Circuito RLC en serie

Javier García Molleja

Física I / Física II / Física III

El circuito a analizar es un RLC con todos los elementos en serie. Existen datosconocidos, tales como la resistencia, R = 8 Ω, la capacidad, C = 150 µF, la inductancia,L = 30 mH y la frecuencia, ν = 50 Hz. A partir de este dato es conocida la frecuencia

angular, puesto que ω = 2πν = 100π = 314, 16 rad/s.Además, la tensión eléctrica de la fuente también es un valor conocido: E(t) = E0 cosωt

V, con una amplitud E0 =√

2100 = 45, 83 V y sin desfase (δ = 0o). Es decir, la alimen-tación es en corriente alterna. En la gura 1 se presenta esquemáticamente el circuito deestudio con sus elementos más relevantes. Hay que mencionar que aunque la disposiciónrequerida sea esta, al ser un circuito en serie es independiente el elemento de la posiciónque ocupe.

Figura 1: Esquema del circuito RLC en serie.

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1. La corriente en el circuito en forma compleja e ins-

tantánea

La corriente alterna tiene que seguir una forma similar a la de la tensión, por lo quese plantea la siguiente expresión para describir la corriente:

I(t) = I0 cos(ωt+ ϕ),

donde ϕ indica el desfase con respecto a la tensión que entrega la fuente. Evidentemente,I0 será la amplitud de esta corriente y la frecuencia ω es la misma que la de la tensión.

Este circuito sigue vericando la ley de Ohm, aunque modicada en cierta manera:

E(t) = ZI(t),

donde Z es la impedancia, la dicultad de la corriente a pasar por los elementos delcircuito. Es decir, en un sistema de alterna no es solo la resistencia, sino la impedancia. Porconsiguiente, dividiendo la tensión por la impedancia se conocerá la corriente: I(t) = E(t)

Z.

La tensión entregada por la fuente se consume en todo el circuito, se da entonces laconservación de la energía. Por tanto, la energía que entrega la fuente ha de consumirseen las caídas de tensión en los tres elementos del circuito. Esto queda matemáticamentecomo:

E(t) = VL(t) + VR(t) + VC(t).

El solenoide almacena energía magnética y la caída de tensión en este elemento seexpresa como:

VL(t) = LdI(t)

dt.

La resistencia se encarga de disipar la energía por efectos térmicos y la caída de tensiónen ella es igual a:

VR(t) = RI(t).

Finalmente, el condensador almacena la energía entregada de forma eléctrica, por loque a partir de la expresión de la capacidad se conoce la caída de tensión en este elemento:

C =Q

V

I(t) = CdVC(t)

dt

VC(t) =1

C

∫I(t) dt.

Combinando todo esto, se tiene la expresión de conservación de la energía como

E(t) = LdI(t)

dt+RI(t) +

1

C

∫I(t) dt

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E0 cosωt = −ωLI0 sen(ωt+ ϕ) +RI0 cos(ωt+ ϕ) +1

ωCI0 sen(ωt+ ϕ).

Si consideramos el valor Q(t) y su derivada primera I(t) y la segunda, identicamosesta expresión como una ecuación diferencial de segundo orden. Si está tabulada puededeterminarse el valor de las dos incógnitas I0 y ϕ.

Pero es posible enfocar de otra manera el problema para llegar a la solución más rápiday sencillamente.

Esto se consigue cambiando la fuente dada del problema por otra hipotética, de igualamplitud y frecuencia pero desfasada 90o con respecto a la dada:

E ′(t) = E0 cos(ωt+ 90o) = E0 senωt.

Podemos volver a la ecuación que relacionaba la tensión entregada por la fuente ylas caídas de tensión en los distintos elementos, postulando además que la intensidad decorriente, por coherencia, debe ser

I ′(t) = I0 cos(ωt+ ϕ+ 90o) = I0 sen(ωt+ ϕ).

Esto da en la ecuación de conservación de la energía lo siguiente:

E0 senωt = ωLI0 cos(ωt+ ϕ) +RI0 sen(ωt+ ϕ)− 1

ωCI0 cos(ωt+ ϕ).

Ahora bien, podemos multiplicar toda esta expresión por la unidad imaginaria j =√−1 y sumarlo con la expresión de conservación anterior a la que llegamos. Haciendo estas

operaciones podemos relacionar el resultado con la denominada representación de Euler

que combina expresiones sinusoidales con exponenciales imaginarias:∣∣∣√A2

r + A2i

∣∣∣2 ejθ =

Ar cos θ + jAi sen θ. Según esto, podemos reducir la suma de expresiones con la notaciónde Euler:

E0ejωt = jωLI0ej(ωt+ϕ) +RI0e

j(ωt+ϕ) +1

jωCej(ωt+ϕ),

el elemento ejωt es el factor común a ambos miembros, por lo que puede simplicarse. Deesta manera el circuito está descrito en la representación fasorial. No hay que olvidar quesi se quiere pasar de fasor a magnitud instantánea hay que añadir el factor simplicado.Mientras tanto, la expresión es:

E0 = jωLI0ejϕ +RI0e

jϕ +1

jωCI0e

jϕ

Con esta expresión debemos calcular entonces el fasor corriente I = I0ejϕ, así que

debemos resolver el valor del módulo y de la fase.Para el módulo tenemos que

I0 =E0

R + jωL+ 1jωC

,

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el denominador por identicación a la ley de Ohm general es el módulo de la impedancia:Z = R+j(XL−XC). Podemos denir entonces como reactancia los elementos imaginarios.Es más, la reactancia tendrá componentes inductivas (XL = ωL = 9, 42 Ω) y capacitivas(XC = 1

ωC= 21, 22 Ω). Por consiguiente,

|Z| =√R2 + (XL −XC)2 = 14, 26 Ω

Por lo tanto, la corriente será

I0 =E0|Z|

= 3, 21 A.

Para determinar la fase volvemos a centrarnos en la impedancia. La resolución sepuede determinar con el diagrama fasorial que separa componentes imaginarias y reales:

δ = arc tgXL −XC

R= −55, 86o.

Así que, como la fuente de tensión carece de desfase, la fase de la corriente será (siguiendolas propiedades de los exponentes en un cociente)

ϕ = 0− δ = 55, 86o.

Finalmente, el fasor corriente se obtiene al combinar ambos resultados

I = 3, 21ej55,86o

A.

Si queremos conocer la expresión de la corriente en representación instantánea nohay que olvidar que la corriente es una magnitud real y que habíamos simplicado lacomponente de la frecuencia.

I(t) = <[I] = I0 cos(ωt+ ϕ) = 3, 21 cos(100πt+ 55, 86o) A.

2. Diagrama fasorial del circuito

Un diagrama fasorial se obtiene a partir de la representación de los fasores en un planocomplejo. Esto algunas veces se conoce como la representación de Fresnel. Con los datosya conocidos es bastante fácil representar los fasores de manera polar (puesto que sabemosel módulo y la fase) en este plano complejo de un eje real y otro imaginario.

Antes de todo, es sabido que la caída de tensión en la resistencia posee la misma faseque la corriente I, así que

VR = RI = RI0ejϕ = 25, 68ej55,86

o

V.

El uso de fasores nos permite corroborar las fases de la señal en el solenoide y enel condensador. De esto, se obtiene que la fase de la caída de tensión en el solenoide se

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adelanta 90o a la fase de la señal de la corriente, mientras que la caída de tensión en elcondensador tiene una fase retrasada 90o con respecto a la corriente:

VL = jωLI = ej90o

ωLI0ejϕ = ωLI0e

j(ϕ+90o) = 30, 25e145,86o

V,

VC =1

jωCI = ej270

o 1

ωCI0e

jϕ =I0ωC

ej(ϕ+270o) = 68, 12ej295,86o

V.

Figura 2: Diagrama fasorial. VR se identica en rojo, VL en azul, VC en amarillo oscuro yE . En negro se identica la diferencia entre tensiones.

En la gura 2 se desarrolla todo el diagrama fasorial. Como dijimos previamente, porla ley de conservación de la energía la suma de las caídas de tensión debe ser igual que latensión entregada por la fuente. Podemos llevar a cabo dicha demostración a partir deldiagrama fasorial. Se empieza por los valores de VL y VC , que poseen la misma dirección,pero diferente sentido. Es decir, son colineales. Por consiguiente, restando los módulossabemos el valor y el sentido que toma el fasor diferencia: |VL − VC | = 37, 87 V. Como elmódulo de VC es mayor, ambos tendrán el mismo sentido.

Una vez hecho esto se congura un nuevo sistema de coordenadas provisional creadopor VR y |VL−VC |, que las consideraremos a ambas caídas de tensión como las proyecciones

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de otro vector. Con el teorema de Pitágoras (se puede aplicar, ya que ambos ejes sonnormales por el desfase entre la tensión en la resistencia y en el condensador) sabremosla magnitud de la hipotenusa, que no es otra cosa que E0 :

E0 =

√|VR|2 + |VL − VC |2 =

√25, 682 + 37, 872 ≈

√2094 ≈

√2100 V.

Debido a errores de redondeo no se obtiene el valor exacto. Un cálculo más detalladopuede conrmarlo. Teniendo ya a E0 se puede determinar además la fase para representarel fasor de la fuente de tensión. Tomemos como origen de fases el vector VR y el sentidopositivo el que se dirige hacia |VL − VC |:

δ = arc tg|VL − VC |

VR= arc tg

37, 87

25, 68= 55, 86o.

Esto es respecto VR, luego si cambiamos de ejes de coordenadas a los clásicos eje real yeje imaginario se tiene que este valor es el origen de la coordenada de fase (parte positivadel eje real y sentido positivo el sentido contrario a las agujas del reloj), por lo que δ = 0o,tal y como se nos dio en los datos del problema, que la fuente no está desfasada (o queella es la referencia de desfase): E = E0ejδ =

√2100ej0

o

V.

3. Potencia media suministrada por la fuente

La potencia es simplemente el producto de la corriente por la tensión aplicada:

P (t) = I(t) · E(t) = I0E0 cos (ωt+ ϕ) cosωt.

Sin embargo, conocer la potencia instantánea no da mucha información. Es tradiciónpor tanto que se indique la potencia media que la fuente entrega al sistema, por lo quehabrá que promediar dicha expresión en un ciclo de tiempo, T = 1

ν= 0, 02 s. Para poder

operar de manera sencilla debemos recordar una regla trigonométrica que habla sobre elproducto de cosenos:

cos a cos b =1

2[cos(a+ b) + cos(a− b)] .

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Con esto se puede determinar el valor medio de la potencia:

P =1

T

∫ T

0

P (t) dt

=I0E0T

∫ T

0

cos (ωt+ ϕ) cosωt dt

=I0E02T

∫ T

0

[cos(2ωt+ ϕ) + cosϕ] dt

=I0E02T

(1

2ωsen(2ωt+ ϕ)

]T0

+ cosϕt]T0

)=I0E02T

cosϕT

=I0E0

2cosϕ.

Por consiguiente, tomando que I0 = 3, 21 A y E =√

2100 V, junto con un desfase dela corriente de ϕ = 55, 86o la potencia media tendrá un valor de P = 41, 27 W.

4. Frecuencia de resonancia

La resonancia del circuito RLC se da cuando el módulo del fasor de corriente seamáximo, o sea, que

I0 =E0|Z|

sea máximo. Esto, por supuesto, se consigue cuando el módulo de la impedancia alcanceun valor mínimo (la energía de la fuente está impuesta, por lo que la tensión que emitees un dato conocido). Si observamos la expresión del módulo de la impedancia

|Z| =

√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

determinamos que la resonancia se dará cuando la reactancia X sea un valor nulo. Dichode otra manera, la resonancia se dará cuando la impedancia solo tenga componente real yno imaginaria. Esto se logra aplicando una determinada frecuencia al circuito, procedentede la fuente: la frecuencia de resonancia.

Podemos saber cuál es su expresión a partir de la condición de que la reactancia ha

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de anularse:

X =0

XL −XC =0

ωrL−1

ωrC=0

ωrL =1

ωrC

ω2rLC =1

ω2r =

1

LC

ωr =1√LC

.

Con los datos de inductancia y capacidad conocidos se puede determinar que la fre-cuencia de resonancia vale ωr = 471, 40 rad/s. Esto es desde un concepto angular, perose puede relacionar con la cíclica: νr = ωr

2π= 75, 03 Hz.

Cuando la fuente opere con mencionada frecuencia los retardos del condensador y delsolenoide se compensarán, por lo que |Z| = 8 Ω y δ = 0o, así la impedancia será mínima eigual a su parte real (a la resistencia) y no presentará desfase respecto a la fase de la fuentede tensión, conllevando que la corriente tampoco esté desfasada. Además, si usamos unafuente con igual amplitud en tensión (Er =

√2100 V) la corriente tendrá un valor en su

módulo de 5,73 A.

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