Desayunos electro-2016-i

Desayunos

ElectromagnetismoEl desayuno es la comida mas importante del dia. Un buen desayuno da energía para sotener

gran parte del dia.

Esta es una colección de problemas que cada semana se da a la clase, y se publica la solución posteriormente. Estos problemas son los “desayunos” del ramo.

Desayuno 2Se tiene el siguiente sistema de cargas, resorte.

Encuentre le ecuación que debe satisfacer y para que la carga Q2 esté en equilibrio.

L

y

Q2

Q3

Q1

Constante de resorte K, de largo natural L

Q1,Q2 Tienen distinto signoQ2,Q3: Igual signoQ2, sólo se puede mover en el eje Y

Problema de fuerza entre partículas. Se tiene el siguiente sistema de cargas, con restricciones de movimiento.

Encuentre la ecuación de y Para mantener en equilibrio Q2

Ecuación que debe satisfacer y, para el equilibrio.

Desayuno 3 Se tiene dos distribuciones lineales de carga Como se observa en la figura.

Calcular la fuerza de la distribución con. Sobre.

Solución Recordemos la expresión de la fuerza sobre una carga distribuida sobre una carga puntual

Universidad Adolfo Ibañez Electromagnetismo 2013-II

Desayuno 4

Se tiene la siguiente configuración de cargas

Calcule una expresión del campo eléctrico en el punto P.Con la expresión anterior, asuma que r>>a, y calcule una expresión del campo E muy alejado de la configuración de carga.

Solución

Debemos recordar la fórmula del campo eléctrico de una carga puntual: E(r )=kQr− r '

∥r− r '∥3

.Debemos sumar los cuatro campos en el punto P.El vector posición del punto P es r cos(θ) i+r sin(θ) j

La posición de cada car son:• (1) Q : a j• (2) -Q : −a i• (3) -Q −a j• (4) Q a i

Luego el campo eléctrcio en el punto P es la suma vectorial de los campo individuales

-Q

-Q

Q

Qa

a a

a

P

r

(1)

(2)

(3)

(4)


E :=kQ( [rcos(θ) , r sin(θ)−a]

√(r²+a2−2ra sin(θ))

3−

[rcos (θ)+a , r sin(θ)]

√(r2+a2

+2ra cos(θ))3−

[rcos (θ) , r sin(θ)+a]

√(r2+a2

+2ra sin(θ))3+[r cos (θ)−a , r sin(θ)]

√(r2+a2

−2ra cos(θ))3 )

Si asumimos que r>>a, el denominador se puede expresar como una serie de Taylor...

1

√(r2+a2

+2ra sin(θ))3≈

1

r3√(1+2ar

sin (θ))3 ≈

1r3 +

(3 sin(θ)a)

r4 +(15sin (θ)

2 a2)

(2r 5)

+…

Aplicando esta aproximación a cada raíz se obtiene la siguiente expresión:

E=( (6ak cos(θ) sin(θ)Q )

r3+(6ak cos (θ)

2Q )

r3−

(2akQ)

r3+

(35a3k cos(θ)sin (θ)

3Q)

r5−

(15a3k cos(θ)sin (θ)Q )

r5+(35a

3k cos(θ)

4Q)

r5−

(30a3kcos(θ)

2Q)

r5+

(3 a3kQ )

r5 ) i

+( (6ak sin (θ)2Q )

r3 +

(6ak cos( θ)sin( θ)Q)

r3 −

(2 akQ )

r3 +

(35a3k sin(θ)4Q )

r5 −

(30 a3k sin(θ)2Q)

r5 +

(35a3 k cos(θ)3sin (θ)Q )

r5 −

(15a3 k cos(θ)sin (θ)Q )

r5 +

(3 a3 kQ)

r5 ) j

Ilustración 1: Diagrama del campo E, en el plano de las Cargas

Calcular el campo eléctricos de los casquetes que se observan en la figura.

Solución Primero debemos conocer el campo de un casquete

El campo en un punto P, es la suma de los campos.

09-04-13


Desayuno 6

Se tiene una distribución esférica de carga, cuya densidad viene descrita por la ecuación

ρ(r )=(ρ0R2 e−r /R

r2

r<R

0 r>R)Sobre la información entregada, calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. Realice un bosquejo de un gráfico del campo en función de r.

Bosquejo del campo E

Se tienen dos casquetes esféricos concéntricos con el potencial informado

Calcular V(r), E(r) y la densidad de carga superficial

Calcular la capacidad del condensador de placas paralelas, pero con la parte superior levemente levantada.


Desayuno 10

Un condensador cilíndrico, de radio exterior b, radio interior a y largo L, se carga de modo de tener una carga Q. Aislado, se hace tocar un extremo con un fluido no conductor de densidad y constante dieléctrica K.

El líquido va a subir una altura H, como se observa en la figura.

En estas condiciones, encuentre las condiciones que satisface H.

Solución

Debemps saber que este condensador, se comporta como un condensador en paralelo, ta que la zona con dieléctrico, y sin dieléctrico están al mismo potencial.

En general, la capacidad de un condensador cilindrico, en el vacío es: C=2π ϵ0 L

ln( ba )En estas circuntancias, la capacidad con diléctrico es

C (H )=2πϵ0

ln( ba )[ L−H+KH ]

La energía almacenada en este dispositivo es:

L

2b2a

g


U (H )=12Q2

C (H )=12

Q2

2π ϵ0

ln( ba )[ L−H +KH ]

La variación de energía potencial eléctrica ΔU=U (H )−U (0) , debe ser igual a la energía potencialgravitatoria ganada por la columna de líquido. Esto es, en función de la densidad y g es igual a

ρgH 2

2. Igualando, ΔU=U (H )−U (0)=ρ g

H 2

2, se obtiene

H=(Q√((K 2

−2K+1)Q2+8πϵ0ρln (b /a)g L)+(K−1)Q2)

(4πϵ0ρln (b /a)g )

A los interesados, cuando el voltaje es constante, pueden buscar la solución enhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/dilectrico1/dielectrico1.htm.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/dilectrico1/dielectrico1.htm


Desayuno 12

Se tiene el siguiente circuito RC

Sabiendo que el condensador está descargado inicialmente, conectado el interruptor S, calcule la corriente en función del tiempo en cada resistencia. Calcule la corriente en t= en la resistencia 2R, y la corriente en t=0 en la resistencia R.

Se recomienda visitar la página ttp://phet.colorado.edu/es/simulation/circuit-construction-kit-ac

2R

R

C

V

S

http://phet.colorado.edu/es/simulation/circuit-construction-kit-ac

http://phet.colorado.edu/es/simulation/circuit-construction-kit-ac


Solución

Una vez que se cierra el circuito, escribamos la ecuación de las dos mallas

De la malla 1: V=I1R+(I1-I2)2R=3RI1-2RI2Malla 2: 0=(I2-I1)2R+Q2/C=-I1 2R+I2 2R+Q2/C.

La ecuación de la malla 2, al derivar, nos queda una expresión de una ecuación diferencial para I2.

0=−dI1

dt2R+

dI2dt

2R+I2C

Tenemos un sistema de ecuaciones acoplado:

V =3RI1−2RI2

0=−dI1

dt2R+

dI2dt

2R+I2C

Las condiciones de bordes son que se deben satisfacer: • en t=, la corriente I2()=0, e I1()=V/(3R)• en t=0, I2(0)=I1(0)

La solución es: I1( t)=2V3Re−3t/(2RC)

+V3R

y I2 (t)=VRe−3t/(2RC) .

En una representación de las corriente en el tiempo

2R

R

C

V

S

I1I2


Figura 1: Comportamiento de las corrientes en función del tiempo, con V/R=1


Desayuno 13

Se tiene un casquete esférico de radio R uniformente cargado con densidad superficial σ. Este

casquete gira a una frecuencia angular w, constante(Figura 1).

Calcule una expresión del campo magnético en cualquier punto del eje de rotación Z.

Figura 1: Casquete de radio R, cargado

girando con grecuencia angular w

W

R

Z

Solución


Desayuno 14Se tiene una sección cuadrada de lado a, de una cable que transporta la siguiente expresión

densidad de corriente J (x , y )=J 0x2 y−axy

a³.

• Calcule la integral de camino circular cerrado del campo B .• Calcule la integral de camino por camino exterior.

Solución:

Sabemos que la integral de camino del campo magnético es igual a una constante 0 por la corriente encerrada por el camino (ley de Ampere: ∮ B⋅d l =μ0 I ). Entonces debemos calcula la

corriente encerrada, que es I=∫ J⋅d a .

La segunda pregunta, es directa: I=∫0

a

∫0

aJ (x , y )dx dy=∫0

a

∫0

aJ 0

x2 y−axya3 dxdy=−J0

a2

12

La primera pregunta, se debe tener cuidado con los limites de integración.La linea que limite la región del circulo viene dado por la expresión (x−a /2)2

+( y−a /2)2=a2

/4 .

De esta relación podemos despejar y: y (x)=a2±√ a2

4−(x−a/2)2 . El limite superior es

y (x)=a2+√ a2

4−(x−a /2)

2 , y el limite inferior y (x)=a2−√ a2

4−(x−a/2)2

Luego, la corriente que fluye por la región circular es:

I=∫0

a

∫a/2−√a2/ 4−(x−a /2)2

a/2+√a2/4−( x−a /2)

2

J0x2 y−axy

a3 dx dy=−J 0πa2

128

x

y

a

a

Ilustración 1: Densidad de corriente en la sección


Luego, la integral de camino del campo del circulo es −μ0 J0πa2

128y del camino exterior es

−μ0a2

12.


Desayuno 15Se tiene el siguiente circuito

Si la fuente viene descrita por V (t)=1000 eiwt , encuentre la expresión de la corriente de la fuente, y grafique la magnitud de la corriente en función de la frecuencia angular w.

Calcule la diferencia de potencial en el condensador, y grafique la magnitud del voltaje en función de la frecuencia angular w.

R=10 ohm,

C=100 microf R=20 ohm

L=2 H=2 Tm2/A

Calculo de impedancia del circuito

i 1−:= w 0 1000..:= t 0 10..:=

C 100 106−⋅:=

L 2:= Autoinductancia Capacitancia

Resistencia R1 10:= y R2 20:=

La impedancia en serie con la bobina es:

Z1 w( ) R2 i w⋅ L⋅+:=

Z2 w( ) R1i

w C⋅−:=

Luego la Impedancia del circuito es

Z w( ) Z1 w( )Z2 w( )

Z1 w( ) Z2 w( )+( )⋅:=

Luego

I w t, ( )1000 e

i w⋅ t⋅⋅Z w( )

:=

0 400 800

0

200

400

600

800

Z w( )

w

0 200 400 600 8000

20

40

60

80

I w 0, ( )

w

El potencial en el condensadorl

La corriente por la rama del condensador

Ic w t, ( )1000 e

i w⋅ t⋅⋅Z2 w( )

:=

Luego el voltaje del condensador

Vc w t, ( ) Ic w t, ( )i−

w C⋅

⋅:=

0 400 800

700

800

900

1 103×

Vc w t, ( )

w

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