ТЕХНИЧЕСКИ

УНИВЕРСИТЕТ

СОФИЯ

ПРОИЗВОДСТВЕНИ

МОДЕЛИ

СТЕФАН ПЕТРОВ АНДРЕЕВСКИ

26.02.2011

ПОТОК НА ИНФОРМАЦИЯТА В ПРОИЗВОДСТВЕНА СИСТЕМА

MRP = Materials requirement planning

ERP = Enterprise resource planning

DSS = Decision support system

За конкретен набор от ресурси (машини) и

операции (задачи), да се намери такава

последователност на изпълнение операциите върху

машините, че да се оптимизира поставен критерий

за качество и да се удовлетворят всички поставени

ограничения.

ЧАСТ 1

МОДЕЛИРАНЕ НА

ПРОИЗВОДСТВЕНИ

ПРОЦЕСИ

КЛАСОВЕ ПРОИЗВОДСТВЕНИ МОДЕЛИ

• Строителни проекти

• Инвестиционни проекти

• Проекти по производствени подобрения

Планиране на проекти

• Самосотоятелно работещи машини

• Паралелно работещи машини

• Последователно работещи машини

Машинни модели

• Гъвкави дискретни производства

• Гъвкави непрекъснати производства

Автоматизирани производствени

системи

• Планиране на разходи за складово съхранение или смяна на асортимент

Модели за дългосрочно планиране

• Разходи по съхранение в отедлните етапи на дистрибуция

• Транспортни разходи от дистрибуцияЛогистика

НОМЕНКЛАТУРА НА ПРОИЗВОДСТВЕНИТЕ МОДЕЛИ

Машинна

средаОграничения

Целева

функция

J = {J1 … Jn} множество от дейности/задачи/операции, които трябва да

бъдат изпълнени.

М = {М1 … Мm} множество от машини/ресурси, на които трябва да бъдат извършени

дейностите.

J3 J2

J2

J3

J1

J1J1

J3

M3

M2

M1

Машинна Гант диаграма

M1 M2

M2

M1

M3

M3 M2

J1

J2

J3

Операционна Гант диаграма

M1

ЧАСТ 2ОПЕРАЦИИ И МАШИННИ

КОНФИГУРАЦИИ

ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ОПЕРАЦИИТЕ

pij = време за отработване на операция Jj върху машина Mi (processing time)

dj = краен срок за завършване на операция Jj (due date)

rj = най-ранното време, в което операция Jj може да влезе в

производствения цикъл (release date)

wj = степента на важност (теглото) на операция Jj

sij = начален момент, или моментът от време, в който операция Jj е

започнала върху машина Mi (starting time)

cij = краен момент, или моментът от време, в който операция Jj е завършена

от машина Mi (completion time)

МАШИННИ КОНФИГУРАЦИИ [1]

КОНФИГУРАЦИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ

Едномашинен модел {1} За ускоряване на “най-

бавната” машина в

многомашинна среда.

Паралелнa конфигурация

{Pm} При възможност за

извършване на дадена

операция върху една от

няколко идентични

машини.

Последователни машини

{Fm}, flow shop При поточни линии, където

материала е обработван

от серия машини.

Гъвкави последователни

машини {FFm}, flexible

flow shop

Когато на всеки етап е

възможно да се използва

една от няколко

паралелни машини

МАШИННИ КОНФИГУРАЦИИ [2]

Отворена конфигурация (Оm, open shop) = една задача/дейност трябва

да премине през всички машини, за да бъде завършена, като реда на

посещаване на машините се определя от плана.

Уникална конфигурация (Jm, job shop) = всяка задача/дейност има свой

собствен маршрут, като реда на посещаване на машините се определя

от плана.

РАЗШИРЕНИ МАШИННИ КОНФИГУРАЦИИ

ЧАСТ 3ПРОИЗВОДСТВЕНИ

ОГРАНИЧЕНИЯ

ПРОИЗВОДСТВЕНИ ОГРАНИЧЕНИЯ [1]

ОГРАНИЧЕНИЕ ОПИСАНИЕ

Технологично

(precedence)

Дадена задача трябва да премине задължително

през машина А преди да постъпи към машина Б

Избираемост на

машина (eligibility)

Възможно е машина да бъде заета от задача А,

поради което задача Б е необходимо да чака.

Работна ръка

(workforce)

При ограничен брой квалифицирани оператори за

управление на конкретен тип машина е възможно да

се стигне до недостиг.

Маршрутно (routing) Обобщение на технологичните ограничения. Налага

се набор от операции да бъде изпълнен преди/след

друг набор такива.

Поток на

материалите

(material handling)

При хибридни системи (автоматика + ръчно

управление) е необходимо съобразяване с човешкия

фактор. Това ограничава буфера в системата и

превръща времената за обработка в стохастични.

Смяна на

асортимент

(changeover)

Промяна в характеристиките на задачата изисква

разход за промяна настройките на машините. Тази

промяна се свързва с разход на време и пари.

Складово (storage) При обемна продукция складовото пространство е

ограничено, водещо до блокиране на машините.

ПРОИЗВОДСТВЕНИ ОГРАНИЧЕНИЯ [2]

ОГРАНИЧЕНИЕ ОПИСАНИЕ

MtS/MtO Според типа производство се цели JIT (just in time

production, make to order) или складиране при

постоянно търсене (make to stock)

Прекъсване

(preemption)

Позволява се прекъсване на едно действие, за да се

започне ново.

Транспортно

(transportation)

При мрежа от производства/складове. Свързва се с

времето за достигане от звено А до звено Б на

производство.

Партидно (batch) При масово производство, отделни единици биват

групирани в партида.

Ававрия

(breakdown)Авариите имат стохастичен характер и внасят голяма

изчислителна сложност в подобни задачи.

Ограничен буфер

(blocking)

При ограничение в буфера между отделни машини

следва блокиране на работата им при недобре

съставен план

Рециркулация

(recirculation)Преминаване на една и съща задача през една и

съща машина n на брой пъти

ЧАСТ 4 ЦЕЛЕВИ ФУНКЦИИ

ЦЕЛЕВИ ФУНКЦИИ [1]

Производителност (throughput)= честотата/скоростта на производство.

Обикновено се определя от машината с най-ниска производителност. За

постигане максимална производителност е задължително машината да не

бездейства през производствения цикъл. Това може да се постигне чрез

минимизиране времето, за което ще бъде завършена последната задача в плана

(makespan, Cmax)

Закъснение в сроковете = при високи наказателни разходи от неизпълнени

или закъснели поръчки се изисква да бъде минимизирано закъснението в плана.

Мудност (tardiness) = се използва за намаляване средното време на

неизпълнени дейности в срок. Всяка неизпълнена поръчка се наказва според

степента си на важност.

ЦЕЛЕВИ ФУНКЦИИ [2]

Нерегулярна функция

МудностЗакъснение

WIP, JIT и GE

Work-In-Process Inventory Costs (WIP)

При многоетапно производство, всеки от етапите генерира определено количество

брак. Целеви функции от такъв тип ограничават достигането на единици с дефекти в

началото на производствения си цикъл да преминат към следващи етапи. По този

начин се елиминират разходи от добавяне на стойност върху дефекти. Колкото по-

бързо дефектна единица бива отстранена от производство, толкова по-ниски ще са

разходите за останалата част от продукцията.

Just-In-Time (JIT)

Производство на стока много преди датата ѝ на реализиране на пазара

предполага високи складови разходи.

Глобална ефективност (GE)

Най-разпространеният показател за производителността на едно производство.

Глобалната ефективност се дефинира като “Времето, за което работа е

извършвана при максимална скорост на производство, без генериране на брак”.

Показателят отчита WIP, JIT, брак, смяна на асортимент, фиксирани разходи. GE

се изменя в зависимост от типа производство.

КЛАСОВЕ ПЛАНОВЕ

Допустим план

Един план е допустим, ако една машина работи по не повече от една дейност за

много малък интервал от време и всички производствени ограничения са изпълнени

Оптимален план

Един план е оптимален, ако той е едновременно допустим и оптимизира зададена

целева функция.

Полуактивен план

Един допустим план бива полуактивен, когато нито една от зададените операции има

възможност да бъде изпълнена по-рано от вече планираното без да се променя реда

на постъпване на задачите в машина. (ЛОКАЛНО ПРЕМЕСТВАНЕ)

Активен план

Един план бива активен, когато не е възможно генерирането на нов план чрез

промяна променя реда на постъпване на задачите в машина и имайки поне една

операция завършваща по-рано и нито една операция по-късно. (ГЛОБАЛНО

ПРЕМЕСТВАНЕ БЕЗ ПРЕКЪСВАНЕ)

План без закъснение

Един допустим план е без закъснение, когато няма бездействаща машина при задача

чакаща за обработване. (ГЛОБАЛНО ПРЕМЕСТВАНЕ С ПРЕКЪСВАНЕ)

ЧАСТ 5ИЗЧИСЛИТЕЛНА

СЛОЖНОСТ

ИЗЧИСЛИТЕЛНА СЛОЖНОСТ

Ефективността на един алгоритъм за зададен проблем се измерва от

максималния (най-лошия сценарий) брой изчислителни стъпки необходими за

достигане до оптимално решение като функция на размерността на проблема.

Проблеми, за които е извсетен полиномиален (лесен) алгоритъм се класифицират

като П. Това са проблеми, за които известния алгоритъм ще намери оптималното

решение за краен интервал от време, ограничен от размерността на задачата.

При НП (недетерминираните полиномиални проблеми, сложни) не съществува

конкретен традиционен подход, който да осигурява оптимално решение за ограничен

интервал от време.

Класификация на производствените задачи според изчислителната им сложност

http://www.informatik.uni-osnabrueck.de/knust/class/dateien/allResults.pdf

Пълна класификация на производствените задачи може да бъде намерена на

ЧАСТ 6 РЕШАВАНЕ НА МОДЕЛА

ПОДХОДИ ЗА НАМИРАНЕ НА ОПТИМАЛНО РЕШЕНИЕ

Традиционни подходи

Математичесно програмиране – линейно (целочислено, бинарно), нелинейно,

дизюнктивно програмиране, логическо програмиране

Алгорими гарантиращи точно решение – метод на клони и граници, алгоритми на

Гомори/Гилмор, колонна генерация, динамично програмиране

Локално търсене – симулирано каляване, генетични алгоритми, табу търсене,

невронни мрежи, размита логика, адаптивно търсене, делта алгоритми, алчни

алгортими

Нетрадиционни подходи

Дисциплини за напускане на опашката– класически, съставни, beam search

Декомпозиции – преместващ се хоризонт, декомпозиция на Данциг–Волф, машинни

декомпозиции (преместващо се гърло на бутилката)

Хибридни – смесване между традиционни и нетрадиционни подходи – динамично

търсене (dynasearch), клони и цени (branch and price), клони и срязващи равнини

(branch and cut), RCPSP

Словесно програмиране

ДИСЦИПЛИНИ ЗА НАПУСКАНЕ НА ОПАШКАТА

ДИСЦИПЛИНА Δ ПРИЛОЖЕНИЕ

Service in random order SIRO Намиране на начално решение

Earliest release date = FIFO ERD Минимална дисперсия производителност

Earliest due date EDD Минимизира максималното закъснение

Minimum slack first MS Минимизира максималното закъснение

Longest processing time first LPTБалансиране натоварването върху

паралелни машини

Shortest processing time first SPTМинимизира показателя WIP, както и сумата

от времената за завършване на задачите

Critical path CP Минимизира Cmax

Largest num of successors LNS Минимизира Cmax

Shortest setup time first SST min Cmax и увеличава производителността

Least flexible job first LFJ min Cmax и увеличава производителността

Shortest queue at next

operationSQNO Минимизира бездействието на машините

Кога дисциплините за напускане на опашката дават оптимално решение?

НЯКОИ ТИПОВИ ЕДНОМАШИННИ МОДЕЛИ И ТЕХНИТЕ РЕШЕНИЯ

WSPT (претегленото най–късо време за обработка първо)

Алгоритъм на Мур

Обратен алгоритъм на динамичното програмиране

Прав алгоритъм на динамичното програмиране

Динамично търсене

Метод на клоните и границите

Втори дробен алгоритъм на Гомори

Колонна генерация

НЯКОИ ТИПОВИ МОДЕЛИ НА ПАРАЛЕЛНИ МАШИНИ И ТЕХНИТЕ РЕШЕНИЯ

CPM (critical path method)

LPT (най–дългото време за обработка първо)

LNS (large neighborhood search)

LFS LFJ (най–малко гъвкавата задача върху най–малко

гъвкавата машина)

ПЛАНИРАНЕ НА ПРОЕКТИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИ РЕСУРСИ (RCPSP)

Постановка на задачата

Дейности = задачи j = 1…n

Възобновими ресурси i = 1…m

Ограничено количество от всеки ресурс Ri

Време за изпълнение на дейностите pj

Количество използван ресурс rij

Ограничения в последователността на изпълнение j → k

Наличието на ресурс е функция на времето Ri(t)

МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ НА RCPSP

Нелинейно ограничение.

Не е модел на ЛП!

Освен нелийенa, задачата е трудна О(Т’’) при търсене на план даващ стартовите

времена за всяка дейност (Si) . Затова се изготвя списък с пермутациите на всички

дейности π = (j1…jn). В последствие всеки от елементите на този списък се подават

към алгоритъм за генериране на проектов план. Използват се серийни и паралелни

схеми за генериране на планове. Подаването на елементи от списъка π към схемата

става чрез правила базирани на ресурси, дейности, мрежа или найкъс път в нея.

Тези правила представляват методи за локално търсене (размяна на съседи (swap),

размяна на несъседи (interchange), добавяне между два съседа (insert)) или

генетични алгоритми.

ЧАСТ 7ПРИМЕР. ПРАВИЛО НА

ДЖОНСЪН

Пример: Правило на Джонсън

n детайла с различни

характеристики в

опашката

Буфер

p1j = време за технологична отработка на детайл j върху машина M1

p2j = време за технологична отработка на детайл j върху машина M2

Интуицията подсказва

Подай детайл с малко време за обработване на M1, така че машина M2 да

започне работа възможно най-скоро. Подай детайл с голямо време за

обработване на M2, така че буфера да не остава празен.

Същност на правилото

Раздели детайлите на две множества. Множеството на детайлите, които

имат по-кратко време за обработване на машина 1 (L), отколкото на машина

2 и неговото допълващо множество (R). Сортирай двете множества. Първият

подаден детайл е този намиращ се “на върха” на множество L, а вторият е

този “на дъното” на множество R.

Алгоритъм за прилагане на правилото

Цел

Да се построи редица T : T(1), ... ,T(n), която определя реда на постъпване на

детайлите към машинната среда чрез конкатенация на низовете:

А. Ляв низ L : L(1), ..., L(t)

Б. Десен низ R : R(t + 1), ... , R(n),

В. Резултантен низ T = L ○ R

Структури от данни

Нека J е множество от детайли, което трябва да бъде обработено.

Нека T, L, R = Ø

Стъпки

1. Намери (i, j), за която pi*j* = min{pi*j* |i = 1,2; j с J}

2. Ако i = 1, тогава L = L ○ {i*}

3. В противен случай, ако i = 2, тогава R = R ○ {i*}

4. J := J \ {j*}

5. Ако J ≠ Ø, отиди на “1”, в противен случай T = L ○ R

Доказателство за оптималност

Теорема

Редицата Т = Т(1), ..., Т(n) е оптимална.

Доказателство

Предположете, че на дадена итерация от алгоритъма детайл k има най-

краткото време за технологична обработка на машина 1. Трябва да се

покаже, че в този случай детайл k трябва да бъде първият постъпил в

машинната среда.

Чрез доказване на противното покажете, че ако в план S един детайл j

прехожда k на машина 1 и има по-дълго време за технологична обработка,

то S е по-лош план от S0

Доказателството се повтаря за всички детайли в L.

Доказателството за R e симетрично на това за L.

Числен пример

Детайл М1 М2

1 5 2

2 1 7

3 1 4

4 3 3

5 3 1

Детайл М1 М2

2 1 7

3 1 4

Детайл М1 М2

1 5 2

4 3 3

5 3 1

Детайл М1 М2

2 1 7

3 1 4

Детайл М1 М2

5 3 1

1 5 2

4 3 3

J2M1 J4 J3 J1 J5

ЧАСТ 8 ПОПУЛЯРЕН СОФТУЕР

А. LEKIN /тясно специализирана система/

B. COMET /богат набор от инструменти/

C. ZIBOpt /само за ЛП/

D. Excel /само за ЛП/

E. MATLAB /само за ЛП и някои класове търсене/

F. R /само за ЛП/

G. ILOG CP /само за СП и ЛогП/

H. GECODE /само за СП/

РЕЗЮМЕ ПРОИЗВОДСТВЕНИ МОДЕЛИ

1. В среда на непрекъснато повишаващи се изисквания към производствените

процеси, все по-широко приложение намират числените подходи за избор на

решение.

2. Унифицирането и класифицирането на известните производствени проблеми

позволява намирането едновременно на оптимални, в смисъл на разходи и

време, и бързи решения на поставените задачи.

3. Бързото развитие на изчислителната техника позволява оптимизирането на

мащабни и сложни произодствени процеси

4. Разширението на стандартните подходи за изследване на операциите с

нетрадиционни от други клонове на познанието (изкуствен интелект, евристични

педходи, логическо програмиране...) предоставя изцяло нов подход за

моделиране и оптимизиране на процеси.