Método de Gauss - JordanSOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON MATRICES

Sistema de Ecuaciones Lineales Un sistema de ecuaciones lineales puede describirse de la siguiente manera:

donde todos los se denominan coeficientes, los se denominan incógnitas o variables y los se llaman términos independientes

m ecuaciones

n incógnitas

Método de Gauss - Jordan Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en determinar los valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones.

El método de eliminación de Gauss – Jordan da cuenta del uso de las matrices para hallar estos valores. Para esto, se siguen estos pasos

1. Organizar las ecuaciones y construir la matriz ampliada A | B

2. Convertir esta matriz en su forma escalonada reducida, usando operaciones elementales entre filas

3. De la matriz resultante, obtener la solución.

Vamos con un ejemplo … Sistema de ecuaciones Sistema a

resolver

Paso 1. Sistema de ecuaciones Ordenar el

sistema y construir la matriz

ampliada A|B

Matriz ampliadaLa matriz ampliada está formada por los coeficientes y

los términos independientes

Paso 2.Convertir esta matriz en su

forma escalonada reducida

Matriz ampliada

Pero, ¿cómo? ¿usando operaciones elementales entre filas?

Operaciones Elementales entre Filas

Son 3 Intercambiar filas

Multiplicar todos los elementos de una fila por una

constante diferente de cero

Sumar a los elementos de una fila los elementos

de otra multiplicados por

una constante

Paso 2. Manos a la obra !!!

[2 −2 22 1 −11 2 −1|

8−1−3 ]𝐹 1→𝐹1/2

→ [1 −1 12 1 −11 2 −1|

4−1−3 ]

Buscamos que el primer elemento de la matriz sea un 1.A la fila 1 la multiplicamos por ½

Paso 2. Manos a la obra !!!

Buscamos convertir en cero las posiciones seleccionadas.A la fila 2 le restamos 2 veces la fila 1 y a la fila 3 le restamos la fila 1

[1 −1 12 1 −11 2 −1|

4−1−3 ]𝐹 2→𝐹2−2𝐹 1

→𝐹 3→𝐹 3−𝐹1→

[1 −1 10 3 −30 3 −2|

4−9−7 ]

Paso 2. Manos a la obra !!!

𝐹 2→1/3𝐹 2→[1 −1 1

0 3 −30 3 −2|

4−9−7 ] [1 −1 1

0 1 −10 3 −2|

4−3−7 ]

Buscamos que el elemento seleccionado sea un 1.A la fila 2 la multiplicamos por 1/3

Paso 2. Manos a la obra !!!

Buscamos convertir en cero las posiciones seleccionadas.A la fila 1 le sumamos la fila 2 y a la fila 3 le restamos 3 veces la fila 2

𝐹 1→𝐹1+𝐹 2→𝐹 3→𝐹 3−3𝐹2→

[1 −1 10 1 −10 3 −2|

4−3−7 ] [1 0 0

0 1 −10 0 1 | 1−32 ]

Paso 2. Manos a la obra !!!

𝐹 3→𝐹 3→

Buscamos que el elemento seleccionado sea un 1.Como en este caso ya lo es, no se realiza operación.

[1 0 00 1 −10 0 1 | 1−32 ] [1 0 0

0 1 −10 0 1 | 1−32 ]

Paso 2. Manos a la obra !!!

[1 0 00 1 −10 0 1 | 1−32 ] [1 0 0

0 1 00 0 1|

1−12 ]𝐹 2→𝐹2+𝐹 3

→

Buscamos convertir en cero las posiciones seleccionadas.A la fila 2 le sumamos la fila 3.

Paso 2.De la matriz resultante, obtener la solución

Reconstruyendo las ecuaciones, obtenemos

[1 0 00 1 00 0 1|

1−12 ]

𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 { 𝑥=1𝑦=−1𝑧=2

Fácil, cierto?