LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran dan sebuah titik tertentu disebut pusat lingkaran.

Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari r.

1

Berdasarkan gambar di samping, dapat ditentukan persamaan yang menyatakan hubungan antara variable x dan variable y. Untuk tempat kedudukan titik-titik yang membentuk lingkaran, persamaan yang menghubungkan variable x dan variable y tadi disebut persamaan lingkaran. Bentuk persamaan lingkaran ditentukan oleh :

Letak pusat lingkaran M dan Panjang jari-jari r.

Misalkan titik P (x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga segitiga OP’P merupakan segitiga siku-siku di P’.

Sehingga persamaan lingkaran melalui titik pusat 0,0 dengan menerapkan teorema Phytagoras adalah :

x2 + y2 = r2

Latihan :

1. Sebuah lingkaran dengan titik pusat O.a. Tentukan persamaan lingkaran jang

berjari-jari r = 5.b. Gambarkan lingkaran pada soal (a)

pada bidang cartesius di samping.c. Pada gambar yang kalian peroleh

pada soal (b), lukislah titik-titik P(2,3), Q(3,4), dan R(3,6)

d. Sebutkan kedudukan titik-titik P, Q, dan R terhadap lingkaran. Di dalam, pada, ataukah di luar lingkaran ?

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan melalui titik-titik berikut ini : a. (-1,3) b. (-3,5) c. (a,2)

3. Carilah persamaan lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari berikut ini : a. r = 6 b. r= √10 c. r = a satuan

d. r= 213

e. r = 4 √3

Persamaan Lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r

Berdasarkan uraian persamaan lingkaran di atas, maka persamaan yang terakhir inilai yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari r = 4.

Sehingga dapat diambil kesimpulan : Bentuk Umum dari persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan

X2 + y2 + Ax + By + C = 0 ( A, B, dan C bilangan-bilangan Real, koefisien x2 sama dengan koefisien y2 ) .

Jika diamati, maka bentuk umum persamaan lingkaran mempunyai ciri-ciri khusus :

1. Variabel x dan variable y berderajat/berpangkat dua dan tidak memuat suku perkalian x dengan y (suku xy).2. Koefisien x2 sama dengan koefisien y2.

2

O

Misalkan titik P (x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada garis g sehingga segitiga AP’P merupakan segitiga siku-siku di P’.

Sehingga persamaan lingkaran melalui titik pusat pada titik A, dengan menerapkan teorema Phytagoras adalah :

(x-a)2 + (y-b)2 = r2y

x

Latihan :

1. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut :a. (x-1)2 + (y-2)2 = 25b. (x+3)2+(y-3)2 = 9c. (x-1)2+y2 = 27

2. Tentukan persamaan lingkaran dari setiap lingkaran berikut :a. Pusat (-3,3), jari-jari 4b. Pusat (2,1), jari-jari 6c. Pusat (5,-2), jari-jari 3 √2

3. Tentukan persamaan dari setiap lingkaran berikut.a. Pusat (2,-3), melalui titik Ob. Pusat (3,-4), melalui titik (1,2)c. Pusat (2,5), melalui titik (5,1)

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Misalnya, diketahui sebuah lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4, persamaannya adalah L (x-1)2 + (y-2)2=16.

(Coba kalian uraikan persamaan lingkaran tersebut)

Latihan :Di antara persamaan-persamaan berikut ini, manakah yang merupakan persamaan lingkaran ?

a. 4x + 3y -4 = 0 d. x2 + 3x – 10y + 6 = 0b. y2 – 3x + 4y – 8 = 0 e. x2 + y2 – 6x + 10y + 3 = 0c. x2 + y2 + 2 xy + 2x – 4y + 2 = 0 f. x2 – y2 + 4x – 5y + 10 = 0

MENENTUKAN PUSAT DAN JARI-JARI LINGKARAN

Pusat dan jari-jari lingkaran L x2 + y2 + Ax + Bx + C = 0 ditentukan dengan rumus :

Pusat (−A2 ,−B2 )

Jari-jari r = √ A24 +B2

4−C r = √( pusat )2−C

Contoh :

Tentukan pusat dan jari-jari untuk lingkaran berikut ini

a. x2 + y2 + 2x -6y - 17 = 0 b. 2x2 + 2y2 - 2x + 6y - 3 = 0

Jawab :

POSISI SUATU TITIK TERHADAP LINGKARAN

Posisi suatu titik terhadap lingkaran L x2 + y2 = r2

Posisi atau kedudukan titik P(a,b) terhadap lingkaran L x2 + y2 = r2 dapat dirumuskan sebagai berikut :

1. Titik P(a,b) terletak di dalam lingkaran L x2 + y2 < r2

2. Titik P(a,b) terletak pada lingkaran L x2 + y2 = r23. Titik P(a,b) terletak di luar lingkaran L x2 + y2 > r2

Posisi suatu titik terhadap lingkaran L (x-a)2 + (y-b)2 = r2

Posisi atau kedudukan titik P(h,k) terhadap lingkaran L (x-a)2 + (y-b)2 = r2 dapat dirumuskan sebagai berikut :

1. Titik P(h,k) terletak di dalam lingkaran L jika dan hanya jika (h-a)2 + (k-b)2 < r2

2. Titik P(h,k) terletak pada lingkaran L jika dan hanya jika (h-a)2 + (k-b)2 = r2

3. Titik P(h,k) terletak di luar lingkaran L jika dan hanya jika (h-a)2 + (k-b)2 > r2

3

Posisi suatu titik terhadap lingkaran L x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Posisi atau kedudukan titik P(h,k) terhadap lingkaran L dapat dirumuskan sebagai berikut :

1. Titik P(h,k) terletak di dalam lingkaran L K < 02. Titik P(h,k) terletak pada lingkaran L K = 03. Titik P(h,k) terletak di luar lingkaran L K > 0Dimana K = h2 + k2 + AH + Bk + C

Contoh :1. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi titik P terhadap lingkaran L berikut ini.

Titik P (2,-3) terhadap lingkaran L x2 + y2 = 132. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi setiap titik berikut ini terhadap lingkaran yang

disebutkan.a. Titik (1,1) terhadap lingkaran L (x+3)2 + (y-5)2 = 16b. Titik (-3,2) terhadap lingkaran L (x-1)2 + (y-5)2 = 25c. Titik (-4,-1) terhadap lingkaran L (x+2)2 + (y+3)2 = 12

3. Diketahui persamaan lingkaran L x2 + y2 -8x – 2y - 8 = 0 a. Hitunglah nilai kuasa titik-titik A(1,3), B(7,5), dan C(9,2) terhadap L.b. Tanpa menggambarkan pada bidang Cartesius, tentukan posisi titik A, B, dan C terhadap lingkaran L.

Jawab :

4

5