CORSO DI INTRODUZIONE ALL’OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE

Il metodo Amoeba per il dimensionamento delle sezioni in acciaio

Edoardo Rossi

CORSO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE

Table of contents

CORSO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE

• INTRODUZIONE

•Funzione Obiettivo

•Criteri di Ottimizzazione

•NELDER-MEAD METHOD O AMOEBA

•Storia

•Funzionamento

•Esempio Applicativo

•CONCLUSIONI

E. Rossi

INTRODUZIONE

E. Rossi

Funzione Obiettivo

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INTRODUZIONE

E. Rossi

Funzione Obiettivo

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INTRODUZIONE

E. Rossi

Funzione Obiettivo

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INTRODUZIONE

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Funzione Obiettivo

INTRODUZIONE

E. Rossi

Criteri di Ottimizzazione

Livelli di ottimizzazione:

•Micro livello: ottimizzazione a livello locale, cambiamenti dimensioni sezionali, di spessore..

•Meso Livello: ottimizzazione a livello locale, ma anche sulla forma complessiva degli elementi, sulla posizione dei nodi …

•Macro Livello: ottimizzazione topologica, cambiando il modo in cui gli elementi sono connessi tra loro

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INTRODUZIONE

E. Rossi

Criteri di Ottimizzazione

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NELDER-MEAD METHOD O AMOEBA

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NELDER-MEAD METHOD

E. Rossi

Storia

Il metodo fu pubblicato nel 1965 sulla rivista The Computer Journal.L’idea originale è da attribuirsi a Spendley et al. i quali pubblicarono un articolo nel 1962 in cuiformulavano un metodo di ottimizzazione in uno spazio multi-dimensionale basato su lacostruzione di un simplesso in grado di generarne altri semplicemente riflettendo uno dei suoipunti.Questa procedura risultava tuttavia troppo rigida risultando poco efficace.Il contributo principale di Nelder e Mead risiede principalmente nella definizione di un simplessoin grado di modificare la propria forma ed adattarsi alla funzione da ottimizzare.

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NELDER-MEAD METHOD

E. Rossi

Funzionamento

• Si genera un simplesso di n+1 vertici in uno spazio ad n dimensioni• Si valutano i vertici in base al valore che la funzione obiettivo assume in quei punti. Se si

considera un simplesso a tre vertici essi possono essere denotati come: B = Best G = Good W = Worst

Riflessione

Si calcola il punto M come:

M = (B + G)/2

Si calcola il punto R come:

R = 2M - W

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NELDER-MEAD METHOD

E. Rossi

Funzionamento

Espansione

Si calcola il punto E come:

E = 2R - M

Contrazione

Si calcolano i punti C1 e C2 come:

C1 = (W + M)/2C2 = (M + R)/2

Restringimento

Si calcola il punto S come:

S = (B + W)/2

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NELDER-MEAD METHOD

E. Rossi

FunzionamentoStart

Generazione Simplesso

Valutazione dei Vertici

Calcolo punti M e R

f(R) < f(G)

f(B) < f(R)

W = R

Calcolo punto E

f(E) < f(B)

W = E W = R

f(C1) < f(C2)

Calcolo punti C1 e C2

f(C1) < f(W) f(C2) < f(W)

W = C1 W = C2

Calcolo punto S

W = SG = M

Y

Y

N

Y NN

Y N

Y YN

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NELDER-MEAD METHOD

E. Rossi

Esempio ApplicativoOBIETTIVO

Dimensionamento Morfologico di una sezione in acciaio a doppio T che minimizzi l’area necessaria a sopportare un dato momento flettente

CONDIZIONI AL CONTORNO• Momento Flettente costante pari a: 1000 kNm

• Spessore delle ali e dell’anima costanti pari a: 15 mm• Coefficiente di sicurezza pari a: 1

VINCOLI• MRd/Med > 1

• Larghezza minima sezione: 50 mm• Altezza minima sezione: 50mm

RISULTATI ATTESICi si aspetta che la sezione ottima abbia una dimensione prevalente (altezza) e che l’altra

dimensione (larghezza) sia prossima al vincolo imposto

CRITERIO DI CONVERGENZASi assume l’avvenuta convergenza quando la differenza tra la funzione obiettivo nei tre vertici sia

inferiore ad 1 mm

CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE

NELDER-MEAD METHOD

Esempio Applicativoif A(1,1)<A(2,1)

if A(1,1)<A(3,1)B=1;if A(2,1)<A(3,1)

G=2;W=3;

elseG=3;W=2;

endelse

B=3;G=1;W=2;

endelseif A(1,1)<A(3,1)

B=2;G=1;W=3;

elseW=1;if A(2,1)<A(3,1)

B=2;G=3;

elseB=3;G=2;

endend

M=((V(B,:)+V(G,:))/2)R=2*M-V(W,:)if or((((((t*R(1,2)^3)/12)+2*(R(1,1)*t^3/12)+2*R(1,1)*t*(R(1,2)/2+t/2))/(R(1,2)/2)/1000000*fyd)-Med)<0,(R(1,1)<50 | R(1,2)<50))

Ar=(2*t*R(1,1)+t*R(1,2))^2else

Ar=2*t*R(1,1)+t*R(1,2)endif Ar<A(G)

if Ar>A(B)V(W,:)=R

elseE=2*R-Mif or((((((t*E(1,2)^3)/12)+2*(E(1,1)*t^3/12)+2*E(1,1)*t*(E(1,2)/2+t/2))/(E(1,2)/2)/1000000*fyd)-Med)<0,(E(1,1)<50 | E(1,2)<50))

Ae=(2*t*E(1,1)+t*E(1,2))^2else

Ae=2*t*E(1,1)+t*E(1,2)endif Ae>A(B)

V(W,:)=Relse

V(W,:)=Eend

endelse

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NELDER-MEAD METHOD

Esempio Applicativo

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

0 50 100 1502

2.5

3

3.5x 10

4

N° of Iterations

Are

a [

mm

2]

Risulati

B H

50.17469 1306.494

50.27328 1306.238

50.94685 1304.936

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CONCLUSIONI

CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALEE. Rossi

• Il Metodo Amoeba risulta efficiente nell’ottimizzazione di funzioni ad n variabili in quanto è in grado di fornire una soluzione con un numero ridotto di iterazioni.

• Tale metodo risulta di facile applicazione anche in caso di problemi vincolati in quanto non necessita della continuità della funzione da ottimizzare.

• La scelta delle condizioni iniziali può influire sulla soluzione perciò è opportuno prevedere un restart dell’algoritmo di ottimizzazione con condizioni iniziali definite in maniera random o probabilistica, così da permettere di individuare, nel caso ce ne fossero, sia condizioni di ottimo locale che globale.