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Apostila de Matemática Financeira

Parte 01

Autor:

Guilherme Yoshida

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Capítulo 1

1.1 - Conceito dos Elementos Básicos da Matemática Financeira

Porcentagem – Representa parte de um número.

Capital(C) – Valor aplicado.

Juros(J) – Rendimento de uma aplicação.

Taxa de Juros – Porcentagem aplicada a um capital que rende juros.

Montante(M) – É o capital acrescido de juros.

Capitalização – Incidência da taxa de juros sobre o capital.

Desconto – É o abatimento dado sobre um título de crédito quando resgatado antes do seu

vencimento.

Valor Atual ou Valor Líquido(A) – Valor de um montante com desconto.

Valor de Face ou Valor Nominal(N) – Valor total de um título na data do vencimento.

1.2 – Taxa de Juros e Taxa Unitária

Taxa unitária(i) é a taxa de juros dividida por 100. A taxa de juros é mais usada quando

queremos representar uma taxa. Ex.: 14%, 5%. Já a taxa unitária é mais usada quando vamos

resolver as operações matemáticas.

Como passar taxa de juros para taxa unitária?

Exemplos e exercícios:


1.3 – Fator de Capitalização e de Descapitalização

Fator de capitalização é a taxa unitária que devemos multiplicar a um determinado valor para

que tenhamos o valor com aumento. Ex.: Se um produto custava R$ 200 e teve um aumento

de 30%, quanto custa o produto agora? Basta multiplicar os R$ 200 pelo fator de capitalização,

que é 1,3. Assim o produto passou a custar R$ 260.

Como calcular o fator de capitalização?


Aumento de 15,6%

Aumento de 0,89%

Aumento de 67%

Aumento de 22,3%

Aumento de 59,31%

Aumento de 9,8%

Fator de descapitalização é a taxa unitária que devemos multiplicar a um determinado valor

para que tenhamos o valor com desconto. Ex.: Se um produto custava R$ 400 e teve um

desconto de 25%, quanto custa o produto agora? Basta multiplicar os R$ 400 pelo fator de

descapitalização, que é 0,75. Assim o produto passou a custar R$ 300.

Como calcular o fator de descapitalização?


Desconto de 20%

Desconto de 39,8%

Desconto de 15,4%

Desconto de 69,5%

Desconto de 47,02%

Desconto de 99,32%


Capítulo 2

2.1 - Taxa Proporcional e Taxa Equivalente

Taxa proporcional é utilizada no regime de capitalização simples, quando aplicamos taxa de

juros simples. Para encontrarmos a taxa proporcional, basta multiplicarmos a taxa pelo

período de tempo que ela será empregada.

Exemplo:

Em regime de juros simples, uma aplicação rende 5%a.m. Qual é a taxa de rendimento

semestral? Se em um mês rende 5%, então em seis meses vai render 30%.

Taxa equivalente é utilizada no regime de capitalização composta, quando aplicamos taxa de

juros composto. Para determinarmos a taxa equivalente vamos aplicar uma fórmula bem

simples.

i = taxa unitária

n = período de aplicação

Exemplo:

Uma compra foi parcelada em quatro vezes com taxa de juros composto de 3%a.m. Qual será

a taxa de juros total paga ao final das prestações?

Exercício:

Uma dívida foi renegociada e parcelada em dez vezes com taxa de juros composto de 4,2%a.m.

Qual é a taxa equivalente dessa renegociação?

2.2 - Taxa Aparente e Taxa Real

Taxa aparente não leva em consideração a inflação. Então se você ganhou um aumento de

salário de 9% e a inflação no período foi de 7%, isso significa que seu poder aquisitivo não

aumentou 9%, é um aumento aparente.

A taxa real tem como objetivo descontar a inflação do período.

Como calcular a taxa real?

Exemplo:

Um investidor teve 12% de rentabilidade com seus investimentos em um ano. Sabendo que no

mesmo período a inflação foi de 8%, qual foi a taxa real de rentabilidade desse investidor?


Exercício:

Em um ano a poupança rendeu 7%. No mesmo período a inflação apurada foi de 10%. Qual foi

a taxa real da aplicação na poupança?

Uma aplicação em CDB rendeu 21% em dois anos de aplicação. Sabe-se que no primeiro ano a

inflação foi de 9% e no segundo ano foi de 7,5%. Qual foi a taxa real dessa aplicação?

2.3 - Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Taxa nominal é quando o período de capitalização é diferente do prazo informado. A grande

vantagem da taxa nominal para o comércio é que ela deixa a taxa mais atraente por não

representar a taxa real que será cobrada, que é a grande desvantagem para o consumidor.

Exemplos:

10%a.m / bimestre (capitalizada bimestralmente)

30%a.a / dia (capitalizada diariamente)

25%a.s / mês (capitalizada mensalmente)

Taxa efetiva é quando o período de capitalização é igual ao do prazo informado. Com a taxa

efetiva o consumidor sabe quanto pagara efetivamente ao final das prestações.

Exemplos:

10%a.m / mês (capitalizada mensalmente)

30%a.a / ano (capitalizada anualmente)

25%a.s / semestre(capitalizada semestralmente)

Como calcular a taxa efetiva a partir da taxa nominal? Aplicando a técnica de taxa

proporcional.

Exemplo:

Qual é a taxa efetiva semestral de uma taxa nominal de 36%a.a capitalizada bimestralmente?

Use a proporção: 36%a.a = 6%a.b

Use a equivalência: 6%a.b =

Exercícios:

1) Qual é a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 42,6%a.s capitalizada

mensalmente?

2) Qual é a taxa efetiva mensal de uma taxa nominal de 35%a.a capitalizada

semestralmente?

3) Qual é a taxa efetiva bianual de uma taxa nominal de 22,5%a.a capitalizada

trimestralmente?


Capítulo 3

3.1 – Capitalização Simples e Composta

Capitalização simples é utilizada para calcular juros simples (tópico 3.2).

Capitalização composta é utilizada para calcular juros composto (tópico 3.3).

Vamos supor que um investidor aplicou um capital que rende uma taxa de juros de 10%a.m.

Qual será a diferença dos rendimentos se o regime de capitalização for simples ou composta?

Vejam a diferença quando um capital é aplicado a regime de capitalização simples e outro que

é aplicado a regime de capitalização composta.

No regime de capitalização simples os juros ao final de cinco meses de aplicação foram de R$

50. Já no regime de capitalização composta os juros apurado no mesmo período foi de R$

61,05.

Enquanto na capitalização simples o montante cresce linearmente na capitalização composta o

montante cresce exponencialmente.


3.2 – Juros Simples

Juros Simples

Montante

Legenda: J = Juros C = capital i = taxa unitária t= tempo

É importante lembrar que para resolver os exercícios corretamente a unidade temporal da

taxa e do período de aplicação deve ser os mesmos. Ex.: Se a taxa for i = 1%a.m, o tempo tem

que ser dado em meses. Se o a taxa for i = 1%a.s e o tempo for t = 36 meses, então devemos

passar o tempo de meses para semestre, t = 6 semestres.

Exemplo:

Um investidor aplicou R$ 500 a uma taxa de juros simples de 4%a.m durante 1 semestre. Qual

foi o juros resgatado pelo investidor?

C = 500

i = 4%a.m

t = 1 semestre = 6 meses

(Simples assim!)

Continuando esse exemplo, qual foi o montante resgatado?

3.3 – Juros Composto

Montante

Legenda: C = capital i = taxa unitária t= tempo

Em juros compostos utiliza-se nos exercícios a fórmula do montante. Tendo o montante e o

capital, para encontrar os juros basta subtrair

Da mesma forma que nos juros simples a unidade temporal da taxa e do período de aplicação

deve ser os mesmos.

Exemplo:

Um investidor aplicou R$ 700 a uma taxa de juros composto de 5%a.a durante 48 meses. Qual

foi o juros e o montante resgatado pelo investidor?

C = 700

i = 5%a.a

t = 48 meses = 4 anos


Capítulo 4

O desconto ocorre quando há antecipação no pagamento de um título. Assim, um ativo que

valeria R$ 2.000 se ficasse aplicado durante 2 anos, valerá somente R$ 1.400 se resgatado em

1,5 ano de aplicação, por exemplo.

4.1 – Desconto Simples

Precisamos conhecer dois tipos de desconto simples: desconto comercial e desconto racional.

4.1.1 – Desconto Comercial Simples

O desconto comercial simples é calculado com base no valor nominal do título. Outras

nomenclaturas comuns são: desconto bancário e desconto por fora.

Dc = desc. comercial; N = valor nominal; id = taxa de desconto; A = valor atual; t = prazo

Exemplo:

Um título com valor nominal de R$ 5.000 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento.

Qual é o desconto comercial simples e o valor atual desse título se a taxa de desconto foi de

3%a.m?

N = R$ 5mil

t = 4 meses

id = 3%a.m

Ou

4.1.2 – Desconto Racional Simples

O desconto racional simples é calculado com base no valor atual do título. Outras

nomenclaturas comuns são: desconto verdadeiro e desconto por dentro.


Dr = desc. racional; N = valor nominal; id = taxa de desconto; A = valor atual; t = prazo

Exemplo:

Um título de R$ 1000 foi resgatado 10 meses antes do seu vencimento. Considerando que

a taxa de desconto racional simples foi de 4%a.m, qual foi o valor do desconto e o valor

resgatado?

N = 1000

t = 10 meses

ir = 4%a.m

4.2 – Desconto Composto

Assim como no desconto simples, existem dois tipos de desconto composto: desconto

comercial e desconto racional.

4.2.1 – Desconto Comercial Composto

Também conhecido como desconto por fora, o desconto comercial composto é calculado

sobre o valor nominal do título.

Dc = desc. comercial; N = valor nominal; id = taxa de desconto; A = valor atual; t = prazo

Exemplo:

Um título de R$ 1.000 foi resgatado 5 meses antes do seu vencimento. Considerando que a

taxa de desconto comercial composto foi de 2%a.m, qual foi o valor do desconto e o valor

resgatado?

N = 1000

t = 5 meses

ir = 2%a.m


4.2.1 – Desconto Racional Composto

Conhecido como desconto por dentro ou racional.

Dr = desc. racional; N = valor nominal; i = taxa de desconto; A = valor atual; n = prazo

Coloquei a fórmula do desconto, mas a maneira mais fácil de calcular o valor do desconto é

usando – .

Exemplo:

Um título de R$ 2.000 foi resgatado 3 meses antes do seu vencimento. Considerando que a

taxa de desconto racional composto foi de 2%a.m, qual foi o valor resgatado?

N = 2000

n = 3 meses

ir = 2%a.m

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