Ipaee capitulo 7_slides_2

CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K

FATORIAL 24

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS

2º SEMESTRE DE 2010

Vamos acrescentar agora uma quarta variável ao nosso planejamento:

o pH do meio reacional, nos níveis neutro (7) e levemente acido (6).

Com isto, o numero total de ensaios sobe para 16.

Fatores (-) (+)

1. Temperatura 40 60

1. Catalisador A B

1. Concentração 1.0 1.5

1. pH 7.0 6.0




EXPERIMENTO EXECUTADOAPENAS UMA VEZ PARACADA UMA DAS POSSÍVEISCOMBINAÇÕES:

EXPERIMENTO SEM REPETIÇÕES




EFEITOS ESTIMADOS:




QUESTÃO:

Como proceder para executar os testes necessários para verificação da

significância dos efeitos estimados?


FATORIAIS 2K

SEM

REPETIÇÕES




Nos experimentos fatoriais 2k o número total de tratamentos pode

ser elevado mesmo quando o número de fatores presentes no estudo

não seja muito grande, conforme podemos ver na tabela abaixo:

INTRODUÇÃO:

No

FatoresK

Nro de

Ensaios2k

Efeitos

Principais

No De Interações Sobre as Quais é Obtida Informação

Número de Fatores na Interação2 3 4 5 6

3 8 3 3 14 16 4 6 4 15 32 5 10 10 5 16 64 6 15 20 15 6 17 128 7 21 35 35 21 78 256 8 28 56 70 56 28




Causas:

INTRODUÇÃO:

1. Tempo

2. Recursos Financeiros (Custo)

Uma outra Questão:

Experimento 2k com repetição ou 2k+1 sem repetição?




Problema:

INTRODUÇÃO:

Num experimento sem repetições não é possível obter

uma estimativa da variabilidade devida ao erro

experimental.




Exemplo : Fatorial 23 Sem RepetiçãoINTRODUÇÃO:

Fonte GL

Modelo 7

A 1

B 1

AB 1

C 1

AC 1

BC 1

ABC 1

Erro 0

Total 7




Proposta:

INTRODUÇÃO:

“Selecionar” efeitos a serem excluídos do modelo de forma a gerar

graus de liberdade para estimação dos resíduos.




Alternativas:

INTRODUÇÃO:

1. ASSUMIR QUE INTERAÇÕES DE MAIOR ORDEM SÃO NÃOSIGNIFICATIVAS;

2. IDENTIFICAR EFEITOS NÃO SIGNIFICATIVOS;

3. ADIÇÃO DE OBSERVAÇÕES NO PONTO CENTRAL DE UMFATORIAL 2K




ASSUMIR QUE INTERAÇÕES DE MAIOR ORDEM SÃO NÃO SIGNIFICATIVAS;

PROCEDIMENTOS PARA EXPERIMENTOS SEM REPETIÇÃO:

PRINCÍPIO:

Interações de ordem mais elevada não são significativas, ou seja,quando combinados um grande número de fatores os efeitos sãodiluídos e conseqüentemente tornam-se não significativos

PROBLEMA:

Como nenhum procedimento formal é executado, efeitossignificativos podem ser excluídos do modelo com esteprocedimento,





NO EXEMPLO:

A Tabela 3.8 mostra claramente que alguns efeitos são bem mais

significativos que outros. Admitindo, tendo em vista os valores dessa

tabela, que os efeitos principais e as interações de dois fatores bastam

para descrever adequadamente a superfície de resposta, podemos usar os

demais efeitos para obter uma estimativa do erro experimental nos

valores dos efeitos. De acordo com essa suposição (que equivale a dizer

que a expansão em série pode ser truncada depois dos termos de

segunda ordem), as interações de três ou mais fatores na verdade não

existem






NO EXEMPLO:

Os valores determinados para 123, 124, 134, 234 e 1234 na

Tabela, então, só podem ser atribuídos as flutuações aleatórias inerentes

ao nosso processo, isto é, ao "ruído" embutido nos valores das respostas.

Elevando cada um deles ao quadrado, teremos uma estimativa da

variância de um efeito, e a média dos cinco valores nos dará uma

estimativa conjunta, com 5 graus de liberdade (porque são cinco valores

independentes).






PORTANTO:



A raiz quadrada desse valor, s 0.54 é a nossa estimativapara o erro padrão de um efeito.


IDENTIFICAR EFEITOS SIGNIFICATIVOS:


PRINCÍPIO:

Atendidas as suposições do modelo (normalidade ehomcedasticidade), as estimativas dos efeitos são combinaçõeslineares de normais, logo sob a hipótese de que os efeitos são nãosignificativos (i = 0) o gráfico normal probabilístico dos efeitos deveter pontos próximos a uma reta.

EFEITOS SIGNIFICATIVOS:

Efeitos significativos serão aqueles que se afastam da “reta” nográfico normal probabilístico (i ≠ 0)






NO EXEMPLO:

Imaginemos que nenhum dos 15 efeitos que calculamos exista de fato,

isto é, que o verdadeiro valor de cada um deles seja zero. Dentro dessa

suposição (mais um exemplo de hipótese nula), os valores numéricos

que obtivemos devem refletir apenas os erros aleatórios do nosso

processo. Aplicando o teorema do limite central, podemos considerá-

los como uma amostra aleatória retirada de uma distribuição

aproximadamente normal com média populacional zero














Um Segundo Exemplo - Exemplo: Fatorial 24 - Fatores K, T, P, C


K T P C Trat Y Estimativas Efeitos- - - - (1) 71+ - - - a 61 -8.0 K- + - - b 90 24.0 T+ + - - ab 82 -2.25 P- - + - c 68 -5.5 C+ - + - ac 61 1 K:T- + + - bc 87 0.75 K:P+ + + - abc 80 -1.25 T:P- - - + d 61 0 K:C+ - - + ad 50 4.5 T:C- + - + bd 89 -0.25 P:C+ + - + abd 83 -0.75 K:T:P- - + + cd 59 0.5 K:T:C+ - + + acd 51 -0.25 K:P:C- + + + bcd 85 -0.75 T:P:C+ + + + abcd 78 -0.25 K:T:P:C




Exemplo: Fatorial 24 - Fatores K, T, P, C


K T P C Trat Y Estimativas Efeitos- - - - (1) 71+ - - - a 61 -8.0 K- + - - b 90 24.0 T+ + - - ab 82 -2.25 P- - + - c 68 -5.5 C+ - + - ac 61 1 K:T- + + - bc 87 0.75 K:P+ + + - abc 80 -1.25 T:P- - - + d 61 0 K:C+ - - + ad 50 4.5 T:C- + - + bd 89 -0.25 P:C+ + - + abd 83 -0.75 K:T:P- - + + cd 59 0.5 K:T:C+ - + + acd 51 -0.25 K:P:C- + + + bcd 85 -0.75 T:P:C+ + + + abcd 78 -0.25 K:T:P:C




Exemplo: Fatorial 24 - Fatores K, T, P, C -2º CASO : EXCLUSÃO INTERAÇÕES DE 3 E 4 FATORES


Fontes GL SQ QM F Prob.Modelo 15 2801.00K 1 256.00 256.00 213.33 <0.001

T 1 2304.00 2304.00 1920.00 <0.001P 1 20.25 20.25 16.87 0.009C 1 121.00 121.00 100.83 <0.001K:T 1 4.00 4.00 3.33 0.127K:P 1 2.25 2.25 1.87 0.229K:C 1 0.00 0.00 0.00 1.000T:P 1 6.25 6.25 5.21 0.071T:C 1 81.00 81.00 67.50 <0.001P:C 1 0.25 0.25 0.21 0.667Resíduos 5 6.00 1.20




Exemplo: Fatorial 24 - Fatores K, T, P, C -2º CASO : EXCLUSÃO INTERAÇÕES DE 3 E 4 FATORES



Interação T:C

Todos os efeitos principais




Exemplo: Fatorial 24 - Fatores K, T, P, C -2º CASO : IDENTIFICAÇÃO DE EFEITOS SIGNIFICATIVOS


Estimativas Efeitos

-8.0 K24.0 T-2.25 P-5.5 C1 K:T0.75 K:P-1.25 T:P0 K:C4.5 T:C-0.25 P:C-0.75 K:T:P0.5 K:T:C-0.25 K:P:C-0.75 T:P:C-0.25 K:T:P:C

N o rm al P ro b ab il is t ico d o s E fe ito s E s tim ad o s

- In teractio n s - M ain effects an d o th er effects

Ex

pe

cte

d N

orm

al

Va

lue

(1 )K

(4 )C

(3 )P

2 b y3

2 *3 *41 *2 *3

3 b y41 *3 *4

1 b y4

1 *2 *4

1 b y3

1 b y2

2 b y4

(2 )T

.0 1

.0 5

.1 5

.2 5

.3 5

.4 5

.5 5

.6 5

.7 5

.8 5

.9 5

.9 9

-3 .0

-2 .5

-2 .0

-1 .5

-1 .0

-0 .5

0 .0

0 .5

1 .0

1 .5

2 .0

2 .5

3 .0

-6 0 -4 0 -2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0






Fontes GL SQ QM F Prob.

Runs 15 2801.00

K 1 256.00 256.00 136.53 <0.001

T 1 2304.00 2304.00 1228.8 <0.001

P 1 20.25 20.25 10.80 0.008

C 1 121.00 121.00 64.53 <0.001

T:C 1 81.00 81.00 43.20 <0.001

Resíduos 10 18.75 1.875







Todos os efeitos mantidos no modelo,

OBSERVAÇÃO:

Neste caso ambos os procedimentos levaram a identificação de um mesmo

conjuntos de efeitos significativos.






CONCLUSÃO DA ANÁLISE:

Estudo da interação T : C

C=-1

C=+1

In te ração T :C

T

Y

50

55

60

65

70

75

80

85

90

- +








Nível baixo de K apresenta

melhor resultado (*)

(*) Quanto maior a resposta melhor

o resultado do experimento

E fe ito P r in c ip a l d e K

K

Y

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

- +








Nível baixo de K apresenta


Nível baixo de P apresenta


(*) Quanto maior a resposta melhor

o resultado do experimento

E fe ito P r in c ip a l d e P

P

Y

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

- +





Uma terceira alternativa para o caso de experimentos sem repetição é

a de realizar alguns ensaios (experimentos) no ponto central da região

experimental. A observação destes pontos permite a obtenção de

graus de liberdade para cálculos dos resíduos e conseqüentemente a

possibilidade de testar todos os efeitos em estudo.

ADIÇÃO DE OBSERVAÇÕES NO PONTOS CENTRAL DE UM FATORIAL 2K






Exemplo : Fatorial 23

Sem Repetição nos

pontos “usuais” e três

repetições no ponto

central

Fonte GL

Modelo 7

A 1

B 1

AB 1

C 1

AC 1

BC 1

ABC 1

Erro (0) 3

Total (7) 10





Questão:

A adição destes pontos adicionais ocasiona mudanças nas estimativas

dos valores estimados para os efeitos?






Consideremos a situação de um fatorial 22 sem repetição e com

três repetições no ponto central. A matriz de planejamento X e a respectiva

matriz X’X são apresentadas abaixo:







Fatorial 22 sem repetição:

Fatorial 22 com três repetiçõesno ponto central






Observações:

1. A utilização de pontos centrais é possível nos casos onde os níveis dos fatores

apresentam, pelo menos, escala ordinal.

2. Embora a adição de observações no ponto central seja utilizada para viabilizar o

teste dos efeitos do modelo em experimentos onde são realizadas repetições nos

pontos experimentais, a sua principal aplicação é a de permitir a verificação da

linearidade dos efeitos dos fatores , ou seja, verificar se na região experimental em

estudo o ajuste de um modelo linear é suficiente ou se existe a necessidade de um

ajuste de um modelo de segunda ordem. Esta aplicação será vista no capítulo 2.



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