教師用本

數學 複習講義B

廖志偉編著

觀念是非題，加強學習，擊敗盲點。

歷屆試題不夠看，焦點統測題才厲害。

例題數全面下修，完美佈題，總複習首選教材。

1

2

3

1040005

數學 B 測驗卷 (8 開，25 回 )

適用時機：�高二∼高三，搭配複習進度使用

作　　者：李建昌

1. 各回次順序重新調整，與模擬考同步。 更加符合高三複習進度安排。 2. 題數差異化設計，課堂時間也考得完。 以章分回 20題、以冊分回 25題。 3. 優質化佈題，該範圍考點一應俱全 數學 B複習分段卷，最首選 !!

測驗卷 &歷屆試題

特�色

數學 B 全真模擬測驗卷 (11 開，16 回 )

適用時機：�高三，複習階段第二份卷子

作　　者：廖志偉

1. 名師編著，鑑別度極佳。 各回難易度平均，品質更勝全國模考。 2. 前八回分冊演練，後八回全真模擬。 漸進式拉大範圍，逐漸熟悉統測題量。

特�色

【試在必得】數學 A、B 歷屆試題詳解

適用時機：�高三，衝刺階段以熟悉統測

作　　者：龍騰編輯小組

1. 貼心改變！各回解析移置於書末。 學生可以自己練習，也可以用來考試囉！ 2. 附有歷年考情分析，權威名師聯合教戰！ 掌握統測趨勢，熟悉大考方向，事半功倍。

特�色

題目安排由簡入深，漸進式教學

P.47

基礎概念

函數值變換

綜合應用

層次佈題

降低趕課機率、

增強學生信心

P.54

佈題功力業界第

一

告別趕課的日子

觀念是非題，告

別學習盲點

焦點統測，重要

考情一網打盡

P.47、88、234

【突破】數學B複習講義

廖志偉 / 編著

貼心附 教師用－龍騰總複習題庫光碟

觀念是非題始祖

1040005

P.54、226、345

P.251、251、30

告別學習盲點，釐清觀念才是重點

P.251

歷屆試題外，特別整理常考

題型與獨特題型，迅速了解

該章考情、題型

同時收錄數 A、B、C精選考題！

設計緊拉觀念，置於各段落

歷屆試題不夠看， 焦點統測才厲害

單元 2 三角函數

31

1. 有向角：

(1) 平面上，任取一線段OA，以O為定點，將OA依順時針或逆時針方向旋轉至OB位置

（可以重複旋轉超過一圈）而成的旋轉量，形

成 AOB∠ 稱為有向角。

(2) 正向角與負向角

�正向角 ⇒ 逆時針方向

�負向角 ⇒ 順時針方向

2. 廣義角（任意角）：

有向角不僅有正、負之分，而且它的旋轉量（度數）也不限於0°到180°之間，像這樣的角

度就稱為廣義角。

3. 角度的度量：

(1) 六十分制（以度度量）：

將一圓周分為360等分，每一等分所對之圓心角稱為一度，記作1°。

1 60'° = （分），1' 60"= （秒），即一周角 360= °。

(2) 弧度制（以弳度量）：

圓周上取一弧，當弧長等於半徑時，則此弧所對之圓心角θ

稱為一弧度（或一弳）。

即一周角2 r

r

π

= （弧度） 2π= （弧度）。

(3) 由(1)、(2)知一周角 360 2π= ° = ⇒ 180π = °

(4) 弳與度的換算：（同學不要死記公式，使用同除的技巧即可輕鬆理解）

180π = ° ⇒ 等式兩邊同除以π ⇒ 180

1π

°= 57.3°≒ （弳→度）

180π = ° ⇒ 等式兩邊同除以180 ⇒ 1180

π

° = 0.01745≒ （度→弳）

(5) 常用特別角的度量與弧度量之對照表：

度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度 0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

3

4

π

5

6

π

π

3

2

π

2π

2 三角函數

有向角及其度量 2-1

焦點一 有向角及其度量

QRcode影音解題

蘋果系列行動裝置無法觀看

單元 2 三角函數32

4. 扇形之弧長與面積：

設半徑為 r，扇形面積為 A，圓心角為θ （弧度制），所對弧長為 S，則

(1) S rθ=

(2) A1

2r S= ×

21

2r θ=

(3) OPQ△ 面積1

sin2

r r θ= × × × （已知兩邊與夾角：1

sin2ab CΔ = ）

(4) 弓形PQ面積=扇形OPQ面積− OPQ△ 面積 2 21 1sin

2 2r rθ θ= −

(1) 2

5π = 度

(2) 2 = 度

(3) 560° = 弳。

(1) 2 2

180 2 36 725 5π = × ° = × ° = °

(2) 180

2 2 1 2 2 57.3 114.6π

°= × = × = × ° °≒

(3) 28

560 560 1 560180 9

π

π° = × ° = × = （弳）

(1) 6

5π = 度

(2) 3 = 度

(3) 150° = 弳。

(1) 6 6

180 6 36 2165 5π = × ° = × ° = °

(2) 180

3 3 1 3 3 57.3 171.9π

°= × = × = × ° °≒

(3) 5

150 150 1 150180 6

π

π° = × ° = × = （弳）

若一圓弧長為 6π ，其所對圓心角為135°，求

該圓心角所對扇形面積。

3135 135 1 135

180 4

π

π° = × ° = × =

∵ 弧長 S rθ= ⇒ 3

64

rπ π= ×

⇒ 8r =

∴ 扇形面積1

2A r S= ×

18 6 24

2π π= × × =

若一圓弧長為5π ，其所對圓心角為120°，求

該圓心角所對扇形面積。

2120 120 1 120

180 3

π

π° = × ° = × =

∵ 弧長 S rθ= ⇒ 2

53

rπ π= ×

⇒ 15

2r =

∴ 扇形面積1

2A r S= ×

1 15 755

2 2 4π π= × × =

度與弧度互化 1

求扇形面積 2

解

解 解

解

單元 2 三角函數 33

2

在坐標平面上，頂點位於坐標原點，始邊在 x軸正向的有向角，稱為標

準位置角。

(1) 若標準位置角的終邊恰落在 x軸或 y軸上，則稱為象限角。

如：0°、90°、180°、270°、360°、……等。

(2) 標準位置角的終邊落在第一象限內的，稱為第一象限角（其餘三個象

限角同理）。

θ是第一象限角 ⇔ 360 360 00 9n nθ° < < +°+ °× °×

θ是第二象限角 ⇔ 360 369 8 00 1 0n nθ° < < +°+ °× °×

θ是第三象限角 ⇔ 360 360180 270n nθ+ ° °× +< < °×°

θ是第四象限角 ⇔ 360 360270 360n nθ+ ° °× +< < °×°

註：以上n為整數。

1. 兩個有向角，若具有相同始邊和相同終邊，則稱這兩個有向角為同界角。

2. 若1θ 與

2θ 為同界角 ⇔

1 2360nθ θ− = × °或

1 22nθ θ π− = 。（n為整數）

(1) 在同界角中，最小的正角稱之為最小正同界角（唯一的）。

(2) 在同界角中，最大的負角稱之為最大負同界角（唯一的）。

3. 若θ與φ為同界角，則其三角函數值均相等。

4. 任一角之最小正同界角必小於360°。

5. 最大負同界角＝最小正同界角 360− °。

兩個同界角1θ 與

2θ 之間，因為始邊與終邊相同，因此差別只是所繞的圈數不同，故可得

1 2360nθ θ− = × °，n為整數。

420°的同界角都可寫成 420 360n° + × ° ， n 為整數。……， 1020− ° ， 660− ° ，

300− °， 60°， 420°， 780°，……，均為同界角，其中任二角的差為 360°的倍

數，又60°為所有正同界角中最小的，稱為最小正同界角， 300− °為所有負同界角

中最大的，稱為最大負同界角。

(1) 1340°為第 象限角

(2) 11

5π− 為第 象限角

(3) 270°為 角。

(1) 1340 360 3 260° = °× + °

∵ 180 260 270° < ° < °

∴ 1340° 為第三象限角

(2) ( )11 1

2 15 5π π π

⎛ ⎞− = × − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∵ 1

02 5

π

π− < − < ∴ 11

5π− 為第四象限角

(3) 270°為象限角

(1) 1228− °為第 象限角

(2) 21

5π 為第 象限角

(3) 90− °為 角。

(1) ( )1228 360 4 212− ° = °× − + °

∵ 180 212 270° < ° < °

∴ 1228− °為第三象限角

(2) 21

5π

12 2

5π π= × +

∵ 1

05 2

π

π< < ∴ 21

5π 為第一象限角

(3) 90− °為象限角

焦點二 標準位置角

標準位置角

解

3

解

焦點三 同界角

補 給 站

例

單元 2 三角函數34

求下列各角之最小正同界角與最大負同界角：

(1) 1100° (2)

29

6π− 。

(1) 1100 360 3 20° = °× + °

20 360 340° − ° = − °

∴ 最小正同界角為 20°

最大負同界角為 340− °

(2) ( )29 5

2 26 6π π π− = × − −

5 72

6 6π π π− + =

∴ 最小正同界角為7

6π

最大負同界角為5

6π−

求下列各角之最小正同界角與最大負同界角：

(1) 1130− ° (2)

24

7π 。

(1) ( )1130 360 3 50− ° = °× − − °

50 360 310− °+ ° = °

∴ 最小正同界角為 310°

最大負同界角為 50− °

(2) 24 10

27 7π π π= +

10 42

7 7π π π− = −

∴ 最小正同界角為10

7π

最大負同界角為4

7π−

觀念『○』與『×』 觀念澄清加強

（×）1. 旋轉方向為順時針方向之有向角規定為正向角。 順時針 ⇒ 負向角

（○）2. 當有向角的旋轉量不限於 0°到180°之間時，就稱為廣

義角或任意角。

（○）3. 180π = ° ⇒ (1) 180

1π

°= (2) 1

180

π

° = 。

（○）4. 若θ為象限角 ⇔ 90 nθ = °× ，n∈�。

（○）5. 若θ與φ為同界角，則其三角函數值均相同。

（×）6. 60°與 360− °為同界角。 ( )60 360 420 360 n° − − ° = ° ≠ °×

1.

6

π

= 30 度；5

=3π 300 度。

★ 2. 120 =°2

3π 弧度；450 =°

5

2π 弧度。

3. 半徑為 10，圓心角為120°的扇形，其弧長=

20

3π ，面積=

100

3π 。

★ 4. 圓心角為4

5π ，且面積為10π 的扇形，其半徑= 5 ，弧長= 4π 。

5. 1700°為第 三 象限角。

★ 6. 2000− °為第 二 象限角。

7.

14

3π 為第 二 象限角。

同界角 4

解

年 月 日動手

年 月 日完成

解

單元 2 三角函數 35

2

互為倒數

8. 810°為 象限 角。

9.

11

3π− 為第 一 象限角，其最小正同界角為

3

π

，最大負同界角為5

3π− 。

★ 10. 求 1580− °之最小正同界角為 220° ，最大負同界角為 140− ° 。

1. 如圖，直角 ABC△ 中， C∠ 為直角， AB c= ， AC b= ，BC a= ，則我們定義 A∠ 的六個

三角函數如下：

sina

Ac

= =

對邊

斜邊（ A∠ 的正弦）← →csc

cA

a= =

斜邊

對邊（ A∠ 的餘割）

cosb

Ac

= =

鄰邊

斜邊（ A∠ 的餘弦）← →sec

cA

b= =

斜邊

鄰邊（ A∠ 的正割）

tana

Ab

= =

對邊

鄰邊（ A∠ 的正切）← →cot

bA

a= =

鄰邊

對邊（ A∠ 的餘切）

2. 習慣上，我們將 ( )sinn

A 記作sinn

A（其中n為正整數），如 ( )2 2

sin30 sin 30° = °。

3. 常用直角三角形邊長組：

( )1, 3,2 、 ( )1,1, 2 、 ( )3,4,5 、 ( )5,12,13 、 ( )7,24,25 、 ( )8,15,17 。

直角 ABC△ 中， C∠ 為直角， 5BC = ，

12AC = ，試求 A∠ 之各三角函數值。

由畢氏定理知：

2 2 2c a b= +

⇒ 2 2 25 12 169c = + =

⇒ 13c = ，則

5sin

13A = ←互為倒數→

13csc

5A =

12cos

13A = ←互為倒數→

13sec

12A =

5tan

12A = ←互為倒數→

12cot

5A =

直角 ABC△ 中，已知 90C∠ = °， 2AC = ，

1BC = ，試求 B∠ 之各三角函數值。

由畢氏定理知：

2 2 2c a b= +

⇒ 2 2 22 1 5c = + =

⇒ 5c = ，則

2sin

5B = ←互為倒數→

5csc

2B =

1cos

5B = ←互為倒數→

5sec

1B =

2tan

1B = ←互為倒數→

1cot

2B =

銳角三角函數的定義 2-2

焦點一 銳角（0 90θ° < < °）三角函數基本定義

銳角三角函數基本定義

解

1

解 解

單元 2 三角函數36

設θ為銳角，若sec 3θ = ，試求

tan 6 cosθ θ+ 。

∵ θ 為銳角，且3

sec 31

θ = =

如圖所示：

∴ tan 6 cosθ θ+

2 1

61 3

= + ×

2 2 2 2= + =

設θ為銳角，若 tan 3θ = ，試求

2sin 4cosθ θ+ 。

∵ θ 為銳角，且3

tan 31

θ = =

如圖所示：

∴ 2sin 4cosθ θ+

3 1

2 42 2

= × + ×

3 2= +

函數

角度 sin cos tan cot sec csc 圖示

0°（0） 0 1 0 無意義 1 無意義

15°（12

π

） 6 2

4

−

6 2

4

+ 2 3− 2 3+ 6 2− 6 2+

30°（6

π

） 1

2

3

2

3

3 3

2 3

3 2

45°（4

π

） 2

2

2

2 1 1

2 2

60°（3

π

） 3

2

1

2 3

3

3 2

2 3

3

鄰邊、斜邊、對邊 2

焦點二 特別角的三角函數值

解 解 解

單元 2 三角函數 37

2

75°（5

12

π

） 6 2

4

+

6 2

4

−

2 3+

2 3− 6 2+

6 2−

90°（2

π

） 1 0 無意義 0 無意義 1

0°～90°

為遞增函數或

遞減函數

↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓

數學公式太多，同學應該由「對應三角形」中之「角度」與「邊長比」依定義理解推導

出各特別角之值，切記不可死背喔！

試求 2 2 2sin 30 cos 45 tan 60° + °+ °之值。

原式 ( )2

221 2

32 2

⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 23

4 4= + +

15

4=

試求 2 2 2csc sec cot

3 4 6

π π π

+ + 之值。

原式 ( ) ( )2

2 222 3

3

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

4 192 3

3 3= + + =

試求sin15 cos15°+ °之值。

原式6 2 6 2

4 4

− += +

2 6 6

4 2= =

試求 tan75 cot 75°+ °之值。

原式 ( ) ( )2 3 2 3= + + −

4=

觀念『○』與『×』 觀念澄清加強

（○）1. 直角三角形 ABC 中， 5AB = ， 4AC = ， 3BC = ，則

sin cosA B= 。

（×）2. 設θ為銳角， tan 2θ = ，則3

sin2

θ = 。

2sin

3θ =

（×）3. sin1 sin18< °。

sin1 sin57.3 sin18= ° > °

（在第一象限，sin x遞增）

（×）4. cos19 cos39° < °。

cos19 cos39° > °

（在第一象限，cos x遞減）

特別角的三角函數值 3

補 給 站

特別角的三角函數值 4

解

解

解 解

單元 2 三角函數38

1. 直角 ABC△ 中， 90C∠ = °且12

sin13

A = ，則cos A =5

13， tan A =

12

5，

cot A =5

12，sec A =

13

5，csc A =

13

12。

2. 在 ABC△ 中， 90C∠ = °，3

sin5

A = ， 5AB = ，則 AC = 4 。

★ 3. 直角 ABC△ 中， 90C∠ = °， 5AB = ， 4AC = ，則 tan cotA A+ =25

12。

4. 在 ABC△ 中， 90C∠ = °，12

tan5

A = ，則cot A =5

12。

5. sin30 cos30 tan30°× °× ° =1

4。

6. cot30 csc60 cos45°× °× ° = 2 。

7. 4sin60 tan 45 cot30 sec30°× °+ °× ° = 2 3 2+ 。

★ 8. 2 cos45 csc30 tan60 cot 60°× °− °× ° = 1 。

9. cos cos sin sin6 3 6 3

π π π π

+ =3

2。

10. 化簡 2 2 2cos 30 sin 45 cot 60° + °+ ° =

19

12。

11. 化簡 2 2 2sec csc tan

3 4 6

π π π

+ + =19

3。

★ 12. 直角 ABC△ 中，已知 90C∠ = °，3

tan4

A = ，且 12BC = ，則 AB = 20 ，

AC = 16 。

若θ為銳角（0 90θ° < < °），則三角函數有下列之關係式：

1. 倒數關係：六邊形中任一對角線兩端函數的乘積為 1。

sin csc 1θ θ = ；cos sec 1θ θ = ； tan cot 1θ θ =

2. 商數關係：六邊形中任一角的函數為其相鄰兩角函數的乘積。例

如sin cos tanθ θ θ= ；sin

tancos

θθ

θ= ；

coscot

sin

θθ

θ=

年 月 日動手

年 月 日完成

三角函數的基本關係 2-3

焦點一 三角函數的基本關係

單元 2 三角函數 39

2

3. 平方關係：六邊形中每一個藍色三角形�，上方兩頂點的函數平方和等於下方頂點的函數

平方。

2 2sin cos 1θ θ+ = ； 2 2

1 tan secθ θ+ = ； 2 21 cot cscθ θ+ =

4. 餘角關係：水平線左、右兩端點的函數互為餘角關係。例如 sin cosθ θ↔ 。

( )sin cos 90θ θ= °− ； ( )cos sin 90θ θ= °−

( )tan cot 90θ θ= °− ； ( )cot tan 90θ θ= °−

( )sec csc 90θ θ= °− ； ( )csc sec 90θ θ= °−

5. 三角函數關係延伸，常用求值公式：

(1) ( )2

sin cos 1 2sin cosθ θ θ θ± = ± 。（非常重要！）

(2) 1

tan cotsin cos

θ θθ θ

+ = 。（非常重要！）

(3) ( )( )3 3sin cos sin cos 1 sin cosθ θ θ θ θ θ± = ± ∓ 。

(4) 4 4 2 2sin cos 1 2sin cosθ θ θ θ+ = − 。

(1) sin cosθ θ+ (2) sin cosθ θ− (3) sin cosθ θ (4) tan cotθ θ+

知其中一式，必可求得其餘三式。

求sin38 tan52 cos52 cot 38° ° − ° °之值。

( )cos52 sin 90 52 sin38° = °− ° = °

( )cot38 tan 90 38 tan52° = °− ° = °

∴ 原式 sin38 tan52 sin38 tan52 0= ° °− ° ° =

求cos35 csc70 sin55 sec20° ° − ° °

tan89 cot89+ ° °之值。

sin55 cos35° = °， sec20 csc70° = °

∴ 原式 cos35 csc70 cos35 csc70 1= ° °− ° ° +

0 1 1= + =

試求下列各式的值：

(1) sin 68 sec22° °

(2) 2 2sin 25 cos 25° + °

(3) 2 2sin 15 sin35 csc35 cos 15° + ° °+ °。

(1) sin68 sec22° ° = sin68 csc68 1° ° =

(2) 2 2sin 25 cos 25° + ° = 1

(3) 原式 ( )2 2sin 15 cos 15= °+ ° + sin35 csc35° °

1 1 2= + =

試求下列各式的值：

(1) sin1 cos2 sec89 csc88° ° ° °

(2) 2 2 2 2sec 30 cot 30 csc 30 tan 30° − °+ °− °。

(1) 原式= sin1 cos2 csc1 sec2° ° ° °

( ) ( )sin1 csc1 cos2 sec2= ° ° × ° °

1 1 1= × =

(2) 原式 ( )2 2sec 30 tan 30= °− ° +

( )2 2csc 30 cot 30° − ° 1 1 2= + =

餘角關係式 1

倒數與平方關係 2

解

解

解

解

補 給 站

單元 2 三角函數40

試問在坐標平面上原點O至點

( )sin 20 ,sin 70P ° ° 的距離為何？

∵ ( )sin70 sin 90 20 cos20° = ° − ° = °

∴ ( ) ( )2 2

sin20 0 sin70 0OP = °− + °−

2 2sin 20 sin 70= °+ °

2 2sin 20 cos 20= °+ °

1 1= =

試問在坐標平面上原點O至點

( )cos10 ,cos80P ° ° 的距離為何？

∵ ( )cos10 cos 90 80 sin80° = °− ° = °

∴ ( ) ( )2 2

cos10 0 cos80 0OP = °− + °−

2 2cos 10 cos 80= °+ °

2 2sin 80 cos 80= °+ °

1 1= =

若3

tan4

θ = ，求4sin 6cos

8sin 5cos

θ θ

θ θ

−

−

之值。

將原式分子、分母同除以 cosθ 得

4tan 6

8tan 5

θ

θ

−

−

34 6

343

3 18 5

4

× −−

= = = −

× −

若4

cot3

θ = ，求6cos 6sin

3cos 3sin

θ θ

θ θ

−

−

之值。

將原式分子、分母同除以 sinθ 得

6cot 6

3cot 3

θ

θ

−

−

46 6

3

43 3

3

× −

=

× −

22

1= =

設θ為銳角，且1

sin cos3

θ θ− = ，試求：

(1) sin cosθ θ (2) sin cosθ θ+

(3) 3 3sin cosθ θ− 之值（進階）。

(1) ∵ 1

sin cos3

θ θ− =

⇒ ( )2

2 1sin cos

3θ θ

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ 1

1 2sin cos9

θ θ− =

∴ 4

sin cos9

θ θ =

(2) ∵ ( )2

sin cos 1 2sin cosθ θ θ θ+ = +

4 171 2

9 9= + × =

∴ sin cosθ θ+17

3= ±

（負不合 ∵ θ 為銳角）

(3) 3 3sin cosθ θ−

( )( )sin cos 1 sin cosθ θ θ θ= − +

1 41

3 9

⎛ ⎞= × +⎜ ⎟

⎝ ⎠

13

27=

設θ為銳角，且1

sin cos2

θ θ− = ，試求：

(1) sin cosθ θ (2) tan cotθ θ+

(3) 3 3sin cosθ θ− 之值（進階）。

(1) ∵ 1

sin cos2

θ θ− =

⇒ ( )2

2 1sin cos

2θ θ

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ 1

1 2sin cos4

θ θ− =

∴ 3

sin cos8

θ θ =

(2) tan cotθ θ+1 8

sin cos 3θ θ= =

(3) 3 3sin cosθ θ−

( )( )sin cos 1 sin cosθ θ θ θ= − +

1 31

2 8

⎛ ⎞= × +⎜ ⎟

⎝ ⎠

11

16=

商數關係應用 4

基本關係的應用 5

餘角、平方關係式的應用 3

解 解

解 解

解 解

單元 2 三角函數 41

2

觀念『○』與『×』 觀念澄清加強

（○）1. 1 sin csc cos sec tan cotθ θ θ θ θ θ= × = × = × 。

（○）2.

2 2 2 2 2 21 sin cos sec tan csc cotθ θ θ θ θ θ= + = − = − 。

（○）3.

1tan cot

sin cosθ θ

θ θ+ = 。

（○）4. ( )2

sin cos 1 2sin cosθ θ θ θ± = ± 。

1. 2 2sin 28.5 cos 28.5° + ° = 1 。

2.

2 2tan 13 csc 77° − ° = 1− 。

3. sin38 cos38 tan38 cot38 sec38 csc38°× °× °× °× °× ° = 1 。

4.

2 2 2 2 2sin 10 sin 40 sin 50 sin 60 sin 80° + ° + ° + ° + ° =

11

4。

5.

2 2 2 2sin 55 tan 20 sec 20 cos 55° + ° − ° + ° = 0 。

6.

2 2 2 2sin 33 (csc 49 cot 49 ) sin 57° ° − ° + ° = 1 。

7. 已知 sin cosx θ θ= + ， siny θ= ，求 2 22 2x xy y− + 之值為 1 。

★ 8. 設θ為銳角且5

sin13

θ = ，12

cos13

θ = ，求 ( ) ( )csc 90 cot 90θ θ° − + °− 之值=

3

2。

★ 9. 設3

tan2

θ = ，則2sin 5cos

3cos 6sin

θ θ

θ θ

+=

−

4

3− 。

10. 設cot 3θ = ，則sin cos

2sin 3cos

θ θ

θ θ

−=

+

2

11− 。

★ 11. 已知θ為銳角，且sin cos 2θ θ+ = ，則：

(1) sin cosθ θ =1

2 (2) 3 3

sin cosθ θ+ =2

2。

12. 設2

sin cos9

θ θ = ，0 90θ° < < °，則

(1) tan cotθ θ+ =

9

2 (2) sin cosθ θ+ =

13

3。

年 月 日動手

年 月 日完成

單元 2 三角函數42

設 ( , )P x y 為標準位置角θ終邊上異於原點的任一點，

令 2 2r OP x y= = + （恆正），且 x、 y在四個象限

可正、可負，則定義：

(1) siny

rθ = ← →(6) csc

r

yθ =

(2) cosx

r

θ = ← →(5) secr

xθ =

(3) tany

xθ = ← →(4) cot

x

yθ =

如同銳角三角函數，平方關係、倒數關係、商數關係等基本關係式，在任意角三角函數

仍然成立。

若 ( )3,4P − 為標準位置角θ 終邊上之一點，試

求角θ之各三角函數值。

由定義

⇒ 2 2r x y= +

⇒ ( )2 2

3 4 5r = − + =

則

4sin

5θ = ←互為倒數→

5csc

4θ =

3cos

5θ

−

= ←互為倒數→

5sec

3θ =

−

4tan

3θ =

−

←互為倒數→

3cot

4θ

−

=

若 ( )12, 5P − 為標準位置角θ終邊上之一點，試

求角θ之各三角函數值。

由定義

⇒ 2 2r x y= +

⇒ ( )22

12 5 13r = + − =

則

5sin

13θ

−

= ←互為倒數→

13csc

5θ =

−

12cos

13θ = ←互為倒數→

13sec

12θ =

5tan

12θ

−

= ←互為倒數→

12cot

5θ =

−

廣義角三角函數基本定義

解

1

任意角（廣義角）的三角函數 2-4

焦點一 廣義角三角函數基本定義

補 給 站

互為倒數

解

單元 2 三角函數 43

2

由於 ( ),P x y 可在任一象限內，故 x y、 有正負之分，所以各三角函數值在各個象限亦有正負之

別。

象限

函數

一 二 三 四

sin

csc

θ

θ ＋ ＋ － －

cos

sec

θ

θ ＋ － － ＋

tan

cot

θ

θ ＋ － ＋ －

設θ 為實數，若1

sin cos2

θ θ− = ，試求下列

各式之值：(1) sin cosθ θ (2) sec cscθ θ− 。

(1) 1

sin cos2

θ θ− = （將兩邊平方）

⇒ 2 2 1sin 2sin cos cos

2θ θ θ θ− + =

⇒ 1

1 2sin cos2

θ θ− =

⇒ 1

sin cos4

θ θ =

(2) 1 1 sin cos

sec csccos sin sin cos

θ θθ θ

θ θ θ θ

−

− = − =

1

22 2

1

4

= =

設θ 為實數，若2

sin cos5

θ θ+ = ，試求下列

各式之值：(1) sin cosθ θ (2) tan cotθ θ+ 。

(1) 2

sin cos5

θ θ+ = （將兩邊平方）

⇒ 2 2 4sin 2sin cos cos

5θ θ θ θ+ + =

⇒ 4

1 2sin cos5

θ θ+ =

⇒ 1

sin cos10

θ θ = −

(2) sin cos 1

tan cotcos sin sin cos

θ θθ θ

θ θ θ θ+ = + =

10= −

若點 ( )tan ,secθ θ 在第三象限內，則θ 在第幾

象限？

∵ 點 ( )tan ,secθ θ 在第三象限內

⇒ tan 0

sec 0

θ

θ

<⎧⎨

<⎩ ⇒

θ

θ

∈⎧⎨

∈⎩

二、四象限

二、三象限

∴ θ 為第二象限角

若點 ( )sin ,cotθ θ 在第二象限內，則θ 在第幾

象限？

∵ 點 ( )sin ,cotθ θ 在第二象限內

⇒ sin 0

cot 0

θ

θ

<⎧⎨

>⎩ ⇒

θ

θ

∈⎧⎨

∈⎩

三、四象限

一、三象限

∴ θ 為第三象限角

焦點二 廣義三角函數值的正負

三角函數基本關係的應用 2

判別θ所在象限

解

3

解

解 解

單元 2 三角函數44

設θ在第二象限內，且3

sin5

θ = ，求

tan secθ θ+ 之值。

∵ θ 在第二象限內

又3

sin5

θ = ， 如圖

3tan

4θ =

−

，5

sec4

θ =

−

∴ tan secθ θ+3 5

4 4= +

− −

82

4= − = −

設θ在第四象限內，且1

cos2

θ = ，求

2sin tanθ θ+ 之值。

∵ θ 在第四象限內

又1

cos2

θ = ，如圖

3sin

2θ

−

= ， tan 3θ = −

∴ 2sin tanθ θ+3

2 32

⎛ ⎞−= × −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠2 3= −

設3

tan4

θ = − 且 cos 0θ < ，求5sin 4secθ θ+ 之

值。

∵ tan 0

cos 0

θ

θ

<⎧⎨

<⎩ ⇒

θ

θ

∈⎧⎨

∈⎩

二、四象限

二、三象限

⇒ θ 為第二象限角

且3

tan4

θ = − ，如圖

⇒ 3

sin5

θ = ，5

sec4

θ =

−

∴ 5sin 4secθ θ+3 5

5 45 4

⎛ ⎞= × + ×⎜ ⎟−⎝ ⎠

2= −

若5

sin13

θ = − 且 tan > 0θ ，求

13cos 12tanθ θ+ 之值。

∵ sin 0

tan 0

θ

θ

<⎧⎨

>⎩ ⇒

θ

θ

∈⎧⎨

∈⎩

三、四象限

一、三象限

⇒ θ 為第三象限角

且5

sin13

θ = − ，如圖

⇒ 12

cos13

θ−

= ，5

tan12

θ =

∴ 13cos 12tanθ θ+12 5

13 1213 12

−⎛ ⎞= × + ×⎜ ⎟

⎝ ⎠7= −

任意角三角函數求值：θ之象限已知 4

任意角三角函數求值：θ之象限未知 5

解 解

解 解

單元 2 三角函數 45

2

設θ為標準位置角， ( ),P x y 為θ終邊上異於原點之點，

(1) 當θ角之終邊落在 x軸時 ⇔ 0y = 。

(2) 當θ角之終邊落在 y軸時 ⇔ 0x = 。

角度

函數

0° 90° 180° 270°

sin 0 1

0 1−

cos 1

0 1−

0

tan 0

無意義 0

無意義

cot 無意義 0

無意義 0

sec 1

無意義 1−

無意義

csc 無意義 1

無意義 1−

只需記住 ( )cos ,sinθ θ 之單位圓象限角之值，其餘的四組象限角三角函數值，則可由

「商數關係」與「倒數關係」求得，不可死背。

求cos90 5tan0 4sec180° + °− °之值。

原式 ( )0 5 0 4 1 4= + × − − =

求3sin0 4cot90 5csc270°+ °+ °之值。

原式 ( )3 0 4 0 5 1 5= × + × + × − = −

1. 同界角之三角函數值相等（n∈�）：

( )sin 2 sinnπ θ θ+ = ( )csc 2 cscnπ θ θ+ =

( )cos 2 cosnπ θ θ+ = ( )sec 2 secnπ θ θ+ =

( )tan 2 tannπ θ θ+ = ( )cot 2 cotnπ θ θ+ =

象限角函數值

解

6

解

焦點三 象限角的三角函數值

焦點四 化任意角為銳角

例

(1) ( )cos405 cos 360 1 45 cos45° = °× + ° = °

(2) ( )sin 750 sin 360 2 30 sin30° = °× + ° = °

補 給 站

單元 2 三角函數46

2. 化任意角的三角函數為銳角的三角函數（設θ為銳角）：

x軸角度（函數不需正餘互換） 正負號判斷圖

角度

函數

θ−

（負角公式）

π θ− π θ+ 2π θ− 2π θ+

sin sinθ− sinθ sinθ− sinθ− sinθ

cos cosθ cosθ− cosθ− cosθ cosθ

tan tanθ− tanθ− tanθ tanθ− tanθ

cot cotθ− cotθ− cotθ cotθ− cotθ

sec secθ secθ− secθ− secθ secθ

csc cscθ− cscθ cscθ− cscθ− cscθ

y軸角度（函數需正餘互換） 正負號判斷圖

角度

函數

2

πθ−

2

πθ+

3

2

πθ−

3

2

πθ+

sin cosθ cosθ cosθ− cosθ−

cos sinθ sinθ− sinθ− sinθ

tan cotθ cotθ− cotθ cotθ−

cot tanθ tanθ− tanθ tanθ−

sec cscθ cscθ− cscθ− cscθ

csc secθ secθ secθ− secθ−

3. 化任意角為銳角函數之步驟：

(1) 遇負角利用負角公式，先化負角函數為正角函數。

(2) 利用同界角觀念減去 2nπ 角度，化正角函數為最小正同界角函數（介於 0 360° °～ 之

間）。

(3) 利用2

πθ± 、π θ± 、

3

2

πθ± 、2π θ± ，化最小正同界角函數為銳角函數（0 90° °～ ）。

(4) 使用0 90° °～ 特別角求三角函數值。

x軸角度 y軸角度

原函數不變

( )1

sin 210 sin 180 30 sin302

° = °+ ° = − ° = −

原函數在第三象限為“－”

函數互換（正 ⇔ 餘）

( )1

sin 210 sin 270 60 cos602

° = °− ° = − ° = −

原函數在第三象限為“－”

原函數不變

( )2

cos315 cos 360 45 cos452

° = ° − ° = + ° = +

原函數在第四象限為“＋”

函數互換（正 ⇔ 餘）

( )2

cos315 cos 270 45 sin 452

° = °+ ° = + ° = +

原函數在第四象限為“＋”

例

單元 2 三角函數 47

2

求下列各式之值：

(1) ( )sin 45− ° (2) ( )cos 45− °

(3) sec3

π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠。

(1) ( )sin 45− °

1 2sin 45

22

−= − ° = − =

(2) ( )cos 45− °

1cos45

2= ° =

2

2=

(3) sec3

π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠sec 2

3

π

= =

求下列各式之值：

(1) ( )tan 30− ° (2) ( )cot 30− °

(3) csc3

π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠。

(1) ( )tan 30− °

1tan30

3= − ° = −

3

3

−

=

(2) ( )cot 30− ° cot30 3= − ° = −

(3) csc3

π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

2csc

3 3

π

= − = −

2 3

3

−

=

求下列各式之值：

(1) sin120° (2) cot390°。

(1) sin120° ( )sin 180 60= °− ° sin60= °3

2=

(2) cot390° ( )cot 360 30= °+ ° cot30= ° 3=

求下列各式之值：

(1) tan 210° (2) cos300°。

(1) tan 210° ( )tan 180 30= °+ ° tan30= °1

3=

3

3=

(2) cos300° ( )cos 360 60= °− ° cos60= °1

2=

試求 ( ) ( )sin 210 tan 135 sec 300°+ − ° + − ° 之值。

原式 sin 210 tan135 sec300= °− °+ °

( ) ( )sin 180 30 tan 180 45= °+ ° − °− °

( )sec 360 60+ °− °

sin30 tan 45 sec60= − °+ °+ °

11 2

2= − + +

5

2=

試求 ( )cot135 sin 240 cos 330°+ °+ − ° 之值。

原式 ( ) ( )cot 180 45 sin 180 60= °− ° + ° + °

( )cos 360 30+ °− °

cot 45 sin60 cos30= − °− °+ °

3 31

2 2= − − + 1= −

化任意角為銳角基本題型 7

化任意角為銳角基本題型

解

8

化任意角為銳角綜合題型 9

解

解 解

解

解

單元 2 三角函數48

化簡下列各式：

(1) ( )sec 585− ° (2) 21

cos4π 。

(1) 原式 ( )sec585 sec 360 1 225= ° = °× + ° sec225= °

( )sec 180 45= °+ ° sec45 2= − ° = −

(2) 原式5 5

cos 4 cos cos4 4 4

π

π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2cos

4 22

π

= − = − = −

化簡下列各式：

(1) ( )tan 840− ° (2) 16

sin3π 。

(1) 原式 ( )tan840 tan 360 2 120= − ° = − °× + °

( )tan120 tan 180 60= − ° = − °− °

( )tan60 3= − − ° =

(2) 原式4 4

sin 4 sin sin3 3 3

π

π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3sin

3 2

π

= − = −

已知sin785 k° = ，試以k 表示 tan115°。

( )sin785 sin 360 2 65 sin651

kk° = °× + ° = ° = =

如右圖所示：

故 ( )tan115 tan 180 65° = °− °

tan65= − °2

1

k

k

= −

−

已知 tan 25 k° = ，試以k 表示sin1285°。

tan 251

kk° = =

如右圖所示：

故 sin1285°

( )sin 360 3 205= °× + °

( )sin 205 sin 180 25= ° = ° + °2

sin 25

1

k

k

= − ° = −

+

求( )

( ) ( )

3tan sin

sin 2 2

sin cot cos

π π

θ θπ θ

θ θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ +

− −之值。

( )( ) ( )

3tan sin

sin 2 2

sin cot cos

π π

θ θπ θ

θ θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ +

− −

sin cot cos

sin cot cos

θ θ θ

θ θ θ= + +

−

1 ( 1) 1= + − + 1=

求( ) ( )

( ) ( )

secsin 2 tan 2

tan csc 2cos

2

π

θπ θ θ

π π θ π θθ

⎛ ⎞+⎜ ⎟− − ⎝ ⎠+ +

⎛ ⎞ + ++⎜ ⎟

⎝ ⎠

之值。

( ) ( )( ) ( )

secsin 2 tan 2

tan csc 2cos

2

π

θπ θ θ

π π θ π θθ

⎛ ⎞+⎜ ⎟− − ⎝ ⎠+ +

⎛ ⎞ + ++⎜ ⎟

⎝ ⎠

sin tan csc

sin tan csc

θ θ θ

θ θ θ

− − −= + +

−

( ) ( )1 1 1= + − + − 1= −

觀念『○』與『×』 觀念澄清加強

（×）1. 設點 ( )4, 3P − 為廣義角θ 終邊上一點，則5

cos4

θ = 。

4cos

5θ =

（×）2. ( )tan 90 0− ° = 。

( )sin90

tan 90 tan90cos90

°− ° = − ° = −

°

1

0= − （無意義）

（○）3. ( )csc 540− ° 為無意義。

（×）4. 若sin 0θ > ，cos 0θ < ，則θ為第三象限角。 第二象限角

化任意角為銳角綜合題型 10

解 解

化任意角為銳角的應用 11

解

化任意角為銳角基本題型 12

解

解

解

單元 2 三角函數 49

2

★ 1. 設 ( )4, 3P − 為標準位置角θ終邊上一點，則sinθ =

3

5− ， tanθ =

3

4− ，

secθ =

5

4。

2. 設θ為實數，且1

sin cos2

θ θ+ = ，試求：

(1) sin cosθ θ =

3

8− (2) tan cotθ θ+ =

8

3− (3) 3 3

sin cosθ θ+ =11

16。

★ 3. 已知sin cos 2θ θ− = ，則

(1) sin cosθ θ =

1

2− (2) sec cscθ θ− = 2 2− 。

4. 若點 ( )cos ,sinθ θ 在第四象限內，則θ在第 四 象限內。

5. 點 ( )sin 2000 ,cos2000° ° 落在第 三 象限內。

6. 設5

sin13

θ−

= 且3

2

π

π θ< < ，則sec tanθ θ+ =2

3− 。

★ 7. 設4

cos5

θ = − 且 tan 0θ < ，則sin cotθ θ+ =11

15− 。

8. sin0 tan180 cot 270° + °+ ° = 0 。

★ 9. 化簡cot 210 sec405°+ ° = 3 2+ 。

10. 化簡cos3

π⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠tan

4

π⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1

2− 。

★ 11.化簡 ( )sin330 tan 135° + − ° =1

2。

12. 化簡16

cos3π =

1

2− 。

★ 13.已知 tan311

k° = ，則sin391° =

21

k

k +。

★ 14. 化簡

cotcos( ) csc( )2

cos( ) tan( ) csc( )

πθ

π θ π θ

θ π θ θ

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠+ + =

− + −1− 。

15. 化簡3 4 6

cos cos cos cos7 7 7 7

π π π π

+ + + = 0 。

年 月 日動手

年 月 日完成

單元 2 三角函數50

1. 三角函數的圖形：

(1) siny x= (2) cosy x=

定義域： x∈�；週期：2π 定義域： x∈�；週期：2π

值域： 1 sin 1x− ≤ ≤ ⇔ sin 1x ≤ 值域： 1 cos 1x− ≤ ≤ ⇔ cos 1x ≤

(3) tany x= (4) coty x=

定義域：2

x n n

π

π≠ + ∈�， ；週期：π 定義域： x n nπ≠ ∈�， ；週期：π

值域： tan x∈� 值域：cot x∈�

(5) secy x= (6) cscy x=

定義域：2

x n n

π

π≠ + ∈�， ；週期：2π 定義域： x n nπ≠ ∈�， ；週期：2π

值域：sec 1x ≥ 或sec 1x ≤ − sec 1x⇔ ≥ 值域：csc 1x ≥ 或csc 1x ≤ − csc 1x⇔ ≥

2. 三角函數的週期：

(1) 週期函數：

f ： A B→ ， x A∀ ∈ ，存在 0p > ，使得 ( ) ( )f x p f x+ = ，則稱 f 為週期函數， p 之

最小值稱為週期。

(2) 三角函數的週期：

� sin x、cos x、sec x、csc x的週期 2p π= ，而 tan x、cot x的週期 p π= 。

� sin kx、coskx、seckx、csckx的週期2

pk

π

= 。

三角函數的圖形 2-5

焦點一 三角函數的圖形及性質

單元 2 三角函數 51

2

� tan kx、cot kx的週期 pk

π

= 。

� sin kx 、 coskx 、 tan kx 、 cot kx 、 seckx 、 csckx 的週期

| |p

k

π

= 。

(3) 任意三角函數 f 變形後的週期：

� 設a、 k、α 、b 均為實數，則 ( )a f k x bα× × + + 之週期：( )f x

pk

=

原基本週期。

� 結論：只有係數k 與三角函數的週期改變有關，即a、b、α 與週期的變化無關。

以 siny x= 之基本圖形變形為 ( )siny a kx bα= + + 為例：

將原基本圖形左移或右移α 單位（ 0α > 時左移， 0α < 時右移）

將原基本圖形上移或下移b單位（ 0b > 時上移， 0b < 時下移）

( )siny a kx bα= + +

將原基本週期2π 變為 ⇒ 2

k

π

，將基本圖形水平伸縮1

k倍

將原基本圖形同時往上↑，往下↓兩方向拉長 a 倍

2siny x=

cos 2y x= +

已知 22sin 5sin 3 0θ θ− − = ，試求sinθ 之值。

∵ 22sin 5sin 3 0θ θ− − =

⇒ ( )( )2sin 1 sin 3 0θ θ+ − =

⇒ 1

sin2

θ = − 或 sin 3θ = （不合）

∴ 1

sin2

θ = −

已知 23cos 13cos 10 0θ θ+ − = ，試求 cosθ 之

值。

∵ 23cos 13cos 10 0θ θ+ − =

⇒ ( )( )3cos 2 cos 5 0θ θ− + =

⇒ 2

cos3

θ = 或 cos 5θ = − （不合）

∴ 2

cos3

θ =

三角函數值的範圍

解

1

解

補 給 站

例 例

單元 2 三角函數52

設0 2θ π≤ < ，試求函數

( ) 24 2cos sinf θ θ θ= − − 之最大值。

( ) 24 2cos sinf θ θ θ= − −

24 2cos (1 cos )θ θ= − − −

2cos 2cos 3θ θ= − +

2(cos 1) 2θ= − +

∵ 1 cos 1θ− ≤ ≤

∴ 當 cos 1θ = − 時， ( )f θ 有最大值為 6

設0 2x π≤ < ，試求函數

( ) 2cos 3sin 2f x x x= − + 的最大值。

( ) 2cos 3sin 2f x x x= − +

( )21 sin 3sin 2x x= − − +

2sin 3sin 3x x= − − +

23 21

sin2 4

x

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∵ 1 sin 1x− ≤ ≤

∴ 當 sin 1x = − 時， ( )f x 有最大值為 5

試求下列各函數的週期：

(1) ( ) 3cos 24

f x xπ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2) 3

( ) 5sin 34 4

f x xπ⎛ ⎞

= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

。

(1) ∵ 原函數 cos x之週期為 2π

∴ ( )f x 週期為2

2

π

π=

(2) ∵ 原函數 sin x 之週期為 2π

∴ ( )f x 之週期為2 8

3 3

4

π

π=

−

試求下列各函數的週期：

(1) ( ) 5 tan 3 55

f x xπ⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2) 2

( ) 3cot 73 5

f x xπ⎛ ⎞

= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

。

(1) ∵ 原函數 tan x 之週期為π

∴ ( )f x 之週期為3 3

π π

=

(2) ∵ 原函數 cot x 之週期為π

∴ ( )f x 之週期為3

2 2

3

π

π=

−

設 sin35a = °， cos35b = °， tan 45c = °，

csc35d = °，其大小順序為何？

∵ 0 90θ° < < °， sinθ 為遞增函數

⇒ sin35 cos35 sin55° < ° = ° 1<

⇒ a b<

又 tan 45 1c = ° = ，且 csc35d = ° 1>

⇒ sin35 cos35° < ° 1< tan 45= ° csc35< °

∴ d c b a> > >

設 sin30a = °， sin 20b = °， tan50c = °，

tan63d = °，其大小順序為何？

0 20 30 90° < ° < ° < °

⇒ sinθ 為遞增函數

⇒ sin 20 sin30 1° < ° < ⇒ b a<

又 0 45 50 63 90° < ° < ° < ° < °

⇒ tanθ 為遞增函數 ，且 tan 45 1° =

⇒ 1 tan50 tan63< ° < °

∴ d c a b> > >

配方法求極值 2

利用遞增、遞減關係比較大小 4

三角函數的週期

解

3

解 解

解

解 解

單元 2 三角函數 53

2

若 sin1150a = °， ( )cos 770b = − ° ，

tan 420c = °，試比較a、b、c的大小。

( )sin1150 sin 360 3 70 sin70a = ° = °× + ° = °

( ) ( )cos 770 cos770 cos 360 2 50b = − ° = ° = °× + °

cos50 sin 40= ° = °

( )tan 420 tan 360 60 tan60c = ° = °+ ° = °

又 sin 40 sin70 1° < ° < 且 tan60 tan 45 1° > ° =

故 c a b> >

若 ( )sin 440a = − ° ， cos665b = °，

sec1160c = °，試比較a、b、c的大小。

( )sin 440 sin 440a = − ° = − °

( )sin 360 80 sin80 0= − °+ ° = − ° <

( ) ( )cos665 cos 360 2 55 cos 55b = ° = °× − ° = − °

cos55 1= ° < ，且 cos55 0° >

( )sec1160 sec 360 3 80 sec80 1c = ° = °× + ° = ° >

故 c b a> >

試比較三角函數值 sin70°、 tan70°、 sec70°

的大小。

作圖如右：

∵ 70θ = °，由圖中可得知

r y x> >

又 sin70y

r° = ， tan70

y

x° = ，

sec70r

x° = ，且

r y y

x x r> >

∴ sec70 tan70 sin70° > ° > °

試比較三角函數值 cos33°、 cot33°、 csc33°

的大小。

作圖如右：

∵ 33θ = ° ，由圖中可得知

r x y> >

又 cos33x

r° = ， cot33

x

y° = ，

csc33r

y° = ，且

x x r

r y y< <

∴ cos33 cot33 csc33° < ° < °

角度一樣，利用邊長比較大小 6

進階：比較大小（任意角度）

解

5

解

補 給 站

利用畫圖得到三邊的大小關係，再利用三角函數的定義比較大小

0 45θ° < < ° 45θ = ° 45 90θ° < < °

解 解

單元 2 三角函數54

觀念『○』與『×』 觀念澄清加強

（○）1. 函數 siny x= 、 cosy x= 、 tany x= 的週期皆為

π 。

（×）2. siny x= 圖形向右平移2

π

，可得 cosy x= 。 向左平移2

π

（×）3. secy x= 圖形向左平移2

π

，可得 cscy x= 。 向右平移2

π

（×）4. sin 1x ≥ ， cos 1x ≥ 。 sin 1x ≤ ， cos 1x ≤

（○）5. siny x= 在第一象限內為遞增函數。

（×）6. tany x= 在每一個象限都為遞減函數。 在每一個象限都為遞增函數

1. (1) siny θ= 在第一象限為 遞增 函數。（遞增或遞減）

(2) cosy θ= 在第一象限為 遞減 函數。（遞增或遞減）

(3) tany θ= 在第一象限為 遞增 函數。（遞增或遞減）

2. 設2

sin1

x

x

θ =

+

，試求 x之範圍1

13

x− ≤ ≤ 。

3. 2csc 1y x= − 之函數值範圍為 3 1y y≤ − ≥或 。

4. 若0 θ π≤ ≤ ， 25sin 2sin 3 0θ θ+ − = ，則sinθ =

3

5。

5. 已知θ 為銳角，且 25csc 8csc 4 0θ θ− − = ，試求cscθ = 2 。

★ 6. 函數 ( ) 2sin 2sin 2f x x x= + + ，則 ( )f x 之最大值為 5 ，最小值為 1 。

★ 7. 右圖為sin x、cos x、 sin x 、 cos x 中， sin x 的部分圖形。

8. 函數 ( ) 5cos 32

xf x = + 的週期為 4π 。

9. 試求函數 | tan |y x= 的週期為 π 。

10. 試比較 sin15a = °， sin 20b = °， sin55c = °的大小關係為 a b c< < 。

11. 試比較 cos85a = °， cos62b = °， cos23c = °的大小關係為 a b c< < 。

★ 12. 試比較 tan50a = °， sin50b = °， cos50c = °的大小關係為 a b c> > 。

13. 試比較 cot 45a = °， cos66b = °， sec20c = °的大小關係為 c a b> > 。

★ 14. 設 tan66a = °， sin30b = °， sin 25c = °， tan53d = °，則a、b、c、d 之大小關係為

a d b c> > > 。

★ 15. 若 sin740a = °、 ( )cos 420b = − ° 、 tan1485c = °，則比較a、b、c之大小為 a b c< < 。

年 月 日動手

年 月 日完成

單元 2 三角函數 55

2

一、基本觀念穩固基本能力指標

（ B ）1. 設一扇形半徑長為3公分，二半徑所夾中心角之弳度量為6

π

，則其面積為 (Ａ)9

6π

(Ｂ)3

4π (Ｃ)

4

3π (Ｄ)

6

9π 平方公分。

★（ B ）2. 設θ 為實數，若1

sin cos3

θ θ+ = ，則 tan cotθ θ+ = (Ａ)5

4− (Ｂ)

9

4− (Ｃ)

5

4 (Ｄ)

9

4。

★（ C ）3. 設角θ終邊過 ( )4,3P − ，則5cos 3cscθ θ+ = (Ａ) 1− (Ｂ) 0 (Ｃ) 1 (Ｄ)5

3。

（ B ）4. 點 ( )tan700 ,sec700° ° 在第幾象限？ (Ａ)一 (Ｂ)二 (Ｃ)三 (Ｄ)四。

★（ D ）5. 設sec 0θ > 且 tan 0θ < ，則角度θ是第幾象限？ (Ａ)一 (Ｂ)二 (Ｃ)三 (Ｄ)四。

（ B ）6. 若3

sin5

θ = 且θ在第二象限，則下列何者正確？ (Ａ)4

cos5

θ = (Ｂ)3

tan4

θ = −

(Ｃ)5

sec3

θ = − (Ｄ) 2 2sec 1 tanθ θ+ = 。

★（ B ）7. 設 02

πθ− ≤ ≤ ，且

1cos

2θ = ，則下列何者正確？ (Ａ)

3sin

2θ = (Ｂ)

3sin

2θ = −

(Ｃ)1

tan3

θ = (Ｄ)1

tan3

θ = − 。

（ D ）8. 試求 2 2sin 65 sin 25 tan65 tan 25° + °+ ° °之值為何？ (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ)

3

2 (Ｄ) 2。

★（ D ）9. ( )sin330 tan 135

cos120 cot135

° + − °

°+ °之值為 (Ａ)

1

3 (Ｂ)3 (Ｃ) 3− (Ｄ)

1

3− 。

（ C ）10. 試求2cos510 tan300 sin 450°− °+ °之值為何？ (Ａ)3

2− (Ｂ) 3− (Ｃ) 1 (Ｄ) 2。

★（ D ）11. 下列選項何者有解？ (Ａ)3

sin2

x = (Ｂ)7

cos5

x = − (Ｃ)1

csc3

x = (Ｄ) tan 5x = − 。

二、推理應用學習概念系統歸納

（ D ）1. 試問sin310°與下列哪一個三角函數值相等？ (Ａ)cos40° (Ｂ)sin50° (Ｃ)sin130°

(Ｄ)cos220°。

★（ C ）2. 設0 2x π≤ ≤ ，試問函數 2( ) sin 2cos 2f x x x= − + 之最大值為何？ (Ａ)1 (Ｂ)2

(Ｃ)4 (Ｄ)5。

（ B ）3. 設0 θ π≤ ≤ ，且 22sin 11cos 7 0θ θ+ − = ，則θ = (Ａ)

6

π

(Ｂ)3

π

(Ｃ)2

3

π

(Ｄ)3

4

π

。

★（ A ）4. 設角θ終邊上一點 ( , 1)P x − ，cot 3θ = ，則cosθ = (Ａ)3

10− (Ｂ)

1

10− (Ｃ)

10

3−

(Ｄ)3

10。

年 月 日動手

年 月 日完成

年 月 日動手

年 月 日完成

單元 2 三角函數56

（ D ）5. 已知 22 tan 7 tan 15 0θ θ− − = ，則 tanθ 之值為何？ (Ａ)

3

2− (Ｂ) 5 (Ｃ)

3

2或 5−

(Ｄ)3

2− 或5。

★（ B ）6. 設04

πθ< < ，若

25tan cot

12θ θ+ = ，則sin cosθ θ− 之值為何？ (Ａ)

1

5 (Ｂ)

1

5−

(Ｃ)1

25 (Ｄ)

1

25− 。

★（ C ）7. 設1

sin cos3

θ θ− = ，則 3 3sin cosθ θ− 之值為何？ (Ａ)

10

27 (Ｂ)

11

27 (Ｃ)

13

27

(Ｄ)14

27。

★（ D ）8. 已知 tan 22 k° = ，則sin 2002° = (Ａ)2

1

1k +

(Ｂ)2

1

1k

−

+

(Ｃ)2

1

k

k +

(Ｄ)2

1

k

k

−

+

。

★（ D ）9. 設 sin870a = °， cos430b = °， tan1310c = °， ( )sin 2095d = − ° ，比較 a、b、 c、 d

之大小？ (Ａ) a b c d> > > (Ｂ) b a c d> > > (Ｃ) d c b a> > > (Ｄ) c d a b> > > 。

（ B ）10. 若sin cos 0θ θ < ，且 tan sec 0θ θ < 。已知12

cot5

θ = − ，則 (Ａ)5

sin13

θ =

(Ｂ)12

cos13

θ = (Ｃ)17

sin cos13

θ θ+ = (Ｄ)13

sec12

θ = − 。

（ C ）11. 下列何者為三角函數 5cos 23

yπ

θ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

的週期？ (Ａ)2

3π (Ｂ)

3

2π (Ｃ)π (Ｄ)2π 。

（ B ）12. 設θ 為實數，若4

tan3

θ = − ，則sin cos

sin cos

θ θ

θ θ

+=

−

(Ａ) 0 (Ｂ)1

7 (Ｃ)

1

5 (Ｄ)

1

3。

（ B ）13. 設θ為實數，若4

sin cos3

θ θ+ = ，則tan cotθ θ+ = (Ａ)16

7 (Ｂ)

18

7 (Ｃ)

20

7 (Ｄ)

22

7。

★（ B ）14. 若 sin770a = °， ( )cos 380b = − ° ， tan1150c = °，則下列何者正確？ (Ａ) a c b< <

(Ｂ) a b c< < (Ｃ) b c a< < (Ｄ) c a b< < 。

（ A ）15. 設0 2x π≤ < ，若 22sin cosx x+ 的最大值為a，最小值為b，則 (a ,b ) 為何？

(Ａ)17

, 18

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ (Ｂ) ( )3, 1− (Ｃ) ( )2,1 (Ｄ)

9,1

8

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

。

（ A ）16. 三角函數值sin35°、cos35°、 tan35°、cot35°中，何者為最小？ (Ａ) sin35°

(Ｂ) cos35° (Ｃ) tan35° (Ｄ) cot35°。

（ B ）17. 點 ( )sin700 ,cos700° ° 在第幾象限？ (Ａ)一 (Ｂ)二 (Ｃ)三 (Ｄ)四。

★（ A ）18. 試求 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

sin5 csc5 cos5 sec5 tan5 cot5° − ° + ° − ° − ° − ° = (Ａ) 1− (Ｂ) 0 (Ｃ) 1

(Ｄ) 2。

★（ B ）19. 試求 ( )15 5 5 7

cot tan sin cos cos sin4 4 3 6 2

π π π π π

π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Ａ)

7

4− (Ｂ)

1

4

(Ｃ)7

4 (Ｄ)

3

2。

單元 2 三角函數 57

2

（ D ）1. 若一直角三角形 ABC中， C∠ 為直角，且5

tan12

A = 、 10BC = ，則此三角形之周長

為何？ (Ａ) 30 (Ｂ) 40 (Ｃ) 50 (Ｄ) 60。 【102 統測(A)】

★（ C ）2. 已知 θ 為第三象限角，且3

tan4

θ = ，則2sin 1

3 4cos

θ

θ

−=

+

(Ａ)1

31 (Ｂ)

13

7 (Ｃ) 11

(Ｄ) 31。 【102 統測(C)】

★（ D ）3. 下列何者正確？ (Ａ) sin 240 cos30° = ° (Ｂ) ( )cos 330 cos30− ° = − °

(Ｃ) sec225 csc45° = ° (Ｄ) tan135 cot 45° = − °。 【101 統測(B)】

（ D ）4. 試問下列哪一個三角函數值與 sec250°相等？ (Ａ) csc70− ° (Ｂ) sec110− °

(Ｃ) sec340− ° (Ｄ) csc160− °。 【101 統測(C)】

★（ D ）5.

2 2 2 2 2 2sin 210 cos 570 sec 930 tan 1290 csc 1650 cot 2010° + ° + °− °+ °− ° = (Ａ) 1− (Ｂ) 1

(Ｃ)3

2 (Ｄ) 3。 【101 統測(C)】

（ D ）6. 下列何者為 480− °的最小正同界角？ (Ａ) 120° (Ｂ) 300° (Ｃ)3

π

(Ｄ)4

3

π

。

【100 統測(A)】

（ B ）7. 若 22sin 5cos 4 0θ θ+ − = ，則cosθ = (Ａ) 0 (Ｂ)

1

2 (Ｃ)

2

2 (Ｄ)

3

2。

【100 統測(A)】

★（ A ）8. 設 sin840a = °， ( )cos 840b = − ° ， tan840c = °，則a、b、c之大小關係為何？

(Ａ) a b c> > (Ｂ) b a c> > (Ｃ) b c a> > (Ｄ) c b a> > 。 【100 統測(A)】

（ B ）9. 求3

sin cos tan6 2 4

π π π

+ + = (Ａ) 1− (Ｂ)1

2− (Ｃ) 0 (Ｄ)

1

2。 【100 統測(A)】

★（ B ）10. 設3

2 2

π πθ< < 且

4tan

3θ = ，則sin cosθ θ+ = (Ａ)

8

5− (Ｂ)

7

5− (Ｃ) 1− (Ｄ) 0。

【100 統測(A)】

★（ C ）11. 求11

sin cos tan cot sin cos3 6 4 4 6 3

π π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Ａ) 2− (Ｂ) 3− (Ｃ)0

(Ｄ) 3。 【100 統測(B)】

★（ D ）12. 下列哪一個點在 sin cosy x x= + 的圖形上？ (Ａ) ,12

π−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ｂ)1 3,

6 2

π⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ｃ) ( ),1π

(Ｄ)5 1 3

,3 2

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

。 【100 統測(B)】

（ D ）13. 有一扇形的花園，其半徑為12公尺，圓心角為2

3

π

，則此花園面積為多少平方公

尺？ (Ａ) 24 (Ｂ) 48 (Ｃ) 24π (Ｄ) 48π 。 【99 統測(A)】

（ A ）14. 求 ( )( )cos30 sin30 cos30 sin30° + ° ° − ° = (Ａ)1

2 (Ｂ)

2

2 (Ｃ)

3

2 (Ｄ) 1。

【99 統測(A)】

年 月 日動手

年 月 日完成

單元 2 三角函數58

（ A ）15. 設cot 1θ = ，則sin cosθ θ = (Ａ)1

2 (Ｂ)

2

2 (Ｃ)

3

2 (Ｄ) 1。 【99 統測(A)】

★（ A ）16. 設m，n為正奇數，則 ( )2

2

sin cos2

n

m

π

π⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 2 (Ｄ) 3。

【99 統測(B)】

（ D ）17. 若點 ( )sec , tanA θ θ 在第四象限內，則角度θ為第幾象限角？ (Ａ)一 (Ｂ)二 (Ｃ)三

((Ｄ)四。 【99 統測(B)】

★（ C ）18. 已知θ為銳角，且sin cosθ θ> 。若17

sin cos3

θ θ+ = ，則sin cosθ θ− = (Ａ)1

9

(Ｂ)2

9 (Ｃ)

1

3 (Ｄ)

4

9。 【98 統測(B)】

★（ D ）19. 試問下列各函數值，何者與cos800°的函數值相同？ (Ａ)sin100° (Ｂ) ( )sin 80− °

(Ｃ)cos100° (Ｄ) ( )cos 80− ° 。 【98 統測(B)】

（ D ）20. 下列選項何者正確？ (Ａ) cos cos6 6

π π−

= − (Ｂ)2

cos cos3 3

π π

= (Ｃ) sin sin4 4

π π−

=

(Ｄ)2

sin sin3 3

π π

= 。 【97 統測】

★（ B ）21. 下列選項何者為真？ (Ａ)sin35 cos35° > ° (Ｂ)sin65 cos65° > ° (Ｃ)sin35 cos65° < °

(Ｄ)sin65 cos35° < °。 【97 統測】

★（ A ）22. 設θ 在第四象限，若2

sin cos3

θ θ+ = ，則sin cosθ θ− = (Ａ)14

3− (Ｂ)

2 3

3−

(Ｃ)14

3 (Ｄ)

2 3

3。 【97 統測】

★（ D ）23. 試問在坐標平面上原點至點 ( )sin15 ,sin 75° ° 的距離為何？ (Ａ)1

2 (Ｂ)

2

2 (Ｃ)

3

2

(Ｄ)1。 【96 統測】

★（ A ）24. 下列關係何者正確？ (Ａ)sec47 tan 47 sin 47° > ° > ° (Ｂ) tan 47 sec47 sin 47° > ° > °

(Ｃ)sec47 sin 47 tan 47° > ° > ° (Ｄ) tan 47 sin 47 sec47° > ° > °。 【96 統測】

（ B ）25. 設0 2x π≤ ≤ ，則 ( ) 2sin cos 1f x x x= + − 的最大值為何？ (Ａ)

1

2 (Ｂ)

1

4 (Ｃ)

1

4−

(Ｄ)1

2− 。 【96 統測】

單元 2 三角函數 59

2

�焦點統測題

Part1：常考試題 （歷年出現頻率較高題型）

（ A ）1. 設180 360θ° < < °且1

cos3

θ = ，則 tan cscθ θ+ 之值為何？ (Ａ)11 2

4− (Ｂ)

5 2

4−

(Ｃ)5 2

4 (Ｄ)

11 2

4。 【101 統測(A)】

（ B ）2. 設0 θ π< < ，若sin cos 2θ θ+ = ，則1 1

sin cosθ θ+ = (Ａ) 2 (Ｂ) 2 2 (Ｃ) 3 2

(Ｄ) 4 2。 【99 統測(B)】

（ C ）3. 下列各三角函數值，何者數值最小？ (Ａ) sin885° (Ｂ) ( )cos 430− ° (Ｃ) tan131°

(Ｄ) ( )sin 2010− ° 。 【99 統測(C)】

（ B ）4. 設θ為銳角，則( )

( )( )( )

( )( )

cos tan 180 sin 270=

sin 360 cot 270 cos 90

θ θ θ

θ θ θ

− °+ °−+ −

°+ °+ °+ (Ａ) 3− (Ｂ) 1−

(Ｃ) 1 (Ｄ) 3。 【98 統測(B)】

（ C ）5. 設θ為銳角，若 tan 2θ = ，試求 3sin 6 cosθ θ+ = (Ａ) 2 (Ｂ) 3 (Ｃ) 2 2

(Ｄ) 2 3。 【97 統測】

Part2：滿分試題 （試題獨特或應用題型）

（ D ）1. 若θ 為一銳角，且 sin3

a

θ= 、 cos

3 2b

θ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠、 tan

3c

θ= ，則下列何者正確？

(Ａ) b c a< < (Ｂ) a b c< < (Ｃ) c b a< < (Ｄ) b a c< < 。 【102 統測(A)】

（ C ）2. 已知 ABC△ 為直角三角形， B∠ 為直角，點 D、 E 分別在線段

AC 、 AB 上。若 DE 、 AB 互相垂直，且 1AD AB= = ，

AB BC≠ ，如右圖，則下列敘述何者為真？ (Ａ) cotBC A=

(Ｂ) tanDE A= (Ｃ) sinAE C= (Ｄ) secAC C= 。 【102 統測(B)】

（ B ）3. 設 t 是任意實數，若2

2

1 sin

1 sin

tx

t

−=

+

、2

2sin

1 sin

ty

t=

+

，則 2 2x y+ 之值等

於下列何者？ (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 2 (Ｄ) 3。 【101 統測(A)】

（ B ）4. 已知θ為一銳角，且7

tan19

θ = ，則1 sin 1 sec

1 cos 1 csc

θ θ

θ θ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠之值為何？ (Ａ)

25

17

(Ｂ)7

19 (Ｃ)

19

267 (Ｄ)

277

319。 【101 統測(B)】

（ B ）5. 已 知1

sin sin3

θ φ= = ， 且 02

x yπ

θ φ π< < < < < < ， 令1

sin3

a x= − ，

1sin

3b y= − ，則下列何者正確？ (Ａ) 0a > ， 0b > (Ｂ) 0a > ， 0b <

(Ｃ) 0a < ， 0b > (Ｄ) 0a < ， 0b < 。 【101 統測(B)】

（ D ）6. 設直角 ABC△ ， 90C∠ = °。若 tann

Am

= ，其中 0m > ， 0n > ，則下列何者正確？

(Ａ) cotn

Am

= − (Ｂ)2 2

cosn

Am n

=

+

(Ｃ)2 2

sinn

Am n

=

+

(Ｄ)2 2

sec

m nA

m

+= 。

【99 統測(A)】