Estatística Descritiva - parte 1 (ISMT)

CET – Curso de Especialização Tecnológica

Ano Lectivo 2009/2010

Métodos Computacionais e Estatísticos

Professor: João Leal

www.joaoleal.net Professor: João José Leal 2

1. Estatística Descritiva


Estatística: É um ramo da Matemática que nos

ajuda a recolher, a organizar e a interpretar dados

que através da utilização de métodos e técnicas

permitem-nos classificar os dados recolhidos e

reunir informações de modo a destacar o que é mais

importante.


A Estatística, enquanto conjunto de métodos e técnicas

próprios para recolher, classificar (tratar), apresentar e interpretar

os dados, organiza-se em dois sub-conjuntos: a Estatística

Descritiva e a Estatística Analítica.

A Estatística Descritiva éé oo ssub-conjunto da estatística que

se ocupa indistintamente de um universo ou de uma amostra, com

o intuito de os descrever, ou seja, dedica-se apenas à classificação

(tratamento), representação e redução de dados, podendo

compreender a análise dos mesmos, sempre que as conclusões não

respeitem a um conjunto maior do que o observado.


Portanto, quando se torna necessário manusear e organizar

dados para os transformar em informação, é na Estatística

Descritiva que buscamos os métodos e as técnicas para realizar

essas actividades.


Rotina de Abordagem da Fase Descritiva

1. Determinar a natureza da informação desejada para os fins que

se têm em vista;

2. Indagar se os dados já publicados - pelos serviços oficiais de

estatística ou outras entidades – contêm elementos de interesse:

Conhecer as principais fontes de dados estatísticos;

3. Citar as fontes a que se recorreu. Procurar as fontes originais,

tentando saber como foram apurados os dados e que fim

presidiu à sua recolha;


4. Se os dados pretendidos não estiverem disponíveis, há que

proceder à sua recolha, que terá um objectivo e um âmbito. Há

ainda a considerar a definição do:

– PLANO DE RECOLHA DOS DADOS: dados necessários e

suficientes e meios para os obter

– PROCESSO DE RECOLHA DOS DADOS• Inquéritos exaustivos ou censos

• Inquéritos ou indagações parciais• Sondagens ou inquéritos por amostragem

– MODO DE RECOLHA DOS DADOS

• Contínuo

• Periódico

• Ocasional


5. Obtidas as respostas, há que fazer a análise crítica dos dados,

verificando a verosimilhança das respostas e as suas falhas

(censura das respostas), eliminando as contraditórias ou

inexactas

6. Finalmente, há que tratar os dados (classificação) com vista à

sua representação: Quadros, Gráficos, Redução de Dados


População/ Universo: Conjunto de todos os elementos

que vão ser objecto de estudo ou análise, que têm pelo

menos uma característica em comum.

Exemplo: Os alunos da Escola X.


Amostra: É um subconjunto finito da população que se

supõe representativo desta. Ou seja, na impossibilidade

de se estudar todos os elementos da população efectua-

se um subconjunto finito da população.

Exemplo: Os alunos de uma determinada turma da

Escola X.

Unidade Estatística: É cada elemento da população ou

da amostra.


Exercícios:

1. Para estimar a audiência de cada um dos quatro canais de

televisão, realizou-se um estudo a partir de 1000 famílias

portuguesas. Relativamente ao estudo indique:

a) a população;

b) a amostra;

c) a unidade estatística.


2. De entre os 3000 alunos de uma escola seleccionaram-se 60 e

inquiriram-se sobre o programa de televisão preferido.

Os resultados obtidos de dados, indique:

a) a população;

b) a amostra;

c) a unidade estatística.


Censos ou Recenseamento: Num censo ou recenseamento são

observados todos os indivíduos da população relativamente aos

diferentes atributos que estão a ser objecto do estudo estatístico.

Sondagens: Numa sondagem, o estudo estatístico baseia-se numa

parte da população, isto é, numa amostra que deve ser representativa

dessa população.

Caracter (ou atributos ou variável): É um modo pelo qual eu vou

estudar a minha população, isto é, segundo uma determinada

característica.

Exemplo: Relativamente aos elementos de uma família, podemos observar: a altura; a

cor dos olhos; o sexo; a idade (em anos); etc.


AtributosAtributos ouou característicascaracterísticas dede umauma populaçãopopulação

ÉÉ oo queque sese pretendepretende conhecerconhecer quandoquando sese estudaestuda umauma

populaçãopopulação.. PodemPodem serser::

••QualitativosQualitativos:: São aquelas que estão relacionadas com uma qualidade e se

apresentam com várias modalidades. Ou seja, não é possível a sua mensuração,

não é possível traduzi-los em números. Exemplo: O sexo (masculino, feminino); Cor

dos olhos (castanhos, verdes, azuis).

••QuantitativosQuantitativos:: São aquelas a que é possível atribuir uma medida e

apresentam-se com diferentes intensidades ou valores. Isto é, são mensuráveis e

podem ser traduzidos por números. Exemplo: A altura; a idade (em anos).


DadosDados

Os dados quantitativos de um atributo ou característica Os dados quantitativos de um atributo ou característica

podem ser discretos ou contínuos.podem ser discretos ou contínuos.

•• DiscretosDiscretos se tomam um número finito ou infinito se tomam um número finito ou infinito

numerável de valores.numerável de valores.

•• ContínuosContínuos se tomam um número infinito se tomam um número infinito nãonão--

numerávelnumerável de valores.de valores.


VariávelVariável

É um símbolo que representa determinado atributo ou É um símbolo que representa determinado atributo ou

característica de uma população.característica de uma população.

Pode ser:Pode ser:

-- discretadiscreta

-- contínuacontínua


ProporçãoProporção

Permite avaliar o peso relativo de uma parte em relação a

um todo, e obtém-se através do quociente da parte pelo

todo.

Ex:

RelaçãoRelação entreentre desempregadosdesempregados ee populaçãopopulação activaactiva;; proporçãoproporção dede

observaçõesobservações comcom umum determinadodeterminado valorvalor dada característicacaracterística

analisadaanalisada ee oo totaltotal dede observaçõesobservações realizadasrealizadas.


PercentagemPercentagem

Proporção, multiplicada por 100.

Ex:

A percentagem de desempregados é de 6,4%, ou seja, em 100

pessoas activas há 6,4 no desemprego.


TaxaTaxaPercentagemPercentagem

ExEx::TaxaTaxa dede desempregodesemprego éé dede 66,,44%%.. TraduzTraduz oo pesopeso dada populaçãopopulaçãodesempregadadesempregada sobresobre oo totaltotal dada populaçãopopulação activaactiva;; taxataxa dedeabstençãoabstenção foifoi dede 2121,,33 %%..

TaxaTaxa dede variaçãovariaçãoComparaCompara doisdois valoresvalores dada mesmamesma variávelvariável.. TraduzTraduz oo acréscimoacréscimoouou oo decréscimodecréscimo verificadoverificado relativamenterelativamente aa umauma variávelvariável..

Ex:Ex:A Taxa de variação mensal compara o nível de variação da variável A Taxa de variação mensal compara o nível de variação da variável entre dois meses consecutivos.entre dois meses consecutivos.


EmEm resultadoresultado dada observaçãoobservação (em(em sentidosentido amplo,amplo,

sejaseja porpor visualização,visualização, medição,medição, inquirição,inquirição, etcetc..)) dasdas

unidadesunidades estatísticasestatísticas queque constituemconstituem osos conjuntosconjuntos alvosalvos

dada nossanossa atenção/interesse,atenção/interesse, osos correspondentescorrespondentes dadosdados

queque sese obtêmobtêm vêmvêm ““a granel””:: rolrol dede dadosdados..


Exemplo 1: Relativamente a 50 motoristas que trabalham numaempresa de transportes, observou-se a quantidade de acidentessofridos em serviço, donde se obtiveram os seguintes dados:

Estes dados apenas foram inscritos e listados pela ordem em

que foram sendo recolhidos, não tendo havido ainda qualquer

preocupação de representação, visando a facilitação da apreensão

das características do conjunto a que os dados se referem.


Todavia, se tomarmos os dados anteriores e os tratarmos, poderemosapresentá-los de uma forma muito mais “apelativa” e susceptível de permitira quem os aprecie uma percepção mais fácil das características do conjuntoa que respeitam

Atributo alvo da observação realizada sobre o conjunto dos

motoristas

Modalidades numéricas (valores) assumidas pelo

atributoVariável DISCRETA

Qtd. de repetições Qtd. de repetições de cada de cada

modalidade do modalidade do atributo: atributo:

frequências frequências absolutas simplesabsolutas simples

Proporção de Proporção de repetições de cada repetições de cada

modalidade do modalidade do atributoatributo: : frequências frequências

relativas simplesrelativas simples

Frequências Absolutas

Acumuladas

Frequências Frequências Relativas Relativas

AcumuladasAcumuladas


AA umum conjuntoconjunto dede elementoselementos comocomo osos queque sese identificaramidentificaram nono quadroquadro

anterior,anterior, chamachama--sese DistribuiçãoDistribuição dede FrequênciasFrequências..

Ou seja, uma Distribuição de Frequências é uma associação de 1

atributo (ou mais), e o respectivo campo de variação, com as suas

frequências e os respectivos campos de frequências.

Se estamos a trabalhar apenas com 1 atributo, a distribuição diz-se

unidimensional. Se forem 2 atributos, será bidimensional; se forem

N, será N-dimensional.


Distribuição de Frequências de acidentes sofridos por 50 motoristas

Neste caso estamos a trabalhar apenas com 1 atributo, a

distribuição diz-se unidimensional.


O quadro estatístico é uma forma possível de representação

da distribuição de frequências, mas não é a única!

0 1 2 3

44

2020

1111

1515

Quant. Acid. Sofridos

Freq. Absoluta

Temos assim os gráficos de frequências absolutas simples e

absolutas acumuladas.

0 1 2 3

2020

5050

3535

4646


Freq. Absoluta


As frequências relativas são representadas com os

mesmos tipos de gráficos mas utilizando uma escala de

valores relativos no eixo das ordenadas

Na representação de dados que acabámos de

apreciar, o quadro e os gráficos estatísticos são típicos do

tratamento de uma variável discreta.


Exemplo 2: Uma fábrica de parafusos pretende analisar a qualidade

da produção de uma determinada máquina e seleccionou uma

amostra de 100 parafusos produzidos por essa máquina, tendo

procedido à medição dos respectivos comprimentos, em milímetros,

donde obteve o seguinte rol de dados:


Atributo Analisado:

Tipo de Variável:

Comprimento (em mm)

Variável Contínua

Modo de Representação:

Em Classes de Valores


Distribuição de Frequências dos comprimentos (em mm)de 100 parafusos produzidos por uma determinada máquina

Frequências Relativas Acumuladas

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

-1,00 0,

009,

009,

209,

409,

609,

8010

,0010

,2010

,4010

,6010

,8011

,0011

,2011

,40

Comprimentos (em mm)

Fre

qu

ênci

as

09,0

0

09,2

0

09,4

0

09,6

0

09,8

0

10,0

0

10,2

0

10,4

0

10,6

0

10,8

0

11,0

0

Comprimentos(em mm)

50

100

120

Freq

. / A

mpl

.Cla

sse

0488 7 9 9 19 23 9 4

Frequências Absolutas Simples


As medidas de estatística descritiva permitem:

representar um conjunto de dados de forma

resumida (Redução de Dados);

a comparação de diferentes distribuições.

As medidas descritivas designam-se por:

parâmetros (população)

estatísticas (amostra)


As medidas descritivas dividem-se em:

Medidas de localização

Medidas de dispersão

Medidas de assimetria

Medidas de achatamento

Medidas de concentração


Medidas de tendência centralMédias:aritmética

geométricaharmónica

MedianaModa

Medidas de tendência não centralQuantis:Quartis

Quintis…Decis…Centis…Milis


Fórmulas de cálculo:

xk : Dados observados (k = 1, 2, 3, …, N)N : Quantidade de observaçõesm : Quantidade de diferentes valores observadosni : Frequência absoluta de cada valor observado xi

fi : Frequência relativa de cada valor observado xi

A média aritmética ( ) é a soma de todos os valores observados, dividida

pela quantidade de observações.

x

Dados Não Classificados :

Dados Classificados :

Sendo,

N

x

N

x...xxx

N

1kk

N21

==+++

=

N

ni xi

N

n1 x1 + n2 x2 + … + nm xmx

m

1i

=== =

fi xi

m

1i

=

=


Exemplo 3: Relativamente a 50 motoristas que trabalham numa empresa de

transportes, observou-se a quantidade de acidentes sofridos em serviço…


O valor da média aritmética não tem,

necessariamente, que ser algum dos valores

observados, mas tem de estar compreendido no

intervalo dos valores observados!

A média aritmética, corresponde ao valor que,

para o mesmo total do valor de todas as observações,

cada uma teria, se todas tivessem igual valor.


Exemplo 4: Uma fábrica de parafusos seleccionou uma amostra de 100 parafusos

produzidos por uma máquina, tendo procedido à medição dos respectivos

comprimentos, em milímetros …


Se já não tivermos acesso ao rol de dados, e estes estiverem

agrupados em classes, não podemos saber com rigor quais os

valores observados em cada classe. Nestas circunstâncias, a média

aritmética calcula-se por aproximação, estabelecendo a hipótese de

o valor de cada observação dentro da mesma classe ter valor igual

ao ponto central dessa classe (hipótese de tabulagem). À diferença

entre o verdadeiro valor da média aritmética (apurado a partir dos

dados das observações) e o valor da média aritmética que é apurado

desta forma, chama-se erro de tabulagem.


A média geométrica (Mg) de N números positivos é a raiz de índice N do

produto desses números.



Sendo,

Fórmulas de cálculo



NN xkMg =

==N

k 1

x1 . x2 … xN

NN xkMg =

==m

k 1

x1 . x2 … xmn1 n2 nm

nk


Exemplo 5: Num determinado momento um indivíduo investiu

10.000 € numa aplicação financeira e manteve esse investimento

durante 3 anos, ao longo dos quais obteve diferentes taxas de

rentabilidade anuais, conforme exposto no quadro seguinte:


Pretende calcular-se qual foi a taxa média anual de rentabilidade

que o indivíduo obteve, durante os 3 anos, com este investimento.


A média harmónica ( Mh ) é o inverso da média aritmética dosinversos dos valores observados.



Sendo,

Fórmulas de cálculo



=

= N

1kxkN

11

Mh

. 1

==

== m

1i

m

1i

fi

1

N

1

1Mh

. xi

ni

xi


Exemplo 6: Em cada um de 3 anos, um indivíduo gastou 1000 € na

compra de um certo produto, nas condições descritas no quadro

seguinte:

Pretende calcular-se as médias por ano de cada uma das grandezas

envolvidas nesta questão: Gasto, Quantidade comprada e Preço.



A mediana (Me) é o valor da variável que ocupa a posição central

na sucessão de observações ou na distribuição de frequências

depois de se colocar os dados por ordem.

Para observações de variável discreta, temos de verificar

previamente se a quantidade de observações é par ou ímpar:

* Se N for ímpar, então: Me será o elemento central de ordem [(N+1) / 2]

* Se N for par, então: Me será a média aritmética entre os elementos

centrais (de ordem N/2 e de [(N+2)/2] )


Porém, dado que já aprendemos a representar distribuições

de frequências de variável discreta, também podemos apurar o valor

da mediana com recurso às respectivas funções cumulativas de

frequências acumuladas.

No caso de variável discreta, o valor da mediana será o valor

da variável que satisfaça simultaneamente as seguintes

desigualdades:F(Me – ε ) ≤ 0,5 F(Me) ≥ 0,5


Exemplo 7: Cálculo da Mediana Cálculo da Mediana (variável discreta)(variável discreta)

Distribuição de Frequências de acidentessofridos por 50 motoristas

0 1 2 3

0,400,40

11

0,700,70

0,920,92


Freq. Relativa Acum.

Temos uma quantidade par de observações: 50

Ordenando as 50 observações, verifica-seque a 25ª. e a 26ª. observações têm ovalor 1, pelo que Me = 1

Para x = 1, vem:

F(1 – ε ) = 0,4 e F(1) = 0,7

Pelo que Me = 1


Para valores de variável contínua, agrupados em classes, o

cálculo da mediana faz-se do seguinte modo:

1.º - Calcula-se a ordem N/2.

2.º- Pelas frequências acumuladas identifica-se a classe que

contém a mediana e que será a classe mediana.

3.º - Calcula-se o valor exacto através de uma das seguintes

fórmulas:


Frequências absolutas

Frequências relativas

Com


Porém, dado que já aprendemos a representar distribuições

de frequências de variável contínua, também podemos apurar o

valor da mediana com recurso às respectivas funções cumulativas

de frequências acumuladas.

No caso de variável contínua, o valor da mediana será o valor

da variável que satisfaça a seguinte igualdade da função cumulativa

de frequências relativas:

F(Me) = 0,5


Distribuição de Frequências dos comprimentos (em mm)de 100 parafusos produzidos por uma determinada máquina

Exemplo 8:

Frequências Relativas Acumuladas

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

-1,00 0,

009,

009,

209,

409,

609,

8010

,0010

,2010

,4010

,6010

,8011

,0011

,2011

,40

Comprimentos (em mm)

Fre

qu

ênci

as

AB

CDE


Exemplo 9: Cálculo da Mediana Cálculo da Mediana (variável contínua)(variável contínua)

AB

C

DE

0,50

1.º N/2 = 25

2.º A classe mediana é a de [55 – 65[

3.º Fórmula 1:

Fórmula 2:


A moda (Mo) é a modalidade ou o valor do atributo mais frequente

na distribuição, isto é, o que mais observações apresenta.

Para distribuições de frequências de atributo qualitativo, ou

de atributo quantitativo de variável discreta, a moda encontra-se

por observação directa !

Para variáveis contínuas, é necessário identificar a classe

modal e depois aplicar alguma fórmula, como por exemplo, a

fórmula de King:


Frequências absolutas

Frequências relativas

Com


Outra fórmula empírica de localizar a moda (Mo) a partir da

identificação da classe modal, baseia-se na relação de

proporcionalidade de dois triângulos, conforme exemplificado na

imagem seguinte:

A B C

D

E

F

G

MoliMo LiMo

ClasseModal

nMo

nMo-1

nMo+1

AB = Mo - liMo

BC = LiMo - Mo

DE = nMo – nMo-1

FG = nMo – nMo+1

AB

BC

DE

FG

=

com


O apuramento do valor da moda pela fórmula de

King ou pela proporcionalidade dos triângulos

desenhados no interior da classe modal não tem que

dar exactamente o mesmo resultado, mas dá resultados

aproximados!


1.º Classe modal é a de [55 – 65[

2.ºFórmula 1:

Fórmula 2:

Fórmula de King: Proporcionalidade dos triângulos:

0,6

0,4

Mo - 55

65 - Mo=

Mo = 61

Exemplo 10: Classes ni Ni fi Fi

35 - 45 5 5 0,10 0,1045 - 55 10 15 0,20 0,3055 - 65 16 31 0,32 0,6265 - 75 12 43 0,24 0,8675 - 85 4 47 0,08 0,9485 - 95 3 50 0,06 1,00

50 1Cálculo da Moda

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