ค าแนะน าในการใช้แบบฝึกคณิตศาสตร์ด้วยเทคนิคการจัดการเรียน ... · 1 ค

1

ค าแนะน าในการใชแบบฝกคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL

1. แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน เปนแบบฝกทกษะคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL ชดท 7 เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต ประกอบดวย 1.1 จดประสงคการเรยนร 1.2 เนอหาและตวอยาง 1.3 แบบฝกทกษะ 1.4 แบบทดสอบหลงเรยน 1.5 แบบบนทกผลคะแนน 1.6 บรรณานกรม 2. การท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร ใหนกเรยนปฏบต ดงน 2.1 นกเรยนศกษาเกยวกบจดประสงคการเรยนร และตวอยางใหเขาใจ สามารถแลกเปลยนความรกบเพอนหรอถามขอสงสยใหปรกษาคร 2.2 นกเรยนท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรอยางรอบคอบและมความซอสตย 2.3 นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนเมอท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร เสรจเรยบรอยแลว 2.4 นกเรยนสงแบบฝกทกษะคณตศาสตรใหครตรวจสอบความถกตอง

2

จดประสงคการเรยนร

แบบฝกทกษะคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL ชดท 7 เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต

ดานความร นกเรยนสามารถ

หาผลบวกของอนกรมอนนตทก าหนดใหไดถกตอง

ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนสามารถสอความหมาย และน าเสนอสญลกษณผลบวกอนกรมอนนตได ดานคณลกษณะอนพงประสงค นกเรยนมความซอสตยในกจกรรมการเรยนรเรองผลบวกอนกรมอนนต

3

แบบฝกทกษะ หนวยยอยท 2 : อนกรมอนนต ชดท 7 เรอง ผลบวกของอนกนมอนนต

ขนตอนการแกปญหาคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL ขนตอนท 1 K (What we KNOW)

เรารอะไรหรอโจทยบอกอะไร เปนขนตอนทแบงกลมใหนกเรยนชวยกนหาสงทรเกยวกบโจทย ขนตอนท 2 W (What we WANT to know)

เราตองการรอะไร หรอโจทยใหหาอะไร มวธการอยางไร ใชวธอะไรหรอด าเนนตามกระบวน การแกโจทยปญหา เปนขนตอนอะไรบาง เปนขนตอนทนกเรยนในกลมรวมกนอภปรายเพอหา สงทตองการรเพมเตมเกยวกบโจทย

ขนตอนท 3 D (What we DO to find out) เราท าอะไร อยางไร หรอด าเนนการตามกระบวนการแกปญหา เปนขนตอนทนกเรยนชวยกน แกโจทยปญหา

ขนตอนท 4 L (What we LERNED) เราเรยนอะไรหรอหาค าตอบทไดและบอกวธคดอยางไร ค าตอบอยางไร เปนขนตอนทให

นกเรยน ชวยกนในกลมสรปเปนความรทไดจากการแกโจทยปญหาและสรปเปนความรทไดจาการเรยน

4

เนอหา

ล าดบของผลบวกยอยของอนกรม

ก าหนด ...a...aaa n321 เปนอนกรมอนนตให

11 aS 212 aaS

3213 aaaS 43214 aaaaS

n4321n a...aaaaS เรยก nS วาเปนผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม เมอ n เปนจ านวนเตมบวก เรยกล าดบอนนต ,...S,...,S,S,S n321 วา ล าดบของผลบวกยอยของอนกรม

ผลบวกของอนกรมนนต

ก าหนดอนกรมอนนต ...a...aaa n321 ให ...,S,...,S,S,S n321 เปนล าดบ

ของผลบวกยอยของอนกรมน ถาล าดบ nS เปนล าดบลเขา โดย SSnn

lim

เมอ S เปนจ านวน

จรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม ...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent

series) เรยก S วาผลบวกของอนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววา อนกรม ...a...aaa n321

เปน อนกรมลออก(Divergent series)

5

ผลบวกของอนกรมอนนตของอนกรมเรขาคณต ก าหนดใหอนกรมเรขาคณตม 1a เปนพจนแรก และ r เปนอตราสวนรวม ถา 1r แลว อนกรมนเปนอนกรมลเขา

และม r1

a1

เปนผลบวกของอนกรม

ถา 1r แลวอนกรมนเปนอนกรมลออก

6

ค าสง ใหนกเรยนแตละกลมชวยกนหาผลบวกของอนกรมอนนตทก าหนดให ตามขนตอนการแกปญหาคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL โดยเตมค าตอบลงในชองวาง

7.1 ผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม

1. จงพจารณาวาอนกรม ...2

1...

2

1

2

121

1 1n32 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล

ออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ................................................................................. .

2. จงพจารณาวาอนกรม 1n)41

(21

...641

321

81

21

เปนอนกรมลเขา

หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา

มอนกรม .................................................................................

3. จงพจารณาวาอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1 เปนอนกรมลเขา


มอนกรม .................................................................................

ขนตอนท 1 K (What we KNOW) เรารอะไรหรอโจทยบอกอะไร

ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม

7


1...

2

1

2

121


ออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา

มอนกรม ...2

1...

2

1

2

121

1 1n32


(21

...641

321

81

21



มอนกรม 1n)41

(21

...641

321

81

21


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1

เฉลย



8


1...

2

1

2

121


ออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

คาของ..................................................................................................


(21

...641

321

81

21


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

คาของ..................................................................................................



คาของ..................................................................................................

ขนตอนท 2 W (What we WANT to know) เราตองการรอะไร หรอโจทยใหหาอะไร


9


1...

2

1

2

121


ออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

คาของอนกรม ...2

1...

2

1

2

121

1 1n32 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ

ผลบวก


(21

...641

321

81

21



อนกรม 1n)41

(21

...641

321

81

21

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา อนกรม ...)n23(...)5()3()1(1 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ

ผลบวก


เฉลย



10


1...

2

1

2

121


ออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน

หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม

...2

1...

2

1

2

121

1 1n32 1S1

21

1S2 ……………………....

. 23 2

121

1S ……………....

324 21

21

21

1S …………..

)2

11(2

2

1...

2

1

2

121

1S n1n32n

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...2

11(2,...,

815

,47

,23

,1 n

หาผลบวกของอนกรม ...2

1...

2

1

2

121

1 1n32

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล 2 ผลบวกคอ 2SS

nn

ดงนน อนกรม ...2

1...

2

1

2

121

1 1n32 เปนอนกรม......... มผลบวกเทากบ ........

ขนตอนท 3 D (What we DO to find out) เราท าอะไร อยางไร หรอมวธการอยางไร


...2

1...

21

21

21

1 1n32

เปนอนกรมเรขาคณตม 21

r

r1)r1(a

Sn

1n

11

2. จงพจารณาวาอนกรม ...)41

(21

...641

321

81

21 1n


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...)41

(21

...641

321

81

21 1n

21

S1

81

21

S2 ………………………

321

81

21

S3 …………………

6425

641

321

81

21

S4

))41

(1(52

)41

(21

...641

321

81

21

S n1nn

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ,21

…………………………………………

หาผลบวกของอนกรม ...)41

(21

...641

321

81

21 1n

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล 52

ผลบวกคอ 52

SSn

n

ดงนน อนกรม ...)41

(21

...641

321

81

21 1n

เปนอนกรม…… มผลบวก

เทากบ 52

...)41

(21

...641

321

81

21 1n


r

r1)r1(a

Sn

1n

12




...)n23(...)5()3()1(1

1S1 )1(1S2 ……………………………

)3()1(1S3 …………………… )5()3()1(1S3 ……………

)n24(2n

)n23(...)5()3()1(1Sn

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ,1 ………………………………………… หาผลบวกของอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ลดลงและไมเขาใกลจ านวน ใดจ านวนหนง


(21

...641

321

81

21 1n

เปนอนกรม……...ไม

สามารถหา ผลบวกได

...)n23(...)5()3()1(1

เปนอนกรมเลขคณตม 2d

)aa(2n

S n1n

เยยมมากคะ

คนเกง

13


1...

2

1

2

121


ออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...2

1...

2

1

2

121

1 1n32 1S1

23

21

1S2

47

2

121

1S 23

815

2

1

2

121

1S 324

)2

11(2

2

1...

2

1

2

121

1S n1n32n

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...2

11(2,...,

815

,47

,23

,1 n


1...

2

1

2

121

1 1n32

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล 2 ผลบวกคอ 2SS

nn


1...

2

1

2

121

1 1n32 เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 2

เฉลย



...2

1...

21

21

21

1 1n32


r

r1)r1(a

Sn

1n

14


(21

...641

321

81

21 1n




...)41

(21

...641

321

81

21 1n

21

S1

83

81

21

S2

3213

321

81

21

S3

6425

641

321

81

21

S4

))41

(1(52

)41

(21

...641

321

81

21

S n1nn

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...)41

(1(52

,...,3213

,47

,83

,21 n


(21

...641

321

81

21 1n



SSn

n


(21

...641

321

81

21 1n

เปนอนกรมลเขา มผลบวก

เทากบ 52

...)41

(21

...641

321

81

21 1n


r

r1)r1(a

Sn

1n

15




...)n23(...)5()3()1(1

1S1 0)1(1S2

3)3()1(1S3 8)5()3()1(1S3

)n24(2n

)n23(...)5()3()1(1Sn

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...n24(2n

,...,8,3,47

,0,1

หาผลบวกของอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ลดลงและไมเขาใกลจ านวน ใดจ านวนหนง


(21

...641

321

81

21 1n

เปนอนกรมลออก ไม

สามารถหาผลบวกได

...)n23(...)5()3()1(1

เปนอนกรมเลขคณตม 2d

)aa(2n

S n1n

16


1...

2

1

2

121


ออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา

ค าตอบทไดคอ

อนกรม ...2

1...

2

1

2

121

1 1n32 เปนอนกรม............... มผลบวกเทากบ

...... สรปขนตอนดงน


...2

1...

2

1

2

121

1 1n32 หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด

จ านวนจรงนนคอ SSnn

lim

เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม

...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ

อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321

เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได

ขนตอนท 4 L (What we LEARNED) เราเรยนอะไรหรอหาค าตอบทไดและบอกวธคดอยางไร ค าตอบอยางไร


17


(21

...641

321

81

21 1n


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา


อนกรม ...)41

(21

...641

321

81

21 1n

เปนอนกรม......... มผลบวกเทากบ......

สรปขนตอนดงน หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม

...

2

1...

2

1

2

121

1 1n32 หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด จ านวนจรงนนคอ SSn

nlim





18


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ


(21

...641

321

81

21 1n

เปนอนกรม....................

............................................................................................................................................. สรปขนตอนดงน


...2

1...

2

1

2

121

1 1n32 หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด


lim





19


1...

2

1

2

121


ออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา



1...

2

1

2

121

1 1n32 เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 2

สรปขนตอนดงน


...2

1...

2

1

2

121

1 1n32 11 aS

212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS

n4321n a...aaaaS

หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด จ านวนจรงนนคอ SSn

nlim





เฉลย



20


(21

...641

321

81

21 1n




(21

...641

321

81

21 1n

เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ

52


...

2

1...

2

1

2

121

1 1n32 11 aS


n4321n a...aaaaS

หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด


lim





21




(21

...641

321

81

21 1n

เปนอนกรมลออก ไมสามารถ

หาผลบวกได สรปขนตอนดงน


...2

1...

2

1

2

121

1 1n32 11 aS


n4321n a...aaaaS



lim





เมอเขาใจแลว

เรมท าแบบฝก

กนนนะคะ

22

เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต


7...

100007

10007

1007

107

n เปนอนกรมลเขา

หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม.........................................................................................................

(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา


7...

100007

10007

1007

107

n เปน......................................

และ ....................................................................................................... (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...10

7...

100007

10007

1007

107

n

107

S1

100

7107

S2 ……………………….……

1000

7100

7107

S3 ……………………

10000

71000

7100

7107

S3 ………….

))101

(1(97

107

...10000

71000

7100

7107

S nnn

แบบฝกทกษะท 7.1

ค าชแจง ใหนกเรยนอานโจทยแลววเคราะหหาค าตอบดวยเทคนค KWDL โดยเตมค าตอบลงชองวาง

...)41

(21

...641

321

81

21 1n


r

r1)r1(a

Sn

1n

23

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ...........................................................


7...

100007

10007

1007

107

n


ผลบวกคอ n

nSS ………………………………………………


7...

100007

10007

1007

107

n เปนอนกรม……. ...................

มผลบวกเทากบ ...............................................................................................

(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ


7...

100007

10007

1007

107

n เปนอนกรม........ มผลบวกเทากบ........



...10

7...

100007

10007

1007

107

n

11 aS 212 aaS


n4321n a...aaaaS


จ านวนจรงนนคอ SSlim nn




24



(21

...647

321

81

21 1n เปนอนกรมลเขา

หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม................................................................................................................



(21

...647

321

81

21 1n เปน...........................................

และ................................................................................. (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...)41

(21

...647

321

81

21 1n

21

S1

81

21

S2 …………………………………….

321

81

21

S3 …………………………….

641

321

81

21

S4 ……………………..

1nn )

41

(21

...641

321

81

21

S …………………………………

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ..................................................................................


(21

...641

321

81

21 1n

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล....................... ผลบวกคอ

nnSS ……………………………………………


(21

...641

321

81

21 1n

เปนอนกรม...........................

มผลบวกเทากบ......................................................................................

...)41

(21

...641

321

81

21 1n


r

r1)r1(a

Sn

1n

25



(21

...641

321

81

21 1n

เปน...............................................

ม ผลบวกเทากบ.................................................................... สรปขนตอนดงน


...)41

(21

...641

321

81

21 1n

11 aS


n4321n a...aaaaS



lim





26


(...925

35


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม............................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา


(...925

35

1 1n เปนอนกรม.................................................

และ.................................................................................................................................... (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...)35

(...925

35

1 1n

1S1

35

1S2 ……………………………………

925

35

1S3 ……………………………..

1n

n )35

(...925

35

1S ……………

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ.............................................................................


(...925

35

1 1n

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ไมเขาใกลจ านวนใดจ านวน หนง


(...925

35

1 1n เปนอนกรม......................................

...)35

(...925

35

1 1n


r

1r)1r(a

Sn

1n

27



(...925

35

1 1n เปนอนกรม.................................................



...)35

(...925

35

1 1n

11 aS


n4321n a...aaaaS



lim




เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได 1

ไมยากเลยใชไหมคะ

คนเกง

28

4. จงพจารณาวาอนกรม ...n52

11...

219

29

21


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม........................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...n52

11...

219

29

21

เปน…………………………………..

(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...n52

11...

219

29

21

21

S1

29

21

S2 …………………………………

2

1929

21

S3 …………………………….

n52

11...

219

29

21

Sn …………………………..

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ................................................................................

หาผลบวกของอนกรม ...n52

11...

219

29

21

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ....................................

ดงนน อนกรม ...n52

11...

219

29

21

เปนอนกรม...........................................

...n52

11...

219

29

21

เปนอนกรมเรขาคณตม 9r

r1)r1(a

Sn

1n

29



11...

219

29

21

เปนอนกรม...................................................



...n52

11...

219

29

21

11 aS 212 aaS


n4321n a...aaaaS

หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณา................................................................................................ เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด

จ านวนจรงนนคอ.................................................. เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม

...a...aaa n321 เปน...................................................................................

เรยก S วา................................................................................................................................... ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321

เปน อนกรม............................................................ และ..............................................................

เกงมากคะนกเรยน

ท าตอนะคะ

30

5. จงพจารณาวาอนกรม ...n6)8(...1042 เปนอนกรมลเขา หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม............................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา อนกรม ...n6)8(...1042 เปน...................................................... และ......................................................................................................................................

(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม

...n6)8(...1042

2S1 42S2 …………………………………..

1042S3 …………………………….

n6)8(...1042Sn …………

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ........................................................................... หาผลบวกของอนกรม ...n6)8(...1042 พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS .................................... ดงนน อนกรม ...n6)8(...1042 เปน..................................................

...n6)8(...1042

เปนอนกรมเรขาคณตม 6d

)aa(2n

S n1n

31



11...

219

29

21

เปนอนกรม...................................................


...n6)8(...1042

11 aS 212 aaS


n4321n a...aaaaS



...a...aaa n321 เปน.....................................................................................

เรยก S วา......................................................................................................................................... ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321

เปน อนกรม............................................................ และ...........................................................

32


)21

(...21

61

61


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม............................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา


)21

(...21

61

61

เปน..................................และ..............



...n31

)21

(...21

61

61

61

S1

61

61

S2 ………………………………..

21

61

61

S3 ………………………….

n31

)21

(...21

61

61

Sn ………………………………………

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ..................................................................................


)21

(...21

61

61

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ……………………….


)21

(...21

61

61

เปนอนกรม........................................

...n31

)21

(...21

61

61


d

)aa(2n

S n1n

33



)21

(...21

61

61

เปน..........................................................



...n31

)21

(...21

61

61

11 aS 212 aaS


n4321n a...aaaaS



...a...aaa n321 เปน...............................................................................

เรยก S วา................................................................................................................................. ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321

เปน อนกรม............................................................ และ.............................................................

34

7. จงพจารณาวาอนกรม ...)2(3...1263 1n เปนอนกรมลเขา หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ................................................................................................................. (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...)2(3...1263 1n เปน....................................และ............... (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...)2(3...1263 1n

3S1

63S2 ……………………………….. 1263S3 ………………………….

1n

n )2(3...1263S ………….. ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ...............................................................................

หาผลบวกของอนกรม ...)2(3...1263 1n พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ..............................................

ดงนน อนกรม ...)2(3...1263 1n เปน.......................................................

...)2(3...1263 1n เปนอนกรมเรขาคณตม 2r

r1)r1(a

Sn

1n

35


อนกรม ...)2(3...1263 1n เปน............................................................. สรปขนตอนดงน


...)2(3...1263 1n

11 aS


n4321n a...aaaaS



...a...aaa n321 เปน......................................................................................

เรยก S วา................................................................................................................................................ ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321

เปน อนกรม............................................................ และ....................................................................

36


(10...25


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม......................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา


(10...25

510 1n เปน..................................และ.................



...)21

(10...25

510 1n

10S1

510S2 ……………………………………………..

25

510S3 …………………………………………

1nn )

21

(10...25

510S

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ....................................................


(10...25

510 1n

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล.................................... ผลบวกคอ

nnSS ………………………………………….


(10...25

510 1n เปน......................... มผลบวกเทากบ...........

...)21

(10

...25

510

1n

เปนอนกรมเรขาคณตม

21

r

r1)r1(a

Sn

1n

…………………………….

37

(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา



(10...25

510 1n เปน........................................................



...)21

(10...25

510 1n

11 aS


n4321n a...aaaaS



...a...aaa n321 เปน.......................................................................................

เรยก S วา............................................................................................................................................. ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321

เปน อนกรม............................................................ และ.....................................................................

38

9. จงพจารณาวาอนกรม ...)5(41

...425

45


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ………………………………………………………………………………… (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...)5(41

...425

45

41 1n เปน…………………………และ………



...)5(41

...425

45

41 1n

41

S1

45

41

S2 ………………………………………

425

45

41

S3 ………………………………..

1nn )5(

41

...425

45

41

S

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ................................................................................

หาผลบวกของอนกรม ...)5(41

...425

45

41 1n

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS .....................................

ดงนน อนกรม ...)5(41

...425

45

41 1n เปนอนกรม......................................

...)5(41

...425

45

41 1n


1r)1r(a

Sn

1n

…………………………….

39


อนกรม ...)5(41

...425

45

41 1n เปน................................................................



...)5(41

...425

45

41 1n

11 aS


n4321n a...aaaaS



...a...aaa n321 เปน.......................................................................................


เปน อนกรม............................................................ และ....................................................................

40


)(9

2(...

321

121

92 1n


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม............................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา


)(9

2(...

321

121

92 1n

เปน.....................และ............



...)83

)(9

2(...

321

121

92 1n

92

S1

121

92

S2 ………………………………………

321

121

92

S3 ………………………………..

1nn )

83

)(92

(...321

121

92

S

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ............................................................................................


)(9

2(...

321

121

92 1n

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS .............................................. ผลบวกคอ

nnSS …………………………………………………………………….

ดงนน อนกรม

...)83

)(9

2(...

321

121

92 1n

เปน……….. มผลบวกเทากบ.............

...)83

)(9

2(...

321

121

92 1n


r

r1)r1(a

Sn

1n

…………………………….

41



)(9

2(...

321

121

92 1n

เปน............... มผลบวกเทากบ........



...)83

)(9

2(...

321

121

92 1n

11 aS


n4321n a...aaaaS



...a...aaa n321 เปน.......................................................................................


เปน อนกรม.......................................................... และ......................................................................

ไดคะแนนเตมแนๆ

เลยคนเกง

42

เกณฑการใหคะแนน


1. ขน K บอกสงทโจทยก าหนดให - บอกสงทโจทยก าหนดใหถกตอง ขอละ 1 คะแนน - บอกสงทโจทยก าหนดใหไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน 2. ขน W บอกสงทโจทยใหหาอะไร - บอกสงทโจทยใหหาอะไรถกตอง ขอละ 1 คะแนน - บอกสงทโจทยใหหาใหไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน 3. ขน D จากโจทยท าใหเรารวาจะตองท าอะไร - แสดงการหาผลบวกยอยของอนกรม ไดถกตอง ขอละ 1 คะแนน - แสดงการหาผลบวกยอยของอนกรม ไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน - แสดงค าตอบ ไดถกตอง ขอละ 1 คะแนน - แสดงค าตอบ ไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน 4. ขน L จากโจทยท าใหเราเรยนรอะไร - อธบายสงทไดเรยนรจากโจทยโดยบอกวธคดและค าตอบทถกตอง ขอละ 1 คะแนน - อธบายสงทไดเรยนรจากโจทยโดยบอกวธคดและค าตอบทถกตอง ขอละ 0 คะแนน รวมคะแนน 50 คะแนน

43

ค าสง ใหนกเรยนแตละกลมชวยกนหาผลบวกของอนกรมอนนตทก าหนดให ตามขนตอนการแกปญหาคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL โดยเตมค าตอบลงในชองวาง

7.2 ผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม


139

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา

มอนกรม……………………………………………………………………………

2. จงพจารณาวาอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา

มอนกรม……………………………………………………………………………


ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนต โดยพจารณาจากลมตของผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม

44

3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม……………………………………………………………………………

4. จงพจารณาวาอนกรม

1n )3n2)(1n2(6

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม……………………………………………………………………………


)1n2(...

1255

253

51

n

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม……………………………………………………………………………


45


139



139

2. จงพจารณาวาอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา

มอนกรม

...151821

3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม

...16941

เฉลย



46


1n )3n2)(1n2(6


มอนกรม

1n )3n2)(1n2(6


)1n2(...

1255

253

51

n



)1n2(...

1255

253

51

n

ส ๆนะคะ ไมยากเลย

47


139

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

คาของ…………………………………………………………………………………………

2. จงพจารณาวาอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

คาของ…………………………………………………………………………………………



48

3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด

(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา ...................................................................ของอนกรม


1n )3n2)(1n2(6


...................................................................ของอนกรม


)1n2(...

1255

253

51

n


...................................................................ของอนกรม

เกงมากคะ

49


139


คาของอนกรม ...31

139 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด

2. จงพจารณาวาอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา คาของอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด

เฉลย



50

3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา คาของ อนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด


1n )3n2)(1n2(6


คาของ อนกรม

1n )3n2)(1n2(6

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด


)1n2(...

1255

253

51

n


คาของ อนกรม ...5

)1n2(...

1255

253

51

n


51

1 .จงพจารณาวาอนกรม ...31

139

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน

หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม

...31

139


139 เปนอนกรมเรขาคณต ม 31

r,9a1

r1)r1(a

Sn

1n

31

1

))31

(1(9 n

))31

(1(227 n

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...

31

139

วธท า 1 ))31

(1(227

(limSlim n

nn

n

)01(227

…………………… ผลบวกของอนกรมอนนต(S)

n

nSlim

…………… ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ.......................


วธท 2 ส าหรบอนกรมเรขาคณต ถา 1r แลวอนกรมเปนอนกรมลเขา

ผลบวกของอนกรม (S) r1

a1

227

31

1

9

227

=


52


(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม

...151821

อนกรม ...151821 เปนอนกรมเลขคณต ม 3d,21a1

)d)1n(a2(

2n

S 1n

))3)(1n()21(2(

2n

)n345(

2n

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...151821

)n345(2n

limSlimn

nn

หาคาไมได

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมล.................... และไม.............................ได

53



...16941

อนกรม ...16941 ไมใชอนกรมเลขคณตไมใชอนกรมเลขคณต หา nS โดย ...16941

...4321 222 ม 2n na

n

1i

2n iS

))3)(1n()21(2(

2n

6)1n2)(1n(n


6

)1n2)(1n(nlimSlim

nn

n


ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม............................. และไม...................................ได

54


1n )3n2)(1n2(6




1n )3n2)(1n2(6

อนกรม

...)3n2)(1n2(

6...

1196

976

756

536

)3n2)(1n2(6

1n

เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได

(อนกรม Telescopic) รปแบบ

...aak

...aak

aak

aak

1nn433221

)

a1

a1

)(aa

1(kS

1n112n

แทนคา

)3n2

131

)(35

1(6Sn

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม

1n )3n2)(1n2(6

)

3n21

31

)(35

1(6limSlim

nn

n

)031

)(21

(6

…………………………………………. ผลบวกของอนกรมอนนต(S)

n

nSlim

……………………………………. ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ …………………………

55


5253

51



หาผลบวกของอนกรมอนนต(S)ของอนกรม

...125

5253

51


5253

51

เปนอนกรมถกสรางจาการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจน ทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...

มพจนทวไปคอ )5

1(ba nnn ม n5

1เปนล าดบเรขาคณต ม

51

r

หาผลบวกของอนกรมอนนต (S)ไดดงน

ให ...6257

1255

253

51

S ...............(1)

;51

)1(r)1(

...

31257

6255

1253

251

5S

…………(2)

;)2()1(

...

52

...3125

26252

1252

252

51

5S4

n

51

1

252

51

5S4

101

51

5S4

...........

5S4

.................

45

103

S

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ...............................

...5

2...

31252

6252

1252

252

n


a1 และ 51

r

ถา 1r แลว อนกรมนเปนอนกรมลเขา

และม r1

a1


56


139

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...31

139


139 เปนอนกรมเรขาคณต ม 31

r,9a1

r1)r1(a

Sn

1n

31

1

))31

(1(9 n

))31

(1(227 n

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...

31

139

วธท า 1 ))31

(1(227

(limSlim n

nn

n

)01(227

227

ผลบวกของอนกรมอนนต(S)

n

nSlim

227

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ2

27


เฉลย




a1

227

31

1

9

=

57



...151821

อนกรม ...151821 เปนอนกรมเลขคณต ม 3d,21a1

)d)1n(a2(

2n

S 1n

))3)(1n()21(2(

2n

)n345(

2n


)n345(2n

limSlimn

nn


ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได

58



...16941

อนกรม ...16941 ไมใชอนกรมเลขคณตไมใชอนกรมเลขคณต หา nS โดย ...16941

...4321 222 ม 2n na

n

1i

2n iS

))3)(1n()21(2(

2n

6)1n2)(1n(n


6

)1n2)(1n(nlimSlim

nn

n



59


1n )3n2)(1n2(6




1n )3n2)(1n2(6

อนกรม

...)3n2)(1n2(

6...

1196

976

756

536

)3n2)(1n2(6

1n


(อนกรม Telescopic) รปแบบ

...aak

...aak

aak

aak

1nn433221

)

a1

a1

)(aa

1(kS

1n112n

แทนคา

)3n2

131

)(35

1(6Sn


1n )3n2)(1n2(6

)

3n21

31

)(35

1(6limSlim

nn

n

)031

)(21

(6

1 ผลบวกของอนกรมอนนต(S)

n

nSlim

1 ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 1

60


5253

51



หาผลบวกของอนกรมอนนต(S)ของอนกรม

...6257

1255

253

51

อนกรม ...6257

1255

253

51

เปนอนกรมถกสรางจาการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจน ทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...

มพจนทวไปคอ )5

1(ba nnn ม n5


51

r


ให ...6257

1255

253

51

S ...............(1)

;

51

)1(r)1(

...

31257

6255

1253

251

5S

…………(2)

;)2()1(

...

52

...3125

26252

1252

252

51

5S4

n

51

1

252

51

5S4

101

51

5S4

103

5S4

83

45

103

S

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 83

...5

2...

31252

6252

1252

252

n


a1 และ 51

r


และม r1

a1


61


139



อนกรมอนนต

...31

139 เปนอนกรม........................ และมผลบวกเทากบ.................


หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n

n


...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)

ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม

...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได



62


(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ อนกรม ...151821 เปนอนกรม............................... และ...........................................

สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n

n





63

3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา

ค าตอบทไดคอ อนกรมอนนต ...16941 เปนอนกรม.......................... และ...............................


หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม

โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim nn





64


1n )3n2)(1n2(6

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา



1n )3n2)(1n2(6

เปนอนกรม........................ และ.....................................



n





65


5253

51



อนกรมอนนต ...125

5253

51

เปนอนกรม................. และมผลบวกเทากบ.................


สมมตผลบวกอนกรมอนนต เปนตวแปรหนงตว( S ) เทากบอนกรมทโจทย ตองการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเปนสมการท 1

S = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน

อนกรมเรขากใชสตร r1

aS 1

ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ให

ท าซ าอกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา

66


139

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ


...31

139 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ2

27



n





เฉลย



67




อนกรม ...151821 เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได สรปขนตอนดงน


n





68


(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ อนกรมอนนต ...16941 เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได



n





69


1n )3n2)(1n2(6




1n )3n2)(1n2(6

เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได


หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม

โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim nn





70


5253

51

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา



5253

51

เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 83



nS = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน


aS 1

ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ใหท าซ า

อกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา

71

7.2 ผลบวกของอนกรมอนนต


(21

...81

41

21 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ

ม ผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม.............................................................................................................................



(21

...81

41

21 1n เปน.................................และ.....................



...)21

(21

...81

41

21 1n


(21

...81

41

21 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม

21

r,21

a1

r1)r1(a

Sn

1n

21

1

))21

(1(21 n

……………………………………………………………………….



72

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)

21

(21

...81

41

21 1n

วธท า 1 )21

1(limSlim nnn

n

…………………… …………………… ผลบวกของอนกรมอนนต(S)

n

nSlim

…………… ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม………………… และมผลบวกเทากบ.....................................



(21

...81

41

21 1n เปน…………… มผลบวกเทากบ ………


n


...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................


...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................



a1

21

1

21

…………………… =

73


(3...12581

2527

59

3 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล

ออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม .......................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา


(3...12581

2527

59

3 1n เปน...........................และ.............



...)53

(3...12581

2527

59

3 1n


(3...12581

2527

59

3 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม 53

r,3a1

r1)r1(a

Sn

1n

…………………………………….

…………………………………….

74


53

(3...12581

2527

59

3 1n

วธท า 1 ))53

(1(8

15(limSlim n

nn

n

……………………….

……………..……….


n

nSlim

……………….

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม................................... และมผลบวกเทากบ.................................. (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ


(3...12581

2527

59

3 1n เปนอนกรม............ มผลบวกเทากบ.........


n







a1

……………….

………………

75


(2...125

2252

52

2 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรม

ลออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม....................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา


(2...125

2252

52

2 1n เปนอนกรม..............และ.............


...)

51

(2...125

2252

52

2 1n


(2...125

2252

52


51

r,2a1

r1)r1(a

Sn

1n

……………………….

……………………….

……………………….

76

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)51

(2...125

2252

52

2 1n

วธท า 1 ))51

(1(35

limSlim n

nn

n

……………………….

……………………….


n

nSlim

…………….

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม........................ และมผลบวกเทากบ ....................................... (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา



(2...125

2252

52

2 1n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 35


n




...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ................................



a1

……………….

…………….

77


(32

...752

152

32 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก

และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม........................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา


(32

...752

152

32 1n เปนอนกรม.............................และ..............



...)51

(32

...752

152

32 1n


(32

...752

152


51

r,32

a1

r1)r1(a

Sn

1n

……………………….

………………………..

78


51

(32

...752

152

32 1n

วธท า 1 )5

11(

65

limSlim nnn

n

……………………….

……………………….


n

nSlim

……………………….




(32

...752

152

32 1n เปนอนกรม.............. มผลบวกเทากบ...............


n







a1

………………

…………………

79


(...827

49

23


และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ………………………………………………………………………………… (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา


(...827

49

23

1 1n เปน..............................และ......................



...)23

(...827

49

23

1 1n


(...827

49

23


r,1a1

r1)r1(a

Sn

1n

……………………….

……………………….


(...827

49

23

1 1n

))23

(1(65

limSlim n

nn

n

………………………………………………………..

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม……………………. และ………………………

80




(...827

49

23

1 1n เปนอนกรม.................................................


n





81

6. จงพจารณาวาอนกรม ...)2(2...16842 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล ออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม .............................................................................................................................. (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...)2(2...16842 1n เปน.....................................และ.............. (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...)2(2...16842 1n

อนกรม ...)2(2...16842 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม 2r,2a1

r1)r1(a

Sn

1n

……………………….

……………………….

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)2(2...16842 1n

))2(1(

32

limSlim n

nn

n

……………………………………………

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม……………………………………………….

82


อนกรม ...)2(2...16842 1n เปน........................................................... สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n

n


...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม

...................................... ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม


83


)(41

(...411

245

21 n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล

ออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา


)(41

(...411

245

21 n เปน..................................และ..............



...)43

)(41

(...411

245

21 n


)(41

(...411

245

21 n เปนอนกรมเลขคณต ม

43

d,21

a1

)aa(

2n

S n1n

……………………….

……………………….


43

)(41

(...411

245

21 n

)n43

41

(2n

limSlimn

nn

…………………………………………………………….

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม.....................................................................................

84



)(41

(...411

245

21 n เปนอนกรม………………………….


n





85


...n23...9341 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ……………………………………………………………………………… (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา อนกรม ...n23...9341 เปน......................................และ................. (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาผลบวกยอย n

พจนแรก( nS )ของอนกรม

...n23...9341 อนกรม ...n23...9341 เปนอนกรมเลขคณต ม 2d,1a1

)aa(

2n

S n1n

……………………….

……………………….

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...n23...9341

)n24(2n

limSlimn

nn

………………………………………………………………

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม…………………………………………………………

86

(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ อนกรม ...n23...9341 เปนอนกรม…………………………………….


n





พยายามตอไปนะคะ

87


...n225

...27

23

21

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก

และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม............................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา


...27

23

21

เปน..........................................และ.................



...n225

...27

23

21


...27

23

21

เปนอนกรมเลขคณต ม 2d,21

a1

)aa(

2n

S n1n

……………………….

……………………….

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...n2

25

...27

23

21

)n24(2n

limSlimn

nn

.................................................................................................

ดงนน อนกรมอนนตน เปน.................................................................................................

88



...27

23

21

เปน...............................................................


n


...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม

...................................... ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม


89

10. จงพจารณาวาอนกรม ...)1n(...830 2 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม........................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...)1n(...830 2 เปน.....................................และ...................... (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...)1n(...830 2

อนกรม ...)1n(...830 2 ไมใชอนกรมเลขคณตไมใชอนกรมเลขคณต หา nS โดย

n

1i

2n

1iin )1i(aS

n

1i

n

1i

2 1i

……………………….

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)1n(...830 2

)n(1)1n2)(1n(6n

limSlimn

nn

.......................................................................

ดงนน อนกรมอนนตน เปน.......................................................................................................

90



อนกรม ...)1n(...830 2 เปน.................................................................... สรปขนตอนดงน


n





91

11. จงพจารณาวาอนกรม ...)n2n(...901 3 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม........................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...)n2n(...901 3 เปน....................................และ................... (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...)n2n(...901 3

อนกรม ...)n2n(...901 3 ไมใชอนกรมเลขคณตไมใชอนกรมเลขคณต หา nS โดย

n

1i

23n

1iin )i2i(aS

n

1i

n

1i

23 i2i

…………………………………………………………………….

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)n2n(...901 3

))1n2)(1n(6n

(2))1n(2n

(limSlim 2

nn

n

.........................................................

ดงนน อนกรมอนนตน เปน.....................................................................................................

92


อนกรม ...)n2n(...901 3 เปน.............................................................. สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n

n





93


1n )2n)(1n(5

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ……………………………………………………………………………….. (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม

1n )2n)(1n(5

เปน………………………………….และ………………..



1n )2n)(1n(5

อนกรม ...)2n)(1n(

5...

545

435

535

)2n)(1n(5

1n


(อนกรม Telescopic)รปแบบ

...aak

...aak

aak

aak

1nn433221

)

a1

a1

)(aa

1(kS

1n112n

แทนคา

)2n

121

)(23

1(5Sn


1n )2n)(1n(5

)

2n1

21

)(23

1(5limSlim

nn

n

……………………….

……………………….


n

nSlim ……………………………………………..

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ.........................................

94



1n )2n)(1n(5

เปน............................และมผลบวกเทากบ...................



n





สๆ นะคะ

ไมมอะไรยาก

95


1n )4n2)(2n2(7

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ........................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม

1n )4n2)(2n2(7

เปน..................................................และ.....................



1n )4n2)(2n2(7

อนกรม ...)4n2)(2n2(

7...

1087

867

647

)4n2)(2n2(7

1n



...aak

...aak

aak

aak

1nn433221

)

a1

a1

)(aa

1(kS

1n112n

แทนคา

……………………….


1n )4n2)(2n2(7

)

4n21

41

)(46

1(7limSlim

nn

n

……………………….

……………………….


n

nSlim ……………………….

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ ……………………….

96



1n )4n2)(2n2(7

เปน…………………และมผลบวกเทากบ...............



n





97


1n )4n3)(1n3(6

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม …………………………………………………………………………………. (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม

1n )4n3)(1n3(6

เปน……………………………และ………………….



1n )4n3)(1n3(6

อนกรม

...)4n3)(1n3(

6...

13106

1076

746

)4n3)(1n3(6

1n



...aak

...aak

aak

aak

1nn433221

)

a1

a1

)(aa

1(kS

1n112n

แทนคา

)4n3

141

)(47

1(6Sn


1n )4n3)(1n3(6

)

4n31

41

)(47

1(6limSlim

nn

n

……………………….

……………………….


n

nSlim ………………………………………...

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ .................................

98



1n )4n3)(1n3(6

เปน…………………….และมผลบวกเทากบ.................



n





99


1n )5n)(4n)(3n(3

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม .......................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม

1n )5n)(4n)(3n(3

เปน...........................................และ....................



1n )5n)(4n)(3n(3

อนกรม

...)5n)(4n)(3n(

3...

8763

7653

6543

)5n)(4n)(3n(3

1n


(อนกรม Telescopic)รปแบบ 321 aaa

k 432 aaa

k

543 aaak

...aaa

k...

2n1nn

)

aa1

aa1

)(aa

1(kS

2n1n2113n

แทนคา

……………………….


1n )5n)(4n)(3n(3

)

)5n)(4n(1

541

)(46

1(3limSlim

nn

n

……………………….

……………………….


n

nSlim

……………………….

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ......................................

100



1n )5n)(4n)(3n(3

เปน.......................และมผลบวกเทากบ ..............



n





101


1n )3n2)(1n2)(1n2(3

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม.......................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม

1n )3n2)(1n2)(1n2(3

เปน....................................และ.......................



1n )3n2)(1n2)(1n2(3

อนกรม

...)3n2)(1n2)(1n2(

3...

10753

7533

5313

)3n2)(1n2)(1n2(3

1n



k 432 aaa

k

543 aaak

...aaa

k...

2n1nn

)

aa1

aa1

)(aa

1(kS

2n1n2113n

แทนคา

……………………………………………….…………………….


1n )3n2)(1n2)(1n2(3

)

)3n2)(1n2(1

311

)(15

1(3limSlim

nn

n

………………………………………….………………….

…………………………………………………………….

102


n

nSlim

……………………….

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ ........................................................



1n )3n2)(1n2)(1n2(3

เปน.......................และมผลบวกเทากบ

............ สรปขนตอนดงน


n





103


1n )8n3)(5n3)(2n3(5

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม............................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม

1n )8n3)(5n3)(2n3(5

เปน.........................................และ..................



1n )8n3)(5n3)(2n3(5

อนกรม

...)8n3)(5n3)(2n3(

5...

1714115

141185

11855

)8n3)(5n3)(2n3(5

1n



k 432 aaa

k

543 aaak

...aaa

k...

2n1nn

)

aa1

aa1

)(aa

1(kS

2n1n2113n

แทนคา

…………………………………………………………………………….


1n )8n3)(5n3)(2n3(5

)

)8n3)(5n3(1

851

)(511

1(5limSlim

nn

n

……………………………………………….……….

……………………………………………….……….

104


n

nSlim

……………………………………………………..…………….

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ..........................................................



1n )8n3)(5n3)(2n3(5

เปน................... และมผลบวกเทากบ.............



n





ตงใจตอไปนะคะ

105


37

35

33

432

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ......................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา


37

35

33

432 เปน...........................................และ........................


หาผลบวกของอนกรมอนนต (S) ของอนกรม

...39

37

35

33

432


37

35

33

432

เปนอนกรมถกสรางจากการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจนทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...

มพจนทวไปคอ nnn31

ba ม n31เปนล าดบเรขาคณต ม

31

r


ให ...39

37

35

33

432 ...............(1)

;31

)1(r)1(

...

39

37

35

33

3S

5432 …………(2)

;)2()1(

...

32

...32

32

32

1S32

n432

S

32

……………………….

……………………….

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา

และมผลบวกเทากบ 34

...n3

2...43

233

223

2 เปน

อนกรมเรขาคณตม 21 32

a และ 31

r


และม r1

a1


............................

.

106



37

35

33

432 เปน………………… และมผลบวกเทากบ..............



S = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน อนกรมเรขากใชสตร............................. ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ใหท าซ า อกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา

19. จงพจารณาวาอนกรม ...54535251 432

107

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...54535251 432 เปน.............................และ........................ (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน

หาผลบวกของอนกรมอนนต(S) ของอนกรม

...54535251 432

อนกรม ...54535251 432 เปนอนกรมถกสรางจากการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจนทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...

มพจนทวไปคอ nnn 5ba ม n5 เปนล าดบเรขาคณต ม 5r

หาผลบวกของอนกรมอนนต (S) ไดดงน

ให ...54535251S 432 ...............(1)

;5)1(r)1(

...54535251S5 5432 …………(2)

;)2()1(

....5151515151S4 5432

S4

S

165

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ..................................................


....5151515151 5432 เปนอนกรมเรขาคณตม 5a1 และ 5r ถา 1r แลว อนกรมนเปนอนกรมลเขา

และม r1

a1


..............................

. ..............................

. ...............................

108


อนกรมอนนต ...54535251 432 เปน.................. และมผลบวกเทากบ............. สรปขนตอนดงน


S = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน อนกรมเรขากใชสตร............................ ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ให ท าซ าอกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา


169

86

44

23

เยยมมากๆ เลยคะ

109

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ………………………………………………………………………………… (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...3213

169

86

44

23

เปน………………………….และ……………….



...3213

169

86

44

23

อนกรม ...3213

169

86

44

23



1ba ม n2


21

r


ให ...3213

169

86

44

23

S ...............(1)

;21

)1(r)1(

...

6413

329

166

84

43

S21

…………(2)

;)2()1(

...

645

324

163

82

41

23

S21

…………(3)

;21

)3(r)3(

...128

5654

323

162

81

43

S41

…………(4)

;)4()3(

S41

S

41

...

1281

651

321

161

81

เปนอนกรม

เรขาคณตม 81

a1 และ 41

r


และม r1

a1


……………………………………………

………………………

110

S

41

S

……………………….

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม…………………. และมผลบวกเทากบ ……………………




169

86

44

23

เปน....................... และมผลบวกเทากบ ............



S = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน อนกรมเรขากใชสตร............................... ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ใหท าซ า อกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา

………………………

………………………

111

เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทกษะท 7.2

1. ขน K บอกสงทโจทยก าหนดให - บอกสงทโจทยก าหนดใหถกตอง ขอละ 1 คะแนน - บอกสงทโจทยก าหนดใหไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน 2. ขน W บอกสงทโจทยใหหาอะไร - บอกสงทโจทยใหหาอะไรถกตอง ขอละ 1 คะแนน - บอกสงทโจทยใหหาใหไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน 3. ขน D จากโจทยท าใหเรารวาจะตองท าอะไร

- แสดงการหาผลบวกของอนกรมอนนต ไดถกตอง ขอละ 1 คะแนน - แสดงการหาผลบวกของอนกรมอนนต ไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน - แสดงค าตอบ ไดถกตอง ขอละ 1 คะแนน - แสดงค าตอบ ไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน 4. ขน L จากโจทยท าใหเราเรยนรอะไร - อธบายสงทไดเรยนรจากโจทยโดยบอกวธคดและค าตอบทถกตอง ขอละ 1 คะแนน - อธบายสงทไดเรยนรจากโจทยโดยบอกวธคดและค าตอบทถกตอง ขอละ 0 คะแนน

รวมคะแนน 100 คะแนน

แบบทดสอบหลง

เรยน

112

ชดท 7 เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต ค าชแจง จงเขยนเครองหมายกากบาท () ทบตวอกษรหนาค าตอบทถกทสดเพยงขอเดยว

1. ผลบวกของอนกรม ...250

3503

103

23

เทากบขอใด

1. 1012

2. 45

3. 8

15

4. ไมสามารถหาผลบวกได

2. ผลบวกของอนกรม n

1n 41

3


1. 43

2. 1 3. 4 4. ไมสามารถหาผลบวกได


1816

64

21


1. 23

2. 64

3. 23


4. ผลบวกของอนกรม

1n

nn )43( เทากบขอใด

113

1. 31

2. 21

3. 65

4. ไมสามารถหาผลบวกได 5. ขอใดเปนอนกรมลเขา

1. ...427

29

32

2. ...275

95

35

5

3. ...227

211

23

21

4. ...9

643

1643


1n )6n5)(1n5(10


1. 31

2. 51

3. 61



1n )11n3)(8n3)(5n3(11


114

1. 61

2. 81

3. 481



1n )9n4)(5n4)(1n4(5


1. 721

2. 451

3. 81



17

3

13

3

935

432 เทากบขอใด

1. 9

14

2. 27

3. 3 4. ไมสามารถหาผลบวกได


169

87

45

23


1. 47

2. 27

3. 5 4. ไมสามารถหาผลบวกได

เกณฑการใหคะแนน

แบบทดสอบหลงเรยน ตอบไดถกตอง ขอละ 1 คะแนน ตอบผดหรอไมตอบ ขอละ 0 คะแนน รวมคะแนน 10 คะแนน

115

แบบฝกทกษะคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL ชดท 7 เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต

รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ผลการประเมน (ผาน/ ไมผาน)

แบบฝกทกษะคณตศาสตร ท 7.1 แบบฝกทกษะคณตศาสตร ท 7.2

50 100

…………. ………….

………………..

รวมคะแนนแบบฝกทกษะคณตศาสตร 150 …………. แบบทดสอบหลงเรยน 10 …………. ………………..

เกณฑการประเมน นกเรยนไดคะแนนรวมของแบบฝกทกษะคณตศาสตร รอยละ 80 ขนไป ถอวา “ผานเกณฑ” นกเรยนไดคะแนนแบบทดสอบหลงเรยน รอยละ 80 ขนไป ถอวา “ผานเกณฑ”

บรรณานกรม

แบบบนทกผลคะแนน

116

จกรนทร วรรณโพธกลาง. สดยอดเทคนคสาระคณตศาสตรการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร ม. 6 (2 ภาคเรยน) Pure…pure กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ : พ.ศ.พฒนา จ ากด, มปป. จระ เจรญสขวมล. สรปหลก & สตรคณตศาสตร ม. 6 เลมรวม 1-2 (สาระการเรยนรเพมเตม). กรงเทพฯ :ไฮเอดพบลชชง จ ากด, มปป. ณรงค ปนนม. คมอ-เตรยมสอบคณตศาสตรเพมเตม ม. 6 เลม 2. กรงเทพฯ : ภมบณฑตการพมพ จ ากด, มปป. ทรงวทย สวรรณธาดา. หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2. กรงเทพฯ : แมค เอดดเคชน, 2555. ธนวฒน สนทราพรพล. คมอรายวชาคณตศาสตรพนฐานและเพมเตมม.ปลายเลม 6 ชนมธยมศกษาปท 4-6. กรงเทพฯ : ธรรมบณฑต, มปป. ศภกจ เฉลมวสตมกลล. เทคนค คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 6 เลม 2. กรงเทพฯ : แมค, 2550. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม

คณตศาสตรเลม 2 ชนมธยมศกษาปท 6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรการศกษาขน พนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ : สกสค. ลาดพราว, 2550.

117

ภาคผนวก

118

เฉลยแบบฝกทกษะท 7.1


119

เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต


7...

100007

10007

1007

107

n เปนอนกรมลเขา



7...

100007

10007

1007

107

n



7...

100007

10007

1007

107

n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล

ออกและผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...10

7...

100007

10007

1007

107

n

107

S1

10077

1007

107

S2

1000777

10007

1007

107

S3

100007777

100007

10007

1007

107

S3

))101

(1(97

107

...10000

71000

7100

7107

S nnn

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...)

101

(1(97

,...,100007777

,1000777

,10077

,107 n


7...

100007

10007

1007

107

n


...)41

(21

...641

321

81

21 1n


r

r1)r1(a

Sn

1n

120



SSn

n


7...

100007

10007

1007

107

n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 97



7...

100007

10007

1007

107

n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 97



...10

7...

100007

10007

1007

107

n 11 aS


n4321n a...aaaaS



lim






(21

...647

321

81


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด

121

(K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา

มอนกรม ...)41

(21

...647

321

81

21 1n



(21

...647

321

81




...)41

(21

...647

321

81

21 1n

21

S1

83

81

21

S2

3213

321

81

21

S3

6425

641

321

81

21

S4

))41

(1(52

)41

(21

...641

321

81

21

S n1nn


(1(52

,...,6425

,3213

,83

,21 n


(21

...641

321

81

21 1n



SSn

n


(21

...641

321

81

21 1n


52


...)41

(21

...641

321

81

21 1n


r

r1)r1(a

Sn

1n

122


(21

...641

321

81

21 1n


52



...)41

(21

...641

321

81

21 1n

11 aS


n4321n a...aaaaS



lim






(...925

35


หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด

123

(K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา


(...925

35

1 1n



(...925

35

1 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก



...)35

(...925

35

1 1n

1S1

38

35

1S2

949

925

35

1S3

)1)35

((23

)35

(...925

35

1S n1nn

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...1)35

((23

,...,949

,38

,1 n


(...925

35

1 1n

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ไมเขาใกลจ านวนใดจ านวน หนง


(...925

35

1 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได


...)35

(...925

35

1 1n


r

1r)1r(a

Sn

1n

124


(...925

35




...)35

(...925

35

1 1n

11 aS


n4321n a...aaaaS



lim






11...

219

29

21


ไมยากเลยใชไหมคะ

คนเกง

125


มอนกรม ...n52

11...

219

29

21



11...

219

29

21




...n52

11...

219

29

21

21

S1

28

29

21

S2

227

219

29

21

S3

))9(1(201

n52

11...

219

29

21

S nn

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...)9(1(201

,...,227

,47

,28

,21 n


11...

219

29

21

พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง


11...

219

29

21

เปนอนกรมลออก ไมสามารถหา

ผลบวกได


...n52

11...

219

29

21


r1)r1(a

Sn

1n

126



11...

219

29

21

เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได



...n52

11...

219

29

21

11 aS 212 aaS


n4321n a...aaaaS



lim




เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได 5. จงพจารณาวาอนกรม ...n6)8(...1042 เปนอนกรมลเขา


ท าตอนะคะ

127

หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ...n6)8(...1042 (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา อนกรม ...n6)8(...1042 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก

(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม

...n6)8(...1042

2S1 242S2

121042S3

)n610(2n

n6)8(...1042Sn

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...n610(2n

,...,12,2,2

หาผลบวกของอนกรม ...n6)8(...1042 พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง ดงนน อนกรม ...n6)8(...1042 เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได


...n6)8(...1042 เปนอนกรมเรขาคณตม 6d

)aa(2n

S n1n

128



11...

219

29

21

เปนอนกรมลออก มสามารถหาผลบวกได


...n6)8(...1042

11 aS 212 aaS


n4321n a...aaaaS



lim





129


)21

(...21

61

61




)21

(...21

61

61



)21

(...21

61

61

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ

ผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...n31

)21

(...21

61

61

61

S1

061

61

S2

21

21

61

61

S3

)n31

32

(2n

n31

)21

(...21

61

61

Sn

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...n31

32

(2n

,...,21

,0,61


)21

(...21

61

61



)21

(...21

61

61

เปนอนกรมลออก ไมสามารถหา


...n31

)21

(...21

61

61


d

)aa(2n

S n1n

130



)21

(...21

61

61

เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได



...n31

)21

(...21

61

61

11 aS 212 aaS


n4321n a...aaaaS



lim





131

7. จงพจารณาวาอนกรม ...)2(3...1263 1n เปนอนกรมลเขา หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา

มอนกรม ...)2(3...1263 1n (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...)2(3...1263 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก



...)2(3...1263 1n

3S1

963S2 211263S3

)12(3)2(3...1263S n1n

n

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...12(3,...,21,47

,9,3 n

หาผลบวกของอนกรม ...)2(3...1263 1n พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง

ดงนน อนกรม ...)2(3...1263 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได

...)2(3...1263 1n


r1)r1(a

Sn

1n

132


อนกรม ...)2(3...1263 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได สรปขนตอนดงน


...)2(3...1263 1n

11 aS


n4321n a...aaaaS



lim





133


(10...25




(10...25

510 1n



(10...25




...)21

(10...25

510 1n

10S1

5510S2

215

25

510S3

))21

(1(3

20)

21

(10...25

510S 1n1nn


(1(3

20,...,

215

,5,10 1n


(10...25

510 1n


20


20SS

nn


(10...25


20

...)21

(10

...25

510

1n

เปนอนกรมเรขาคณตม

21

r

r1)r1(a

Sn

1n

134




(10...25


20



...)21

(10...25

510 1n

11 aS


n4321n a...aaaaS



lim





135

9. จงพจารณาวาอนกรม ...)5(41

...425

45



มอนกรม ...)5(41

...425

45

41 1n


อนกรม ...)5(41

...425

45




...)5(41

...425

45

41 1n

41

S1

23

45

41

S2

431

425

45

41

S3

)15(161

)5(41

...425

45

41

S n1nn

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...15(

161

,...,431

,23

,41 n

หาผลบวกของอนกรม ...)5(41

...425

45

41 1n


ดงนน อนกรม ...)5(41

...425

45

41 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหา


...)5(41

...425

45

41 1n


1r)1r(a

Sn

1n

136


อนกรม ...)5(41

...425

45




...)5(41

...425

45

41 1n

11 aS


n4321n a...aaaaS



lim





137


)(9

2(...

321

121

92 1n




)(9

2(...

321

121

92 1n



)(9

2(...

321

121

92 1n

เปนอนกรมลเขาหรออนกรม

ลออกและผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...)83

)(9

2(...

321

121

92 1n

92

S1

3611

121

92

S2

185

321

121

92

S3

)1)43

((9916

)83

)(9

2(...

321

121

92

S 1n1nn

ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...1)

43

((9916

,...,185

,3611

,92 1n


)(9

2(...

321

121

92 1n



SSn

n

...)83

)(9

2(...

321

121

92 1n


r

r1)r1(a

Sn

1n

138

ดงนน อนกรม

...)83

)(9

2(...

321

121

92 1n


9916




)(9

2(...

321

121

92 1n


9916



...)83

)(9

2(...

321

121

92 1n

11 aS


n4321n a...aaaaS



lim





ไดคะแนนเตมแนๆ

เลยคนเกง

139


140

7.2 ผลบวกของอนกรมอนนต


(21

...81

41


ม ผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา


(21

...81

41

21 1n



(21

...81

41




...)21

(21

...81

41

21 1n


(21

...81

41


21

r,21

a1

r1)r1(a

Sn

1n

21

1

))21

(1(21 n

n2

11



141


21

(21

...81

41

21 1n

วธท า 1 )21

1(limSlim nnn

n

01 1 ผลบวกของอนกรมอนนต(S)

n

nSlim

1 ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 1



(21

...81

41



n







a1

21

1

21

1 =

142


(3...12581

2527

59


ออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา


(3...12581

2527

59

3 1n



(3...12581

2527

59




...)53

(3...12581

2527

59

3 1n


(3...12581

2527

59


r,3a1

r1)r1(a

Sn

1n

53

1

))53

(1(3 n

))

53

(1(8

15 n

143


53

(3...12581

2527

59

3 1n

วธท า 1 ))53

(1(8

15(limSlim n

nn

n

)01(8

15

8

15


n

nSlim

8

15


15



(3...12581

2527

59

3 1n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ

815


n






a1

)

53

(1

3

8

15

=

144



(2...125

2252

52

2 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรม

ลออก

และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา


(2...125

2252

52

2 1n



(2...125

2252

52




...)51

(2...125

2252

52

2 1n


(2...125

2252

52


51

r,2a1

r1)r1(a

Sn

1n

51

1

))51

(1(2 n

))

51

(1(6

10 n

))

51

(1(35 n

145


51

(2...125

2252

52

2 1n

วธท า 1 ))51

(1(35

limSlim n

nn

n

)01(35

35


n

nSlim

35





(2...125

2252

52



n






a1

51

1

2

35

=

146



(32

...752

152




(32

...752

152

32 1n



(32

...752

152




...)51

(32

...752

152

32 1n


(32

...752

152


51

r,32

a1

r1)r1(a

Sn

1n

51

1

))51

(1(32 n

)

51

1(65

n

147


51

(32

...752

152

32 1n

วธท า 1 )5

11(

65

limSlim nnn

n

)01(65

65


n

nSlim

65




(32

...752

152

32 1n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ

65


n






a1

51

1

32

65

=

148



(...827

49

23




(...827

49

23

1 1n



(...827

49

23


และผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน


...)23

(...827

49

23

1 1n


(...827

49

23


r,1a1

r1)r1(a

Sn

1n

51

1

))23

(1(1 n

))

23

(1(65 n


(...827

49

23

1 1n

))23

(1(65

limSlim n

nn

n

หาคาไมได ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได

149



(...827

49

23



n





150

6. จงพจารณาวาอนกรม ...)2(2...16842 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา

มอนกรม ...)2(2...16842 1n (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...)2(2...16842 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ ผลบวก



...)2(2...16842 1n

อนกรม ...)2(2...16842 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม 2r,2a1

r1)r1(a

Sn

1n

21))2(1(2 n

))2(1(

32 n

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)2(2...16842 1n

))2(1(

32

limSlim n

nn

n



151


อนกรม ...)2(2...16842 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n

n





152


)(41

(...411

245


ออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา


)(41

(...411

245

21 n



)(41

(...411

245


ออกและ ผลบวก



...)43

)(41

(...411

245

21 n


)(41

(...411

245

21 n เปนอนกรมเลขคณต ม

43

d,21

a1

)aa(

2n

S n1n

)n

43

41

21

(2n

)n

43

41

(2n


43

)(41

(...411

245

21 n

153

)n43

41

(2n

limSlimn

nn





)(41

(...411

245

21 n เปนอนกรมลออก และไมสามารถหา

ผลบวกได สรปขนตอนดงน


n





154


...n23...9341 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก

และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ...n23...9341 (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา อนกรม ...n23...9341 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก


...n23...9341

อนกรม ...n23...9341 เปนอนกรมเลขคณต ม 2d,1a1

)aa(

2n

S n1n

)n231(

2n

)n24(

2n

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...n23...9341

)n24(2n

limSlimn

nn



155


ค าตอบทไดคอ อนกรม ...n23...9341 เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได


n





156


...n225

...27

23

21

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก



...27

23

21



...27

23

21




...n225

...27

23

21


...27

23

21

เปนอนกรมเลขคณต ม 2d,21

a1

)aa(

2n

S n1n

)n2

25

21

(2n

)n23(

2n

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...n2

25

...27

23

21

)n24(2n

limSlimn

nn



157



...27

23

21

เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได


n





158

10. จงพจารณาวาอนกรม ...)1n(...830 2 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา

มอนกรม ...)1n(...830 2 (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...)1n(...830 2 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก



...)1n(...830 2

อนกรม ...)1n(...830 2 ไมใชอนกรมเลขคณตไมใชอนกรมเลขคณต หา nS โดย

n

1i

2n

1iin )1i(aS

n

1i

n

1i

2 1i

)n(1)1n2)(1n(

6n

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)1n(...830 2

)n(1)1n2)(1n(6n

limSlimn

nn



159



อนกรม ...)1n(...830 2 เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได สรปขนตอนดงน


n





160

11. จงพจารณาวาอนกรม ...)n2n(...901 3 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา

มอนกรม ...)n2n(...901 3 (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...)n2n(...901 3 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก



...)n2n(...901 3

อนกรม ...)n2n(...901 3 ไมใชอนกรมเลขคณตไมใชอนกรมเลขคณต หา nS โดย

n

1i

23n

1iin )i2i(aS

n

1i

n

1i

23 i2i

))1n2)(1n(

6n

(2))1n(2n

( 2

หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)n2n(...901 3

))1n2)(1n(6n

(2))1n(2n

(limSlim 2

nn

n



161



อนกรม ...)n2n(...901 3 เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได


n





162


1n )2n)(1n(5


มอนกรม

1n )2n)(1n(5


อนกรม

1n )2n)(1n(5




1n )2n)(1n(5

อนกรม ...)2n)(1n(

5...

545

435

535

)2n)(1n(5

1n



...aak

...aak

aak

aak

1nn433221

)

a1

a1

)(aa

1(kS

1n112n

แทนคา

)2n

121

)(23

1(5Sn


1n )2n)(1n(5

)

2n1

21

)(23

1(5limSlim

nn

n

163

)021

)(1(5

25


n

nSlim 2

5




1n )2n)(1n(5




n





164


1n )4n2)(2n2(7


มอนกรม

1n )4n2)(2n2(7


อนกรม

1n )4n2)(2n2(7




1n )4n2)(2n2(7

อนกรม ...)4n2)(2n2(

7...

1087

867

647

)4n2)(2n2(7

1n



...aak

...aak

aak

aak

1nn433221

)

a1

a1

)(aa

1(kS

1n112n

แทนคา

)4n2

141

)(46

1(7Sn


1n )4n2)(2n2(7

)

4n21

41

)(46

1(7limSlim

nn

n

165

)041

)(21

(7

87


n

nSlim 8

7




1n )4n2)(2n2(7




n





166


1n )4n3)(1n3(6


มอนกรม

1n )4n3)(1n3(6


อนกรม

1n )4n3)(1n3(6




1n )4n3)(1n3(6

อนกรม

...)4n3)(1n3(

6...

13106

1076

746

)4n3)(1n3(6

1n



...aak

...aak

aak

aak

1nn433221

)

a1

a1

)(aa

1(kS

1n112n

แทนคา

)4n3

141

)(47

1(6Sn


1n )4n3)(1n3(6

167

)

4n31

41

)(47

1(6limSlim

nn

n

)041

)(2(

21


n

nSlim 2

1




1n )4n3)(1n3(6




n





168


1n )5n)(4n)(3n(3


มอนกรม

1n )5n)(4n)(3n(3


อนกรม

1n )5n)(4n)(3n(3




1n )5n)(4n)(3n(3

อนกรม

...)5n)(4n)(3n(

3...

8763

7653

6543

)5n)(4n)(3n(3

1n



k 432 aaa

k

543 aaak

...aaa

k...

2n1nn

)

aa1

aa1

)(aa

1(kS

2n1n2113n

แทนคา

))5n)(4n(

154

1)(

461

(3Sn


1n )5n)(4n)(3n(3

169

)

)5n)(4n(1

541

)(46

1(3limSlim

nn

n

)0101

)(3( 203


n

nSlim

203




1n )5n)(4n)(3n(3




n





170


1n )3n2)(1n2)(1n2(3


มอนกรม

1n )3n2)(1n2)(1n2(3


อนกรม

1n )3n2)(1n2)(1n2(3




1n )3n2)(1n2)(1n2(3

อนกรม

...)3n2)(1n2)(1n2(

3...

10753

7533

5313

)3n2)(1n2)(1n2(3

1n



k 432 aaa

k

543 aaak

...aaa

k...

2n1nn

)

aa1

aa1

)(aa

1(kS

2n1n2113n

แทนคา

))3n2)(1n2(

131

1)(

151

(3Sn

171


1n )3n2)(1n2)(1n2(3

)

)3n2)(1n2(1

311

)(15

1(3limSlim

nn

n

)031

)(43

(

41


n

nSlim

41





1n )3n2)(1n2)(1n2(3




n





172


1n )8n3)(5n3)(2n3(5


มอนกรม

1n )8n3)(5n3)(2n3(5


อนกรม

1n )8n3)(5n3)(2n3(5




1n )8n3)(5n3)(2n3(5

อนกรม

...)8n3)(5n3)(2n3(

5...

1714115

141185

11855

)8n3)(5n3)(2n3(5

1n



k 432 aaa

k

543 aaak

...aaa

k...

2n1nn

)

aa1

aa1

)(aa

1(kS

2n1n2113n

แทนคา

))8n3)(5n3(

185

1)(

5111

(5Sn

173


1n )8n3)(5n3)(2n3(5

)

)8n3)(5n3(1

851

)(511

1(5limSlim

nn

n

)0401

)(65

(

481


n

nSlim

481





1n )8n3)(5n3)(2n3(5

เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ

481



n





174


37

35

33

432



37

35

33

432



37

35

33

432 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก


หาผลบวกของอนกรมอนนต (S) ของอนกรม

...39

37

35

33

432


37

35

33

432



ba ม n31

เปนล าดบเรขาคณต ม 31

r


ให ...39

37

35

33

432 ...............(1)

;31

)1(r)1(

...

39

37

35

33

3S

5432 …………(2)

;)2()1(

...

32

...32

32

32

1S32

n432

...n3

2...43

233

223

2 เปน

อนกรมเรขาคณตม 21 32

a และ 31

r

175

31

1

92

1S32

)

23

92

(1

34




37

35

33

432 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 34





aS 1



176

19. จงพจารณาวาอนกรม ...54535251 432 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา

มอนกรม ...54535251 432 (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา

อนกรม ...54535251 432 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก



...54535251 432 อนกรม ...54535251 432 เปนอนกรมถกสรางจากการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจนทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...

มพจนทวไปคอ nnn 5ba ม n5 เปนล าดบเรขาคณต ม 5r

หาผลบวกของอนกรมอนนต (S) ไดดงน ให ...54535251S 432 ...............(1)

;5)1(r)1(

...54535251S5 5432 …………(2)

;)2()1(

....5151515151S4 5432

515

S4

)

41

(45

S

....5151515151 5432 เปนอนกรมเรขาคณตม 5a1 และ 5r ถา 1r แลว อนกรมนเปนอนกรมลเขา

และม r1

a1


177

165



อนกรมอนนต ...54535251 432 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 165





aS 1



178


169

86

44

23



169

86

44

23


อนกรม ...3213

169

86

44

23




...3213

169

86

44

23

อนกรม ...3213

169

86

44

23



1ba ม n2


21

r


ให ...3213

169

86

44

23

S ...............(1)

179

;21

)1(r)1(

...

6413

329

166

84

43

S21

…………(2)

;)2()1(

...

645

324

163

82

41

23

S21

…………(3)

;21

)3(r)3(

...128

5654

323

162

81

43

S41

…………(4)

;)4()3(

...128

1651

321

161

81

42

23

S41

41

1

81

42

23

S41

41

1S41

4

45

S

5

ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 5 (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา



169

86

44

23





...128

1651

321

161

81

เปนอนกรม

เรขาคณตม 81

a1 และ 41

r


และม r1

a1


180


aS 1



เฉลยแบบทดสอบ

ชดท 7 เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต

(1) 3 (2) 1 (3) 4 (4) 3 (5) 2 (6) 1 (7) 3 (8) 1 (9) 2 (10) 3

Documents

ค าแนะน าในการใช้แบบฝึกคณิตศาสตร์ด้วยเทคนิคการจัดการเรียน ... · 1 ค