Chuyên đề Toán Tích phân - Megabook.vn

1

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CÔNG THỨC

Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm của những

hàm số sơ cấp thƣờng gặp

Nguyên hàm của những hàm số

thƣờng gặp

Nguyên hàm của những

hàm số hợp

Cxdx

11

1

C

xdxx

0ln xCxx

dx

Cedxe xx

10ln

aCa

adxa

xx

Cxxdx sincos

Cxxdx cossin

Cxdxx

tancos

12

Cxdxx

cotsin

12

Cbaxa

baxd 1

11

11

Cbax

adxbax

0ln1

xCbax

abax

dx

Cea

dxe baxbax

1

Cbaxa

dxbax sin1

cos

Cbaxa

dxbax cos1

sin

Cbax

adx

bax

tan1

cos

12

Cbax

adx

bax

cot1

sin

12

Cudu

11

1

C

uduu

0ln uCuu

du

Cedue uu

10ln

aCa

adxa

uu

Cuudu sincos

Cuudu cossin

Cuduu

tancos

12

Cuduu

cotsin

12

I. ĐỔI BIẾN SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Đổi biến số dạng 2

Để tính tích phân

b

/

a

f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau:

Bƣớc 1. Đặt t = u(x) và tính /dt u (x)dx .

Bƣớc 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b) .

Bƣớc 3.

b

/

a

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt .

Ví dụ 7. Tính tích phân

2e

e

dxI

x ln x.

Giải

Đặt dx

t ln x dtx

2x e t 1, x e t 22

21

1

dtI ln t ln 2

t.

Vậy I ln2 .

2


4

3

0

cos xI dx

(sin x cos x).

Hƣớng dẫn:

4 4

3 3 20 0

cos x 1 dxI dx .

(sin x cos x) (tan x 1) cos x. Đặt t tan x 1

ĐS: 3

I8

.


3

12

dxI

(1 x) 2x 3.

Hƣớng dẫn:

Đặt t 2x 3

ĐS: 3

I ln2

.


1

0

3 xI dx

1 x.

Hƣớng dẫn:

Đặt

3 2

2 21

3 x t dtt 8

1 x (t 1); đặt t tanu

ĐS: I 3 23

.

Chú ý:

Phân tích

1

0

3 xI dx

1 x, rồi đặt t 1 x sẽ tính nhanh hơn.

2. Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( )

b

a

f x dx ta thực hiện các bước sau:

Bƣớc 1. Đặt x = u(t) và tính / ( )dx u t dt .

Bƣớc 2. Đổi cận: , x a t x b t .

Bƣớc 3. /( ) [ ( )] ( ) ( )

b

a

f x dx f u t u t dt g t dt

.


12

20

1I dx

1 x.

Giải

Đặt x sin t, t ; dx cos tdt2 2

1x 0 t 0, x t

2 6

3

6 6

20 0

cos t cos tI dt dt

cos t1 sin t

6

60

0

dt t 06 6

.

Vậy I6

.


2

2

0

I 4 x dx .

Hƣớng dẫn:

Đặt x 2sin tĐS: I .


1

2

0

dxI

1 x.

Giải

Đặt 2x tan t, t ; dx (tan x 1)dt2 2

x 0 t 0, x 1 t4

4 42

20 0

tan t 1I dt dt

41 tan t.

Vậy I4

.


3 1

2

0

dxI

x 2x 2.

Hƣớng dẫn: 3 1 3 1

2 2

0 0

dx dxI

x 2x 2 1 (x 1).

Đặt x 1 tan t

ĐS: I12

.


2

20

dxI

4 x.

ĐS: I2

.


3 1

2

0

dxI

x 2x 2.

ĐS: I12

.

3. Các dạng đặc biệt

3.1. Dạng lƣợng giác

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân

22 3

0

I cos x sin xdx .

Hƣớng dẫn:

4

Đặt t cos x

ĐS: 2

I15

.

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân

25

0

I cos xdx .

Hƣớng dẫn:

Đặt t sin x

ĐS: 8

I15

.

Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân

24 2

0

I cos x sin xdx .

Giải

2 24 2 2 2

0 0

1I cos x sin xdx cos x sin 2xdx

4

2 22

0 0

1 1(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx

16 4

2 22

0 0

1 1(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)

16 8

3 2

0

x 1 sin 2xsin 4x

16 64 24 32.

Vậy I32

.


2

0

dxI

cos x sin x 1.

Hƣớng dẫn:

Đặt x

t tan2

.

ĐS: I ln2 .

Biểu diễn các hàm số LG theo tan2

at :

2

2 2 2

2 1 2sin ; cos ; tan .

1 1 1

t t ta a a

t t t

3.2. Dạng liên kết

Ví dụ 15. Tính tích phân 0

xdxI

sin x 1.

Giải

Đặt x t dx dtx 0 t , x t 0

0

0

( t)dt tI dt

sin( t) 1 sin t 1 sin t 1

0 0

dt dtI I

sin t 1 2 sin t 1

22

0 0

dt dttt t2 4 cossin cos 2 42 2

2 00

td

2 4 ttan

2 t 2 2 4cos

2 4

.

5

Vậy I .

Tổng quát:

0 0

xf(sin x)dx f(sin x)dx2

.


2 2007

2007 2007

0

sin xI dx

sin x cos x.

Giải

Đặt x t dx dt2

x 0 t , x t 02 2

20070

2007 2007

2

sin t2I dx

sin t cos t2 2

2 2007

2007 2007

0

cos tdx J

sin t cos t(1).

Mặt khác

2

0

I J dx2

(2). Từ (1) và (2) suy ra I4

.

Tổng quát:

2 2n n

n n n n

0 0

sin x cos xdx dx , n

sin x cos x sin x cos x 4.


6 2

0

sin xI dx

sin x 3 cos xvà

6 2

0

cos xJ dx

sin x 3 cos x.

Giải

I 3J 1 3 (1).

6 6

0 0

dx 1 dxI J dx

2sin x 3 cos x sin x3

Đặt t x dt dx3

1

I J ln 34

(2).

Từ (1) và (2)3 1 3 1 1 3

I ln 3 , J ln 316 4 16 4

.


1

2

0

ln(1 x)I dx

1 x.

Giải

Đặt 2x tan t dx (1 tan t)dt

x 0 t 0, x 1 t4

4 42

20 0

ln(1 tan t)I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt

1 tan t.

6

Đặt t u dt du4

t 0 u , t u 04 4

04

0

4

I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du4

4 4

0 0

1 tan u 2ln 1 du ln du

1 tan u 1 tan u

4 4

0 0

ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I4

.

Vậy I ln28

.


4

x

4

cos xI dx

2007 1.

Hƣớng dẫn:

Đặt x t

ĐS: 2

I2

.

Tổng quát:

Với a > 0 , 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn ; thì

x

0

f(x)dx f(x)dx

a 1.

Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f( x) 2f(x) cos x .

Tính tích phân

2

2

I f(x)dx .

Giải

Đặt

2

2

J f( x)dx , x t dx dt

x t , x t2 2 2 2

2 2

2 2

I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx

2 2

02

cos xdx 2 cos xdx 2 .

7

2I

3Vậy

2 I

3.

a > 0

3.3. Các kết quả cần nhớ

i/ Với a > 0 f(x), hàm số f(x)a

a

f(x)dx 0lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

a

a

f(x)dx 0 .

a > 0ii/ Với a > 0 f(x), hàm số f(x)a a

a 0

f(x)dx 2 f(x)dxchẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

a a

a 0

f(x)dx 2 f(x)dx .

2 2n n

0 0

(n 1)!!,

n !!cos xdx sin xdx(n 1)!!

. ,n !! 2

neáu n leû

neáu n chaün

iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)

2 2 n n

0 0

(n 1)!!,

n !! cos xdx sin xdx (n 1)!!

. , n !! 2

neáu n leû

neáu n chaün

.

Trong đó

0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;6!! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10

n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:

0!! 1; 1!! 1; 2 !! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1...3 5; 6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1...3 5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10.

211

0

10!! 2.4.6.8.10 256cos xdx

11!! 1.3.5.7.9.11 693Ví dụ 21.

2 11

0

10 !! 2.4.6.8.10 256 cos xdx

11!! 1.3.5.7.9.11 693.

210

0

9!! 1.3.5.7.9 63sin xdx . .

10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512Ví dụ 22.

2 10

0

9 !! 1.3.5.7.9 63 sin xdx . .

10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512.

u(x), v(x)

II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1. Công thức

Cho hai hàm số u(x), v(x)/ / / // /uv u v uv uv dx u vdx uv dx

b b b

a a a

d uv vdu udv d(uv) vdu udv

b b b b

b ba a

a a a a

uv vdu udv udv uv vdu

liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có / / / / / / uv u v uv uv dx u vdx uv dx

b b b

a a a

d uv vdu udv d(uv) vdu udv

b b b b

b b a a

a a a a

uv vdu udv udv uv vdu .

b b

ba

a a

udv uv vdu

Công thức: b b

b a

a a

udv uv vdu (1).

b b

b/ /a

a a

f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx

Công thức (1) còn đƣợc viết dƣới dạng: b b

b / / a

a a

f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx (2).

b

a

f(x)g(x)dx

2. Phƣơng pháp giải toán

Giả sử cần tính tích phân

b

a

f(x)g(x)dx ta thực hiện

Cách 1.

8

Bƣớc 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

/du u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân

b

a

vdu phải tính được.

Bƣớc 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.

Đặc biệt:

i/ Nếu gặp

b b b

ax

a a a

P(x)sin axdx, P(x)cos axdx, e .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u P(x).

ii/ Nếu gặp

b

a

P(x) ln xdx thì đặt u ln x .

Cách 2.

Viết lại tích phân

b b

/

a a

f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2).


1

x

0

I xe dx .

Giải

Đặt x x

u x du dx

dv e dx v e(chọn C 0 )

1 1

11x x x x0 0

0 0

xe dx xe e dx (x 1)e 1.


e

1

I x ln xdx .

Giải

Đặt 2

dxduu ln x x

dv xdx xv

2e ee2 2

11 1

x 1 e 1x ln xdx ln x xdx

2 2 4.


2x

0

I e sin xdx .

Giải

Đặt x x

u sin x du cos xdx

dv e dx v e

2 2x x x2 2

0

0 0

I e sin xdx e sin x e cos xdx e J .

Đặt x x

u cos x du sin xdx

dv e dx v e

9

2 2x x x2

0

0 0

J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I

22

e 1I e ( 1 I) I

2.

Chú ý:

Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.


2

4

0

I cos xdx .

Hƣớng dẫn:

Đặt t x2

0

I 2 t cos tdt 2 .


e

1

I sin(ln x)dx .

ĐS: (sin1 cos1)e 1

I2

.

III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phƣơng pháp giải toán

1. Dạng 1


b

a

I f(x) dx , ta thực hiện các bước sau

Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a 1x 2x b

f(x) 0 0

Bƣớc 2. Tính

1 2

1 2

b x x b

a a x x

I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx .


2

2

3

I x 3x 2 dx .

Giải

Bảng xét dấu

x 3 1 22x 3x 2 0 0

1 2

2 2

3 1

59I x 3x 2 dx x 3x 2 dx

2.

Vậy 59

I2

.

10


22

0

I 5 4 cos x 4 sin xdx .

ĐS: I 2 3 26

.

2. Dạng 2


b

a

I f(x) g(x) dx , ta thực hiện

Cách 1.

Tách

b b b

a a a

I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.

Cách 2.

Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).


2

1

I x x 1 dx .

Giải

Cách 1. 2 2 2

1 1 1

I x x 1 dx x dx x 1 dx

0 2 1 2

1 0 1 1

xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx

0 2 1 22 2 2 2

1 0 1 1

x x x xx x 0

2 2 2 2.

Cách 2.

Bảng xét dấu

x –1 0 1 2

x – 0 + +

x – 1 – – 0 + 0 1 2

1 0 1

I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx

120 21 10

x x x x 0 .

Vậy I 0 .

3. Dạng 3

Để tính các tích phân

b

a

I max f(x), g(x) dx và

b

a

J min f(x), g(x) dx , ta thực hiện các

bước sau:

Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x) trên đoạn [a; b].

Bƣớc 2.

+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) f(x) và min f(x), g(x) g(x) .

+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) g(x) và min f(x), g(x) f(x) .

11


4

2

0

I max x 1, 4x 2 dx .

Giải

Đặt 2 2h(x) x 1 4x 2 x 4x 3 .

Bảng xét dấu

x 0 1 3 4

h(x) + 0 – 0 + 1 3 4

2 2

0 1 3

80I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx

3.

Vậy 80

I3

.


2

x

0

I min 3 , 4 x dx .

Giải

Đặt x xh(x) 3 4 x 3 x 4 .

Bảng xét dấu

x 0 1 2

h(x) – 0 + 1 2 21x 2

x

0 10 1

3 x 2 5I 3 dx 4 x dx 4x

ln 3 2 ln 3 2.

Vậy 2 5

Iln 3 2

.

IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN


1. Dạng 1

Để chứng minh

b

a

f(x)dx 0 (hoặc

b

a

f(x)dx 0 ) ta chứng minh f(x) 0 (hoặc f(x) 0 ) với

x a; b .

Ví dụ 14. Chứng minh

1

3 6

0

1 x dx 0 .

Giải

Với

1

3 36 6 6

0

x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0 .

2. Dạng 2

Để chứng minh

b b

a a

f(x)dx g(x)dx ta chứng minh f(x) g(x) với x a; b .


2 2

10 11

0 0

dx dx1 sin x 1 sin x

.

Giải

Với 11 10x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x2

12

10 1110 11

1 11 sin x 1 sin x 0

1 sin x 1 sin x.

Vậy

2 2

10 11

0 0

dx dx1 sin x 1 sin x

.

3. Dạng 3

Để chứng minh

b

a

A f(x)dx B ta thực hiện các bước sau

Bƣớc 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M .

Bƣớc 2. Lấy tích phân

b

a

A m(b a) f(x)dx M(b a) B .


1

2

0

2 4 x dx 5 .

Giải

Với 2 2x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5 .

Vậy

1

2

0

2 4 x dx 5 .


34

2

4

dx4 23 2 sin x

.

Giải

Với 23 2 1x ; : sin x 1 sin x 1

4 4 2 2

22

1 11 3 2 sin x 2 1

2 3 2 sin x34

2

4

1 3 dx 31

2 4 4 4 43 2 sin x.

Vậy

34

2

4

dx4 23 2 sin x

.


3

4

3 cotx 1dx

12 x 3.

Giải

Xét hàm số cotx

f(x) , x ; x 4 3

ta có

2/

2

xcotx

sin xf (x) 0 x ; 4 3x

13

f f(x) f x ; 3 4 4 3

3 cotx 4 x ;

x 4 3

3

4

3 cotx 4dx

3 4 x 3 4.

Vậy

3

4

3 cotx 1dx

12 x 3.

4. Dạng 4 (tham khảo)

Để chứng minh

b

a

A f(x)dx B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện

Bƣớc 1. Tìm hàm số g(x) sao cho

b

b

a

a

f(x) g(x) x a; b

f(x)dx Bg(x)dx B

.

Bƣớc 2. Tìm hàm số h(x) sao cho

b

b

a

a

h(x) f(x) x a; b

A f(x)dxh(x)dx A

.


22

20070

2 dx2 41 x

.

Giải

Với 2007 22 1x 0; : 0 x x

2 2

2 2007

2007 2

1 1 11 x 1 x 1 1

2 1 x 1 x2 2 2

2 2 2

2007 20 0 0

dx dxdx

1 x 1 x.

Đặt x sin t dx cos tdt2

x 0 t 0, x t2 4

22 4

20 0

dx cos tdtcos t 41 x

.

Vậy

22

20070

2 dx2 41 x

.

14


1

20

3 1 xdx 2 14 2x 2 1

.

Giải

Với 2x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1

2

x x x3 1 2 1x 2 1

1 1 1

20 0 0

xdx xdx xdx3 1 2 1x 2 1

.

Vậy

1

20

3 1 xdx 2 14 2x 2 1

.

V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

y f(x), x a, x b và trục hoành là

b

a

S f(x) dx .


Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x) dx .

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e và Ox.

Giải

Do ln x 0 x 1; e nên e e

e1

1 1

S ln x dx ln xdx x ln x 1 1.

Vậy S 1 (đvdt).

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3, x 0, x 3 và Ox.

Giải

Bảng xét dấu

x 0 1 3

y – 0 + 0

1 3

2 2

0 1

S x 4x 3 dx x 4x 3 dx

1 33 32 2

0 1

x x 82x 3x 2x 3x

3 3 3.

Vậy 8

S3

(đvdt).

2. Diện tích hình phẳng

2.1. Trƣờng hợp 1.

15

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f(x), y g(x), x a, x b là

b

a

S f(x) g(x) dx .


Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b].

Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x) g(x) dx .

2.2. Trƣờng hợp 2.

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f(x), y g(x) là S f(x) g(x) dx . Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của

phương trình f(x) g(x) a b .


Bƣớc 1. Giải phương trình f(x) g(x) .

Bƣớc 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn ; .

Bƣớc 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx .

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x ,

x 0, x 2 .

Giải

Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6h(x) 0 x 1 x 2 x 3 (loại).

Bảng xét dấu

x 0 1 2

h(x) – 0 + 0

1 2

3 2 3 2

0 1

S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx

1 24 2 4 23 3

0 1

x 11x x 11x 52x 6x 2x 6x

4 2 4 2 2.

Vậy 5

S2

(đvdt).

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x .

Giải

Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6h(x) 0 x 1 x 2 x 3 .

Bảng xét dấu

x 1 2 3

h(x) 0 + 0 – 0 2 3

3 2 3 2

1 2

S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx

16

2 34 2 4 23 3

1 2

x 11x x 11x 12x 6x 2x 6x

4 2 4 2 2.

Vậy 1

S2

(đvdt).

Chú ý:

Nếu trong đoạn ; phương trình f(x) g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công

thức f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx .

Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3y x , y 4x .

Giải

Ta có 3x 4x x 2 x 0 x 20 2

3 3

2 0

S x 4x dx x 4x dx

0 24 42 2

2 0

x x2x 2x 8

4 4.

Vậy S 8 (đvdt).

Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4 x 3 và trục hoành.

Giải

Ta có 2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0t 1 x 1 x 1

t 3 x 3 x 33 3

2 2

3 0

S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx

1 3

2 2

0 1

2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx

1 33 32 2

0 1

x x 162 2x 3x 2x 3x

3 3 3.

Vậy 16

S3

(đvdt).

Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3 và y x 3 .

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm 2x 4x 3 x 3

2

2

x 3 0x 0

x 4x 3 x 3x 5

x 4x 3 x 3

.

Bảng xét dấu

x 0 1 3 5 2x 4x 3 + 0 – 0 +

17

1 3 5

2 2 2

0 1 3

S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx

1 3 53 2 3 2 3 2

0 1 3

x 5x x 3x x 5x 1096x

3 2 3 2 3 2 6.

Vậy 109

S6

(đvdt).

Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 1 , y x 5 .

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm 2 2x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0

2

2

t x 0t x 0

t 1 t 5 x 3t 3

t 1 t 53 3

2 2

3 0

S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx

Bảng xét dấu

x 0 1 3 2x 1 – 0 +

1 3

2 2

0 1

S 2 x x 4 dx x x 6 dx

1 33 2 3 2

0 1

x x x x 732 4x 6x

3 2 3 2 3.

Vậy 73

S3

(đvdt).

Chú ý: Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có).

B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY

1. Trƣờng hợp 1.

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x) 0 x a;b , y 0 ,

x a và x b (a b) quay quanh trục Ox là

b

2

a

V f (x)dx .

Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn 2 2 2(C) : x y R quay quanh Ox.

Giải

Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là 2 2x R x R .

Phương trình 2 2 2 2 2 2(C) : x y R y R xR R

2 2 2 2

R 0

V R x dx 2 R x dx

R3 32

0

x 4 R2 R x

3 3.

18

Vậy 34 R

V3

(đvtt).


Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y) 0 y c;d , x 0 ,

y c và y d (c d) quay quanh trục Oy là

d

2

c

V g (y)dy .

Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse 2 2

2 2

x y(E) : 1

a bquay quanh Oy.

Giải

Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2

2

y1 y b

b.

Phương trình 2 2 2 2

2 22 2 2

x y a y(E) : 1 x a

a b bb b2 2 2 2

2 22 2

b 0

a y a yV a dy 2 a dy

b bR2 3 2

22

0

a y 4 a b2 a y

33b.

Vậy 24 a b

V3

(đvtt).


Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x) , x a và

x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x a; b ) quay quanh trục Ox là b

2 2

a

V f (x) g (x) dx .

Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x , 2y x quay quanh

Ox.

Giải

Hoành độ giao điểm 4

x 0 x 0

x 1x x.

1 1

4 4

0 0

V x x dx x x dx

15 2

0

1 1 3x x

5 2 10.

Vậy 3

V10

(đvtt).


Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x g(y) , y c và

y d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y c; d ) quay quanh trục Oy là d

2 2

c

V f (y) g (y) dy .

Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2x y 5 , x 3 yquay quanh Oy.

19

Giải

Tung độ giao điểm 2y 1

y 5 3 yy 2

.

22 22

1

V y 5 3 y dy

2

4 2

1

y 11y 6y 16 dy

25 32

1

y 11y 1533y 16y

5 3 5.

Vậy 153

V5

(đvtt).

VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP

1. Tính I= 1

10

0

1 x dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 1 2 10

10 10 10

1 1 11 ...

2 3 11 S C C C

2. Tính: 1

19

0

1I x x dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:

0 1 2 18 1919 19 19 19 19

1 1 1 1 1...

2 3 4 20 21S C C C C C .

3. Chứng minh rằng:1

1 21 1 1 2 11 ...

2 3 1 1

nn

n n nC C Cn n

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= sin cos

sin cos

x x

x x

, biết rằng ln2

4F

2. Tính các tích phân sau:

A=2

1

2 5-7e

x xdx

x

B=

2

2

-2

-1x dx C=2

0

2 ln 2x dx


A=3

3 cos

0

sinxe xdx

B=4

1

lne

xdx

x C*=

2 3

25 4

dx

x x D

*=

2

1 1 -1

xdx

x


I=1

sin(ln )e xdx

x J=4

2

6

sin cot

dx

x x

K=10

1

lg xdx

L=ln 5

ln 3 2 3x x

dx

e e M=

2

2 20

sin 2

cos 4sin

xdx

x x

N=

2

2

1- 9

dx

x

C=2

2 2

0

sin 2

(1 cos )

xdx

x


20

A=1

20 4 -

dx

x B=

3

2

33

dx

x C=

4

2

0

16- dxx

D=ln 2

0

1-

1

x

x

edx

e E=3

2

2

2

1dx

x


A=2

1

lne

xdx

x B

*=

2

0

sin

1 cos

x xdx

x

C

*=

2

2

1

ln xdx

x

D*=

1

cos(ln )e

x dx

E=2 4

3

1

3 2x xdx

x

1 2*

4

1

1

1

xF dx

x

7. Tính:

A=4

2

0

cos xdx

B=2

3

0

cos xdx

C=1

0

xxe dx D=4

1

xedx

x E=

2

1

lnx xdx

F=1

ln 1e

xdx

x

G=

2

2

0

1 2x x dx H=4

0

1 2x xdx I=2

11

xdx

x J=1

2

01

xdx

x

8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a. x=1; x=e; y=0 và y= 1 ln x

x

b. y=2x; y=3x và x=0

c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=3

.

9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x

2+4x3 (C) và tiếp tuyến với

đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0.

a. Tính diện tích hình phẳng D.

b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.

11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x

3 và y=0, x=1

khi nó quay quanh:

a) Trục Ox.

b) Trục Oy.

Hết

Education

Chuyên đề Toán Tích phân - Megabook.vn