Resumen Num. 2

Franklin Villalobos

Universidad Fermín Toro

Sistema de Coordenadas Polares• Ya se ha visto en cursos anteriores que los puntos del

plano se pueden representar en coordenadas cartesianas mediante dos números (abscisa, ordenada). En este tema veremos que los puntos del plano también se pueden representar usando otro sistema de referencia, que denominamos coordenadas polares.

En esta unidad se introducen las coordenadas polares y algunos ejemplos que ilustran su utilidad para representar, mediante ecuaciones con dichas coordenadas, algunas curvas clásicas como la Cardioide, la Lemniscata de Bernoulli, los Lazos, las Cónicas y algunas espirales, entre otras. Como se podrá observar en algunos ejemplos de representación de las curvas en coordenadas polares, sólo es preciso definir las mismas de cada punto:r (distancia al polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las coordenadas cartesianas x e y.

• Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se denomina sistema de referencia.

• Sistema de Coordenadas Polares• Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada

es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.

• Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.

• En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos la vida.

• Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo que se denomina sistema de referencia.

Gráficas de Ecuaciones en Coordenadas Polares

• Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar el valor de f (θ) para numerosos valores de θ a intervalos espaciados regularmente, y dibujando luego los puntos resultantes (x,y).

• Usted debe ser consciente de que la apariencia de la gráfica en calculadora depende de la ventana de graficación especificada x-y, y también del rango de los valores mostrados de θ.

Gráfica de una Ecuación Polar La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación dada. Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familiares). La clave para dibujar las mismas de una ecuación polar, es mantener siempre presente que representan las coordenadas polares.

Intersección de Gráficas• Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó una variedad de

gráficas de las mismas, el próximo paso consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de intersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares, con el propósito de buscar todos los puntos de dicha intersección.

Puesto que un punto puede representarse de formas diferentes en coordenadas polares, debe tenerse especial cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo de las ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el área de una región polar. De igual forma el problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares con el de encontrar los puntos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la tierra, dichos satélites no entrarían en colisión en tanto lleguen a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores de q).

Calcular el Área de una Región Plana en Coordenadas Polares

• El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r viene dada por:

Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limitada por la gráfica para hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ a , b ] en n su intervalos iguales a = q < q < q <........< q < q = b A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las mismas de los n sectores, Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la fórmula para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si f toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ] .