9 tu giac noi tiep htq

Luyện thi học sinh giỏi, thi chuyên toán lớp 10 Thầy Hồng Trí Quang

1

Nội dung

Phần 1. Kiến thức bổ sung

1. Số đo cung – góc ở tâm – góc nội tiếp

2. Góc ở trong và ngoài đường tròn

3. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Phần 2. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu 1. Tổng hai góc đối bằng 1800

Dấu hiệu 2. Hai góc cùng nhìn một cung bằng nhau

Dấu hiệu 3. Dấu hiệu tích.

Phần 3. Ứng dụng tứ giác nội tiếp

Ứng dụng hai hệ thức

Định lí P tô lê mê

Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Chứng minh ba đường đồng quy.

Tài liệu này của khóa học “Luyện thi học sinh giỏi, thi chuyên toán lớp 10” của thầy Hồng Trí

Quang

Facebook thảo luận https://www.facebook.com/chuyentoanlop9/?ref=bookmarks

SỐ ĐO CUNG – GÓC Ở TÂM – GÓC NỘI TIẾP

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại F, cắt (O) tại E. Chứng

minh:

1/ Tam giác BEC cân

2/ BEC ABC ACB

3/ . .AB AC AE AF

4/ 2 . .AF AB AC BF CE

Bài 2. Cho đường tròn (O) tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi PQ là một dây thay đổi của

đường tròn (O) sao cho PQ = R. Vẽ hình bình hành PAQM.

a) Chứng minh rằng B là trực tâm tam giác MPQ

https://www.facebook.com/chuyentoanlop9/?ref=bookmarks


2

b) Tính theo R khoảng cách từ tâm O đến PQ

c) Khi dây PQ thay đổi thì điểm M di động trên đường nào?

Bài 3. Điểm M tùy ý trên đoạn AB cố định. Trên AM và MB dựng về một phía đối với AB

hai hình vuông. Các đường tròn ngoại tiếp các hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai N.

a) Chứng minh rằng đường thẳng AN đi qua một đỉnh của hình vuông thứ hai

b) Tìm quỹ tích của điểm N khi điểm M di động trên AB

c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng nối hai tâm hình vuông

Luyện tập Góc …

Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Lấy điểm D trên cung BC (không chứa A) của

đường tròn đó. Vẽ DH vuông góc với BC; DI vuông góc với CA và BK vuông góc với AB.

Chứng minh rằng: BC AC AB

DH DI DK

Bài 5. Tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn (O) đường kính 4 2cm . Tiếp tuyến tại

C của đường tròn cắt tia phân giác góc B tại K. Tính độ dài BK biết BK cắt AC tại D và BD =

4cm.

Bài 6. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). Gọi

M là trung điểm AC. Đoạn thẳng MB cắt đường tròn tại K (khác B). Tia AK cắt đường tròn tại

D (khác K). Chứng minh rằng BD song song với AC

Bài 7. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’, r) tiếp xúc trong tại A (R > r). Dây BC của đường tròn

(O;R) tiếp xúc với (O’; r) tại M. Chứng minh rằng AM là tia phân giác góc BAC

Bài 8. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại I, AB là tiếp tuyến chung. Kẻ đường

kính AOD, từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’). Chứng minh tam giác DAE cân.

Bài 9. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD với

đường tròn (O). Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: IC MC

ID MD

Bài 10. *Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các điểm M, N theo thứ tự di

chuyển trên (O), (O’) sao cho chiều đi từ A đến M và từ A đến N trên các đường tròn theo chiều

kim đồng hồ và sđ AM = sđ AN . Chứng minh rằng đường trung trực MN luôn đi qua một điểm

cố định.

Bài 11. *Cho hai đường tròn (O; R) và (O’, R’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O) tại

A cắt (O’) tại C. Tiếp tuyến với (O’) tại A cắt (O) tại D. Gọi M là giao điểm hai đường thẳng

AB và CD. Gọi N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng:


3

1/ 2

2

'MC R

MD R 2/ CAM DAN

Bài 12. *Cho đường tròn (O), từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA và MB.

Đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại B cắt đường tròn (O) tại C. Chứng minh rằng AC đi

qua trung điểm MB.

Bài 13. *Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), A là điểm cố định; B và C thay đổi. Kẻ

đường cao BH và CK. Chứng minh rằng HK luôn song song với một đường thẳng cố định.

Bài 14. *Cho đường tròn (O), từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB, gọi

D là điểm trên cung lớn AB , đường thẳng AD cắt MB kéo dài tại E sao cho D là trung điểm của

AE. Đường thẳng MD cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng BI song song với AD.

GÓC TRONG VÀ GÓC NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

Chú ý: Hai dây cung song song tạo ra hai cung có số đo bằng nhau.

Bài 15. Cho đường tròn (O; R) với ba dây liên tiếp AB, BC, CD bằng nhau và cùng nhỏ hơn R.

Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại I, các tiếp tuyến của đường tròn tại B và D cắt nhau tại K.

Chứng minh rằng:

1/ BIC BKD 2/ IBC KBD ; CBD IBK

Bài 16. Cho tam giác ABC (AC < AB) nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Đường phân

giác trong và ngoài của góc A cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại D, E sao cho AD = AE. Tính

2 2AB AC theo R.

Bài 17. Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác. Vẽ đường tròn tâm (O) đi qua A và D

đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh

rằng:

a) EF song song với BC

b) AED ADC và AFD ADB

c) 2. .AE AC AF AB AD

Bài 18. Cho đường tròn (O; R) với ba dây cung liên tiếp AB, BC, CD bằng nhau và cùng nhỏ

hơn R. Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và D cắt

nhau tại K. Chứng minh rằng

a) BIC BKD

b) IBC KBD

c) CBD IBK


4

Bài 19. Từ điểm E ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến EAB, EDC sao cho AB < CD.

Tia DA và CB cắt nhau tại F. Tia phân giác của hai góc CEB và CFD cắt nhau tại I. Chứng minh

rằng EI FI

PP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ ỨNG DỤNG

Dấu hiệu 1 Chỉ ra hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cung một góc bằng nhau (ví dụ D DCA CB )

Dấu hiệu 2: Chỉ ra tổng hai góc đối nhau bằng 1800.

Dấu hiệu 3: Mở rộng

Nếu tứ giác ABCD có AB cắt CD tại M thỏa mãn MA.MB = MC.MD thì ABCD nội tiếp

Nếu AC cắt BD tại N thỏa mãn NA.NC = NB.ND thì ABCD nội tiếp.

Chú ý.

1. Điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Nếu qua M kẻ tiếp tuyến MN và hai cát tuyến MAB,

MCD thì 2. .MA MB MC MD MN

2. Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc cùng một đường tròn,

+) Ta chứng minh 2 tứ giác bất kì (ví dụ ABCD, ABCE) nội tiếp.

+) Ta chứng minh 5 điểm cách đều một điểm cho trước

Dấu hiệu 1. Tổng hai góc đối bằng 1800

Bài 20. Từ 1 điểm M ở ngoài (O), vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB

lấy 1 điểm C. Vẽ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với MB. Gọi I là

giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng

a) Tứ giác ICKD nội tiếp

b) IK vuông góc với CD

c) CD2 = CE.CF (góc tiếp tuyến và dây cung – hai tam giác đồng dạng)

Bài 21. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên một nửa đường tròn đường kính AB lấy

điểm C, D sao cho AC AD (D khác B). Trên nửa đường tròn còn lại lấy điểm E (khác A và

B). CE cắt AD tại I. Đường thẳng IO cắt BE tại K.

a) Gọi F là điểm đối xứng của D qua IK, chứng minh tứ giác IFEK nội tiếp

b) Chứng minh tam giác CDK vuông.

Tự luyện


5

Bài 22. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M là

giao điểm của BC và DE. Gọi O là trung điểm cạnh BC. Gọi P (khác O) là giao điểm của các

đường tròn ngoại tiếp các tam giác OBE và OCD. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác HEPD nội tiếp

b) Tứ giác MEPC nội tiếp

c) Chứng minh MP AO

Dấu hiệu 2. Hai góc cùng nhìn một cung

Bài 23. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng d cắt (O) và (O’) lần

lượt tại C và D. Hai tia CO và DO’ cắt nhau ở E. Chứng minh rằng C, A, D, E cùng thuộc một

đường tròn.

Bài 24. Cho tam giác ABC, điểm M di động trên cạnh BC. Các đường trung trực của các đoạn

thẳng BM, CM lần lượt cắt AB, AC tại D, E.

a) Gọi S là điểm đối xứng của M qua DE, SM cắt AH tại K, chứng minh tứ giác SAKB nội tiếp

b) Chứng minh rằng đường thẳng qua M và vuông góc với DE luôn đi qua điểm cố định.

Tự luyện

Bài 25. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có 2AB < BC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD =

AB. Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB ở E. Tia phân giác góc ABC cắt DE ở F.

a) Gọi N là giao điểm của AF và đường tròn (O. Đường thẳng qua D song song với AB cắt AF ở

M. Chứng minh tứ giác DNMC nội tiếp.

b) Chứng minh rằng đường thẳng AF đi qua trung điểm I của BD.

Bài 26. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm

M, vẽ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D). Gọi E, F lần lượt là giao điểm của OM với BC và

BD.

a) Kẻ tiếp tuyến MN, chứng minh tứ giác MCNE nội tiếp.

b) Chứng minh rằng OE = OF.

Bài 27. *Cho tam giác nhọn ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ax, trên nửa

mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ay sao cho 090yAC xAB . Vẽ BD Ax tại D,

CE Ay tại E. Vẽ AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh

rằng M, H, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Tam giác bằng nhau, tam giác đồng dạng.


6

Bài 28. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, M là điểm đối xứng của O qua A. Đường

thẳng qua M cắt nửa đường tròn (O) tại C và D (C nằm giữa M và D). Gọi E là giao điểm của

AD và BC.

a) Gọi N là trung điểm của OA, chứng minh tứ giác NEDB nội tiếp

b) Chứng minh rằng 3BC AE

AD BE

Bài 29. *Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến, AH là đường cao. Trên tia

đối của tia AM lấy điểm P (P khác A). Các đường thẳng qua H vuông góc với AB và AC lần

lượt cắt các đường thẳng PB và PC tại Q và R tương ứng.

a) Gọi E là giao điểm của AC và PB, F là giao điểm của AB và PC. Qua P kẻ đường thẳng song

song với BC cắt AC, AB lần lượt tại E’, F’. Gọi I là giao điểm của HQ và AB, K là giao điểm

của HR và AC. Chứng minh IK song song với QR.

b) Chứng minh tứ giác BHAS nội tiếp với S là giao điểm của RA và PB

c) Chứng minh A là trực tâm tam giác PQR

Tự luyện

Bài 30. Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại điểm M và . .MAMB MC MD thì bốn điểm

A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn.

Bài 31. Cho đường tròn (O), điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB và cát

tuyến KCD với đường tròn. Gọi M là giao điểm của OK và AB. Kẻ OH vuông góc với CD, cắt

AB ở E. Chứng minh rằng:

a) CMOE là tứ giác nội tiếp

b) CE, DE là các tiếp tuyến của (O).

Bài 32. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại E, cắt

AC tại F. Các tia BE cà CE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BH. Chứng minh rằng tứ giác

EMKF

Bài 33. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E di động trên các tia BA, CA sao cho 3BD = 2CE.

a) Vẽ (O’) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M là điểm chính giữa cung BC (M và A nằm khác phía

đối với BC). I là điểm trên cạnh BC và 3 2BI IC , MI cắt (O’) tại N khác M.

a) Chứng minh tứ giác ADEN nội tiếp.

b) Chứng minh rằng tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc một đường thẳng cố

định.

Bài 34. *Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các

đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q.


7

a) Chứng minh tứ giác AKEQ nội tiếp.

b) Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC.

Bài 35. *Cho hình thoi ABCD có 060BAD . Đường thẳng d qua C cắt AB, AD lần lượt ở M và

N. Gọi K là giao điểm của BN và DM. Chứng minh rằng A, B, D, K cùng thuộc một đường tròn.

DẤU HIỆU 4. SỬ DỤNG DẤU HIỆU TÍCH ĐỂ CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Trong chương trình toán nâng cao hình học lớp 9, chứng minh tứ giác và sử dụng tứ giác nội

tiếp là rất quan trọng. Trong đó dấu hiệu tích là dấu hiệu để nhận biết và chứng minh nhanh tứ

giác nội tiếp mà các bạn chưa khai thác. Một vài ví dụ dưới đây sẽ chỉ cho các bạn thấy ứng

dụng đơn giản mà tuyệt vời này.

Tính chất tích

Thuận. Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB, CD của một đường tròn cắt nhau tại một điểm M

(nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn) thì: . .MAMB MC MD

Đảo. Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại điểm M và . .MAMB MC MD thì bốn điểm A,

B, C, D thuộc cùng một đường tròn.

Hướng dẫn. Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh.

Chú ý. Nếu M nằm ngoài đường tròn (O), cát tuyến MAB và tiếp tuyến MP thì 2.MA MB MP

Bài 36. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) và

cát tuyến ADC. B là điểm trên cung CM (không chứa D). Gọi H là giao điểm của MN và BD, E

là giao điểm của CH và đường tròn (O).

a) Gọi K là giao điểm của AH và đường tròn ngoại tiếp tam giác (AMN). Chứng minh tứ giác

AEKC và HKCD nội tiếp.

b) Chứng minh rằng A, E, B thẳng hàng.

Bài 37. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ AB, AC là các tiếp tuyến và cát tuyến ADE

(tia AD nằm giữa hai tia AB và AO). OA cắt BC tại H. Vẽ BK vuông góc với DE tại K, KH cắt

AB tại G và cắt đường thẳng đi qua A song song với CD tại M. Vẽ AS vuông góc với GD tại S.

Chứng minh tứ giác DKMS nội tiếp

Bài 38. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) có đường tròn (O) qua A, D tiếp xúc với BC

ở N, đường tròn (I) đi qua B, C tiếp xúc với AD ở M. Chứng minh rằng tứ giác MNCD nội tiếp

Bài 39. Cho đường tròn (O) có dây cung BC (khác đường kính) cố định, A là điểm chuyển động

trên cung lớn BC, M là trung điểm dây BC. Gọi D là giao điểm của AM và cung nhỏ BC, N là

giao điểm của AB và CD.

a) Gọi E là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C. Chứng minh tứ giác

AODE nội tiếp, tứ giác BNED nội tiếp.


8

b) Chứng minh rằng N thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 40. Cho tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC (BF < CE). BE cắt CF tại H, FD

cắt đường tròn (O) tại M, ED cắt đường tròn (I) tại N. Chứng minh tứ giác DMSN nội tiếp

Bài 41. *(Thi hsg cấp tỉnh – đề số 3) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại

điểm T. Hai đường tròn này nằm trong đường tròn (O3) và tiếp xúc với (O3) tương ứng tại M và

N. Tiếp tuyến chung tại T của (O1) và (O2) cắt (O3) tại P. PM cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ

hai A và MN cắt (O1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (O2) tại điểm D và MN cắt (O2) tại

điểm thứ hai C.

a) Chứng minh rằng tứ giác AMND là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AB song song với PN.

c) Gọi E là giao điểm của AB và CD, chứng minh . .EB PN EC PM

b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp.

Luyện tập

Bài 42. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC. Vẽ AM là tiếp tuyến của

(O). Kẻ MK vuông góc với OA tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, D là giao điểm của

AH và BC. Chứng minh rằng D, H, K, O cùng thuộc một đường tròn.

Bài 43. Cho đường tròn (O), điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB và cát

tuyến KCD với đường tròn. Gọi M là giao điểm của OK và AB. Chứng minh rằng:

a) CMOD là tứ giác nội tiếp

b) Đường thẳng AB chứa tia phân giác của góc CMD.

Bài 44. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA. D là điểm nằm

trên đường tròn (H). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DB và DC. Chứng minh rằng bốn

điểm D, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.

Bài 45. Hsg TP HN. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC.

Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của hai đường

thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).

a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên đường tròn.

b) Gọi N là trung điểm BC, chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

c) Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC

Bài 46. Chuyên toán ĐHSPHN 2008 - 2009 Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên cạnh AB lấy

điểm M tùy ý (M khác A và B). Kí hiệu 1 2; ;O O O lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp

các tam giác ABC, AMC và BMC.


9

a) Chứng minh bốn điểm 1 2; ; ;C O M O cùng nằm trên một đường tròn ( )

b) Chứng minh O cũng nằm trên đường tròn ( )

c) Xác định vị trí điểm M để đường tròn ( ) có bán kính nhỏ nhất

Bài 47. (Chuyên KHTN 2002 – 2003) Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC

(M không trùng với B), N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho:

MAN MAB DAN

a) BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q. Chứng minh rằng năm điểm P, Q, M, C, N cùng

nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M, N thay

đổi

c) Kí hiệu 1S là diện tích tam giác APQ, 2S là diện tích tứ giác PQMN. Chứng minh rằng tỉ số:

1

2

S

Skhông đổi khi M và N thay đổi.

d) Tìm GTNN của MN

Bài 48. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là

trung điểm của BC, đường tròn qua B, E, I và đường tròn đi qua C, D, I cắt nhau tại K (K khác

I)

a) Chứng minh năm điểm A, E, H, K, D nằm trên cùng một đường tròn

b) *Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.

Bài 49. Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O). Gọi CD là đường kính của đường

tròn, qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng AB tại E, EO cắt cạnh BC, CA tại M

và N tương ứng. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng

a) Bốn điểm O, D, E, I nằm trên một đường tròn b) *O là trung điểm MN

Bài 50. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D trên

AC, E trên AB). Gọi I là trung điểm BC, đường tròn qua B, E, I và đường tròn qua C, D, I cắt

nhau tại K (K khác I).

a) Chứng minh rằng năm điểm A, E, H, K, D nằm trên một đường tròn và 𝐵𝐷�̂� = 𝐶𝐸�̂�

b) Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.


10

Bài 51. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, M là điểm đối xứng của O qua A. Đường

thẳng qua M cắt nửa đường tròn (O) tại C và D (C nằm giữa M và D). Gọi E là giao điểm của

AD và BC. Chứng minh rằng 3BC AE

AD BE

Bài 52. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E di động trên các tia BA, CA sao cho 3BD = 2CE.

a) Vẽ (O’) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M là điểm chính giữa cung BC (M và A nằm khác phía

đối với BC). I là điểm trên cạnh BC và 3 2BI IC , MI cắt (O’) tại N khác M. Chứng minh rằng

tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 53. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) và

cát tuyến ADC. B là điểm trên cung CM (không chứa D). Gọi H là giao điểm của MN và BD, E

là giao điểm của CH và đường tròn (O). Chứng minh rằng A, E, B thẳng hàng.

Bài 54. Cho đường tròn (O) có dây cung BC (khác đường kính) cố định, A là điểm chuyển động

trên cung lớn BC, M là trung điểm dây BC. Gọi D là giao điểm của AM và cung nhỏ BC, N là

giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng N thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 55. *Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến, AH là đường cao. Trên tia

đối của tia AM lấy điểm P (P khác A). Các đường thẳng qua H vuông góc với AB và AC lần

lượt cắt các đường thẳng PB và PC tại Q và R tương ứng. Chứng minh A là trực tâm tam giác

PQR

Bài 56. *Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các

đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q. Chứng minh

rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC.

ỨNG DỤNG TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Ứng dụng hệ thức để chứng minh đẳng thức

Hệ thức 1. Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB (B là tiếp

điểm) và các cát tuyến ACD, AEF với đường tròn. Chứng minh rằng

2 2 2. .AFAB AC AD AE AO R (*)

Hệ thức 2. Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm trong đường tròn A O . Qua A kẻ hai

dây cung CD và EF. Chứng minh rằng 2 2. .AFAC AD AE R OA (**)

Các hệ thức (*) và (**) được gọi là hệ thức lượng giác trong đường tròn. Bạn đọc có thể chứng

minh chúng bằng kiến thức của tam giác đông dạng. vận dụng hệ thức lượng đó ta sẽ giải quyết

được nhiều bài toán về chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức trong đường tròn. Sau đây là một

thí dụ minh họa.


11

Bài 57. Cho tam giác ABC với I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp

góc A. chứng minh rằng .AJ .AI AB AC .

Bài 58. Cho tam giác ABC với hai đường phân giác trong và ngoài của góc BAC lần lượt là AD

và AE. Chứng minh rằng 2 2. . D .AB AC DB DC A EB EC AE

Bài 59. Hệ thức Euler. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi I là tâm và r là bán

kính đường tròn nội tiếp, J là tâm và or là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác

ABC. Chứng minh rằng 2 2 2OI R Rr và 2 2 2 oOJ R Rr .

Tự luyện

Bài 60. Cho tam giác ABC (các góc B, C đều nhọn), các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.

chứng minh rằng 2. .BH BD CH CE BC

Bài 61. Cho M là một điểm tùy ý thuộc đường thẳng cố định d nằm ngoài đường tròn (O;R). Từ

M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O) trong đó P, Q là các tiếp điểm. Hạ OH vuông

góc với đường thẳng d. Dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K. Chứng minh rằng

a) 2. .OI OH OK OM R .

b)Khi M thay đổi trên đường thẳng d thì vị trí của điểm I luôn cố định.

Bài 62. Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp

điểm) và một cát tuyến qua M cắt đường tròn tại C, D (C nằm giữa M và D). Gọi E là giao điểm

của AB và OM. Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Chứng minh rằng 2DEC DBC .

Bài 63. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm A cắt đường tròn (O) ở C và D.

Kẻ dây BN của đường tròn(O), cắt đường tròn (A) tại điểm E ở bên trong đường tròn (O).

Chứng minh rằng 2 .NE NC ND .

Bài 64. Cho tứ giác ABCD. Các đường thẳng AD, BC và AB, CD lần lượt cắt nhau tại E và F.

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn là

2. .EA ED FA FB EF .

Định lí P tô lê mê và ứng dụng

Định lí Ptô-lê-mê có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:

-Thuận:Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng

các tích của các cặp cạnh đối diện.

- Đảo:Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của

hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn. *]

Ứng dụng định lí Ptoleme để chứng minh đẳng thức


12

Bài 65. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi M là điểm bất kì

thuộc cung BC

a) Chứng minh rằng MA = MB + MC

b) Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng: 1 1 1

MB MC MD

c) * Tính tổng 2 2 2MA MB MC theo R.

Bài 66. Cho tam giác đều ABC có các cạnh bằng a.Trên AC lấy điểm Q di động, trên tia đối

của tia CB lấy điểm P di động sao cho 2.AQ BP a . Gọi M là giao điểm của BQ và AP. Chứng

minh rằng: AM MC BM

Tam giác ABC vuông có BC > CA > AB. Gọi D là một điểm trên cạnh BC, E là một điểm trên

cạnh AB kéo dài về phía điểm A sao cho BD = BE = CA. Gọi P là một điểm trên cạnh AC sao

cho E, B, D, P nằm trên một đường tròn. Q là giao điểm thứ hai của BP với đường tròn ngoại

tiếp ABC. Chứng minh rằng: AQ + CQ = BP

(Đề thi chọn đội tuyển Hồng Kông tham dự IMO 2000, HongKong TST 2000)

Bài 67. Định lí Carnot

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) và ngoại tiếp đường tròn (I,r). Gọi x, y,

z lần lượt là khoảng cách từ O tới các cạnh tam giác. Chứng minh rằng: x y z R r

Ứn dụng Carnot:

Bài 68. *Ứng dụng Định lí Carnot

Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn (O) bán kính R = 1, có AB = 2.BC. Tính

bán kính đường tròn nội tiếp (O’) nội tiếp tam giác ABC?

Bài 69. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và AC=2AB. Các đường thẳng tiếp

xúc với đường tròn (O) tại A,C cắt nhau ở P. Chứng minh rằng BP đi qua điểm chính giữa của

cung BAC.

Bài 70. Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và

trọng tâm G. Giả sử rằng 𝑂𝐼�̂� = 900. Chứng minh rằng IG song song với BC.

Bài 71. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), CM là trung tuyến. Các tiếp tuyến tại A

và B của (O) cắt nhau ở D. Chứng minh rằng: ACD BCM

Ứng dụng định lí Ptoleme để chứng minh đẳng thức

Bài 72. Cho tứ giác nội tiếp có các cạnh liên tiếp bằng a, b, c, d và các đường chéo bằng p, q.

Chứng minh rằng: 2 2 2 2pq a b c d


13

Tự luyện

Bài 73. (149T5/246 – 45 năm).Cho tam giác ABC, biết rằng: �̂� = 2�̂� = 4�̂�. Chứng minh

rằng:

1

𝐴𝐵=

1

𝐵𝐶+

1

𝐴𝐶

Bài 74. Cho tứ giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh: . .

. .

AC BC CD AB BD

BD BC BA DC DA

Bài 75. Cho tam giác ABC với BE, CF là các đường phân giác trong. Các tia EF, FE cắt đường

tròn ngoại tiếp tam giác theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1

BM CN AM AN BN CM

Bài 76. Giả sử M, N là các điểm nằm trong tam giác ABC sao cho ;MAB NAC MBA NBC .

Chứng minh rằng: . . .

1. . .CB

AM AN BM BN CM CN

AB AC BA BC CA

Bài 77. (CMO 1988, Trung Quốc)

ABCD là một tứ giác nội tiếp với đường tròn ngoại tiếp có tâm ) và bán kính R. Các tia AB, BC,

CD, DA cắt (O,2R) lần lượt tại A′, B′, C′, D′. Chứng minh rằng:

( )2A B B C C D D A AB BC CD DA

Bài 78. Cho đường tròn (O) và dây cung BC khác đường kính. Tìm điểm A thuộc cung

lớn BC của đường tròn để AB+2AC đạt giá trị lớn nhất.

Bài 79. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (O′) nằm trong (O) tiếp xúc

với (O) tại T thuộc cung AC (ko chứa B). Kẻ các tiếp tuyến AA′,BB′,CC′tới (O′). Chứng minh

rằng: BB′.AC=AA′.BC+CC′.AB

Ứng dụng tứ giác nội tiếp Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Updating…

Chứng minh dựa vào góc

Chứng minh dựa vào song song

Bài 80. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi M, N, D

là điểm chính giữa các cung nhỏ BC, CA, AB. Giả sử MN cắt AC tại Q; MD cắt AB tại P.

Chứng minh rằng:

a) MB = MI

b) Ba điểm P, I, Q thẳng hàng.


14

Ứng dụng tứ giác nội tiếp Chứng minh ba đường đồng quy

Updating…

Education

9 tu giac noi tiep htq