Upload
aleksandar-micic
View
125
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
כל הזכויות שמורות לאבי זילביגר ©
אותות ומערכות–מעבדה
2אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
בחוברת המעבדה 7-8פרקים
1
3אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
: אם למשל�
:אז אפשר להעביר את פונקצית התמסורת למשוואה דיפרנציאלית�
�S הוא אופרטור הגזירה
:נכון גם לומר�
∫∞
∞−
−== τττ dthxthtxty )()()(*)()(
פונקצית תמסורת של מערכת לינארית לא משתנה בזמן
Transfer Function of a Linear Time Invariant System (LTI)
פונקצית תמסורת נותנת את הקשר בין הכניסה ליציאה
x(t) y(t)h(t)
:במישור הזמן
�h(t) היא התגובה להלם
�
1
1
)(
)(
+=
ssX
sY
τ)()()(' txtyty =+τ
)()]([ sHthL =
X(s) Y(s)H(s)
)()(
)(sH
sX
sY=
:במישור לפלס
�
4אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
Matlabפקודות
transfer functionמגדירה אוביקט מסוג ([ ] ,[ ])H=tfהפקודה �
. x(t)=δ(t)כאשר –(impulse response)נותנת את התגובה להלם impulse(H)הפקודה �
h(t)זוהי גם
x(t)=µ(t) (step response) -נותנת את התגובה ל step(H)הפקודה �
:בשתי הפקודות אפשר להוסיף פרמטרים המציינים את גבולות הזמן המבוקשים לציור כגון�
�Step(H,t_final) ,step(H,t_vector)
Hנותנת את מיקום הקטבים של pole(H)הפקודה �
Hנותנת את מיקום האפסים של zero(H)הפקודה �
מציירת את הקטבים והאפסים במישור הקומפלקסי pzmap(H)הפקודה �
5אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
)1/2(משמעות מיקום הקטבים במישור הקומפלקסי
המערכת יותר מהירה ←ככל שהקוטב זז יותר שמאלה �
τ/1מיקום הקוטב הוא �
קבוע זמן קטן יותר�X Re
Im
קטבים מדומים�
מיקום על הציר המדומה קובע את תדר התנודות�
אין דעיכה�
קוטב קומפלקסי�
מיקום הקוטב על הציר הממשי קובע את מידת הדעיכה�
מיקום הקוטב על הציר המדומה קובע את תדר התנודות�
0 10 20 30 40 50 600
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1Impulse Response
Time (sec)
Am
plit
ud
e
X
Re
Im
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4Impulse Response
Time (sec)
Am
plit
ude
X
0 20 40 60 80 100 120 140-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25Impulse Response
Time (sec)
Am
plit
ude
X
Re
Im
X
אנו דנים במערכות סיבתיות בלבד
6אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
)2/2(משמעות מיקום הקטבים במישור הקומפלקסי
מערכת לא יציבה= קוטב בצד ימין �
X Re
Im
אנו דנים במערכות סיבתיות בלבד
קוטב דומיננטי�
הקוטב הקרוב ביותר לראשית�
הוא זה שקובע את זמן התגובה של המערכת�
X Re
Im
X
7אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
(Bode Plot)דיאגרמת בודה
דיאגרמת בודה מאפשרת לנו לראות את תגובת התדר של פונקצית התמסורת�
ומחשבים הגבר והסחת פזה s=jωמציבים �
דיאגרמת בודה sin(ωt)אות סינוסי טהור H(s)אם נכניס למערכת עם פונקצית תמסורת �
במצב של הסינוס ביציאה (phase)והסחת הפזה (magnitude)נותנת לנו את ההגבר
מתמיד
)לוגריתמי(על הציר האופקי מסמנים את התדר �
dB -על הציר האנכי את ההגבר ב�
-40
-30
-20
-10
0
Magnitu
de (
dB
)
10-3
10-2
10-1
100
101
-90
-45
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
: לדוגמא�
0.1rad/sec-–מיקום הקוטב �
110
1)(
+=
ssH
-40
-30
-20
-10
0
System: H
Frequency (rad/sec): 0.0997
Magnitude (dB): -3
Magnitu
de (
dB
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-3
10-2
10-1
100
101
-90
-45
0
System: H
Frequency (rad/sec): 0.1
Phase (deg): -45
Phase (
deg)
מתוך הדיאגרמה אפשר להסיק היכן מיקום �
הקוטב
אנו דנים במערכות סיבתיות בלבד
8אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
ערך הסופי וערך התחלתי
Final Value Theorem–משפט הערך הסופי
!!!מותר להשתמש במשפט זה רק אם המערכת יציבה: שימו לב
)(lim)(lim0
ssXtxst →∞→
=
)Initial Value Theorem)(lim)0–משפט הערך ההתחלתי ssXxs ∞→
+ =
9אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
Step Response–תגובה למדרגה
:אז התגובה למדרגה תהיה באינסוף G(s)אם נתונה מערכת
כלומר הערך הסופי יהיה היחס בין האיברים החופשיים של המונה והמכנה�
)(lim)(1
lim)(lim00
sGsGs
styss
stept →→∞→
==
:+0אז התגובה למדרגה תהיה ברגע G(s)אם נתונה מערכת
:כלומר
הערך ההתחלתי יהיה היחס בין מקדמי הדרגה , אם דרגת המונה שווה לדרגת המכנה�במונה ובמכנה sהגבוהה ביותר של
הערך ההתחלתי יהיה אפס, אם דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה�
)(lim)(1
lim)0( sGsGs
syss
step∞→∞→
+ ==
)במערכת יציבה(ערך סופי של תגובה למדרגה
ערך התחלתי של תגובה למדרגה
S
1
10אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
דוגמא
1: ערך התחלתי
1/2: ערך סופי
2
1)(
+
+=
s
ssG
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
הקוטב היחיד בצד שמאל–מערכת יציבה
11אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
)Feedback(משוב
)()(1
)(
)(
)()(
)()())()(1)((
)())()()(()(
)()()(
)()()(
)()()(
sGsH
sG
sV
sVsT
sGsVsGsHsV
sGsHsVsVsV
sHsVsB
sBsVsA
sGsAsV
in
out
inout
outinout
out
in
out
+==
=+
−=
=
−=
=
A(s)
B(s)
T(s)
12אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
מערכות לא מינימום פזה
13אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
ומערכת לא מינימום פזה (minimum phase)מערכת מינימום פזה
בצד ימין אפסהיא מערכת בעלת (non-minimum phase)מערכת לא מינימום פזה
במערכת לא מינימום פזה התגובה למדרגה תמיד תכלול חלק שלילי אחד לפחות�
י בדיקת הערך"אפשר לבחון את הכיוון ההתחלתי של התגובה למדרגה ע�
הסימן של ערך זה קובע את הכיוון ההתחלתי�
הנגזרת של התגובה למדרגה הינה חיובית ← + �
הנגזרת של התגובה למדרגה הינה שלילית ← - �
)(lim ssGs ∞→
14אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
)במקום השאלות בחוברת( 8תרגיל בית לפרק
15אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
)8במקום מה שיש בחוברת בפרק (תרגיל בית
צייר את התגובה למדרגה, עבור פונקציות התמסורת הבאות
24269
244824
)4)(3)(2(
)1(24)(3
65
66
)3)(2(
)1(6)(2
65
66
)3)(2(
)1)(1(6)(1
23
22
2
2
2
+++
+−=
+++
−=
++
+−=
++
−=
++
+−=
++
+−=
sss
ss
sss
ssG
ss
s
ss
ssG
ss
s
ss
sssG
מדוע זוהי התגובה הצפויהשורות לכל היותר 5 -בהסבר
16אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab
סוף