NLU/RG , pt. 6

Константин Соколов

Mathlingvo, СПбГУ, i-Free

http://nlu-rg.ru

Санкт-Петербург, 2013

План

• Апресян, лексическая семантика• λ-исчисление• Church. A Formulation of the Simple Theory of Types. 1940.

1

Апресян, лексическая семантика (1)

• Значение слова и принцип композициональности• Лексическая семантика и семантический метаязык

2

Апресян, лексическая семантика (2)

Лексикографическая традиция:

• наивное понятие о значении слова как о “сущности”,подлежащей выяснению (толковый словарь)

• раскрытие этой сущности в толковании (словарная статья)• “синтаксический аспект” значения - слова в языкесоединяются не вполне свободно (словосочетания)

• значение словосочетаний - не простая сумма, а “сложныйпродукт” (фразеология, идиомы)

3

Апресян, лексическая семантика (3)

Структуралистская традиция:

• компонентная структура лексических значений(мужчина = человек + самец + взрослый)

• признаки• дифференциальные: cын vs. дочь• интегральные: дети vs. племянники• ассоциативные: дядя vs. дяденька (обращение)

• привативные и эквиполентные оппозиции• иерархическая организация семантических компонентовзначения

4

Апресян, лексическая семантика (4)

Философская традиция:

• выяснение наиболее общих признаков/категорий (варистотелевском смысле)

5

Апресян, лексическая семантика (5)

Логическая традиция:

• имена vs. предикаты• предикаты высшего порядка• местность предикатов (ср. валентность глаголов,глубинные падежи)

• анализ модальных (эпистемических, темпоральных и пр.)аспектов

6

Апресян, лексическая семантика (6)

Почему необходим и что должен позволять метаязык?

• строить правильные предложения по заданным значениям• извлекать значения из заданных предложений• осуществлять семантически инвариантные трансформации(перефразирование) предложений

• оценивать предложение с т.з. семантической связности

7

Чёрч, лямбда-исчисление

This page intentionally left blank

8

Повторение

Формальная система или исчисление задается

• набором базовых символов и способом их комбинации• набором аксиом• правилами вывода• определением понятия выводимости

9

[Church 1940], λ→ (1)

Нотация:

• Базовые типы α, β, функциональные типы (αβ) = β → α

• λxα . Aβα

• Константы true и false имеют тип o• Функции с типом (oα) = α→ o• Каррирование: (oαoβ) = β → (o → (α→ o))

• Универсальный квантор: Πo(oα)[λxαAo ] ≡ ∀xαAo

• [MN] - применение функции M к аргументу N

10

[Church 1940], λ→ (2)

Язык:

• Переменная или константа типа α - п.п.ф. типа α• Если Aαβ и Bβ - п.п.ф. соответствующих типов, то [AαβBβ]- п.п.ф. типа α.

• Если xβ - переменная типа β и Aα - п.п.ф., то [λxβAα] -п.п.ф. типа (αβ).

Замечания:

• ∼(oo) - п.п.ф. типа (oo), [∼(oo) Ao ] - п.п.ф. типа o.• Qoαα = [λxαλyα∀foα[foαxα ⊃ foαyα]] - если y обладаетвсеми свойствами x , то y = x .

11

[Church 1940], λ→ (3)

Правила вывода:

• α-конверсия: переименование связанных переменных• β-редукция: замена [[λxβMα]Nβ] на Mα[xβ/Nβ]

• β-экспансия: D ` C , если D получается из C однократнымприменением β-редукции

• подстановка: F(oα)xα ` F(oα)Aα

• modus ponens: [Ao ⊃ Bo ],Ao ` Bo

• обобщение: F(oα)xα ` Πo(oα)F(oα)

12

[Church 1940], λ→ (4)

Аксиомы исчисления выказываний:

• p ∨ p ⊃ p• p ⊃ p ∨ p• p ∨ q ⊃ q ∨ p• (p ⊃ q) ⊃ (r ∨ p ⊃ r ∨ q)

Аксиомы логического функционального исчисления:

• Πo(oα)foα ⊃ foαxα• ∀xα[po ∨ foα] ⊃ [po ∨ Πo(oα)foα]

13

[Church 1940], λ→ (5)

Аксиома экстенсиональности:

• ∀xβ[fαβxβ = gαβxβ] ⊃ fαβ = gαβ

Аксиома дескрипции:

• ∃!xα[poαxα] ⊃ poα[ια(oα)poα], где∃!xαAo =def [λpoα∃yα[poαyα∧∀zα[poαzα ⊃ zα = yα]]][λxαAo ]

Неформально, Ao описывает xα; оператор дескрипции ια(oα)сопоставляет одноэлементному множеству его (единственный)элемент.

14

[Church 1940], λ→ (6)

Аксиома выбора:

• foαxα ⊃ foα[ια(oα)foα].

Неформально, оператор выбора ια(oα) сопоставляет непустомумножеству какой-то его элемент.

Аксиома выбора влечет аксиому дескрипции.

15

[Church 1940], λ→ (7)

Формальный вывод:

• Доказательство формулы Bo в предположении формулA1

o ,A2o , ...,A

no - это конечная последовательность формул,

последняя из которых - Bo , а остальные - либо одна изформул A1

o ,A2o , ...,A

no , вариант схемы аксиом, либо

формула, полученная из предыдущих формулпоследовательности применением правил вывода.

• Если такое доказательство существует, будем писатьA1

o ,A2o , ...,A

no ` Bo

• Теорема о дедукции: если A1o ,A

2o , ...,A

no ` Bo , то

A1o ,A

2o , ...,A

n−1o ` An

o ⊃ Bo

16

Разное

• Семантику для λ→ построил Генкин в 1950 г.• Категорную семантику для λ→ построил Ламбек в 1980 г.• Монтегю использовал многое из [Church 1940]

(обобщенные кванторы, оператор дескрипции, λ-оператор,лейбницевское (экстенсиональное) равенство предикатов,теорию типов), но строил семантику по-другому.

17

Спасибо!