푥 < 60) = 푛(푥 > 72) จะตองหาวา푛(푥 < 60)มีกี่เปอรเซ็นต

ถา푥1 = 60แลว푍1 =60 − 휇

3

ถา푥2 = 72แลว푍2 =72 − 휇

3

เนื่องจาก푛(푥 < 60) = 푛(푥 > 72) แสดงวา퐴(푍1) = 퐴(푍2)สรุปวา푍1 = −푍2

∴ 60 − 휇3 = −

72 − 휇3

∴ 60 − 휇 = −72 + 휇 ∴ 2휇 = 132 ∴ 휇 = 66

ถา푥1 = 60แลว푍1 =60 − 66

3= −2

จาก푍 = −2มิ퐴 = 0.4773 ∴ 퐴(푍 < −2) = 0.5 − 0.4773 = 0.0227 ∴ รอยละของ퐴(푍 < −2) = 0.0227(100)

= 2.27%퐴푛푠.

127.ผลการสอบของนักเรียนหองหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยมี ความแปรปรวนเทากับ16ถานักเรียนที่สอบไดคะแนนนอยกวา 14คะแนนมีจํานวนเทากับนักเรียนที่สอบไดมากกวา26คะแนน แลวนักเรียนที่สอบไดมากกวา21คะแนนแตนอยกวา23คะแนนมีจํานวนรอยละเทาใด(퐵표푛푢푠 + 1)(푍 = 1.5퐴 = 0.4332, 푍 = 2퐴 = 0.4773)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี96 퐸푥128ในการสอบคณิตศาสตรครั้งหนึ่งโรงเรียน퐴และโรงเรียน퐵

ใชขอสอบเดียวกันพบวาคะแนนสอบของโรงเรียนทั้งสองแจกแจงปกติ มีคาเฉล่ียเทากันแตสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานตางกัน25คะแนน

มีนักเรียน2คนอยูตางโรงเรียนกันแตสอบไดเปอรเซ็นไทลที่33เทากัน

แลวนักเรียนทั้งสองจะมีคะแนนตางกันเทาไร(푍 = 0.42퐴 = 0.1628,푍 = 0.44퐴 = 0.1700)

วิธีทําจากโจทยสรุปไดวา

휇 = 휇 = 휇, 휎 = 휎 + 25, 푍 = 푍 ที่푃

푃 ทําเปน1หนวจะได 33100 = 0.33

ณจุด푃 มี퐴(푍 < 푃 ) = 0.33

∴ 퐴(푃 < 푍 < 0) = 0.5 − 0.33 = 0.17

ตรงกับ푍 = −0.44

จากสูตร푥 = 휇 + 휎푍

∴ 푥 = 휇 + 휎 (−0.44)และ푥 = 휇 + 휎 (−0.44)

แต푥퐵 = 휇 + (휎퐴 + 25)(−0.44) = 휇 − 0.44휎퐴 − 11

∴ 푥퐴 − 푥퐵 = [휇 − 0.44휎퐴] − [휇 − 0.44휎퐴 − 11]

∴ 푥퐴 − 푥퐵 = 11퐴푛푠.

128.ในการสอบคณิตศาสตรครั้งหนึ่งโรงเรียน퐴และโรงเรียน퐵 ใชขอสอบเดียวกันพบวาคะแนนสอบของโรงเรียนทั้งสองแจกแจงปกติ มีคาเฉล่ียเทากันแตสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโรงเรียน퐴มากกวา ของโรงเรียน퐵จํานวน20คะแนนถานักเรียน2คนอยูตางโรงเรียนกัน แตสอบไดเปอรเซ็นไทลที่90.32เทากันแลวนักเรียนโรงเรียนใดม ีคะแนนมากวาและมากกวากันกี่คะแนน(퐵표푛푢푠 + 2)

(푍 = 1.3퐴 = 0.4032,푍 = 1퐴 = 0.3413)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี97 퐸푥129 ถาคะแนนในการสอบวิชาคณิตศาสตรแจกแจงปกตินายคณิตและ นายวิทยาอยูในนักเรียนกลุมนี้ถามีนักเรียน5.7%สอบไดคะแนน

มากกวานายคณิตและมีนักเรียน16.6%สอบไดคะแนนนอยกวา นายวิทยานายคณิตไดคะแนนมากกวานายวิทยาอยู49คะแนน จงหาวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการสอบครั้งนี้มีคาเทาใดถานักเรียนที่สอบไดคะแนน50คะแนนทําเปนคะแนนมาตรฐาน มีคาเทากับ1แลวนักเรียนที่สอบได10คะแนนเมื่อแปลงเปน คะแนนมาตรฐานแลวจะมีคาเทาไร(푍 = 0.87퐴 = 0.334, 푍 = 1.58퐴 = 0.443)วิธีทําใหนายคณิตมีคะแนน = 푥1และ퐵เปนพ. ท. ที่푥 > 푥1 และนายวิทยามีคะแนน = 푥 และ퐵เปนพ.ท. ที่푥 < 푥 ส่ิงที่ไดจากโจทย푛(푥 > 푥 ) = 5.7%, 푛(푥 < 푥 ) = 16.6% 푥 − 푥 = 49 ยอจํานวนคนใหเปน1หนวยจะไดวา 푛(푥 > 푥 ) =

5.7100 = 0.057

∴ 퐴(푍 ) = 0.5 − 0.057 = 0.443ตรงกับคา푍 = 1.58

และ푛(푥 < 푥2) =16.6

100= 1.66

∴ 퐴(푍 ) = 0.5 − 0.166 = 0.334ตรงกับคา푍 = −0.87

จากสูตร휎 =푥1 − 푥2푍1 − 푍2

คําถามขอที่1) ∴ 휎 =

491.58 − (−0.87) =

492.45 = 20퐴푛푠.

คําถามขอที2่)ส่ิงที่ไดจากโจทย푥3 = 50มี푍3 = 1 ∴ จากสูตร푥 = 휇 + 휎푍 จะได50 = 휇 + (20)(1) ∴ 휇 = 30

∴ ถา푥 = 10แลว푍 = 10 − 3020 = −1퐴푛푠.

129.ถาคะแนนในการสอบวิชาคณิตศาสตรแจกแจงปกตินายเตและนายตออยูในนักเรียนกลุมนี้ถามีนักเรียน86.43% สอบไดคะแนนมากกวานายเตและมีนักเรียน91.92% สอบไดคะแนนนอยกวานายตอนายตอไดคะแนนมากกวานายเตอยู 25คะแนนจงหาวาความแปรปรวนของการสอบครั้งนี้มีคาเทาใดและถานักเรียนที่สอบได10คะแนนทําเปนคะแนนมาตรฐานได เทากับ − 2แลวนักเรียนที่สอบได50คะแนนแปลงเปน คะแนนมาตรฐานไดเทาไร(퐵표푛푢푠 + 2)(푍 = 1.1퐴 = 0.3643, 푍 = 1.4퐴 = 0.4192)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี98 퐸푥130ในการสอบครั้งหนึ่งมีคะแนนแจกแจงปกติและมีคะแนน เต็มเทากับ100คะแนนมีคาเฉล่ียเทากับ60คะแนนและมีความ แปรปรวนเทากับ100แลวนักเรียนที่สอบได85คะแนนจะสอบไดตรงกับเดไซลที่เทาใด(푍 = 1.58퐴 = 0.4430, 푍 = 2.5퐴 = 0.4938)

วิธีทําจากโจทยจะไดวา휇 = 60, 휎2 = 100, 푥 = 85

จากสูตร푍 = 푥 − 휇휎

∴ 푍 =85 − 6010 = 2.5

จากกราฟโคงปกติ 퐴(푥 < 85) = 퐴(푍 < 2.5)

= 0.5 + 0.4938

= 0.9938

ทําเปนเดไซลจะได = 10(0.9938) = 9.938

∴ 푥ตรงกับ퐷 . 퐴푛푠.

130. ในการสอบครั้งหนึ่งมีคะแนนแจกแจงปกติและมีคะแนนเต็ม เทากับ200คะแนนมีคาเฉล่ียเทากับ50คะแนนและมีความ แปรปรวนเทากับ25แลวคะแนนดิบ56คะแนนตรงกับควอรไทลที่เทาใด(퐵표푛푢푠 + 1)(푍 = 1.58퐴 = 0.4430, 푍 = 1.2퐴 = 0.3849)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี99 퐸푥131ในการสอบวิชาหนึ่งมีนักเรียน2หองคือหอง퐴กับหอง퐵แตละหองมีการแจกแจงปกติมีมัธยฐานเทากันเทากับ푎

สปส. ของการแปรผันของแตละหองเทากับ푚และ푚 +5

푎

ตามลําดับในการสอบครั้งนี ้เด็กหญิงสดซึ่งอยูหอง퐴และเด็กหญิงใสอยูหอง퐵 ทําคะแนนไดในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่78.81ทั้งคูแลวเด็กหญิงสดไดคะแนนมากกวาเด็กหญิงใสเทาใด

(푍 = 0.7퐴 = 0.2580,푍 = 0.8퐴 = 0.2881) วิธีทําจากโจทยมีมัธยฐานเทากับ푎 ในกราฟปกติทุกกราฟจะมี푚푒푑푖푎푛 = 푚표푑푒 = 푚푒푎푛 แสดงวา휇 = 휇 = 푎ดวย

และจากโจทย푐푣 = 푚,푐푣 = 푚 +5푎,

푥 = 푃 . ,푥 = 푃 .

จากสูตร푐푣 =휎

휇

∴ หอง퐴มี푚 =휎푎 ∴ 휎 = 푚푎

และหอง퐵มี푚 +5

푎=휎퐵푎 ∴ 휎퐵 = 푚푎 + 5

จาก푥퐴 = 푃78.81 ,푥퐵 = 푃78.81

ทําเปน1หนวยจะได =78.81

100= 0.7881ตรงกับคา푍 = 0.8

จะแสดงโดยกราฟปกติไดดังนี ้

∴ แสดงวา푍 = 푍 = 0.8 ∴ จากสูตร푥 = 휇 + 휎푍

∴ 푥 = 휇 + 휎 (0.8)จาก휇 = 푎,휎 = 푚푎

= 푎 + (푚푎)(0.8)………… . (1)

∴ 푥 = 휇 + 휎 (0.8)จาก휇 = 푎,휎 = 푚푎 + 5

= 푎 + (푚푎 + 5)(0.8)

= 푎 + (푚푎)(0.8) + 4……… . . (2)

(2) − (1),푥 − 푥 = 4퐴푛푠.

131. ในการสอบวิชาหนึ่งมีนักเรียน2หองคือหอง퐴กับ퐵แตละหองมีการแจกแจงปกติมีมัธยฐานเทากันเทากับ40สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของแตละหองเทากับ0.2และ0.5 ตามลําดับในการสอบครั้งนี้เด็กหญิงสดซึ่งอยูหอง퐴 และเด็กหญิงใสอยูหอง퐵ทําคะแนนไดในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 6.68ทั้งคูแลวเด็กหญิงสดไดคะแนนมากกวาเด็กหญิงใสเทาใด (푍 = 1퐴 = 0.3413,푍 = 1.5퐴 = 0.4332(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี100 퐸푥132กําหนดความสูงของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงปกต ิถามีคนที่สูงกวา145เซ็นติเมตรและ165เซ็นติเมตรอยู84.13% และ15.87%ตามลําดับแลวสัมประสิทธิ์ของความแปรผันมีคาเทาใด

(푍 = 1퐴 = 0.3413,푍 = 1.2퐴 = 0.3686)

วิธีทําจาก푛(푥 > 145) = 84.13% ทําเปน1หนวยจะได ∵ 퐴(푥 > 145) =

84.13100 = 0.8413

= 0.5 + 0.3413 = 퐴(푍 = −1) จาก푛(푥 > 165) = 15.87% ทําเปน1หนวยจะได ∵ 퐴(푥 > 165) =

15.87100 = 0.1587

= 0.5 − 0.3413 = 퐴(푍 = 1) ดูจากกราฟ

จากสูตร휎 =푥1 − 푥2푍1 − 푍2

∴ 휎 =165 − 1451 − (−1) =

202 = 10

จากสูตร푍 =푥 − 휇

휎 ∴ 1 =

165 − 휇

10 ∴ 휇 = 155

จากสูตร퐶푉 =휎

휇 ∴ 퐶푉 =

10

155= 0.06퐴푛푠.

132. กําหนดความสูงของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงปกติถามีคนที่สูงนอยกวา146เซนติเมตรจํานวน8.08%และ มีจํานวนคนที่สูงมากกวา180เซนติเมตรจํานวน2.28% แลวสัมประสิทธิ์ของความแปรผันมีคาเทาใด(퐵표푛푢푠 + 2) (푍 = 2퐴 = 0.4772,푍 = 1.4퐴 = 0.4192)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี101 133.สมชายสมศักดิ์และสมศรีเปนนักเรียนชั้นม.6ซึ่งมี จํานวน300คนเกรดเฉล่ียของสมชายอยูในตําแหนงเดไซลที่8.15เกรดเฉล่ียของสมศักดิ์อยูที่คามาตรฐานเทากับ1มีนักเรียนที่ไดเกรด เฉล่ียมากกวาสมศรี198คนโดยที่เกรดเฉล่ียของนักเรียนชั้นม. 6 แจกแจงปกติจงเรียงลําดับนักเรียนทั้ง3คนที่มีเกรดเฉล่ียมากสุด ไปนอยสุด(퐵표푛푢푠 + 2)(푍 = 0.9퐴 = 0.315, 푍 = 0.44퐴 = 0.16)

134. ถาคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษมีการแจกแจงปกติ มีคะแนนเฉล่ียเทากับ60คะแนนมีความแปรปรวนเทากับ 25คะแนนผูที่จะสอบผานตองไดคะแนนไมนอยกวา54คะแนน ถานายขาวนายแดงและนายดําสอบไดคะแนนในตําแหนง เปอรเซ็นไทลที่10, 15,30ตามลําดับจงหาวาแตละคนไดคะแนนเทาใดใครสอบผานบาง(푍 = 1.28퐴 = 0.4, 푍 = 1.04퐴 = 0.35

และ푍 = 0.52퐴 = 0.2)(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี102 135.น้ําหนักของกลุมหญิงมีคาเฉล่ียเทากับ45กก. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ2กก. และน้ําหนักของกลุมชาย มีคาเฉล่ียเทากับ57กก. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ4กก. น้ําหนักของแตละกลุมมีการแจกแจงปกติเปอรเซ็นไทลที่97.5 ของน้ําหนักกลุมหญิงมีคาตรงกับเปอรเซ็นไทลที่เทาใดของกลุมชาย(푍 = 1.96퐴 = 0.4750, 푍 = 1.98퐴 = 0.4762,푍 = 2.02퐴 = 0.4783)(퐵표푛푢푠 + 2)

136. ถาน้ําหนักแรกเกิดของเด็กไทยมีการแจกแจงปกติโดยใน ป2533มีน้ําหนักเฉล่ีย2500กรัมสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เทากับ250กรัมและในป2540มีน้ําหนักเฉล่ีย3240กรัม สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ200กรัมน้ําหนักแรกเกิดของ เด็กไทยที่อยูในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่97.73ของป2533 จะอยูในตําแหนงเปอรเซ็นตไทลที่เทาใดในป2540(퐵표푛푢푠 + 2)(푍 = 1퐴 = 0.3413,푍 = 1.2퐴 = 0.3849, 푍 = 2.00퐴 = 0.4773,푍 = 2.2퐴 = 0.4861, 푍 = 2.04퐴 = 0.4793)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี103 137. คะแนนไอคิวของนักเรียน2กลุมมีการแจกแจงปกติกลุมนักเรียนหญิงมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ100คะแนน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ10คะแนนกลุมนักเรียนชาย มีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ90คะแนนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 20คะแนนกําหนดให푥เปนคะแนนของนักเรียนชายคนหนึ่ง ถาเปอรเซ็นตของคะแนนตั้งแต푥ข้ึนไปถึงฐานนิยมเทากับเปอรเซ็นต ของคะแนนระหวาง95ถึง105ของกลุมนักเรียนหญิง แลว푥มีคาเทาใด(퐵표푛푢푠 + 2)(푍 = 0.5퐴 = 0.1915, 푍 = 1.0퐴 = 0.3413, 푍

= 1.19퐴 = 0.3830)

138. อายุของนักเรียนหองหนึ่งมีการแจกแจงปกติ มีความแปรปรวนเทากับ4และมีนักเรียนจํานวน69.15% ที่มีอายุไมเกิน14ปจงหาวาอีก2ปขางหนานักเรียนที่มีอายุตั้งแต 14ถึง16ปจะอยูในชวงเปอรเซ็นไทลที่เทาไร (푍 = 0.5퐴 = 0.1915, 푍 = 1.0퐴 = 0.3413)(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี104 139. คะแนนสอบปลายปวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ64และสวนเบี่ยงเบน มาตรฐานเทากับ10คะแนนถาครูใหเกรดเปน퐴, 퐵, 퐶, 퐷, 퐸 ผลการสอบครั้งนี้มีผูสอบไดเกรด퐴จํานวน9.5%ของผูเขาสอบ และคะแนนต่ําสุดของผูที่ไดเกรด퐷เทากับ44.4จงหาคะแนน ต่ําสุดของเกรด퐴และมีผูสอบไดเกรด퐸กี่เปอรเซ็นต (퐵표푛푢푠 + 2)(푍 = 1.13퐴 = 0.4050,푍 = 1.64퐴 = 0.45, 푍 = 1.96퐴 = 0.475)

140. บอปลาทับทิมบอหนึ่งมีปลา3ขนาดคือขนาดใหญซึ่ง มีน้ําหนักตั้งแตตัวละ10ขีดข้ึนไปขนาดกลางมีน้ําหนักตั้งแตตัวละ 5ขีดข้ึนไปแตไมถึง10ขีดและขนาดเล็กคือปลาที่มีขนาดน้ําหนักไม ถึง5ขีดในบอมีปลาขนาดใหญ2.28%และปลาขนาดเล็ก 30.85%ถาน้ําหนักของปลาในบอนี้มีการแจกแจงปกติ น้ําหนักเฉล่ียของปลาในบอนี้มีคาเทาใด(퐵표푛푢푠 + 2)

(푍 = 0.50퐴 = 0.1915, 푍 = 2퐴 = 0.4772

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี105 141. ขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ(퐵표푛푢푠 + 2)ถานําเอาขอมูล푎, 푏, 푐, 5มาคํานวณหาคามาตรฐาน จะไดคาตามลําดับดังนี้ − 3, −0.45, 0.45, 1 แลวจงหาวา– 푎 + 2푏 + 2푐มีคาเทาใด

142.คะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับ24%และสวนเบี่ยงเบน มาตรฐานเทากับ12คะแนนแลวนักเรียนคนที่สอบได65คะแนน จะไดตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่เทาไร(퐵표푛푢푠 + 2)푍 = 1.2, 퐴 = 0.3849푍 = 1.25, 퐴 = 0.3944)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี106 143.กําหนดใหขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ ถาหยิบขอมูล푎, 푏มาจะพบวา13.14%ของขอมูลมีคามากกวา푏และ푏มากกวา푎อยู20%ของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจงหาวามีขอมูลที่นอยกวา푎กี่เปอรเซ็นต(퐵표푛푢푠 + 2)(푍 = 1.2퐴 = 0.3686,푍 = 1.22퐴 = 0.4192, 푍 = 1.0퐴 = 0.3413,푍 = 1.5퐴 = 0.4332)

144.อายุคนงานแหงหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีคาเฉล่ีย เลขคณิตเปน휇มีความแปรปรวนเปน휎2สมชายมีอายุ 휇 + 1.2휎และสมบุญมีอายุ휇 − 1.5휎 จงหาวามีคนในกลุมนี้รอยละเทาไรที่อายุมากกวาสมบุญแตนอย กวาสมชาย(퐵표푛푢푠 + 2)

(푍 = 1퐴 = 0.3413,푍 = 1.2퐴 = 0.3849, 푍 = 1.5퐴 = 0.4332)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี107 145. ขอมูลความสูงของนักเรียนชั้นป.6ของโรงเรียนแหงหนึ่ง

มีการแจกแจงแบบปกติถาจํานวนนักเรียนที่มีความสูงนอยกวา 140.6เซนติเมตรมีอยู3.01%และมีนักเรียนที่มีความสูงมากกวา คามัธยฐานแตนอยกวา159.4อยูเซนติเมตร46.99%จงหาวามีนักเรียนที่มีความสูงไมนอยกวา155เซนติเมตรแตไมเกิน160เซนติเมตรมีกี่เปอรเซ็นต(퐵표푛푢푠 + 2)(푍 = 1퐴 = 0.3413,푍 = 1.12퐴 = 0.3686, 푍 = 1.88퐴 = 0.4699,푍 = 2.00퐴 = 0.4772, )

146.น้ําหนักและสวนสูงของนักเรียนหองหนึ่งมีการแจกแจง แบบปกติโดยมีน้ําหนักเฉล่ียเปน40กิโลกรัมสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เทากับ2กิโลกรัมสวนสูงเฉล่ียเปน150เซนติเมตรสวนเบี่ยงเบน มาตรฐานเปน4เซนติเมตรถามีนักเรียน푎%ที่มีความสูงไมต่ํากวา 145เซนติเมตรและไมเกิน155เซนติเมตรซึ่งจะเทากับจํานวน นักเรียนกลุมที่มีน้ําหนักไมต่ํากวา36กิโลกรัมและไมเกิน푏กิโลกรัม แลว푎, 푏มีคาเทาใดโดยกําหนดพื้นที่ใตโคงใหดังนี(้퐵표푛푢푠 + 2) (푍 = 1.25퐴 = 0.3944, 푍 = 2퐴 = 0.4772, 푍 = 0.88퐴 = 0.3116)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี108 147ถาน้ําหนักแรกเกิดของเด็กไทยมีการแจกแจงปกติโดยในป 2533มีน้ําหนักเฉล่ีย2500กรัมสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 250กรัมและในป2540มีน้ําหนักเฉล่ีย3240กรัม สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ200กรัมน้ําหนักแรกเกิดของ เด็กไทยที่อยูในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่97.73ของป2533 จะอยูในตําแหนงเปอรเซ็นตไทลที่เทาใดในป2540(푍 = 1퐴 = 0.3413,푍 = 1.2퐴 = 0.3849, 푍 = 2.00퐴 = 0.4773,푍 = 2.2퐴 = 0.4861, 푍 = 2.04퐴 = 0.4793)(퐵표푛푢푠 + 2)

148. ถาคะแนนสอบความถนัดทางคณิตศาสตรของนักเรียน กลุมหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติมีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ60คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ10คะแนนและทราบวา พื้นที่ใตโคงปกติมีรูปดังตารางดานลางนี้แลวนักเรียนที่สอบไดคะแนน นระหวาง75ถึง85คะแนนคิดเปนรอยละเทาไร(퐵표푛푢푠 + 2)(푍 = 1.5퐴 = 0.4332,푍 = 1.2퐴 = 0.3849, 푍 = 2.5퐴 = 0.4938,푍 = 2.2퐴 = 0.4861, 푍 = 2.04퐴 = 0.4793)(퐵표푛푢푠 + 2)

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี109 การวิเคราะหความสัมพันธเชิงฟงกชั่นระหวางขอมูล2ชุด

โดยทั่วไปความสัมพันธเชิงฟงกชั่นของขอมูลแบงออกเปน2ชนิดคือ

1)มีความสัมพันธที่เปนเสนตรงในรูปสมการ푦 = 푎푥 + 푏

2)มีความสัมพันธที่ไมเปนเสนตรงเชนในรูปสมการ푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐และ푦 = 푎푏

เรียก푥วาตัวแปรตนหรือตัวแปรอิสระ(퐼푛푑푒푝푒푛푑푒푛푡푉푎푟푖푎푏푙푒푠)เรียก푦วาตัวแปรตาม(푑푒푝푒푛푑푒푛푡푉푎푟푖푎푏푙푒푠)วิธีการหาคาพยากรณหรือการประมาณคา

วิธีที่จะทําใหความคลาดเคล่ือนในการพยากรณของความสัมพันธ

ของตัวแปร푦ดวยตัวแปร푥ใหเกิดคาคลาดเคล่ือนนอยสุดหรือ

เรียกวาวิธีกําลังสองนอยสุด(푀푒푡ℎ표푑표푓퐿푒푎푠푡푠푞푢푎푟푒)

นั่นคือ (푦 − 푦)2 มีคานอยสุด

โดยที่푦(푦 − ℎ푎푡)คือคาที่เกิดจากการประมาณจากสมการที่หาได

ซึ่งมีข้ันตอนการทําดังนี้1)นําขอมูลของตัวแปรแตละคูมาลงจุดในกระดาษกราฟ (푆푐푎푡푡푒푟푝푙표푡푠)

(2)พิจารณาลักษณะของกลุมจุดที่ลงวามีแนวโนม(푡푟푒푛푑) ใกลเคียงกับลักษณะของเสนกราฟแบบใดโดยลงเสน퐼푚푎푔푖푛푎푟푦푙푖푛푒หรือ퐸푠푡푖푚푎푡푒퐿푖푛푒

(3)การหาสมการเสนพยากรณในกรณีตางๆกรณีที่1กรณีเสนพยากรณใกลเคียงกราฟเสนตรงใหตั้งสมการสําหรับพยากรณเปน푦 = 푎푥 + 푏วิธีทําใหดําเนินการหาสมการปกติ(푁표푟푚푎푙퐸푞푢푎푡푖표푛) ดังนี ้ข้ันที่1ใส ใน푦 = 푎푥 + 푏ทั้งสองขางจะได

푦 = (푎푥 + 푏)

จะได 푦 = 푎 푥 + 푏푛 ……… . . (1)

ข้ันที่2นํา푥(ตัวแปรตน)คูณสมการ푦 = 푎푥 + 푏ทั้งสองขางจะได푥푦 = 푎푥2 + 푏푥

ข้ันที่3แลวใส ทุกเทอม

(푥푦) = (푎푥 + 푏푥)

กระจายแลวจะได 푥푦 = 푎 푥2 + 푏 푥 … (2)

ข้ันที่4นําคาตางๆมาแทนในสมการทั้งสองแลวแกสมการหาคา푎, 푏จะไดสมการเพื่อการพยากรณดังนี้푦 = 푎푥 + 푏푦ใชเขียนแทน푦ที่เกิดการแทนคา푥ในสมการที่ใชพยากรณแลวไดคา푦คา푦ที่ไดใหเขียนเปน푦กรณีที่2กรณีเสนพยากรณใกลเคียงกราฟพาราโบลาเสนพยากรณใชสมการ푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐หาสมการเสนปกติไดทํานองเดียวกับกรณีที่1ดังนี้

푦 = 푎 푥 + 푏 푥 + 푛푐 ……… . . (1)

푥푦 = 푎 푥 + 푏 푥 + 푐 푥……… . . (2)

푥 푦 = 푎 푥 + 푏 푥 + 푐 푥 ……… . . (3)

นําคาตางๆมาแทนในสมการทั้ง3แลวแกสมการหาคา푎, 푏, 푐จะไดสมการเพื่อการพยากรณดังนี้푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐

กรณีที่3เสนพยากรณใชสมการ푦 = 푎푏푥สามารถหาสมการปกติเพื่อใชแกสมการหาคา푎, 푏ไดดังนี้ 푙표푔푦 = 푛푙표푔푎 + 푙표푔푏 푥 …… (1)

(푥푙표푔푦) = 푙표푔푎 푥 + 푙표푔푏 푥 …… (2)

นําคาตางๆมาแทนในสมการทั้ง3แลวแกสมการหาคา푎, 푏จะไดสมการเพื่อการพยากรณดังนี้푦 = 푎푏

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี110 퐸푥149จากตารางตอไปนี้แสดงปริมาณของปุยที่ใชกับผลผลิตซึ่งทั้งคูมีหนวยเปนกิโลกรัมตอไรและมีความสัมพันธแบบเสนตรงจงคาดคะเนวาถาใชปุย3.5กิโลกรัมตอไรจะใหผลผลิตเทาใดตอไร วิธีทําให푥แทนปริมาณของปุยที่ใชมีหนวยเปนกิโลกรัมตอไรให푦เปนผลผลิตที่ปรากฎมีหนวยเปนกิโลกรัมตอไร สมการที่ใชคาดคะเนคือ푦 = 푎푥 + 푏สมการเสนปกติคือ ∑푦 = 푎 ∑ 푥 + 푏푛… . .…… . . (1) ∑ 푥푦 = 푎 ∑ 푥 + 푏 ∑푥 ………(2)

จากตารางจะไดวา

จากตารางจะหาคาตางๆไดดังนี้ ∑ 푦 = 54, ∑ 푥 = 15, ∑ 푥푦 = 179

푥 = 55, 푛 = 5

แทนคาในสมการ(1)และ(2) จาก(1)จะได54 = 푎(15) + 5푏 … . . (3) จาก(2)จะได179 = 푎(55) + 푏(15) … . (4)

จะกําจัดตัวแปร푏ใหหมดไปตองทําคาสปส. ของ푏ใหเทากันกอน (3) × 3,จะได162 = 45푎 + 15푏 ……… (5) (4) − (5)จะได 179 − 162 = [55푎 + 15푏] − [45푎 + 15푏] ∴ จะได17 = 10푎 ∴ 푎 = 1.7 แทนคา푎 = 1.7ใน(1)จะได 54 = (1.7)(15) + 5푏

∴ 54 = 25.5 + 5푏, ∴ 푏 = 5.7 แทนคา푎, 푏ในสมการ푦 = 푎푥 + 푏 ∴ 푦 = 1.7푥 + 5.7 ถา푥 = 3.5 ∴ 푦 = 1.7(3.5) + 5.7 = 11.65퐴푛푠.

149. กําหนดให เงินคาโฆษณาสินคา(푥)มีหนวยเปนหมื่นบาทตอเดือน และจํานวนเงินที่ขายสินคาได(푌)มีหนวยเปนแสนบาทตอเดือน ซึ่งตารางมีขอมูลดังนี้

ถาขอมูลมีความสัมพันธกันแบบเสนตรงจงหาวา ถาบริษัทลงทุนโฆษณา35,000บาทตอเดือนจะขายสินคาไดเทาไร (퐵표푛푢푠 + 3)

ปริมาณปุย(푥) 1 2 3 4 5

ผลิผลิต(푦) 8 9 10 12 15

푥푦 8 18 30 48 75 푥 1 4 9 16 25

푥 5 1 3 4 2푌 10 3 6 7 4

ปริมาณปุย 1 2 3 4 5 ผลิผลิต 8 9 10 12 15

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี111 퐸푥150จากตารางตอไปนี้แสดงปริมาณของปุยที่ใชกับผลผลิต

ซึ่งทั้งคูมีหนวยเปนกิโลกรัมตอไรและมีความสัมพันธแบบเสนตรงจงคาดคะเนวาถาจะใหมีผลผลิต20กกตอไรจะตองใชปุยเทาใรตอไร

วิธีทําใหสมการที่ใชคาดคะเนคือ푥 = 푎푦 + 푏สมการเสนปกติคือ ∑ 푥 = 푎 ∑푦 + 푏푛 ……… . . (1) ∑ 푥푦 = 푎 ∑푦 + 푏 ∑푦 …… (2) จากตารางจะไดวา푛 = 5,∑ 푦 = 54, ∑ 푥 = 15, ∑ 푥푦 = 179, ∑ 푦 = 614 แทนคาในสมการจะได15 = 푎(54)+ 5푏… . . (1) 179 = 푎(614) + 푏(54)… . (2) ใชระบบเมตริกซแกสมการโดยให54푎 + 5푏 = 15 … . . (1) 614푎 + 54푏 = 179… . . . (2)

54 5614 54

푎푏 = 15

179

∆퐴 = 54 5614 54

= 54(54) − 5(614) = 2916− 3070 = −154

∆푎 = 15 5179 54

= 15(54) − 179(5) = 810 − 895 = −85

∆푏 = 54 15614 179

= 54(179) − 15(614) = 9666 − 9210 = 456

∴ 푎 = ∆푎∆퐴 =

−85−154 =

85154

∴ 푏 = ∆푏∆퐴 =

456−154 = −

456154

จะได ∴ 푥 =85

154푦 −

456

154

ถา푦 = 20 ∴ 푥 =85

154(20) −

456

154

∴ 푥 = = 8.07퐴푛푠.

150. กําหนดให เงินคาโฆษณาสินคา(푥)มีหนวยเปนหมื่นบาทตอเดือน และจํานวนเงินที่ขายสินคาได(푌)มีหนวยเปนแสนบาทตอเดือน ซึ่งตารางมีขอมูลดังนี้

ถาตั้งเปาหมายวาตองขายสินคาใหได1,200,000บาทตอเดือน ตองลงทุนโฆษณาเทาไรตอเดือน(퐵표푛푢푠 + 2)

푥 5 1 3 4 2푌 10 3 6 7 4

ปริมาณปุย(푥) 1 2 3 4 5 푥 = 15

ผลิผลิต(푦) 8 9 10 12 15 푦 = 54

푥푦 8 18 30 48 75 푥푦 = 179

푦 64 81 100 144 225 푦 = 614

ปริมาณปุย(푥) 1 2 3 4 5ผลิผลิต(푦) 8 9 10 12 15

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี112 퐸푥151กําหนดใหความสัมพันธระหวาง푥, 푦เปนแบบพาราโบลาจงหาคา푦เมื่อ푥 = 3 วิธีทําเสนพยากรณใชสมการ푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐สามารถหาเสนปกติเพื่อใชแกสมการหาคา푎, 푏, 푐ไดดังนี ้∑ 푦 = 푎∑푥 + 푏∑푥 + 푛푐 ………… . (1) ∑ 푥푦 = 푎 ∑푥 + 푏 ∑푥 + 푐 ∑푥 …… . . (2) ∑ 푥 푦 = 푎∑푥 + 푏 ∑푥 + 푐 ∑푥 …… . (3) สรางตารางเพื่อหาคาตางๆดังนี้ แทนคาที่ไดจากตารางลงในสมการปกติจะไดวา 20 = 10푎 + 5푐……… . . (1)18 = 10푏……………… . (2)50 = 34푎 + 10푐……… . . (3)จาก(2), จะได푏 = 1.8 (1) × 2,40 = 20푎 + 10푐 … . . (4) (3) − (4),10 = 14푎

ดังนั้นจะได푎 =10

14=5

7

แทนคา푎ใน(1)จะได 20 = 10

57 + 5푐

∴ 푐 =187

จากสมการที่ใชคาดคะเน푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐แทนคา푎, 푏, 푐จะได

푦 = 57푥 +

95푥 +

187

ถา푥 = 3 ∴ 푦 =5

7(9) +

9

5(3) +

18

7≈ 14.4퐴푛푠.

151. กําหนดใหความสัมพันธระหวาง푥, 푦เปนแบบพาราโบลาจงหาคา푦เมื่อ푥 = 3(퐵표푛푢푠 + 3)

푥 −2 −1 0 1 2

푦 2 1 3 5 9

푥 -2 -1 0 1 2 ∑ 푥 = 0 푦 2 1 3 5 9 ∑ 푦 = 20 푥푦 -4 -1 0 5 18 ∑ 푥푦 = 18 푥 4 1 0 1 4 ∑ 푥 = 10 푥 -8 -1 0 1 8 ∑ 푥 = 0 푥 16 1 0 1 16 ∑ 푥 = 34 푥 푦 8 1 0 5 36 ∑ 푥 푦 = 50

푥 ∑푥 = 푦 ∑푦 = 푥푦 ∑푥푦 = 푥 ∑푥 = 푥 ∑푥 = 푥 ∑푥 = 푥 푦 ∑푥 푦 =

푥 −2 −1 0 1 2

푦 2 4 3 6 10


퐸푥152ขอมูล푥และ푦สัมพันธกันแบบ퐸푥푝표푛푒푛푡푖푎푙

จงทํานายคา푦เมื่อ푥 = 7

푥 2 3 4 5 6

푦 1000 100 1 0.001 0.0001

วิธีทําสมการที่ใชคาดคะเนคือ푦 = 푎푏푥โดยสามารถหาสมการปกติเพื่อใชแกสมการหาคา푎, 푏ได โดยเปล่ียนสมการใหอยูในรูปเหมาะสมคือ푙표푔푦 = 푙표푔푎 + 푥푙표푔푏 ∴ ∑ 푙표푔푦 = 푛푙표푔푎 + 푙표푔푏∑ 푥…… (1) 푥푙표푔푦 = 푥푙표푔푎 + 푥 푙표푔푏 ∴ ∑푥푙표푔푦 = 푙표푔푎∑푥 + 푙표푔푏∑푥 … . (2) หาคาตางๆเพื่อแทนในสมการทั้ง3แลวแกสมการหาคา푎, 푏โดย

สรางตารางเพิ่มเติมเพื่อหาคาตางๆในสมการปกติโดยสรางเพิ่มเติมดังนี้

แทนคาตางๆในสมการที่(1)และ(2)จะได−2 = 5푙표푔푎 + 20푙표푔푏 ………… . (1)

−27 = 20푙표푔푎 + 90푙표푔푏……………(2)

(1) × 4, − 8 = 20푙표푔푎 + 80푙표푔푏……………(3)

(2) − (3), −19 = 10푙표푔푏

∴ 퐿표푔푏 = −1.9

แทนคา푏ใน(1) ,− 2 = 5푙표푔푎 − 38

ดังนั้นจะได log 푎 = 7.2

∴ 푙표푔푦 = 7.2 − 1.9푥

ถา푥 = 7แลวจะได푙표푔푦 = 7.2 − 1.9(7) = −6.1

จะได푦 = 10 . 퐴푛푠.

152. ขอมูล푥และ푦สัมพันธกันแบบ퐸푥푝표푛푒푛푡푖푎푙

จงทํานายคา푦เมื่อ푥 = 5(퐵표푛푢푠 + 2)

푥 1 2 3 4

푦 1000 100 0.001 0.0001

푥 2 3 4 5 6 ∑푥 = 20

푦 1000 100 1 0.001 0.0001

푙표푔푦 3 2 0 -3 -4 ∑ 푙표푔푦 = −2

푥푙표푔푦 6 6 0 -15 -24 ∑푥푙표푔푦 = −27

푥 4 9 16 25 36 ∑푥 = 90

푥 ∑푥 = 푦

푙표푔푦 ∑ 푙표푔푦 = 푥푙표푔푦 ∑푥푙표푔푦 =

푥 ∑푥 =

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี114 การหาความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูล

ในรูปแบบอนุกรมเวลาขอมูลในรูปแบบอนุกรมเวลาหมายถึงขอมูลที่เปล่ียนแปลงตามเวลาโดยใหเวลาเปนตัวแปรอิสระและใหขอมูลที่สัมพันธกับเวลาเปน ตัวแปรตามและเพื่องายตอการคํานวณเราจึงกําหนดใหเวลาเปน คาคงที่ในลักษณะดังนี้

1)ถาขอมูลมีจํานวนพ. ศ. หรือจํานวนเดือนเปนเลขค่ีจะกําหนดเวลาแทนดวย푥ตรงจุดกึ่งกลางของขอมูลเปน0เสมอ เชนขอมูลตอไปนี้มี5เดือนควรเปล่ียนเปน푥ดังนี้

2)ถาขอมูลมีจํานวนเปนเลขคู จะกําหนดเวลาแทนดวย푥ตรงคูกลางของขอมูลเปน − 1,1และ

ระยะหางของขอมูลเทากบั2เสมอเชน

퐸푥153ตารางตอไปนี้แสดงขอมูลการสงขาวออกตางประเทศของ ประเทศไทยในชวงป2547 − 2551ซึ่งมีความสัมพันธ แบบเชิงเสนจงทํานายวาในป2553ประเทศไทยจะมีรายไดจาก การสงขาวออกขายตางประเทศเปนเงินเทาไร วิธีทําใหสมการที่ใชคาดคะเนคือ푦 = 푎푥 + 푏 สมการเสนปกติคือ ∑푦 = 푎 ∑ 푥 + 푏푛……… . . (1) ∑ 푥푦 = 푎∑푥 + 푏 ∑푥………(2)

สรางตารางเพื่อหาคาที่จําเปนตองแทนคาในสมการปกติไดดังนี้ จากตารางนําไปแทนคาในสมการปกติจะไดดังนี้ สมการปกติ(1)จะได264 = 0 + 5푏ดังนั้นb = 52.8 สมการปกติ(2)จะได32 = 10a + 0ดังนั้นa = 3.2สมการเพื่อใชคาดคะเนคือy = 3.2x + 52.8ปพ. ศ. 2553แทนดวยx = 4จะได

y = 3.2(4) + 52.8 = 65.6ลานบาทAns

153. ใหใชความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรงกับขอมูลตอไปนี้

จงประมาณวาในพ. ศ. 2556จะกําไรเทาไร(Bonus + 3)

เดือน ม. ค. ก. พ. มี. ค. เม. ย. พ. ค.푥 −2 −1 0 1 2

พ. ศ. 2546 2547 2548 2549 2550 2551푥 −5 −3 −1 1 3 5

พ. ศ. 2551 2552 2553 2554 2555กําไร

(100ลานบาท)2 3 2 4 6

푥 -2 -1 0 1 2 ∑ 푥 = 0 푦 45 50 55 56 58 ∑ 푦 = 264 푥푦 -90 -50 0 56 116 ∑ 푥푦 = 32 푥 4 1 0 1 4 ∑ 푥 = 10

พ. ศ. 2547 2548 2549 2550 2551

มูลคา(ลานบาท) 45 50 55 56 58

푥 ∑푥 =

푦 ∑푦 =

푥푦 ∑푥푦 =

푥 ∑푥 =

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี115 Ex154ตารางตอไปนี้แสดงขอมูลน้ําหนักการสงสินคาออกตางประเทศ ของบริษัทแหงหนึ่งในชวงป2547 − 2552ซึ่งมีความสัมพันธ แบบเชิงเสนตรงจงทํานายวาในป2555บริษัทนี้จะสงสินคาออกขายตางประเทศกี่ตัน

วิธีทําใหสมการที่ใชคาดคะเนคือy = ax + b

สมการเสนปกติคือ ∑ 푦 = 푎 ∑ 푥 + 푏푛 ……… . . (1)

∑ 푥푦 = 푎 ∑푥 + 푏∑푥 ………(2)

สรางตารางใหมไดดังนี้

จากสมการปกติแทนคาตางๆจะไดสมการปกติ(1)จะได31 = 0 + 6푏

ดังนั้น푏 = 316 = 5.17

สมการปกติ(2)จะได49 = 70푎 + 0

ดังนั้น푎 = 4970 = 0.7

สมการเพื่อใชคาดคะเนคือ 푦 = 0.7푥 + 5.17

ปพ. ศ. 2555แทนดวย푥 = 11จะได

푦 = 0.7(11) + 5.17 = 12.87ตัน퐴푛푠.

154.ตารางตอไปนี้แสดงขอมูลน้ําหนักการสงสินคาออกตางประเทศ ของบริษัทแหงหนึ่งในชวงป2550 − 2555มีดังนี ้ ซึ่งมีความสัมพันธแบบเชิงเสนตรงจงทํานายวาในป2557 บริษัทนี้จะสงสินคาออกขายตางประเทศกี่ตัน(퐵표푛푢푠 + 2)

พ. ศ. 2547 2548 2549 2550 2551 2552

นน. สินคา(ตัน) 2 3 4 6 7 9

푥 -5 -3 -1 1 3 5 ∑푥 = 0 푦 2 3 4 6 7 9 ∑푦 = 31 푥푦 -10 -9 -4 6 21 45 ∑푥푦 = 49

푥 25 9 1 1 9 25 ∑푥 = 70

푥 ∑푥 =

푦 ∑푦 =

푥푦 ∑푥푦 =

푥 ∑푥 =

พ.ศ. 2550 2551 2552 2553 2554 2555

น.น.(ตัน) 1 2 4 5 7 8

เอกสารประกอบการเรียนวิชาค33202ปการศึกษา2558โดยอ. สุทธิคุณวัฒนานนทหนาท่ี116 155. ในการคาดคะเนคา푦ดวยคา푥แบบเสนตรงจากขอมูลตอไปนี้

ถา푦เปนคาที่เกิดจากการประมาณดวยสมการ푦 = 푎푥 + 푏

จงหาคา (푦 − 푦)2ที่มีคานอยสุด (퐵표푛푢푠 + 3)

푥 −3 −2 0 2 3푦 −10 −9 −2 6 10

푥 ∑푥 =

푦 ∑푦 =

푥푦 ∑푥푦 =

푥 ∑푥 =

푥 푦 ∑푦 =

푦 푦 − 푦

(푦 − 푦)

Education

58 statistics