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Capítulo 1
Generalidades
Cada estudiante que entra en una carrera cientíca,sobre todo si lo hace en un período algo más avanzado de la vida,
se encuentra no sólo que tiene mucho que aprender,sino también mucho que desaprender
John Frederick William Herschel (1792 1871 )
1.1. Funciones periódicas dependientes del tiempo
Τ
t
Τ/2
Τ
t
0
t
0 t
a)
d)
b)
c)
Figura 1.1: Algunas funciones periódicas
Las variaciones de una magnitud cualquiera G, dependiente del tiempo, se denominan oscilantescuando los valores de G varían de un valor a otro a partir de un valor determinado G0. Una funciónperiódica del tiempo es tal que
G(t) = G(t+ T ) = G(t+ 2T ) = · · · (1.1)
para todo valor de t. El valor constante T se denomina periodo. Como un ejemplo de funciónperiódica de periodo T , podemos observar la (Fig. 1.1a). En esta gráca se consideran algunasfunciones periódicas que muestran otras características y propiedades importantes.
Función alternada: G(t+ T2 ) = −G(t) (1.1b)
Función Par: G(−t) = G(t) (1.1c)
Función Impar: G(−t) = −G(t) (1.1d)
1
CAPÍTULO 1. GENERALIDADES
ωt
−Α
Α
t0
tO t
ϕ
Figura 1.2: Función sinusoidal
Valor medio de una función periódica:
< G >=1
T
∫ t+T
t
G(t)dt (1.2)
Valor ecaz de una función periódica: es el valor constante Gef cuyo cuadrado es el valormedio del cuadrado de la función1.
G2ef =
1
T
∫ t+T
t
G2(t)dt (1.3)
1.2. Función Sinusoidal
Las funciones G(t) = Acosω (t− t0) o G(t) = A sinω (t− t0) donde A es la amplitud, ω lapulsación y t0 son constantes, se denominan funciones sinusoidales. Los valores de A y ω sonpositivas y estas funciones son periódicas con un periodo dado por la cantidad:
T =2π
ω
siendo ω la pulsación (medida en rads si T se mide en segundos)
f =1
T=
ω
2π
es la frecuencia (en s−1 o Hertz, Hz). Los múltiplos de esta unidad son muy usados en la práctica:kiloHertz (kHz = 103Hz); MegaHertz (MHz = 106Hz); GigaHertz (GHz = 109Hz). Se puedeescribir:
A cosω (t− t0) = A cos (ωt− ϕ) = C1 cosωt+ C2 sinωt (1.4)
con
A =√C2
1 + C22 tanϕ =
C2
C1
el ángulo ωt− ϕ, es una función lineal del tiempo, ϕ = ωt0 es la fase en el origen. El diagrama dela función G(t) es una sinusoide (Fig 1.2).Con ayuda de la fórmula de Euler se puede expresar (1.4) bajo la forma
G(t) = A cos (ωt± ϕ) = AReej(ωt±ϕ)
donde la notación Re es la parte real del número complejo entre las llaves y j =
√−1
G(t) = ReAejωt
(1.5)
siendo A la amplitud compleja. Se hace la distinción de j como la unidad imaginaria para distin-guirla en algunos casos de la notación para la corriente eléctrica.
A = Ae±jϕ = A cosϕ± j sinϕ (1.6)
1Algunas veces se le denomina valor rms por su denición en inglés root mean square (valor mediocuadrático)
Medina V. 2
1.3. REPRESENTACIÓN VECTORIAL
G
G1
G2
Ox
y
ϕ1
ϕ
ϕ2
Figura 1.3: Suma de amplitudes
1.3. Representación vectorial
La amplitud compleja (1.5) se puede representar en el plano complejo xOy por un vector demodulo A y de argumento ϕ
A2 = x2 + y2 ϕ = arctany
x(1.7)
Si imaginamos que este vector gira en su plano, en torno al origen, con una velocidad angular ω,en el sentido trigonométrico, la proyección de este vector sobre el eje real representa a la función(1.4). La gura 1.2 muestra la relación entre el vector que gira y la gura sinusoidal. La pulsaciónω, igual a la velocidad angular del vector que gira, se denomina también frecuencia circular ofrecuencia angular. Dos funciones sinusoidales de la misma frecuencia
G1(t) = A1 sin(ωt+ ϕ1) G2(t) = A2 sin(ωt+ ϕ2)
tienen una diferencia de fase ϕ = |ϕ1 − ϕ2| . Si
para ϕ = 2Kπ (K entero o nulo), las funciones están en fase o concordancia; ellas pasansimultáneamente para sus valores nulos o máximos.
para ϕ = (2K + 1)π , las funciones están en oposición o en discordancia; ellas se anulansimultáneamente; cuando una es máxima la otra es mínima.
para ϕ = (2K + 1)π2 , las funciones están en cuadratura; una es máxima o mínima cuando laotra es nula:
G1(t) = A1 sin(ωt+ ϕ1) G2(t) = A2 sin(ωt+ ϕ1 ±π
2) = ±A2 cos (ωt+ ϕ1)
1.4. Suma de funciones sinusoidales escalares de igual perio-
do
La suma de dos funciones sinusoidales escalares
G1(t) = A1 sin(ωt+ ϕ1) G2(t) = A2 sin(ωt+ ϕ2) (1.8)
es una función sinusoidal de igual pulsación
G(t) = A sin(ωt+ Φ) (1.9)
donde es necesario calcular los valores de A y Φ.
Medina V. 3
CAPÍTULO 1. GENERALIDADES
1.4.1. Método trigonométrico
Si realizamos las sumas de las ecuaciones (1.8) y tomando en consideración la resultante de dichasuma (1.9):
G (t) = G1 (t) +G2 (t)
(A cos Φ) sinωt+ (As sin Φ) cosωt = (A1 cosϕ1 sinωt+A1senϕ1 cosωt) +
= + (A2 cosϕ2 sinωt+A2 sinϕ2 cosωt)
= (A1 cosϕ1 +A2 cosϕ2) sinωt+ (A1 sinϕ1 +A2 sinϕ2) cosωt
En esta relación, que es de la forma C cosωt + C ′ sinωt = 0, establece que las constantes debende ser nulas, ya que sino se tiene: tanωt = −C
′
C = cte =⇒ t = cte para un valor único de t.Entonces:
A1 cosϕ1 +A2 cosϕ2 = A cos Φ
A1 sinϕ1 +A2 sinϕ2 = A sin Φ
De donde:A2 = A2
1 +A22 + 2A1A2 cos (ϕ1 − ϕ2) (1.10)
tan Φ =A1 sinϕ1 +A2 sinϕ2
A1 cosϕ1 +A2 cosϕ2(1.11)
Si G1 y G2 están en fase A = A1 +A2
Si G1 y G2 están en oposición A = |A1 −A2|
Si G1 y G2 están en cuadratura A2 = A21 +A2
2
Toda función sinusoidal puede ser vista como una combinación de otras dos en cuadratura
G(t) = A cos (ωt− ϕ) = (A cosϕ) cosωt+ (A sinϕ) sinωt
1.4.2. Empleo de los números complejos
Las fórmulas (1.7) muestran que si se le asocian a a las funciones a sumar números complejos dela forma (1.5), la amplitud compleja de su suma es igual a la suma de sus amplitudes complejas.Igualando sus partes reales e imaginarias, se encuentran de nuevo las relaciones (1.10) y (1.11).La regla se aplica a la suma de un numero cualquiera de funciones de igual periodo.
A =∑i=1
Ai (1.12)
Se calcula A2 multiplicando A por su complejo conjugado A∗
A2 = A∗ ·A (1.13)
la aplicación de las fórmulas anteriores (1.12) y (1.13) a dos funciones nos da:
A = A1ejϕ1 +A2e
jϕ2
A2 =[A1e
jϕ1 +A2ejϕ2] [A1e
−jϕ1 +A2e−jϕ2
]= A2
1 +A22 +A1A2
ej(ϕ1−ϕ2) − e−j(ϕ1−ϕ2)
se obtiene de nuevo la expresión (1.10). En la representación de la gura (1.3) se muestra laposición angular relativa ϕ = |ϕ1 − ϕ2| de los vectores G1 y G2 girando con la misma velocidadangular que no cambia. En un instante cualquiera t = 0 por ejemplo, el diagrama es el que semuestra en la gura 1.3. La suma G se representa por la suma vectorial de G1 y G2. En efecto,proyectando los vectores sobre los ejes Ox y Oy se reencuentran de nuevo las relaciones (1.10) y(1.11).
Medina V. 4
1.5. SUMA DE FUNCIONES SINUSOIDALES DE PERIODOS DIFERENTES
1.5. Suma de funciones sinusoidales de periodos diferentes
Si la suma de dos funciones sinusoidales de periodos diferentes T1 y T2 es periódica, su periodo Tes el mínimo común múltiplo de T1 y T2
T = mT1 = nT2 (1.14)
Los periodos T1 y T2 (o las pulsaciones) deben ser conmensurables para que la suma sea periódica.Si la diferencia ε = ω1 − ω2 de las pulsaciones es pequeña
G = G1 +G2 = A1 sin (ω1t) +A2 sin [(ω1 − ε) t− ϕ]
G = A1senω1t+A2 sin (ω1t− Φ) (1.15)
donde hemos denido Φ = εt+ ϕ . La forma (1.15) permite escribir la suma como (1.10):
G2 = G21 +G2
2 + 2G1G2 cos (εt+ ϕ) (1.16)
La diferencia de fase varía lineal y lentamente con el tiempo, G1 y G2 se encuentran sucesivamenteen fase, en cuadratura, en oposición, . . . , el periodo corresponde a las variaciones de la amplitudresultante y es el tiempo necesario para que εt varíe en 2π. Sea θ = 2π
ε donde:
Ω =2π
θ= ε
Estas variaciones periódicas de la amplitud se denominan batidos, su frecuencia es igual a ladiferencias entre las frecuencias de las vibraciones que las componen. La gura 1.4 da un ejemplode la formación de batidos.
G1(x) G2(x)
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−3 −2 −1 0 1 2 3
Figura 1.4: Suma de funciones sinusoidales con periodos diferentes
1.6. Magnitudes sinusoidales vectoriales
Ciertas magnitudes vectoriales (desplazamiento de un punto, vibraciones polarizadas) tienen mo-dulo que varía sinusoidalmente con el tiempo. Cuando ellas tienen la misma dirección, su adiciónse realiza de la misma forma que en las magnitudes escalares. En el caso contrario, su suma esvectorial. Dadas dos vibraciones vectoriales
V1 = A1 cosωt V2 = A2 cos (ωt− ϕ)
Teniendo entre ellas un ángulo γ. Su resultante−→V tiene por componentes, (Fig 1.5a) siguiendo la
dirección Ox de V2 y en la dirección perpendicular Oy2
2Estas direcciones se encuentran en el espacio real. No se debe confundir con la representación vectorial de lassecciones precedentes.
Medina V. 5
CAPÍTULO 1. GENERALIDADES
X = A1 cosωt cos γ +A2 cos (ωt− ϕ)
Y = A2 cosωt sin γ
La componente X se evalúa por los resultados precedentes. Su amplitud A se expresa por larelación:
VV
V2
ΟX
1
Y
γ
(a) Suma de pulsaciones
B
D E
V
V
0
3
2
VY
X
C
θ
V
1
(b) gura de Lissajous
Figura 1.5: Magnitudes sinusoidales vectoriales
A2 = A21 cos2 γ +A2
2 + 2A1A2 cos γ cosϕ (1.17)
que se parece mucho a los resultados anteriores si consideramos a γ muy pequeño. Por el contrariosi γ = π
2 las componentes3 no dependen mas que de ϕ. La expresión resultante de las vibracionesde misma frecuencia:
X = Ax cos (ωt− ϕ) Y = Ay cosωt (1.18)
Desarrollando estas expresiones, elevando al cuadrado y agrupando términos semejantes, se obtie-ne:
Y
Ay= cosωt;
X
Ax= cos(ωt− ϕ) = cosωt · cosϕ+ sinωt · sinϕ
X
Ax− Y
Aycosϕ = sinωt · sinϕ
(X
Ax
)2
+
(Y
Ay
)2
cos2 ϕ− 2XY
AxAycosϕ = sin2 ωt · sin2 ϕ = (1− cos2 ωt) · sin2 ϕ
(X
Ax
)2
+
(Y
Ay
)2
cos2 ϕ− 2XY
AxAycosϕ = sin2 ϕ−
(Y
Ay
)2
sin2 ϕ
(X
Ax
)2
+
(Y
Ay
)2
− 2XY
AxAycosϕ = sin2 ϕ (1.19)
ecuación cartesiana de una cónica, que es una elipse puesto que el determinante asociado sin2 ϕA2
xA2yes
positivo o nulo y se encuentra centrada en el origen de coordenadas (Fig.1.5b)
3El estudio que sigue también se aplica en el caso que V sea una vibración vectorial. En el caso que nos ocupa,esta vibración vectorial se compone de dos vibraciones escalares dependientes del tiempo representados por dosmovimientos perpendiculares entre si.
Medina V. 6
1.7. ESTUDIO DE UNA VIBRACIÓN ELÍPTICA
d)D
BC
E c)b)α)
Figura 1.6: Estudio de la vibración elíptica
1.7. Estudio de una vibración elíptica
Para t = 0 X = Ax Y = Ay cosϕ; la extremidad V del vector−→V se encuentra en V0. Para
t1 = ϕω , X = Ax cosϕ, Y = Ay ; el vector
−→V se encuentra en V1. Se observa que
−→V se encuentra
en V2 simétrico de V0, para t = T2 (T = 2π
ω ) y en V3 simétrico de V1 para t = t1 + T2 . La elipse se
inscribe en el rectángulo BCDE de semi lados Ax Ay. (Fig. 1.5b).Para t = 0, dXdt = −Axω sinωt = 0, dYdt = Ayω sinϕ. La elipse se describe en el sentido trigono-métrico si 0 < ϕ < π (elipse izquierda) y en el sentido inverso si π < ϕ < 2π
1.7.1. Forma de la elipse cuando ϕ crece de 0 a 2π
1. Si ϕ = 2Kπ (K entero). (1.19) se expresa como(X
Ax− Y
Ay
)2
= 0,X
Ax=
Y
Ay
X e Y están en fase. La resultante es una vibración rectilínea sinusoidal siguiendo la diagonalBD del rectángulo (Fig. 1.6a)
2. Si ϕ = (2K + 1)π. (1.19) se expresa como(X
Ax+
Y
Ay
)2
= 0,X
Ax= − Y
Ay
X e Y están en oposición. La resultante es una vibración rectilínea y orientada siguiendo ladiagonal CE del rectángulo (Fig. 1.6b)
3. Si ϕ = (2K + 1) π2 . (1.19) se expresa como(X
Ax
)2
+
(Y
Ay
)2
= 1
la elipse tiene por ejes Ox y Oy (Fig. 1.6c)
4. Si ϕ = (2K + 1) π2 y Ax = Ay = A, el rectángulo BCDE es un cuadrado y la vibraciónresultante es circular. (Fig. 1.6d)
X2 + Y 2 = A2
1.8. Curvas de Lissajous
Las guras de Lissajous se obtienen de la superposición de dos movimientos armónicos perpendicu-lares de frecuencias diferentes. La trayectoria resultante dependerá de la relación de las frecuenciasy de la diferencia de fase.
Medina V. 7
CAPÍTULO 1. GENERALIDADES
O
X
Y
Figura 1.7: Movimientos de frecuencias ωx y ωy inconmensurables
Sean X = Ax cos (ωxt) ; Y = Ay cos (ωyt− ϕ) las vibraciones a componer. La extremidad V de laresultante se encuentra en el rectángulo de la gura (1.5b).
1. Si las pulsaciones ωx y ωy son inconmensurables, la vibración no es periódica. El puntoV describe una curva no cerrada y pasa una innidad de veces en todo punto interior delrectángulo. (Fig. 1.7)
2. Si las pulsaciones ωx y ωy son conmensurables, es decir, existen dos numeros enteros p y p′,más pequeños, tales que ωx
p =ωy
p′ = ω0. La vibración resultante es periódica y la trayectoria
del punto V es una curva cerrada descrita por un periodo T = 2πω0
(Fig. 1.8)
Las curvas de esta naturaleza son las guras de Lissajous. Se pueden trazar sus puntos y este tipode gura se pueden utilizar tanto para la medida de las frecuencias de señales sinusoidales comosus desfasaje. Estas guras son frecuentemente llamadas curvas de Bowditch, gracias a NathanielBowditch (1773 1838) , quien las consideró en 1815, y fueron estudiadas más profundamentepor Lissajous (1822-1880) en 1857. Obtuvo las guras que luego llevarían su nombre mediante elreejo sucesivo de la luz de dos espejos pegados a dos diapasones vibrando con ángulos de desfase.
Las guras de Lissajous tienen aplicaciones en muchas ciencias, especialmente en Física y Astro-nomía. La gura (1.8) da un ejemplo para
ωy
ωx= 2 y para diferentes valores ϕ = 0, π6 ,
π3 ,
π2 .
Medina V. 8
1.9. EJERCICIOS
O
X
Y
(a) ϕ = 0
O
X
Y
(b) ϕ = π6
O
X
Y
(c) ϕ = π3
O
X
Y
(d) ϕ = π2
Figura 1.8: Figuras de Lissajous para diferentes valores de ϕ = 0, π6 ,π3 ,
π2
1.9. Ejercicios
1. Estudiar desde el punto de vista de la alternancia y paridad las funciones siguientes
a) G1(x) = cosx+ cos 2x
b) G2(x) = cosx+ cos 3x− 2 cos 7x
c) G3(x) = sinx− 2 sin 2x
d) G4(x) = sinx− 2 sin 3x
e) G5(x) = sinx+ 2 sin 7x
2. Calcular la amplitud A y la fase ϕ para las funciones siguientes
a) 3, 2 sinx+ cosx
b) 5 sin (x+ 56) + 4 sin (x− 78)
c) 3 sinx+ 4 cosx
d) 11, 5 sin (x+ 30)− 8 sin (x− 60)
e) 76 cos (x− 8) + 112 sin (x+ 53)
3. Determinar la amplitud y la fase de la función
G(t) = A0 [cosωt+ cos (ωt+ ϕ) + cos (ωt+ 2ϕ) + cos (ωt+ 3ϕ)]
Medina V. 9
CAPÍTULO 1. GENERALIDADES
4. Calcular la sumaA1 cosωt+A2 cos (ωt+ ϕ) +A2 cos (ωt− ϕ)
5. Calcular la amplitud A de las n funciones sinusoidales de la misma amplitud A0 y de igualfrecuencia, donde las fases iniciales tienen como valor
a) 0, ϕ, 2ϕ, 3ϕ, · · · , (n− 1)ϕ
b) 0, 2πn ,4πn ,
6πn , · · · , 2
n−1n π
c) 0, πn ,2πn ,
3πn , · · · ,
n−1n π
Para resolver algunos de los ejercicios anteriores hará falta conocer muy bien algunas identidadestrigonométricas, así como algunas cosas de series numéricas. Por ejemplo:
G(t) = A0 [cosωt+ cos (ωt+ ϕ) + cos (ωt+ 2ϕ) + cos (ωt+ 3ϕ)]
podemos reescribir la expresión anterior como:
G(t) = A0ejωt[1 + ejϕ + e2jϕ + e3jϕ
]Si recordamos que la suma de una serie geométrica es:
Sn = 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn
xSn = x+ x2 + x3 + x4 + · · ·+ xn+1
entonces
Sn =1− xn+1
1− xSi hacemos x = ejϕ entonces G(t) se expresa como
G(t) = A0ejωt 1− e4jϕ
1− ejϕ= A0e
jωt
(ej2ϕ
ejϕ2
)(ej2ϕ − e−2jϕ
ejϕ2 − e−j ϕ
2 ϕ
)= A0
(sin 2ϕ
sin ϕ2
)ej
32ϕejωt
Observando la expresión anterior se puede concluir que la fase de la función resultante es Φ = 32ϕ
y la amplitud está determinada por:
A0
(sin 2ϕ
sin ϕ2
)= 2A0
sinϕ cosϕ
sin ϕ2
= 4A0 cosϕ
2cosϕ = 2A0
(cos
ϕ
2+ cos
3ϕ
2
)donde hemos utilizado las expresiones:
cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ
cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ
Por lo que cos(α + β) + cos(α− β) = 2 cosα cosβ. Si α = ϕ y β = ϕ2 se obtiene la expresión para
la amplitud.
Medina V. 10
