Chuyên đềHàm số bậc ba (C):y=f(x)=a.x3+b.x2+c.x+d (với a≠0)

A./ PH ƯƠ NG PHÁP:

Cơ sở của phương pháp là sử dụng đạo hàm để thành lập bảng biến thiên trên tập xác định:D=(−∞;+∞), trong lúc khảo sát và vẽ đồ thị (C) như sau:(C):y=f(x)=a.x3+b.x2+c.x+d (với a≠0)Miền xác định: D=(−∞;+∞)Các đạo hàm: y′=3.a.x2+2.b.x+c và y′′=6.a.x+2.b (đạo hàm cấp hai không có trong thang điểm)Tâm đối xứng là điểm uốn I(−b3.a;f(−b3.a)) (không có trong thang điểm)Ghi chú: Xét Δ=Δy′=4.b2−4.3.a.c=4(b2−3.a.c).Ta được bảng tổng kết sau (nhớ tính các giới hạn của hàm số khi x ra vô cùng vì có trong thang điểm)

Ảnh này đã được định lại kích cỡ. Bấm vào thanh này để xem ảnh gốc. Ảnh gốc có độ phân giải 957x1285.

Vài tình huống thường gặp trong các Bài Toán Của Đồ Thị Hàm Bậc Ba.1. Điều kiện cần và đủ để đồ thị (C) có điểm cực đại và điểm cực tiểu (hàm số có cực trị) là:

y′=f′(x)=g(x)=3.a.x2+2.b.x+c=0 có Δg=4(b2−3.a.c)>0

2. Gọi (x0;y0) là tọa độ các điểm cực trị, vậy điểm đó phải thỏa:

{y0=f(x0)g(x0)=a.x30+b.x20+c.x0+d=3.x20+2.b.x0+c

Thực hiện phép chia hai đa thức đã sắp xếp f(x0)g(x0), ta có:

y0=f(x0)=(Ax0+B).g(x0)+α.x0+β⇔y0=α.x0+β

(vì g(x0)=0).Vậy (d):y=α.x+β là đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của (C).Để ý thêm điểm uốn của (C)là I∈(d) hay là A,I,B thẳng hàng.Do đó tọa độ cực trị và điểm uốn là:

A:{xAyA=xCĐ=α.xCĐ+βB:{xByB=xCT=α.xCT+βI:⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪xIyI=−b3a=−αb3a+β.

3. Từ các tọa độ A,B,I chứa tham số m, ta tìm được quỹ tích của chính các điểm đó sau khi thực hiện hai bước cơ bản:

o Khử tham số m.

o Giới hạn khoảng thay đổi (giá trị) của tọa độ từ điều kiện tồn tại m với mọi giá trị tham số m∈Dm.

Từ đó ta có ngay quỹ tích của A,B hay I là (d):y=α.x+β.

4. (C) tiếp xúc Ox khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

{a.x3+b.x2+c.x+d3.a.x2+2.b.x+c=0=0

5. (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi:

{Δg>0yCĐ.yCT<0⇔{(b2−3.a.c)>0(α.xCĐ+β).(α.xCT+β)<0

6. (C) cắt Ox tại 2 điểm khi và chỉ khi:

{Δg>0yCĐ.yCT=0⇔{(b2−3.a.c)>0(α.xCĐ+β).(α.xCT+β)=0

7. (C) luôn cắt Ox tại ít nhất 1 điểm, có nghĩa là phương trình:

a.x3+b.x2+c.x+d=0(a≠0)

Không thể nào vô nghiệm được.

8. (C) cắt Ox tại đúng 1 điểm khi và chỉ khi:

⎡⎣⎢⎢Δg≤0{Δg>0yCĐ.yCT>0⇔⎡⎣⎢⎢b2−3.a.c≤0{b2−3.a.c>0(α.xCĐ+β).(α.xCT+β)>0

9. Phương trình: a.x3+b.x2+c.x+d=0 có 3 nghiệm dương khi và chỉ khi: (hình vẽ [HINT]

Ảnh này đã được định lại kích cỡ. Bấm vào thanh này để xem ảnh gốc. Ảnh gốc có độ phân giải 848x381.

10.11. )

12.⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a>0yCĐ.yCT<0Δg>0f(0)<0xCĐ>0 hoặc ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a<0yCĐ.yCT<0Δg>0f(0)>0xCT>0

13.Phương trình: a.x3+b.x2+c.x+d=0 có 3 nghiệm âm khi và chỉ khi:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a>0yCĐ.yCT<0Δg>0f(0)>0xCT<0 hoặc ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a<0yCĐ.yCT<0Δg>0f(0)<0xCĐ<0

14.Phương trình: a.x3+b.x2+c.x+d=0 có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a>0yCĐ.yCT<0Δg>0f(0)>0xCT>0 hoặc ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a<0yCĐ.yCT<0Δg>0f(0)<0xCĐ>0

15.Phương trình: a.x3+b.x2+c.x+d=0 có đúng 2 nghiệm âm khi và chỉ khi:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a>0yCĐ.yCT<0Δg>0f(0)<0xCĐ<0 hoặc ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a<0yCĐ.yCT<0Δg>0f(0)>0xCT<0

16.Phương trình a.x3+b.x2+c.x+d=0 có 3 nghiệm tạo thành một cấp số cộng (x1+x3=2.x2) hay nói theo ngôn ngữ đồ thị là "(C)∩Ox={A;B;C} mà AB=BC" khi và chỉ khi:

⎧⎩⎨Δg>0f(−b3a)=0:(∃CĐ;CT):(điểm uốn)I∈Ox

17.Trong một số bài toán (đặc thù) ta có thể nhẩm ra một nghiệm x=α của phương trình a.x3+b.x2+c.x+d=0:(⋆) khi đó ta viết:

a.x3+b.x2+c.x+d=0⇔⎡⎣⎢x=αa.x2+(b+α).x+α.(α.a+b)+φ h(x)=0

h(x) có được bởi phép chia đa thức (⋆) cho x−α (dĩ nhiên ta có thể bày ra vài mẹo nhỏ để chia cho nhanh)

o (⋆) có 3 nghiệm đơn ⇔{h(α)≠0Δh>0

o (⋆) có đúng 2 nghiệm ⇔{h(α)≠0Δh=0∨{h(α)=0Δh>0

o (⋆) có đúng 1 nghiệm ⇔{h(α)=0Δh=0∨Δh<0

18.Đồ thị (C):y=a.x3+b.x2+c.x+d(a≠0) cũng có:

o Khi a>0, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bé nhất so với hệ số góc của mọi tiếp tuyến có được với (C).

o Khi a<0, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn lớn nhất so với hệ số góc của mọi tiếp tuyến có được với (C).

o Qua (x0;y0)=I (điểm uốn của (C)) chỉ kẻ đúng được một tiếp tuyến với (C).

19.Định lí VIÉTE: Khi a.x3+b.x2+c.x+d=0 có ba nghiệm x1,x2,x3 thì:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1+x2+x3=−bax1.x2+x2.x3+x3.x1=cax1.x2.x3=−da