แบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร

เรอง

ทฤษฎจ านวนเบองตน

(ชด 1 การหารลงตว)

รายวชาคณตศาสตร GP1

ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2559

นางขวญแกว มเหมอน

ผลการเรยนร นกเรยนเขาใจสมบตของจ านวนเตม และน าไปใชในการใหเหตผล เกยวกบการหารลงตวได

1.1 การหารลงตว (Exact Division)

บทนยาม ให a และ b เปนจ านวนเตม โดยท b ไมเทากบ 0 b หาร a ลงตว กตอเมอ มจ านวนเตม c ทท าให a = bc เรยก b วาเปน ตวหาร(divisor) ของ a และเรยก a เปน

พหคณ (multiple) ของ b

ใชสญลกษณ b/a แทน “b หาร a ลงตว

จงแสดงวา 3/12, -4/12, 9/54, 7/0, -11/-121, 5/-25, -3/0

3/12 เพราะ 12 = 3(4) -4/12 เพราะ 12 = -4(3) 9/54 เพราะ 54 = 9(6) 7/0 เพราะ 0 = 7(0)

-11/-121 เพราะ -121 = -11(11) 5/-25 เพราะ -25 = 5(-5) -3/0 เพราะ 0 = -3(0)

ตวอยางท 2 จงแสดงวา - 3/12, 4/-12, -9/54, - 7/0, 11/-121,

5/-25, 2/0 วธท า -3/12 เพราะ 12 = -3(-4) 4/-12 เพราะ -12 = 4(-3)

-9/54 เพราะ 54 = -9(-6 ) -7/0 เพราะ 0 = - 7(0)

11/-121 เพราะ -121 = 11(-11) - -5/-25 เพราะ -25 = -5(5)

2/0 เพราะ 0 = 2(0)

แบบฝกหด 1.1 การหารลงตว 1. จงแสดงวา -6/12 , 8/-16 , 5/25 , -9/0 , 10/-100 , -25/-25 ,

-2/0 , 4/0 , -11/0 , -1/1 วธท า -6/12 เพราะ 12 = -6(……)

8/-16 เพราะ -16 = 8(……) 5/25 เพราะ 25 = 5(…… ) -9/0 เพราะ 0 = - 9(……) 10/-100 เพราะ -100 = 10(…..) -25/-25 เพราะ -25 = -25(……) -2/0 เพราะ 0 = -2(……) 4/0 เพราะ 0 = 4(……) -11/0 เพราะ 0 = -11(……) -1/1 เพราะ 1 = -1(……)

2. จงแสดงวา 12/0 , -8/-32 , -5/125 , -91/0 , 100/-1,000 , -125/-250 1) 12/0 เพราะ …………………….. 2) -8/-32 เพราะ …………………….. 3) -5/125 เพราะ …………………….. 4) -91/0 เพราะ …………………….. 5) 100/-1,000 เพราะ …………………….. 6) -125/-250 เพราะ ……………………..

1.2 ทฤษฎบทการหารลงตว ทฤษฎบท ให a, b และ c เปนจ านวนเตม โดยท a ไมเทากบศนย และ b ไมเทากบศนย ถา a/b และ b/c

แลว a/c พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = by ดงนน c = (ax)y c = a(xy) และ xy เปนจ านวนเตม ดงนน a/c

ทฤษฎบท 2 ให a และ b เปนจ านวนเตมบวก ซง a/b แลว a ≤ b พสจน สมมต a/b จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax เนองจาก a และ b เปนจ านวนเตมบวก จะได x เปนจ านวน

เตมบวก จะได ax ≥ a (เพราะ a เปนจ านวนเตมบวก) ดงนน b ≥ a เชน 3/12 จะเหนวา 3≤12 3/3 จะเหนวา 3=3

ทฤษฎบท 3 ให a, b และ c เปนจ านวนเตม โดยท a/b และ a/c แลว a/(bx + cy) เมอ x และ y เปนจ านวนเตมใดๆ พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม d ทท าให b = ad และมจ านวนเตม e ทท าให c = ae ดงนน bx + cy = (ad)x + (ae)y เมอ x และ y เปนจ านวนเตม

bx + cy = a(dx + ey) เนองจาก dx + ey เปนจ านวนเตม จะได a/(bx + cy) นพจนในรป bx + cy เรยกวา ผลรวมเชงเสน ของ b และ c

ตวอยาง 1 ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ

b/c แลว a/(b+c) พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = by ดงนน b + c = ax + by เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = ax + (ax)y เพราะ b = ax = a(x+xy) เนองจาก x + xy เปนจ านวนเตม จะได a/(b + c)

ตวอยาง 2 ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ b/c แลว a/(b - c) พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = by ดงนน b - c = ax - by เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = ax - (ax)y เพราะ b = ax = a(x-xy) เนองจาก x - xy เปนจ านวนเตม จะได a/(b - c)

ตวอยาง 3 ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/(2x – 3y) และ a/(4x – 3y) แลว a/y พสจน สมมต a/(2x – 3y) และ a/(4x – 3y) จะมจ านวนเตม n ทท าให 2x – 3y = an และมจ านวนเตม m ทท าให 4x – 3y = am ให 2x – 3y = an ……….(1) 4x – 3y = am ………..(2) (1)×2 จะไดสมการเปน 4x – 6y = 2an ……….(3) (2)- (3) จะได 4x – 3y - 4x + 6y = am – 2an 3y = a(m-2n) y = 3 / a(m-2n) เนองจาก 3 / m-2n เปนจ านวนเตม จะได a/y

ตวอยาง 4 ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/(3x – 4y) และ a/(6x – 2y) แลว a/x พสจน สมมต a/(3x – 4y) และ a/(6x – 2y) จะมจ านวนเตม n ทท าให 3x – 4y = an และมจ านวนเตม m ทท าให 6x – 2y = am ให 3x – 4y = an ……….(1) 6x – 2y = am ………..(2) (2)×2 จะไดสมการเปน 12x – 4y = 2am ……….(3) (1)- (3) จะได 3x – 4y - 12x + 4y = an – 2am -9x = a(n-2m) x = -9 / a(n-2m) เนองจาก -9 / (n-2m) เปนจ านวนเตม จะได a/x

แบบฝกหด 1.2 ตอนท 1 ค าชแจง จงเตมค าตอบในชองวางใหถกตอง 1. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ

a/c แลว a/(bc) พสจน สมมต a/b และ a/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = (…..)y ดงนน bc = ax( ……. ) เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = ax….. = a(xay) เนองจาก ............... เปนจ านวนเตม จะได a/(bc)

2. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ a/c แลว a /(bc)

พสจน สมมต a/b และ a/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = (…..)y ดงนน bc = ax( ……. ) เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = ax….. = a (xy) เนองจาก ............... เปนจ านวนเตม จะได a /(bc)

3. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ b/c แลว a/(b - c)

พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = (…..)y ดงนน ………. = ax- by เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = …………. = a(x - xy) เนองจาก ............... เปนจ านวนเตม จะได a/………..

ค าชแจง จงพสจน 1. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ b/c แลว

a/(b+c) พสจน…………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/(2b-3c ) และ a/(b-2c) แลว a/c

พสจน……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………

3. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/(-4b+3c ) และ

a/(3b-2c) แลว a/b พสจน……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

จบแลวคะ

แลวพบกนใหมชด 2 จ านวนเฉพาะ

เฉลยแบบฝกหด 1.1 การหารลงตว 1. จงแสดงวา -6/12 , 8/-16 , 5/25 , -9/0 , 10/-100 , -25/-25 , -2/0 , 4/0 , -11/0 , -1/1 -6/12 เพราะ 12 = -6( -2)

8/-16 เพราะ -16 = 8( -2) 5/25 เพราะ 25 = 5( 5 )

-9/0 เพราะ 0 = - 9(0) 10/-100 เพราะ -100 = 10(-10)

-25/-25 เพราะ -25 = -25(1) -2/0 เพราะ 0 = -2(0) 4/0 เพราะ 0 = 4(0)

-11/0 เพราะ 0 = -11(0) -1/1 เพราะ 1 = -1(-1)

2. จงแสดงวา 12/0 , -8/-32 , -5/125 , -91/0 , 100/-1,000 , -125/-250 1) 12/0 เพราะ 0 = 12(0) 2) -8/-32 เพราะ -32 = -8(4) 3) -5/125 เพราะ 125 = -5(-25) 4) -91/0 เพราะ 0 = -91(0) 5) 100/-1,000 เพราะ -1,000 = 100(-10) 6) -125/-250 เพราะ -250 = -125(2)

ตอนท 1 1. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b

และ a/c แลว a/(bc) พสจน สมมต a/b และ a/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = (a)y ดงนน bc = ax( ay ) เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = axay = a(xay) เนองจาก xay เปนจ านวนเตม จะได a/(bc)

2. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ a/c แลว a /(bc)

พสจน สมมต a/b และ a/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = (a)y ดงนน bc = ax( ay ) เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = axay = a (xy) เนองจาก xy เปนจ านวนเตม จะได a /(bc)

3. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ b/c แลว a/(b - c)

พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = (b)y ดงนน b-c = ax- by เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = ax - axy = a(x - xy) เนองจาก x - xy เปนจ านวนเตม จะได a/(b - c)

ค าชแจง จงพสจน 1. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา

a/b และ b/c แลว a/(b+c) พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = by ดงนน b+c = ax+ by เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = ax + axy = a(x + xy) เนองจาก x + xy เปนจ านวนเตม จะได a/(b + c)

2. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/(2b-3c ) และ a/(b-2c) แลว a/c พสจน สมมต a/(2b – 3c) และ a/(b-2c) จะมจ านวนเตม n ทท าให 2b – 3c = an และมจ านวนเตม m ทท าให b - 2c = am ให 2b – 3c = an ……….(1) b - 2c = am ………..(2) (2)×2 จะไดสมการเปน 2b - 4c = 2am ……….(3) (1)- (3) จะได 2b – 3c - 2b + 4c = an – 2am c = a(n-2m) เนองจาก n-2m เปนจ านวนเตม จะได a/c

3. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/(-4b+3c ) และ a/(3b-2c) แลว a/b

พสจน สมมต a/(-4b + 3c) และ a/(3b-2c) จะมจ านวนเตม n ทท าให -4b + 3c = an และมจ านวนเตม m ทท าให 3b - 2c = am ให -4b + 3c = an ……….(1) 3b - 2c = am ………..(2) (1)×2 จะไดสมการเปน -8b + 6c = 2an ……….(3) (2)×3 จะไดสมการเปน 9b - 6c = 3am ……….(4) (3)+ (4) จะได -8b + 6c + 9b - 6c = 2an + 3am b = a(2n+3m) เนองจาก 2n+3m เปนจ านวนเตม จะได a/b