Clase 10

12-Marzo-2015

Esta técnica muestra cierta similitud con el método de iteración de punto fijo, ya

que consiste en despejar una de las incógnitas de una ecuación dejándola en

función de las otras. La manera mas sencilla es despejar 𝑥1 de la primera

ecuación; 𝑥2 de la segunda ecuación; 𝑥𝑖 de la i-esima ecuación, hasta 𝑥𝑛 de la n-

esima ecuación. Es necesario, por razones obvias que todos los elementos de la

diagonal principal de la matriz de coeficientes del sistema lineal, sean diferentes

de cero.

Sea el sistema lineal:

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

31 1 32 2 33 3 3n n 3

n1 1 n2 2 n3 3 nm n n

a x a x a x ... a x C

a x a x a x ... a x C

a x a x a x ... a x C

.

.

.

a x a x a x ... a x C

Al realizar los despejes

propuestos se obtiene 𝑥1 de la

primera ecuación, 𝑥2 de la

segunda ecuación, etc., se

obtiene:

131 12 1n1 2 3 n

11 11 11 11

232 21 2n2 1 3 n

22 22 22 22

3 31 32 3n3 1 2 n

33 33 33 33

n 1,nn n1 n2n 1 2 n 1

mn mn mn mn

aC a ax x x ... x

a a a a

aC a ax x x ... x

a a a a

C a a ax x x ... x

a a a a

.

.

.

aC a ax x x ... x

a a a a

Para estimar la primera aproximación a la solución se debe partir de un vector

inicial, el cual puede ser un vector 𝒙𝟎 = 𝟎, o algún otro que se encuentre próximo

al vector solución 𝒙.

Resolver el sistema lineal por medio del método de Jacobi. Emplear el vector

inicial 𝑥0 = 0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

6x x x 4x 17

x 10x 2x x 17

3x 2x 8x x 19

x x x 5x 14

Al despejar las incógnitas correspondientes al esquema se tiene

1 2 3 4

2 1 3 4

3 1 2 4

4 1 2 3

x 17 x x x / 6

x 17 x 2x x / 10

x 19 3x 2x x / 8

x 14 x x x / 5

Si se inicia el proceso iterativo con el vector cero se obtiene:

1

1

1

2

1

3

1

4

x 2.833333

x 1.7

x 2.375

x 2.8

Los resultados del vector 𝑥 1 se utilizan para estimar el vector 𝑥(2), los del vector

𝑥 3 y así sucesivamente. Los resultados del proceso iterativo se muestran en la

tabla 1

Tabla 1. Resultado

de las iteraciones

En general, el vector aproximación a la solución después de las iteraciones se

puede calcular de la siguiente manera:

k 1 k k k131 12 1n1 2 3 n

11 11 11 11

k 1 k k k232 21 2n2 1 3 n

22 22 22 22

k 1 k k k3 31 32 3n3 1 2 n

33 33 33 33

k 1 k k kn 1,nn n1 n2n 1 2 n 1

mn mn mn mn

aC a ax x x ... x

a a a a

aC a ax x x ... x

a a a a

C a a ax x x ... x

a a a a

.

.

.

aC a ax x x ... x

a a a a

O bien escrito en forma compacta:

𝑥𝑖𝑘+1 =

1

𝑎𝑖𝑖𝐶𝑖 − 𝑗=1

𝑗≠1

𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛……………………(A)

1. Utilizar la herramienta de Excel para generar la tabla de la figura 1 que

contiene a la matriz aumentada, el vector inicial y la programación de los

despejes que se generen al utilizar la ecuación (A)

Para el método de Jacobi, considere un sistema 𝐴𝑥 = 𝑏

Sea 𝐴 = 𝐷 − 𝐸 − 𝐹, donde 𝐷 es la diagonal de 𝐴, −𝐸 la triangular inferior y −𝐹 la triangular

superior.

Así, la sucesión que se construye con este método iterativo será:

𝐴𝑥 = 𝑏

𝐷 − 𝐸 − 𝐹 𝑥 = 𝑏

𝐷𝑥 = 𝐸 + 𝐹 𝑥 + 𝑏

𝑥𝑘 = 𝐷−1 𝐸 + 𝐹 𝑥𝑘−1 + 𝐷−1𝑏

El siguiente programa resuelve mediante el método de Jacobi un sistema de

ecuaciones 𝐴𝑥 = 𝑏 con un error menor que una tolerancia dada tol.

Note que el programa necesita un dato inicial 𝑥0.

Además, el programa se detiene si se alcanza un número máximo de iteraciones

maxit sin que se satisfaga el criterio de convergencia.

Ejemplo:

Resuelva 𝐴𝑥(0) = 𝑏, con una aproximación inicial 𝑥(0) = [0 0 0]′