INTRODUCCION A LA LOGICA DIFUSA

ING. TELMO VITERI MsC.



PERSONAQUE UTILIZA EL INGENIO

PARA RESOLVER PROBLEMAS



INTERRELACION DE RECURSOSQUE CONFORMAN UN CICLO


MEDIANTE LA INTERELACIONDE RECURSOS INFORMATICOS

PERSONA

QUE UTILIZA EL INGENIO

PARA RESOLVER PROBLEMAS




PROFESIONALES




La lógica es la ciencia del razonamiento; decimos entonces de la lógica matemática o simbólica, que es la ciencia que nos

enseña a pensar y a razonar. La lógica encierra dos grandes áreas: La Lógica Proposicional y La Lógica Predicativa



Conocimiento Exacto e InciertoVeamos la diferencia entre algo Exacto, algo Aleatorio y

algo nebuloso:

Exacto: Tengo 42 años de edad; Usted es una Mujer; 4 * 2 = 8;

Aleatorio: ¿Va a llover mañana o no?; Si lanzo el dado, ¿saco un 4 o no?

Nebuloso: ¿Esta persona es vieja o no?; ¿Hace frío o no?

•Aleatoriedad se hace resuelto con el pasar del tiempo o con una prueba;

•Nebulosidad no se resuelve pues el problema está en el sentido de las palabras.


Conceptos Imprecisos.

Aceptamos la imprecisión como una consecuencia natural de ''la forma de las cosas en el mundo''.. Nosotros simplemente

aproximamos estos eventos a funciones numéricas y escogemos un resultado en lugar de hacer un análisis del

conocimiento empírico. - La temperatura está caliente

- La inflación actual aumenta rápidamente - Los grandes proyectos generalmente tardan mucho - Nuestro precios están por abajo de los precios de la

competencia - IBM es una compañía grande y agresiva

Alejandro es alto pero Ana no es bajita Conjuntos


CONJUNTO

• Concepto.- se considera conjunto a una reunión o colección de objetos bien definidos, los objetos que constituyen o forman un conjunto se denominan ELEMENTOS de dicho conjunto.


Conjuntos Difusos.

La mayoría de los fenómenos que encontramos cada día son imprecisos, es decir, tienen implícito un cierto grado de

difusidad en la descripción de su naturaleza. Esta imprecisión puede estar asociada con su forma, posición, momento, color, textura, o incluso en la semántica que

describe lo que son. En muchos casos el mismo concepto puede tener diferentes grados de imprecisión en diferentes

contextos o tiempo.


Un conjunto difuso es también una función que asocia a cada objeto del universo un valor en el intervalo [0,1]. Si x es un objeto en el universo y y=C(x) es el valor asociado a x, se dice que y es el grado de pertenencia del objeto x al conjunto

difuso C.

Así pues, todo conjunto en el sentido usual es también un conjunto difuso.


El conjunto vacío {} coincide con la función idénticamente cero y el universo coincide con la

función constante 1. Por ejemplo:

- Tengo el conjunto: U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Y los subconjuntos A = {0,2,4,6,8} B = {1,3,5,7,9}

Por lo tanto los valores o elementos del conjunto A, B tendrán un valor de 1 si pertenecen al universo y un valor de

0 si no pertenecen.


- EJERCICIO

Obtener la difusidad de la pertenencia de los elementos del conjunto A al conjunto

Universo. U = {M , V ,J, A} A = {C, M, A, J}

B = {D, J, A, V, J}


Difusidad 1 → Cuando pertenecen al conjunto Universo.

Difusidad 0 → Cuando no pertenecen al conjunto Universo.

μ (A) ={(0,C) ; (1,M) ; (1,A) ; (0,J)}

μ (B) ={(0,D) ; (0,J) ; (1,A) ; (1,V) ; (1,J)}


Notación de Conjuntos Difusos.

Se los puede denotar de dos maneras.

1) Como pares ordenados, en donde el primer elemento es la difusidad y el segundo elemento es el valor perteneciente al

conjunto de estudio.

μ (A) ={(0,C) ; (1,M) ; (1,A) ; (0,J)}


2) Como cociente (divisor) en donde el numerador es el

que da difusidad y el denominador es el elemento del conjunto de estudio.

μ (A) = {0/C , 1/M , 1/A , 0/J}


El grado de difusidad 0, me indica la carencia de

aproximación al límite superior, el grado de difusidad 1, quiere decir que se encuentra sobre el límite superior o lo

sobrepasa.

NO PUEDE EXISTIR DIFUSIDADES MENORES QUE 0 NI MAYORES QUE 1

EJERCICIOS:

Encontrar la difusidad de la edad de 10 personas si se tiene como máximo un valor de 25. Expresarlo en las dos

notaciones.


Transformar a conjunto difuso que represente el grado de juventud del

conjunto de 5 personas si se considera que 25 años es la edad tope de juventud.

N= Luis, Carlos, José, Pablo,

Antonio

E= 25,15,17,18,20


C(x)={25/25 , 15/25 , 17/25 , 18/25 , 20/25}

C(x)={1, 0.6, 0.68, 0.72, 0.8}

X={(Luis,1), (Carlos,0.6), (José,0.68),

(Pablo,0.72), (Antonio,0.8)}

X={1/Luis, 0.6/Carlos, 0.68/José, 0.72/Pablo, 0.8/Antonio}


Transformar a conjuntos difusos que represente el número de goles marcados

por los equipos de fútbol: Macará, Olmedo, Espoli, Nacional y Emelec en el

mes de Abril si el número de goles máximo es de 15.

E={ Macará, Olmedo, Espoli, Nacional,

Emelec}G={10, 7, 12, 15, 8}


C(x)={10/15, 7/15, 12/15, 15/15, 8/15}C(x)={0.6, 0.4, 0.8, 1, 0.5}

X={( Macará,0.6),(Olmedo,0.4), (Espoli,0.8), (Nacional,1), (Emelec,0.5)}

X={ 0.6/Macará, 0.4/Olmedo, 0.8/Espoli, 1/Nacional, 0.5/ Emelec}


Transformar a conjuntos difusos la representación de las distancias que

existen desde Quito a las ciudades de Ambato, Cuenca, Baños y Atacames si

se conoce que la distancia máxima es de 500Km.

J={ Ambato, Cuenca, Baños, Atacames}

D={250, 500, 310, 450}


C(x)={0.5, 1, 0.6, 0.9}C(x)={250/500, 500/500, 310/500,

450/500}X={ (Ambato,0.5),( Cuenca,1),( Baños,

0.6),( Atacames ,0.9)}X={ 0.5/Ambato, 1/Cuenca, 0.6/Baños,

0.9/Atacames}


Transformar a conjuntos difusos que represente el precio en el año 2004 de: arroz, azúcar, aceite y pan; si sabemos que el precio

máximo es de 1 dólar.

P={ arroz, azúcar, aceite, pan}F={1,1.20,1,0.12}


C(x)={1/1, 1.20/1, 1/1, 0.1/12}C(x)={ 1, 1, 1, 0.1}

X={ (arroz,1),(azúcar,1), (aceite,1), (pan,0.1)}

X={1/arroz, 1/azúcar, 1/aceite, 0.1/pan}


MAPEO DE CONJUNTOS DIFUSOS.

El Mapeo es un gráfico dado por el

experto en la materia y en base al cual se obtendrán las difusidades de estudio.


Con la notación en forma de par ordenado de los conjuntos difusos

podemos representarlos en forma grafica en un plano cartesiano , en donde el

primer elemento se graficara en el eje de las x y el segundo elemento en el eje de

las y.


Ejemplo:

Pasos para realizar un mapeo.


f(x)

,x a

(b x)/(b a),a x b

,x b

1

0

Tipo L


f(x)

,x a

(x a)/(b a),a x b

,x b

0

1

f(x)

,x a

(x a)/(b a),a x b

,x b

0

1

f(x)

,x a

(x a)/(b a),a x b

,x b

0

1Tipo Gamma


f(x)

,x a

(x a)/(b a) a x a b

(x b)/(b a) , a b x b

,x b

1

1 2 2

2 2

0

2

2

( ) , ( ) /

( ) ( ) /

Tipo Z


f(x)

,x a

(x a)/(b a) ,a x a b

(x b)/(b a) , a b x b

,x b

0

2 2

1 2 2

1

2

2

( ) ( ) /

( ) ( ) /

Tipo S


f(x)

,x a

(x b)/(a b),a x b

b x c

(d x)/(d c),c x d

,x d

0

1

0

,

Pi


1. Definir las variables de entrada y

salida temperatura, edad, estatura, velocidad, fuerza. Definir el margen de variación (universo de discurso) de cada

variable.Temperatura: -40 a 70°C , Edad: 0 a 100

años, Estatura: 0 a 200 cm.


2. Definir todos los conjuntos y el

valor lingüístico, asociado a cada uno:

Variable: Temperatura: Valores Lingüísticos: negativa_alta,

negativa_baja, cero, positiva_baja, positiva_alta

Variable: Edad: Valores Lingüísticos:

muy_joven, joven, maduro, viejo.


3. Para cada conjunto (valor

lingüístico) definir una función de pertenencia o inclusión que indique el

grado en que una variable “x” está incluida en los conceptos representados por las variables lingüísticas. Se suele

utilizar μi(x) para indicar el grado en que

“x” está incluida en el conjunto “i” .


A μi(x) se le conoce como función de

pertenencia de “x” en “i”.

El valor de pertenencia tiene que variar entre 0 y 1.







LOS SISTEMAS EXPERTOS

• Programas de ordenador que capturan el conocimiento de un experto e imitan sus procesos de razonamiento al resolver los problemas de un determinado dominio

• Contienen dos tipos de conocimiento:

•Declarativo: hechos

•Procedimental: pautas de actuación

• Una base de datos solo contiene conocimiento declarativo

• Programas de ordenador que capturan el conocimiento de un experto e imitan sus procesos de razonamiento al resolver los problemas de un determinado dominio

• Contienen dos tipos de conocimiento:

•Declarativo: hechos

•Procedimental: pautas de actuación

• Una base de datos solo contiene conocimiento declarativo


VENTAJAS• Permanencia• Reproducibilidad• Eficacia ante “laberintos de

normas”• Eficiencia• Consistencia• Posible la revisión de todas las

transacciones• Amplitud• Aspectos competitivos

• Permanencia• Reproducibilidad• Eficacia ante “laberintos de

normas”• Eficiencia• Consistencia• Posible la revisión de todas las

transacciones• Amplitud• Aspectos competitivos


INCONVENIENTES

• Sentido común• Creatividad• Aprendizaje• Experiencia sensorial• Degradación

• Sentido común• Creatividad• Aprendizaje• Experiencia sensorial• Degradación


Consideraciones Iniciales - Sistemas Especialistas Nebulosos (basados en la

lógica nebulosa): Hoy en día, las máquinas fotográficas japonesas tienen Sistemas Nebulosos para resolver automaticamente el problema del ajuste de la luminosidad y del foco.

- Los carros, japoneses o no, también tienen cada vez más IA: el más moderno y eficiente sistema de freno, el ABS, e una implementación de sistema nebuloso.


Conocimiento Exacto e InciertoVeamos la diferencia entre algo Exacto, algo Aleatorio y

algo nebuloso:

Exacto: Tengo 42 años de edad; Usted es una Mujer; 4 * 2 = 8;

Aleatorio: ¿Va a llover mañana o no?; Si lanzo el dado, ¿saco un 4 o no?

Nebuloso: ¿Esta persona es vieja o no?; ¿Hace frío o no?

•Aleatoriedad se hace resuelto con el pasar del tiempo o con una prueba;

•Nebulosidad no se resuelve pues el problema está en el sentido de las palabras.


OPERACIONES. Producto de conjuntos difusos.- Se la realiza elemento a elemento entre las partes de la operación.

μ (V) * μ (P)

Requerimientos: Los conjuntos a multiplicar tienen que tener el mismo número de elementos y referirseal mismo tipo de los mismos.



Normalización.- Se lo representa con una línea en la parte superior del conjunto a normalizar.

Identificamos el mayor valor de los elementos del conjunto difuso y multiplicamos por este valor cada

uno de los elementos del conjunto difuso.



Complemento del conjunto difuso.- Se lo representa con un apostrofe en la parte superior derecha del conjunto a obtener el complemento. Se lo obtiene al restar 1 de cada uno de los elementos del conjunto difuso.



Unión de conjuntos difusos (U) .- Se lo obtiene tomando el mayor valor de entre las difusidades de los elementos de los conjuntos

que intervienen en la operación.



Intersección ( ∩ ) .- Se lo obtiene tomando el menor valor de entre las difusidades de los elementos de los conjuntos que intervienen en la operación.



Concentración.- Es realizar una operación que permita que los valores de mayor difusidad se aproximen más hacia el valor mínimo en comparación los valores de menor difusidad. Es decir al cuadrado el valor de la difusidad.



Dilatación.- Es una operación que tiene un efecto contrario a la concentración y se lo consigue elevando a la potencia (½) la difusidad buscada.



Intensificación Contrastante.- Se utiliza dos parámetros de medida, cuando el valor de difusidad es menor que 0,5 = 2(μ (R))²

y cuando es mayor que 0,5 = (1– 2 (1 -μ(R)) ²

→ (1 – 2(μ´(R) ²)



ETIQUETAS. 3.1. DEFINICIÓN. El centro de las técnicas de modelado difuso es la idea de variable lingüística. Desde su raíz, una variable lingüística es el nombre de un conjunto difuso. Si tenemos un conjunto difuso llamado ''largo'' éste es una simple variable lingüística y puede ser empleada como una regla-base en un sistema basado en la longitud de un proyecto en particular:


El asignarle un valor lingüístico a una operación lógica es lo que denominamos etiquetas. Así: - La etiqueta y corresponde a la intersección.

- La etiqueta o corresponde a la unión.


- La etiqueta no corresponde al complemento de la difusidad indicada.


- La etiqueta valor normal o normalmente corresponde a la normalización.


- La etiqueta mas, muy corresponde a la concentración.


- La etiqueta menos, ó ligeramente corresponde a la dilatación.-


La etiqueta mas o menos o medianamente corresponde a la intensificación constante.


Nota:- Normalización toma los valores mayores.- Dilatación toma los valores menores.- Intensificación Contrastante toma los valores que más se acercan a 0,5.


- Quienes son normalmente sinceros y más o menos fieles y muy respetuosos.

μ(S) ∩ Int μ(F) ∩ Con μ(R)


EJERCICIO DE APLICACION

(GOLEADOR) X1={0.90/Nonino, 0.60/Hurtado, 0.40/Urrutia,0.10/Garrido}

(JUGADOR) X2={0.50/Nonino, 0.30/Hurtado, 0.80/Urrutia,0.90/Garrido}

(ESTATURA) X3={0.30/Nonino, 0.90/Hurtado, 0.50/Urrutia,0.70/Garrido}


MUY GOLEADOR:

Conc X1={0.81/Nonino, 0.36/Hurtado, 0.16/Urrutia,0.01/Garrido}



DEFUSIFICACION

•La entrada para el proceso de defusificación es un conjunto difuso (la salida de la etapa de agregación) y la salida es un simple número concreto. Los sistemas del mundo real requieren un resultado numérico.

•El método más popular de defusificación es el cálculo del centro de gravedad ó centroide, el cual retorna el centro del área bajo la curva. Al igual que en los pasos anteriores existen más métodos de cálculo.

Centro de gravedad


DEFUSIFICACION

Forma continua

•Para calcular el algoritmo del centro de gravedad (cog, siglas en ingles) dividimos al Momento de la función por el Area de la función:

Forma discreta

•Se divide la función en partes iguales y se calcula haciendo la sumatoria de todos los puntos de la siguiente manera:

•Hay que tener en cuenta que al dividir en partes iguales al conjunto de salida se simplifican los z, si las particiones fueran diferentes habría que tener en cuenta el z porque sino se pierde el sentido de Momento y Area de la función.


DEFUSIFICACION

Forma continua:

Forma discreta para 10 muestras:


PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano es usado para definir una relación entre dos o más conjuntos (sean ordinarios o difusos).

El producto cartesiano es denotado como AxB y es definido como:

Una relación difusa R de A y B es un subconjunto difuso de AxB, donde R(a, b) es la función de membresía de R.

R también puede ser representado como una matriz, depositando cada elemento de R(a, b):
























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