Toán nâng cao lớp 11 Phương trình lượng giác · Web viewVí dụ 10. Giải phương trình lượng giác: (B, 2008) Lời giải. Ví dụ 11 Tìm nghiệm thuộc của

Ph ng trình l ng giácươ ượ

Phương trình lượng giác

I. Các phương trình lượng giác cơ bản1. Phương trình cơ bản

a) Phương trình (1)

Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu , gọi là một nghiệm của (1), tức khi đó ta có

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

1.

2.b) Phương trình (2)

Nếu thì phương trình (2) vô nghiệm

Nếu , gọi là một nghiệm của (2), tức khi đó ta có

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

1. 2.

1Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 45-Hồng Lĩnh Nha Trang


c) Phương trình (3)

Điều kiện

Gọi là một nghiệm của (3), khi đó ta có

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1.

2.d) Phương trình (4)

Điều kiện

Gọi là một nghiệm của (4), khi đó ta có

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

1.

2.

2. Phuơng trình (5)

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho ta có phương trình (5) tương đương với

phương trình



Chọn α sao cho , khi đó ta có phương trình:

Với . Tới đây ta giải như phương trình (1).

Cách 2: Đặt , khi đó

Khi đó phương trình (5) được đưa về phương trình bậc hai theo t, giải ra t và suy ra nghiệm của (5)

3. Phương trình thuần nhất bậc hai: (6)

Cách 1: Áp dụng công thức hạ bậc

và ta đưa có phương trình:

Phương trình này đã biết cách giải ở phần trên

Cách 2: Cách này ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1: có là nghiệm của phương trình không?

Trường hợp 2: Chia hai vế của phương trình cho , khi đó phương trình trở

thành:



Phương trình trên là phương trình bậc hai theo , ta có thể giải được.

4. Bài tập

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a)

b)c)d)e)f)g)Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau:

a)

b)c)d)



e)Bài 3. Tìm để các phương trình sau có nghiệm

a)b)c)Bài 4. Cho phương trình

a) Tìm để phương trình có nghiệmb) Tìm để phương trình có nghiệm thuộc Bài 5. Giải các phương trình lượng giác sau:

a)b)c)d)Bài 6. Định để các phương trình sau có nghiệm

a) 5

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 45-Hồng Lĩnh Nha Trang


b)II.Các phương pháp giải và các dạng phương trình lượng giác thường gặp

1. Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản

Đây là phương pháp cơ bản nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Trong phương pháp này, chúng ta biến đổi phương trình đã cho thành trở thành những phương trình cơ bản đã biết cách giải (1) – (6). Chúng ta chú ý tới các cung liên kết, công thức hạ bậc,…. Sau đây là một vài ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác sau

(1)

Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau:

(2) (Khối B – 2009)

Lời giải. Ta có phương trình đã cho tương đương với



Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) (ĐHSP HCM B, D 2001)

b)c) d)e)f)g)h) (CĐ Hải Quan 1998)i)j)k) (D, 2009)



2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ được sử dụng khi phương trình đã cho có biểu thức lượng giác chung nào đó, hoặc từ phương trình ban đầu ta biến đổi để đưa về phương trình theo một hàm lượng giác nào đó,… Trong mục “Phương trình lượng giác cơ bản” ta đã sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình (5) và (6), ngoài ra còn nhiều phương trình có thể giải bằng phương pháp này, sau đây tôi xin nêu ra vài dạng quen thuộc nhất.

Dạng 1. Phương trình đưa về phương trình với một hàm lượng giác

Đối với dạng này, ta thường biến đổi phương trình về chỉ còn một hàm số lượng giác,

sử dụng công thức hạ bậc (tăng cung),

Ví dụ 3: Giải phương trình (3)

Lời giải. Đặt , khi đó ta có , phương trình trở thành

Với

Ví dụ 4. Giải phương trình (4)

Lời giải.

Ta có

Đặt , phương trình trở thành



Ví dụ 5. Giải phương trình (5)

Lời giải: Điều kiện

Đặt , phương trình trở thành

Với

Với

Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau

a)

b)c)d)



e)f)g)Dạng 2. Phương trình đưa về hàm tang

Biến đổi phương trình về chỉ còn hàm tang, hoặc đặt ẩn và tính tất cả các biểu thức

còn lại theo . Các phương trình (5), (6) trong phần “Phương trình lượng giác cơ bản” là

những ví dụ cơ bản nhất của dạng toán này, sau đây chúng ta xét một vài ví dụ khác.

Ví dụ 6. Giải phương trình sau: (6)

Lời giải.

Ta thấy không phải là nghiệm của phương trình.

Chia hai vế của phương trình cho ta được phương trình

Đặt , ta có phương trình

Với



Với

Với

Ví dụ 7. Giải phương trình

Lời giải. Điều kiện

Đặt

Phương trình trở thành

Với

Với

Bài tập.

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a)

b)c)



d)e) (Dự bị A, 2006)f)Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) (ĐHQG HN, D, 2000)

b) (SPHN, B, 2001)c)d)e) (ĐH Thủy Lợi 1999)f)g) (Dự bị D, 2007)h) (Dự bị, A , 2008)

Dạng 3. Phương trình

Cách giải

Đặt

, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 theo . Giải

phương trình này ra nghiệm , từ đó đưa về dạng phương trình cơ bản (1) đã biết cách giải.



Ví dụ 8: Giải phương trình (8)

Lời giải.

Đặt , suy ra . Phương trình (8) trở thành:

Với ta có

Ví dụ 9: Giải phương trình (9) (ĐH Cảnh Sát

2000)

Lời giải.

Đặt . Khi đó

Phương trình trở thành

Với

Với



Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau

a) (ĐH Ngoại Ngữ HN, 2000)

b) (ĐHQG TPHCM, 2000)

c)

d) (ĐH Nông Nghiệp, HN, 2000)

e) (ĐHSP TPHCM, 2001)

f) (Dự bị A, 2007)

g)

3. Phương pháp phân tích thành tíchĐây là phương pháp cơ bản và thường được sử dụng nhất trong việc giải phương trình

lượng giác. Việc phân tích tùy thuộc vào bài toán, tuy nhiên chúng ta cần biết một số biến

đổi hay sử dụng như: các công thức biến tổng thành tích, ,

,…Chúng ta sẽ xét một vài ví dụ

sau đây.

Ví dụ 10. Giải phương trình lượng giác:

(B, 2008)

Lời giải.



Ví dụ 11 Tìm nghiệm thuộc của phương trình sau

(11)

(ĐH khối A, 2007)

Lời giải.

Từ đó ta có các nghiệm thuộc của phương trình trên là:

Ví dụ 12. Giải phương trình: (12) (A, 2003)

Lời giải.

Điều kiện

Ta có



TH1:

TH2: (Vô nghiệm)

Bài tậpBài 1. Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

d)

e)Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) (ĐHSP TPHCM 2000)

b)

c)

d)4. Phuơng pháp đánh giá (sẽ được trình bày sau)

III. Phương trình lượng giác trong các kì thi đại học gần đây

1. (A, 2005)

2. (B, 2005)



3. (D, 2005)

4. (Dự bị 2005)

5. (Dự bị 2005)

6. (A, 2006)

7. (B, 2006)

8. (D, 2006)

9. (Dự bị A, 2006)

10. (Dự bị A, 2006)

11. (Dự bị B, 2006)

12. (Dự bị B, 2006)

13. (Dự bị D, 2006)

14. (Dự bị D, 2006)

15. (B, 2007)

16. (D, 2007)

17. (Dự bị A, 2007)

18. (Dự bị A, 2007)



19. (Dự bị B, 2007)

20. (Dự bị B, 2007)

21. (Dự bị D, 2007)

22. (Dự bị D, 2007)

23. (A, 2008)

24. (D, 2008)

25. (Dự bị A, 2008)

26. (Dự bị A, 2008)

27. (Dự bị B, 2008)

28. (Dự bị B, 2008)

29. (Dự bị D, 2008)

30. (A, 2009)

31. (D, 2009)

Chúc các em làm bài tốt.




Documents

Toán nâng cao lớp 11 Phương trình lượng giác · Web viewVí dụ 10. Giải phương trình lượng giác: (B, 2008) Lời giải. Ví dụ 11 Tìm nghiệm thuộc của