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Se desarrollan las distintas formas de expresar las ecuaciones de la recta a partir de poseer su vector dirección y un punto o dos puntos que pertenezcan a ella. En cada caso además se desarrollan diversos ejemplos para afianzar lo desarrollado teóricamente
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Profesora: Dechima Sabrina Página 1
Veremos como es posible expresar la ecuación de la recta.
Sea una recta r que pasa por el punto A y tiene la dirección de un vector NO
nulo
Para que un punto P pertenezca a la recta; es necesario y suficiente que los
vectores AP y sean paralelos, es decir
ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA
Si el punto genérico P tiene coordenadas (x;y), el punto y el
vector V tiene por componentes , sustituyendo en la ecuación queda:
El vector se llama vector director de la recta r y t es el
parámetro de la recta. A cada valor t le corresponde un punto P de la recta, y
cuando t recorre el punto P describe toda la recta.
El par formado por un punto A y un vector de dirección de r se llama
determinación lineal de la recta r : r (A,
EJEMPLO Una recta pasa por el punto A=(3; -5) y tiene un vector director
¿Cuál será la ecuación vectorial?
Siendo P, el punto genérico (x;y) que describe la recta cuando t va tomando
distintos valores reales
Por ejemplo t=2
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Así pues, el punto (7 ; -7) pertenece a la recta. Recíprocamente, a cada punto
le corresponde un número Real t
Ejemplo ¿El punto P=(7 ; -7) pertenece a r?
ECUACION PARAMETRICA DE LA RECTA
Dado un sistema de referencia (habitualmente será ortogonal) dados dos
puntos P (x ; y) y uno genérico y uno dado respectivamente, y
un vector director de la recta r, podemos extraemos la forma
general, a partir de igualar las componentes de los vectores
Estas ecuaciones, en las cuales no son todos nulos , se
denomina ecuación parametrica de la recta r, en relación con el sistema de
coordenadas fijado.
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La recta r es el conjunto de todos los puntos (x;y) que se obtienen de las
ecuaciones paramétrica cuando t varia recorriendo los
Ejemplo Las ecuaciones paramétricas de la recta r, que pasa por el punto
A =(2 ; -3) y tiene por vector director al son
Para hallar otro punto que pertenece a la recta basta dar a t un valor
particular. Por ejemplo t = 3 se obtiene
(-4 ; 0) es un punto que pertenece a la recta r
Ahora, el punto (2;5) ¿Pertenece a esta recta?
NO satisfacen simultáneamente para ningún valor t
RECTA DEFINIDA POR DOS PUNTOS
La recta r, definida por los puntos y es la recta
que pasa por A (OB) y tiene por vector director al vector
EJEMPLO La recta definida por los puntos A=(2;3) y B=(-1;2) tiene por
vector director a
Las dos ecuaciones representan esta recta r pasando por el punto A y por el
punto B, respectivamente.
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Aunque estas ecuaciones parezcan diferentes en uno y otro caso, ambas
permiten encontrar todos los puntos de la misma recta, haciendo variar
