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HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 1
Mathématiques financières
Pr. FALLOUL My El Mehdi
Semestre 2
Année universitaire: 2015/2016
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 2
Familiariser l'étudiant avec les principaux outils des
mathématiques financières et lui fournir les outils et
techniques nécessaires pour résoudre les problèmes
financiers requérant la connaissance des mathématiques
financières.
Objectifs du cours
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 3
1. Suites et séries
2. Les intérêts simples
3. Escompte commercial et équivalence
a intérêts simple
4. Les intérêts composés
5. Equivalence a intérêts composés
6. Les annuités
7. Les emprunts indivis
Plan du cours
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 4
Chapitre 1
Suites et séries
numériques et notion
d’intérêt
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 5
Le nombre réel r est la raison de la suite
Propriété: Si la variation absolue entre deux termes consécutifs
d’une suite est constante, la suite est arithmétique c’est-à-dire :
calcul du n-ième terme:
(n - p) représente la différence des indices
En particulier pour tout entier naturel n :
1.Les suites arithmétiques
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 6
Soit r la raison de la suite :
• Si r >0, la suite est strictement croissante
• Si r <0, la suite est strictement décroissante
• Si r =0, la suite est constante
1.1 Suite arithmétique : croissance et décroissance
suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 0,4
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30
suite arithmétique de premier terme 2,5 et de raison r
=-0,3
-6
-4
-2
0
2
4
0 5 10 15 20 25 30
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 7
1.2 arithmétique : somme des termes consécutifs
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 8
Le nombre réel q est la raison de la suite
Propriété: Si la variation relative entre deux termes consécutifs
d’une suite est constante, la suite est géométrique c’est-à-dire:
calcul du n-ième terme:
(n - p) représente la différence des indices
En particulier pour tout entier naturel n :
1.2 Suites géométriques
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 9
Soit une suite géométrique de raison q et de premier terme
strictement positif :
• Si q >1, la suite est strictement croissante
• Si 0 < q <1, la suite est strictement décroissante
• Si q =1, la suite est constante
1.3 Suite géométrique : croissance et décroissance
suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5
0
10
20
30
40
50
60
70
0 2 4 6 8 10 12
suite géométrique de premier terme 1 et de raison 0,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10 12
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 10
1.4 Suite géométrique : somme des termes consécutifs
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 11
Chapitre 2
Les intérêts simples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 12
Notion d’intérêt
Notion d’intérêt
• C’est le loyer de l’argent (dépense ou revenu)
Il s’agit d’une dépense pour l’emprunteur, l’intérêts correspond à la
rémunération du capital prêté
Il s’agit d’un revenu pour le prêteur, l’intérêt est le revenu du capital prêté
Taux d’intérêt
• Le taux d’intérêt annuel: l’intérêt produit par un capital de 1 dh placé
pendant 1 an: si après avoir placé 1 dh pendant 1 an, on récupère 1,13, on
a un taux d’intérêt de 0,13 ou encore 13%,
• Habituellement le taux d’intérêt est donné pour une unité de capital de 100
dh
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 13
Notion d’intérêt (suite)
Variation de l’intérêt
• L’intérêt est variable selon les circonstances, il tient notamment
compte :
De la loi de l’offre est de la demande: dans le cas ou l’offre de capitaux
excède la demande de capitaux → l’intérêt tendra à baisser et vice versa.
Du montant du prêt, de la durée et du taux d’intérêt
Du degré de confiance que les prêteurs accordent aux emprunteurs, plus
on a des garanties plus on a de chance d’obtenir des emprunts à faibles
coûts.
De l’inflation
• On distingue L’intérêt simple utilisé dans les (placements à CT) et
l’intérêt composé utilisé dans les (placements à LT).
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 14
2.1 Définition et calcul pratique
Définition
Dans le cas de l’intérêt simple:
- Le capital reste invariable pendant toute la durée du prêt;
- L’emprunteur doit verser, à la fin de chaque période l’intérêt dû
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 15
2.1 Définition et calcul pratique
Calcul pratique
Si nous désignons par :
C : le capital placé
t : le taux d’intérêt annuel pour 100 dh
n : la période de placement (n: années, m: mois, j: jours)
I : L’intérêts rapporté par le capital C
L’année est prise pour 360 jours (année commerciale) ceci majore en
réalité le taux d’intérêt qui devient t’= t*365/360
* *n
100
C tIn
* *mIm
1200
C t
* * j
36000
C tIj
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 16
Exemples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 17
Exemple
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 18
2.2 Méthode des nombres et des diviseurs fixes
Si la durée est exprimée en jours
L’intérêt est
On divise en haut et en bas par t
on aura =
N: est le nombre et D est le deviseur fixe
Cette formule est intéressante pour le calcul de l’intérêt global produit par
plusieurs capitaux au même taux pendant des durées différentes
Illustration
* * j
36000
C tIj
( * * j) / t
(36000) /
C tIj
t
( * j) / t
(36000) /
CIj
t
N
D
N
D
1 2 3 1.....N
n
i
n i
NN N N
IgD D
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 19
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 20
2.3 Valeur définitive ou valeur acquise
La valeur définitive (VD) d’un capital C après n période de placement
est la somme du capital et des intérêts gagnés
si n est en année
(1 )100 100
Ctn tnVD C I C C
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 21
2.4 Taux moyen de plusieurs placements
Soient n capitaux(C1, C2,…,Cn) placés à des taux variables
(t1,t2,..,tn) pendant des durées différents (D1, D2,…,Dn)
L’intérêt global de ces 3 placements
Définition : le taux moyen de ces 3 placements est un taux unique tm,
qui appliqué à l’ensemble de ces 3 placements donne le même intérêt
global
Si
Puisque (1) et (2) sont identiques alors
C’est une moyenne arithmétique pondéré par les Nombres Ni
1 1 1 2 2 2 .....(1)
36000
n n nC t j C t j C t jIg
1 1 2 2 ....(2)
36000
m m n m nC t j C t j C t jIg
1 1
1 1
( )n n
i i i i i
i im n n
i i i
i i
t C j t N
t
C j N
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 22
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 23
2.5 Intérêt précompté et taux effectif de
placement Il existe deux manières de paiements des intérêts:
Par versement unique lors du remboursement final du prêt, on dit
que l’intérêt est post-compté
Par avance au moment du versement du capital (jour de la
conclusion du contrat du prêt), on dit que l’intérêt est précompté
D’un point de vue financier ces deux modes de calcul ne sont pas
équivalents: le taux effectif dans le deuxième cas est un peu plus élevé
Définition
• On appelle le taux effectif de placement (te) le taux d’intérêt simple
avec règlement des intérêt lors du remboursement des prêts
• On calcule le (te) à chaque fois que les intérêts sont précomptés
et que l’intérêt est calculé sur la base de la valeur nominale
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 24
Formule de calcule du taux effectif (sans avoir la somme placée)
Le jour de placement du capital C, on reçoit
On place donc effectivement
On récupère n années plus tard le capital C. On gagne alors le même
intérêts en investissant (C-Cin)
Si te est le taux effectif de placement alors
si la durée est en années
si la durée en mois et si la durée est en jours
I Cin
( )C I C Cin
I Cin
( )*te*nC Cin Cin
(1 )* *C in te n Cin
(1 )
ite
in
( * j)1
12
ite
i
( * j)
1360
ite
i
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 25
2.6 Application aux comptes courants et
d’intérêts (Méthode hambourgeoise)
- Taux débiteur 9% et taux créditeur 6%
- Commission de tenu de compte 0,05% sur le total des opérations débitrices
- La durée de placement est date séparant la date de valeur et la date de valeur
suivante
Date
d’opér
ation
opération
s
Capitaux Soldes Date
de
valeur
Jour
Intérêts
Débit Crédit Débit Crédit Débit Crédit
29/06
05/07
12/07
14/07
20/07
24/07
27/07
30/07
30/07
Solde
Retrait
Fourniss
Remise
effet
Dépôts
ChèqueF
Dépôt
Intérêts
Commiss
ion tenue
12000
18000
19200
10,72
24,6
23400
20000
2500
30000
52,7
6600
3300
23400
11400
13400
15900
26700
26741,98
26717,38
30/6
06/07
11/07
15/07
21/07
23/07
28/07
4
5
4
6
2
5
2
6,6
4,12
15,6
9,5
13,4
5,3
8,9
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 26
Compte courant méthode hambourgeoise avec
les nombres et diviseurs fixes
- Diviseurs fixes (créditeur) 36000/6=6000 et (débiteur) 36000/9=4000
- Intérêts (créditeurs) =(318900/6000=52,7) et débiteurs =(42900/4000=24,6)
Date
d’opér
ation
opération
s
Capitaux Soldes Date
de
valeur
Jour
Intérêts
Débit Crédit Débit Crédit Débit Crédit
01/07
05/07
12/07
14/07
20/07
24/07
27/07
30/07
30/07
Solde
Retrait
Fourniss
Remise
effet
Dépôts
ChèqueF
Dépôt
Sintérêts
Commiss
ion tenue
12000
18000
19200
10,72
24,6
23400
20000
2500
30000
52,7
6600
3300
23400
11400
13400
15900
26700
26741,98
26717,38
02/06
06/07
11/07
15/07
21/07
23/07
28/07
4
5
4
6
2
5
2
26400
16500
93600
57000
80400
31800
53400
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 27
Cas particulier
Dans certains cas ( livrets et carnets d’épargne par exemple) les dates
de valeurs sont imposées:
- Pour un dépôt: la date de valeur est le 1er et 16 du mois qui suit la date
de l’opération
- Pour un retrait: la date de valeur est la fin ou le 15 du mois qui précède
la date de l’opération
Si q est le nombre de quinzaines, l’intérêt produit pour un montant C
placé pendant q quinzaines entières est :
ou
2400
CtqI
24
CiqI
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 28
Chapitre 3
Escomptes commercial
équivalence des capitaux
à intérêts simple
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 29
3.1 L’escompte commercial
• L’escompte commercial d’un effet de commerce (traite) c’est le
prix de la vente de cet effet à la banque avant la date d’échéance.
• La valeur escomptée(de vente) est inférieur à la valeur nominale. La
différence porte le nom de l’escompte
Si C: la valeur nominale de l’effet
t: le taux de l’escompte
j: le nombre de jours ( durée de l’escompte)
VE: la valeur escomptée j jours avant l’échéance
E: Le montant de l’escompte
Alors et
• La valeur nette est la somme effectivement mise à la disposition du
vendeur de l’effet avant son échéance
Valeur nette = Valeur nominale – Agio (T.T.C)
36000
CtjE C (1 )
36000 36000
Ctj tjVE C E C C
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 30
Exemple
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 31
3.2 Valeur nette de l’escompte
• La valeur nette est la somme effectivement mise à la disposition
du vendeur de l’effet du commerce avant son échéance
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 32
3.3 Equivalence de capitaux à intérêts simples
• D’un point de vue pratique, on peut s’acquitter d’une dette (capital)
avant sa date d’exigibilité ( exemple escompte) ou bien proroger
cette date, d’où l’importance de l’équivalence de capitaux.
Notion de l’actualisation
Soit, un capital d’un montant C disponible à la période 0
• On peut comparer des capitaux versés à des périodes différentes
, en calculant leurs valeurs actualisées à la même date.
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 33
3.6.1 Equivalence de deux effets ( ou deux
capitaux)
Définition
Deux effets (ou capitaux) sont équivalents à une date déterminée, si
escomptées au même taux, ils ont la même valeur escomptée (valeur
actuelle commerciale). C’est la date d’équivalence
Si C1 et C2 : Valeurs nominales
j1 et j2 : les durées d’escompte en jours
t : taux d’escompte
VE1 et VE2:Valeurs actuelles
Alors 1* * 1 2* * 2
1 2 1 236000 36000
C t j C t jVE VE C C
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 34
Exemple
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 35
Application de la Méthode des nombres et diviseurs fixes
(équivalence de deux effets)
On a
avec D=36000/t
- La date d’équivalence est antérieure à la date d’échéance des deux
effets , Elle doit être postérieure à la date de création des deux effets.
- A intérêts simple, la date d’équivalence lorsqu’elle existe elle est unique,
si deux effets sont équivalents à une date donnée, l’équivalence ne
peut avoir lieu qu’à cette date
1* * 1 2* * 21 2
36000 36000
C t j C t jC C
(C1*t* j1) / t (C2*t* j2) /1 2
36000 / 36000 /
tC C
t t
1*(D j1) 2*(D j2)C C
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 36
3.6.2 Problème relatifs à l’équivalence de deux
effets
A partir de cette équation on peut calculer :
1) La valeur nominale de l’effet équivalent ( exemple précèdent);
2) L’échéance de l’effet équivalent;
3) La date d’équivalence;
4) Le taux d’équivalence;
1* * 1 2* * 21 2
36000 36000
C t j C t jC C
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 37
Exemple 1: détermination de l’échéance de l’effet
équivalent
Exemple : Un débiteur désir remplacer un effet de valeur nominal
75000 dh qu’il doit payer dans 60 jours par un autre effet de valeur
nominale 74600 dh
Quelle serait l’échéance de cette nouvelle dette ? (taux
d’escompte 13%)
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 38
Exemple 2: détermination de la date d’équivalence
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 39
Exemple 2: détermination de la date d’équivalence
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 40
3.6.3 Equivalence de plusieurs effets :l’échéance
commune
• L’échéance commune est le cas de remplacement de plusieurs
capitaux (effets) par un seul capital( effet).
• L’échéance commune est l’échéance d’un effet unique qui, à la
date d’équivalence, a une valeur actuelle égale à la somme des
valeurs actuelles des effets remplacées.
Exemple
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 41
Solution (Exemple)
• A l’intérêt simple, l’échéance commune dépend de la date
d’équivalence
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 42
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 43
Généralisation (échéance moyenne)
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 44
Chapitre 4
Les intérêts composés
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 45
4.1- Principe de base
Le système des intérêts composés est utilisé pour les opérations
financières à long terme ( plus d’un an).
Soit un capital de 10 000 dh placé à intérêts composés au taux
annuel de 7% pour une durée de 3 ans:
A la fin de la première année le capital a rapporté un intérêt simple de
10000*0,07= 700; (nouveau capital = 10 000+700= 10700)
A la fin de la deuxième année, on place le nouveau capital qui produit à
son tour des intérêts on obtient : 10700*0,07= 749;
(nouveau capital = 10 700+749= 11149)
A la fin de la troisième année, on place le nouveau capital qui produit à
son tour des intérêts on obtient : 11149*0,07= 801,43
Ainsi le capital 10000 dh a rapporté un intérêt composé de
700+ 749+801,43 = 2250,43
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 46
4.2.1Le temps de placement est un nombre entier de périodes
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 47
Exemples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 48
4.2.2Le temps de placement est un nombre fractionnaire de
périodes
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 49
Solution rationnelle
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 50
Solution commerciale
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 51
4.3 Taux proportionnels et taux équivalents
• En intérêt simple deux taux proportionnels produisent sur un
même capital les même intérêts au bout du même temps.
• Soit la formule du calcul de l’intérêt simple:
on multiplie par P/P ce qui donne
Exemple
Pour un taux annuel de 7% (p=1)
équivaut un taux proportionnel semestriel (p=2) de 0,07/2 soit 3,5 %
équivaut un taux proportionnel trimestriel (p=4) de 0,07/4 soit 1,75 %
équivaut un taux proportionnel mensuel (p=12) de 0,07/12 soit 0,58 %
Remarque
Ce principe ne s’applique pas à la formule de l’intérêt composé d’où l’utilisation
des taux équivalents
* t*n*100
C p
P* t*n*
100
C p
P* *
100
C tp
p
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 52
4.3 Taux proportionnels et taux équivalents
4.3.1 Taux proportionnels
• En intérêt simple deux taux proportionnels produisent sur un
même capital les même intérêts au bout du même temps.
• Soit la formule du calcul de l’intérêt simple:
on multiplie par P/P ce qui donne
Exemple
Pour un taux annuel de 7% (p=1)
équivaut un taux proportionnel semestriel (p=2) de 0,07/2 soit 3,5 %
équivaut un taux proportionnel trimestriel (p=4) de 0,07/4 soit 1,75 %
équivaut un taux proportionnel mensuel (p=12) de 0,07/12 soit 0,58 %
Remarque
Ce principe ne s’applique pas à la formule de l’intérêt composé d’où l’utilisation
des taux équivalents
* t*n*100
C p
P* t*n*
100
C p
P* *
100
C tp
p
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 53
4.3.2 Taux équivalents
• Soit deux placements définis respectivement par le taux i1 et i2 et
par leur périodes p1 et p2. Les placements sont effectués à taux
équivalents s’ils aboutisse, pour un même capital, à la même valeur
acquise.
Ce qui donne
Donc et
Exemple: Quel est le taux semestriel équivalent au taux annuel de 9 % ?
Si Is est le taux semestriel équivalent alors :
Donc is est de 4,4%
1 2
1 2(1 ) (1 )p pC i C i
2/ 1
1 2(1 ) 1p pi i 1/ 2
2 1(1 ) 1p pi i
2 1/2(1 ) 1.09 (1.09) 1s si i
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 54
4.4 Valeur actuelle à intérêts composés
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 55
Exemple
Remarque: La recherche de la valeur actuelle repose sur le principe
de l’actualisation à partir des taux équivalents
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 56
4.5 Evaluation d’un capital à une date donnée
• Un capital Cp payable à l’époque p peut être facilement évalué à
n’importe quelle date.
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 57
Exemple
Une personne doit régler 75000 dh dans 4 ans combien paierait-elle- si
elle réglait sa dette :
a) Dans 2 ans,
b) Dans 7 ans.
Les intérêts composés sont au taux de 11,5%
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 58
4.6 Applications de la formule fondamentale
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 59
Exemple ( recherche de la durée de placement)
Une capital de 100 000 dh est placé à intérêts composés au taux annuel
de 8%. A la fin du placement, la valeur acquise s’élève à 233163,90 dh.
Quelle est la durée de placement ?
On sait que
Donc n = 11, la période est de 11 ans
100000(1,08) 233163,90n
(1,08) 2,331639n
ln(2.331639) / ln(1,08)n
l1n
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 60
Chapitre 5
Equivalence des capitaux
à intérêts composés
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 61
5.1 Equivalence de deux capitaux
L’équivalence à intérêts composés est appliquée à des opérations à
moyen et long terme. On retrouve ici le même principe que
l’équivalence de capitaux à intérêts simples.
Deux capitaux sont équivalents à intérêts composés à une date
donnée, si escomptés à intérêts composés et au même taux, ils ont à
cette date la même valeur actuelle.
Soit C1 et C2 sont deux effets payable dans n1 et n2 périodes et escomptés à
un taux i par période.
• C1et C2 sont équivalents si et seulement si 1 2
1 2(1 ) (1 )n nC i C i
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 62
Exemple
Exemple: Quelle est la valeur acquise au bout de 5 ans et 3 mois d’un
capital de 12000 dh placé à intérêt composés au taux annuel de 7,5% ?
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 63
Remarque: D’une manière générale , en matières d’intérêts composés
si deux capitaux sont équivalents à une date, ils sont équivalents à
toute autre date. L’équivalence de deux intérêts composés est
indépendante de la date d’équivalence. Il convient donc de choisir la
date la plus favorable au calcul.
Exemple: Reprenons l’exemple précédent et modifiant la date
d’équivalence
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 64
5.2 Equivalence de plusieurs capitaux
Définition: Un capital est équivalent, à intérêts composés et à une date
donnée, à un groupe de capitaux, si au même taux d’escompte, la valeur
actuelle de ce capital est égale à la somme des valeurs actuelles de
l’ensemble du groupe de capitaux.
Exemple: On souhaite remplacer les trois effets suivants: 12000 dans 2
ans, 15000 dans 6 ans, 18000 dans 4 ans. Par un effet unique de nominal
C payable dans 5 ans. Taux 11%. Calculer la valeur nominale de ce capital
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 65
5.2 Equivalence de plusieurs capitaux
Remarques:
L’équivalence peut être effectuée à n’importe quelle autre date.
L’exemple signifie que, à un taux de 11%, payer 49905,05 dh dans 5
ans est identique à des versements successifs de :
12000 dh dans 2 ans;
18000 dh dans 4 ans;
15000 dh dans 6 ans,
On peut vérifier de la même manière l’équivalence entre deux groupe
d’effets.
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 66
5.3 Échéance commune et échéance moyenne
Il s’agit du problème de remplacement d’un groupe de capitaux (ou
d’effets) par un seul capital:
Si la valeur du capital unique est différent de la somme des valeurs
nominales des capitaux remplacés, il s’agit de l’échéance commune (ou
unique).
Si la valeur du capital unique est égale à la somme des valeurs nominales
des capitaux remplacés, il s’agit de l’échéance moyenne.
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 67
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 68
Cas de l’échéance moyenne
Il s’agit de remplacer les 3 effets par un seul dont la valeur nominale
est égale à la somme des valeurs nominale des effets remplacés
Valeur nominale du capitale unique = 15 000+ 20 000+ 35 000 = 70000
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 69
Exemple: calcul du taux d’actualisation
Exemple: un débiteur remplace deux effets: 15 000 dh dans 3 ans et
13 000 dh dans 5 ans par un seul effet de 22701,24 dh payable dans 2 ans.
Quel est le taux retenu pour cet arrangement ?
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 70
Cas de l’échéance moyenne
Par interpolation linéaire :
0,11 23019,00
22701,24
0.12 22646,00
i
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 71
Chapitre 6
Les annuités
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 72
6.1 Définitions
Les annuités sont des sommes payables à intervalles de temps
régulier ( une année).
Lorsqu’il s’agit des paiements semestriels, trimestriels ou mensuels,
dans ce cas on parle de semestrialités, trimestrialités, mensualités.
L’étude des annuité est d’une importance capitale, car celles-ci
permettent en effet, de résoudre plusieurs problèmes relatifs:
Aux emprunts (remboursement de crédits);
Aux placements ( constitution d’un capital retraite par exemple);
A la rentabilité des investissements.
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 73
6.2 Annuités constantes de fin de période
Ici les sommes sont payables à la fin de chaque période, le début de
la première période est appelé origine de la suite d’annuités, en outre
ces sommes sont constantes.
Soient :
a : Le montant de l’annuité constante
i : le taux d’intérêt correspondant à la période retenue
n : le nombre de versement de la dernière annuité
An : Valeur acquise au moment du versement de la dernière annuité.
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 74
6.2.1 Annuités constantes de fin de période
A- Valeur acquise au moment du dernier versement
Soit une série de n annuités s (ai ) de fin de période :
An est la somme des valeurs acquises des versements annuels
On présenter les valeur des versements annuels comme suit:
D’où
On sait que
En posant q =(1+i)
On obtient
(formule de capitalisation)
1
2
2
1 (1 )
2 (1 )
.......
2 (2 )
1 (1 )
n
n
année a i
année a i
année n a i
année n a i
année n a
2 1
1 2
(1 ) (1 ) ... (1 )
(1 (1 ) .... (1 ) (1 )
n n
n n
An a i a i a i a
An a a i i i
2 1 11 .... 1
1
nn q
q q q avec qq
(1 i) 1n
An ai
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 75
Remarque
On applique cette formule quand on se situe au moment du dernier
versement.
Ici le nombre n indique à la fois l’époque à laquelle on évalue la suite
d’annuités ( en An ), et le nombre d’annuités (n en exposant).
Il ne faut jamais oublier que le nombre de versements est un entier.
Le dernier versement ne rapporte pas d’intérêt et à ce titre la formule
précédente ne permet pas de résoudre directement les problèmes
relatifs à la constitution des capitaux. C’est une étape provisoire pour
les calculs.
Le problème considéré peut s’inscrire dans le cadre de l’équivalence
des capitaux. En effet à l’époque n, An est équivalent à la suite des n
annuités de montant a chacune.
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 76
Exemples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 77
Exemples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 78
Exemples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 79
Exemples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 80
Remarque ( exemple précèdent)
En fait aucune des propositions avancées ne répond exactement au
problème posé, et à ce titre le problème semble ne pas admettre de
solution. Il existe pourtant une solution satisfaisant les données du
problèmes mais il faut se situer après le dernier versement. En effet,
pour n = 8, le capital constitué au dernier versement s’élève à
352911,16 dh; placé pour une durée égale à x, cette somme acquiert la
valeur de 384 000 dh:
Par logarithme on trouve x=353 jours
Nous avons, en définitive, 8 annuités de 32 000 dh chacune, le capital de
384 000 dh est constitué de 11 mois et 23 jours après le dernier
versement.
384 000 352 911, 16 * 1,09xdh
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 81
B-Capital constitué par une suite d’annuités constante à une
date postérieure au dernier versement
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 82
• l’égalité s’écrit:
101,095 13000000 *1,095
0,095a
2
10
0,095300000 *1,095 16079,60
1,095 1a
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 83
C-Cas ou le taux ne correspond pas à la période
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 84
Remarques
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 85
6.2.2-Valeur actuelle
A- Valeur actuelle à l’origine
la situation peut être schématisée comme suit
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 86
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 87
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 88
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 89
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 90
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 91
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 92
B-Valeur actuelle à une date quelconque
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 93
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 94
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 95
C-Taux d’intérêt ne correspond pas à la période
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 96
B-Capital constitué par une suite d’annuités constante à une
date postérieure au dernier versement
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 97
6.3- Annuités constantes de début de période
6.3.1 Définition
Les versement ont lieu au début de chaque période
Remarque: Il importe donc, au niveau des formules, de tenir compte
du décalage d’une période
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 98
6.3.2 Valeur acquise
Ici on se situe une période après le dernier versement d’où :
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 99
6.3.3 Valeur actuelle
Ici on se situe une au moment du premier versement d’où :
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 100
6.4.1- Annuités en progression arithmétique
L’annuité augmente chaque période d’un montant r constant ( si est
négatif alors il s’agit d’une diminution).
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 101
Valeur actuelle
Exemple: Calculer la valeur actuelle d’une suite de 10 annuités en
augmentation de 10 000 par an et de premier terme 25 000 dh. Taux : 8
% l’an.
10
10
10000) 1,08 1 10*10000(25000
0,08 0,08 0,08A
10 922984,37A
10
10 0 (1,08) 427520,35A A
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 102
6.4.2- Annuités en progression géométrique
On passe d’une annuité à la suivante en multipliant par une constante
q ( avec q 1)
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 103
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 104
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 105
6.5- Problème d’équivalence
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 106
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 107
B-Capital constitué par une suite d’annuités constante à une
date postérieure au dernier versement
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 108
Chapitre 7
Les emprunts indivis
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 109
7.1 Les emprunts indivis
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 110
7.2 Notion d’amortissement des emprunts indivis
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 111
7-2-1 Emprunts remboursables en une seule fois
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 112
Exemple
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 113
7-2-2 Amortissement à l’aide des annuités
ce système se caractérise par le fait que les annuités contiennent
toutes un amortissement et donc dépasse l’intérêt de la période.
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 114
Remarque
Le capital restant dû au début de la dernière année est égal au dernier
amortissement
3) Le système qui est présenté ici peut faire l’objet d’un tableau appelé
tableau d’amortissement:
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 115
Un emprunt de 200 000 dh est remboursable à l’aide de 6 annuités, la
première venant à échéance un an après la date du contrat. Taux: 11%.
Sachant que les amortissements sont respectivement 35 000 dh,
20 000 dh, 50 000 dh, 40 000 dh, et 10 000 dh établir le tableaux
d’amortissement de l’emprunt considéré.
Pério
de
Capital en
début de
période
Intérêt de
la période
(I)
Amortisse
ment
(M)
Annuités
(a)
Capital en
fin période
(CFP
1 C Ci M1 a1=Ci+M1 C1=C-M1
2 C1 C1i M2 a2=Ci+M2 C2=C-M2
….. ….. ….. ….. …. …..
n Cn-1 Cn-1i Mn Mn Cn=0
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 116
Période CDP I M a CFP
1 200 000 22 000 35 000 57 000 165 000
2 165 000 18 150 20 000 37 150 145 000
3 145 000 15 950 50 000 65 950 95 000
4 95 000 10 450 40 000 50 450 55 000
5 55 000 6050 10 000 16 050 45 000
6 45 000 4950 45 000 49 950 0
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 117
Remarques
1) Le dernier amortissement n’a pas été donné, son calcul ne pose aucun
problème:
M6 = 200 000 –(35 000+ 20 000+ 500 000+40 000+ 10 000)
= 45 000 dh
Ou encore
M6 = C5 = 45 000 dh
2) Dans cet exemple les amortissements n’obéissent à aucune loi et sont
distribués de manière tout à fait aléatoire
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 118
Quelques propriétés
Epoque Débit Crédit
0 C
1 a1
2 a2
…. ….. …
n an
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 119
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 120
Ainsi le capital restant dû ( ou encore dette vivante DV) à l’époque p,
juste après le paiement de l’annuité de rang p, est égal à la somme des
valeurs actuelles, à cette époque des annuités non échues.
1 1
1 1 1
( )
1
(1 ) (1 )
(1 ) (1 ) (1 )
(1 ) (4)
pnp k p k
k k
p p p knp k p k
k k p k
nk p
k p
Sp ak i ak i
ou encore
Sp ak i ak i ak i
Ce qui donne Sp ak i
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 121
7.3 Amortissement par annuités constantes 7.3.1- Construction du tableau d’amortissement et propriétés
la somme de l’intérêt de la période et de l’amortissement est
constante. Cette somme peut être calculer à l’aide de la formule.
*1 (1 ) n
ia C
i
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 122
Les amortissements sont donc en progression géométrique de raison
(1+i); calculons en le premier terme
1
1 2 1 1 1
1
1
.... (1 ) .... (1 )
(1 ) 1
'(1 ) 1
n
n
n
n
C M M M M M i M i
iC M
i
iD ou M C
i
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 123
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 124
Remarques
1) Les amortissements sont bien en progression géométrique. Par
exemple: 35 695,20/31 870, 71 = 1, 12
2) Le tableau peut être construit à partir la colonne des amortissements:
M1 = 350 000 *0,12/1,12^8 = 28 455, 99 dh
En multipliant à chaque fois par 1,12 on obtient les autres
amortissements.
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 125
7.3.2- Calcul du capital restant dû
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 126
B-Capital constitué par une suite d’annuités constante à une
date postérieure au dernier versement
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 127
7.3.3 La prise en compte de la TVA
La TVA concerne les intérêts débiteurs: ainsi, celles-ci est de 10%,
alors pour 100 dh d’intérêts versés au banquier, par exemple, il
importe d’ajouter 10 dh de taxe, on se retrouve alors avec 110 dh
d’intérêts toutes taxes comprises (TTC).
Pour tenir compte de la TVA on intègre une colonne spéciale à cette
effet. Seulement, l’annuité de remboursement s’en trouve modifiée;
celle-ci ne sera plus constante mais en légère diminution ( on ajoute à
un terme constant une taxe qui diminue avec l’intérêt). Pour rendre
constante l’annuité effective ( 1+TVA+ AMORTISSEMENT) il importe
d’utiliser intégrant la TVA (taux TTC)
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 128
Le taux est alors de 13,12% l’an (i’= 0,132). A partir de ce taux. On
calcule l’annuité
D’où le tableau d’amortissement
Remarque:
1) Il importe de souligner que, dans le tableau, l’intérêt I est calculé à
12% et non à 13,2%
2) Toutes les propriétés rencontrées précédemment sont vérifiées ici:
par exemple les amortissements sont en progression géométrique de
raison 1,132.
Pério
de
CDP I TVA AM a CFP
1 500 000 60000,00 6000,00 59774,00 125774,00 440226,00
2 440 226.00 52827,12 5282,71 67664,17 125774,00 372561,84
3 372561,84 44707,42 44707,42 76595,84 125774,00 295966,00
4 295966,00 35515,92 3551,59 86706,49 125774,00 209259,51
5 209259,51 25111,14 2511,11 98151,74 125774,00 111107,77
6 111107,77 13332,29 1333,29 111107,77 125774,00 0
6
0.13250000* 125774.00
1 1,132a dh
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 129
7.Amortissements constants
La construction du tableau d’amortissement est encore plus simple
que dans le cas des annuités constantes puisque l’amortissement est
réparti de manière uniforme sur l’ensemble des périodes:
Notons, qu’ici. Comme l’intérêt baisse de période en période, on se
retrouve en définitive avec une annuité en diminution. Ecrivons des
annuités successives:
Ce qui donne:
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 130
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 131
Chaque année on paie 50 000 dh (300 000:6) au titre d’amortissement,
d’où le tableau:
Remarque:
1) Chaque année l’annuité diminue de 5750 dh (50 000*0,15).
2) On peut intégrer la TVA dans le tableau. Celle-ci ne pose pas de
problème puisque nous n’avons plus cette contrainte de rendre l’annuité
constante
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 132
7.5 Emprunts amortissables en une seule fois: système
américain
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 133
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 134
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 135
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 136
Fonctions Excel
VA(taux;npm;vpm;vc;type) Valeur actuelle avec des paiements constants (Vo)
VC(taux;npm;vpm;va;type) Valeur acquise avec des paiements constants (Vn)
VPM(taux;npm;va;vc;type) Valeur d'un paiement (a)
TAUX(npm;vpm;va;vc;type;estimation) Intérêt attendu de 1 F pour une période (t)
NPM(taux;vpm;va;vc;type) Nombre de paiements (n)
INTPER(taux;période;npm;va;vc;type) Intérêts de la période
PRINCPER(taux;période;npm;va;vc;type) Amortissement du principal de la période
VAN(taux;série) Valeur actuelle avec des paiements variables (Vo)
TRI(série;estimation) Taux de rentabilité interne (montants variables)
Période N° de la période de paiement (de 1 à npm)
Type (facultatif) Paiement dans la période (0=fin, 1=début) (0 par défaut)
Estimation (facultatif) Degré de précision pour le calcul du taux (0.1 par défaut)
.Les paramètres en italiques (type, estimation) sont facultatifs ;
.Paramètres soulignés : préciser un paramètre sur deux ;
.Inscrire la valeur décaissée en négatif (vmp, va ou vc).
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 137
Bibliographie (indicative)
Abdellatif SADIKI et Najib MIKOU, Mathématiques financières,
Imprimierie Najah Casablanca.
Dominique BODIN, Cours des mathématiques financières, Université
Rennes 2.
Robert BEDART, cours des mathématiques financières, Université du
Quebec à Montréal.
Makrem Ben Jeddou et Hababou Hella, Mathématiques appliquées à
la gestion, Eléments des mathématiques financières.