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MasterZdran, Ano Lectivo 2007/2008 Versão 1.0
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Apontamentos de
Análise Matemática
(ISEL 2007/2008)
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Nota:.....................................................................................................................................................3 1- Primitivas.........................................................................................................................................4
1.1 Primitivas Imediatas (quase imediatas): ....................................................................................4 1.2 Primitivas Polinómios:...............................................................................................................4 1.3 Expressão geral de todas as primitivas de F(x):.........................................................................4 1.4 Primitivação de Funções Polinomiais:.......................................................................................5 1.5 Primitivação de Funções Racionais: ..........................................................................................5 1.6 Primitivação de Funções Racionais: ..........................................................................................5 1.7 Primitivação por Partes: .............................................................................................................6 1.8 Primitivação por Substituição: ...................................................................................................6 1.9 Sugestão de Resolução de Primitivas (Prof. Luís Lopes): .........................................................6
2- Integrais ...........................................................................................................................................8 2.1 Regra de Barrow: .......................................................................................................................8 2.2 Integrais impróprios: ..................................................................................................................8
2.2.1 Integrais impróprios de 1ª Espécie:.....................................................................................8 2.2.2 Integrais impróprios de 2ª Espécie:.....................................................................................8 2.2.3 Integrais impróprios de 1ª e 2ª Espécie:..............................................................................8
2.3 Cálculo da Área:.........................................................................................................................8 2.4 Cálculo do Volume:....................................................................................................................9 2.5 Cálculo do Comprimento:..........................................................................................................9 2.6 Integral Indefinido: ....................................................................................................................9
3- Campos Escalares ............................................................................................................................9 3.1 Resolução de FRVR:..................................................................................................................9 3.2 Continuidade e Limites: .............................................................................................................9 3.3 Obter o Limite:...........................................................................................................................9 3.4 Prolongamento por Continuidade: ...........................................................................................10
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Nota: Estes apontamentos não pretendem de forma nenhuma substituir as sebentas ou recursos existentes, pretende somente simplificar/clarificar algumas questões. Sugiro e aconselho que analisem as demonstrações dos teoremas e vejam exercícios resolvidos como forma de compreender a síntese aqui descrita.
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1- Primitivas
1.1 Primitivas Imediatas (quase imediatas): AKA: Integrais
Passos para calcular primitivas:
� Escolher uma entrada na tabela de Primitivas. � Identificar o u. � “Trabalhar” com o u. � Multiplicar por u’ (pela sua derivada)
� Multiplicar por u
1 (pelo inverso da derivada)
� Multiplicar pelo que falta da expressão. � O Resultado deve ser semelhante:
• Se vu
*'
1 for constante então o cálculo da primitiva está pronto e deve ser aplicada a sua
Primitiva. Trick Or Treat: Na escolha do u, escolher o que parecer mais “complicado”. Lista dos candidatos:
•
)(cos),sec(
),(),(
(),arg),(arg
),(),arccos(
),(),cos(
ln
uecu
uchush
chush
uarcsenu
usenu
,tg(u) arctg(u)
(u) , ,ue
,
1.2 Primitivas Polinómios:
• ( )
+=
+
∫ 1'***
1
b
uuaua
bbNota: u=polinómio; a e b são constantes.
• ( ) ∫∫∫ +=+ vuvu
1.3 Expressão geral de todas as primitivas de F(x): • Determinar a primitiva da função • Determinar o Domínio da Primitiva • “Transformar” a primitiva da função numa função por ramos. Cada ramo corresponde a uma
parte do Domínio.
( )∫ ∫
= v*u'1
u'**uu*v
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• Acrescentar uma constante Kn a cada ramo, de forma a identificar as constantes. • Recolher indicações do enunciado, que permitam obter os valores de K.
1.4 Primitivação de Funções Polinomiais: • Resolve-se como primitivas imediatas
1.5 Primitivação de Funções Racionais:
∫
Grau 1º de Polimónio
Constante
• Resolve-se como ∫
u
K1
*
( )∫
nGrau 1º de Polinómio
Constante
• Resolve-se como ( )∫ −nuK * , com 1−≠n
( )∫
Reais Zeros sem Grau 2º de PolinómioConstante
• Verificar que o polinómio não em zeros reais.
• Resolver como ∫
+ 21
1
u
( )∫
Reais Zeros sem Grau 2º de PolinómioGrau 1º de Polinómio
• Verificar que o polinómio não tem zeros reais • Separar em somas/diferenças e quocientes (caso seja possível) • Factorizar/Simplificar o mais possível • Fazer as primitivas em separado
• Resolver como ∫
u
1 ou ∫
+ 21
1
u
1.6 Primitivação de Funções Racionais:
• Se o numerador for de grau superior ao denominador, aplicar divisão de polinómios.* • Factorizar o mais possível o denominador • Decompor fracção em soma de fracções simples.
( )( ) ( )
==
+=−+++
+−
=
+−+
Variável ParteVariável Parte
Real ParteReal Parte
:mentodesenvolvi após
baxcxBdxA
dx
B
cx
A
dxcx
bax
)()(
)(
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Usando o método de Cramer para obter os valores:
∫∫
++
−=
+−+
=
−
=
−
−
=
−
)()())((
11
1
;11
1
11
dx
F
cx
E
dxcx
bax
F
cd
bd
a
E
cd
cb
a
b
a
cd
Trick Or Treat: Se tivermos tantos zeros como funções, substitui-se o x pelos zeros de cada factor da função no sistema de equações. Na decomposição de fracções simples:
• Cada factor do tipo( )nbax+ dá origem a n termos:
( ) ( ) ( )nbax
Z
bax
B
bax
A
+++
++
+...
21
• Cada factor do tipo ( )( )nbax 2+ dá origem a n termos:
( )( ) ( )( ) ( )( )nnn
bax
BxA
bax
BxA
bax
BxA222
2212
11 ...+
+++
+
++
+
+
1.7 Primitivação por Partes:
• ( ) ( ) ( )( )∫ ∫ ∫∫ −= '**. wvwvwv
1.8 Primitivação por Substituição:
• ( )( ) ( )( )∫ ∫
=dt
dxvv tx *
1.9 Sugestão de Resolução de Primitivas (Prof. Luís Lopes): • F(x) é imediatamente primitivável?
Sim. Aplicar a Primitiva
Não.
• F(x) é racional? Sim. Usar o procedimento descrito.
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Não. • F(x) é o produto de uma funções polinomial por
o Ln, arctg, arcsen, arccos, argsh, argch?
Sim. Usar Primitivação por partes, usando o polinómio como v’ ( ( )∫ v )
Não. • F(x) é apenas função de:
o Exponenciais de polinómios de 1º Grau? � Primitivação por substituição ( tex = )
o Funções trigonometrias de polinómio de primeiro grau? � Substituir:
tpolinomio
tg =
2
Trick Or Treat:
+
=
21
22
)(2 α
α
αtg
tg
sen
−
−=
21
21
)cos(2 α
α
αtg
tg
o X e de raízes de um polinómio do primeiro grau? � Substituir esse ( ) comum multiplo minimo== Mtpolinomio M ,
o F(x) é o produto de a função ( )xu por ( )xu' ?
� Substituir ( )xu =t
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2- Integrais
2.1 Regra de Barrow:
• ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]∫∫∫∫ == −== axbx
b
ax
b
a
x FFFdxF
• Se ba⟩ : ( ) ( )dxFdxFa
b
x
b
a
x ∫∫ −=
2.2 Integrais impróprios:
2.2.1 Integrais impróprios de 1ª Espécie:
• Se ( )xF tende para o infinito, ou se um dos pontos não pertence ao domínio:
o ( ) ( )
= ∫∫ →
b
c
xax
b
a
x FLimdxF
2.2.2 Integrais impróprios de 2ª Espécie: • Se um dos pontos tende para infinito:
o ( )( ) ( )
= ∫∫ +∞→
+∞
dxFLimdxFb
a
xx
a
x
2.2.3 Integrais impróprios de 1ª e 2ª Espécie:
• Misturando os casos anteriores com os mesmos pressupostos:
o ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
+
=+= ∫∫∫∫∫ +∞→→
+∞+∞ d
b
xx
b
c
xax
b
x
b
a
x
a
x dxFLimdxFLimdxFdxFdxF
Nota:
• Integral Impróprio misto é convergente se todos os integrais forem finitos
• Casos contrários são divergentes
2.3 Cálculo da Área:
• ( )xF é a função superior do gráfico esboçado
• ( )xG é a função inferior do gráfico esboçado
( ) ( )( )fxGFAb
a
xx∫ −=
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2.4 Cálculo do Volume:
• ( )xF é a função superior do gráfico esboçado
• ( )xG é a função inferior do gráfico esboçado
( )( ) ( )( )[ ]dx ∫ −=b
a
xx GFRotaçãoAng
V 22*2
.
2.5 Cálculo do Comprimento:
• ( )xF é a função do gráfico esboçado
( )( ) dxFC x∫
+= 2'1
2.6 Integral Indefinido:
• Teorema Fundamental do Cálculo Integral:
o ( ) ( )dtFYb
a
tx ∫= , definido num intervalo I.
o ( )tF é integrável em I, e Y é continua em I.
( ) ( )( )∫ ∫ +=x
a
xt KFdtF , x=a obtém-se o K
• Derivada de uma Função Integral
o ( )( ) ( )
=∫
u
a
ut uFdtF '*
3- Campos Escalares
3.1 Resolução de FRVR: o Determinar o Domínio
o Esboçar o gráfico considerando as restrições
3.2 Continuidade e Limites:
o ( ) ( ) ( )( ) ( )bayx
bayxFFLim ,,
,,=
→
3.3 Obter o Limite: São necessários vários (4) passos para verificar se existe ou não o limite.
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1. Limite iterado:
• ( ) ( ) ( ) ( )
=
→→→ yxbyax
yxbayx
FLimLimFLim ,,,,
• ( ) ( ) ( ) ( )( )yx
axbyyx
bayxFLimLimFLim ,,
,, →→→=
• Se ambos os limites forem iguais, existe um candidato a limite.
2. Limite Direccionais:
• ( ) ( ) ( ) ( )( )( )axmbax
axyx
bayxFLimFLim −+−→→
= *,,,,
• Se o limite for igual ao anterior, existe um candidato a limite.
3. Substituindo y por valores de x:
• ( ) ( ) ( ) ( )( )x
axxyyxbayx
FLimFLim→=→
→,,,
• Se o limite for igual ao anterior, existe um candidato a limite.
4. Pela definição:
• ( ) 0)(*),cos(*0
=−++→LFLim senrbra
rοο
• Substitui-se na função: )cos(* οrax +=
• Substitui-se na função: )(* οsenray +=
• L é o valor do candidato a limite
• Se o resultado deste limite for 0 (zero) então o limite da função é o valor de L, o candidato
3.4 Prolongamento por Continuidade:
==→
∈
b)(a,y)(x,, FLim
F
y)(x,(a,b)y)(x,
Dy),(x, y)(x,
),( yxF
Se não existir um limite finito, o ponto é considerado ponto de descontinuidade.
