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1
INTRODUCCIÓN
LEY DE SENOS Y COSENOS
LEY DE SENOS LEY DE COSENOS
PROBLEMA 1b
PROBLEMA 1a
PROBLEMA 2a
PROBLEMA 2b PROBLEMA 4b
PROBLEMA 4a
PROBLEMA 3b
PROBLEMA 3a
RESUME L. SENOS RESUMEN L. COSENOS
Estándar 19
TERMINAR
PANTALLA
COMPLETA
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2
Estándar 19:
Los estudiantes usan funciones
trigonometricas para resolver un
triángulo rectángulo con un lado
desconocido dados un ángulo y la
longitud de un lado.
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3
55°
64° 61°110°
21°
49°
Triángulo
Rectángulo
Triángulo
Acutángulo
Triángulo
Obtusángulo
Clasificación de triángulos por sus ángulos:
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4
Estándar 19
o
u
i
C
B
A
Tan C=i
o
Tan C=Lado adyacente
Lado opuesto
TANGENTE
Sen C=i
u
Sen C=Hipotenusa
Lado opuesto
SENO
Cos C=o
u
Cos C=Hipotenusa
COSENOLado adyacente
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Para triángulos
rectangulos
tenemos…
5
? ?
Estándar 19
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¿Cómo resolver este tipo?
… con la Ley De Senos Y Ley De Cosenos.
6
=
C
B
Ab
ac
a b
Sen A Sen B
LEY DE SENOSEstándar 19
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7
=
C
B
Ab
ac
a c
Sen A Sen C
LEY DE SENOSEstándar 19
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8
=
C
B
Ab
ac
c b
Sen C Sen B
LEY DE SENOSEstándar 19
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9
Sen A Sen B
a b=
C
B
Ab
ac
LEY DE SENOS
Sen C
c=
Estándar 19
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10
m A = 67°, a=14, b=9
C
B
Ab=9
a=14c
67°
RESOLVER: Sen A
Sen 67°
Sen B
Sen B
a
14
b
9
=
= (9)(9)
Sen 67°
Sen B14
=(9)
.9205
Sen B14
=(9)
Sen B= .5917
m B = Sen( )-1
.5917
m B = 36.3°
36.3°
m C = 180°-67°-36.3°= 76.7°
76.7°
Estándar 19
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11
C
B
Ab=9
a=14c
67°
36.3°
76.7°
Sen 67° Sen76.7°
14 c=
Sen 67°c = Sen76.7°14
Sen 67° Sen76.7°14c=
Sen 67° Sen 67°
(.9731)
(.9205)
14c =
c = 14.79
14.79=
m A = 67°, a=14, b=9RESOLVER: Sen A
Sen 67°
Sen B
Sen B
14
b
9
=
= (9)(9)
Sen 67°
Sen B14
=(9)
.9205
Sen B14
=(9)
Sen B= .5918
m B = Sen( )-1
.5918
m B = 36.3°
m C = 180°-67°-36.3°= 76.7°
a
Estándar 19
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12
m A = 58°, a=11, b=8
C
B
Ab=8
a=11c
58°
RESOLVER: Sen A
Sen 58°
Sen B
Sen B
a
11
b
8
=
= (8)(8)
Sen 58°
Sen B11
=(8)
.8480
Sen B11
=(8)
Sen B= .6167
m B = Sen( )-1
.6167
m B = 38°
38°
m C = 180°-58°-38°= 84°
84°
Estándar 19
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13
Sen A Sen B
a b=
C
B
Ab=8
a=11c
m A = 58°, a=11, b=8
58°
RESOLVER:
Sen 58° Sen B
11 8=
Sen 58°
Sen B11
=
(8)(8)
(8)
.8480
Sen B11
=(8)
Sen B= .6167
m B = Sen( )-1
.6167
m B = 38°
38°
m C = 180°-58°-38°= 84°
84°
Sen 58° Sen 84°
11 c=
Sen 58°c = Sen 84°11
Sen 58° Sen 84°11c=
Sen 58° Sen 58°
(.9945)
(.8480)
11c =
c= 12.9
12.9=
Estándar 19
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14
79°
c
C
B
Ab
a=1563°
38°
Sen 79°c = Sen 38°15
Sen 79° Sen 38°15c=
Sen 79° Sen 79°
(.6157)
(.9816)c
15=
c = 9.40
9.40 =
a=15, m B = 63°, m C = 38°RESOLVER:
Sen 79°
Sen A
Sen 38°
Sen C
c
c
15
a
m A = 180°-63°-38°= 79°
=
=
Estándar 19
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15
C
B
Ab
a=15c
79°
63°
38°
9.4 =
a=15, m B = 63°, m C = 38°RESOLVER:
=Sen 79°b Sen 63°15
Sen 79° Sen 63°15b=
Sen 79° Sen 79°
(.8910)
(.9816)
15b= b = 13.61
Sen 79°
Sen A
Sen 63°
Sen B
b
b
=
=
15
a
=13.61Sen 79°c = Sen 38°15
Sen 79° Sen 38°15c=
Sen 79° Sen 79°
(.6157)
(.9816)c
15=
c = 9.4
Sen 79°
Sen A
Sen 38°
Sen C
c
c
15
a
m A = 180°-63°-38°= 79°
=
=
Estándar 19
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16
75°
c
C
B
Ab
a=1765°
40°
Sen 75°c = Sen 40°17
Sen 75° Sen 40°17c=
Sen 75° Sen 75°
(.6428)
(.9659)c
17=
c = 11.31
11.31 =
a=17, m B = 65°, m C = 40°RESOLVER:
Sen 75°
Sen A
Sen 40°
Sen C
c
c
17
a
m A = 180°-65°-40°= 75°
=
=
Estándar 19
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17
C
B
Ab
a=17c
75°
65°
40° Sen 75° Sen 40°
17 c=
Sen 75°c = Sen 40°17
Sen 75° Sen 40°17c=
Sen 75° Sen 75°
(.6428)
(.9659)
17c =
c = 11.31
11.31 =
a=17, m B = 65°, m C = 40°RESOLVER:
Sen A Sen C
c=
a
m A = 180°-65°-40°= 75°
=Sen 75°b Sen 65°17
Sen 75° Sen 65°17b=
Sen 75° Sen 75°
(.9063)
(.9659)
17b= b = 15.95
Sen 75°
Sen A
Sen 65°
Sen B
b
b
=
=
17
a
=15.95
Estándar 19
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18
LEY DE SENOS
1. Dos lados conocidos y un ángulo
opuesto a alguno de ellos.
2. Dos ángulos conocidos y un lado
cualquiera
Estándar 19
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CASO AMBIGUO:
LA LEY DE SENOS para resolución de triángulos, tiene un caso ambiguo;
donde dos triángulos distintos pueden ser construidos (Existen dos soluciones
posibles para el triángulo).
Dado un triángulo general ABC, las siguientes condiciones se necesitan
cumplir para tener el caso ambiguo:
a) La única información acerca de el triángulo es el ángulo A y dos de sus
lados a, y b; para los cuales el ángulo A no esta incluido, en otras palabras el
ángulo es opuesto a uno de los dos lados.
b) El ángulo A es agudo, es decir menos de 90° y más de 0°.
c) El lado a (opuesto a el ángulo A) es más corto que el lado b, o a < b.
d) El lado a (opuesto al ángulo A) es más largo que la altitud de un triángulo
rectángulo de altura a, e hipotenusa b, o a > b sin A.
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Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas:
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Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas:
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Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas:
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A B
C
b
a
Solución 1 Solución 2
A B’
b a
C’
Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas:
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Aplicando Ley De Senos:
y
BCB’ es un triángulo isósceles con
bases congruentes
A B
C
b
a
A B’
b a
C’
Después conA y cada B y B’ encontrar C y C’ con la Suma De Los
Ángulos Interiores De Un Triángulo. Finalizar aplicando Ley De Senos para
encontrar AB y AB’
Si m B + m CBB’ = 180°
entonces m B + m B’ = 180°
y por ello
Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas:
SinB
b
SinA
a
SinB bSinA
a
SenB
b
SenA
a
SenB bSenA
amB 180
o Sen
1 b SenA
a
mB Sen1 b SenA
a
mB 180o Sen
1 b SenA
a
mB Sen1 b SenA
a
‘
El siguiente es un ejemplo de la Ley De Senos con dos soluciones.
Los elementos de la figura en rojo son los datos de inicio.
Si a = b Sen A, entonces existe una solución. Un triángulo rectángulo.
Si a < b Sen A, entonces no hay solución.
Con A agudo: 0° < mA < 90°
A B
C
ba = b Sen A
A B
C
b
a < b Sen A
Si a > b, entonces hay una solución.
A B
C
ba
Con A obtuso o recto:
Si a = b o a < b, entonces no hay solución.
Si a > b, entonces existe una solución.
AB
C
b
a
A B
C
b
a
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28
C
B
Ab
ac
LEY DE COSENOS
Cos Aa =2
+ - 2 bb2
cc2
Estándar 19
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29
C
B
Ab
ac
LEY DE COSENOS
CosBb =2
a+ - 2a2
cc2
Estándar 19
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30
C
B
Ab
ac
LEY DE COSENOS
Cos Cc =2
a+ - 2a2
bb2
Estándar 19
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31
bc+ - 2 Cos Aa =2
b2
c2
a c+ - 2 CosBb =2
a2
c2
a b+ - 2 Cos Cc =2
a2
b2
C
B
Ab
ac
LEY DE COSENOS Estándar 19
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32
Cos Cc =2
a+ - 2a2
bb2
a=29, b=42, m C = 65°RESOLVER:
C
B
Ab=42
a=29c
65°
(29) (42)+ - 2 Cos (65°)c =2
292
422
c =2
(841) + (1764) - (2436) (.423)
c =2
(2605) - (1030.43)
c =2
1574.57
c = 39.7
39.7=
c = 39.7 c = -39.7
Estándar 19
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33
Cos Cc =2
a+ - 2a2
bb2
C
B
Ab=42
a=29c
65°
39.7=
Sen C
Sen 65°
c
39.7
a
29
=
= (29)(29)
Sen 65°
Sen A39.7
=(29)
.9063
Sen A39.7
=(29)
Sen A= .662
m A = Sen( )-1
.662
m A = 41.5°
m B = 180°-65°- 41.5°= 73.5°
Sen A
Sen A
73.5°
41.5°
(29) (42)+ - 2 Cos (65°)c =2
292
422
c =2
(841) + (1764) - (2436) (.423)
c =2
(2605) - (1030.43)
c =2
1574.57
c = 39.7 c = 39.7 c = -39.7
a=29, b=42, m C = 65°RESOLVER: Estándar 19
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34
Cos Cc =2
a+ - 2a2
bb2
a=30, b=40, m C = 70°RESOLVER:
C
B
Ab=40
a=30c
70°
(30) (40)+ - 2 Cos (70°)c =2
302
402
c =2
(900) + (1600) - (2400) (.342)
c =2
(2500) - (820.85)
c =2
1679.15
c = 41
41=
c = 41 c = -41
Estándar 19
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35
Cos Cc =2
a+ - 2a2
bb2
a=30, b=40, m C = 70°RESOLVER:
(30) (40)+ - 2 Cos (70°)c =2
302
402
c =2
(900) + (1600) - (2400) (.342)
c =2
(2500) - (820.85)
c =2
1679.15
c = 41
C
B
Ab=40
a=30c
70°
41=
c = c =41 -41
Sen C
Sen 70°
c
41
a
30
=
= (30)(30)
Sen 70°
Sen A41
=(30)
.94
Sen A41
=(30)
Sen A= .688
m A = Sen( )-1
.688
m A = 43.5°
m B = 180°-70°- 43.5°= 66.5°
Sen A
Sen A
66.5°
43.5°
Estándar 19
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36
a=23, b=18, c = 35RESOLVER:
+ - 235 =2
(23)232
(18)182
C
B
Ab=18
a=23c35=
+ - 2c =2
aa2
bb2
Cos C
Cos C
1225 = 853 - Cos C(828)
-853 -853
372 = Cos C-828
-828 -828
Cos C= -.4493
m C = Cos( )-1
-.4493
m C = 116.7°
116.7°
C1225 = (529) + (324) - (828)Cos
Estándar 19
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Siempre empezar
buscando el
ángulo opuesto al
lado más largo.
37
Cos Cc =2
a+ - 2a2
bb2
C
B
Ab=18
a=23
c35=
116.7°
=
= (18)(18)
Sen 116.7°
Sen B35
=(18)
.8934
Sen B35
=(18)
Sen B= .4595
m B = Sen( )-1
.4595
m B = 27.4°
m A = 180°-116.7°-27.4°= 35.9°
Sen C
Sen 116.7°
Sen B
Sen B
b
1835
35
27.4°
35.9°
a=23, b=18, c = 35RESOLVER:
35 =2
(23)232
(18)182
Cos C+ - 2
1225 = 853 - Cos C(828)
-853 -853
372 = Cos C-828
-828 -828
Cos C= -.4493
m C = Cos( )-1
-.4493
m C = 116.7°
C1225 = (529) + (324) - (828)Cos
Estándar 19
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38
a=21, b=16, c = 30RESOLVER:
+ - 230 =2
(21)212
(16)162
C
B
Ab=16
a=21c30=
+ - 2c =2
aa2
bb2
Cos C
Cos C
900 = 697 - Cos C(672)
-697 -697
203 = Cos C-672
-672 -672
Cos C= -.3020
m C = Cos( )-1
-.3020
m C = 107.6°
107.6°
C900 = (441) + (256) - (672)Cos
Estándar 19
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Siempre empezar
buscando el
ángulo opuesto al
lado más largo.
39
Cos Cc =2
a+ - 2a2
bb2
C
B
Ab=16
a=21
(21) (16)+ - 2
Cos C
30 =2
212
162
900 = (441) + (256) - (672)
c30=
Cos C
900 = 697 - Cos C(672)
-697 -697
203 = Cos C-672
-672 -672
Cos C= -.3020
m C = Cos( )-1
-.3020
m C = 107.6°
107.6°
=
= (16)(16)
Sen 107.6°
Sen B30
=(16)
.9532
Sen B30
=(16)
Sen B= .5084
m B = Sen( )-1
.5084
m B = 30.6°
m A = 180°-107.6°-30.6°= 41.8°
Sen C
Sen 107.6°
Sen B
Sen B
b
1630
30
30.6°
41.8°
Estándar 19
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a=21, b=16, c = 30RESOLVER:
40
LEY DE COSENOS
1. DOS LADOS CONOCIDOS Y EL
ÁNGULO ENTRE ELLOS
2. TRES LADOS CONOCIDOS. Siempre
tomar el lado más largo con el primer
ángulo a encontrar para evitar el caso
ambiguo descrito en la Ley De Senos.
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