(5c) CoordenadasLas Coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son

sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los cielos.

Coordenadas en el plano

El sistema más usado es de las coordenadas cartesianas, basado en un juego de ejes perpendiculares entre sí. Fue conocido con el nombre de René Descartes ("Dey-cart"), un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números. Puede que esto ya le sea familiar a usted.

El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"), perpendiculares entre sí, cada una marcada con las distancias desde el punto donde se juntan ("origen"): los espacios hacia la derecha del origen y hacia arriba de él, se toman como positivos y para los otros lados como negativos (vea el dibujo abajo).

La distancia en un eje se llama "x" y en el otro "y". Dado un punto P se dibujan, desde él, líneas paralelas a los ejes y los valores de "x" e "y" definen totalmente el punto. En honor a Descartes, esta forma de designación de los puntos se conoce como sistema cartesiano y los dos números (x, y) que definen la posición de cualquier punto son sus coordenadas cartesianas .

Las gráficas usan ese sistema, al igual que algunos mapas.

René Descartes

Funciona bien en una hoja de papel plana, pero el mundo real es tridimensional y a veces es necesario designar los puntos en dicho espacio tridimensional. El sistema cartesiano (x, y) puede extenderse hacia las tres dimensiones añadiendo una

tercera coordenada z. Si (x, y) es un punto en una hoja, entonces el punto (x, y, z) en el espacio se consigue situándose en (x, y) y elevándose una distancia z sobre el papel (los puntos por debajo del papel tienen z negativa).

Es simple y claro, una vez que se toma la decisión de en qué lado de la hoja es positiva z. Por común acuerdo, las ramas positivas de los ejes (x, y, z), siguen el pulgar y los dos primeros dedos de la mano derecha, en el mismo orden, cuando se extienden de tal forma que formen el mayor ángulo entre ellos.

Lo que sigue usa las funciones trigonométricas seno y coseno. Si no está familiarizado con ellas, pase por alto esta sección o puede aprender sobre ellas.

Coordenadas Polares

Las coordenadas cartesianas (x, y) no son la única forma de designar un punto P en el plano con un par de números. Existen otras formas y pueden ser más útiles en circunstancias especiales.

Un sistema (llamado de "coordenadas polares") usa la longitud r de la línea OP desde el origen hasta P y el ángulo que forma esa línea con el eje x. Los ángulos se denominan, a menudo, con letras griegas y aquí seguimos las convenciones designándolo como φ (f griega). Observe que mientras en el sistema cartesiano x e y tiene roles muy similares, aquí están divididos: r denota la distancia y φ la dirección.

Las dos representaciones están muy relacionadas. De las definiciones de seno y coseno:

x = r cos φ

y = r sin φ

Esto permite que (x, y) se deduzcan de las coordenadas

Problema 1:

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralelo al plano 3x - 2y + 4z - 5 = 0.

El vector 3i - 2j + 4k es perpendicular al plano dado y al que queremos calcular. El vector que va desde el punto (x, y, z) al punto (1, 2, 3) es (x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k. El producto escalar de estos dos vectores es igual a cero y es la ecuación del plano:

(3i - 2j + 4k)[(x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k] = 0

3x - 2y + 4z = 11

Problema 2:

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 2, 3) y (3, -2, 1) y es perpendicular al plano 3x - 2y + 4z - 5 = 0.

Necesitamos un vector perpendicular al plano que nos piden. Este vector lo podemos calcular multiplicando vectorialmente el vector 3i - 2j + 4k y el vector formado por los puntos que nos dan 2i - 4j - 2k.

El producto vectorial de los dos vectores es -20i - 14j + 8k

Calculemos el vector formado por la unión de los puntos (x, y, z) y cualquiera de los dos que tenemos, por ejemplo, (1, 2, 3). Este vector será: [(x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k]

El producto escalar de estos dos vectores es 20x + 14y - 8z = 24

Problema 3:

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 2, 3), (3, -2, 1) y (5, 0, -4).

Necesitamos un vector perpendicular al plano que nos piden. Este vector lo podemos calcular multiplicando vectorialmente los vectores que se forman al unir el primer punto con el segundo, 2i - 4j - 2k y el primer punto con el tercero 4i - 2j - 7k (valdría cualquier otra combinación).

El producto vectorial de los dos vectores es 24i + 6j + 12k

Calculemos el vector formado por la unión de los puntos (x, y, z) y cualquiera de los tres que tenemos, por ejemplo, (1, 2, 3). Este vector será: [(x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k]

El producto escalar de estos dos vectores es 4x + y + 2z = 12

Problema 4:

Hallar la distancia del punto (1, 2, 3) al plano 3x - 2y + 5z = 10.

Cogemos un punto cualquiera en el plano. Es muy fácil: hacemos x = 0, y = 0 y lo sustituimos en la ecuación del plano. Entonces z = 2. Ya tenemos un punto en el plano (0, 0, 2).

Calculamos el vector que une el punto (1, 2, 3) con (0, 0, 2). Este vector será: i + 2j + k.

Calculamos el vector unitario perpendicular al plano (tenemos que dividir cada componente del vector por el módulo del vector). El módulo

PRELIMINARES

1. Expresión general de un vector

Todo vector del espacio de tres dimensiones se puede escribir en la

forma siendo ax, ay, az las componentes del vector y los

vectores vectores unitarios dirigidos según los ejes coordenados x,y,z. El módulo del vector viene dado por:

(1)

2. Ángulos directores de un vector

Se llaman ángulos directores de un vector a cada uno de los ángulos que forma con los ejes coordenados x,y,z, según muestra la Fig 1.1. Los cosenos directores se pueden obtener sin más que observar que:

(2)

siendo el módulo del vector.De (1) y (2) se obtiene la relación entre los ángulos directores:

(3)

3.Vector Unitario

Vector unitario es aquel que puede tener cualquier dirección, pero su módulo es unidad.

Para obtener un vector unitario a partir de un vector dado , basta dividir éste entre su módulo. El vector resultante tiene la misma dirección y sentido que el vector

dado.Si es el módulo del vector y llamamos al vector unitario buscado, tendremos:

(4)

OPERACIONES CON VECTORES

4. Suma y diferencia de vectores

El vector suma de un conjunto de vectores se obtiene sumando algebraicamente sus componentes,de acuerdo con la expresión:

5. Producto escalar de vectores

Se define el producto escalar de dos vectores así:

(5)

En función de las componentes de ambos vectores la expresión (5) toma la forma:

(6)

6. Proyección de un vector sobre otro

La proyección de un vector sobre otro viene dada por la siguiente expresión:

que resulta ser otro vector como se desprende de la definición (5) y de la Fig 2.1.

7. Producto vectorial de vectores

El producto vectorial de dos vectores da como resultado un tercer vector, cuya DIRECCIÓN es perpendicular al plano determinado por ambos vectores, de SENTIDO el que proporciona la regla del tornillo al girar el primer vector sobre el segundo por el camino angular más corto y de MODULO el que resulta de la siguiente expresión:

(7)

Si expresamos los vectores en función de sus componentes, el vector resultante de la operación producto vectorial es:

(8)

donde ahora el vector se obtiene en función de sus componentes.

« El módulo del producto vectorial de dos vectores equivale al área del paralelogramo definido por ambos »

8. Producto mixto de tres vectores

Sean los vectores . La expresión se conoce como producto mixto de dichos vectores. A partir de las expresiones (6) y (8), el producto mixto expresado en

función de las componentes de los vectores es:

(9)

« El producto mixto de tres vectores representa el volumen del paralelepípedo determinado por ellos »

De lo anterior se deduce que si el producto mixto de tres vectores es nulo, los vectores son coplanarios.

9. Doble producto vectorial

Dados los vectores , llamaremos doble producto vectorial de los mismos a la expresión:

(10)

10. Momento de un vector respecto de un punto

Se define el momento de un vector respecto de un punto O a un vector que verifica la condición:

(11)

Observar que se trata de un producto vectorial de dos vectores,por lo que si los puntos son O(xo,yo,zo) y A(xA,yA,zA), el vector momento tiene la expresión:

o bien si O(0,0,0).

11. Momento de un vector respecto de un eje

Sea un vector cuyo momento respecto a un punto O es el dado por la expresión

(11) y sea E une eje que pasa por el punto O, de manera que sea un vector unitario

que señala la dirección y sentido de E. El momento del vector respecto al eje E, ME , viene dado por la expresión:

(12)

Si los vectores de la fórmula anterior se expresan en función de sus componentes cartesianas, podremos escribir:

(13)

12. Derivada de un vector

Sea una función vectorial del escalar t. Si escribimos en función de sus componentes:

y dado que los vectores unitarios son constantes (en módulo, dirección y sentido) tendremos que el vector derivada respecto del tiempo es:

(14)

13. Derivadas de los productos escalar y vectorial de vectores

La derivada de un producto escalar de vectores sigue las reglas matemáticas de derivación del producto:

De esta igualdad puede deducirse que el producto escalar de un vector de módulo

constate por su derivada respecto del escalar t es nulo. En efecto: . Si aplicamos la regla de derivación del producto escalar en ambos miembros, siendo P=Constante:

o bien c.q.d.

La derivada respecto del escalar t de un producto vectorial de vectores viene dada por:

(15)

14. Integral de una función vectorial (Circulación y Flujo)

De la misma forma que una función vectorial de la variable escalar t admite la función derivada, admite también la posibilidad de ser integrada, siempre en el caso que cumpla

las condiciones de integrabilidad.

La CIRCULACIÓN C del vector a lo largo de una curva cualquiera entre los puntos A y B se expresa así:

y como resulta finalmente:

(16)

El Flujo de un vector a través de una superficie viene dado por la expresión:

(17)

Aquí dSx, dSy y dSz representan las proyecciones del elemento de superficie dS según los planos yz, xz e yz respectivamente.

Subir

1. Dados los vectores , hallar sus módulos, su suma y los ángulos y cosenos directores del vector suma. Obtener un vector

unitario en la dirección y sentido del vector suma.

SOLUCIÓN

De aquí:

=28°32'35" , =118°13'49" y =86°7'31".

2. El módulo de un vector es 18 y sus cosenos directores son proporcionales a los

números 2, -2 y 1. Hallar la suma si el vector . Hallar también un vector unitario en la dirección y sentido del vector suma.

SOLUCIÓN

Sea el vector buscado. Al ser los cosenos directores proporcionales a los números 2,-2 y 1, podremos escribir:

cos =2K, cos ß=-2K, cos =K (1).

Utilizando la fórmula (3) del resumen teórico resulta: 4K2+4K2+K2=1 de donde 9K2=1 y K=± 1/3. De las relaciones (1) se obtiene (K=1/3):

cos =2/3 ; cos =-2/3 ; cos =1/3

De la fórmula (2) del resumen teórico, despejando los valores de ax,ay y az y siendo =18,queda:

Luego:

de donde:

3. Dados los vectores =(3,-2,1) y de módulo 3 y contenido sobre la recta x-y=0,

hallar: a) Módulo de b) Producto escalar de y c) Angulo que forman.

SOLUCIÓN

a) Si el vector está situado sobre la recta x-y=0 quiere decir que está dirigido sobre la bisectriz del primer-tercer cuadrante del plano XY. Esto indica que bz=0, bx=±3.cos 45°

y by=±3.sen 45°.

Por tanto el vector es: = .

El módulo de es: . Observar que se eligieron los valores positivos de bx y by.

b) =

c) Para calcular el ángulo que forman ambos vectores basta aplicar la relación (5) del resumen teórico:

con lo que

4. Calcular el momento del vector =(2,-4,0) que pasa por el punto P (-1,0,1) respecto al eje E que pasa por P1 (2,3,1) y cuya dirección está determinada por el

vector

SOLUCIÓN

Para hallar el momento respecto al eje E, ME= ,debemos calcular:

Pruebe el lector a obtener la expresión vectorial del momento.

Subir

1. Dados los vectores =(2,-3,-3) y de módulo 12 y cosenos directores

proporcionales a 2,-2 y 1, hallar: a) El módulo de b) El vector c) El producto

escalar . d) El ángulo que forman entre sí.

Solución a) b) =(10,-11,1) c) 28 d) 60,17°

2. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A(2,-1,3), B(1,-2,3) y C(2,-1,2). Hallar el ángulo que forman los lados AB y AC.

Solución S= ; =90 °(Rectángulo en el vértice A)

3. Dados los vectores: situado en una recta que pasando por el origen de coordenadas

tiene los cosenos directores proporcionales a 0, 3 y 4 y módulo 10, y

momento respecto al origen igual a , y y situado en la recta de acción que pasa por el punto de coordenadas (2,-1,2), calcular la resultante y el

momento resultante respecto al origen.

Solución

4. Sabiendo que dos de los cosenos directores de cierto vector ,de módulo 6 son cos

=1/2 y cos =1/3 ,calcular las componentes de un vector , tal que .

Solución (Solución no única)

5. Dado el vector que actúa en el punto A(2,3,1) hallar: a) Su momento respecto al origen b) su momento respecto a los ejes de coordenadas c) su momento

respecto a la línea que pasa por los puntos M(0,1,0) y N(2,1,1).

Solución a) b) c)

6. Una torre está rematada por un tejado que puede considerarse una pirámide cuadrangular con las dimensiones mostradas en la Fig 3.1. Determinar el ángulo que forman dos de las caras laterales del tejado.Si el viento sopla constantemente con una

velocidad ¿Que flujo atraviesa la cara ABC?

Solución =82°49' 9" ; unidades de flujo

7. Hallar el valor del ángulo formado por las dos caras del tejado de una torre hexagonal, cuyas dimensiones se expresan en la Fig 4.1.

Solución =88 ° 2"

Para resolver estos ejercicios deberás establecer unos ejes de coordenadas adecuados y

hallar el vector normal (asociado) a dos de los planos

que forman el tejado

8. a) Hallar el valor de la expresión b) Halla el o los vectores unitarios

que formando un ángulo de 45° con el vector dé un producto vectorial que esté contenido en el plano OXY.(1er control 97-98)

9. Dados los puntos del espacio A(-1,0,3),B(2,3,1) y C(3,1,0), hallar y el área del triángulo definido por ellos.

10. Calcular el momento del vector =(2,-4,0) que pasa por el punto P (-1,0,1) respecto al eje E que pasa por P1 (2,3,1) y cuya dirección está determinada por el

vector .

11. Hallar un vector ,tal que sea perpendicular al =(2,1,3) y su producto vectorial

por =(1,0,1) resulte el vector

.

12. Los vértices de un paralelogramo son los puntos A(0,2,3), B(0,1,-1), C(0,-2,-3) y

D(0,-1,1). Calcular: a) El ángulo que forman los vectores y . b) El área del

paralelogramo que determinan c) El momento de respecto del vértice C d) El

producto escalar .

13. Hallar un vector de módulo 3 y que sea paralelo a la suma de los vectores

=(1,2,1), =(2,-1,1) y =(1,-1,2).

14. Sean A(-1,0,1),B(1,1,3),C(-2,1,-1) y D(2,5,1) cuatro puntos del espacio. a)

Determinar el ángulo formado por los vectores y b) Determinar un vector

unitario que sea perpendicular a y esté contenido en plano XY.

15. Si y ,calcular:

16. Si calcular:

17. Integrar el vector para obtener el vector . Se sabe que en

t=10 s, ¿Cuál es la constante vectorial de integración?.

18. Dados los vectores y ,hallar el valor de la

integral:

19. Calcular el momento respecto del eje Z del vector =(3,-2,-1) que está aplicado en el punto A(-4,2,-1).

20. Descomponer un vector dirigido según y módulo unidades según

las direcciones de los vectores . Obsérvese que estos vectores no son unitarios.

21. Un vector tiene de módulo 6 y entre sus ángulos se verifican las

relaciones . Si está aplicado en el punto A(-1,0,2) determinar su momento respecto al eje que pasa por B(1,-2,2) y C(2,-3,3).

(1erControl 94-95)

22. Un vector de módulo 5 está situado en el plano YZ(Y>0, Z>0) y forma un ángulo de 37° con el eje OZ. Hallar la relación entre bx y cz para que los

vectores y sean coplanarios.(1erControl 94-95)

23. El vector tiene por origen el punto P(-1,0,1).Entre sus componentes se verifica

que wx=3wy y wz=0 y su proyección sobre el vector es . Hallar y su momento respecto al punto A(1,2,2).(1erControl 94-95)

24. Descomponer el vector en dos componentes, paralela y

perpendicular, respectivamente al vector .

25. Los vértices de un tetraedro son los puntos A(0,0,1), B(3,0,3), C(2,3,1) y D(1,1,2). Determinar el ángulo formado: a) Por las caras ABC y BCD; b) Por los lados AB y AC

c) Por el lado BC y la cara ADC.

26. Demostrar la igualdad .Indicación: Elegir en la dirección

OX(+), contenido en el plano XY, y arbitrariamente.

27. Determinar el ángulo formado por dos diagonales cualquiera de un cubo.Sugerencia: Tomar un cubo de lado genérico -a-, trazar dos de sus diagonales y a

partir de las coordenadas de sus orígenes y extremos obtener las componentes de los vectores a que dan lugar.

Solución =70,52°

28. Al vector queremos sumarlo el donde . Hallar el valor de

para que sea ortogonal al .

Solución =1

29. Un vector viene dado por . El vector tiene por módulo y su

primera componente vx=7 . Hallar con la condición que sea perpendicular a .

Solución

30. Los vectores , y tienen el mismo origen. Determinar el

valor de para que los tres vectores tengan sus extremos sobre la misma recta.

Solución =0

31. Calcular la circulación del vector entre los puntos del plano O(0,0) y P(1,1) a través de los siguientes caminos: a) Siguiendo la curva y=x2 b)

Siguiendo el eje OX entre el origen y el punto A(1,0) y de éste en línea recta al P(1,1).

Solución a) C=9 b) C=3,5

32. Calcular la circulación del vector a lo largo de la curva xy=1 entre los puntos del plano A(1,1) y el correspondiente a la curva de abscisa x=4.

Giro de un punto arbitrario del espacio alrededor de un eje arbitrario del espacio

Primera publicación: 2004-02-05Último cambio: 2006-02-04

En este manual vamos a aprender cómo girar un punto arbitrario del espacio en torno a un eje arbitrario del espacio. Y lo haremos de dos maneras diferentes: mediante una fórmula con productos escalares y vectoriales de vectores, y mediante Cuaternios (ó Cuaterniones - quaternions en inglés -).Lo veremos en cada caso con un ejemplo práctico. El coste computacional de ambos métodos es, en mi experiencia, similar.

Consideraciones preliminares acerca de vectores, ejes en el espacio...

Un vector arbitrario del espacio está caracterizado (como un punto arbitrario del espacio) por tres números reales. Para caracterizar un escalar basta con un número real.

Seguiremos la notación habitual de representar los vectores (tres números) en negrita, y los escalares (un número) sin ella.

Un vector del espacio, un punto del espacio y un eje del espacio que pasa por el origen están caracterizados de la misma forma, como hemos dicho, por 3 números:

v = (x, y, z)

|v| es el módulo de v. |v| es un número y se define como: |v| = sqrt(x*x + y*y + z*z)

Un vector unitario vu es un vector de longitud uno. El módulo de un vector unitario (su longitud) es siempre uno.

Es fácil calcular un vector unitario a partir de un vector v cualquiera:

vu = v/|v|

vu = (x/|v|, y/|v|, z/|v|)

Es muy fácil mostrar que el módulo de un vector unitario así calculado es siempre uno. Esta prueba queda como tarea para el lector.

Un eje arbitrario del espacio (uno que no pasa por el origen) está caracterizado por dos puntos del espacio (o por dos vectores). Es decir, que hacen falta 6 números para definirlo.

Producto escalar y producto vectorial

Producto escalar (Scalar Product of Vectors)El producto escalar de dos vectores que forman entre sí un ángulo theta es un escalar (un número).|A| es el módulo de A. |A| es un número y se define como: |A| = sqrt(Ax*Ax + Ay*Ay + Az*Az)

A·B = |A|*|B|*cos(theta)A·B = Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz

Producto vectorial (Vector cross product)El producto vectorial de dos vectores es un vector (tres números) perpendicular al plano que forman los dos vectores originales.

|A cross B| = |A|*|B|*sin(theta)A cross B = (AyBz - AzBy)*i - (AxBz - AzBx)*j + (AxBy - AyBx)*k

Donde i, j y k son tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares que van en la dirección de los ejes x, y, z respectivamente.

Giro de un punto arbitrario del espacio alrededor de un eje arbitrario del espacio mediante productos escalar y vectorial

Dados un punto arbitrario del espacio "P", un eje arbitrario del espacio "AB" y un ángulo "theta". Si queremos girar el punto "P" "theta" radianes alrededor del vector unitario "n" que pasa por el origen y es paralelo al eje "AB", la fórmula que se utiliza para conseguirlo es:

P' = (n·P)*n + cos(theta)*[P - (n·P)*n] +- sin(theta)*(n cross P) [formula 1]

(el símbolo +- antes de sin(a) es debido a que el punto "P" puede girar en dos direcciones diferentes)

Si lo que queremos es girar el punto "P" "theta" radianes alrededor del propio eje "AB" y no respecto a un eje paralelo a "AB" que pase por el origen (siendo "n" el vector unitario que pasa por el origen y es paralelo a "AB"), la fórmula es:

P' = A + f(P - A), donde:f(P) = (n·P)*n + cos(theta)*[P - (n·P)*n] +- sin(theta)*(n cross P)

es decir:

P' = A + [n·(P - A)]*n + cos(theta)*[(P - A) - [n·(P - A)]*n] +- sin(theta)*[n cross (P - A)] [formula 2]

esta fórmula es más general que la 1 porque sirve para girar alrededor de cualquier eje del espacio, incluso alrededor de uno que no pase por el origen.

Ejemplo práctico:Sea P = (3, 4, 5) un punto arbitrario del espacio que queremos girar theta = pi/8 radianes respecto al eje AB dado por los puntos A = (9, 2, 6) y B = (7, 0, 1)Averiguar P' mediante productos escalares y vectoriales [formula 2]

Solución: (P - A) = (3, 4, 5) - (9, 2, 6) = (-6, 2, -1)AB = ((7 - 9), (0 - 2), (1 - 6)) = (-2, -2, -5) |AB| = sqrt [(-2)^2 + (-2)^2 + (-5)^2] = 5.744562647n = AB/|AB| = (-2, -2, -5) / 5.744562647 = (-0.348155311, -0.348155311, -0.870388279)sin(theta) = 0,382683432 cos(theta) = 0,923879532

y, aplicando la fórmula 2:

P' = A + [n·(P - A)]*n + cos(theta)*[(P - A) - [n·(P - A)]*n] +- sin(theta)*[n cross (P - A)]

P' = (9, 2, 6) + [(-0.348155311, -0.348155311, -0.870388279)·(-6, 2, -1)]*(-0.348155311, -0.348155311, -0.870388279) + cos(theta)*[(-6, 2, -1) - [(-0.348155311, -0.348155311, -0.870388279)·(-6, 2, -1)]*(-0.348155311, -0.348155311, -0.870388279)] +- sin(theta)*[(-0.348155311, -0.348155311, -0.870388279) cross (-6, 2, -1)]

P'1 = (4.19614872, 5.65305114, 3.86032006)

P'2 = (2.59734948, 1.92251959, 5.99205237)

dependiendo de si aplicamos el signo + o el - en la fórmula, es decir, depende de si el punto P ha girado pi/8 radianes en un sentido o en el otro.

Cuaternios

Un cuaternio es un conjunto de cuatro números. Un ejemplo de cuaternio puede ser:

q = (w, x, y, z)

o bien:

q = w + x*i + y*j + z*k

también se puede expresar como un escalar más un vector, por ejemplo, dado el escalar:

w

y el vector:

v = (x*i + y*j + z*k)

el cuaternio resultante es:

q = w + v

que, a veces, también se escribe así:

q = (w, v)

o así:

q = (w, x, y, z)

Los cuaternios se multiplican de acuerdo con las siguientes reglas:

-1 = i*i = j*j = k*k = i*j*kyi*j = -j*i = kj*k = -k*j = ik*i = -i*k = j

El producto de dos cuaternios:

q1 = w1 + x1*i + y1*j + z1*k

y

q2 = w2 + x2*i + y2*j + z2*k

es, de acuerdo con esas reglas:

q1*q2 = (w1w2 - x1x2 - y1y2 -z1z2) + (w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1y2)*i + (w1y2 - x1z2 + y1w2 + z1x2)*j + (w1z2 + x1y2 - y1x2 + z1w2)*k

|q| es el módulo de q. Es un número y se define de forma similar a como se define el módulo de un vector:

|q| = sqrt(w*w + x*x + y*y + z*z)

Dado un cuaternio cualquiera, por ejemplo: q = w + x*i + y*j + z*k, existe un cuaternio unitario qu tal que:

qu = w/|q| + (x/|q|)*i + (y/|q|)*j + (z/|q|)*k (también de forma similar a como se define un vector unitario)

El módulo de un cuaternio unitario así definido es siempre uno, como se demuestra fácilmente:

|qu| = sqrt[w*w/(w*w + x*x + y*y + z*z) + x*x/(w*w + x*x + y*y + z*z) + y*y/(w*w + x*x + y*y + z*z) + z*z/(w*w + x*x + y*y + z*z)]

= sqrt[(w*w + x*x + y*y + z*z)/(w*w + x*x + y*y + z*z)]

= 1

Recordemos que el conjugado de un número complejo (a + b*i) era: (a - b*i)

El conjugado de un cuaternio q = w + x*i + y*j + z*k es q':

q' = w - x*i - y*j - z*k

Recordemos que el producto de un número complejo por su conjugado era: (a + b*i)*(a - b*i) = a*a + b*b

Veamos cuánto es el producto de un quaternio por su conjugado de acuerdo con las reglas de multiplicación que hemos visto arriba:

q*q' = (w + x*i + y*j + z*k)*(w - x*i - y*j - z*k) =

w*w - w*x*i - w*y*j - w*z*k +w*x*i + x*x - x*y*k + x*z*j +w*y*j + x*y*k + y*y - y*z*i +w*z*k - x*z*j + y*z*i + z*z

= w*w + x*x + y*y + z*z

Vemos que el producto de un cuaternio por su conjugado es un número, y que este número es el módulo del cuaternio al cuadrado:

q*q' = |q|*|q| = w*w + x*x + y*y + z*z

Si operamos con cuaternios unitarios qu, veremos que nos deparan pequeñas sorpresas, es claro que:

qu*qu' = |qu|*|qu| = 1

pero sabemos que también qu/qu es igual a uno, así que, admirablemente:

qu' = 1/qu (también se suele denotar 1/qu como qu-1)

es decir, que el conjugado de un cuaternio unitario es también su inverso.

O de otra forma, si qu es un cuaternio unitario:

qu = w + x*i + y*j + z*k

entonces:

1/qu = qu-1 es igual a qu' = w - x*i - y*j - z*k

El inverso de un cuaternio unitario es igual a su conjugado

Giro de un punto arbitrario del espacio alrededor de un eje arbitrario del espacio mediante cuaternios

Representar un punto (o un vector, o un eje que pasa por el origen) del espacio en forma de cuaternio es muy fácil, dado el vector:

v = (x, y, z)

el cuaternio que le corresponde es:

q = (0, x, y, z)

es decir, un cuaternio que contiene al vector, pero cuya magnitud w es igual a 0.

Un cuaternio construido como veremos a continuación, de alguna manera, representa la rotación de un punto cualquiera alrededor de un eje del espacio arbitrario.

¿Por qué?

consideremos un eje del espacio que pasa por el origen (o lo que es lo mismo, un vector):

v = (x, y, z)

y consideremos también un punto arbitrario del espacio P que queremos girar "theta" radianes alrededor de ese eje:

P = (x0, y0, z0)

Ahora generemos un cuaternio unitario a partir del eje y del ángulo de esta manera:

q = qw + qx*i + qy*j + qz*k

donde:

qw = cos(theta/2)

qx = +-sin(theta/2)*x/|v|

qy = +-sin(theta/2)*y/|v|

qz = +-sin(theta/2)*z/|v|

es decir:

q = (cos(theta/2), +-sin(theta/2)*v/|v|)

(es muy fácil mostrar que un cuaternio así generado es unitario y se deja al lector la tarea de hacerlo).

Pues bien, dado este cuaternio generado a partir del eje (o vector) v y del ángulo theta, obtenemos el siguiente sorprendente resultado:

P' = q*(0, P)*q-1 [formula 3]

es decir, que el punto P una vez rotado, esto es P', viene dado por este simple producto de cuaternios!

(Esto se podría hacer también con cuaternios q no unitarios pero, puesto que hay que elegir, y puesto que es muy fácil calcular la inversa de un cuaternio unitario, es mejor hacerlo con unitarios.)

Es factible pensar que Hamilton tuviera en cuenta (y buscase) éstas y otras sorprendentes propiedades de los cuaternios cuando los descubrió en 1843, a la edad de 38 años.

El producto citado representa la rotación de P alrededor de un eje que pasa por el origen. Como antes, si lo que queremos es girar el punto "P" "theta" radianes alrededor de un eje "AB" y no respecto a un eje paralelo a "AB" que pase por el origen, la fórmula es:

P' = A + f(P - A), donde:f(P) = q*(0, P)*q-1

es decir:

P' = A + q*(0, P - A)*q-1 [formula 4]

esta fórmula es más general que la 3 porque sirve para girar cualquier punto alrededor de cualquier eje del espacio, incluso alrededor de uno que no pase por el origen.

repítamos el mismo ejemplo de antes (pero ahora lo resolveremos con cuaternios):

Ejemplo práctico:Sea P = (3, 4, 5) un punto arbitrario del espacio que queremos girar theta = pi/8 radianes respecto al eje AB dado por los puntos A = (9, 2, 6) y B = (7, 0, 1)Averiguar P' mediante cuaternios [formula 4]

Solución:v = (B - A) = (7, 0, 1) - (9, 2, 6) = (-2, -2, -5)+-sin(theta/2) = +-0,195090322 cos(theta/2) = 0,98078528|v| = sqrt (2*2 + 2*2 + 5*5) = 5.744562647(P - A) = (3, 4, 5) - (9, 2, 6) = (-6, 2, -1)q = (0.98078528, +-0.195090322*(-2)/5.744562647, +-0.195090322*(-2)/5.744562647, +-0.195090322*(-5)/5.744562647)q = (0.98078528, -+0.067921731, -+0.067921731, -+0.169804329)