Fondazione point-free della matematicauna introduzione al ragionamento senza punti

Dr M Benini

DiSTAUniversità degli Studi dell’Insubria

19 aprile 2013

Introduzione

In questo seminario si vuole introdurre una possibilità alternativa nelconcepire la fondazione della matematica, usando un insieme di idee chetraggono ispirazione dai recenti sviluppi nella topologia formale.

■ Una breve introduzione alla fondazione della matematica■ L’idea della topologia formale■ Una fondazione ‘priva di punti’■ Qualche spunto di discussione

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Fondazione della matematica

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Fondazione della matematica

Nella metà del ’800, a seguito della scoperta delle geometrie non-euclidee, econ lo sviluppo di alcuni esempi di funzione apparentemente paradossalinell’ambito dell’analisi matematica, ci si pose la domanda:

La matematica è corretta?

Non viene richiesto se un risultato è corretto, o se una teoria abbia senso,ma se tutto l’edificio della matematica, nel suo complesso, sia dotato disignificato coerente.In particolare, si inizia a chiedersi se sia possibile ridurre tutta la matematicaad un principio primo, ad una teoria universale che permetta di descriverlatutta e di ridurne tutte le questioni in un ambito comune.

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Frege

Il primo tentativo di fornire una fondazione alla matematica fu fatto daGottlob Frege.

Basandosi sulla logica classica e sulla teoriadegli insiemi, e utilizzando per primo unaconsistente forma di quantificazione, riuscì ainiziare l’opera di riduzione della matematica,in particolare dell’aritmetica, alla pura logica.Tuttavia, il suo lavoro, per quantointeressante, risulta oggi fuori dal tempo, siaper l’uso ‘ingenuo’ della teoria degli insiemi,sia per l’adozione di una notazione veramentecomplessa e poco agile.

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Russell

Il lavoro di Frege fu stroncato da BertrandRussell, il quale, con il suo famoso paradosso,fece vedere come la teoria degli insiemiutilizzata da Frege fosse contraddittoria,rendendo la sua fondazione vacua.

Russell, con il collega Whitehead, si proposedi ripensare il progetto di Frege eliminando ilproblema creato dal proprio paradosso.Questo lavoro, immenso e complesso, ècontenuto nei Principia Mathematica.In esso, attraverso una stratificazione degli insiemi, e un uso più agile dellalogica, il paradosso viene evitato e gran parte della matematica correnteviene effettivamente formalizzata.Tuttavia, i Principia risultano di notazione piuttosto pesante e lastratificazione degli insiemi è anti-intuitiva e di difficile utilizzo.

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Hilbert

Altri matematici si occuparono di fondazione, con ispirazioni differenti. Adesempio, David Hilbert introdusse il suo programma, in cui chiariva in checosa dovesse consistere una fondazione accettabile.

■ Linguaggio: un formalismo dotato di uninsieme prefissato di regole, che permettadi esprimere tutta la matematica

■ Completezza: una prova che tutti i fattiveri possano essere dimostrati

■ Consistenza: una prova ‘finitistica’ che ilsistema sia non contraddittorio

■ Decidibilità: un algoritmo che, presa unaaffermazione matematica, stabilisca seessa sia vera o falsa

■ Conservazione: una prova che ogni risultato riguardante ‘oggetti reali’ottenuto usando ‘oggetti ideali’, possa essere riformulato senza il ricorsoad essi

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Brouwer

Nello stesso periodo, L.E.J. Brouwer mise in dubbio la validità della logicaclassica, in particolare del principio del terzo escluso, fornendo degli esempiche mettevano in crisi l’aderenza della deduzione con il senso comune.

Citando Kleene, Introduction toMetamathematics, p. 46:

. . . Brouwer, in a paper entitled “Theuntrustworthiness of the principles oflogic”, challenged the belief that the rulesof the classical logic, which have comedown to us essentially from Aristotle(384–322 B.C.) have an absolute validity,independent of the subject matter towhich they are applied”.

Nasce un differente tipo di logica: la logica intuizionista, che si riferisceidealmente al ragionamento come inteso da Brouwer.

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Gödel

Nel 1929, Kurt Gödel dimostrò che la logicaclassica al primo ordine era completa. Nel1931, egli dimostrò che l’aritmetica di Peanoera incompleta così come ogni sistemaformale sufficientemente potente.

Il secondo risultato, lievemente esteso daRosser, vale la pena enunciarloesplicitamente: Ogni sistema formale che sia(1) consistente, (2) effettivo, e(3) sufficientemente potente da rappresentarel’aritmetica, è necessariamente incompleto.

Il risultato di incompletezza pose fine alla ricerca sulla fondazione dellamatematica, così come concepita fino ad allora, in quanto impossibile darealizzare.

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Fondazione della matematica

Tuttavia, il filone di ricerca sui fondamenti non si è esaurito. Anzi, il risultatodi Gödel ha moltiplicato gli approcci e i risultati, pur nella consapevolezzadell’impossibilità di realizzare compiutamente il progetto iniziale.

Oggi, si evidenziano tre linee principali:■ fondazione classica, basata su una formalizzazione della teoria degliinsiemi accoppiata alla logica classica. Nonostante l’incompletezza e lamancanza di decidibilità, è il contesto di riferimento per la maggioranzadei matematici.

■ fondazione categoriale, basata sulla teoria delle categorie, è il contestofavorito per accoppiare logiche non-classiche, in primis, quellaintuizionista, con opportune generalizzazioni della teoria degli insiemi. Diparticolare rilievo la teoria dei topos, che costituisce ad oggi il contestopiù usato per la ricerca matematica di punta.

■ fondazione effettiva, che usa una restrizione della teoria degli insiemi odelle categorie, accoppiata al richiedere la presenza di procedure didecisione. Sebbene il suo scopo non sia comprendere l’intero spettro dellamatematica in uso, essa enfatizza gli aspetti calcolabili e di tali si occupa.

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Fondazione categoriale

La fondazione categoriale procede dal concetto di categoria, unageneralizzazione radicale della nozione di insieme.Il mondo categoriale permette di costruire al proprio interno la logica, comedimostrato da William Lawvere.Nel mondo categoriale, esistono ‘universi’ oveè possibile modellare tutta la matematicacomune, i topos, speciali categorie chegodono di proprietà profonde di simmetria,dotate di una propria logica e di un concettodi insieme interno.In un certo senso, la fondazione categoriale èuna concezione algebrica della matematica, incui il sistema di ragionamento e larappresentazione di una teoria T vienegenerata dalla struttura algebricadell’universo, il topos, da cui osserviamo T .

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Fondazione effettiva

Un approccio fondazionale differente, ma sulla falsariga di quello categoriale,è dato dalla teoria dei tipi, che rientra tra i metodi di fondazione ‘effettivi’.Già attorno al 1935, con l’introduzione del λ-calcolo, nacque l’idea che lacomputazione fosse descrivibile in termini puramente astratti. Successivisviluppi di questa teoria, passando per l’introduzione dei tipi, portarono allascoperta che esiste una identità tra dimostrazioni nella logica intuizionista efunzioni calcolabili, espresse come λ-termini.

Estremizzando questo fatto, e definendo unateoria degli insiemi che avesse profondecaratteristiche di costruibilità, Per Martin-Löfintrodusse la teoria dei tipi che porta il suonome.Essa permette di costruire al suo interno unalogica, essenzialmente intuizionista, e generagli oggetti di cui una teoria parla, quandoquesta è sviluppata nel suo linguaggio eseguendo alcuni canoni sintattici.

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Topologia formale

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Topologia

Una delle conseguenze della scoperta dellegeometrie non-euclidee fu la questione della‘natura’ dello spazio matematico. Unarisposta venne dal lavoro di numerosimatematici, che culminò nella costruzione diuna nuova disciplina, la topologia.

Tra essi, spicca la figura di Henri Poincaré, ilprimo a formalizzare l’idea di spaziotopologico in tutta la sua generalità, nel 1894.

Uno spazio topologico è dato da una coppia ⟨S ,T ⟩, con S un insieme e Tuna topologia, ovvero una famiglia di sottoinsiemi di S tali che■ ;∈T e S ∈T■ se A,B ∈T allora anche A∩B ∈T■ se {Ai }i∈I è una famiglia di elementi di T , indicizzata da un qualcheinsieme I , allora anche

⋃i∈I Ai ∈T

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Topologia

L’idea soggiacente alla definizione è sottile: dato uno spazio topologico⟨S ,T ⟩, i sottoinsiemi in T sono detti aperti.

L’idea di spazio è quella di un insieme S di ‘punti’ i quali siano tra loroincollati opportunamente. La ‘colla’ viene descritta indirettamente dallatopologia T , elencando gli aggregati di punti, gli aperti, che lo spaziopretende siano incollati assieme.

Non tutte le aggregazioni di punti permettono di interpretare un insieme Scome uno spazio, ovvero definire i concetti e dedurre le proprietà che siamosoliti associare ad uno spazio. Gli assiomi di spazio topologico identificano inmodo semplice ed elegante quali topologie diano adito ad uno spazio aventeS come punti.

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Senza punti

Già Alfred Whitehead notò che la definizionedi topologia è indiretta, evitando una esplicitadescrizione della ‘colla’, e preferendo ilconcetto ausiliario di insieme aperto.

Introducendo un concetto lievemente piùesteso, quello di ricoprimento aperto (opencover in inglese), egli notò come la definizioneassumesse un carattere più astratto, in cuil’insieme S non aveva, di fatto, alcun ruolodiretto.

In altri termini, i ‘punti’ non sembravano indispensabili per definire lanozione di spazio topologico, che poi divenne il concetto standard di spaziodella matematica del XX secolo. Solo in applicazioni concrete e in alcuniparticolari teoremi, il ricorso ai punti sembrava essere inevitabile.

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Grothendieck

Tralasciando i numerosi sviluppi intermedi, il passo successivo verso laformalizzazione di una nozione di spazio generalizzato che non avesse i punticome concetto fondante, è stato compiuto da Alexandre Grothendieck.

Egli, definendo il concetto di topos diGrothendieck come una categoria di fasci suun sito, fornisce una nozione di spazioaltamente astratta. La nozione di fascio èdeterminata in relazione ad una opportunatopologia, che generalizza gli spazi topologiciusuali, e che non usa il concetto di punto.Vi sono varie specializzazioni dell’approccio diGrothendieck alla definizione di spazi, come,ad esempio, la nozione di locale, che sono, atutti gli effetti spazi privi di punti.

Vale la pena rammentare che i topos di Grothendieck costituiscono ancheuna classe di universi atti alla fondazione della matematica, legandointimamente la nozione di spazio al ragionamento logico-matematico.(17 of 33)

Sambin

Procedendo su una linea molto distante, il concetto di topologia formalenell’ambito costruttivo è stato introdotto da Giovanni Sambin.Basandosi sulla teoria dei tipi di Martin-Löf,egli ha avviato la propria ricerca di unatopologia costruttiva e predicativa, arrivandoa definire in modo compiuto un concetto dispazio in cui i punti, quando presenti, sonouna nozione non primitiva.Data la natura costruttiva della topologiaformale come sviluppata dalla scuola diSambin, essa presenta un caratterecomputazionale intrinseco, che la differenziaprofondamente dall’approccio categoriale.Essa si lega allo studio dei fondamenti, mostrando come lo sviluppocostruttivo della matematica fornisca una interpretazione più fine delladisciplina, suggerendo, in ultima analisi, che la preservazionedell’informazione sia quanto determina la ‘struttura’ della matematica.(18 of 33)

Topologia formale

Tra i numerosi studiosi della topologia formale contemporanea, unaposizione di spicco è occupata da Thierry Coquand.

Egli ha mostrato come numerosi risultati dellatopologia classica siano dimostrabilinell’impianto ben più debole della topologiaformale di Sambin. Inoltre, le sue tecniche diricostruzione illustrano una profondaconnessione tra la possibilità di ragionaresenza i punti, e l’esistenza di procedure dicalcolo per le entità di cui si prova l’esistenza.E’ dovuta essenzialmente al suo lavoro lachiarificazione della relazione tra i locale e letopologie formali.

Attualmente, Coquand è impegnato nello sviluppo della teoria omotopica deitipi, in collaborazione con Vladimir Voevodosky, medaglia Fields nel 2002per i contributi alla topologia algebrica.

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Fondazione point-free

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La domanda fondamentale

Riassumendo sommariamente le idee esposte finora in forma di domanda,

E’ possibile immaginare una fondazione priva di punti?

In termini concreti, possiamo pensare di dare significato alla matematica‘comune’, senza presupporre l’esistenza di un qualche universo in cuiinterpretare gli oggetti di cui intendiamo trattare in una teoria matematica?Ad esempio, è possibile dare un senso all’aritmetica prescindendodall’esistenza dei numeri interi?

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Un mondo senza punti?

Sia T una teoria, ovvero un insieme di assiomi, scritta in un linguaggiofissato L nella logica intuizionista al primo ordine.

■ se assumiamo anche che T e L siano effettivi, ci stiamo ponendo nellacondizione di considerare tutta la ‘matematica comune’

■ senza imporre ulteriori condizioni, possiamo ottenere la logica classicarichiedendo che T contenga tutte le istanze del principio del terzoescluso, e questo non modifica l’effettività di T

L’idea è fornire un mondo dove T possa essere interpretata adeguatamente eche sia ‘privo di punti’.

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Categorie logicamente distributive

Sia C una categoria e M una mappa dalle formule di L agli oggetti di C.Possiamo immaginare C come un insieme icui elementi sono chiamati oggetti; alcuni traessi denotano formule.

Inoltre, gli oggetti di C non sono isolati comein un insieme, ma sono posti in relazione dafrecce. Nel nostro caso, intuitivamente, unafreccia π : Mψ→Mφ indica una prova di φ apartire dall’assunzione ψ.Imponiamo che la coppia ⟨C,M⟩ soddisfi un insieme di condizioni. Quandoqueste condizioni sono soddisfatte diciamo che ⟨C,M⟩ è una categorialogicamente distributiva.

Il ‘mondo’ in cui andremo a interpretare T è la collezione delle categorielogicamente distributive.

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Categorie logicamente distributive

Le condizioni imposte su ⟨C,M⟩ sono:1. C ha tutti i prodotti finiti2. C ha tutti i co-prodotti finiti3. C ha esponenziazione4. C è distributiva5. le sottocategorie C∀x : s .A e C∃x : s .A hanno rispettivamente, oggetto

terminale e iniziale6. esiste un’unica freccia MA×M(∃x : s .B)→M(∃x : s .A∧B) in C∀x : s .A,

per ogni coppia di formule A e B tali che x : s 6∈FV(A)7. M(>)= 1, M(⊥)= 0, M(A∧B)=MA×MB, M(A∨B)=MA+MB,

M(A⊃B)=MBMA, M(∀x : s .A)= 1C∀x : s .A e M(∃x : s .A)= 0C∃x : s .A

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Prodotto e congiunzione

Le condizioni sono espresse nel linguaggio della teoria delle categorie erisultano piuttosto tecniche. Per fornire un’idea di come operino, forniamoun semplice esempio.

Il prodotto categoriale binario di MA e MB èdefinito come un oggetto MA×MB di C conuna coppia di frecce π1 e π2 tali che, per ognialtro oggetto simile, ovvero Γ con le frecce αe β, come in figura, esiste un’unica freccia! : Γ→MA×MB.

Seguendo l’interpretazione accennata in precedenza,■ le frecce π1 e π2 rappresentano le istanze delle regole di inferenza dieliminazione di ∧

■ la freccia ! null’altro è se non la regola di introduzione di ∧

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La quantificazione universale

L’interpretazione dei quantificatori diverge dalle linee tracciate da Lawvereed è originale. Per semplicità ci limitero a illustrare il caso di ‘per ogni’.

La sottocategoria C∀x : s .A è formata■ dagli oggetti MB con B formula tale che x : s 6∈FV(B) e che da B sipossa dimostrare A[t/x ] per ogni termine t di tipo opportuno

■ dalle frecce da M(∀x : s .A) a MB, per ogni oggetto MB dellasottocategoria

Richiedere che C∀x : s .A abbia un oggetto terminale e che esso siaM(∀x : s .A) significa dire che esiste un’unica freccia da MB a M(∀x : s .A)per ogni formula B come sopra.

Interpretando, si ottiene che le frecce da ∀x : s .A a A[t/x ] corrispondonoalle istanze della regole di eliminazione di ‘per ogni’, mentre l’unica frecciadella condizione diviene l’istanza della regola di introduzione.

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Correttezza e completezza

Diremo che una formula A è vera in ⟨C,M⟩, una categoria logicamentedistributiva, quando esiste una freccia 1→MA.

E’ possibile dimostrare che:■ per ogni teoria T , se A è dimostrabile da T , allora A è vera in ognicategoria ⟨C,M⟩ logicamente distributiva che renda veri tutti gli assiomiin T

■ per ogni teoria T , se A è vera in tutte le categorie ⟨C,M⟩ logicamentedistributive che rendano veri tutti gli assiomi in T , allora A è dimostrabileda T

In altri termini, il nostro ‘mondo’ offre una interpretazione corretta ecompleta di tutte le teorie esprimibili al primo ordine.

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Il ruolo dei termini

Come vengono interpretati i termini?

■ Le variabili determinano quali siano le sottocategorie C∀x : s .A e C∃x : s .A■ Le variabili determinano anche il modo in cui le sostituzioni possanoevere luogo

■ I termini, in combinazione con le variabili, contribuiscono all’operazionedi sostituzione, completandone la definizione

Le sostituzioni, a loro volta, hanno lo scopo di ‘legare’ opportunamente leformule nelle sottocategorie C∀x : s .A e C∃x : s .A.

E’ chiara l’ispirazione topologica della costruzione. In particolare, è evidenteche i termini non vengono interpretati in un qualche universo, e la lorofunzione è unicamente di ‘incollare’ le formule nelle sottocategorie checontrollano l’interpretazione dei quantificatori.

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Considerazioni conclusive

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Modelli di teorie inconsistenti

Ma le teorie non consistenti hanno un modello!

Si. Le teorie contradditorie hanno come modelli esattamente le categorielogicamente distributive in cui l’oggetto terminale e iniziale coincidono.Ovvero, in termini logici, i modelli di una teoria contradditoria sono quelli incui il vero e il falso sono identificati.

Incidentalmente, questi modelli rendono vera qualunque teoria sul linguaggiosu cui sono costruiti.

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Incompletezza

Quindi l’aritmetica è completa. E il teorema di Gödel?

Il primo teorema di incompletezza di Gödel continua a valere, e quindi ancheil secondo.Ma la parola ‘completo’ nel suo enunciato deve essere letta in modocorretto: esso dice che esiste almeno un enunciato che non può esseredimostrato pur essendo vero sul modello standard dei numeri naturali.Quindi, se ne deduce che esistono più modelli, e, in particolare, duecategorie logicamente distributive distinte, una nella quale esiste una freccia1→G e un’altra nella quale tale freccia è assente. Entrambe le categoriefungono da modelli per l’aritmetica.Pertanto l’enunciato G , indimostrabile, non è vero in tutti i modelli e non ènemmeno falso in tutti i modelli. Esattamente come accade nei modelliinsiemistici classici, con la semantica di Alfred Tarski. Quindi al prim’ordineè impossibile scrivere una teoria che individui esattamente i numeri naturali ele usuali operazioni aritmetiche.

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Una fondazione effettiva?

Un fatto che non si è volutamente rimarcato nella presentazione, è che, oltrea fornire una semantica per le teorie logiche al primo ordine, le categorielogicamente distributive danno anche significato al λ-calcolo associato.

Infatti, ad ogni teoria a base intuizionista, è possibile associare un ‘sistemadi calcolo’ che opera sulle dimostrazioni, normalizzandole. Non semprequesto sistema è effettivo, ma esso è sempre interpretabile in una categorialogicamente distributiva, anzi, la sua interpretazione è strettamente correlataal significato delle formule e delle prove.

Quindi, in senso lato, una fondazione basata sulle categorie logicamentedistributive è effettiva, nel limitato senso di fornire uno strumento di calcolosulle dimostrazioni che permette di dimostrare la non-contradditorietà dellateoria. E’ opportuno rimarcare che questo non è necessariamente un modo‘finitista’ di procedere.

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Conclusione

Il lavoro presentato in questo seminario è ancora in corso.Sebbene i risultati esposti siano tutti provati e verificati, la ricercanell’ambito della fondazione priva di punti è ancora alle fasi iniziali.

Ogni suggerimento, spunto o critica è benvenuta.

Per informazioni o documentazione, scrivete a

marco.benini@uninsubria.it

CC© BY:© $\© C© Marco Benini 2013

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