Hàm số lượng giác lớp 11 - 2015

DANAMATH

www.toanhocdanang.com

www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

ĐẠI SỐ

11

GV:Phan Nhật Nam

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

http://www.toanhocdanang.com/


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Đường tròn lượng giác :

1. Công thức cung liên kết : 1. Hai cung đối nhau (a , -a)

3. hai cung phụ nhau (a , a−2π )

2. Hai cung bù nhau (a , a−π )

Trục Cot

Trục Sin

Trục Cos

Trục Tan

0

22

23

21

21

23

22

22

−

21

−

23

−

21

−

22

−

23

−

32π

3π

4π

6π

43π

65π

67π

4

5π

34π

23π

35π

47π

611π

31

1

2π

0

π

3

31

3

3−

3

1−

1−

31

−

1−

3−

1

1

1−

1−

aaaaaaaa

cot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(

−=−−=−

=−−=−

aa

aa

aa

aa

tan)2

cot(

cot)2

tan(

sin)2

cos(

cos)2

sin(

=−

=−

=−

=−

π

π

π

π

aaaaaaaa

cot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(

−=−−=−−=−

=−

ππππ




4. Hai cung hơn kém nhau π (a , a+π ) 5. Hai cung hơn kém nhau2π (a , a+

2π )

3. Công thức lượng giác cơ bản : 1. Công thức cộng cung :

2. Công thức nhân đôi :

3. Công thức nhân ba : 4. Công thức hạ bậc hai : 4. Công thức hạ bậc ba : 6. Công thức biến đổi tích thành tổng

7. ông thức biến đổi tổng thành tích :

aaaaaaaa

cot)cot(tan)tan(

cos)cos(sin)sin(

=+=+−=+−=+

ππππ

aa

aa

aa

aa

tan)2

cot(

cot)2

tan(

sin)2

cos(

cos)2

sin(

−=+

−=+

−=+

=+

π

π

π

π

bababa

babababababa

tantan1tantan)tan(

sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(

±=±

=±±=±

aaa

aaa

aaaaaCosxxaaaaaSin

cot21cot2cot

tan1tan22tan

sin211cos2sincos2)cos(sin11)cos(sincossin22

2

2

2222

22

−=

−=

−=−=−=

−−=−+==

aaaaTan

aaaCosaaaSin

2

3

3

3

tan31tantan33

cos3cos43sin4sin33

−−

=

−=

−=

aaaTan

aaCosaaSin

2cos12cos1

22cos1

22cos1

2

22

+−

=

+=

−=

43coscos3

43sinsin3

3

3

aaaCos

aaaSin

+=

−=

[ ]

[ ]

[ ])sin()sin(21cos.sin

)cos()cos(21sin.sin

)cos()cos(21cos.cos

bababa

bababa

bababa

−++=

−−+−=

−++=

baabba

bababa

babababababa

babababababa

sin.sin)sin(cotcot

cos.cos)sin(tantan

2sin.

2cos2sinsin

2cos.

2sin2sinsin

2sin.

2sin2coscos

2cos.

2cos2coscos

±=±

±=±

−+=−

−+=+

−+−=−

−+=+





A. Tóm tắc lý thuyết :

I. Hàm số y = sinx :

• Miền xác định : D = R. • siny x= là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và sin(-x) = - sinx} • siny x= tuần hoàn với chu kỳ π2 . {vì sin(x + k π2 ) = sinx với Zk∈∀ } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = sinx trên

khoảng (0 , π )

Đồ thị của : siny x=

II. Hàm số cosy x= :

• Miền xác định : D = R. • cosy x= là hàm số chẵn trên R {vì D là miền đối xứng và cos(-x) = cosx} • cosy x= tuần hoàn với chu kỳ π2 . {vì cos(x + k π2 ) = cosx với Zk∈∀ } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = cosx trên

khoảng (0 , π )

Đồ thị của : cosy x=

x 2π 0 π 1

0 0

y

32π

− π−

2π

− 0 2π π 3

2π 2π 2π−

1

-1

x

y

y

x 0

2π

2π

− π π−

32π

− 2π−

1

-1

x

y

π− 0 π 1

-1 -1




III. Hàm số y = tanx :

• Miền xác định : D = R\

∈+ Zkk ,

2ππ .

• tany x= là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và tan(-x) = tanx} • tany x= tuần hoàn với chu kỳ π . {vì tan(x + kπ ) =tanx với Zk∈∀ } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số coty x= trên

khoảng (-2π ,

2π )

Đồ thị của: coty x=

III. Hàm số y = cotx :

• Miền xác định : D = R\{ }Zkk ∈,π . • coty x= là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và cot(-x) = cotx} • coty x= tuần hoàn với chu kỳ π . {vì cot(x + kπ ) = cotx với Zk∈∀ } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số coty x= trên

khoảng (0 , π )

Đồ thị của: coty x=

x

y

2π

− 0

−∞

+∞

0

2π

2π

π 2π

− 0 π−

32π

− 32π

x

y

x

y

0 0

0

π

−∞

+∞

2π

π− 2π

− 0

y

x 32π

2π π




B. Các dạng toán :

1. Tìm tập xác định của hàm số ( )y f x= : Thực hiện theo một trong hai hướng sau.

• D là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa. • Tìm tập hợp S của x để ( )f x không có nghĩa , từ đó có tập xác định là D = R\S .

Chú ý :

+) với các hàm lượng giác cơ bản :

siny x= có miền xác định : D = R. cosy x= thì D = R.

tany x= có miền xác định : D = R\

∈+ Zkk ,

2ππ coty x= thì D = R { }Zkk ∈,π .

+) f(x) cho bởi các đa thức đại số:

Nếu f(x) = )()(

2

1

xfxf thì điều kiện f(x) có nghĩa là

≠ 0)(

~..)...(..).(

2

21

xfainghcóxfvàxf

Nếu f(x) = k xf22 )( ).( Zk ∈ thì điều kiện f(x) có nghĩa là

≥ 0)(

~..)..(

2

1

xfainghcóxf

Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a. 2sin1

xyx

= −

b. 2 siny x= − c. 21 cosy x= −

d. 1sin 1

yx

=+

e. tan6

y x

= −

π f. =−

1tan 1

yx

g. siny x= h. tan2cos 1

xyx

=−

i. 1 2 sincot 3

xyx

+=

−

Hướng dẩn giải :

a. Hàm số 2sin1

xyx

= −

xác định 21

xx

⇔−

có nghĩa 1 0 1x x⇔ − ≠ ⇔ ≠

Vậy hàm số có tập xác định là \{1}D R= b. Hàm số xác định 2 sin 0 sin 2x x⇔ − ≥ ⇔ ≤ đúng x R∀ ∈ (vì 1 sin 1,x x R− ≤ ≤ ∀ ∈ )

Vậy hàm số có tập xác định là D R= c. Hàm số xác định 2 21 cos 0 sin 0x x⇔ − ≥ ⇔ ≥ đúng x R∀ ∈

Vậy hàm số có tập xác định là D R=




d. Hàm số xác định sin 1 0 sin 1 sin 1 22

x x x x kπ π⇔ + > ⇔ > − ⇔ ≠ − ⇔ ≠ − +

(vì 1 sin 1,x x R− ≤ ≤ ∀ ∈ ). Vậy tập xác định của hàm số là

\ 2 |2

D R k k Zπ π = − + ∈

e. Hàm số xác định 2cos 06 6 2 3

x x k x kπ π π ππ π ⇔ − ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ +

Vậy tập xác định của hàm số là 2\ |3

D R k k Zπ π = + ∈

f. Hàm số xác định tan 1 4cos 0

2

x kxx x k

π π

π π

≠ +≠ ⇔ ⇔ ≠ = +

Vậy tập xác định của hàm số là , |4 2

D k k k Zπ ππ π = + + ∈

g. Hàm số xác định sin 0 2 2x k x kπ π π⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤ + (nữa đường tròn LG phía trên trục Ox)

Vậy tập xác định của hàm số là [ ]2 , 2D k kπ π π= + , k Z∀ ∈

h. Hàm số xác định cos 0 1cos2cos 1 0 2

xx

x≠

⇔ ⇔ > − >

2 23 3

k x kπ ππ π⇔ − + < < +

Vậy tập xác định của hàm số là

2 , 23 3

D k kπ ππ π = − + + , k Z∀ ∈

i. Hàm số xác định sin 0

cot 31sin2

x

x

x

≠⇔ ≠ ≥ −

6 3 2 24 4

3 2 24 4

x k

x k k x k

k x k

π ππ ππ π π

π ππ π

≠ +

⇔ ≠ ⇔ − + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +

Vậy hàm số có tập xác định là: 3 2 , 24 4

D k kπ ππ π = − + − + , k Z∀ ∈

sin

cos 12

0

3π

−

3π

sin

cos 12

− 0

cot 3

6π

6π

− 34π

− 4π

−




Ví dụ 2:(Dạng nâng cao) Cho hàm số : 4 4sin cos 2 sin cosy x x m x x= + −

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số trên xác định x R∈ (trên toàn trục số)

Giải :

Ta có : ( ) ( )2 24 4 2 2( ) sin cos 2 sin cos sin cos sin 2g x x x m x x x x m x= + − = + −

( )22 2 2 2 21sin cos 2sin cos sin 2 1 sin 2 sin 22

x x x x m x x m x= + − − = − −

Đặt: [ ]sin 2 1,1t x t= ⇒ ∈ −

Hàm số xác định với mọi x R∈ ⇔ ( ) 0 ,g x x R≥ ∀ ∈

[ ]21 1 0, 1 ,12

t mt t⇔ − − + ≥ ∀ ∈ −

[ ]2( ) 2 2 0, 1 ,1f t t mt t⇔ = + − ≤ ∀ ∈ −

Dễ thấy ( ) 0f t = có hai nghiệm 1 20t t< < (vì 1, 2a c= = − trái dấu)

Cách 1: sử dụng định lý viet

Khi đó ta có bảng xét dấu của ( )f t như sau :

Từ bảng xét dấu trên ta thấy :

[ ]( )( )( )( )

1 21 221 2

1 2 1 2

1 1 01 0 1( ) 2 2 0, 1 ,1 1 1

1 0 1 1 1 0

t tt tf t t mt t t t

t t t t

+ + ≤+ ≤ < + = + − ≤ ∀ ∈ − ⇔ ≤ − < ≤ ⇔ ⇔ − < ≤ − − − ≤

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) 1 0 2 2 1 0 1 1( ) 1 0 2 2 1 0 2 2

t t t t mm

t t t t m+ + + ≤ − − + ≤

⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − + + ≤ − + + ≤ (theo viet cho ( ) 0f t = )

Vậy hàm số xác định trên toàn trục số khi 1 12 2

m− ≤ ≤

t

( )f t −∞ 1t 2t +∞

0 0 - + +




Cách 2: Sử dụng tính chất đồ thị của Parabol

Vì 2( ) 2 2f t t mt= + − có hệ số 1 0a = > nên đồ thị của ( )f t sẽ rơi vào 1 trong 3 dạng sau.

Do đó ta có: [ ]1,1

( ) (1)Max f t f−

= hoặc [ ]1,1

( ) ( 1)Max f t f−

= −

[ ][ ]

2

1,1( ) 2 2 0, 1 ,1 ( ) 0ycbt f t t mt t Max f t

−⇔ = + − ≤ ∀ ∈ − ⇔ ≤

(1) 0 1 2 0 1 1( 1) 0 1 2 0 2 2

f mm

f m≤ − + ≤

⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − ≤ − − ≤

Bình luận: Ở cách giải 2, ta đã dùng cở sỏ lý thuyết sau: Với fS D⊂ ( fD : TXĐ của ( )f x )

• ( ) , ( )S

f x m x S Max f x m≤ ∀ ∈ ⇔ ≤

• ( ) , ( )S

f x m x S Min f x m≥ ∀ ∈ ⇔ ≥

• ( ) , ( )S

f x m x S Min f x m≤ ∃ ∈ ⇔ ≤

• ( ) , ( )S

f x m x S Max f x m≥ ∃ ∈ ⇔ ≥

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số :

a) y = 1cos2

1−x

(ĐS: D = R\ , |3 3

k k k Zπ ππ π + − + ∈

)

b) y = )22)(sin1(tan

2−− xx

(ĐS: D = R\ , |2 4

k k k Zπ ππ π + + ∈

)

y y y

t t t

(1)f (1)f

(1)f 1 1 1 -1 -1 -1

( 1)f −

( 1)f −

( 1)f −

0 0 0





a) y = 21 sinx cos x+ − (ĐS: D = 52 ; 26 6

k kπ ππ π + + )

b) y = 3tan)13(tan

22 −+−− xx

(ĐS: D = ;3 4

k kπ ππ π − + − +

)

Bài 3: Cho hàm số : 4 4 2 .y sin x cos x msinx cosx= + − .

Tìm giá trị của tham số m để hàm số xác định vơi Rx∈∀ (ĐS: – 21≤m ≤

21 )


a) y = 11 2 1 2

cosx cosxcosx cosx

−−

+ − HD: 2

1 1 11 2 1 2 1 4cos 2cos 2 1

cosx cosxcosx cosx x x

− −− = =

+ − − +

Hàm số xác định 1cos 22

x⇔ > − ⇔4 42 23 3

k x kπ ππ π− + < < +

b) y = 3cot

1−x

ĐS: \ , |6

D R k k k Rππ π = + ∈

HD:sin 0

cot 3

x

x

≠

≠

c) y = 2

14 5 2cosx sin x− −

ĐS: \ 2 , |3 3

D R k k k Rπ ππ π = − + ∈

HD: 2 2 2cos 2

4 5 2 0 4 5 2(1 cos ) 0 2cos 5cos 2 0 1cos2

xcosx sin x cosx x x x

x

≠− − ≠ ⇔ − − − ≠ ⇔ − + ≠ ⇔

≠

2. Xét tính tuần hoàn của hàm số :

Dạng 1:Chứng minh hàm số ( )y f x= có tính chất tuần hoàn .

• Đoán số thực T >0 ( có thể là chu kỳ của hàm số hoặc cũng có thể là bội nguyên của chu kỳ).

• Chứng minh Dx∈∀ ta luôn có ( ) ( )

x T D và x T Df x T f x− ∈ + ∈

+ =

• Kết luận ( )y f x= là hàm số tuần hoàn .




Ví dụ: Chứng minh hàm số 2

( ) 2cos 2 13

y f x x π = = − +

là một hàm số tuần hoàn.

Giải

Ta có: 2

( ) 2cos 2 1 cos 4 26 3

y f x x xπ π = = − + = − +

có TXĐ: D = R.

Xét 2

T π= ta có:

2

x R x T x Rπ∀ ∈ ⇒ + = + ∈

( ) sin 4 2 sin 4 2 22 3 3

f x T x xπ π π π + = + − + = − + +

sin 4 cos 2 cos 4 sin 2 2 sin 4 2 ( ) ,3 3 3

x x x f x x Rπ π ππ π = − + − + = − + = ∀ ∈

Vậy hàm số tuần hoàn {Dễ dàng chứng minh được chu kỳ chình là 2

T π= }

Dạng 2:Chứng minh TO là chu kỳ của hàm số ( )y f x= (Chứng minh phản chứng) • Giả sử RT ∈∃ sao cho 0 < T < TO

(1) thỏa mãn Dx∈∀ thì ( ) ( )f x T f x+ = (2) • Biến đổi đẳng thức (2) để có được mâu thuẫn với giả thiết (1). • Mâu thuẫn trên chứng tỏ TO là số thực dương bé nhất thỏa mãn tính chất tuần hoàn của

hàm số ⇒ TO là chu kỳ của ( )y f x=

Ví dụ: Chứng minh hàm số ( ) sin 2y f x x= = có chu kỳ là T π=

Giải

Giả sử RT ∈∃ : (1)0 T π< < thỏa mãn x R∀ ∈ thì ( ) ( )f x T f x+ =

Khi đó ta có: (*)( ) ( ), sin(2 2 ) sin 2 ,f x T f x x R x T x x R+ = ∀ ∈ ⇔ + = ∀ ∈

Xét 4

x π= ta có: sin 2 sin 1 2 2

2 2 2 2T T k T kπ π π π π π + = = ⇔ + = + ⇔ =

mâu thuẫn với (1)vì k Z∈

Do đó không có số dương T nào nhỏ hơn π thỏa điều kiện ( ) ( )f x T f x+ = , x R∀ ∈

Vậy hàm số ( ) sin 2y f x x= = có chu kỳ T π=




Bình luận:Để có thể dẫn đến mâu thuẫn thì ta phải xét 4

x π= để sin 2 sin 1

2x π= =

(tức là luôn chọn giá trị cho x để vế phải của (*) bằng 1

Dạng 3:Xác định chu kỳ của hàm số lượng giác bất kỳ.(sử dụng các chú ý sau)

Các chú ý cần nhớ về chu kỳ của hàm số lượng giác :

• Các hàm số y = sin(ax + b) + c và y = cos(ax + b) + c (với a ≠ 0)

tuần hoàn với chu kỳ T = aπ2

• Các hàm số y = tan(ax + b) + c và y = cot(ax + b) + c (với a ≠ 0)

tuần hoàn với chu kỳ T = aπ

• Giả sử ( )f x và ( )g x tuần hoàn với chu kỳ tương ứng là Tf , Tg . ⇒ ( ) ( ) ( )F x mf x ng x= + tuần hoàn với chu kỳ: T = BSCNN(Tf ,Tg)

• Trong trường hợp hám số chứa các số hạng chứa các hàm lượng giác bậc cao hoặc có dạng tích ta cần dùng công thức hạ bậc hoặc công thức tích thành tổng trước khi đi tìm chu kỳ.

• Nếu ( )f x tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành (nếu có) tại những điểm cách đều nhau.


Bài 1: Chứng minh rằng hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T = 2π .

Bài 2: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn .Xác định chu kỳ của nó (nếu có)

a) ( )f x = tan(3x - 6π ) (ĐS: T =

3π ) b) ( )f x = 2cos2(2x +

3π ) (ĐS: T =

2π )

c) ( )f x = sin2x (ĐS: T = π )

Bài 3: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn .Xác định chu kỳ của nó (nếu có)

a) ( )f x = sinx + 21 sin2x +

31 sin3x (ĐS: T = 2π )

b) f(x) = 2tan2x – 3tan

3x (ĐS: T = 6π )

c) ( )f x = cosx + (1 + cos2x) + (cos3x – 3cosx) (ĐS: T = 2π )

d) ( )f x = sinx + sin(x 2 )




HD: không tuần hoàn vì 2 ∉Q nên không có khái niệm bội số chung

e) ( )f x = tan x

HD: nếu f tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành tại những

điểm cách đều nhau

f) ( )f x = sin(x2) (HD: tương tự câu e )

g) ( )f x = xtan (ĐS: T = π )

h) ( )f x = 2cos2x + 3cos3x + 8cos4x (ĐS: T = 2π )

3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác :

Phương pháp :

• Tìm tập xác định D và kiểm tra tính chất đối xứng của D. +) Nếu Dx∈∃ ⇒ Dx∉− . Ta kết luận : Tập D không đối xứng nêu hàm số

không chẵn không lẻ

+) Nếu Dx∈∀ ⇒ – x ∈ D. Ta có : D là tập đối xứng , thực hiện tiếp bước 2.

• Xác định ( )f x− +) Nếu ( ) ( )f x f x− = . Ta kết luận : ( )y f x= là hàm số chẵn.

+) Nếu ( ) ( )f x f x− = − . Ta kết luận : ( )y f x= là hàm số lẻ.

+) Nếu ( ) ( )f x f x− ≠ và ( ) ( )f x f x− ≠ − . Ta kết luận : y = f(x) là hàm số

không chẵn không lẻ

Chú ý : ( Tính chất đối xứng của hàm lượng giác cơ bản)

• y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik (kπ ; 0) và vô số trục đối xứng x = 2π + kπ (k ∈Z)

• y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik ( 2π +kπ ; 0) và vô số trục đối xứng x = kπ (k ∈Z)

• y = tanx có vô số tâm đối xứng là Ik ( k 2π ; 0 ) ( với k ∈Z)

• y = cotx có vô số tâm đối xứng là Ik ( k 2π ; 0 ) ( với k ∈Z)




Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: 1( )2sin 3

y f xx

= =+

Giải Tập xác đinh: D R=

Ta có : x R x R∀ ∈ ⇒ ∈

Xét 6

x π= ta có: 1 1 1

16 42sin 3 2. 36 2

f ππ

= = = + +

1 1 116 22sin 3 2. 3

6 2

f ππ

− = = = − + − +

Do đó: 6 6

f fπ π − ≠ −

đồng thời 6 6

f fπ π − ≠

Vậy hàm số 12sin 3

yx

=+

không có tính chẵn , lẻ.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số −= =

+sin tan( )

2sin 3cotx xy f xx x

nhận Oy làm trục

đối xứng. Giải

Hàm số xác định

22

sin 02cos 0 222 22cos 3cos 2 02sin 3cot 0

2sin 3cos 0 3

x kx x kx kx x k

x kx xx xx x

π πππ π

π π

≠ ≠ ≠ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ⇔ ⇔ ≠ ± +− + + ≠+ ≠ + ≠

TXĐ: 2\ , 2 |2 3

D R k k k Zπ π π = ± + ∈

Do đó ta có: (1)x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈

x D∀ ∈ ta có ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

− − − − − −− = =

− + − − + −

sin tan sin tan( )

2sin 3cot 2 sin 3 cot

x x x xf x

x x x x

( )( )− − −

= = =+− +

(2)sin tan sin tan ( )2sin 3cot2sin 3cot

x x x x f xx xx x

{theo công thức đối}

Từ (1) và (2) ta có: −=

+sin tan

2sin 3cotx xyx x

là hàm số chẵn

Vậy đồ thị của hàm số −=

+sin tan

2sin 3cotx xyx x

nhận Oy là trục đối xứng.





Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :

( )f x = sin2009x + cosnx với (n∈Z) ĐS: không chẳn,không lẻ


a) ( )f x = xx

xtansin

2

+ ĐS: Hàm số lẻ

b) ( )f x = x sinx ĐS: lẻ

c) ( )f x = x

xn

cos2009sin 2008 + (n∈Z) ĐS: Chẵn


a) 2sin 3y x= − ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì 12

f π = −

, 52

f π − = −

)

b) 12sin 1

yx

=−

ĐS: không chẵn ,không lẻ

HD: TXĐ: 5\ 2 , 2 |6 6

D R k k k Zπ ππ π = + + ∈

do đó ta có: 6

Dπ− ∈ mà

6Dπ

∉

c) sin cosy x x= + ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì 3 13 2

f π + =

, 3 13 2

f π − + − =

)

d) tan coty x x= + ĐS: Hàm số lẻ e) sin cosy x x= ĐS: Hàm số lẻ

f) +=

3

3cos 1

sinxy

x ĐS: Hàm số lẻ

g) = tany x ĐS: Hàm số chẵn Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có trục đối xứng :

6 4 2

cos( )6 4 2 1

xy f xx x x

= =+ + +

HD: Chứng minh ( )f x là hàm số chẵn ⇒ dfcm

Bài 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có tâm đối xứng :

2008cos 2009( )

sin

n xy f xx+

= = HD: Chứng minh ( )f x là hàm số lẻ ⇒ dfcm




4. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm lượng giác :

Chuyển hàm số y = f(x) về dạng các hàm số lượng giác cơ bản và xét chiều biến thiên theo bảng( với k ∈Z).

SinU cosU tanU cotU Đồng biến (-

2π + k2π ,

2π + k2π

) Nữa ĐTLG có hoánh độ >0

(-π + k2π , k2π ) Nữa ĐTLG có tung độ > 0

R

∈+ Zkk ,

2ππ

Cả miền xác định

Nghịch biến

(2π + k2π , 3

2π + k2π

) Nữa ĐTLG có hoánh độ <0

(k2π , π + k2π ) Nữa ĐTLG có tung độ > 0

R { }Zkk ∈,π Cả miền xác định

Ví dụ: Xét sự biến thiên củ hàm số 4sin cos sin 26 6

y x x xπ π = + − −

trên 1 chu kỳ của nó.

Từ đó suy ra sự biến thiên trên toàn trục số.

Giải

Ta có : 4sin cos sin 2 2 sin 2 sin sin 2 sin 2 36 6 3

y x x x x x y xπ π π = + − − = + − ⇔ = +

Do đó hàm số đã cho có chu kỳ T π= nên ta xét sự biến thiên trên [ ]0 , π

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng 0 ,4π

và 3 ,4π π

Hàm số nghịch biến trên khoảng 3,4 4π π

x

2x

y

4π 0 2

π 34π π

0 2π π 3

2π 2π

3

1 3+

3

1 3− +

3




Hàm số: 4sin cos sin 26 6

y x x xπ π = + − −

sin 2 3y x⇔ = + tuần hoàn với chu kỳT π=

Hàm số đồng biến trên các khoảng ,4

k kππ π +

và 3 ,4

k kπ π π π + +

Hàm số nghịch biến trên khoảng 3,4 4

k kπ ππ π + +

với k Z∈


Bài 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó

a) y = tan2x b) y = 1 – sinx.


y = sinx – cosx


a) y = cos2x b) y = cot3x

Bài 4: Vẽ đồ thị của các hàm số :

a) y = xcos b) y = xtan

c) y = cot(-x) d) y = 1 – sinx

Bài 5: Vẽ đồ thị của các hàm số :

a) y = sin(x – 4π ) b) y = 1 + cosx

c) y = cot(x – 3π ) d) y = tan(2x –

6π )

5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác :

Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác ( với k ∈Z).

• -1 ≤ sin2k+1 [f(x)] ≤ 1 [ ( )]sin f x ≤ 1 0 ≤ sin2k[f(x)] ≤ 1

• -1 ≤ cos2k+1 [f(x)] ≤ 1 [ ( )]cos f x ≤ 1 0 ≤ cos2k[f(x)] ≤ 1

Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai .

• Nếu a < 0 thì 2ax bx c+ + ≤ – a4∆

• Nếu a > 0 thì 2ax bx c+ + ≥ – a4∆




• Nếu hàm số bật 2 mà có điều kiện không phải x R∀ ∈ thì ta phải lập bảng biến thiên của Parabol tương ứng để tìm được GTLN hoặc GTNN.

Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất theo Sin , Cos

sin cosy a u b u= + ⇒ 2 2

2 2 2 2sin cosa by u u a b

a b a b

= + +

+ +

Vì 2

22

+ ba

a + = 1 ⇒ R∈∃α sao cho 2 2

cos aa b

α =+

và 2 2

sin bxa b

=+

⇒ 2 2 2 2(sin .cos cos .sin ) sin( )y a b u u y a b uα α α= + + ⇒ = + +

Vì -1 ≤ sin(u +α ) ≤ 1 ⇒ – 22 ba + ≤ y ≤ 22 ba +

Mở rộng : • a.sinx + b.cosx = c (1) . ∃x thỏa (1) ⇔ – 22 ba + ≤ c ≤ 22 ba + • [ ] [ ].sin ( ) cos ( )y a f x b f x c= + + ⇔ – 22 ba + + c ≤ y ≤ 22 ba + + c

Ví dụ 1: Cho hàm số 22cos 2 3 sin cos 1y x x x= − +

a. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên

b. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 70 ,12π

.

Giải

22cos 2 3 sin cos 1 cos 2 3 sin 2 2y x x x x x= − + = − + 1 32 cos 2 sin 2 2 2 cos 2 cos sin 2 sin 22 2 3 3

y x x x xπ π ⇔ = − + = − +

2cos 2 23

y x π ⇔ = + +

a. Ta có: 1 cos 2 1,3

x x Rπ − ≤ + ≤ ∀ ∈

2 2cos 2 23

x π ⇔ − ≤ + ≤

, x R∀ ∈

0 2cos 2 2 43

x π ⇔ ≤ + + ≤

, x R∀ ∈

0 4y⇔ ≤ ≤ , x R∀ ∈

Vậy ( ) 4Max y = khi cos 2 13 6

x x kπ π π + = ⇔ = − +

( ) 0Min y = khi cos 2 13 3

x x kπ π π + = − ⇔ = +

2

22

+ ba

b




b. 2cos 2 23

y x π = + +

7 7 30 , 0 212 12 3 3 2

x x xπ π π π π ∀ ∈ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤

Lập bảng biến thiên của hàm số 2cos 2 23

y x π = + +

trên đoạn 70 ,12π

Từ bảng biến thiên ta thấy:

70 ,12

( ) 0Min f xπ

= Khi 3

x π=

70 ,12

( ) 3Max f xπ

= khi x = 0

Ví dụ 2: Tìm GTNN và GTLN của hàm số 4 sin cosy x x= −

Giải

Ta có: 4

40 sin 11 sin cos 1 1 1

0 cos 1

xx x y

x

≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤≤ ≤

( ) 1Max y = khi2sin 1 2 2

cos 0 22

x kxx k

x x k

π ππ π

π π

= += ⇔ ⇔ = + = = +

( ) 1Min y = − khi sin 02

cos 1 2x x k

x kx x k

ππ

π= =

⇔ ⇔ = = =

x

( )f x

23

x π+

3π

2π π 3

2π

3

2

0

2

0 12π

3π

712π





Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số .

a) y = 2sinx + 4 (ĐS: 6 và 2)

b) y = 1 – 2cosx – 2sin2x (ĐS: 3 và 23

− )

c) y = sinx + 3 cosx (ĐS:2 và -2)

d) y = 3cossin23cos2sin

++++

xxxx (ĐS:2 và

21 )


a) y = 2(1 + sin2x.cos4x) – 21 (cos4x – cos8x) (ĐS: 5 và 1)

b) y = sin10x + cos10x (ĐS: 1 và 161 )

c) y = 2cossin

cos2−+

+xxx d) y =

4sincos23cos2sin

+−++

xxxx

e) y = 1cos

1coscos2 2

+

++

xxx

f) y = 2sin2x + 4sinx.cosx + 5

g) y = 1 + x

xcos2

sin3+

h) y = 22 14cos

12sin

xx

xx

++

+ + 1

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .

y = xx cos

1sin

1+ (ĐS: 2 2 )

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .

y = xxxx 2222 cos7sinsin7cos +++ (4 và 1 + 7 )

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .

y = xx cossin +




Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số .

a) y = sinx + 3sin2x b) y = xx cos21sin21 +++

c) y = cos3x + 2sin22x


a) y = xx sin21cos21 −+− b) y = xx sin21cos21 +++

c) y = xxxx

24

24

cos4sin3sin4cos3

++

Bài 8: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 2cos1sin.

++

xxm nhỏ hơn – 1 .

Bài 9: Cho hàm số : y = 2sincos

sin2++

+xx

mxm .

a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1.

b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 10: Cho hàm số : y = 2sincos1cos2

++++

xxmxm .

a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1.

b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 11: Cho hàm số :

F(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)2 – 3sin2x + m.

Tính theo m giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F(x).Từ đó tìm m sao cho F2(x)≤ 36 ,∀x ∈R

Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

a. 1 1sin cos

yx x

= + với 02

x π< <

b. 94 siny x xxπ

= + + với 0 x< < +∞

c. 22sin 4sin cos 5y x x x= + +




Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

a. sin cos cos siny x x x x= + b. sin 3sin 2y x x= +

c. 2cos 2 cosy x x= + −

6. Một số phép biến đổi đồ thị: • Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số ( )y f x a= ± hoặc ( )y f x a= ± thì ta

thực hiện phép tịnh tiến như hình vẽ .

• Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành.

• Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = f(-x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục tung.

• Đồ thị f x neáu f xy f xf x neáu f x( ), ( ) 0( )

( ), ( ) 0 ≥= = − <

được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ

nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên Ox và bỏ phần đồ thị phía dưới Ox đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới Ox qua trục Ox.

• Đồ thị ≥= = − <( ), 0( )( ), 0

f x neáu xy f xf x neáu x

được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ

nguyênphần đồ thị y = f(x) ở phía phải Oy ( 0x ≥ ) và bỏ phần đồ thị phía trái Oy đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía phải Oy qua trục Oy.

• Đồ thị . ( )y k f x= được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( 1k < ) giản ( 1k > ) theo phương của trục tung (Oy) theo tỷ số k

• Đồ thị ( . )y f k x= được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( 1k < ) giản ( 1k > ) theo phương của trục hoành (Ox)theo tỷ số k

( )y f x=

( )y f x a= + (cùng chiều dương trục Oy)

a đơn vị

( )y f x a= − (ngược chiều dương trục Oy)

( )y f x a= + ( )y f x a= −

với 0a >

(cùng chiều dương trục Ox) (ngược chiều dương trục Ox)




Ví dụ 1: Cho hàm số 3cos 2y x= a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên .

b. Từ đồ thị của hàm số cos 2y x= hãy suy ra đồ thị của 3sin 2 23

y x π = + +

Giải

a. TXĐ: D = R Bảng biến thiên:

Hàm số ngịch biến trên các khoảng ,2

k kππ π +

Hàm số đồng biến trên các khoảng ,2

k kπ π π π + +

, k Z∈ (vì hàm số có chu kỳT π= )

Đồ thị: Nhận xét : Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng , Hàm số tuần hoàn với chu kỳ T π=

b. Bước 1: Bằng cách tịnh tiến (C): cos 2y x= theo ngược chiều dương của trục

Ox 6π đơn vị ta có được đồ thị (C’): 3sin 2

3y x π = +

vì ( ') : 3sin 2

6C y x π = +

x

2x

( )f x

2π 0 2π π 3

2π

0 4π

2π 3

4π π

3

0

-3

0

3

x

y 3

-3

0 4π

2π 3

4π π 5

4π 2

π−

4π

− π−

x

y 3

-3

0 12π

3π 7

12π 5

6π 13

12π

512π

− 6π

− 23π

− 76π

−




Bước 2: Bằng cách tịnh tiến đồ thị (C’): 3sin 23

y x π = +

lên trên 2 đơn vị

(theo cùng chiều dương của trục Oy) ta có đồ thị ( ") : 3sin 2 23

C y x π = + +

Bước 3: Bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (C”): 3sin 2 23

y x π = + +

nằm phía

trên trục Ox , và bỏ phần đồ thị phía dưới Ox đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị (C”) nằm ở phía dưới Ox qua trục Ox ta thu được đồ thị của hàm số :

3sin 2 23

y x π = + +

như hình vẽ sau:

Ví dụ 2: Tìm các phép biến hình để có thể biến đồ thị (C) thành (C’) sau đay:

a. ( ) : sinC y x= ( ') : sin 13

C y x π = − + +

b. ( ) : 2 tan6

C y x π = −

( ') : 2 tan 36

C y x π = − − −

c. ( ) : cosC y x= ( ') : cos 34

C y x π = − +

d. ( ) : cosC y x= ( ') : 2cos 2C y x= − +

x

y 3

-1 0

3π

56π

1312π 6

π−

23π

−

76π

−

x

y 3

-1 0

3π 5

6π 13

12π 6

π− 2

3π

− 76π

−




Giải

a. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:

Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang trái 3π đơn vị ta có ( )1 : sin

3C y x π = +

(theo ngược chiều dương trục Ox )

Bươc 2: Đối xứng ( )1C qua trục Ox ta được ( )2 : sin3

C y x π = − +

Bươc 3: Tịnh tiến ( )2C lên trên 1 đơn vị ta có ( )'C (theo chiều dương trục Oy )

b. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:

Bươc 1: Đối xứng ( )C qua trục Ox ta được ( )1 : 2 tan6

C y x π = − −

Bươc 2: Tịnh tiến ( )1C xuống dưới 3 đơn vị ta có ( )'C

(theo ngược chiều dương trục Oy )

c. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:

Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang phải 4π đơn vị ta có ( )1 : cos

4C y x π = −

(theo chiều dương trục Ox )

Bươc 2:Giữ nguyên phần đồ thị ( )1C ở phía phải Oy ( 0x ≥ ) và bỏ phần đồ

thị phía trái Oy đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị ( )1C nằm ở phía

phải Oy qua trục Oy, ta thu được đồ thị ( )2 : cos4

C y x π = −

Bươc 3: Tịnh tiến ( )2C lên trên 3 đơn vị ta có được đồ thị ( )'C

(theo chiều dương trục Oy)

d. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:

Bươc 1: Thực hiện phép giản (C) 2 đơn vị ta thu được ( )1 : 2cosC y x=

Bươc 2: Đối xứng ( )1 : 2cosC y x= qua trục Ox ta thu được ( )2 : 2cosC y x= −

Bươc 3: Tịnh tiến ( )2 : 2cosC y x= − lên trên 2 đơn vị ta thu được ( ') : 2cos 2C y x= − +

(theo chiều dương trục Oy)


Education

Hàm số lượng giác lớp 11 - 2015