ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

Una ecuación diferencial homogénea es de la forma

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0, donde 𝑀 y 𝑁 tienen la propiedad de que para toda

𝑡 > 0, la sustitución de 𝑥 por 𝒕𝒙 , y la de 𝑦 por 𝒕𝒚 hace que 𝑀 y 𝑁 sean del mismo

grado n.

𝑀 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑛𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑁 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑛𝑁 𝑥, 𝑦 ,n∈R Por esta razón, este tipo de ecuaciones puede reducirse a ecuaciones de variables separables mediante sustituciones apropiadas. Método de Solución:

Una ecuación de la forma 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 donde 𝑀 y 𝑁 tienen el mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ecuación de variables

separables usando cualquiera de las sustituciones 𝑦 = 𝑢𝑥 o bien 𝑥 = 𝑣𝑦 en

donde 𝑢 y 𝑣 son nuevas variables dependientes. Si elegimos en particular 𝑦 =

𝑢𝑥 , entonces 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢.

Por tanto la ecuación 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 se transforma en:

𝑀 𝑥, 𝑢𝑥 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑢𝑥 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 0

Por homogeneidad de 𝑀 y 𝑁 es posible escribir

𝑥𝑛𝑀 1, 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥𝑛𝑁 1, 𝑢 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 0 O bien

𝑀 1, 𝑢 + 𝑢𝑁(1, 𝑢) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑁(1, 𝑢)𝑑𝑢 = 0 De donde se obtiene

𝑑𝑥

𝑥+

𝑁 1, 𝑢 𝑑𝑢

𝑀 1, 𝑢 + 𝑢𝑁(1, 𝑢)= 0

No es aconsejable memorizar esta ecuación, se debe desarrollar el procedimiento cada vez. Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 − 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0

Usando 𝑦 = 𝑢𝑥 y 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 se tiene

𝑥2 + 𝑢2𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑢𝑥2(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)

Dividiendo entre 𝑥2 ; 1 + 𝑢2 𝑑𝑥 = 𝑢(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)

Separando variables 1 + 𝑢2 − 𝑢2 𝑑𝑥 = 𝑢𝑥 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑥= 𝑢 𝑑𝑢

E integrando: 𝑙𝑛 𝑥 =𝑢2

2+ 𝑐 como 𝑢 =

𝑦

𝑥

𝑙𝑛 𝑥 =1

2

𝑦2

𝑥2+ 𝑐 Por tanto 𝑙𝑛 𝑥 =

𝑦2

2𝑥2+ 𝑐

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial 𝑥𝑦´ = 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑦 Usamos 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 Por tanto: 𝑥 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑢𝑥 𝑑𝑥

𝑥 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 𝑥 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑢 𝑑𝑥

Simplificando se obtiene 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑢 𝑑𝑥 𝑢 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑢 𝑑𝑥 = −𝑥𝑑𝑢

Separando variables −𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢

E integrando 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 = 𝑢 Remplazamos el valor de la variable 𝑢 se tiene

− cos 𝑥 + 𝑐 = 𝑦

𝑥

−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑐 = 𝑦

Ejercicios propuestos

Resolver: Soluciones

1. 𝑦 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑦 𝑠𝑜𝑙. 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ−1 𝑦

𝑥+ 𝑐

2. 𝑦´ =3𝑦−4𝑥

2𝑦−3𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 − 𝑥 𝑦 − 2𝑥 = 𝑐

3. 2𝑥𝑦 + 𝑥2 + 3𝑦2 𝑦´ + 𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑥2 = 0 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 + 𝑥 𝑦2 + 𝑥2 = 𝑐

4. 𝑥2 + 2𝑥𝑦 𝑦´ = −3𝑥2 − 𝑦2 − 2𝑥𝑦 𝑠𝑜𝑙. 𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 = 𝑐

5. 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦

𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 𝑠𝑒𝑛

𝑦

𝑥+ 𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑐𝑜𝑠

𝑦

𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑥 = 0

6. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥+𝑦+2

𝑥+𝑦−4 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = 3𝑙𝑛 𝑥 + 𝑦 + 1 + 𝑥 + 𝑐

7. 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 + 𝑥𝑒

𝑦

𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑒−1 − 𝑒−𝑦

𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥

𝑦 1 = −2

8. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦−𝑥+8

𝑦−𝑥−1 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 − 𝑥 2 − 2 𝑦 − 𝑥 = 18𝑥 − 3

9. 𝑦2 + 3𝑥𝑦 𝑑𝑥 = 4𝑥2 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑠𝑜𝑙. 4𝑥𝑙𝑛 𝑦

𝑥 + 𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 = 0

𝑦 1 = 1

10. 𝑥𝑦2 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦3 − 𝑥3 𝑠𝑜𝑙. 𝑦3 + 3𝑥3𝑙𝑛 𝑥 = 8𝑥3

𝑦 1 = 2