PROJEKT

Lenda: Matematike e AvancuarTema; Numri kompleks

OBJEKTIVAT Te dime te perkufizojme numrin kompleks, formen e

tyre dhe te kryejme veprime te thjesha ( x ; / ; + ; -- ) Te dime se si mund te shprehet numri kompleks ne

menyra te ndryshme duke e ilustruar me shembuj. Te dime se ku gjejne perdorim numrat komplekse,

shkencat qe kane lidhje me te. Te dime ti shpjegojme qarte dhe ne menyre te

thjeshte keto perdorime.

Synimi: Te rritet fryma e bashkepunimit ne grup dhe veprimtaria te shendrrohet si nje menyre interesante per te thelluar njohurite.

CFARE ESHTE NUMRI KOMPLEKS DHE NGA LINDI?

Numri kompleks eshte numri i trajtes a+bi , ku a,b jane numra te bashkesise R dhe i eshte pjesa imagjinare.

Numrat kompleks në fillim u zbuluan nga matematikani italian Girolamo Cardano, gjatë përpjekjeve të tij për gjetjen e zgjidhjeve të Ekuacionit të shkallës së tretë. Rregullat për shumën, ndryshimin, shumëzimin dhe pjestimin e numrave kompleks u dhanë nga mattematikani italian Rafael Bombelli. Një formalizëm më apstrakt për numrat kompleks më vonë ndërtoi matematikani irlandez William Rowan Hamilton, i cili konceptin e numrit kompleks e zgjëroi edhe më tej dhe në matematikë futi konceptin e kuaternioneve.

NUMRI KOMPLEKS ESHTE NJE KOMBINIM I NUMRAVE REALE DHE IMAGJINARE, I TRAJTES Numri kompleks eshte nje kombinim i numrave reale dhe imagjinare ne

trajten a+bi , ku a dhe b bejne pjese ne bashkesine R

Qe ta kuptojme me qarte se cfare domethenie ka numri kompleks , fillimisht duhet qe te qartesojme kuptimin mbi numrat real , katrorin e tyre etj.

Numrat real ne mund t’i shumezojme me veten dhe prej tyre marrim nje rezultat qe eshte gjithmone (+) ose (0)

2 x 2 = 40 x 0 =0

(-2) x (-2) = 4 Por cfare numri duhet ta shumzojme me veten qe te marrim (-4)?

? x ? = (-4) Nga ketu kuptojme qe matematika ishte e paplote dhe lindi nevoja qe te

imagjinonim per nje numer i cili kur te ngrihej ne katror te jepte numer negativ. Ky numer do te shenohej i dhe me marreveshje dolen ne kete perfundim :i2=(-1)

Dhe: 2i x 2i = 4 i2=4(-1)= (-4)

MBLEDHJA ,ZBRITJA , SHUMEZIMI DHE PJESTIMI Mbledhja e dy numrave komplekse ( pjesa reale e numrit te pare mbidhet

me pjesen reale te numrit te dyte, dhe pjesa imagjinare e numrit te pare mblidhet me pjesen imagjinare te numrit te dyte). Keshtu veprojme perkatesisht edhe me zbritjen.

Dmth: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)iShembull: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)

Zbritja: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)iShembull: (3 + 2i) - (1 + 7i) = (2 - 5i)

Shumezimi: (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2

Shembull: (3 + 2i)(1 + 7i) =3*1 +3*7i + 2i*1 +2*7i2 = 3 +21i + 2i + 14i2 = 3 + 23i - 14

= (-11) + 23 i Pjestimi: Qe te pjestojme dy numra komplekse fillimisht kete pjestim e

shprehim ne trajte thyesore dhe me pas gjejme te konjugaren e emeruesit, me pas e shumezojme me te konjugaren edhe emeruesin edhe numeruesin.

5 VETITE E NUMRAVE KOMPLEKSE Vetia e nderrimit : Z1+Z2 = Z2+Z1

Vetia e shoqerimit: (Z1+Z2)+Z3 = Z1+(Z2+Z3) Vetia e nderrimit per shumezimin: Z1xZ2 = Z2xZ1

Vetia e shoqerimit per shumezimin: (Z1xZ2)xZ3 = Z1x(Z2xZ3) Vetia shperndarese: (Z1+Z2)xZ3 = Z3xZ2+Z3xZ1Por si duhet te veprojme/zevendesojme kur i eshte ne grade me te madhe se 2 ?!?!?!?

i × i = −1,Me pas  −1 × i = -i,Me pas  −i × i = 1,

Dhe 1 × i = i Keshtu u kthyem ne fillimi te ciklit

1

3 2

4 Psh: i6=i4 × i2 =1 × −1 =−1

BOSHTI DHE RRJETI KOORDINATIV Cdo numer real dhe pike ka nje vendodhje ne bosht dhe rrjetin koordinativ

perkatesisht. Psh. kane nje vendodhje te sakte ne bosht.

Apo pikat (-5;6) dhe (3;2).

Por ku duhet ti vendosim numrat komplekse ?!?!?!

RRJETI KOMPLEKS Duke qene se numrat kompleks nuk mund ti vendosim as ne bosht e as ne

rrjetin kordinativ, atehere serish lindi nevoja per te ndertuar nje rrjet ku te mund ti vendosnim keta numra.

Keshtu u krijua rrjeti kompleks ku boshti i numrave real perkon me boshtin e x ( te rrjeti koodrinativ) dhe boshti i numrave imagjinare perkon me boshtin e y ( te rrjeti koodrinativ) .

Keshtu nr.kompleks 3 + 4i vendoset 3 njesi ne te djathte , pergjate boshtit te nr reale dhe 4 njesi lart , pergjate boshtit te nr imagjinare.

Ne te njejten menyre veprojme edhe me nr 4 – 2i

NUMRI KOMPLEKS SI VEKTOR Ky eshte nje vektor i cili ka nje gjatesi te caktuar dhe drejtim. Dhe ja nje numer kompleks ( 3 + 4i ) i shprehur ne menyre vektoriale.

Ne kete grafik mund te shtojme edhe nje vektor tjeter ( 4 – 3i ), dhe te gjejme vektorin shume. ( 3 + 5i ) + ( 4 – 3i ) = ( 3 +4 ) + ( 5 – 3 )i = 7 + 2i

Gjatesia e vektorit shenohet me r

NUMRI KOMPLEKS SI TREGUES I NJE KENDI Pervecse si nje vektor ( 3 + 4i ) , numri kompleks tregon edhe nje

kend te caktuar te shprehur ne radian.

ǀ ǀ ǀ

Trajta trigonometrike

NUMRAT KOMPLEKS NE ELEKTRICITET Numrat kompleks gjejne perdorim edhe ne elektricitet por ne

nje menyre qe ndoshta eshte e studiuar vetem ne fakultete. Numrat kompleks ne qarkun elektrik shenohen ne trajten

Z=a+bj ku i=j. Arsyeja se perse e shenojme me j eshte se me i shenojme intensitetin qarkor.

 E = I • Z

Tensioni i brendshem i qarkut Rezistenca e plote e brendshmeIntensiteti

Tensioni ne pjesen e brendshme(brenda qarkut) eshte E=45+j10 volt dhe rezistenca e brendshme Z=3+j4 om. Sa eshte intensiteti?Zgjidhja:E = I • Z45 + j10 = I • (3 + j4)

amper

KOMPJUTERI DHE NUMRAT KOMPLEKS? Kompjuteri: Te gjithe e dime qe koompjuterat punojne ne baze te

algoritmave dhe rregullave te ndryshme nga ato qqe ne dime. Psh: nr 8 ne sistemin binar te tij eshte 1000. Por fotot qe jane te dukshme per ne si shihen nga komjuteri? Si realizohen ato?

Kompjuteri i njeh fotot nepermjet sistemit DCT ( Discrete complex transform) (transformimi diskret i nr kompleks). Cdo foto qe ndodhet ne internet nga kompjuteri nepermjet algoritmave te numrave kompleks. Pra fotot nuk jane gje tjeter vecse nje perkthim i ekuacioneve te numrave kompleks.

PIANOJA ELEKTRONIKE Imagjinoni nje piano elektrike. Cdo tast jep/prodhon nje tingull me vete.

Butoni i volumit ndryshon aplitude te tegjithe tastet ne te njejten menyre dhe force. Kjo eshte menyra e ndikimit te numrave reale ne piano.

Tani le te imagjinojme nje filter, ku disa taste te krijojne nje tingull me te forte e te larte e disa taste te tjere te prodhojne nje tingull me te bute ne varesi te frekuences. Ky eshte efekti i numrave komplekse, i cili te lejon nje “dimension ekstra” ne perllogaritjen e tingujve.

I gjithe ky sistem eshte i ndertuar te numrat komplekse. Kjo gje tashme eshte teper e perdorshme nga DJ qe bejne alternime tingujsh.

POR NQS CDO PIKE E FOTOS SE MEPARSHME NDRYSHON NE BAZE TE FORMULAVE PERKATESE.FOTOJA NDRYSHOHET NE KETE FORMA

SETI MANDELBROT

Fotoja interesante e mesiperme nuk eshte gje tjeter vecse nje nje zbatim i funksionit kompleks. Ndryshe nga ato grafike qe ne jemi mesuar te shohim ky grafik eshte teper i vecante per shkak te simetrise absolute qe ajo krijon.(fotot jane punuar ne programe kompjuterike).

Ky eshte funksioni ne te cilin eshte nderuar ky sistem/foto.

Pjesa me ngjyre tregon se sa shpejt rritet funkksioni , ndersa ngjyra e zeze tregon nje game te caktuar boshe , nje hapsire ku vlerat nuk arrihen.