MÉTODO DE JACOBIClase 10

MÉTODO DE JACOBI Al resolver un Sistema de ecuaciones lineales por eliminación, la memoria

de máquina requerida es proporcional al cuadrado del orden de A, y el trabajo computacional es proporcional al cubo del orden de la matriz coeficiente A. Debido a esto, la solución de sistemas lineales grandes , se vuelve costoso y difícil en una computadora con los métodos de eliminación, ya que se requiere amplia memoria, además como el numero de operaciones que se debe ejecutar es muy grande, se pueden producir errores de redondeo también muy grandes.

MÉTODO DE JACOBI Sin embargo, se han resuelto sistemas de orden 1000, y aun mayor, con los

métodos que se estudiaran mas adelante.

Estos sistemas de un numero muy grande de ecuaciones se presentan en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales, en la solución d elos modelos resultantes en la simulación de columnas de destilación, etc. En favor de estos sistemas, puede decirse que tienen matrices con pocos elementos distintos de cero y que estas poseen ciertas propiedades(simétricas, bandeadas, diagonal dominantes, entre otras), que permiten garantizar el éxito de la aplicación de estos métodos.

MÉTODO DE JACOBI Los métodos iterativos mas sencillos y conocidos son una generalización

del método de punto fijo, estudiado anteriormente. Se puede aplicar la misma técnica a fin de elaborar métodos para la solución de para obtener la ecuación.

MÉTODO DE JACOBI Ecuación vectorial correspondiente a . Se busca ahora una matriz y un

vector de manera que la ecuación vectorial

Sea solo un arreglo de la ecuación anterior, es decir de manera que la solución de una sea también la solución de la otra. La ecuación siguiente corresponderá . A continuación se propone un valor inicial como primera aproximación al vector solución . Luego, se calcula la sucesión vectorial de la siguiente manera

MÉTODO DE JACOBI

Donde

Para que la sucesión converja al vector solución es necesario que eventualmente (los componentes del vector se aproximen tanto a (los componentes correspondientes a ), que todas las diferencias sean menores que n valor pequeño previamente fijado, y que se conserven menores para todos los vectores siguientes de la iteración; es decir:

MÉTODO DE JACOBI

La forma como se llega a la ecuación define el algoritmo de convergencia. Dado el sistema , la manera más sencilla es despejar dela primera ecuación, de la segunda, etc. Para ello, es necesario que todos los elementos de la diagonal principal de A, por razones obvias, sean distintos de cero.

MÉTODO DE JACOBI Esta técnica muestra cierta similitud con el método de iteración de punto

fijo, ya que consiste en despejar una de las incógnitas de una ecuación dejándola en función de las otras. La manera mas sencilla es despejar de la primera ecuación; de la segunda ecuación; de la i-esima ecuación, hasta de la n-esima ecuación. Es necesario, por razones obvias que todos los elementos de la diagonal principal de la matriz de coeficientes del sistema lineal, sean diferentes de cero.

MÉTODO DE JACOBI Sea el sistema lineal:

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

31 1 32 2 33 3 3n n 3

n1 1 n2 2 n3 3 nm n n

a x a x a x ... a x Ca x a x a x ... a x Ca x a x a x ... a x C...a x a x a x ... a x C

MÉTODO DE JACOBI Al realizar los despejes

propuestos se obtiene de la primera ecuación, de la segunda ecuación, etc., se obtiene:

131 12 1n1 2 3 n

11 11 11 11

232 21 2n2 1 3 n

22 22 22 22

3 31 32 3n3 1 2 n

33 33 33 33

n 1,nn n1 n2n 1 2 n 1

mn mn mn mn

aC a ax x x ... xa a a a

aC a ax x x ... xa a a aC a a ax x x ... xa a a a

.

.

.aC a ax x x ... x

a a a a

MÉTODO DE JACOBI Para estimar la primera aproximación a la solución se debe partir de un

vector inicial, el cual puede ser un vector , o algún otro que se encuentre próximo al vector solución .

EJEMPLO Resolver el sistema lineal por medio del método de Jacobi. Emplear el

vector inicial

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

6x x x 4x 17x 10x 2x x 173x 2x 8x x 19x x x 5x 14

EJEMPLO Al despejar las incógnitas correspondientes al esquema se tiene

1 2 3 4

2 1 3 4

3 1 2 4

4 1 2 3

x 17 x x x / 6

x 17 x 2x x / 10

x 19 3x 2x x / 8

x 14 x x x / 5

EJEMPLO Si se inicia el proceso iterativo con el vector cero se obtiene:

11

12

13

14

x 2.833333

x 1.7

x 2.375

x 2.8

EJEMPLO Los resultados del vector se utilizan para estimar el vector , los del vector

y así sucesivamente. Los resultados del proceso iterativo se muestran en la tabla 1

. Resultadode las iteraciones

EJEMPLO En general, el vector aproximación a la solución después de las iteraciones

se puede calcular de la siguiente manera:

MÉTODO DE JACOBIk 1 k k k131 12 1n1 2 3 n

11 11 11 11

k 1 k k k232 21 2n2 1 3 n

22 22 22 22

k 1 k k k3 31 32 3n3 1 2 n

33 33 33 33

k 1 k k kn 1,nn n1 n2n 1 2 n 1

mn mn mn mn

aC a ax x x ... xa a a a

aC a ax x x ... xa a a aC a a ax x x ... xa a a a

.

.

.aC a ax x x ... x

a a a a

EJEMPLO O bien escrito en forma compacta:

……………………(A)

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI MEDIANTE EL USO DE EXCEL1. Utilizar la herramienta de Excel para generar la tabla de la figura 1 que

contiene a la matriz aumentada, el vector inicial y la programación de los despejes que se generen al utilizar la ecuación (A)

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI MEDIANTE MATLAB Para el método de Jacobi, considere un sistema

Sea , donde es la diagonal de , la triangular inferior y la triangular superior.

Así, la sucesión que se construye con este método iterativo será:

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI MEDIANTE MATLAB El siguiente programa resuelve mediante el método de Jacobi un sistema

de ecuaciones con un error menor que una tolerancia dada tol.

Note que el programa necesita un dato inicial .

Además, el programa se detiene si se alcanza un número máximo de iteraciones maxit sin que se satisfaga el criterio de convergencia.

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI MEDIANTE MATLAB

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI MEDIANTE MATLAB Ejemplo: Resuelva , con una aproximación inicial

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI MEDIANTE MATLAB

METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB

METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB

METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB

METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB

RESULTADOS DEL METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB

RESULTADOS DEL METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB

RESULTADOS DEL METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB