FILIPUS KURNIAWAN100401070035UNIVERSITAS KANJURUHAN MALANGFKIP FISIKA ‘10 KELAS “A”

Daftar isi :• Definisi dan Satuan• Hukum Eksperimentaldan Rangkaian Sederhana

(Bagian ke-1)• Analisa Rangkaian Loop Tunggal• Hukum Eksperimentaldan Rangkaian Sederhana

(Bagian ke-2)Kombinasi Tahanan dan Sumber• Beberapa Teknik untukMenganalisis Rangkaian• Fungsi Pemaksa Sinusoida• Respons Paksaan kepada Fungsi-fungsi

Pemaksa• Respon keadaan Tunak• Daya rata2 dan RMS

Definisi dan Satuan• Apakah yang dimaksud dengan “Analisis Rangkaian Teknik” ?•

Analisis kajian (secara matematis) mengenai suatu kesatuan yang kompleks beserta hubungan di antara bagian-bagian kesatuan tersebut.

•Rangkaian sambungan alat-alat listrik yang sederhana di mana terdapat paling sedikit satu jalan tertutup yang dapat dilalui arus.

•Teknik ilmu pengetahuan yang menerangkan penggunaan sifat-sifat materi dan sumber-sumber energi di alam untuk keperluan umat manusia.

•

Dapat disimpulkan bahwa “Analisis Rangkaian Teknik” adalah suatu pelajaran matematik mengenai beberapa sambungan alat-alat listrik sederhana di mana terdapat paling sedikit satu jalan arus tertutup.

Sistem-sistem Satuan• Sistem Satuan Internasional (SI) menggunakan sistem desimal untuk menghubungkan satuan

besar dan satuan kecil dengan satuan-satuan dasar dan menggunakan awalan standar untuk menunjukkan pangkat daripada bilangan 10. Sistem awalan standar ini adalah :

•

atto- (a-, 10-18) desi- (d-, 10-1)•

femto- (f-, 10-15) deka- (da-, 101)•

piko- (p-, 10-12) hekto- (h-, 102)•

nano- (n-, 10-9) kilo- (k-, 103)•

mikro- (m -, 10-6) mega- (M-, 106)•

mili- (m-, 10-3) giga- (G-, 109)•

senti- (c-, 10-2) tera-, (T-, 1012)•

yang terdapat di dalam blok pada tabel diatas adalah awalan yang paling sering digunakan oleh para mahasiswa yang mempelajari teori rangkaian listrik.

Satuan Muatan• Satuan muatan yang dinamai dengan coulomb menurut Charles Coulomb,

yakni orang pertama yang membuat pengukuran kuantitatif yang teliti mengenai gaya antara dua muatan. Muatan secara umum didefinisikan adalah sebagai berikut : dua partikel kecil yang bermuatan identik dan berjarak satu meter dalam vakum dan tolak-menolak dengan gaya sebesar 10-

7 c2 newton mempunyai muatan yang persis identik, yang besarnya masing-masing adalah plus atau minus satu coulomb (C). Simbol c menyatakan kecepatan cahaya, 2,997 925 × 108 m/det. Dalam satuan ini, muatan sebuah elektron adalah negatif 1,602 19 × 10-19 C, dan 1 C (yang negatif) menyatakan muatan total yang dimiliki oleh 6,24 × 1018 elektron.

•Kita akan melambangkan muatan dengan Q atau q ; huruf besar akan dipakai untuk menyatakan muatan yang tidak berubah terhadap waktu, atau sebuah konstanta, dan huruf kecil akan menyatakan hal umum mengenai muatan yang berubah terhadap waktu. Kita seringkali menamai muatan ini sebagai nilai sesaat (instanteneous value) daripada muatan dan untuk menandakan ketergantungannya terhadap waktu maka ditulis q(t). Pemakaian yang sama dari huruf besar dan huruf kecil akan dilakukan juga kepada semua kualitas listrik yang lain.

Arus• Muatan yang bergerak adalah sebuah arus. Arus akan kita definisikan lagi lebih teliti di bawah

ini. Arus yang terdapat di dalam sebuah jalur tertentu, seperti misalnya kawat logam, mempunyai besar dan arah yang diasosiasikan dengannya arus tersebut adalah ukuran di mana muatan bergerak melalui sebuah titik tertentu per satuan waktu dalam arah tertentu.

•Kita mendefinisikan arus pada sebuah titik tertentu dan yang mengalir dalam arah tertentu sebagai besarnya muatan sesaat yang mengalir per satuan waktu dimana muatan positif netto bergerak melalui titik tersebut dalam arah tertentu. Arus mempunyai simbol I atau i, jadi :

• Satuan arus adalah ampere (A), yang menyatakan banyaknya muatan yang mengalir dengan laju 1 C/s. Nama ampere diambil mengikuti nama A.M Ampere, seorang ahli fisika Perancis pada permulaan abad ke sembilan belas. Sering juga arus tersebut dinamai “1 amp”, tetapi nama ini tak formal dan tak resmi. Penggunaan huruf kecil i akan diasosiasikan dengan nilai sesaat.

•Beberapa jenis arus yang berlainan digambarkan oleh Gambar 1. Sebuah arus yang konstan dinamai dengan arus searah, atau singkatnya dc (direct current), dan diperlihatkan oleh Gambar 1a. Kita akan menemui banyak sekali contoh praktis dari arus yang berubah menurut bentuk sinus terhadap waktu, Gambar 1b; arus yang bentuknya seperti ini terdapat pada rangkaian-rangkaian alat rumah tangga biasa. Arus seperti itu disebut arus bolak-balik, atau ac (alternating current). Arus eksponensial dan arus berbentuk sinus teredam, yang dilukiskan dalam Gambar 1c dan d, akan ditemui juga kelak.

Tegangan• Misalkan bahwa arus searah diarahkan ke titik-ujung (terminal) A melalui elemen memerlukan pengeluaran energi. Maka kita katakan bahwa

terdapat tegangan listrik atau perbedaan potensial di antara kedua titik ujung tersebut, atau terdapat tegangan atau selisih potensial “melintasi” elemen tersebut. Jadi tegangan melintasi sebuah pasangan terminal adalah ukuran kerja yang diperlukan untuk menggerakkan muatan melalui elemen tersebut. Secara khusus, kita dapat mendefinisikan tegangan melintasi elemen sebagai kerja yang perlu untuk menggerakkan muatan positif sebesar 1 C dari satu titik ujung melalui alat tersebut ke titik ujung yang lain. Tanda untuk tegangan akan dibicarakan di bawah. Satuan untuk tegangan adalah volt (v), yang sama dengan 1 J/C dan tegangan dinyatakan dengan V atau v. Untunglah bahwa nama lengkap ahli fisika Italia dari abad kedelapan belas, Alessnadro Guiseppe Antonio Anastasio Volta, tidak digunakan sepenuhnya untuk satuan dari selisih potensial ini.

•Perbedaan potensial atau tegangan bisa terdapat antara sepasang terminal listrik, baik arus mengalir atau pun tidak mengalir. Sebuah batere mobil misalnya, mempunyai tegangan 12 V melintasi terminal-terminalnya walaupun tak ada apa-apa yang dihubungkan ke terminal ini.

•Energi yang digunakan untuk mendorong muatan-muatan melalui elemen tersebut harus muncul karena prinsip kekekalan energi. Jika kita kelak menemui elemen rangkaian khusus, kita perlu memperhatikan apakah energi disimpan di dalam sesuatu bentuk yang mudah didapat kembali atau apakah energi tersebut berubah menjadi panas, energi akustik, dan bentuk-bentuk lain yang tidak dapat balik lagi.

•Kita sekarang harus membuat satu perjanjian yang diperlukan untuk membedakan energi yang diberikan oleh elemen itu sendiri kepada alat luar. Kita melakukan ini dengan pemilihan tanda untuk tegangan pada ujung A terhadap terminal B. Jika sebuah arus positif memasuki titik ujung A dari elemen dan jika sebuah sumber luar harus mengeluarkan energi untuk menghasilkan arus ini, maka titik ujung A adalah positif terhadap titik ujung B. Dapat juga kita katakan bahwa titik ujung B adalah negatif terhadap titik ujung A.

•Gambar 3: Dalam (a) dan (b) titik ujung B adalah 5 V positif terhadap terminal A, dalam (c) dan (d) titik ujung A adalah 5 V positif terhadap terminal B.

•

Perlu disadari bahwa pasangan plus-minus tanda aljabar tidak menunjukkan kekutuban (polarity) tegangan yang sesungguhnya, tetapi hanya sekedar konvensi yang membolehkan kita berbicara dengan pasti mengenai tegangan melintasi pasangan titik ujung. Definisi setiap tegangan haruslah mencakup sepasang tanda plus-minus! Dengan menggunakan kuantitas v1 (t) tanpa menunjukkan tempat dari pasangan tanda plus-minus adalah sama dengan menggunakan istilah yang tak terdefinisikan.

•Gambar 4: (a) dan (b) adalah definisi yang tidak mencukupi dari tegangan. (c) Definisi yang benar yang mencakup simbol variabel dan pasangan simbol plus minus.

• Kita perlu tentukan sebuah ungkapan bagi daya yang diserap oleh suatu elemen rangkaian; dinyatakan dalam tegangan yang terdapat padanya dan arus yang melaluinya. Tegangan telah didefinisikan sebagai energi yang dibelanjakan, dan daya adalah laju dengan mana energi dibelanjakan. Namun demikian, tak ada pernyataan yang bisa dibuat mengenai alih energi pada keempat kasus yang ditunjukkan pada Gambar 3, misalnya, sebelum arah arus ditentukan. Kita anggap bahwa panah arus ditempatkan di bagian atas, menuju ke kanan, dan ditandai “+ 2 A”; maka di dalam kedua hal c dan d titik-ujung A adalah 5 V positif terhadap titik-ujung B dan karena arus positif memasuki titik-ujung A, energi diberikan kepada elemen. Di dalam dua hal lainnya, elemen tersebut memberikan energi kepada alat luar.

•Kita telah mendefinisikan daya, dan kita akan menyatakannya dengan P atau p. Jika satu joule energi diperlukan untuk memindahkan muatan satu coulomb melalui alat, maka laju pengeluaran energi persatuan waktu untuk memindahkan satu coulomb muatan per detik melalui alat adalah satu watt. Tenaga yang diserap ini haruslah sebanding dengan banyaknya coulomb yang dipindahkan per detik, atau arus, dan sebanding dengan energi yang diperlukan untuk memindahkan satu coulomb melalui elemen, atau tegangan, atau watt. Jadi,

•(2)

•Dimensi arus kanan persamaan ini adalah hasil kali joule per coulomb per detik, yang menghasilkan dimensi joule per detik, atau watt, seperti yang diharapkan.

•Konvensi untuk arus, tegangan dan daya disimpulkan dalam Gambar 5. Sketsa tersebut memperlihatkan bahwa jika sebuah ujung elemen adalah v volt positif terhadap titik ujung yang lain, dan jika sebuah arus i memasuki elemen tersebut melalui titik ujung pertama, maka daya p = vi diserap oleh atau diberikan pada elemen tersebut. Jika panah arus diarahkan pada elemen di titik ujung yang bertanda plus, maka kita menggunakan konvensi tanda pasif. Konvensi ini harus dipelajari dengan hati-hati, dimengerti dan diingat. Dengan perkataan lain, konvensi ini mengatakan bahwa jika panah arus dan tanda kekutuban tegangan ditempatkan pada titik-titik ujung elemen sehingga arus masuk pada ujung elemen yang diberi tanda positif, dan jika panah dan pasangan tanda dinyatakan dengan kuantitas-kuantitas aljabar yang bersangkutan, maka daya yang diserap oleh elemen dapat dinyatakan sebagai perkalian aljabar daripada kedua kuantitas tersebut. Jika harga numerik dari perkalian itu adalah negatif, maka kita katakan bahwa elemen itu menyerap daya negatif, atau elemen itu sebenarnya menghasilkan daya dan mengantarkannya pada suatu elemen luar. Misalnya, di dalam Gambar 5 dengan v = 5 V dan i = -4 A, maka elemen tersebut dapat dikatakan menyerap -20 W atau menghasilkan 20 W.

•Ketiga contoh pada Gambar 6 selanjutnya menggambarkan konvensi tersebut.

Jenis Rangkaian dan Elemen Rangkaian• Kita sekarang akan membedakan sebuah elemen rangkaian umum dari sebuah elemen rangkaian sederhana

dengan mengatakan bahwa elemen rangkaian umum akan terdiri lebih dari satu elemen rangkaian sederhana, dan bahwa sebuah elemen rangkaian sederhana tidak dapat lagi dibagi lebih lanjut menjadi elemen-elemen rangkaian lain. Untuk singkatnya, kita sepakati bahwa istilah elemen rangkaian pada umumnya akan menyatakan sebuah elemen rangkaian sederhana.

•Semua elemen rangkaian sederhana yang akan ditinjau dalam pekerjaan berikutnya dapat digolongkan menurut hubungan dari arus yang melalui elemen dengan tegangan melintasi elemen tersebut. Misalnya jika tegangan melintasi elemen adalah berbanding lurus dengan arus yang melalui elemen, atau v = ki, maka kita akan menamai elemen tersebut sebuah tahanan. Jenis lain dari elemen rangkaian sederhana mempunyai tegangan titik ujung yang sebanding dengan turunan terhadap waktu atau integral arus terhadap waktu. Ada juga elemen-elemen di mana tegangannya sama sekali tak tergantung pada arus atau arus sama sekali tak tergantung pada tegangan elemen-elemen seperti ini adalah sumber-sumber bebas. Selanjutnya, kita perlu mendefinisikan jenis sumber khusus di mana tegangan sumber atau arus tergantung pada arus atau tegangan di salah satu bagian rangkaian; sumber-sumber seperti itu akan dinamai sumber-sumber yang tak bebas atau sumber-sumber terkontrol.

•Menurut definisi, sebuah elemen rangkaian sederhana adalah model matematis dari sebuah alat listrik yang mempunyai dua titik ujung (terminal) dan yang secara lengkap dapat dinyatakan oleh hubungan antara arus dan tegangan tetapi tidak dapat lagi dibagi menjadi alat-alat lain yang mempunyai dua titik-ujung.

•Elemen pertama yang akan kita perlukan adalah sebuah sumber tegangan bebas. Sumber ini akan ditandai dengan sebuah tegangan terminal yang sama sekali tak tergantung pada arus yang melaluinya. Jadi, jika kita diberi sebuah sumber tegangan bebas dan diberitahu bahwa tegangan terminal adalah 50 t2V, maka dapat dipastikan bahwa pada t = 1 det tegangannya adalah 50 V, tak peduli berapa arus yang sudah mengalir, yang sedang mengalir, atau yang akan mengalir. Gambaran sebuah sumber tegangan bebas diperlihatkan di dalam Gambar 7. Indeks bawah s hanya sekedar menunjukkan tegangan sebagai tegangan “sumber”.

• Gambar 7: Simbol rangkaian dari sebuah sumber tegangan bebas

• Gambar 8: Gambaran dari sebuah sumber tegangan bebas, konstan atau dc. Pada (a) sumber memberikan 12 W dan pada (b) batere menyerap 12 W

•Gambar 9: Simbol rangkaian untuk sumber arus bebas

•Sambungan antara dua atau lebih elemen rangkaian sederhana dinamai jaringan (network): jika jaringan mengandung sedikitnya satu jalur tertutup, jaringan itu dinamai rangkaian (circuit) listrik. Setiap rangkaian adalah sebuah jaringan, tetapi tidak semua jaringan merupakan rangkaian.

•Jaringan yang mengandung sedikitnya sebuah elemen aktif, seperti sumber tegangan atau sumber arus bebas, adalah sebuah jaringan aktif. Jaringan yang tidak mengandung elemen aktif adalah sebuah jaringan pasif.

Hukum Eksperimentaldan Rangkaian Sederhana (Bagian ke-1)

• Pendahuluan• Pada pembahasan ini dibatasi pada analisis rangkaian

sederhana yang hanya mempunyai sumber arus, sumber tegangan dan tahanan; sumber tersebut boleh yang bebas atau pun yang tak bebas. Di dalam menganalisis rangkaian ini kita akan menggunakan beberapa transformasi jaringan, teorema jaringan, dan metode-metode matematik yang akan dapat kita terapkan kelak, dengan hanya mengadakan sedikit perubahan, kepada rangkaian yang mengandung elemen pasif lain yang dirangsang oleh sumber yang berubah terhadap waktu. Kita akan mempelajari metode yang berguna dalam analisis rangkaian dengan cara penerapannya pada keadaan yang sesederhana mungkin, yakni rangkaian penahan (resistive circuit).

Hukum Ohm• Hukum Ohm mengatakan bahwa tegangan melintasi berbagai jenis bahan pengantar adalah berbanding lurus kepada arus yang

mengalir melalui bahan tersebut,•

(1)•

di mana konstanta pembanding R dinamai resistansi (tahanan). Satuan tahanan adalah ohm, yang sama dengan 1 V/A dan biasanya disingkat dengan huruf omega besar, ©.

• Gambar 1 memperlihatkan simbol rangkaian yang paling umum yang dipakai untuk sebuah tahanan. Sesuai dengan konvensi tegangan, arus dan daya yang dipakai dalam bab yang lalu, hasil perkalian antara v dan i akan memberikan daya yang diserap oleh tahanan tersebut. Yakni, v dan i dipilih sehingga memenuhi konvensi tanda pasif. Daya yang diserap timbul sebagai panas dan nilainya selalu positif; sebuah tahanan adalah elemen pasif, yang tidak bisa menyerahkan daya atau menyimpan energi. Cara lain, untuk menyatakan daya yang diserap adalah

(2)•

Perbandingan diantara arus dan tegangan adalah juga sebuah konstanta,•

(3)•

di mana G dinamai konduktansi. Satuan untuk konduktansi adalah mho, yakni, 1 A/V, dan disingkat dengan huruf omega terbalik. Simbol rangkaian yang sama digunakan untuk menyatakan resistansi dan konduktansi. Satuan SI untuk konduktansi adalah Siemens, istilah yang tidak banyak digunakan di Amerika Serikat. Lambang rangkaian yang sama digunakan baik untuk resistansi maupun konduktansi. Daya yang diserap adalah juga positif dan dapat dinyatakan dalam konduktansi

•(4)

•Resistansi dapat digunakan sebagai dasar untuk mendefinisikan dua istilah yang umum digunakan, yakni hubungan pendek (short circuit), dan rangkaian terbuka (open circuit). Kita definisikan hubungan pendek sebagai sebuah tahanan yang besarnya nol ohm; maka, karena , tegangan melintasi sebuah rangkaian pendek harus sama dengan nol, walaupun besarnya arus boleh sembarang. Dengan cara yang sama, kita definisikan rangkaian terbuka sebagai tahanan yang mempunyai tahanan tak berhingga. Jelaslah bahwa arusnya sama dengan nol, tak perduli berapa tegangan melintasi rangkaian terbuka tersebut.

Hukum-hukum Kirchoff• Gustav Robert Kirchoff, seorang guru besar universitas berkebangsaan Jerman yang lahir kira-kira pada

waktu Ohm melakukan percobaannya. Hukum aksiomatik ini dinamakan hukum arus Kirchoff (Kirchoof’s Current Law, disingkat KCL), yang mengatakan bahwaBila ada arus netto yang masuk sebuah simpul, maka laju penumpukan coulomb pada simpul tersebut tidak sama dengan nol. Tetapi, sebuah simpul bukanlah suatu elemen rangkaian dan pasti tidak bisa menyimpan, memusnahkan atau membangkitkan muatan. Sehingga dengan demikian arus harus berjumlah nol

• Kita sekarang beralih ke hukum tegangan Kirchhoff ( Kirchhoff’s voltage law, disingkat KVL ). Hukum ini mengatakan bahwa

•jumlah aljabar semua arus yang memasuki sebuah simpul adalah nol.

•

Kita harus lagi menerima hukum ini sebagai aksioma, walaupun hukum ini dikembangkan di dalam pendahuluan teori elektromagnetik.

•Arus adalah yang berkaitan dengan muatan yang mengalir melalui sebuah elemen rangkaian, sedangkan tegangan adalah suatu ukuran selisih energi potensial melintasi elemen.

•Jadi bila kita melalui suatu jalan tertutup, maka jumlah aljabar dari tegangan melintasi elemen individual sekelilingnya haruslah nol. Jadi, bisa kita tulis

•atau v1 + v2 + v3 + ... + vN = 0 (6)

•Hukum tegangan Kirchoff adalah suatu konsekuensi kekekalan energi dan sifat konservatif rangkaian listrik. Hukum ini juga bisa ditafsirkan menurut analogi gaya berat. Bila suatu massa digerakkan sekeliling jalan tertutup dalam sebuah medan gravitasi konservatif, maka kerja total yang dilakukan terhadap massa tersebut adalah nol. Kita bisa juga menerapkan KVL pada rangkaian dengan beberapa cara yang berbeda.

Analisa Rangkaian Loop Tunggal• Kita akan menganggap bahwa nilai tahanan dan tegangan sumber dari Gambar 6a diketahui dan mencoba menentukan

arus yang melalui setiap elemen, tegangan melintasi setiap elemen, dan tenaga yang diberikan atau yang diserap oleh setiap elemen.

•

Gambar 6: (a) Model rangkaian dengan nilai tegangan sumber dan tahanan diketahui, (b) Tanda-tanda referensi tegangan dan arus ditambahkan pada rangkaian.

•

Langkah kita yang pertama dalam analisis tersebut adalah asumsi mengenai arah referensi untuk arus-arus yang tak diketahui karena kita tidak tahu sebelumnya arah-arah tersebut. Secara acak, kita sebuah arus yang tak diketahui i, menurut arah jarum mengalir keluar dari terminal atas sumber tegangan kiri. Pemilihan ini ditandai dengan sebuah panah dengan tanda i pada rangkaian, seperti diperlihatkan di dalam Gambar 6b. Penggunaan trivial dari hukum arus Kirchoff memastikan bahwa arus yang sama harus mengalir juga melalui setiap elemen di dalam rangkaian tersebut. Kita dapat menekankan fakta ini sekarang dengan menempatkan beberapa simbol arus di sekitar rangkaian.

•Berdasarkan definisi, semua elemen yang menyangkut arus yang sama dikatakan dihubungkan secara seri (deret). Perhatikan bahwa elemen-elemen boleh mengangkut arus yang besarnya sama tetapi tidak tersusun secara seri; dua bola 100 W di dalam rumah yang bertetangga mungkin saja mengangkut arus yang sama besarnya, tetapi mereka tidak mengangkut arus yang sama, dan tidak seri satu sama lain.

•Langkah kedua dalam analisis tersebut adalah pemilihan referensi tegangan untuk masing-masing dari kedua tahanan. Telah kita dapat bahwa penggunaan hukum Ohm, v = Ri, menghendaki bahwa arah arus dan tegangan harus dipilih sehingga arus memasuki terminal di mana ditempatkan referensi tegangan positif. Jika pemilihan arus adalah sembarang, maka pemilihan arah tegangan akan tertentu jika kita bermaksud menggunakan hukum Ohm didalam bentuk v = Ri. Tegangan vR1 dan vR2 diperlihatkan di dalam Gambar 6b.

•Langkah ketiga adalah penggunaan hukum tegangan Kirchhoff pada jalan tertutup yang ada. Misalkan kita putuskan untuk bergerak di sekitar rangkaian di dalam arah perputaran jarum jam, dimulai pada sudut kiri bawah dan menuliskan langsung setiap tegangan yang pertama ditemui pada referensi positif dan menuliskan negatif dari tegangan yang ditemui pada terminal negatif. Jadi,

Rangkaian Pasangan Simpul Tunggal• Padanan dari rangkaian yang mempunyai satu jalan tertutup (rangkaian berloop tunggal) yang dibicarakan di atas adalah

rangkaian pasangan simpul tunggal di mana sebarang banyaknya elemen sederhana dihubungkan di antara pasangan simpul yang sama. Satu contoh rangkaian seperti itu diperlihatkan di dalam Gambar 9. Kedua sumber arus dan nilai konduktansi diketahui, dan kita akan mencari tegangan, arus, dan daya yang diasosiasikan dengan setiap elemen sekali lagi.

•Gambar 9: (a) Sebuah rangkaian pasangan simpul tunggal.

•(b) Tegangan dan kedua arus ditetapkan

•

Langkah kita yang pertama sekarang adalah menganggap adanya tegangan yang melintasi setiap elemen, dan menetapkan sebarang kebutuhan referensi. Maka hukum tegangan Kirchhoff memaksa kita untuk mengakui bahwa tegangan yang melintasi setiap cabang adalah sama karena sebuah jalan tertutup melalui setiap cabang dari satu simpul ke simpul yang lain dan kemudian dilengkapi melalui setiap cabang lain. Tegangan total sebesar nol menghendaki tegangan yang identik melintasi setiap elemen. Kita katakan bahwa elemen-elemen yang mempunyai tegangan bersama melalui elemen-elemen tersebut dihubungkan secara paralel. Kita namai tegangan ini v dan memilihnya sembarangan, seperti diperlihatkan di dalam Gambar 9b.

•Dua arus, yang mengalir di dalam tahanan, kemudian dipilih sesuai dengan konvensi yang didapatkan dengan hukum Ohm. Arus-arus ini diperlihatkan juga di dalam Gambar 9b.

•Langkah ketiga di dalam analisis rangkaian simpul tunggal adalah pemakaian hukum arus Kirchhoff pada salah satu dari kedua simpul di dalam rangkaian tersebut. Biasanya lebih jelas untuk memakaikannya kepada simpul di mana ditetapkan referensi tegangan positif, dan karena itu kita akan menyamakan jumlah aljabar arus yang meninggalkan simpul atas dengan nol,

•Akhirnya, arus di dalam tiap tahanan dinyatakan di dalam u dan konduktansi tahanan menurut hukum Ohm,

•dan

•

dan kita dapatkan

Hukum Eksperimentaldan Rangkaian Sederhana (Bagian ke-2)Kombinasi Tahanan dan Sumber• Beberapa penulisan pesamaan yang telah kita lakukan untuk rangkaian-rangkaian seri dan paralel yang sederhana dapat dihindari.

Hal ini dicapai dengan mengganti kombinasi tahanan (resistor) yang relatif sukar dengan sebuah tahanan ekivalen bila mana kita khususnya tak berminat menentukan arus, tegangan, atau daya yang berkaitan dengan masing-masing tahanan di dalam kombinasi tersebut. Semua hubungan yang menyangkut arus, tegangan, dan daya di dalam sisa rangkaian tersebut akan sama.

•Gambar 15: (a) Sebuah rangkaian yang mengandung kombinasi seri dari N tahanan.

•(b) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana: .

•

Mula-mula kita tinjau kombinasi seri N tahanan, yang diperlihatkan secara skematis dalam Gambar 15. Garis terputus-putus yang mengitari tahanan-tahanan tersebut dimaksudkan untuk menyarankan bahwa tahanan-tahanan tersebut dikurung di dalam sebuah “kotak hitam,” atau barang kali di dalam kamar lain, dan kita ingin mengganti ke N tahanan tersebut dengan satu tahanan dengan besar tahanan Req sehingga sisa rangkaian, yang hanya hal ini hanya sumber tegangan tidak menyadari bahwa perubahan telah dilakukan. Arus sumber, daya, dan tentu saja tegangan akan sama sebelum dan sesudah perubahan tersebut.

•

Kita pakai hukum tegangan Kirchhoff

•dan hukum Ohm

•dan kemudian membandingkan hasil ini dengan persamaan sederhana yang dipakai kepada rangkaian ekivalen yang diperlihatkan di dalam Gambar 15b,

•Jadi, harga dari tahanan ekivalen untuk N tahanan seri adalah

•(7)

Pembagian Tegangan dan Arus• Dengan mengkombinasikan tahanan-tahanan dan sumber-sumber, maka

kita telah mendapatkan satu metode untuk memperpendek kerja dalam menganalisis sebuah rangkaian. Jalan singkat lain yang berguna adalah pemakaian ide pembagian tegangan dan arus.

•Gambar 22: Gambaran pembagian tegangan, .

•

Pembagian tegangan digunakan untuk menyatakan tegangan melintasi salah satu di antara dua tahanan seri, dinyatakan dalam tegangan melintasi kombinasi itu. Di dalam Gambar 22, tegangan R2 adalah

•(10)

•

atau

• dan dengan cara yang serupa, tegangan melintasi R1 adalah,

•

(11)•

Bila jaringan pada Gambar 22 digeneralisir dengan menggantikan R2 dengan R2, R3, ......, RN yang berhubungan seri, maka didapat hasil umum pembagian tegangan melintasi suatu untaian N tahanan seri,

•Tegangan yang timbul melintasi salah satu tahanan seri tersebut adalah tegangan total dikalikan rasio (perbandingan) dari tahanan dan tahanan total. Pembagian tegangan dan kombinasi tahanan keduanya dapat digunakan.

•Gambar 23: Gambaran pembagian arus,

• Ganda (dual) dari pembagian tegangan adalah pembagian arus. Kita sekarang diberi arus total yang masuk ke dalam dua konduktansi pararel, sebagai yang digambarkan oleh rangkaian dari Gambar 23. Arus mengalir melalui G2 adalah

•atau

•dan, dengan cara yang serupa

•

Jadi arus yang mengalir melintasi salah satu di antara konduktansi pararel tersebut adalah arus total dikalikan perbandingan dari konduktansinya dengan konduktansi total.

•Karena kita lebih sering diberikan nilai tahanan daripada konduktansi, maka bentuk yang lebih penting dari hasil terakhir didapatkan dengan menggantikan G1 dengan 1/R1 dan G2 dengan 1/R2,

•(12)

•

Kedua persamaan terakhir mempunyai sebuah faktor yang sangat berbeda dari faktor yang digunakan dengan pembagian tegangan dan sejumlah usaha diperlukan untuk menghindari kesalahan-kesalahan. Banyak mahasiswa memandang pernyataan pembagian tegangan sebagai yang “jelas” dan pembagian arus sebagai sesuatu yang “berbeda”. Akan menolong juga untuk menyadari bahwa tahanan yang lebih besar selalu mengangkut arus yang lebih kecil.

•Bisa juga kita generalisir hasil ini dengan menggantikan G2 pada Gambar 23 dengan kombinasi pararel G2, G3, .... , GN. Jadi, bagi N konduktansi pararel,

•Dinyatakan dalam harga-harga tahanan, hasilnya adalah

Beberapa Teknik untukMenganalisis Rangkaian• Analisis Mesh (Mesh Analysis)•

Cara analisis simpul yang diterapkan di dalam bab terdahulu adalah sangat umum dan selalu dapat digunakan pada setiap jaringan listrik. Ini bukanlah satu-satunya metode agar kita bisa mengatakan hal yang serupa. Khususnya, kita akan menemui metode analisis simpul umum dan cara yang dinamai analisis loop pada bagian penutup bab ini.

•Pertama, kita akan meninjau sebuah metode yang dinamai analisis mesh (mesh analysis). Walapun cara ini tidak dapat dipakai setiap jaringan, teknik ini dapat diterapkan pada sebagian besar jaringan yang perlu kita analisis, dan barangkali digunakan lebih sering dari semestinya, karena terkadang metode lain lebih sederhana. Analisis mesin dapat dipakai hanya pada jaringan-jaringan yang terletak dalam satu bidang, sebuah istilah yang akan kita definiskan sekarang.

•Jika mungkin menggambar diagram sebuah rangkaian pada sebuah permukaan bidang sedemikian rupa sehingga tak ada cabang yang melalui di atas di bawah cabang lain, maka rangkaian tersebut dinamai rangkaian sebidang (planar circuit).

•Di dalam bab kedua, istilah-istilah jalan (path), jalan tertutup, dan loop telah didefinisikan. Mesh adalah sifat rangkaian sebidang dan tidak didefinisikan untuk rangkaian tak sebidang. Kita definisikan mesh sebagai loop yang tidak mengandung loop lain di dalamnya. Bilamana mesh itu telah digambar dengan baik dalam bentuk bidang, biasanya mesh tersebut mempunyai penampilan seperti jendela multi-kaca; setiap kaca pada jendela itu dapat dianggap sebagai mesh.

•Jika sebuah jaringan adalah sebidang, maka analisis mesh dapat digunakan untuk menyelesaikan analisisnya. Cara ini melibatkan konsep arus mesh, yang akan kita perkenalkan dengan meninjau analisis rangkaian yang mempunyai dua mesh Gambar 3-6.

•Seperti telah kita lakukan dalam rangkaian berloop tunggal, maka kita mulai dengan memperhatikan sebuah arus yang melalui salah satu cabang. Arus yang mengalir ke kanan melalui tahanan 6 W , kita namai i1. Kita bermaksud menggunakan hukum tegangan Kirchoff sekeliling setiap mesh, dan kedua persamaan yang dihasilkan adalah cukup untuk menentukan kedua arus yang tak diketahui. Maka kita pilih arus kedua i2 yang mengalir ke kanan melalui tahanan 4 W . Kita dapat juga menamai arus yang mengalir ke bawah melalui cabang sentral i3, tetapi jelaslah dari hukum arus Kirchoff bahwa i3 dapat dinyatakan dalam kedua arus yang telah kita misalkan sebelumnya sebagai (i1- i2). Arus yang dimisalkan tersebut diperlihatkan di dalam Gambar 3-7.

• Persamaan-persamaan tersebut adalah persamaan-persamaan yang berdiri sendiri; yang satu tidak dapat diturunkan dari yang lain. Ada dua persamaan dan dua yang tak diketahui, dan pemecahaannya mudah didapatkan; i2 adalah 6 A, i2 adalah 4 A, dan (i1 - i2)adalah 2 A. Hubungan tegangan dan tenaga boleh didapat dengan cepat jika diinginkan.

•Jika seandainya rangkaian kita mengandung mesh yang banyaknya M maka kita harus menganggap ada M arus arus cabang dan menulis sebanyak M persamaan bebas. Pemecahan pada umumnya bisa didapat secara sistematis melalui penggunaan determinan.

•Kita tinjau sekarang soal yang sama dengan cara yang sedikit berbeda dengan menggunakan arus mesh. Kita definisikan sebuah arus mesh sebagai sebuah arus yang mengalir hanya di sekitar perimeter sebuah mesh. Jika tidak tandai mesh kiri dari soal kita sebagai mesh 1, maka kita dapat menentukan arus mesh i1 yang mengalir menurut perputaran jarum jam sekeliling mesh ini. Sebuah arus mesh dinyatakan dengan sebuah panah lengkung yang hampir menutupi dirinya sendiri dan digambarkan di dalam mesh yang sesuai, seperti diperlihatkan pada Gambar 3-7. Arus mesh i2 dihasilkan di dalam mesh yang satu lagi, dan searah dengan perputaran jarum jam. Walaupun arah itu sembarang, namun kita akan selalu memilih arus-arus mesh searah dengan peputaran jarum jam karena pilihan ini mengakibatkan simetri yang meminimalkan kesalahan dalam persamaan-persamaan tersebut.

•Kita tidak lagi mempunyai arus atau panah arus yang diperlihatkan langsung pada setiap cabang rangkaian. Arus melalui setiap cabang harus ditentukan dengan meninjau arus-arus mesh yang mengalir dalam tiap-tiap mesh di mana cabang tersebut muncul. Ini tidak sukar karena jelaslah bahwa tidak ada cabang yang dapat muncul di dalam lebih dari dua mesh. Misalnya, tahanan 3-W yang muncul di dalam kedua mesh, dan arus yang mengalir ke bawah melaluinya adalah (i1 - i2). Tahanan 6-W muncul hanya di dalam mesh 1, dan arus yang mengalir ke kanan di dalam cabang tersebut adalah sama dengan arus mesh i1.

• Sebuah arus mesh seringkali dapat diidentifikasi sebagai sebuah arus cabang seperti i1 dan i2 diidentifikasi di atas. Hal ini tidak selalu benar, karena peninjauan sebuah jaringan persegi yang mempunyai sembilan mesh segera memperlihatkan bahwa arus mesh sentral tidak dapat diidentifikasi sebagai arus di dalam suatu cabang.

•Salah satu terbesar dalam penggunaan arus mesh adalah kenyataan bahwa hukum arus Kirchhoff secara otomatis dipenuhi. Jika sebuah arus mesh mengalir kedalam sebuah simpul, maka jelaslah bahwa arus itu mengalir keluar dari simpul itu juga.

•Maka kita dapat mengalihkan perhatian kita kepada pemakaian hukum tegangan Kirchoff pada setiap mesh. Untuk mesh kiri

•sedangkan untuk mesh kanan

•dan kedua persamaan ini sama dengan yang didapat sebelumnya.

• Gambar 3-8: Analisis mesh digunakan pada rangkaian ini yang mengandung sebuah sumber arus dengan menuliskan persamaan hukum tegangan Kirchoff di sekitar loop: 7 V, 1©, 3 ©, 1©.

Hukum Eksperimentaldan Rangkaian Sederhana (Bagian ke-2)• Beberapa penulisan pesamaan yang telah kita lakukan untuk rangkaian-rangkaian seri dan paralel yang sederhana

dapat dihindari. Hal ini dicapai dengan mengganti kombinasi tahanan (resistor) yang relatif sukar dengan sebuah tahanan ekivalen bila mana kita khususnya tak berminat menentukan arus, tegangan, atau daya yang berkaitan dengan masing-masing tahanan di dalam kombinasi tersebut. Semua hubungan yang menyangkut arus, tegangan, dan daya di dalam sisa rangkaian tersebut akan sama.

•Gambar 15: (a) Sebuah rangkaian yang mengandung kombinasi seri dari N tahanan.(b) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana: .

Mula-mula kita tinjau kombinasi seri N tahanan, yang diperlihatkan secara skematis dalam Gambar 15. Garis terputus-putus yang mengitari tahanan-tahanan tersebut dimaksudkan untuk menyarankan bahwa tahanan-tahanan tersebut dikurung di dalam sebuah “kotak hitam,” atau barang kali di dalam kamar lain, dan kita ingin mengganti ke N tahanan tersebut dengan satu tahanan dengan besar tahanan Req sehingga sisa rangkaian, yang hanya hal ini hanya sumber tegangan tidak menyadari bahwa perubahan telah dilakukan. Arus sumber, daya, dan tentu saja tegangan akan sama sebelum dan sesudah perubahan tersebut.

Kita pakai hukum tegangan Kirchhoff dan hukum Oh

dan kemudian membandingkan hasil ini dengan persamaan sederhana yang dipakai kepada rangkaian ekivalen yang diperlihatkan di dalam Gambar 15b,

•Jadi, harga dari tahanan ekivalen untuk N tahanan seri adalah

•Karena itu kita mampu menggantikan sebuah jaringan dua pintu yang terdiri N tahanan dalam seri, dengan satu elemen Req berterminal dua, yang mempunyai hubungan v-i yang sama. Tak ada pengukuran yang dilakukan terhadap “kotak hitam” tersebut, dapat mengungkapkan yang mana dari jaringan yang asli.

• Pemeriksaan persamaan tegangan Kirchoff untuk sebuah rangkaian seri juga memperlihatkan dua penyederhanaan lain yang mungkin. Tak ada perbedaan dalam urutan tempat elemen-elemen di dalam sebuah rangkaian seri, dan beberapa sumber tegangan seri dapat diganti dengan sumber tegangan ekivalen yang mempunyai tegangan sama dengan jumlah aljabar dari masing-masing tegangan tersebut. Biasanya ada sedikit keuntungan mengikutsertakan sebuah sumber tegangan tak bebas dalam sebuah kombinasi seri.

•Gambar 16: (a) Sebuah rangkaian seri yang diketahui.

•(b) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana.

•

Penyederhanaan ini dapat digambarkan dengan meninjau rangkaian yang diperlihatkan di dalam Gambar 16a. Mula-mula kita pertukarkan kedudukan elemen-elemen dalam rangkaian, dan dengan seksama mempertahankan arah yang wajar dari sumber, dan kemudian menggabungkan ketiga tegangan tersebut ke dalam sebuah sumber ekivalen 90-V dan keempat tahanan tersebut dalam sebuah tahanan ekivalen 30-W , seperti yang diperlihatkan pada Gambar 16b. Jadi, dari pada menuliskan

•-80 + 10i - 30 + 7i + 5i + 20 + 8i = 0

•kita hanya mempunyai

•-90 + 30i = 0

•dan i = 3 A

•Untuk menghitung daya yang diberikan kepada rangkaian oleh sumber 80 V yang muncul di dalam rangkaian yang diketahui, maka kita perlu kembali kepada rangkaian dengan mengetahui bahwa arusnya adalah 3 A. Daya yang ditanya adalah 240 W.

•Adalah hal yang menarik bahwa tidak ada elemen dari rangkaian semula yang tinggal di dalam rangkaian ekivalen, kecuali jika kita ingin menghitung kawat-kawat penyambung sebagai elemen-elemen.

•Penyederhanaan yang serupa dapat diterapkan kepada rangkaian-rangkaian paralel. Sebuah rangkaian yang mengandung N konduktansi yang dipasang paralel, seperti dalam Gambar 17a, menghasilkan persamaan hukum arus Kirchoff,

•Gambar 17: (a) Sebuah rangkaian yang mengandung N tahanan paralel

Fungsi Pemaksa Sinusoida• Respons lengkap sebuah rangkaian listrik linear dibentuk dari dua bagian, respons

alami dan respons paksaan (steady-state). Pada bagian sebelumnya kita mempelajari rangkaian penahan di mana diperlukan atau hanya ada fungsi pemaksa. Untuk menyederhanakan masalahnya, kita biasanya membatasi fungsi pemaksa kepada sumber-sumber dc, dan karenanya kita sudah mengenal berbagai cara yang berguna untuk mendapatkan respons paksaan dc.

• Di dalam bagian ini kita akan memperluas pengetahuan kita mengenai respons paksaan dengan meninjau fungsi pemaksa sinusoida.

• Beberapa alasan mengapa hanya menghitung respons paksaan (keadaan tunak atau steady-state) saja:

• Respons alamiah hanya ada beberapa saat saja (umumnya berorde mikro atau milli detik).

• Dianggap sudah memahami respons alamiah.• Memudahkan perhitungan.• Mengapa kita harus memilih fungsi pemaksa sinusoida sebagai bentuk fungsi kedua

untuk dipelajari? Mengapa tidak fungsi linear, fungsi eksponensial, atau fungsi Bessel jenis kedua yang telah diubah?

• Salah satu dari alasan; respon alami sebuah sistem orde kedua yang kurang redam adalah sebuah sinusoida teredam. Jadi sinusoida muncul secara alami (sebagaimana halnya dengan eksponensial negatif). Sesungguhnya, alam pada umumnya kelihatan mempunyai sifat sinusoida yang pasti; gerak bandul, lenturan bola, getaran tali gitar, atmosfer politik di dalam suatu negara, dan riak pada permukaan susu coklat selalu akan menunjukkan sifat sinusoida yang wajar

Respons Paksaan kepada Fungsi-fungsi Pemaksa

Istilah respons keadaan tunak (steady state) digunakan secara sinonim

dengan respons paksaan, dan rangkaian-rangkaian yang segera akan kita analisis

biasanya disebut berada dalam “keadaan tunak sinusoida.” Respons keadaan tunak

sinusoida sudah pasti berubah terhadap waktu. Keadaan tunak hanyalah

menyatakan keadaan yang dicapai setelah respons transien (respons sementara)

atau respons alami telah lenyap.

Kita tinjau sekarang rangkaian RL seri yang diperlihatkan dalam Gambar 1.

Tegangan sumber sinusoida vS = Vm cos ωt telah lama dihubungkan kepada

rangkaian, respons alami telah lenyap sama sekali. Kita mencari respons paksaan,

atau respons keadaan tunak, dan respons ini harus memenuhi persaman diferensial

tVRidt

diL m cos

Gambar 1: Rangkaian RL seri untuk mana diinginkan respons paksaan.

Bentuk fungsi respons paksaan selanjutnya di dapat dengan integrasi dan

diferensiasi berulang-ulang dari fungsi pemaksa. Hanya dua bentuk yang berbeda

yang didapat, yakni sin ωt dan cos ωt. Maka respons paksaan harus mempunyai

bentuk umum

tItIti sincos 21

di mana I1 dan I2 adalah konstanta-konstanta riil yang nilainya tergantung pada Vm,

R, L, dan ω. Tidak boleh ada konstanta atau fungsi eksponensial. Dengan

mensubstitusikan bentuk tersebut ke dalam persamaan diferensial menghasilkan

tVtItIRtItIL m cos)sincos()cossin( 2121

Jika kita mengumpulkan suku-suku cosinus dan sinus, maka kita dapatkan

0cos)(sin)( 1221 tVRILItRILI m

Persamaan ini harus benar untuk semua harga t, dan hanya dapat dicapai jika faktor-

faktor yang mengalikan cos ωt dan sin ωt masing-masing adalah nol. Jadi

021 RILI 012 mVRILI

i

L

R

υS(t) = Vm cos ωt + ~ -

akan tetapi, rumus di atas agak janggal, dan gambaran yang lebih jelas dari respons

bisa didapat dengan menyatakan respons sebagai sinusoida atau cosinusoida

tunggal dengan sebuah sudut fase.

)cos()( tAti (2)

setidak-tidaknya ada dua metode untuk mendapatkan harga-harga A dan θ. Kita

dapat mensubstitusikan (2) langsung ke dalam persamaan diferensial semula, atau

kita dapat saja menyamakan kedua penyelesaian (1) dan (2). Kita pilih dengan

menyamakan (1) dan (2) setelah meguraikan A cos (ωt – θ),

tLR

LVt

LR

RVtAtA mm

sincossinsincoscos

222222

Jadi, dengan mengumpulkan dan membuat lagi koefisien-koefisien cos ωt sama

dengan nol, maka kita dapatkan

222cos

LR

RVA m

dan

222sin

LR

LVA m

Untuk mendapatkan A dan θ, maka kita bagi yang satu dengan yang lain,

R

L

A

A

tancos

sin

dan juga kita kuadratkan kedua persamaan dan tambahkan hasil-hasil tersebut,

222

2

2222

222

2222

2222222

)()(sincos

LR

V

LR

VL

LR

VRAAA mmm

Maka,

R

L 1tan

dan 222 LR

VA m

Bentuk alternatif dari respons paksaan menjadi

R

Lt

LR

Vti m

1

222tancos)( (3)

Sifat listrik respons i(t) harus ditinjau sekarang. Amplitudo respons adalah sebanding dengan amplitudo fungsi pemaksa; jika tidak, konsep linear tidak dapat dipakai. Amplitudo respons juga berkurang jika R, L atau ω bertambah, tetapi tidak menurut perbandingan lurus. Hal ini dipastikan oleh persamaan diferensial, karena penambahan di dalam R, L atau di/dt memerlukan penurunan amplitudo arus jika amplitudo tegangan sumber tidak berubah. Arus akan kelihatan terbelakang terhadap tegangan yang diberikan dengan tan-1(ωL/R), sebuah sudut di antara 0 dan

90º. Bila ω = 0 atau L = 0, arus harus sefase dengan tegangan; karena situasi

terdahulu (ω = 0) adalah arus searah dan yang terakhir memberikan rangkaian

penahan, maka hasil tersebut sudah diharapkan. Jika R = 0, arus terbelakang dari

tegangan dengan 90º, maka vs = L(di/dt), dan relasi integral-turunan di antara sinus

dan cosinus menunjukkan berlakunya perbedaan fase 90º. Dalam induktor sendiri,

arus terbelakang dari tegangan dengan 90º, jika konvensi tanda pasif dipenuhi.

Dengan cara yang sama kita dapat memperlihatkan bahwa arus yang melalui

sebuah kapasitor mendahului tegangan dengan 90º.

Tegangan yang digunakan dan arus yang dihasilkan keduanya digambarkan

pada sumbu ωt yang sama dalam Gambar 2 dengan koordinat arus dan tegangan.

Jelaslah sekarang bahwa arus menyusul di belakang tegangan di dalam rangkaian

RL sederhana ini. Kelak kita akan mampu memperlihatkan dengan mudah bahwa

hubungan fase ini didapat pada masukan setiap rangkaian yang dibuat hanya dari

induktor dan tahanan.

Gambar 2: Fungsi pemaksa sinusoida yang digunakan

(berwarna) dan respons arus sinusoida yang dihasilkan

(hitam) rangkaian RL seri yang diperlihatkan dalam Gambar 1.

θ

0

υ,i

υ(t)

i(t)

π 2π

ωt

DAYA RATA2 DAN RMS

Daftar pustaka• http://teorikuliah.blogspot.com/2009/07/definisi-dan-satuan_31.html• http://teorikuliah.blogspot.com/search?q=hukum+eksperimental&x=0

&y=0• http://

teorikuliah.blogspot.com/2009/07/rangkaian-sederhana-bagian-ke-2.html

• http://teorikuliah.blogspot.com/2009/07/menganalisis-rangkaian-lanjutan.html

• http://teorikuliah.blogspot.com/2009/07/rangkaian-sederhana-bagian-ke-2.html

• http://www.google.co.id/search?q=fungsi+pemaksa+sinusoida&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:en-US:official&client=firefox-a#hl=id&client=firefox-a&hs=ib1&rls=org.mozilla:en-US%3Aofficial&sclient=psy-ab&q=fungsi+pemaksa+sinusoida&oq=fungsi+pemaksa+sinusoida&gs_l=serp.3...37682.37682.1.37960.1.1.0.0.0.0.0.0..0.0...0.0.CsxPA6kFapY&pbx=1&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.r_qf.,cf.osb&fp=d9fc77ef60d7bc93&biw=1015&bih=614