9 hinh nang cao htq

Hình học kì 1 nâng cao Thầy Hồng Trí Quang

1

Nội dung chuyên đề hình học bao gồm

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

2. Tỉ số lượng giác

3. Đường tròn

a. Định nghĩa và tính chất của đường tròn

b. Tiếp tuyến và phương pháp chứng minh tiếp tuyến

c. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

d. Đường tròn nội tiếp tam giác

e. Vị trí tương đối của hai đường tròn

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

1) AC2 = CH . CB AB2 = BH . BC

2) AH2 = HB . HC

3) AH.BC= AB.AC

4) 2 2 2

1 1 1

AH AB AC

5) BC2 = AC2 + AB2(Định lý Pi-ta-go)

Bài 1. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt nhau ở

F. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại G. Chứng

minh rằng:

a) Tam giác DEG cân

b) Tổng 2 2 2

1 1 1

DE DF DC

c) Một đường thẳng Ax thay đổi đi qua A sao cho Ax cắt đoạn DC tại M và cắt đường thẳng BC

tại N. Chứng minh rằng tổng 2 2

1 1

AM AN là không đổi.

Bài 2. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM

cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I. Biết 𝑀𝐴�� = 450

1. Chứng minh: IN = MN và MN = ND + BM

2. MN = 5 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN.

yx

64

H CB

A


2

3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( P

IK, QAK, R AI). Xác định vị trí điểm O để 222 OROQOP nhỏ nhất khi O, M di động.

Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A trung tuyến AM.

a) Chứng minh rằng 1

2AM BC

b) 015ABC . Chứng minh rằng: 2 4 .BC AB AC

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến BM, 015ABM và 16ABCS . Tính độ dài

BM

d) Nếu 075BAC , đường cao CH thỏa mãn: 1

.2

CH AB Chứng minh tam giác ABC cân.

Tự luyện

Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, các đường trung tuyến BD và CE vuông

góc với nhau.

a) Tính độ dài BC. Đs 𝐵𝐶 = 2√5

b) Tính độ dài AB, AC

Bài 5. Tính cạnh đáy BC của tam giác cân ABC biết đường cao tương ứng với cạnh đáy bằng

15,6cm và đường cao tương ứng với cạnh bên bằng 12cm. Đs BC = 13cm

Bài 6. Cho M thuộc miền trong của hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng: 𝑀𝐴2 + 𝑀𝐶2 =

𝑀𝐵2 + 𝑀𝐷2

Bài 7. Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn.

Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm

GTLN của tích KH.KM./.

Bài 8. Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Qua I dựng đường thẳng

vuông góc với IA cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh rằng :

a) 2

2

BM BI

CN CI b) BM.AC + CN.AB + AI2 = AB.AC

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN


3

Cho tam giác ABC vuông tại A. Ta có tỉ số lượng giác của góc nhọn:

sinAC

BBC

cosAB

BBC

tanAC

BAB

cotAB

BAC

Công thức cơ bản:

2 2sin cos 1B B tan .cot 1B B

sin cosB C và sin cosC B

Công thức nâng cao

2

2

11 tan

cos x

2

2

11 cot

sin x

Diện tích tam giác (trong đó r là bán kính đtròn nội tiếp) 1 1

. . .sin .2 2

S a h b c A p r

Bán kính ngoại tiếp R 2 sin sin sin

a b cR

A B C sin

2

aA

R

Bài 9. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam

giác ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC

a) Chứng minh: tanB.tanC = AD

HD

b) Chứng minh: 2

.4

BCDH DA

Bài 10. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng: bc

aA

22sin

Bài 11. Tính: sin2150 + sin2250 + sin2350 + sin2450 + sin2550 + sin2650 + sin2750

Bài 12. Cho tam giác ABC

a) Tính 0

sin15

b) Nếu tam giác ABC vuông tại A thỏa mãn 2 4 .BC AB AC thì tam giác ABC có một góc bằng

015

c) Nếu 045BAC , 075ABC . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 1

.3

AM AB Tính ACM

Tự luyện

Bài 13. Cho hình vuông ABCD, biết M, N theo thứ tự là trung điểm BC, CD.


4

a) Tính độ dài AM, AN, MN.

b) Gọi K là giao điểm của AC và MN, tính AK

c) Gọi H là hình chiếu của M trên AN, tính MH.

d) Tính cos 𝑀𝐴��

Bài 14.

a) *Cho biết sinx = 0,6. Tính cosx, tanx và cotx

b) Tính 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 015 25 35 45 55cos cos cos cos c 65 7s co 5o ssin

Bài 15. Góc nhọn của một hình thang cân bằng 600, đường phân giác của góc nhọn này chia

đường chéo của hình thang cân theo tỉ số 4:11 và chia đáy thành hai đoạn mà hiệu độ dài hai

đoạn này bằng 6cm.

a) Chứng minh rằng DC = AB + AD; b) Tính các cạnh đáy của hình thang

Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A có trọng tâm G; BD là phân giác góc B, GD vuông góc

với AC.

a) Gọi E là trung điểm AG, chứng minh rằng ED song song BC

b) Tính các góc của tam giác ABC.

Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua B.

Gọi E là điểm thuộc tia đối của tia HA sao cho HE = 2HA và I là trung điểm HE. Chứng minh

rằng

a) tan 𝐼𝐸�� = tan 𝐻𝐶��; b) Tam giác DEC vuông.

Bài 18. Góc nhọn của một hình thang cân bằng 600, đường phân giác của góc nhọn này chia

đường chéo của hình thang cân theo tỉ số 4:11 và chia đáy thành hai đoạn mà hiệu độ dài hai

đoạn này bằng 6cm.

a) Chứng minh rằng DC = AB + AD; b) Tính các cạnh đáy của hình thang

Bài 19. Cho tam giác ABC vuông tại A có trọng tâm G; BD là phân giác góc B, GD vuông góc

với AC.

c) Gọi E là trung điểm AG, chứng minh rằng ED song song BC

d) Tính các góc của tam giác ABC.

Bài 20. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua B.

Gọi E là điểm thuộc tia đối của tia HA sao cho HE = 2HA và I là trung điểm HE. Chứng minh

rằng


5

a) tan 𝐼𝐸�� = tan 𝐻𝐶��; b) Tam giác DEC vuông.

Bài 21. Tính 0 0

sin22 25'; tan22 25'mà không dùng bảng số, không dùng máy tính?

Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và 2 4 .AH AM AN , trong đó M, N

theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ H đến AC, AB. Tính số đo các góc tam giác ABC.

Bài 23. Cho tam giác ABC vuông tại A có BE là phân giác trong, I là tâm đường tròn nội tiếp.

Biết 3 1

3 1

BI

EI

. Tính số đo góc ACB?

Bài giảng thứ 3. Luyện tập

Bài 24. Ứng dụng hệ thức 0

tan15

a) Chứng minh rằng:

06 4

sin15

2

b) Tính 0

tan15

c) Cho tam giác ABC cân tại B, 0

30BAC . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho 2

2

ACBD .

Tính số đo góc CAD?

Bài 25. Cho tam giác ABC vuông ở A, AH BC, HE AB, HF AC ( H BC,

E AB, F AC).

a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B.

b. Chứng minh rằng: 3

3

AB BE

CFAC .

c. Chứng minh rằng: 33 32 2 2BC CF BE .

d. Cho BC = 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF.

Bài 26. *Cho tam giác ABC cân tại A có 0A 20 ;AB AC b;BC a . Chứng minh rằng: a3

+ b3 = 3ab2

Tự luyện

Bài 27. Tính cos 36, cos 72 mà không dùng bảng số, không dùng máy tính?


6

Bài 28. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng a, b,

c. Chứng minh rằng: ))((.. SinCSinBSinAcbaSinCcSinBbSinAa

Bài 29. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Điểm M thuộc đoạn thẳng BC. Kẻ MK vuông

góc AB, ML vuông góc AC ( K thuộc AB, L thuộc AC ). Đường thẳng qua A và vuông góc với

AM cắt MK, ML thứ tự tại E, F. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với CE, cắt Ah tại I. Chứng

minh rằng:

a) Tam giác AIB đồng dạng với tam giác MCE

b) EM ML BM AI

vàFM KM FM AC

c) Ba đường thẳng AH, BF, CE đồng quy.

Bài 30. Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE đồng

quy tại O. Vẽ EF vuông góc với BH (FBH). Chứng minh:

a) CH.AE = EF.AC

b) . os .cos . osAC c BAC BD ACB CD c ACB

Bài 31. Cho tam giác ABC có 015CAB ; 030ABC . Gọi M là trung điểm cạnh AB

a) Tính số đo góc ACM

b) Chứng minh rằng: .

2

AB BCCM

AC

Bài 32. Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm P sao cho PC = 2PB. Tính số đo góc ACB nếu

045ABC , 060CPA

ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1. Định nghĩa và sự xác định đường tròn

Bài 33. Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC theo

thứ tự tại D và E

a) Chứng minh rằng CD vuông góc với AB; BE vuông góc với AC

b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: AK vuông góc với BC

LG


7

a) Theotính chất tam giác BCD và tam giác BCE có cạnh BC là đường kính => tam giác BCD

vuông tại D (=> CD vuông góc với AB) và tam giác BCE vuông tại E (=> BE vuông góc với AC)

b) Xét tam giác ABC, ta có :

à

BE AC

CD AB

m BE CD K

K là trực tâm của tam giác ABC => AK vuông góc với BC

Tự luyện

Bài 34. *Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Gọi H là trực tâm tam giác, gọi D, M, N lần lượt là trung

điểm của BC, AB, CH. Chứng minh rằng trung điểm của MN là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

DMN.

Bài 35. *Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi M là trung điểm BC. Giả sử O

nằm trong tam giác AMC hoặc O nằm giữa A và M. Gọi I là trung điểm AC. Chứng minh rằng:

a) Chứng minh MA + MC > OA + OC

b) Chu vi tam giác IMC lớn hơn 2R

c) Chu vi tam giác ABC lớn hơn 4R

HD IM + IC + MC = IM + IA + IC > MA + MC > OA + OC = 2R

Bài 36. *Cho hai đường thẳng xy và x’y’ vuông góc nhau tại O. Một đoạn thẳng AB=6cm

chuyển động sao cho A luôn nằm trên xy và B trên x’y’. Hỏi trung điểm M của AB chuyển động

trên đường nào?

Bài 37. *Cho ba điểm A, B, C bất kì và đường tròn (O) bán kính 1. Chứng minh rằng tồn tại

điểm M nằm trên đường tròn (O) sao cho: MA + MB + MC ≥ 3.

Hd. Sử dụng nguyên lí Drichle, gọi đường kính DE và chỉ ra

(𝐷𝐴 + 𝐷𝐵 + 𝐷𝐶) + (𝐸𝐴 + 𝐸𝐵 + 𝐸𝐶) ≥ 3

Bài 2. Tính chât đối xứng của đường tròn

1. Đường kính vuông góc dây cung thì đi qua trung điểm và ngược lại.

K

E

D

OCB

A


8

2. Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.

3. Dây cung nào gần tâm hơn thì dài hơn và ngược lại.

4. Số đo của cung bằng số đo góc ở tâm

5. Hai đường thẳng song song cắt đường tròn tạo thành hai cung có số đo bằng nhau

Bài 38. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 13cm. Dây CD có độ dài 12cm vuông góc với

AB tại H.

a) Tính các độ dài đoạn HA, HB

b) *Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác CMHN.

HD b) ABCS 39 ;

2 2

CHN

ABC

S CH 6

S AH 13

CHN ABC

36 108S .S

169 13 ; 2

CMHN

8S 16 cm

13

Bài 39. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC,

AC, AB.

a) Gọi H là trực tâm của tam giác. Chứng minh hai tam giác HAB và ODE đồng dạng

b) Chứng minh 1

OD / /AH,OD AH2

c) Kẻ các đường thẳng DD’, EE’, FF’ sao cho DD’//OA, EE’//OB, FF’//OC. Chứng minh rằng

các đường DD’, EE’, FF’ đồng quy.

Bài 40. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD. Gọi H, K là chân các đường vuông

góc kẻ từ A, B đến CD. Gọi I là trung điểm CD

a) Chứng minh rằng IH = IK

b) Chứng minh rằng CH = DK

b) *Chứng minh rằng: AHKB ACB ADBS S S

c) Bết AB = 30cm, CD = 18cm, tính OI và diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB.

Hd a) gọi I là trung điểm CD b) Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB, khi đó

AHKB AEFBS S

c) ta có IO = 12cm, AHKBS AB.II ' AB.IO 30.12 360

Bài 41. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của

cạnh AB, G là trọng tâm tam giác AMC.

a) Chứng minh OA vuông góc với MG

b) Chứng minh EG song song với AB

c) Chứng minh 𝑂𝐺 ⊥ 𝑀𝐶.


9

Bài 42. Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF. Đường tròn tâm (O) đi qua D, E, F cắt

BC, CA, AB theo thứ tự tại M, N, P. Kẻ MM’, NN’, PP’ lần lượt vuông góc với BC, CA, AB.

a) Gọi I là giao điểm của MM’ và NN’, chứng minh O là trung điểm HI

b) Chứng minh ba đường MM’, NN’, PP’ đồng quy

Vấn đề 3: vị trí tương đối giữa đường thẳng d và đường tròn. (O; R)

1. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d khi đó có các trường hợp sau:

1.1. Nếu d(O;Δ) = OH > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung. Ta nói đường

thẳng và đường tròn ngoài nhau hoặc không cắt nhau.

1.2. Nếu d(O; Δ) = OH = R khi đó đường thẳng và đường tròn có một điểm chung duy nhất

chính là H. Khi đó ta nói đườngthẳng tiếp xúc đường tròn (đường thẳng này gọi là tiếp tuyến

của (O)).

1.3.Nếu d(O; Δ) = OH < R thì đường thẳng d cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A và

B. Đường thẳng này gọi là cát tuyến với (O; R).

2. Vậy muốn xác định vị trí của đường thẳng d và đường tròn ta cần tìm bán kính R và khoảng

cách d(O; d) rồi so sánh và kết luận.

Bài 43. Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB, M là một điểm thuộc nửa đường

tròn. Qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi D và C theo thứ tự là các hình chiếu của A và

B trên tiếp tuyến ấy.

a) Chứng minh M là trung điểm CD

b) Chứng minh AB = BC + AD

c) Giả sử AOM BOM , gọi E là giao điểm của AD với nửa đường tròn. Xác định dạng của tứ

giác BCDE.

d) Xác định vị trí điểm M trên nửa đường tròn ấy sao cho tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất.

Tính diện tích đó theo R

Bài 44. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn, C là

một điểm thuộc nửa đường tròn, H là hình chiếu của C trên AB. Đường thẳng qua O vuông góc

với AC cắt Ax tại M. Gọi I là giao điểm của MB và CH.

a) Gọi N là giao điểm của BC và Ax, chứng minh MA = MN.

b) Chứng minh I là trung điểm của CH.

Tự luyện

Bài 45. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn, A là

tiếp điểm. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt d tại N.

a) Chứng minh tích AM.AN không đổi khi M chuyển động trên d

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của MN


10

Bài 46. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường

tròn. Trên nửa đường tròn lấy điểm C. Các tia BC và AC lần lượt cắt Ax, By tại D và E. Gọi M,

N theo thứ tự là trung điểm của AD và BE.

a) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b) Vẽ CH vuông góc với AB, chứng minh ba đường CH, AN, BM đồng quy

HD a) Chứng minh M, C, N thẳng hàng (tổng hai góc vuông); b) Chứng minh cùng đi qua trung

điểm K của CH.

Bài toán Chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến(O; R)

Cách 1. Xác định H thuộc d sao cho OH d và chứng minh OH = R

Cách 2. Xác định H thuộc d sao cho OH = R và chứng minh OH d

Bài 47. Cho hình thang vuông ABCD tại A và D, có 090BMC với M là trung điểm AD.

a) Cách 2. Chứng minh rằng AD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

b) Cách 1. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD.

Bài 48. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm thuộc nửa đường tròn, H là

hình chiếu của C trên AB. Qua trung điểm M của CH kẻ đường vuông góc với OC, cắt nửa

đường tròn tại D và E.

a) Chứng minh rằng CO.CK = CM.CH

b) OC cắt DE ở K và cắt (O) tại I. Chứng minh rằng 2 2 .CE CO CK

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm C bán kính CD. Kí hiệu (C;CD)

Bài 49. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng với

B qua H. Đường tròn có đường kính EC cắt AC tại K. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của

đường tròn

Hai Tiếp tuyến cắt nhau

Bài 50. Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB

(Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc nửa mp có bờ là AB). Lấy M thuộc Ax, qua M kẻ tiếp

tuyến với nửa đường tròn, cắt By tại N

a) Tính góc MON

b) CMR: MN = AM + BN

c) CMR tích AM.BN không đổi

d) Tứ giác AMNB có diện tích nhỏ nhất khi nào? Tính diện tích đó

LG


11

a) - theo tc của 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

1 2

3 4

1;

2

1;

2

O O AOH MA MH

O O BOH NB NH

(1)

- ta có:

0 0

2 3

1 1.180 90

2 2MON O O AOH BOH

b) do MN = MH + NH (2)

=> từ (1) và (2) : MN = MA + NB

c) Xét tam giác MON vuông tại O, theo hệ thức về cạnh

và đường cao trong tam giác vuông, ta có :

2

2. ..

à

OH MH NH AM BNAM BN R

m OH R

Bài 51. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Với tâm B và bán kính a, vẽ cung AC nằm trong hình

vuông. Qua điểm E thuộc cung đó, vẽ tiếp tuyến với cung AC, cắt DA và DC theo thứ tự tại M và N.

a) Tính chu vi tam giác DMN

b) Tính số đo góc MBN

c) Chứng minh rằng: 2a

MN a3

Hd Chu vi = 2a, b) góc 450, c) MN + MN < DM + DN + MN = 2a; MN + MN + MN > DM + DN +

MN

Bài tập

Bài 52. Cho đường tròn (O), điểm K bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn

(A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt AB ở E. Chứng

minh rằng:

a) Tam giác KBC đồng dạng với tam giác OBE

b) CK vuông góc với OE

Bài 53. Cho đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By song song với nhau

a) Dựng đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng AB và tiếp xúc với các tia Ax, By

b) Tính góc AOB

432

1

y

x

H

N

M

R BA O


12

c) Gọi các tiếp điểm của (O) với Ax, By, AB theo thứ tự là M, N, H. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến

của đường tròn đường kính AB.

d) Các tia Ax, By có vị trí như thế nào để HM = HN.

Bài 54. Cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A, D), tia phân giác góc C đi qua trung điểm I của AD.

a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA).

b) Cho AD = 2a. Tính tích của AB.CD theo a

c) Gọi H là tiếp điểm của BC với (I) nói trên. K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng HK song

song với DC.

Bài 55. Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, D là một điểm nằm trên đường tròn. Các tiếp tuyến của

đường tròn tại A, D cắt nhau ở C. Gọi E là hình chiếu của D trên AB, gọi I là giao điểm của BC và DE.

Chứng minh rằng DI = IE.

Bài 56. Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB,

AC tại H, K. Một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các cạnh AB, AC ở M, N.

a) Cho B C . Tính MON

b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.

c) Cho BC = 2a. Tính tích BM.CN

d) Tiếp tuyến MN ở vị trí nào để tổng BM + CN nhỏ nhất

Bài 57. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, HB = 20cm, HC = 45cm. Vẽ đường tròn tâm A

bán kính AH. Kẻ các tiếp tuyến BM, Cn với đường tròn (M, N là tiếp điểm, khác H).

a) Tính diện tích tứ giác BMNC

b) Gọi K là giao điểm của CN và HA. Tính độ dài AK, KN.

c) Gọi I là giao điểm của AM và CB. Tính độ dài IM.

Bài 58. Cho đường tròn tâm O bán kính 6cm. Một điểm A nằm bên ngoài đường tròn sao cho các tiếp

tuyến AB, AC với đường tròn vuông góc với nhau (B, C là các tiếp điểm). Trên hai cạnh AB, AC lấy các

điểm D, E sao cho AD = 4cm, AE = 3cm. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đương tròn (O).

Ôn tập

Bài 59. Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ

hai MC với đường tròn. Đường vuông góc với AB tại O cắt BC ở N.

a) Có nhận xét gì về tứ giác OMNB?

b) Tìm tập hợp điểm H là trực tâm tam giác MAC khi M di động trên Ax.

Bài 60. Đề thi chọn hsg toán 9 quận Tân Bình 2003 - 2004


13

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AC. Trên tia AB lấy điểm D sao cho

AD = 3AB. Đường thẳng Dy vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại

E. Chứng minh tam giác BDE là tam giác cân.

Bài 61. Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến

thứ hai MC với đường tròn. Đường vuông góc với AB tại O cắt BC ở N.

a) Có nhận xét gì về tứ giác OMNB

b) Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác MAC khi M di động trên Ax

Tự luyện

Bài 62. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, tia phân giác của góc C đi qua trung điểm I của

AD.

a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA)

b) Cho AD = 2a. Tính tích của AB và CD theo a

c) Gọi H là tiếp điểm của BC và đường tròn (I) nói trên. K là giao điểm của AC và BD. Chứng

minh rằng HK song song với DC

Bài 63. Cho tam giác ABC cân tại A, gọi O là trung điểm BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với

AB, AC tại H, K. Một tiếp tuyến đường tròn (O) cắt các cạnh AB, AC ở M và N.

a) Cho B C . Tính MON ?

b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thanh ba tam giác đồng dạng.

c) Cho BC = 2a, tính tích BM.CN

d) Tiếp tuyến MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?

Bài 64. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), có góc C bằng 450. Đường tròn đường kính AB cắt các

cạnh AC, BC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh rằng MN OC

b) TínhAB

MN

Bài 65. *Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ nửa đường tròn (O)

đường kính AB và các tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến

cắt Ax, By thứ tự tại C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng MN vuông

góc với AB


14

Bài 66. *Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB

với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC. Tiếp tuyến đường tròn (O) tại C

cắt AB tại E. Chứng minh rằng:

a) Các tam giác KBC và OBE đồng dạng

b) CK vuông góc với OE

ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác

gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giâc là giao điểm ba đường phân

giác các góc trong của tam giác.

Tính chất 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F thưo thứ tự là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp

(O) với AB, AC, BC. Chứng minh rằng AB AC BC

AD AE2

Bài 67. Cho tam giác ABC (AC > AB) và trung tuyến AD. Các đường tròn nội tiếp tam giác

ABD và tam giác ADC tiếp xúc với AD tại E và K tương ứng. Chứng minh rằng: 𝐴𝐶 − 𝐴𝐵 =

2𝐸𝐾.

Bài 68. Cho tam giác ABC có ba cạnh tương ứng là a, b, c. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác

và tiếp xúc cạnh AB tại D. Tính số đo góc C biết: AC.BC = 2AD.DB Đs vuông tại C

Trường hợp đặc biệt, bán kính trong tam giác vuông

Bài 69. Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi S là diện tích tam giác, R là bán kính đường tròn

ngoại tiếp. Chứng minh R r 2S

Tính chất 2: Ứng dụng diện tích

Bài 70. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5. Tính độ dài AC, BC biết rằng số đo chu vi

bằng số đo diện tích.

Bài 71. Gọi a b ch ;h ;h là các đường cao tương ứng của một tam giác; r là bán kính đường tròn

nội tiếp. Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) a b ch h h 9r

b) 2 2 2

a b ch h h 27r

Tính chất 3: Tỉ số phân giác và góc ở tâm 0ABIC 90

2

Bài 72. Cho tam giác ABC vuông tại A Nếu AB = 9cm, AC = 12cm. Gọi I là tâm của đường

tròn nội tiếp, G là trọng tâm tam giác. Tính IG


15

Bài 73. Cho tam giác ABC vuông tại A (không cân). Gọi E là trung điểm của BC, I là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tam giác IEC vuông. Tính tỉ số giữa các cạnh của tam giác

ABC.

Tự luyện

Bài 74. Cơ bản Cho tam giác ABC cân tại C, nội tiếp đường tròn tâm (O) bán kính R = 1. Cạnh

bên AC gấp hai lần cạnh đáy BC. Đường tròn tâm I nội tiếp trong tam giác. Tính bán kính của

đường tròn (I).

Bài 75. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn

(B, C là các tiếp điểm). Trên AO lấy điểm M sao cho AM = AB. Các tia BM và CM lần lượt cắt

đường tròn tại một điểm thứ hai là D và E. Chứng minh rằng:

1/ M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC

2/ DE là đường kính của đường tròn (O).

Bài 76. Tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp đường tròn (I; r). Gọi G là trọng tâm tam giác.

Tính các cạnh của tam giác ABC theo r biết IG song song với AC

Bài 77. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi (O; r), (𝑂1; 𝑟1), (𝑂2; 𝑟2) theo

thứ tự là các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH.

a) Chứng minh rằng: 𝑟 + 𝑟1 + 𝑟2 = 𝐴𝐻

b) Chứng minh rằng 𝑟2 = 𝑟12 + 𝑟2

2

c) Tính 𝑂1𝑂2 nếu biết AB = 3, AC = 4

Bài 78. Cho tam giác ABC có chu vi 80cm ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn

(O) song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N.

a) Cho biết MN = 9,6 cm. Tính độ dài BC

b) Cho biết AC – AB = 6cm, tính độ dài các đoạn AB, AC, BC để MN đạt giá trị lớn nhất.

Bài 79. *Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm trên

cách cạnh BC, AB, AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến EF. Chứng minh rằng:

BHE CHF


16

Bài 80. *Cho tam giác ABC. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC tại D. Vẽ đường

kính DN của đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt AB, AC theo thứ tự tại I,

K.

a) Chứng minh rằng: NI DC

NK DB

b) Gọi F là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng BD = CF.

Bài 81. *Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt

cạnh AB và AC theo thứ tự tại M và N.

a) Tính diện tích tam giác AMN biết BC = 8, MN = 3

b) Chứng minh rằng: 𝑀𝑁2 = 𝐴𝑀2 + 𝐴𝑁2 − 𝐴𝑀. 𝐴𝑁

c) *Chứng minh rằng: 1AM AN

MB NC

Bài 82. *Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác.

Đường vuông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:

a) 2 2AM.BN IM IN

b) 2 2 2IA IB IC

1bc ca ab

ĐƯỜNG TRÒN BÀNG TIẾP

Bài 83. Đtròn bàng tiếp *Gọi D, E, F là tâm các đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC. Chứng

minh tam giác DEF là tam giác nhọn.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Hai đường tròn cắt nhau

Tính chất: Trung trực

Bài 84. Cho ba đường tròn 1 2 3; ;O O O có cùng bán kính R và cùng đi qua một điểm I. Gọi các

giao điểm khác I của ba đường tròn 1 2 2 3 3 11; ; ; ; ;O O O O O O tương ứng là A, B, C. Chứng

minh rằng:

a) 1 2 3ABC O O O

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cũng có bán kính R.

c) I là trực tâm tam giác ABC.

d) Các đường 3 2 1; ;AO BO CO đồng quy.


17

Bài 85. Cho hai đường tròn (O) và (O’) có cùng bán kính, cắt nhau tại A và B. Kẻ cát tuyến

chung DAE của hai đường tròn (D thuộc (O), E thuộc (O’)). Chứng minh rằng BD = BE.

Hai đường tròn tiếp xúc

Tính chất OO’ = R + R’

Bài 86. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài nhau tại M (R > R’). AB là tiếp

tuyến chung ngoài (A thuộc (O), B thuộc (O’)).

a) Tính độ dài AB theo R, R’ Đs 2 'AB RR

b) Gọi C là giao điểm của MB với (O). Chứng minh ba điểm A, O, C thẳng hàng

c) Tính độ dài MA, MB.

d) Nếu điểm M cố định, bán kính R, R’ không đổi. Hai điểm O, O’ thay đổi sao cho hai đường

tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc nhau tại M. Tìm quỹ tích trung điểm I của BC.

Bài 87. Áp dụng bài trên

Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài.

Đường tròn (I;r) tiếp xúc với MN và tiếp xúc ngoài với hai đường tròn (O) và (O’). Chứng minh

rằng 1 1 1

'r R R

Hai đường tròn không cắt nhau

Bài 88. Cho hai đường tròn ngoài nhau (O) và (O’). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MM’và tiếp

tuyến chung trong NN’ của hai đường tròn (M, N là tiếp điểm của đường tròn (O); M’, N’ là tiếp

điểm của đường tròn (O’)). Gọi giao điểm của MM’ và NN’ là P, giao điểm của MN và M’N’ là

Q.

a) Tính góc OPO’

b) Gọi AB là tiếp tuyến chung ngoài thứ hai, NN’ cắt AB tại K. Chứng minh KN = PN’.

c) Chứng minh ba điểm O, Q, O’ thẳng hàng.

Tự luyện

Hai đường tròn cắt nhau

Bài 89. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ đường tròn tâm A bán kính AO. Gọi CD là

tiếp tuyến chung của hai đường tròn, C thuộc (O), D thuộc (A). Đường nối tâm OA cắt đường

tròn (O) ở H. Chứng minh rằng DH là tiếp tuyến của (O).

Tiếp xúc


18

Bài 90. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi AB là đường kính của đường

tròn (O); AC là đường kính của đường tròn (O’); DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D

thuộc (O), E thuộc (O’); K là giao điểm của BD và CD.

a) Tứ giác ADKE là hình gì?

b) Chứng minh AK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

c) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng MK vuông góc với DE.

Bài 91. Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC, DE là các tiếp tuyến

chung của hai đường tròn (B, D thuộc đường tròn tâm (O)).

a) Chứng minh BDEC là hình thang cân

b) Tính diện tích hình thang cân đó.

Bài 92. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi OC là bán kính vuông góc với AB, d là

tiếp tuyến với nửa đường tròn tại C. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc trong với nửa đường tròn tâm

O và tiếp xúc với đường kính AB. Chứng minh rằng điểm I cách đều đường thẳng d và điểm O.

Hai đường tròn không giao nhau

Bài 93. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Qua (O) kẻ các tia tiếp tuyến với đường

tròn (O’), chúng cắt (O) tại A, B. Qua (O’) kẻ các tiếp tuyến với (O) chung cắt (O’) tại C và D.

Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật.

MỘT SỐ BÀI TOÁN VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ

Vẽ đường kính vuông góc với một dây cung

Bài 94. Cho góc xOy có số đo bằng 600. Lấy điểm E trên tia phân giác của góc đó. Vẽ đường

tròn (E) cắt tia Ox tại A và B, cắt tia Oy tại C và D sao cho OA < OB, OC < OD. Vẽ đường tròn

(F) đi qua ba điểm E, A, D. Chứng minh rằng:

1/ AB = CD

2/ 𝐴𝐸�� = 1200

3/ F thuộc đường tròn (E)

Vẽ tiếp tuyến chung tại điểm tiếp xúc của hai đường tròn

Bài 95. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB (C thuộc

đường tròn). Từ C vẽ tiếp tuyến xy với nửa đường tròn. Vẽ đường tròn (K) tiếp xúc với AB và

tiếp xúc với (O). Chứng minh rằng điểm K luôn cách đều điểm O và đường thẳng xy.

Bài 96. **Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Qua A kẻ hai cát tuyến cắt (O) tại C

và P, cắt (O’) tại D và Q tương ứng. Chứng minh rằng CD = PQ khi và chỉ khi AB là phân giác

của góc 𝑃𝐴��

Luyện tập


19

Bài 97. Cho đường tròn (O; R) dây AB bất kì và tiếp tuyến Ax. Vẽ BH vuông góc với Ax.

Chứng minh rằng tỉ số 2AB

BHkhông đổi

Bài 98. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC 2 2cm . Vẽ các đường tròn (B; BA) và (C;

CA). Một đường thẳng bất kì đi qua A cắt đường tròn (B) và (C) lần lượt tại D và E. Chứng

minh rằng: 2 2AD AE không đổi

Bài 99. Cho hai đường tròn đồng tâm (O) có bán kính R và r (R > r). Gọi A là một điểm cố định

trên đường tròn nhỏ. Qua A vẽ đường thẳng xy cắt đường tròn lớn tại B và C, cắt đường tròn

nhỏ tại một điểm thứ hai là D

1/ Chứng minh rằng AB = CD

2/ Vẽ dây AM của đường tròn nhỏ sao cho AM vuông góc xy. Chứng minh rằng trọng tâm G

của tam giác MBC là một điểm cố định

3/ Chứng minh rằng khi xy xoay quanh A thì tổng: 2 2 2AM AB AC không đổi.

Bài 100. *Cho đường tròn (O; 1). Lấy một điểm A cố định trên đường tròn. Vẽ tam giác

MAB vuông tại M, AB là một dây cung của đường tròn (O). Tìm giá trị lớn nhất của độ dài OM

Bài 101. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn (O) nội tiếp có bán kính r. Vẽ đường

thẳng d đi qua O cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Xác định vị trí của d để tam giác

AMN có diện tích nhỏ nhất?

Bài 102. Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm A cách O là 2R vẽ hai tiếp tuyến AD, AE

với đường tròn (D, E là tiếp điểm). Trên cung nhỏ DE lấy điểm F. Qua F vẽ tiếp tuyến thứ ba

với đường tròn cắt các tia AD, AE lần lượt tại M, N. Qua O vẽ một đường thẳng vuông góc với

OA cắt các tia AD, AE lần lượt tại B và C.

1/ Chứng minh rằng ABC ACB MON

2/ Chứng minh rằng: 2BM.CN OB

3/ Xác định vị trí của điểm F để tổng BM + CN có giá trị nhỏ nhất?

Bài 103. Cho các đường tròn (O; R) và (O; R’) có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài nhau

tại M. Vẽ các tiếp tuyến chung ngoài AB, CD với hai đường tròn trong đó A, D thuộc đường

tròn (O); B, C thuộc đường tròn (O’). Chứng minh rằng:

1/ Ba đường AB, CD, OO’ đồng quy

2/ AB + CD = BC + AD.

Bài 104. Cho đoạn thẳng AB = 2a. Đường tròn (C) tiếp xúc với AB tại A, đường tròn (D)

tiếp xúc với AB tại B, hai đường tròn này thay đổi nhưng luôn thuộc cùng một nửa mặt phẳng

bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài với nhau tại M.

1/ Hỏi điểm M di động trên đường nào?


20

2/ Chứng minh rằng: 2AC.BD a

Bài 105. *Cho đường tròn (O) và một điểm P trong đường tròn. Qua P kẻ cát tuyến APB

bất kì. Đường tròn tâm I qua A, P tiếp xúc với (O) tại A, đường tròn tâm J qua B và P tiếp xúc

với (O) tại B. Giao điểm thứ hai của hai đường tròn (I) và (J) là M. Chứng minh rằng đường

thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định khi cát tuyến APB thay đổi. Từ đó suy ra tập hợp các

điểm M nằm trên một đường tròn cố định.

Education

9 hinh nang cao htq