Clase repaso bioestadistica URV 2011

Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 1

REPÀSPROBABILITAT


Repàs probabilitat

elementsdtotalNombre

AticacaracterisambelementsNombreAp

'__

____)(

)(1)( ApAp

)()()()( BApBpApBAp


)(

)()(

Bp

BApBAp

S’anomena probabilitat d’ A condicionada a B,al valor de la probabilitat d’ A sabent que l’esdeveniment B ja ha succeït :

)()()()()( ABpApBApBpBAp

Repàs probabilitat


)()()()()()()( 2211 kk ABpApABpApABpApBp BABABAB k 21

Ω

A1B AkA2

Sigui A1, A2, A3, …, Ak, una partició del espai mostral Ω

Repàs probabilitat


iii

iii ABpAp

BAp

Bp

BApBAp

)()(

)(

)(

)()(

Ω

A1B AkA2

El Teorema de Bayes ens permet calcular la probabilitat de que es doni un esdeveniment, sabent que com a resultat final del experiment s’ha produït altre determinat esdeveniment

Repàs probabilitat


Exercici

La probabilitat d’ésser del grup A és d’un 40%

El 60% dels individus del grup A desenvolupen una malaltia

El 30% dels individus que no pertanyen al grup A desenvolupen una malaltia

Si agafem a l’atzar un individu malalt quina és la probabilitat que pertanyi al grup A?

Quina és la probabilitat de que un individu o pertany al grup A o estigui malalt (o les dues coses a la vegada)?


Exercici

30'0)(;60'0)(;40'0)( AMpAMpAp

)()(

)(

)(

)()(

MApMAp

MAp

Mp

MApMAp

24,06'04'0)()()( AMpApMAp

5714'042'0

24'0

3'06'06'04'0

6'04'0

)()()()( MApMpApMAp

58'024'042'040'0


REPÀSVARIABLE ALEATORIA


Distribució Binomial

Un experiment binomial és aquell que compleix aquestes característiques:

N proves idèntiques A cada prova dos resultats possibles (Èxit o fracàs) La probabilitat d’èxit (p) o fracàs (1-p) és constant a cada prova El resultat de cada prova és independent al de altres proves El nostre interès estarà en la variable aleatòria X, el nombre

d'èxits a cada prova

xnxnx ppxXp -)1()(

Distribució binomial

X~B(n,p)

E(X)=np V(X)=np(1-p)


Distribució Poisson

El nombre de successos que ocorren en un interval de temps, de longitud, d’espai segueix una distribució de Poisson si

La probabilitat d’un succés és la mateixa en tot l’interval La probabilitat d’un succés no depèn dels successos

ocorreguts amb anterioritat

Distribució Poisson

X~P(λ) λ:Nombre mig de successos en un interval

E(X)=λ V(X)=λ

!)(

-

x

exXp

x


Propietats Esperança i Variança

Propietats esperança: E(k) = k E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(kX)=kE(X) E(k1X+k2Y)=k1E(X)+k2E(Y)

Propietats variança: V(k) = 0 V(X+Y)=V(X)+V(Y) V(kX)=k2V(X) V(k1X+k2Y)=k1

2V(X)+k22V(Y)


Exercici

La probabilitat d’una reacció al·lèrgica és del 1% Quina és la probabilitat de que en una mostra de

10 individus hi hagi alguna reacció al·lèrgica? Quina és la probabilitat de que en una mostra de

100 individus hi hagi més de 3 reaccions al·lèrgiques?


Exercici

N=10P=0’01 X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica X~B(10,0’01)

P(X≥1)= 1-P(X=0) = 1 – 0’9044 = 0’0966

Quina és la probabilitat de que en una mostra de 10 individus hi hagi alguna reacció al·lèrgica?


Exercici

N=120 P=0’01 X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica X~B(120,0’01)

X~B(120,0’01)

N gran

X~Poisson(λ=120·0’01)

X~Poisson(λ=1’2)

Quina és la probabilitat de que en una mostra de 100 individus hi hagi més de 3 reaccions al·lèrgiques?


Exercici

X~Poisson(λ=1’2)

p(X>2) = 1 – [ p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) ] =

= 1 – [ 0’3012 + 0’3614 + 0’2169] =

= 1 – 0’8795 = 0’1205


Distribución normal o de Gauss

Està caracteritzada per dos paràmetres:

La mitjana, μ, la desviació típica, σ.

σ

)μx(21

2

2

eπ2σ

1=)x(f

--

X ~ N( µ, σ)


);(N~X

0 µ xi

σ P (x ≥ x i)

);(N~Z 10

1 P (z ≥ zi)

0

-X

Z

P(X>a)

a

P(Z > (a-µ) / σ )

a-µ

σ


Distribució normal o de Gauss

P(a≤X≤b)=P(X≥a) – P(X≥b)

P(Z>-a) = P(Z<a)

P(Z<a) = 1 - P(Z>a)

P(Z>-a) = 1 - P(Z>a)


Exercici

El pes de les persones d'una determinada població es distribueix normalment amb una mitjana de 80 kg. i una desviació típica 10 kg.

1. Quina és la probabilitat de que una persona pesi entre 70 i 85 kg?

2. Quina és la probabilitat de que una persona pesi més de 95 Kg


Exercici

X~N(80,10) Z~N(0,1)10

80-- XXZ

a a - 80

10

P(X>a) P(Z > (a-80) / 10 )

1) P(70>X>85)

2) P(X>95)


Exercici

10

80X10

80X10

8070

X: N(80,10)

P(70 < X < 85) = P (X > 70) – P (X >85) =

= P ( > ) - P ( > )

= P (Z > -1) – P (Z > 0’5) =

= [1 – P(Z>1)] – P(Z>0’5) =

10

8085


P(z) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4841 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4091 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2644 0,2611 0,2579 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2207 0,2177 0,2148

0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0 0,1587 0,1563 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1094 0,1075 0,1057 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

Distribució normal (0;1) P ( X ≥ a ) a


Exercici

10

80X10

80X10

8070

X: N(80,10)

P(70 < X < 85) = P (X > 70) – P (X >85) =

= P ( > ) - P ( > )

= P (Z > -1) – P (Z > 0’5) =

= [1 – P(Z>1)] – P(Z>0’5) =

= [1 – 0’1687] – 0’3086 = 0’8313 – 0’3086 = 0’5227

10

8085


Exercici

10

80X10

8095

X: N(80,10)

P (X > 95) =

= P ( > )

= P (Z > 1’5) = 0’0668


P(z) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4841 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4091 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2644 0,2611 0,2579 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2207 0,2177 0,2148

0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0 0,1587 0,1563 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1094 0,1075 0,1057 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

Distribució normal (0;1) P ( X ≥ a ) a


REPÀSPROVES D’HIPÒTESIS


Repas proves d’hipòtesi

Una prova d’hipòtesis consta de quatre elements:

Hipòtesis nul·la (H0) Hipòtesis alternativa (Hα) L’estadístic de la prova La regió de rebuig o regió crítica


Repàs proves d’hipòtesi

• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a

• L’estadístic de la prova (σ coneguda)

• Sota la hipòtesi H0 certa

• La regió de rebuig o regió crítica

Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)

Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96

nNX ,:

)1,0(-X-X

2N

n

EEZ

EE: Desviació estándar de la mitjana.



• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a




Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-∞,zα)

Si α=0.05 z α= z 0.05=1.645

nNX ,:

)1,0(-X-X

2N

n

EEZ




• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a

• L’estadístic de la prova (σ desconeguda)



Rebuig de H0 si t Є (-∞,-t n-1,α/2) o t Є (t n-1,α/2,∞)

Acceptació de H0 si t Є (- t n-1,α/2,t n-1,α/2)

Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)

nNX ,:

12

-X-X nt

nsEE

T




• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a

• L’estadístic de la prova (σ desconeguda)



Rebuig de H0 si t Є (t n-1,α,∞)

Acceptació de H0 si t Є (-∞ ,t n-1,α)

Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)

nNX ,:

12

-X-X nt

nsEE

T



Contrastos unilateral i bilateral

La posició de la regió crítica depèn de com es facin les hipòtesis.

Unilateral Unilateral

Bilateral

H0: µ ≤ aH1: µ ≥ a

H0: µ ≥ aH1: µ ≤ a

H0: µ = aH1: µ ≠ a

- z/2 z/2

- z z


Exercici

Sigui X una variable aleatòria amb desviació estàndar = 2

Volem testar:

• Si la mitjana de X és 40

• Si la mitjana de X és igual o menor que 40

Agafem una mostra de 16 elements.

Calculem la seva mitjana i ens dona 40’90


Exercici

• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = 40 H0: µ ≤ 40

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ 40 Hα : µ > 40


• Sota la hipòtesi H0 certa 162,40: NX

)1,0(

162

04-X-X22

N

n

Z

8150

900

162

409040

9040

2'

'

''Z

'X


Exercici

Pel test bilateral, la regió de rebuig o regió crítica és:

Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)

Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96

Rebuig de H0 si z Є (-∞, -1’96) o z Є (1’96,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-1’96,1’96)

1’80 està dintre de la regió d’acceptació.

Acceptem la hipòtesi nul·la, la mitjana és igual a 40


Exercici

Pel test unilateral, la regió de rebuig o regió crítica és:

Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-∞ ,zα)

Si α=0.05 z α= z 0.25=1.645

Rebuig de H0 si z Є (1’645,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-∞, -1’645)

1’80 està dintre de la regió de rebuig.

Rebutgem la hipòtesi nul·la,

Acceptem hipòtesi alternativa, la mitjana és major que 40


Tipus de error, poder i nivell de confiança

DecisióPoblació real

H0 és falsa H0 és certa

Es refusa la H0 Decisió correcte1- (poder)

Risc (error tipus I)

No es refusa la H0 Risc (error tipus II)

Decisió correcte1- (confiança)

[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00

[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00

[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00

1- és el nivell de confiança






[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00







Contrast per al paràmetre p

n

p1p

ppz

oo

o

- z

1 -

z

1 -

- z/2 z/2

1 -

Hipòtesi nul·la

Ha

Hipòtesi alternativa

Ha

Tipus de contrast

Estadístic de contrast

Regió d’acceptació

P = Po P ≠ pobilater

al

segueix una llei N(0,1)

(-z/2,z/2)

P po P > pounilater

al(-∞,z)

P ≥ po P < ppunilater

al(-z,+∞)


REPÀSCOMPARACIÓ DUES

VARIABLES


Resum de la comparació de dues mitjanes observades• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• L’estadístic de la prova


• La distribució del estadístic de la prova i la formula del estimador d’ EE depèn de:

• La mida de les mostres• La normalitat de X en els dos grups• La variança de X sigui igual en els grups

^^

BA XX

EE

d

EE

EE: Desviació estándar de la diferència de mitjanes


Resum de la comparació de dues mitjanes observadesEstratègia:

coneguda (1) desconeguda

nA i nB 30 (2) nA i/o nB < 30

Distribució Normalvariàncies homogènies (2

A = 2B) (3)

variàncies NO homogènies (2A 2

B)(4) Distribució no Normal proves no paramètriques


1 coneguda

2 desconeguda, n gran

3 desconeguda, n petita, X normal, 2A = 2

B

desconeguda, n petita, X normal, 2A 2

B

EEBA nnBA 22

+ = EE B

2

A

2

ns

ns BA

EE BA n

sns

22

ˆˆ

2 - +

2BB

2AA

= nn

s1)-n(+s1)-n( s

BA

2

)1,0(NEE

dZ

)1,0()2( _ NnntEE

dT grann

bA

)2( bA nntEE

dT


Exercici

Un grup de 16 individus que segueix una dieta A té una mitjana d’IMC de 27 amb una desviació estàndard de 4.

Un grup de 13 individus que segueix una dieta B té una mitjana d’IMC de 27 amb una desviació estàndard de 5.

Tenen els dos grups el mateix IMC amb una significació α=0’05 ?

Quin és el grau de significació?


• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• L’estadístic de la prova


• Situació: desconeguda • n petita, • X normal, 2

A = 2B

^^

BA XX

EE

d

EE

EE: Desviació estándar de la diferència de mitjanes

Exercici


desconeguda, n petita, X normal, 2A = 2

B

EE BA n

sns

22

ˆˆ

2 - +

2BB

2AA

= nn

s1)-n(+s1)-n( s

BA

2

)2( bA nntEE

dT

Exercici


Resultats

Estimació de la variància comuna (2) a partir de la mitjana ponderada pels graus de llibertat de les variàncies s2

A i s2B

'444427

120

2 - 13 165 1)-(134 1)-(16

s2

5;B 23; ;31

4;A 27; ;61

sXn

sXn

2

BB

2

AA

27 2 - 13 16 gl


+ = EE ns

ns

O

2

P

2

Càlcul de l’Error Estàndard

1'659 13

16

EE 4'4444'444

22


⇒

-

EE

d t ⇒

- d

tyy

yy

27

O

2

P

2

O P

O P

ns

ns

Càlcul de l’estadístic de contrast: t de Student

2'411 1'659

4 t ⇒

432-72 d


Resultats

El grau de significació és aquell valor de α tal que

411,22

,27t

La regió critica o de rebuig serRebuig de H0 si t Є (-∞,-t 27,α/2) o t Є (t27,α/2 ,∞)

Acceptació de H0 si t Є (-t27,α/2 ,t27,α/2 )

Si α=0.05 t27,α/2= t27,0.025=2’0518

2’2411 està en la regió critica,

Rebutgem H0, les mitjanes del IMC en el grup A i el grup B no es poden considerar iguals


Comparació de dues variables qualitatives

Una taula té f files i c columnesPer cada casilla de la taula calculem

ofc = freqüències observades

efc = freqüències

esperades

Variable 2 Total

1 .... f

Variable 1

1 n 3.

...

f n 1.

Total n.1 n.3 n

n

nne

.ji.

ij


Comparació de dues variables qualitatives

))1)(1((~

22

1 1

2

∑∑)-(

fcc

i

f

j eij

eijoij

Ho: Les distribucions de les categories d’una variable NO SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable.

H1: Les distribucions de les categories d’una variable SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable.

Estadístic de contrast:

Regió crítica:

Rebuig de H0 si X2 > X2 ( α , (c-1)(f-1) )

Acceptació de H0 si X2 < X2 ( α , (c-1)(f-1) )


Mida de la mostra per comparar dues proporcions observades

BA

BBAAβα

2

pp

p1pp1pzp1p2z-

---2

n

n = nombre d’individus necessaris a cada grup z = valor de z corresponent al risc fixat z = valor de z corresponent al risc fixat pA = valor de la proporció esperada al grup A pB = valor de la proporció esperada al grup B pA-pB = valor mínim de la diferència que es vol

detectar p = mitjana ponderada de les proporcions pA i pB

Education

Clase repaso bioestadistica URV 2011