Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) 

Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán (FESC) 

Licenciatura en Diseño y Comunicación Visual (DCV)

 Geometría I

 Hernández Domínguez Rebeca Alejandra

 Unidad 4, Tema 2, Actividad de Aprendizaje 2

 Número de ejercicio o ejercicios: Monteas: mono

planar, biplanar, triplanar y del espacio, cuadrantes y planos.

 Fecha de entrega: 18 de Febrero de 2015

Proyección ortogonal

Cuando tenemos tres planos perpendiculares entre sí, nos damos cuenta de que las líneas que definen a cada uno de los planos son también las que marcan la intersección entre los mismos, y que cada línea, por ser la intersección de dos planos, siempre pertenece simultáneamente a ambos. A estas líneas, con el fin de facilitar la definición del sistema, las denominaremos ejes y a cada uno de estos le asignaremos una letra y una punta de flecha al extremo, para distinguirlo de todas las demás posibles líneas. El eje formado por la intersección del plano horizontal con el lateral lo denominaremos X; el formado por la intersección del horizontal con el frontal se denomina Y; y el que resulta de la intersección de los planos frontal y lateral se denomina Z; además, la intersección entre los tres ejes es un punto llamado origen. Estos ejes resultan ser líneas perpendiculares entre sí y, por lo tanto, cada una de ellas es perpendicular a uno de los planos respectivamente; luego entonces, cualquier línea que sea paralela a la línea que es perpendicular a un plano, la paralela también será perpendicular al plano. Entonces, para realizar las proyecciones ortogonales utilizaremos líneas de proyección, que son líneas moduladas (guion espacio de aproximadamente ½ mm), siempre paralelas a la perpendicular al plano en donde se hace la proyección.

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No olvides que los puntos en el espacio siempre los denominaremos con letras mayúsculas; las proyecciones de estos en el plano horizontal con la misma letra minúscula; en el plano frontal con minúsculas primas; y las del plano lateral con minúsculas biprimas; luego entonces, todo punto en el espacio contará con tres proyecciones ortogonales saber: para un punto A su proyección horizontal a, su proyección frontal a´ y su proyección lateral a”.

Las anteriores proyecciones también pueden ser llevadas mediante líneas perpendiculares a los ejes, y si dividimos estos en unidades, como los números naturales, en los tres ejes, podremos calcular las coordenadas cartesianas que resultan de gran importancia, ya que te permiten calcular bases de datos que pueden ser cargados con exactitud inmejorable en la memoria de las computadoras en programas 3D

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Montea mono plana i sistema acotado

El plano de dibujo es pi. La forma de conseguir la proyección de la figura del espacio consiste en obtener de ella una proyección cilíndrica ortogonal sobre dicho plano, la cual, sintetizada en el punto A, nos proporciona a como pie de la perpendicular trazada desde A al plano; y para atender a la condición de reversibilidad de que antes hablamos, anotaremos al lado de a el número H, que indica la altura del punto A al plano de proyección, o sea su cota H, la cual tendrá signo positivo o negativo, según se halle en una región o en otra, con relación al plano de proyección, el cual divide al espacio en dos partes, de las que una de ellas se afectará de cotas positivas y la otra de cotas negativas, aunque para el espacio geométrico que interesa en el diseño y la comunicación visual es mejor trabajar únicamente con números naturales (N+1) y no con números reales (los números enteros positivos y negativos)

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Montea biplanar, diédrico o de Monge.

Para evitar el inconveniente que supone en la restitución la unión en el espacio de varios puntos situados sobre la misma proyectante, tal como vienen representados en el sistema acotado, se recurre a una segunda proyección que nos evite el afectar el mismo punto proyección de varias cotas.

Para tal fin se dispone de un conjunto formado por dos planos ortogonales entre sí, que se colocarán, uno de ellos horizontal y el otro, por tanto, vertical, adoptando esta denominación en lo sucesivo: plano horizontal de proyección H y plano vertical de proyección V.

La operación en el espacio se consigue de la siguiente forma:• Se proyecta ortogonalmente el punto A sobre

el plano horizontal H, dando lugar a su proyección horizontal a.

• Se proyecta la vertical, es decir, ortogonalmente al plano V, obteniendo así a’.

• Como operaremos sobre el plano del dibujo, haremos que este coincida con el plano H y haremos coincidir también el plano V en su totalidad sobre H, haciéndolo girar alrededor de su recta de intersección, que llamaremos Línea de Tierra (LT).

• De esta forma a, a’ viene a ocupar una posición tal que se encuentren a y a’ sobre la misma perpendicular a la LT.

• Solo resta colocar la LT en posición horizontal para verla en posición real y no en escorzo y quedarnos solo con las proyecciones que nos representan al plano en el espacio.

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Para evitar el inconveniente que supone en la restitución la unión en el espacio de varios puntos situados sobre la misma proyectante, tal como vienen representados en el sistema acotado, se recurre a una segunda proyección que nos evite el afectar el mismo punto proyección de varias cotas.

Para tal fin se dispone de un conjunto formado por dos planos ortogonales entre sí, que se colocarán, uno de ellos horizontal y el otro, por tanto, vertical, adoptando esta denominación en lo sucesivo: plano horizontal de proyección H y plano vertical de proyección V.

La operación en el espacio se consigue de la siguiente forma:

La distancia que separa la proyección vertical a’ de la línea de tierra, será h, igual a la altura del punto A sobre el plano horizontal de proyección H, es decir, la magnitud del segmento Aa; de la misma forma, la distancia o alejamiento d, que separa la proyección horizontal a de la línea de tierra, nos representa un segmento igual a la magnitud Aa’, es decir, la distancia existente entre el punto del espacio A y el plano vertical V de proyección.

Al conjunto de todos los puntos tales que a, proyección horizontal de los del espacio, se acostumbra a llamar también planta del conjunto, y a la proyección vertical del mismo se le denomina también alzado.

La línea de tierra viene representada por una recta L-T, y a ambos lados de la misma aparecen las porciones de plano que corresponden a la proyección horizontal y a la proyección vertical; fácilmente se ve que el sistema es reversible, pues para ello imaginemos que, a partir de la recta L—T, se coloca perpendicularmente al plano del dibujo, es decir, a H, el plano V, en la misma forma.

Si ahora desde a levantamos la perpendicular a H, y desde a´ la perpendicular a V, observaremos que estas dos perpendiculares se cortarán en un único punto del espacio, que será el punto A, el cual dio origen a las dos proyecciones en cuestión.

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Montea triplanar o sistema axonométrico.

Para realizar una montea triplanar se efectúa el siguiente procedimiento:• Dibuja un trirrectángulo O-X-Y-

Z.• Dado un punto A del espacio,

proyecta ortogonalmente este punto sobre las tres caras de este triedro trirrectángulo, obteniendo así las proyecciones, es decir, habiendo obtenido los segmentos Aa, Aa’ y Aa’’ iguales, respectivamente, a las coordenadas (x), (y) y (z) del punto (A) con relación al sistema del espacio.

• Haz pasar ahora el plano de proyección pi por el vértice O del triedro trirrectángulo, y proyectemos ortogonalmente el conjunto del espacio constituido por la forma (A) y por sus respectivas proyecciones (a), (a’) y (a’’).

• Una proyección directa A del punto (A) y tres proyecciones, a-a’-a’’, de los anteriores (a), (a’) y (a’’), situadas sobre las caras del triedro trirrectángulo. En esta nueva proyección se aprecian de una sola vez las tres coordenadas del punto (A); es decir, se obtienen los segmentos X, Y y Z, respectivamente Aa’, Aa’’ y Aa, proporcionales a las coordenadas (x), (y) y (z), que el plano pi se ha hecho coincidir con el plano de dibujo.

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Montea del espacio, cuadrantes y planos.Se trata de dos planos infinitos, que para fines ilustrativos los delimitamos como si fueran rectangulares en el dibujo de la montea espacial; el plano horizontal H es el de la superficie en la que trabajas (la hoja de tu block), el plano vertical V es perpendicular al primero, la intersección de los dos planos la LT.

El sistema cuenta con cuatro cuadrantes que se numeran empezando del cuadrante superior derecho, siendo este el cuadrante I y en sentido contrario a las manecillas del reloj II, III y IV siempre se usan números romanos.

Al abatir el plano vertical para trabajar en la montea plana, la única forma de saber en qué cuadrante se encuentra el punto en el espacio, es viendo la posición de las proyecciones horizontal p y vertical p´, que por construcción se disponen, con respecto a la LT, de la siguiente manera:• Primer cuadrante; proyección

vertical arriba y la horizontal abajo.

• Segundo cuadrante; ambas proyecciones arriba.

• Tercer cuadrante; proyección vertical abajo y la horizontal arriba.

• Cuarto cuadrante; las dos proyecciones abajo.

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Toma en cuenta que dependiendo de la posición de las proyecciones con respecto a la línea de tierra determinas en que cuadrante se encuentra el punto en la montea espacial. A continuación se te muestra como se pasan los datos de una montea a otra en los cuatro cuadrantes.• Primer cuadrante:• Con tu compás mide la altura de h de p’,

llévala a la montea espacial y localiza en esta p’.

• Ahora mide el alejamiento d y p y llévala a la montea espacial, localizando p.

• Ortogonalmente proyecta hacia el espacio desde p y p’ las trazas para que en la intersección de estas localices el punto en el espacio P.

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• Segundo cuadrante:• Con tu compás mide la

altura de h de a’, llévala a la montea espacial y localiza en esta a’.

• Ahora mide el alejamiento d de a y llévala a la montea espacial, localizando a.

• Ortogonalmente proyecta hacia el espacio desde a y a’ las trazas para que en la intersección de estas localices el punto en el espacio A.

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• Tercer cuadrante:• Con tu compás mide la

altura de h de b’, llévala a la montea espacial y localiza en esta a’.

• Ahora mide el alejamiento d de b y llévala a la montea espacial, localizando b.

• Ortogonalmente proyecta hacia el espacio desde b y b’ las trazas para que en la intersección de estas localices el punto en el espacio B.

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• Cuarto cuadrante:• Con tu compás mide la

altura de h de c’, llévala a la montea espacial y localiza en esta c’.

• Ahora mide el alejamiento d de c y llévala a la montea espacial, localizando c.

• Ortogonalmente proyecta hacia el espacio desde c y c’ las trazas para que en la intersección de estas localices el punto en el espacio C.

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