UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

ESCUELA PROFESIONAL DE ARQUITECTURA

TEMA: DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR

CURSO: ESTRUCTURAS I

PROFESOR: Ing. Martin Maguiña Maguiña

ALUMNO: TRINIDAD SANTOS, Ludwig

JESÚS MARÍA – LIMA- PERÚ

2014

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE (D.F.C.) Y

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR (D.M.F.)

Concepto:

Son aquellos diagramas que representa los niveles de la

deformación de un elemento estructural mediante grafica de cargas

distribuidas ocasionados por fuerzas de carga muerta y carga viva.

MÉTODO: Para determinar la gráfica aplicaremos el método de

corte.

Ejemplo 1:

1º PASO: Cálculo de reacciones RA y RB:

∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 𝑊𝐿 … 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛

∑𝑀𝐴 = 0 ⟶ 𝑊𝐿𝑥𝐿

2 − 𝑅𝐵𝑥𝐿 = 0 ⟶ 𝑅𝐵 =

𝑊𝐿

2 (𝑢𝑛𝑖𝑑. 𝑇𝑛)

PESO Y/O CARGA

q= W (unid. T/M)

RA RB

L (m)

A B

PESO Y/O CARGA

q= W (unid. T/M)

RA RB

L (m)

A B

F = W x L (unid. Tn)

L/2 (m)

L/2 (m)

∑ 𝑀𝐵 = 0 ⟶ 𝑊𝐿𝑥𝐿

2 − 𝑅𝐴𝑥𝐿 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 =

𝑊𝐿

2 (𝑢𝑛𝑖𝑑. 𝑇𝑛)

∴ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 =𝑊𝐿

2+

𝑊𝐿

2= 𝑊𝐿 … . 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛

2º PASO: Determina el corte para asumir una distancia y/o variable “X”.

Luego se representa:

3º PASO: Determinación de ecuaciones cortantes y de momento:

∑ 𝐹𝑉 ⟶ 𝑉1−1 = 𝑅𝐴 − 𝐹 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝐹 = 𝑊𝑋 ∴ 𝑉1−1 = 𝑅𝐴 − 𝑊𝑋

∑𝑀 ⟶ 𝑀1−1 = 𝑅𝐴𝑋 −𝐹𝑋

2 ⟹ 𝑀1−1 = 𝑅𝐴𝑋 −

𝑊𝑋2

2

q= W (unid. T/M)

RA RB

L (m)

A B

C1

C1 X

IMPORTANTE:

• C1=CORTE 1

• EL TRAZO DEL CORTE SE

PUEDE REALIZAR A

CUALQUIER EXTREMO DE LA GRÁFICA.

• CUANDO SE TRAZA EL

CORTE O SI HUBIERA OTROS

SIEMPRE SE ASUMIRÁ UNA

DISTANCIA “X” QUE VA DE LA

LINEA DEL CORTE HACIA LA

IZQUIERDA HASTA LLEGAR A LA (RA) FURZA REACCION A.

C1

C1

RA

A

X

F

F = W x L (unid. Tn)

q= W (unid. T/M)

X/2

corte

V= FUERZA CORTANTE (TN)

M=MOMENTO (T-M)

Fuerza x Distancia

4º PASO: Tabla y/o cuadro de valores X según rango.

RANGO: 0 ≤ 𝑋 ≤ 𝐿

X V1-1 (Tn)

0 RA

L RA - WL

EJEMPLO-EJERCICIO #1:

1º PASO: Cálculo de reacciones RA y RB:

∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 24 𝑇

∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟶ 24𝑥3 − 6𝑅𝐵 = 0 ⟶ 𝑅𝐵 =24

2= 12 𝑇.

∑ 𝑀𝐵 = 0 ⟶ 24𝑥3 − 6𝑅𝐴 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 =24

2= 12 𝑇.

∴ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 12 + 12 = 24 𝑇.

X M1-1 (T-M)

0 0

L RAL - 𝑊𝐿2

2

q= 4 T/N

RA RB

6 (m)

A B

RA RB

6 m.

A B

F = 6 x 4=24 T

3 m. (m)

3 m. (m)

DETERMINANDO EL CORTE

Luego se representa:

DETERMINACIÓN DE ECUACIONES CORTANTES Y DE MOMENTO:

𝑉1−1 = 12 − 4𝑋 (𝐹𝑈𝐸𝑅𝑍𝐴 𝐶𝑂𝑅𝑇𝐴𝑁𝑇𝐸)

𝑀1−1 = 12𝑋 −4𝑋2

2 (𝑀𝑂𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂)

𝑀1−1 = 12𝑋 − 2𝑋2

RA RB

A B

C1

C1 X

C1

C1

RA=12 T.

A

X

F = 4X

q= 4. T/M

X/2

CORTE

GRÁFICA:

RANGO: 0 ≤ 𝑋 ≤ 6

X V1-1 (T)

0 12

1 8

2 4

3 0

4 -4

5 -8

6 -12

X M1-1 (T-M)

0 0

1 10

2 16

3 18

4 16

5 10

6 0

A B

0

6

0

12

-12

-6

2 6 4

0 2 6

4

8

0

16

0

(+)

(-)

(+)

(T)

(m.)

(m.)

0 T-m

16 T-m 16 T-m

IMPORTANTE: LOS GRÁFICOS DEBEN HACERSE A ESCALA, TANTO HORIZONTAL

COMO VERTICALY RESPETAR LAS UNIDADES.

D.M.F.

D.F.C.

EJEMPLO-EJERCICIO #2:

1º PASO: Cálculo de reacciones RA y RB:

∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 − 24 − 3 − 15 + 𝑅𝐵 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 42 𝑇

∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟶ 24𝑥3 + 3𝑥9 + 2 + 15𝑥(13 +10

3) − 18𝑅𝐵 = 0 ⟶ 𝑅𝐵 =

346

18= 19.22 𝑇.

∑ 𝑀𝐵 = 0 ⟶ 15𝑥5

3+ 3𝑥9 − 2 + 24𝑥15 − 18𝑅𝐴 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 =

410

18= 22.78 𝑇.

∴ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 19.22 + 22.78 = 42 𝑇.

RA RB

A B

6 m. 3 m. 4 m. 5 m.

q= 4 T/M q= 6. T/M

F1=3T

M1= 2 T-M

RA RB

A B

6 m. 3 m. 4 m. 5 m.

q= 4 T/M q= 6. T/M M1= 2 T-M

F= 6x4=24T

F1=3T

3 m.

9 m. 5 (2/3) m. 5 (1/3) m.

F= (6x5)/2=15T

2º PASO: Determina el corte para asumir una distancia y/o variable “X”.

3º PASO: Desarrollo del corte 1-1:

4º PASO: Desarrollo del corte 2-2 RANGO: 6 ≤ 𝑋 ≤ 9

A B

M1= 2 T-M

F1=3T

1

1

2

2

3

3

4

4

A

q= 4 T/M

1

1

RA

X

X/2

F= 4X T

Se considera “X”

∑𝐹𝑉 𝑉1−1 = 𝑅𝐴 − 4𝑋 ⟶ 𝑉1−1 = 22.78 − 4𝑋

∑𝑀 𝑀1−1 = 𝑅𝐴𝑋 − 4𝑋𝑋

2 ⟶ 𝑀1−1 = 22.78𝑋 − 2𝑋2

Cortante (V)

Momentos (M)

RANGO: 0 ≤ 𝑋 ≤ 6

A

2

2

RA

X

F= 6x4=24 T

(X-3) m.

3m.

6m.

∑𝐹𝑉 𝑉2−2 = 𝑅𝐴 − 24 ⟶ 𝑉2−2 = 22.78 − 24 = −1.22

𝑉2−2 = −1.22 𝑇

∑𝑀 𝑀2−2 = 𝑅𝐴𝑋 − 24(𝑥 − 3) ⟶ 𝑀2−2 = 22.78𝑋 − 24(𝑥 − 3) 𝑇 − 𝑀

Cortante (V)

Momentos (M)

La fuerza es 4 por X = 4X

q= 4 T/M q= 6. T/M

5º PASO: Desarrollo del corte 3-3 RANGO: 9 ≤ 𝑋 ≤ 13

6º PASO: Desarrollo del corte 4-4 RANGO: 13 ≤ 𝑋 ≤ 18

Cálculo de q1 (por semejanza de )

𝑞

5=

𝑞1

𝑥 − 13 ⟶

6

5=

𝑞1

𝑥 − 13 ⟶ 𝑞1 =

6

5 (𝑥 − 13)

Cálculo de F’ : 𝐹′ = 𝑏𝑥ℎ

2=

(𝑥−13)( 6

5(𝑥−13))

2=

3

5(x − 13)(x − 13)

M1= 2 T-M

F1=3T

3

3

A

RA= 22.78 T

F= 6x4=24 T

3m.

X m.

6 m.

9 m.

X-9 m.

∑𝐹𝑉 𝑉3−3 = 𝑅𝐴 − 24 − 3 ⟶ 𝑉3−3 = 22.78 − 27 = −4.22

𝑉3−3 = −4.22 𝑇

∑𝑀 𝑀3−3 = 𝑅𝐴𝑋 − 24(𝑥 − 3) + 2 − 3(𝑋 − 9) ⟶ 𝑀3−3 = 22.78𝑋 − 24(𝑥 − 3) + 2 − 3(𝑥 − 9) 𝑇 − 𝑀

Cortante (V)

Momentos (M)

Positivo

porque tiene

el mismo

sentido que la RA

A

M1= 2 T-M

4

4 F= 6x4=24 T

F1=3T

q= 4 T/M

q= 4 T/M

RA= 22.78 T

X m.

6 m. 3 m. 4 m. X-13 m.

m.

B

q1

F’

q= 6. T/M

5 m.

7º PASO: Tabla y/o cuadro de valores según rango

CORTE 1-1: RANGO: 0 ≤ 𝑋 ≤ 6

X V1-1 X M1-1

0 22,78 0 0

1 18,78 1 20,78

2 14,78 2 37,56

3 10,78 3 50,34

4 6,78 4 59,12

5 2,78 5 63,9

6 -1,22 6 64,68

CORTE 2-2: RANGO: 6 ≤ 𝑋 ≤ 9

X V2-2 X M2-2

6 -1,22 6 64,68

7 -1,22 7 63,46

8 -1,22 8 62,24

9 -1,22 9 61,02

CORTE 3-3: RANGO: 9 ≤ 𝑋 ≤ 13

X V3-3 X M3-3

9 -4,22 9 63,02

10 -4,22 10 58,80

11 -4,22 11 54,58

12 -4,22 12 50,36

13 -4,22 13 46,14

4

4

F’

X-13 m.

2

3(𝑋 − 13) 𝑚. 1

3(𝑋 − 13)

∑𝐹𝑉 𝑉4−4 = 𝑅𝐴 − 24 − 3 −3

5(𝑥 − 13) (𝑥 − 13) ⟶ 𝑉4−4 = −4.22 −

3

5(𝑥 − 13) (𝑥 − 13)

∑𝑀 𝑀4−4 = 𝑅𝐴𝑋 − 24(𝑥 − 3) + 2 − 3(𝑋 − 9) − 3

5(x − 13)(x − 13).

1

3(𝑥 − 13)

⟶ 𝑀4−4 = 22.78𝑋 − 24(𝑥 − 3) + 2 − 3(𝑥 − 9) −1

5 (𝑥 − 13) (𝑥 − 13)(𝑥 − 13) 𝑇 − 𝑀

Cortante (V)

Momentos (M)

F’ d

d

(T) (T-M)

(T) (T-M)

(T) (T-M)

CORTE 4-4: RANGO: 13 ≤ 𝑋 ≤ 18

X V4-4 X M4-4

13 -4,22 13 46,14

14 -4.82 14 41,72

15 -6.62 15 36.10

16 -9.62 16 28.08

17 -13,82 17 16.46

18 -19,22 18 0.04

El grafico al igual que en el ejemplo anterior se debe hacer a escala y respectando las

unidades correspondientes.

PRÀCTICA:

1º PASO: Cálculo de reacciones RA y RB:

∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 − 30 − 7 − 15 + 𝑅𝐵 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 52 𝑇

∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟶ 30𝑥3 + 7𝑥9 + 2 + 15𝑥(13 +10

3) − 18𝑅𝐵 = 0 ⟶ 𝑅𝐵 =

400

18= 22.22 𝑇.

∑ 𝑀𝐵 = 0 ⟶ 15𝑥5

3+ 7𝑥9 − 2 + 30𝑥15 − 18𝑅𝐴 = 0 ⟶ 𝑅𝐴 =

536

18= 29.78 𝑇.

∴ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 29.78 + 22.22 = 52 𝑇.

RA RB

A B

6 m. 3 m. 4 m. 5 m.

q1= 5 T/M q= 6 T/M

F1=7T

M1= 2 T-M

RA RB

A B

6 m. 3 m. 4 m. 5 m.

q= 5 T/M q= 6. T/M M1= 2 T-M

F= 6x5=30T

F1=7T

3 m.

9 m. 5 (2/3) m. 5 (1/3) m.

F= (6x5)/2=15T

2º PASO: Determina el corte para asumir una distancia y/o variable “X”.

3º PASO: Desarrollo del corte 1-1:

4º PASO: Desarrollo del corte 2-2 RANGO: 6 ≤ 𝑋 ≤ 9

A B

M1= 2 T-M

F1=7T

1

1

2

2

3

3

4

4

A

q= 5 T/M

1

1

RA

X

X/2

F= 5X T

Se considera “X”

∑𝐹𝑉 𝑉1−1 = 𝑅𝐴 − 5𝑋 ⟶ 𝑉1−1 = 29.78 − 5𝑋

∑𝑀 𝑀1−1 = 𝑅𝐴𝑋 − 5𝑋𝑋

2 ⟶ 𝑀1−1 = 29.78𝑋 −

5

2𝑋2

Cortante (V)

Momentos (M)

RANGO: 0 ≤ 𝑋 ≤ 6

A

2

2

RA

X

F= 6x5=30 T

(X-3) m.

3m.

6m.

∑𝐹𝑉 𝑉2−2 = 𝑅𝐴 − 30 ⟶ 𝑉2−2 = 29.78 − 30 = −0.22

𝑉2−2 = −0.22 𝑇

∑𝑀 𝑀2−2 = 𝑅𝐴𝑋 − 30(𝑥 − 3) ⟶ 𝑀2−2 = 29.78𝑋 − 30(𝑥 − 3) 𝑇 − 𝑀

Cortante (V)

Momentos (M)

La fuerza es 5 por X = 5X

q= 5 T/M q= 6. T/M

q= 5 T/M

5º PASO: Desarrollo del corte 3-3 RANGO: 9 ≤ 𝑋 ≤ 13

6º PASO: Desarrollo del corte 4-4 RANGO: 13 ≤ 𝑋 ≤ 18

Cálculo de q1 (por semejanza de )

𝑞

5=

𝑞1

𝑥 − 13 ⟶

6

5=

𝑞1

𝑥 − 13 ⟶ 𝑞1 =

6

5 (𝑥 − 13)

Cálculo de F’ : 𝐹′ = 𝑏𝑥ℎ

2=

(𝑥−13)( 6

5(𝑥−13))

2=

3

5(x − 13)(x − 13)

M1= 2 T-M

F1=7T

3

3

A

RA= 29.78 T

F= 6x5=30 T

3m.

X m.

6 m.

9 m.

X-9 m.

∑𝐹𝑉 𝑉3−3 = 𝑅𝐴 − 30 − 7 ⟶ 𝑉3−3 = 29.78 − 37 = −7.22

𝑉3−3 = −7.22 𝑇

∑𝑀 𝑀3−3 = 𝑅𝐴𝑋 − 30(𝑥 − 3) + 2 − 7(𝑋 − 9) ⟶ 𝑀3−3 = 29.78𝑋 − 30(𝑥 − 3) + 2 − 7(𝑥 − 9) 𝑇 − 𝑀

Cortante (V)

Momentos (M)

Positivo

porque tiene

el mismo

sentido que la RA

A

M1= 2 T-M

4

4 F= 6x5=30 T

F1=7T

q= 5 T/M

q= 5 T/M

RA= 29.78 T

X m.

6 m. 3 m. 4 m. X-13 m.

m.

B

q1

F’

q= 6. T/M

5 m.

7º PASO: Tabla y/o cuadro de valores según rango

CORTE 1-1: RANGO: 0 ≤ 𝑋 ≤ 6

X V1-1 X M1-1

0 29.78 0 0

1 24,78 1 27.28

2 19,78 2 49.56

3 14,78 3 66.84

4 9,78 4 79,12

5 4.78 5 86.40

6 -0,22 6 88.68

CORTE 2-2: RANGO: 6 ≤ 𝑋 ≤ 9

X V2-2 X M2-2

6 -0,22 6 88,68

7 -0,22 7 88,46

8 -0,22 8 88,24

9 -0,22 9 88,02

CORTE 3-3: RANGO: 9 ≤ 𝑋 ≤ 13

X V3-3 X M3-3

9 -7,22 9 90,02

10 -7,22 10 58,80

11 -7,22 11 75,58

12 -7,22 12 68,36

13 -7,22 13 61,14

4

4

F’

X-13 m.

2

3(𝑋 − 13) 𝑚. 1

3(𝑋 − 13)

∑𝐹𝑉 𝑉4−4 = 𝑅𝐴 − 30 − 7 −3

5(𝑥 − 13)(𝑥 − 13) ⟶ 𝑉4−4 = −7.22 −

3

5(𝑥 − 13)(𝑥 − 13) 𝑇

∑𝑀 𝑀4−4 = 𝑅𝐴 𝑋 − 30(𝑥 − 3) + 2 − 7(𝑋 − 9) − 3

5(x − 13)(x − 13).

1

3(𝑥 − 13)

⟶ 𝑀4−4 = 29.78𝑋 − 30(𝑥 − 3) + 2 − 7(𝑥 − 9) −1

5 (𝑥 − 13) (𝑥 − 13)(𝑥 − 13) 𝑇 − 𝑀

Cortante (V)

Momentos (M)

F’ d

d

(T) (T-M)

(T) (T-M)

(T) (T-M)

CORTE 4-4: RANGO: 13 ≤ 𝑋 ≤ 18

X V4-4 X M4-4

13 -7,22 13 61,14

14 -7,82 14 53,72

15 -9,62 15 45.10

16 -12,62 16 34.08

17 -16,82 17 19.46

18 -22.,22 18 0.04

(T) (T-M)

GRÁFICA ESCALA

6M. 3M. 4M. 5M.

F=7T.

M=2 T-M q1 = 4T/M q2 = 6T/M

(+)

(+)

(-)

ESCALA HORIZONTAL 1/200 - 1cm = 2m.

D.M.F.

D.F.C.

ESCALA VERTICAL (D.F.C.) 1/650 - 1cm = 6.50 m.

ESCALA VERTICAL (D.M.F.) 1/1000 - 1cm = 10 m.

T-M

(m)

(T)

88.68 T-M

88.02 T-M

90.02

T-M

61.14 T-M

0.04 T-M

29.78T

--0.22T

--0.22T

--7.22T

--22.22T