Fracción ParcialEl método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

Características

Para mayor claridad, sea:

en donde:  . Para reducir la expresión a fracciones parciales se debe expresar la función   de la forma:

o

es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos.

Casos

Se distinguen 4 casos:

Factores lineales distintos

Donde ningún par de factores es idéntico.

Donde   son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

[editar]Factores lineales repetidos

Donde los pares de factores son idénticos.

Donde   son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos distintos

Donde ningún par de factores es idéntico.

Donde   son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos repetidos

Donde   son constantes a determinar, y ningún denominador se anula..

Observación: Es posible construir ejemplos que combinan los cuatro casos anteriores.

Cómputo de las constantes

Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente fórmula:

en donde 

Para los otros casos no existe una formulación específica. Sin embargo, estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una de las  , la resolución del sistema proporciona los valores de los  .

Introducción a las fracciones parciales

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del

polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma ∫P(x)Q(x)dx donde:

P(x) y Q(x) son polinómios El grado de P(x) es menor que el de Q(x)

NOTA

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

En álgebra, fracción parcial, descomposición o extensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de el numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde:

- El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y,- El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible.

Caso I (Factores Lineales Distintos)

En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos.

Q(x)=(a1x+b1)(a2x+b2)(a3x+b3)...(anx+bn) a y b son constantes, proponer:

P(x)Q(x)=A1a1x+b1+A2a2x+b2+…+Ananx+bn(1)

Encontrar A1,A2,An

Ejemplo Caso ISea f(x)=1x2+x−6Primero factorizamos el denominador nos quedaría f(x)=1(x+3)(x−2)

Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribir

1(x+3)(x−2)=Ax+3+Bx−2

Caso II (Factores Lineales Repetidos)Suponga que el primer factor lineal (a1x+b1) se repite r veces; es decir, (a1x+b1)r aparece en la factorización de Q(x). Por lo tanto en lugar del término simple

A1a1x+b1

en (1), se usaríaA1a1x+b1+A2(a1x+b1)2+…+Ar(a1x+b1)r(2)

Ejemplo caso II

Si tenemos

f(x)=2x+1(x+1)3(x−1)(x−2)

en el denominador Q(x)=(x+1)3(x−1)(x−2) podemos ver que tenemos que tenemos los factores lineales (x−3)3, x−1 y x−2

Para (x−1) y (x−2) usamos el caso I entonces escribimos Ax−1+Bx−2

Para (x+1)3 usamos el caso II entonces escribimos Cx+1+D(x+1)2+E(x+1)3

Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos,

2x+1(x+1)3(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2+Cx+1+D(x+1)2+E(x+1)3

Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)Si Q(x) tiene un factor de la forma ax2+bx+c, donde b2−4ac<0 (esto nos dice que no se puede

expresar ax2+bx+c como la multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión para P(x)Q(x) tendrá un término de la forma

Ax+Bax2+bx+c

Ejemplo Caso IIISea f(x)=x(x+1)2(x2+1) podemos notar que x2+1 es una cuadrática irreducible ya que su solución es compleja entonces para este factor escribimos una suma de la forma

Ax+Bx2+1

y para el factor (x+1)2 escribimos las fraccionesCx+1+D(x+1)2

Sumamos estas fracciones y tenemos la expresion en fraciones parciales para f(x)

x(x+1)2(x2+1)=Ax+Bx2+1+Cx+1+D(x+1)2

Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido)Si Q(x) tiene un factor de la forma (ax2+bx+c)r, donde b2−4ac<0, luego en lugar de la única fracción parcial Ax+Bax2+bx+c, escribimos la suma

A1x+B1ax2+bx+c+A2x+B2(ax2+bx+c)2+…+Arx+Br(ax2+bx+c)r

Ejemplo Caso IVSea f(x)=2x+1(x−1)3(x2+4)2 usamos el Caso II y el Caso IV y nos queda

2x+1(x−1)3(x2+4)2=Ax−1+B(x−1)2+C(x−1)3+Dx+Ex2+4+Fx

+G(x2+4)2

Caso V (Fracción Impropia)Si f(x)=P(x)Q(x) es una fracción impropia (es decir, el grado de P(x) es mayor o igual que el de Q(x)) entonces dividir P(x) por Q(x) para obtener:

P(x)Q(x)=(Un polinomio)+P1(x)Q(x)

Donde el grado de P1(x) es menor que el grado de Q(x)

Ejemplo Caso VSea f(x)=2x3−4x2−15x+5x2−2x−8 podemos notar que el grado del numerador 2x3−4x2−15x+5 es 3 y es mayor que el grado del denominador x2−2x−8 que es 2 por lo que la fracción es un fracción impropia entonces hacemos division larga,

Entonces podemos escribir

f(x)=2x+xx2−2x−8

donde en la fracción xx2−2x−8 el grado del numerador es menor que el grado del doniminar entonces ya podemos aplicar los metodos antes mencionados.EjemplosDescomponer en fracciones parciales: 1x3+10xDenominador=x(x2+10)1x(x2+10)=Ax+Bx+Cx2+10A(x2+10)+(Bx+C)x=1Ax2+10A+Bx2+Cx=1(A+B)x2+Cx+10A=1

los valores se toman de la igualdad.

A+B=0C=010A=1

A=1/10B=−1/101x(x2+10)=110x−x10(x2+10)Resolver \int \frac{2x^{2}+3}{(x^{2}+1)^2}dx

Reescribiendo: \frac{2x^{2}+3}{(x^{2}+1)^2} = \frac{Ax+B}{(x^2+1)} + \frac{Cx + D}{(x^2+1)^2}

Entonces: 2x^2+3 = (Ax+B)(x^2+1)+Cx+D = Ax^2+Bx^2+(A+C)x+(B+D)

Donde: A=0, B=2, (A+C)=0, (B+D)=3 . Luego: A=0,B=2, C=0, D=1 y

\int \frac{2x^{2}+3}{(x^{2}+1)^2}dx = \int \frac{2xdx}{x^2+1} + \int \frac{dx}{x^2+1}

Para la segunda integral de la derecha, hacer x=\tan z.

Obteniendo: \int \frac{dx}{x^2+1} = \int \frac{\sec^2zdz}{\sec^4z} = \int \cos^2zdz = \frac{1}{2}z + \frac{1}{4}\sin2z + C

Siendo: \int \frac{2x^{2}+3}{(x^{2}+1)^2}dx = 2\arctan x + \frac{1}{2}\arctan x + \frac{\frac{1}{2}x}{x^{2}+1} + C

= \frac{5}{2} \arctan x + \frac{\frac{1}{2}x}{x^{2}+1} + C

Resolver \int \frac{x^{3}+ x} {x - 1} dx

Nos damos cuenta que el grado del numerador es mayor que el denominador, entocnes primero haremos una división larga. 

\int \frac {x^{3}+ x} {x - 1} dx = \int ( x^{2} + x + 2 + \frac {2} {x - 1} ) dx 

= \frac {x^{3}} {3} + \frac {x^{2}} {2} + 2x + 2 ln (x - 1) + c 

Lo que tenemos que hacer ahora es factorizar el denominador Q(x) tanto como sea posible. 

Q(x) = (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) = (x - 2) (x^{2} + 4) 

Ahora debemos expresar la función racional propia como una suma de fracciones parciales de la forma \frac {A}{{(ax +b)}^{i}} \;\;o\;\; \frac {Ax + B} {{(a x^{2} + bx + c)}^{j}} 

Un teorema del algebra nos garantiza que siempre es posible hacer esto y tenemos cuatro casos basicos: 

Caso 1: El denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos. 

Lo que significa que podemos escribir: 

Q(x) = (a_1x + b_1) (a_2x + b_2) ... (a_kx + b_k) 

en donde no hay factor que se repita. En este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes A1, A2, ... Ak tales que: 

\frac {R(x)} {Q(x)} = \frac {A_1} {a_1x + b_1} + \frac {A_2} {a_2x + b_2} + ... + \frac {A_k} {A_kx + b_k } 

Resolver \int \frac {x^{2} + 2x - 1} {2x^{3} + 3x^{2} - 2x}\; dx

Ya que el grado del numerador es menor que el del denominador no necesitamos dividir. Factorizamos el denominador como: 2x^{3} + 3x^{2} - 2x = x (2x^{2} + 3x - 2) = x(2x - 1) (x +

2) 

El denominador tiene tres factores lineales distintos y la descomposición en fracciones parciales es: 

\frac {x^{2} + 2x -1} {x(2x - 1) (x + 2)} = \frac {A} {x} + \frac {B}{2x - 1} + \frac {C}{x + 2} 

Para encontrar los valores de A, B y C, multiplicamos ambos lados de esta ecuacion por x(2x - 1) (x + 2) 

x^{2} + 2x - 1 = A (2x - 1) (x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1) 

x^{2} + 2x - 1 = (2A + B + 2C)x^{2} + (3A + 2B - C)x - 2A 

Los polinomios de esta ecuacion son identicos, de modo que sus coeficientes han de ser iguales. El coeficiente de x^{2}, en el lado derecho, es 2A + B + 2C y debe ser igual al coeficiente de x^{2} en el lado izquierdo, que es 1. De igual forma los coeficientes de x son iguales y los terminos constantes tambien. Con esto llegamos al siguiente sistema de ecuaciones en A, B \;\;y\;\; C 

2A + B + 2C = 1 3A + 2B - C = 2 -2A = -1 

Al resolver el sistema obtenemos A = \frac {1}{2}\;\; B = \frac {1}{5} \;\;y\;\; C = - \frac {1}{10} 

\int \frac {x^{2} + 2x - 1}{2x^{3} + 3x^{2} - 2x} dx = \int [ \frac {1}{2}\frac{1}{x} + \frac {1}{5}\frac{1}{2x - 1} - \frac{1}{1}\frac{1}{x + 2} ] dx 

= \frac{1}{2} ln(x) + \frac {1}{10} ln(2x - 1) - \frac {1}{10} ln(x + 2) + K 

Al integrar el termino intermedio hemos recurrido a la sustitucion mental u = 2x - 1 du = 2dx 

dx = \frac {du}{2} 

Resolver \int \frac{4y^2 - 7y + 12}{y \left ( y+2 \right ) \left (y-3 \right )} dx

Como el denominador ya esta factorizado, ahora descompondremos en fracciones: 

\frac {4y^{2}-7y+12}{y\left ( y+2 \right ) \left ( y-3 \right )} = \frac{A}{y}+\frac{B}{\left ( y+2 \right )}+\frac{C}{\left ( y-3 \right )} 

Bueno ahora tendremos que multiplicar a cada fracción por: {y}\left ( y+2 \right )\left ( y-3 \right ) 

Y nos quedaría de esta forma: 

{y}\left ( y+2 \right )\left ( y-3 \right ) \ast \frac{A}{y} + {y}\left ( y+2 \right )\left ( y-3 \right ) \ast \frac{B}{\left ( y+2 \right )} + {y}\left ( y+2 \right )\left ( y-3 \right ) \ast \frac{C}{\left ( y-3 \right )} 

Despues de multiplicar cada fracción el resultado sería: A\left ( y+2 \right )\left ( y-3 \right ) + By\left ( y-3 \right ) + Cy\left ( y+2 \right ) = 4y^2 -7y + 12 

A\left ( y^2 -3y +2y-6 \right ) + By^2-3By+Cy^2+2Cy = 4y^2-7y+12 

Ay^2-3Ay+2Ay-6A+By^2 -3By+Cy^2 +2Cy=4y^2-7y+12 y^2\left ( A+B+C \right )-Ay-3By+2Cy-6A=4y^2-7y+12 y^2\left ( A+B+C \right )+y\left ( -A-3B+2C \right )-6A=4y^2-7y+12 

ahora encontramos polinomios que parescan tener las mismas características:

A+B+C=4

-A-3B+2C=-7

-6A=12

el valor de A sería:

A=-2 

Ahora multiplicamos por 3 la primera ecuación para poder eliminar la variable B:

3\left \{A+B+C \right \}=3\left ( 4 \right ) 

3A+3B+3C=12 -3A-3B+2C=-7

2A+5C=5

5C=5-2A 

C=\frac{9}{5} 

Ahora escojemos una ecuación y despejamos para B:

B=4-C-A B=\frac{21}{5} 

Como ya tenemos los 3 valores de A,B y C sustituimos en la fracción parcial:

\int \frac{-2}{y}+\frac{21/5}{y+2}+\frac{9/5}{y-3}dx 

La respuesta correcta quedaría de la forma siguiente:

= -2\ln \left ( y \right )+\frac{21}{5}\ln \left ( y+2 \right )+\frac{9}{5}\ln \left ( y-3 \right ) 

Ejemplo # 6

           Caso 1 Todos los factores del denominador son distintos. 

                \int\frac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2X} dx 

           Factorizamos el denominador    x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x -2) = x(x - 2)(x+1)            A cada factor lineal ax + b que esté una sola vez en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una sola fracción. 

           simple de la forma \frac{A}{ax + b}     donde A es una constante cuyo valor habrá que calcular. 

           En el ejemplo descomponemos la fraccion en tres fracciones cuyos numeradores seran A, B, C. Observa que el grado del            denominador es tres y es el mismo numero de constantes por determinar. 

                \int\frac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2X} dx = 

           Factorizamos el denominador 

                \frac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2X} = \frac{3x-2}{x(x - 2)(x + 1}= \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2} + \frac{c}{x + 1} 

           Reducimos a una sola fraccion, aplicamos el mcm. que en este caso es : mcm = x(x - 2)(x +1) 

               \frac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2x} = \frac{A(x - 2)(x + 1) + Bx(x + 1)+ Cx(x - 2)}{x(x - 2)(x + 1)} 

           Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores tambien deben ser iguales,            por lo tanto                 3x - 2 = A(x - 2)(x + 1)+ Bx(x + 1) + Cx(x - 2)            Para calcular los valores de las constantes A, B y C obtenemos las raices de x(x - 2)(x + 1) que son:            x = 0        x - 2 = 0        x + 1 = 0                              x = 2               x = -1            Evaluando las raices en                 3x - 2 = A(x - 2)(x + 1)+ Bx(x + 1)+ Cx(x - 2)            Para x = 0                 -2 = A(-2)(1) + B(0) + C(0)                  -2 = -2A                    A = 1            Para x = 2                 4 = A(0) + 6B + C(0)                 4 = 6B 

                B = \frac {2}{3} 

           Para x = -1 

                -5 = A(0) + B(0)+ C(3)                 -5 = 3C 

                C = - \frac {5}{3} 

           Sustituimos los valores obrenido de A, B, y C 

            \frac{3x - 2}{x^3 - x^2 - 2x} dx = \frac {1}{x} + \frac {\frac {2}{3}}{x - 2} + \frac { - \frac {5}{3}}{x + 1} 

           Integramos 

                \int\frac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2X} dx = \int\frac{dx}{x} + \frac{2}{3}\int\frac{dx}{x - 2} - \frac{5}{3}\int\frac{dx}{x + 1} = 

                L(x) + \frac{2}{3} L (x - 2) - \frac{5}{3} L (x + 1)+ c 

          Por la propiedad de los logaritmos el resultado queda 

                \frac {L(x(x - 2)^\frac{2}{3})}{L((x + 1)^\frac{5}{3})} + c = L(\frac{x( x - 2)^\frac{2}{3})}{(x + 1)^\frac{5}{3}}) + c 

           Otro procedimiento para resolver la integral antes citada 

                \int\frac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2X} dx = 

           Factorizamos el denominador 

                \frac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2X} = \frac{3x-2}{x(x - 2)(x + 1}= \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2} + \frac{c}{x + 1} 

           Reducimos a una sola fraccion, aplicamos el mcm. que

en este caso es : mcm = x(x - 2)(x +1) 

                \frac{3x - 2}{x^3 - x^2 - 2x} = \frac{A(x - 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2)}{x(x - 2)(x + 1)} 

           Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores tambien deben ser iguales, por lo tanto 

                3x - 2 = A(x - 2)(x + 1)+ Bx(x + 1)+ Cx(x - 2) 

           Efectuando las operaciones del segundo miembro dela igualdad y agrupando los ficientes de x^2, x y del termino independiente, queda 

                3x - 2 = A(x^2 - x - 2)+ Bx^2 + Bx + Cx^2 - 2Cx                       = Ax^2 - Ax - 2A)+ Bx^2 + Bx + Cx^2 - 2Cx                      (A + B + C)x^2 - x - 2)+ (- A + B -2 C)x - 2A 

          Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x. A continuacion establecemos un sistema de ecuaciones. 

               A + B + C = 0      (1)                - A + B - 2C = 3      (2)                -2A = - 2                 A = 1 

           Sustituimos en (1) y (2) 

               1 + B + C = 0                -1 + B - 2C = -2 

          Multiplicando B - 2C = 4 por -1 

               B + C = -1 

               -B + 2C = -4      (3)                3C = -5                C = - \frac{5}{3} 

          Calculamos B en (3) 

               B - \frac{5}{3} = -1                B = -1 + \frac{5}{3}                B = \frac{2}{3} 

          Sustituimos los valores de A, B y C 

                \frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - 2x} = \frac{1}{x} + \frac{\frac{2}{3}}{x - 2} + \frac{- \frac{5}{3}}{x + 1} = 

                \int\frac{dx}{x} + \frac{2}{3}\int\frac{dx}{x - 2} - \frac{5}{3}\int\frac{dx}{x + 1} 

          Integramos 

                L(x) + \frac{2}{3}L(x - 2) - \frac{5}{3}L(x + 1) + C 

          Por la propiedad de los logaritmos, el resultado queda 

                \frac{ln[x(x - 2)^\frac{2}{3}]}{ln[(x + 1)]^\frac{5}{3}} + C = ln\frac{x(x - 2)^\frac{2}{3}]}{(x + 1)^\frac{5}{3}} + C 

--Harry 22 17:22 17 ene 2010 (CST)

Ejemplo # 7

           Caso 2 Algunos de los factores lineales del denominador se repiten. 

                \int\frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} dx 

          Factorizamos el denominador 

                \frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1}    =     \frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 1)^2} 

           El factor repetido es (x - 1)^2, se escribe la fraccion con el denominador (x - 1)^2 y todas las potencias inferiores, en este caso           con denominador (x - 1) 

                \frac{A}{(x + 1)} + \frac{B}{(x-1)^2)} + \frac{C}{(x + 1)} 

           Reducimos a una sola fraccion, aplicando el mcm mcm = (x + 1(x -1 )^2 

                \frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1}    =     \frac{A(x - 1) + B(x + 1) + C(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)^2} 

          Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entones los numeradores tambien deben ser iguales, por lo tanto 

                3x + 5 = A(x - 1)^2 + B(x + 1) + C(x + 1)(x - 1) 

           Efectuando las operaciones el segundo miembro de la igualdad y agrupando los coeficientes de x^2, x y del termino independiente           queda 

                3x + 5 = A(x^2 - 2x + 1) + Bx + B + Cx^2 - c                              = Ax^2 + 2Ax + A + Bx + B + Cx^2 - c                              = (A + C)x^2 + (B - 2A)x + (A + B - C) 

           Hemos identificado los coeficientes de las mismas

potencias de x, a continuacion establecemos uns sistema de ecuaciones                      A + C = 0    (1)                 -2A + B = 3    (2)                 -3A + C = 5    (3) 

           con (2) y (3), multiplicando (3) por -1 

                - 2A + B = 3                    -A - B + C = -5                 -3A + C = -2               (4) 

           --Harry 22 17:02 17 ene 2010 (CST) jkjkjkk

Ejemplo # 8

Caso 3 todos los factores cuadraticos (irreducibles del denominador son distintos) Por cada factor de la forma ax^2 + bx + c, que es un polinomio caudratico que resulte de la factorización Q(x), queda un sumando del tipo \frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c}. Si ademas resultan factores lineales repetidos, o no, se resuelven como los casos 1 y 2 \int\frac{2x^2 + x}{x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x +1} dx 

factorizamos el denominador \int\frac{2x^2 + x}{x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x +1} dx = frac{2x^2 + x}{(x+1)^2 (x^2 +x + 1)} = \frac{A}{(x+1)^2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x^2 + x +1} reducimos a una sola fracion, aplicando el mcm que en este caso es: mcm =(x+1)^2 (x^2 + x + 1) \frac{2x^2 + x}{(x+1)^2 (x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x +1)} = \frac{A(x^2 +x + 1)+ B(x + 1)(x^2 +x + 1) + (Cx + D)(x +1)^2}{(x+1)^2(x^2 +x + 1)} Como los dos miembros de la igauldad tienen el mismo

denominador, entonces los numerdadores , tambien deben ser igaules, por lo tanto 2x^2 + x = A(x^2 +x + 1)+ B(x + 1)(x^2 +x + 1) + (Cx + D)(x +1)^2 Al efectuar las operaciones del segundo miembro de a igualdad y agrupar los coeficientes de x^2, x y del tarmino independiente queda 2x^2 + x = A(x^2 +x + 1)+ B(x + 1)(x^2 +x + 1) + (Cx + D)(x +1)^2 = Ax^2 + Ax + A)+ B(x^3 + 2x^2 + 2x + 1) + Cx^3 + 2Cx^2 + Cx + Dx^2 + 2Dx + D = Ax^2 + Ax + A)+ Bx^3 + 2Bx^2 + 2Bx + B) + Cx^3 + 2Cx^2 + Cx + Dx^2 + 2Dx + D =(B + C)x^3 + ( A + 2B + 2C + D)x^2 + (A + 2B + C + 2D)x + (A + B + D) Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x, a continuación establecemos un sistema de ecuaciones B + C = 0 (1) A + 2B + 2C = 2 (2) A + 2B + C + 2D = 1 (3) A + B + D = 0 (4) En (1) B + C = 0 B = -C Sustituimos en (2),(3) y(4) A + 2(-C) + 2C = 2 (2) A + 2(-C) + C + 2D = 1 (3) A + (-C) + D = 0 (4) 

A + D = 2 (2) A - C + 2D = 1 (3) A -C + D = 0 (4) Con (3) y (4) multiplicando (4) por -1 A - C + 2D = 1 (3) -A +C - D = 0 (4) 

D = 0 Sustituimos en (2)

Ejemplo # 9

\int \frac{1}{(t+4)(t-1} dt

Esto es igual a \frac{1}{(t+4)(t-1)} = \frac{A}{(t+4)}+\frac{B}{(t-1)}

Multiplicamos todo por (t+4)(t-1)

Llegamos a esta expresion 1 = A(t-1) + B(t+4)

Tenemos que encontrar A y B

1ra) A + B = 0

2da) -A + 4B = 1

Por la 1ra expresion

3ra) A = -B

Sustituimos en la 2da expresión

4ta) B = \frac{1}{5}

Sustituimos en la 1ra expresión

A = -\frac{1}{5}

Sustituimos en la integral

\int (-\frac{\frac{1}{5}}{(t+4)} +\frac{\frac{1}{5}}{(t-1)}) dt

-\frac{1}{5} ln(t+4) + \frac{1}{5} ln(t-1) + C

Ejemplo #10

\int \frac{x-9}{\left ( x +5 \right )\left ( x-2 \right )}

\frac{x-9}{\left ( x +5 \right )\left ( x-2 \right )}

\frac{x-9}{\left ( x +5 \right )\left ( x-2 \right )}\, \, =\, \, \frac{A}{\left ( x+5 \right )}+\frac{B}{\left ( x-2 \right)}

x-9= A\left ( x-2 \right )+B\left ( x+5 \right )

x-9\, =\, Ax - 2A + Bx +5B

Ax + Bx = X \, \, \, \, &\, \, \, \, 5B-2A=-9

despejamos el termino B en la primera ecuacion y nos quedaria asi:

B= 1 - A

Luego despejamos el termino en la segunda ecuacion y nos quedara asi :

5\left (1-A \right )-2A=-9

despues de un poco de algebra y despejar el termino A la respuesta sera:

A= 2

sustituyendo en B= 1 - A el valor de A nos qedara que:

B= 2

ahora integramos las dos fracciones que teniamos al principio:

\int \frac{A}{\left ( x+5 \right )}+\int \frac{B}{\left ( x-2 \right )} = A\, ln\left ( x+5 \right )+B\, ln\left ( x-2 \right )

Despues de integrar y de sustituir los valores de A y B nos qedara asi la respuesta:

= 2\, ln\left ( x+5 \right )-\, ln\left ( x-2 \right