KALKULUSDERET TAYLOR DAN MAC LAURIN

Oleh :

1.Moch.Diyan.S (105448)

2.Moch. Hasanudin (105485)

3. Maratus Sa’adah (105765)

4. Moch. Sholeh (105774)

5. Laily R. (105777)

6. Riza Wardha R (105780)

7.Teguh Sukma M (105782)

8. Selly Puspitasari (105786)

 

DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN DERET TAYLOR

Dalam kalkulus seringkali kita dihadapkan kepada suatu persamaan yang memuat berbagai macam fungsi

Misalnya Sin x + + - 2 = 0Menyelesaikan persamaan diatas tidaklah mudah., salah satu cara ialah mengubah setiap fungsi itu menjadi suatu polinom dalam x. Mengubah suatu fungsi f(x) dalam bentuk polinom dalam x dapat dilakukan dengan memperderetkan fungsi itu menurut deret taylor ,yaitu kita gunakan teorema Role yang berbunyi :Jika f(x) kontinu dalam selang ,dan diferensiabel dalam selang ,dan jikaF(a)=f(a+h)=0 ,maka paling sedikit dapat ditentukan suatu nilai t yang memenuhi 0<t<1 ,sehingga f’(a+th)=0

PERHATIKAN SEKARANG SEBUAH FUNGSI DENGAN PERSAMAAN Y = F(X).KITA BENTUK FUNGSI G(X) YANG DAPAT DISUSUN DARI F(X) DENGAN CARA SEBAGAI BERIKUT :

g(x)= f (a+h)- f(x) – f’ ( ) ( ) ( ) ( )!3

"!2

32 xhaxf

xhax

−+−−+−

( ) −xf '" ( ) ( ) ( )xnfn

xha n

1!1

1

−−−+−⋅⋅⋅

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

−

−⋅⋅⋅−−−−+− −−

afn

haf

haf

hafhaf n

n1

12

!1"

!2'

1

p

h

xha

−+×

JIKA P BILANGAN POSITIF SEBARANG ,MAKA TERNYATA BAHWA G(A) = 0 DAN G(A + H ) = 0MENURUT TEOREMA ROLLE , DAPAT DI TENTUKAN BILANGAN T ANTARA 0 DAN 1,SEHINGGA G’(A+TH ) = 0 .UNTUK MEMPEROLEH G’ (A + TH ) = 0 . UNTUK MEMPEROLEH G’ (A + TH ) KITA TENTUKAN TERLEBIH DAHULU G’( X ),SEBAGAI BERIKUT :

g’ (x) = - f’ (x) - f’’(x) + f’(x) – f’’’(x) +

f’’(x) – (x) +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−

−⋅⋅⋅−−−−+− −−

− afn

haf

haf

hafhafxf n

nn 1

121

!1"

!2'

1

1−

−+

−

p

h

xha

h

p

jika x kita ganti dengan a + th , maka kita peroleh nilai g ‘(a + th) ,yaitu :

g’(a + th ) = -

( ) 01 1 =− −pt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) 0

!1

1

!1'

11 1

11 =

+⋅

−−−

−−⋅⋅⋅−−−+−

−−

−− thaf

pn

thaf

n

haf

hafhaft

h

p npnn

nn

p

f (a + h) = f(a) + f”(a)+…+

ns+

jika

Deret diatas disebut deret taylor berderajat (n-1) dari fungsi f, dan

Jika pada deret Taylor diatas dimisalkan x =a+h,kita peroleh deret Taylor berderajat (n-1) disekitar x = a.yaitu :F(x) = f(a) + f’(a).(x-a)+

DERET MAC LAURIN Apabila pada Deret Taylor di atas di ambil a = 0, maka di peroleh Deret Mac Laurin berderajat ( n – 1 ) dari fungsi f, yaitu

f(x) = f (0) + 1x . f ‘ (0) +

!2

2x f” (0) + !33x

f’’’ (0) + ........ )!1(

1

−

−

n

x n

f)1( −n

(0) + Sn

, jika Sn

!n

x nf )(n ( tx ) ( tx ) adalah suku sisa langrange.

Jika f (x) suatu fungsi yang diferensiabel dan memenuhi :

Lim Sn

=

= 0 , maka f (x) dapat di perderetkan menurut deret tak hingga Mac Laurin, n ∞

F (x) = f(0) + f ‘ (0) + f ‘’(0) +

f ‘’’ (0) + ...........1

x

!2

2x

!3

3x

(x-a +…+

Seringkali kita hanya memerlukan nilai pendekatan dari f (x) dengan cara mengambil beberapa suku pertama deret Mac Laurin. Nila ruas kanan kita ambil 4 suku, kita peroleh suatu polinom berderajat 3 dalam x sebagai pendekatan dari f (x).

Contoh Tentukan deret Mac Laurin fungsi f (x) = e x

Untuk menentukan deret Mac Laurin suatu Fungsi f (x), kkita harus mencari lebih dulu nilai-nilai f (0), f ‘ (0) , f ‘’(0) dan seterusnya. Karena f (x) = ,ex

, maka . f ‘ (x) = e , f ‘’ (x) = ex x, ....... jadi f (0) = e

x

= 1 ,f ‘ (0) = 1 , f ‘’ (0) = 1 , .........

Deret Mac Laurin fungsi f(x) = ex ialah : e = 1 + 1

x

!2

2x

!3

3x

!4

4x!5

5x+ ...........++ + +

Harus ditunjukkan bahwa Lim Sn= 0 n ∞

jika kita gunakan suku sisa Langrange , kita peroleh

Sn!n

x n

ftx

nn e

n

xtx

!)()( == ( 0 < t < 1 )

Jika x > 0 maka etx< e x dan Sn xn

en

x

!<

Jika x < 0 maka e tx < 1 dan nS!n

xn

<

Jika x bernilai tetap, dapat di buktikan bahwa Lim 0!

=n

xn

n ∞dapat di tentukan Konstanta m , Sehingga untuk semua n > m

Berlaku jadin

x,2

1

!<

mnmmn

m

x

n

x

m

x

m

x

m

x

n

x −

<

++=

2

1.!

...2

.1

.!!

Karena Lim mn−

2

1 = 0 maka Lim sehinggan

xn

,0!

=

Lim Sn = 0 Untuk setiap Nilai x.

n ∞

n ∞

Contoh :Tentukan deret mac laurin fungsi xxf cos)( =Jawab : xxf cos)( = 1)0( =f

xxf sin)(' −= 0)0(' =f

xxf cos)('' −= 1)0('' −=f

xxf sin)(''' = 0)0(''' =f

1)0()4( =fxxf cos)()4( = , dan seterusnya.

Jadi .......!8!6!4!2

1cos)(8642

−+−+−== xxxxxxf

Harus ditunjukkan bahwa 0:lim =∞→ n

ns

+=−= πntx

n

xtxf

n

xs

nn

n

n 2

1cos!

)(:

)( jadi :

+= πntx

n

xs

n

n 2

1cos: Karena 1

2

1cos ≤

+ πntx

maka 0lim =∞→ n

ns untuk setiap nilai x.

CONTOH :DENGAN DERET MAC LAURIN, DINYATAKAN DALAM SEBUAH POLINOM BERDERAJAT 4 DALAM X.JAWAB :

xxf 3cosh)( 2=

)(!4

)0('''!3

)0(''!2

)0('1

)0()( )4(432

xfx

fx

fx

fx

fxf +++=

xxf 3cosh)( 2= 1)0( =f

xxf

xxf

xxf

xxxxf

6cosh646)(

6sinh108)('''

6cosh18)(''

6sinh33sinh3.3cosh2)('

)4( ==

===

648)0(

0)0('''

18)0(''

0)0('

)4( ====

f

f

f

f

Jadi42

422 2791)648(

!4)18(

!213cosh xx

xxx ++=++=

Contoh :Diketahui

ny cos= 32cos2 −+ xx

Selesaikan persamaan 0=dx

dy

Jawab : sinh2=dx

dyxx 2sin22 −

Dengan deret maclaurin kita nyatakan sin 2x dan sin 2x dal;am suatu polinom dalam x.

0....!7

16

!3

116....

!11

)2(

!7

)2(

!3

)2(2

....!7

)2(

!5

)2(

!3

)2(2

....!7

)2(

!5

)2(

!3

)2(22sin2sinh

53

1173

753

753

=

++=

+++

=

+−+−

−++++=−

xx

xxx

xxxx

xxxxxx

Jadi x = 0

CONTOH :  JIKA SUATU BILANGAN YANG MEMENUHI , MAKA TUNJUKKAN BAHWA (RUMUS EULER).BUKTI :AKAN KITA TUNJUKKAK BAHWA DERET MAC LAURIN RUAS KIRI SAMA DENGAN DERET MAC LAURIN RUAS KANAN.

12 −=iixeix += cos xsin

i

Karena makaxxxx

e ,!4!3!21

1432

⋅⋅⋅+++++=∧

xix

ixixxi

xxxx

xixxixxixxix

xixixixixixiixeix

sincos

)!5!3

()!8!6!4!2

1(

!8!7!6!5!4!3!21

!7!6!5!4!3!211

538642

8765432

776655443322

+=

⋅⋅⋅−+−+⋅⋅⋅−+−+−=

⋅⋅⋅++−−++−−+=

⋅⋅⋅++++++++=

CONTOH: DENGAN MENENTUKAN DERETA MAC LAURIN DARI PEMBILANG DAN PENYEBUT, TENTUKAN ( )

2

23

0 cos1

31lim

x

ex x

x −−+

→

Jawab :

Karena makaxxx

xe x ,!4!3!2

1432

⋅⋅⋅+++++= ,!4

81

!3

27

!2

931

4323 ⋅⋅⋅+++++= xxx

xe x

Sedangkan cos jadixxx

x ,!6!4!2

1642

⋅⋅⋅++++=

cos ⋅⋅⋅++++=!6!4!2

11284

2 xxxx

kita peroleh ( ) =−

−+→ 2

23

0 cos1

31lim

x

ex x

x

=⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅−−−−

→

!6!4!2

!4

81

!3

27

!2

9

lim1284

2432

0 xxx

xxx

x

2

81

!2

1

!2

9

!6!4!2

!4

81

!3

27

!2

9

lim

2

12844

24324

0−=

−

=

⋅⋅⋅+++−

⋅⋅⋅+++

→ xxxx

xxxx

x