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Dérivée des fonctions
trigonométriques
Larry Gingras, professeur
Adapté par Jacques Paradis, professeur
2Département de mathématiques
Plan de la rencontre
Angles – Rappel
Définition des fonctions sinus et cosinus
Identités trigonométriques
Autres fonctions trigonométriques et
trigonométrie du triangle rectangle
Dérivée des fonctions sinus et cosinus
Dérivée des fns tangente et cotangente
Dérivé des fns sécante et cosécante
Applications aux taux liés
Angle se calcule en degré ou en radian :
1 radian = longueur du rayon
2 radians = 360° et radians = 180°
Exemples :
/6 = ?°; /3 = ?°; 45° = ? rad; 90 ° = ?
Signe d’un angle :
Angle positif : sens anti-horaire
Angle négatif : sens horaire
Remarque : les formules de dérivation des fonctions
trigonométriques ne sont valables que pour des angles mesurés
en radians.
Angles (rappel)
3Département de mathématiques
-
4Département de mathématiques
Fonctions sinus et cosinus Soit le cercle trigonométrique, cercle de rayon
égal à 1 et centré à l’origine du plan cartésien:
Sinus = sin = ordonnée du point P : y
Cosinus = cos = abscisse du point P : x
Exemples :
sin0= 0
cos0 = 1
sin(/2) = 1
cos(/2) = 0
sin(/6) = ?
cos((/3) = ?
P
(1 , 0)
(0 , 1)
5Département de mathématiques
Identités trigonométriques
sin2𝜃 + cos2𝜃 = 1
tan2𝜃 + 1 = sec2𝜃
1 + cot2𝜃 = cosec2𝜃
cos 𝜃 = sin(/2 - 𝜃 )
sin 𝜃 = cos(/2 - 𝜃 )
sin(𝜃 ± 𝜑) = sin(𝜃)cos(𝜑) ± cos(𝜃)sin(𝜑)
)cos(𝜃 ± 𝜑) = cos(𝜃)cos(𝜑) ∓ sin(𝜃)sin(𝜑
(a , b)
(b , a)
(/2) –
Tangente, cotangente, sécante et cosécante
Trigonométrie du triangle rectangle :
6Département de mathématiques
Autres fonctions trigonométriques
sintan
cos
coscot
sin
1sec
cos
1csc
sin
coté opposé asin
hypoténuse c
coté opposé atan
coté adjacent b
coté adjacent bcos
hypoténuse c
b
ac
7Département de mathématiques
Moyen mnémotechnique
S inus
O pposé
H ypothénuse
C osinus
A djacent
H ypothénuse
T angente
O pposé
A djacent
opphyp
adj
8Département de mathématiques
Moyen mnémotechnique
Sinus
Cosécante
cosec x = 1/sin x
9Département de mathématiques
Limites (1de 2)
10
x
x
x
)sin(lim
0
tan 3lim ?
2x
x
x
10Département de mathématiques
Limites (2de 2)
01
0
x
x
x
)cos(lim
11Département de mathématiques
Dérivée de la fonction sinus
xxdx
dcossin
-
12Département de mathématiques
Démonstration
h
xhxx
dx
d
h
)sin()sin(limsin
0
h
xhxhx
h
)sin(sincoscossinlim
0
h
hx
h
xhx
h
sincos)sin(cossinlim
0
h
hx
h
hx
hh
sincoslim
cossinlim
00
1
0 0
cos 1 sinsin coslim lim
h h
h hx x
h h
10 xx cossin xcos
[sin f (x)] [cosf (x)] f (x) ' '
13Département de mathématiques
Dérivée de la fonction cosinus
xxdx
dsincos
/2-/2
14Département de mathématiques
Démonstration
cos( x) x '2 2
cos( x) ( 1)2
d dcosx sin( x)
2dx dx
cos( x)2
sinx
(a , b)
(b , a)
x
(/2) – x
15Département de mathématiques
Sinus et cosinus
-
/2-/2
On peut voir que la
variation de la pente
de la tangente de la
fonction sinus
correspond bien à la
fonction cosinus
16Département de mathématiques
Dérivée de tan x et cot x
-/2-/2
xxdx
d 2sectan xxdx
d 2csccot
x
xx
cos
sintan
x
xx
sin
coscot
17Département de mathématiques
Démonstration
2x
xxxx
x
x
dx
dx
dx
d
cos
'cossincos'sin
cos
sintan
Rem: La démonstration pour cot x se fait de façon similaire
x
xxxx2cos
sinsincoscos
xx
xx22
22 1
coscos
sincos
21
xcos
2sec x
18Département de mathématiques
-/2-/2
Dérivée de sec x et csc x
xx
cossec
1
xx
sincsc
1
xxxdx
dtansecsec xxx
dx
dcotcsccsc
19Département de mathématiques
Démonstration
xdx
d
xxdx
dx
dx
dcos
coscossec
2
11
Rem: La démonstration pour csc x se fait de façon similaire
xx
sincos
2
1
x
x
x cos
sin
cos
1
xx tansec
20Département de mathématiques
Résumé
d
sinf(x) cosf(x) f '(x)dx
d
cosf(x) sinf(x) f '(x)dx
2d
tanf(x) sec f(x) f '(x)dx
2d
cot f(x) csc f(x) f '(x)dx
d
sec f(x) sec f(x)tanf(x) f '(x)dx
d
csc f(x) csc f(x)cot f(x) f '(x)dx
21Département de mathématiques
Exemples : Trouver la dérivée de :
1)
2)
3)
3( ) tan 4f x x
xxxf cotcos)( 1
x
xxy
sec
sin
22Département de mathématiques
Exercices
Calculer f’(x) si
a) f(x) = sinx3
b) f(x) = sin3x
c) f(x) = sin(x2 + 2)5 cosx
d)
e)
Remarque : sin3x n’est pas le produit de 2 fonctions.
2
cos2xf(x)
sin (x 1)
3 4x y tany sec3x
23Département de mathématiques
Application aux taux liés (exemple)
Un homme est assis au bout d’un quai situé 5
m au-dessus du niveau de l’eau. À l’aide d’une
câble attaché à sa chaloupe, il ramène celle-ci
vers le quai. S’il tire le câble à une vitesse de 2
m/s, à quel taux varie l’angle entre le câble et
la surface de l’eau quand la longueur du câble
entre l’homme et la chaloupe est de 10 m?
5 mz
24Département de mathématiques
Application aux taux liés (exercice)
Une échelle de 6 m de longueur est appuyée
contre un mur. Le pied de l’échelle s’éloigne du
mur à la vitesse de 0,5 m/s. Donner le taux de
variation par rapport au temps t de l’angle
formé par le haut de l’échelle et le mur lorsque
le pied de l’échelle est à 3 m du mur.
6 m
x
25Département de mathématiques
Devoir Test préliminaire, page 359, partie A : nos 1(e, f, g),
2, 3, 4 et 6, partie B : nos 1 et 4a.
Exercice 9.1, page 366, nos 1, 2, 3 et 6.
Exercice 9.2, page 372, nos 1, 2, 3, 4a, 4b, 5a et 5b.
Exercice 9.3, page 380, nos 8, 9a et 9b.
Exercices récapitulatifs, page 383, no11(remarque: 18 km/h = 5 m/s et tan = x/20 où x : distance parcourue par le train) et 13, 18a,18b et 18c (i).
Réponses : 11b) 0,001 rad/s et 11c) 1/104 rad/s
18a) 13+5sin, 18b) 20cos m/min, 18c) i) h= 18 m et v = 20 m/min.
26Département de mathématiques
Exemple 1
3( ) tan 4f x x
3( ) (tan 4 )f x x
2 2'( ) 3(tan 4 ) (sec 4 ) 4 f x x x
2 2'( ) 12 tan 4 sec 4f x x x
27Département de mathématiques
Exemple 2
xxxf cotcos)( 1
'cotcoscot'cos)(' xxxxxf 11
xxxxxf 210 csccoscotsin)('
x
xxx
x
xxxf
2
2
2
11
sin
cossincos
sin
coscos)('
2
cos 1'( ) sin cos 1
sin sin
xf x x x
x x
28Département de mathématiques
Exemple 3
x
xxy
sec
sin 2x
xxxxxx
dx
dy
sec
'secsinsec'sin
x
xxxxxxxxx2sec
tansecsinsec)'(sinsin)'(
x
xxxxxxxx2
1
sec
tansecsinsec)(cossin
2
sec sinsin cos sin
sec cos
sincos sin cos sin
cos
x xx x x x x
x x
xx x x x x x
x
xxxxxx 22 sincoscossin