M. G. Piras - L’analisi delle revisioni dei Conti Economici Trimestrali

SESSIONE V ANALISI DELLE SERIE STORICHE

L’analisi delle revisioni dei Conti Economici Trimestrali

Maria Giovanna Piras

GIORNATE DELLA RICERCA IN ISTAT | 10-11 NOVEMBRE 2014

Indice

1. Introduzione

2. Triangolo delle revisioni

3. Indicatori sintetici e loro evoluzione nel tempo

4. Focus sugli andamenti pre e post crisi

5. Analisi news noise

6. Conclusioni

L’analisi delle revisioni dei Conti Economici Trimestrali, Maria Giovanna Piras – Roma, 11 Novembre 2014


Introduzione

•L’analisi delle revisioni è uno strumento diagnostico chiave per indagare e migliorare la qualità dei dati. La necessità di avere informazioni sempre più tempestive e accurate sullo stato dell’economia da parte di analisti e policy-makers pone il problema cruciale dell’attendibilità dei dati.

•Da qui nasce l’esigenza di migliorare la trasparenza rendendo facilmente disponibili informazioni real time rilevanti ai fini di un utilizzo corretto degli indicatori congiunturali nelle varie fasi del processo di revisione

Triangolo delle revisioni

Porzione del triangolo delle revisioni del Prodotto Interno Lordo dati destagionalizzati in volumeVariazioni percentuali congiunturali

Data di riferimento2007_2 2007_3 2007_4 2008_1 2008_2 2008_3 2008_4 2009_1 2009_2 2009_3 2009_4 2010_1 2010_2

P 0.1 0.4 n.d. 0.4 -0.3 -0.5 -1.8 -2.4 -0.5 0.6 -0.2 0.5 0.4

E1 0.1 0.4 n.d. 0.5 -0.3 -0.5 -1.9 -2.6 -0.5 0.6 -0.3 0.4 0.5

E2 0.1 n.d. -0.4 0.5 -0.4 -0.7 -2.1 -2.7 -0.5 0.5 -0.1 0.4

Y1 0.1 0.2 -0.3 0.5 -0.6 -0.8 -2.2 -2.9 -0.3

Y2 0.1 0.1 -0.5 0.4 -0.7

Y3 0.1

Febbraio 2009 0.1 0.1 -0.3 0.4 -0.6 -0.6 -1.8Marzo 2009 0.1 0.2 -0.3 0.3 -0.6 -0.7 -1.9Maggio 2009 0.1 0.2 -0.4 0.5 -0.6 -0.8 -2.1 -2.4Giugno 2009 0.1 0.2 -0.4 0.5 -0.6 -0.8 -2.1 -2.6Agosto 2009 0.1 0.2 -0.4 0.5 -0.6 -0.8 -2.1 -2.7 -0.5Settembre 2009 0.1 0.2 -0.4 0.5 -0.6 -0.8 -2.1 -2.7 -0.5Novembre 2009 0.1 0.2 -0.5 0.5 -0.6 -0.8 -2.1 -2.7 -0.5 0.6Dicembre 2009 0.1 0.1 -0.5 0.5 -0.6 -0.8 -2.1 -2.7 -0.5 0.6Febbraio 2010 0.1 0.1 -0.5 0.5 -0.6 -0.8 -2.1 -2.7 -0.5 0.6 -0.2Marzo 2010 0.2 0.1 -0.5 0.4 -0.6 -0.9 -2.2 -2.7 -0.5 0.5 -0.3Maggio 2010 0.1 0.2 -0.4 0.4 -0.7 -1.1 -2.0 -2.9 -0.3 0.4 -0.1 0.5Giugno 2010 0.1 0.2 -0.4 0.4 -0.7 -1.1 -2.0 -2.9 -0.3 0.4 -0.1 0.4Agosto 2010 0.1 0.2 -0.4 0.4 -0.7 -1.1 -2.0 -2.9 -0.3 0.4 -0.1 0.4 0.4Settembre 2010 0.1 0.2 -0.4 0.4 -0.7 -1.1 -2.0 -2.9 -0.3 0.4 -0.1 0.4 0.5

Diagonale =Insieme delle stime caratterizzate

dallo stesso lag temporale di rilascio

riga: serie storica dell'aggregato rilasciata in un singolo trimestre

colonna: intera sequenza delle stime diffuse in tempi successivi

per il medesimo trimestre di riferimento

Triangolo delle revisioni –Tassi di crescita Lettura in diagonaleData di riferimento Y_I Y_II Y_III Y_IV Y1_I Y1_II Y1_III Y1_IV Y2_I Y2_II Y2_III Y2_IV Y3_I Y3_II Y3_III

Stima provvisoria 45 GG P P P P P P P P P P P P P P P

Stima rettificata 70-80 GG E1 E1 E1 E1 E1 E1 E1 E1 E1 E1 E1 E1 E1 E1 E1

Stima dopo un trimestre E2 E2 E2 E2 E2 E2 E2 E2 E2 E2 E2 E2 E2 E2 E2

Stima dopo un anno (4 trimestri) Y1 Y1 Y1 Y1 Y1 Y1 Y1 Y1 Y1 Y1 Y1

Stima dopo 2 anni (8 trimestri) Y2 Y2 Y2 Y2 Y2 Y2 Y2

Stima dopo 3 anni (12 trimestri) Y3 Y3 Y3

Ultima stima L L L L L L L L L L L L L L L

Stima Flash_Maggio Y P

Stima rettificata_Giugno Y E1Stima Flash_Agosto Y t-1 P

Stima rettificata_Settembre Y E2 E1Stima Flash_Novembre Y t-2 t-1 P

Stima rettificata_Dicembre Y t-2 E2 E1Stima Flash_Febbraio Y1 t-3 t-2 t-1 P

Stima rettificata_Marzo Y1 t-3 t-2 E2 E1Stima Flash_Maggio Y1 t-4 t-3 t-2 t-1 P

Stima rettificata_Giugno Y1 Y1 t-3 t-2 E2 E1Stima Flash_Agosto Y1 t-5 t-4 t-3 t-2 t-1 P

Stima rettificata_Settembre Y1 t-5 Y1 t-3 t-2 E2 E1Stima Flash_Novembre Y1 t-6 t-5 t-4 t-3 t-2 t-1 P

Stima rettificata_Dicembre Y1 t-6 t-5 Y1 t-3 t-2 E2 E1Stima Flash_Febbraio Y2 t-7 t-6 t-5 t-4 t-3 t-2 t-1 P

Stima rettificata_Marzo Y2 t-7 t-6 t-5 Y1 t-3 t-2 E2 E1Stima Flash_Maggio Y2 t-8 t-7 t-6 t-5 t-4 t-3 t-2 t-1 P

Stima rettificata_Giugno Y2 Y2 t-7 t-6 t-5 Y1 t-3 t-2 E2 E1Stima Flash_Agosto Y2 t-9 t-8 t-7 t-6 t-5 t-4 t-3 t-2 t-1

Stima rettificata_Settembre Y2 t-9 Y2 t-7 t-6 t-5 Y1 t-3 t-2 E2 E1Stima Flash_Novembre Y2 t-10 t-9 t-8 t-7 t-6 t-5 t-4 t-3 t-2 t-1 P

Stima rettificata_Dicembre Y2 t-10 t-9 Y2 t-7 t-6 t-5 Y1 t-3 t-2 E2 E1Stima Flash_Febbraio Y3 t-11 t-10 t-9 t-8 t-7 t-6 t-5 t-4 t-3 t-2 t-1 P

Stima rettificata_Marzo Y3 t-11 t-10 t-9 Y2 t-7 t-6 t-5 Y1 t-3 t-2 E2 E1Stima Flash_Maggio Y3 t-12 t-11 t-10 t-9 t-8 t-7 t-6 t-5 t-4 t-3 t-2 t-1 P

Stima rettificata_Giugno Y3 Y3 t-11 t-10 t-9 Y2 t-7 t-6 t-5 Y1 t-3 t-2 E2 E1Stima Flash_Agosto Y3 t-13 t-12 t-11 t-10 t-9 t-8 t-7 t-6 t-5 t-4 t-3 t-2 t-1 P

Stima rettificata_Settembre Y3 t-13 Y3 t-11 t-10 t-9 Y2 t-7 t-6 t-5 Y1 t-3 t-2 E2 E1Stima Flash_Novembre Y3 ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. t-5 t-4 t-3 t-2 t-1 P

Stima rettificata_Dicembre Y3 ……. ……. Y3 ……. ……. ……. Y2 ……. ……. ……. Y1 ……. t-2 E2 E1


Triangolo delle revisioni –Sequenza delle Revisioni

Data di riferimento

Stima provvisoria 40 GG

Stima rettificata 70-

80 GG

Stima dopo un trimestre

Stima dopo un anno (4

trimestri)

Stima dopo 2 anni (8

trimestri)

Stima dopo 3 anni (12 trimestri)

Ultima stimaStima

rettificata 70-80 GG

Stima dopo un trimestre

Stima dopo un anno (4

trimestri)


trimestri)


trimestri)

Y_I P E1 E2 Y1 Y2 Y3 L E1-P E2-E1 Y1-E1 Y2-E1 Y3-E1

Y_II P E1 E2 Y1 Y2 Y3 L E1-P E2-E1 Y1-E1 Y2-E1 Y3-E1

Y_III P E1 E2 Y1 Y2 Y3 L E1-P E2-E1 Y1-E1 Y2-E1 Y3-E1

Y_IV P E1 E2 Y1 Y2 Y3 L E1-P E2-E1 Y1-E1 Y2-E1 Y3-E1

Y1_I P E1 E2 Y1 Y2 L E1-P E2-E1 Y1-E1 Y2-E1

Y1_II P E1 E2 Y1 Y2 L E1-P E2-E1 Y1-E1 Y2-E1

Y1_III P E1 E2 Y1 Y2 L E1-P E2-E1 Y1-E1 Y2-E1

Y1_IV P E1 E2 Y1 Y2 L E1-P E2-E1 Y1-E1 Y2-E1

Y2_I P E1 E2 Y1 L E1-P E2-E1 Y1-E1

Y2_II P E1 E2 Y1 L E1-P E2-E1 Y1-E1

Y2_III P E1 E2 Y1 L E1-P E2-E1 Y1-E1

Y2_IV P E1 E2 Y1 L E1-P E2-E1 Y1-E1

Y3_I P E1 E2 L E1-P E2-E1

Y3_II P E1 E2 L E1-P E2-E1

Y3_III P E1 E2 L E1-P E2-E1

Y3_IV P E1 L E1-P

Tassi di variazione congiunturale Revisioni

E1-P periodo che va dal 2000.03 all'ultimo trimestre (t)E2-E1 periodo che va dal 1999.1 al trimestre (t-1)Y1-E1 periodo che va dal 1999.1 al trimestre (t-4)Y2-E1 periodo che va dal 1999.1 al trimestre (t-8)Y3-E1 periodo che va dal 1999.1 al trimestre (t-12)


L’analisi delle revisioni si basa sulle seguenti stime

• P = Stima preliminare dell’aggregato pubblicata entro 45 gg– Le informazioni disponibili per questa stima sono parziali e per alcuni aggregati

(vedi i consumi della Pa e isp) sono minime. Il Pil viene stimato con un set di informazioni pari circa al 60 % delle informazioni totali (stima lato offerta). L’insieme delle informazioni disponibili dal lato della domanda non raggiunge il 40%

• E1 = Stima rettificata pubblicata a 70 gg– Le informazioni disponibili per questa stima raggiungono un buon livello di

esaustività pari a circa il 90% delle informazioni totali• E2 = Stima pubblicata un trimestre dopo la stima rettificata

– Le informazioni congiunturali disponibili si avvicinano al 100% dell’esaustività• Y1 = Stima pubblicata un anno dopo la stima rettificata (quattro trimestri dopo).

– Sono disponibili le prime stime annuali provvisorie • Y2 = Stima pubblicata due anni dopo la stima rettificata (8 trimestri dopo)• Sono disponibili le stime annuali semidefinitive • Y3 = Stima pubblicata tre anni dopo la stima rettificata (12 trimestri dopo)

• Il campione analizzato copre il periodo 1999.1-2013.4

• I risultati presentati si basano si basano sull’utilizzo dei dati relativi alle stime dei tassi di variazione congiunturali dell’aggregato destagionalizzato a prezzi costanti/prezzi concatenati


Piano di pubblicazioni delle revisioni ordinarieNell’analizzare le revisioni occorre considerare che queste hanno una precisa datazione che cambia a seconda del trimestre. Per esempio la serie E2 è la raccolta per singolo trimestre, delle serie pubblicate a distanza di un trimestre da quello di riferimento, quindi è omogenea per passi ma non per informazioni

Data di riferimento Y_I Y_II Y_III Y_IVStima provvisoria 40 GG P P P P

Stima rettificata 70-80 GG E1 E1 E1 E1

Stima dopo un trimestre E2 E2 E2 E2

Stima dopo un anno (4 trimestri) Y1 Y1 Y1 Y1

Stima dopo 2 anni (8 trimestri) Y2 Y2 Y2 Y2

Stima dopo 3 anni (12 trimestri) Y3 Y3 Y3 Y3

DISPONIBILITA' STIMA ANNUALEUltima stima L L L LGiugno Y E1Settembre Y E2 E1Dicembre Y t-2 E2 E1Marzo Y1 t-3 t-2 E2 E1Giugno Y1 Y1 t-3 t-2 E2Settembre Y1 t-5 Y1 t-3 t-2Dicembre Y1 t-6 t-5 Y1 t-3Marzo Y2 t-7 t-6 t-5 Y1Giugno Y2 Y2 t-7 t-6 t-5Settembre Y2 t-9 Y2 t-7 t-6Dicembre Y2 t-10 t-9 Y2 t-7Marzo Y3 t-11 t-10 t-9 Y2Giugno Y3 Y3 t-11 t-10 t-9Settembre Y3 t-13 Y3 t-11 t-10Dicembre Y3 ……. ……. Y3 …….……. Y3

Non disponibile

Stima anno Y provvisoria

Stima anno Y semidefinitiva

Stima anno Y definitiva

Indicatori sulle revisioni dei tassi di variazione sul trimestre precendente del PIL

Periodo 1999.01-2013.04 E1-P E2-E1 Y1-E1 Y3-E1

# di revisioni 51 58 56 48

Revisione media RM 0.00 -0.01 -0.01 0.01

Significatività statistica RM NO NO NO NO

Revisione media assoluta RMA 0.05 0.05 0.12 0.20

Revisione media assoluta in termini relativi RMAR 0.11 0.11 0.26 0.41

Devizione standard dellE revisionI DSR 0.07 0.08 0.16 0.26

Concordanza di segno tra L e P 98 95 92.6 95.7


Tutti i trim. I trim. II trim. III trim. IV trim.

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

E1-P

E2-E1

Y1-E1

Y3-E1

Media delle Revisioni calcolate sui tassi di variazione congiunturali del PIL

Analisi delle revisioni delle componenti del Conto Risorse e impieghiMedia del valore assoluto delle revisioni in termini relativi Revisione E2-E1Periodo 1999.01-2013.4


PIL Importazioni Consumi delle famiglie

Consumi della PA e ISP

Investimenti fissi lordi

Esportazioni 0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

Tutti i trim.

I trim

II trim

III trim

IV trim

Analisi delle revisioni del tasso di crescita congiunturale del PIL destagionalizzatoAnalisi sul campione completo (1999.01-2013.4), pre 2008.1 e post 2008.1Revisione media : direzione della revisione Revisione media assoluta: dimensione della revisione

Deviazione standard: Variabilità della revisione


Analisi delle revisioni del tasso di variazione congiunturale destagionalizzato del Valore Aggiunto di brancaAnalisi sul campione completo (1999.01-2013.04), pre 2008.1 e post 2008.1

Valore Aggiunto Industria in s.s Valore Aggiunto Costruzioni Valore Aggiunto Servizi Totali

Revisione media : direzione della revisione

Revisione media assoluta : dimensione della revisione


Analisi delle revisioni : Finestre mobili (moving windows)

• L’analisi delle revisioni è sensibile alla scelta del periodo temporale sul quale viene condotta, in particolare quando si è interessati a valutare la significatività della revisione media

• Analisi mediante finestre di ampiezza fissa – specificatamente di 20 trimestri ciascuna (moving windows) è utile ad evidenziare il modo in cui il processo di stima dei dati e quindi delle revisioni evolve nel tempo


Medie in valore assoluto in termini relativi Revisioni E2-E1 –Finestre mobili da 20 trimestriPil e sue componenti

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

99_1

/03_

4

99_2

/04_

1

99_3

/04_

2

99_4

/04_

3

00_1

/04_

4

00_2

/05_

1

00_3

/05_

2

00_4

/05_

3

01_1

/05_

4

01_2

/06_

1

01_3

/06_

2

01_4

/06_

3

02_1

/06_

4

02_2

/07_

1

02_3

/07_

2

02_4

/07_

3

03_1

/07_

4

03_2

/08_

1

03_3

/08_

2

03_4

/08_

3

04_1

/08_

4

04_2

/09_

1

04_3

/09_

2

04_4

/09_

3

05_1

/09_

4

05_2

/10_

1

05_3

/10_

2

05_4

/10_

3

06_1

/10_

4

06_2

/11_

1

06_3

/11_

2

06_4

/11_

3

07_1

/11_

4

07_2

/12_

1

07_3

/12_

2

07_4

/12_

3

08_1

/12_

4

08_2

/13_

1

08_3

/13_

2

08_4

/13_

3

09_1

/13_

4

Moving w indows

RM

AR

Consumi famiglie Consumi P A e ISP Importazioni Esportazioni Investimenti totali P il


PIL INVESTIMENTI ESPORTAZIONI IMPORTAZIONI CONSPA CONS FAM

Finestre Mobili99_1/03_4 NO NO NO NO NO NO99_2/04_1 NO NO NO NO NO NO99_3/04_2 NO NO NO NO NO NO99_4/04_3 NO NO NO NO NO NO00_1/04_4 NO NO NO NO NO NO00_2/05_1 NO NO NO NO SI* NO00_3/05_2 NO NO NO NO SI* NO00_4/05_3 NO NO NO NO SI* NO01_1/05_4 NO NO NO NO SI* NO01_2/06_1 NO NO NO NO SI** NO01_3/06_2 NO NO NO NO SI* NO01_4/06_3 NO NO SI* NO SI* NO02_1/06_4 NO NO SI* NO SI* NO02_2/07_1 NO NO SI* NO SI* NO02_3/07_2 NO NO SI** NO NO NO02_4/07_3 NO NO SI** NO SI* NO03_1/07_4 NO NO SI* NO NO NO03_2/08_1 NO NO SI* NO NO NO03_3/08_2 NO NO NO NO NO NO03_4/08_3 NO NO SI* NO NO NO04_1/08_4 NO NO SI* NO NO NO04_2/09_1 NO NO SI** SI** NO NO04_3/09_2 NO NO NO SI* NO NO04_4/09_3 NO NO NO NO NO NO05_1/09_4 NO NO NO NO NO NO05_2/10_1 NO SI* SI* NO NO NO05_3/10_2 NO SI* SI* NO NO NO05_4/10_3 NO SI** NO NO NO NO06_1/10_4 NO SI** SI* NO NO NO06_2/11_1 NO SI** SI* SI* NO NO06_3/11_2 NO SI** NO NO NO NO06_4/11_3 NO SI* NO NO NO NO07_1/11_4 NO NO NO NO NO NO07_2/12_1 NO SI* NO NO NO NO07_3/12_2 NO SI* NO NO NO NO07_4/12_3 NO SI** NO NO NO NO08_1/12_4 NO SI* NO NO NO NO08_2/13_1 NO SI* NO NO NO NO08_3/13_2 NO SI** NO NO NO NO08_4/13_3 NO SI* NO NO NO NO09_1/13_4 NO NO NO NO NO NO

Significatività della Revisione media E2-E1

Serie trimestrali del Pil e delle sue componenti Significatività della revisione media per finestre mobili di 5 anni


Analisi ‘news’ or ‘noise’: obiettivi

• Analizzare la natura delle revisioni della serie del Pil e

delle sue principali componenti per testare se esse siano

riconducibili a nuove informazioni (ipotesi news) o ad

una riduzione dell’errore di misura contenuto nella

prima stima (ipotesi noise)

• Mankiw et al (1984); Mankiw and Shapiro (1986);


REGRESSIONI NEWS NOISEPer analizzare le ipotesi news e noise si usano semplici tecniche di regressione : RS

t,t-1= α + βPSt-1 + et (1) Ho α= β=0 rifiuto Ho ipotesi noise accettata

NON rifiuto Ho RS

t,t-1= α1 + β1LSt + et (2) Ho α1= β1=0 NON rifiuto Ho

rifiuto Ho ipotesi news accettata

dove:

RSt,t-1= LS

t – PSt-1 Revisione

PSt-1 Stima preliminare

LSt Stima successiva


Risultati delle regressioni con dummies stagionali di efficienza applicata alle stime dei tassi di crescita congiunturali trimestrali del Pil e delle sue componenti destagionalizzato a prezzi costanti

CAMPIONE SENZA REVISIONI STRAORDINARIA CAMPIONE COMPLETO

VARIAZIONI CONGIUNTURALI

Conti Economici Trimestrali E1-P E2-E1 Y1-E1 Y3-E1 E1-P E2-E1 Y1-E1 Y3-E1

PIL + + + News + + + + +

IMPORTAZIONI Noise - News + Noise - Noise - Noise -

CONSUMI DELLE FAMIGLIE Noise - News + News + News + Noise - News + News+ News +

CONSUMI DELLA PA - + - + - + - + - + -+ -+ -+

INVESTIMENTI FISSI News + News + News + News + News + News+

ESPORTAZIONI News + News + Noise - Noise -legenda

risultato ambiguo: entrambe le regressioni prensentano la variabile indipendente significatività risultato a favore dell'ipotesi noise.da notare che il coefficiente risulta quasi sempre negativorisultato a favore dell'ipotesi news da notare che il coefficiente risulta sempre positivonessun risultato significativo


Conclusioni


Gli indicatori statistici delle revisioni sono soggetti a cambiamenti legati al periodo temporale osservato. L’analisi condotta sia sul campione completo che per singoli trimestri, mette in evidenza comportamenti disomogenei all’interno dell’anno nei singoli trimestri. Considerando l’intero campione la media delle revisioni non risulta quasi mai significativa, mentre la significatività compare nell’analisi condotta con finestre mobili che mettono in luce delle distorsioni, in particolare nella serie delle revisioni E2-E1 degli Investimenti, delle Esportazioni e dei Consumi della Pa .

Le revisioni presentano dei comportamenti asimmetrici legati alle fasi del ciclo economico. L’analisi condotta sul campione 2008.2-2013.4 mette in evidenza come in periodi di crisi la stima preliminare tende ad essere sovrastimata rispetto alle successive e le revisioni presentano maggiore volatilità e grandezza.

L’evidenza econometrica segnala la prevalenza delle news nella spiegazione delle revisioni per gli aggregati dei Consumi delle famiglie e degli Investimenti fissi lordi. Per il Pil anche la noise gioca un ruolo ma l’impatto è sistematicamente inferiore all’effetto news. La stessa evidenza vale anche per i Consumi della Pa nelle revisioni Y1-E1 e Y3-E1.

• La revisione media

• RM = n-1∑t=1,n(Lt- Pt) =n-1∑t=1,nRt

• • La deviazione standard (o standard error) della revisione media (RM)

• SDHAC= [n(n-1)]-1/2{∑t=1,nεt2+ 4/3 ∑t=2,nεtεt-1+ 2/3 ∑t=3,nεtεt-2}1/2

• dove εt= Rt– RM, è stimata utilizzando lo stimatore di Newey-West (Newey e West, 1987) consistente in presenza di eteroschedasticità e di autocorrelazione (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent, HAC). Ciò è dovuto al fatto che le revisioni sono generalmente autocorrelate. Per semplicità notazionale nella formula proposta si suppone una correlazione seriale fino al secondo ordine.

• La statistica test tdi Student relativa alla revisione media

• tRM= RM / SDHAC

• è data dal rapporto tra la revisione media e la sua deviazione standard.

• La revisione media assoluta • RMA = n-1∑t=1,n|Lt- Pt| = n-1∑t=1,n|Rt| • • La revisione media assoluta in termini relativi • RMAR = (∑t=1,n|Rt| ) / (∑t=1,n|Pt|) • • La deviazione standard delle revisioni • DSR = [ (n-1)-1∑t=1,n(Rt- RM)2]-1/2

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M. G. Piras - L’analisi delle revisioni dei Conti Economici Trimestrali