Embed Size (px)
Citation preview
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
П.А. Вельмисов, Ю.В. Покладова
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Учебное пособие
Ульяновск УлГТУ
2012
УДК 51 (075) ББК 22 я7 В 28 Рецензенты: кафедра прикладной математики УлГУ (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, профессор А. А. Бутов);
д-р физ.-мат. наук, профессор УлГУ А. С. Андреев.
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Вельмисов, П. А. В 28 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных :
учебное пособие / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова. – Ульяновск : УлГТУ, 2012. – 52 с.
ISBN 978-5-9795-1044-6
Пособие предназначено для бакалавров всех специальностей, изучающих
раздел «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных». Пособие содержит краткий теоретический материал, теоретические вопросы, индивидуальные задания, примеры решения задач и предназначено для обеспечения самостоятельной работы студентов по освоению раздела. Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ. Печатается в авторской редакции.
УДК 51 (075) ББК 22 я7
© Вельмисов П. А.,
Покладова Ю. В., 2012 ISBN 978-5-9795-1044-6 © Оформление. УлГТУ, 2012
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………….………………….………………………...…… 4 Теоретические вопросы………….……………….………...…….………… 5 Теоретический материал и примеры решения задач…….…………….. 6 1. Область определения функции нескольких переменных.……..……... 6
Пример решения задачи 1………………………………………….....… 6 2. Частные производные. ……………………………….…………....….… 6
Пример решения задачи 2……………………………………....……… 8 3. Производные сложной функции……………….………………….…… 8
Пример решения задачи 3………………………………………...….… 9 4. Производные неявной функции……………………………….……….. 10 Пример решения задачи 4…………………………………….………... 11 5. Дифференциал..…………………………………… ……….…..….…… 15 Пример решения задачи 5…………………………………………..….. 16 6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
значений функций ………………………………………………….…… 17
Пример решения задачи 6………………………………….……..….… 17 7. Формулы Тейлора и Маклорена…………...……...……….….…..…… 18 Пример решения задачи 7………………………………….…..…….… 18 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности….……….………… 19 Пример решения задачи 8……………………………………………… 19 9. Градиент и производная по направлению…………...…….…..……… 20 Пример решения задачи 9……………………………..………….……. 21
10. Экстремум функции нескольких переменных ……..………..…….…. 22 Пример решения задачи 10……………………..…………….…...…… 23 Пример решения задачи 11……………….……………………….….... 24
11. Условный экстремум функции нескольких переменных……..……… 25 Пример решения задачи 12…………………………………………..… 27
12. Наименьшее и наибольшее значение функции двух переменных в области ……….…………………………………….…….…..………..…
29
Пример решения задачи 13………………………..………………...…. 29 13. Метод наименьших квадратов…………………..…………….……..… 31 Пример решения задачи 14…………………………………………….. 34 Пример решения задачи 15………………………………..…………… 35 Пример решения задачи 16………………………………..…………… 38 Расчетные задания………….…….…………………………………………. 39
Список литературы……………...………..…………………………...…..... 56
4
ВВЕДЕНИЕ
Активная самостоятельная работа студентов является важным фактором
усвоения математики и овладения ее методами. Система типовых расчетов
активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более
глубокому изучению курса высшей математики.
Настоящее пособие предназначено для бакалавров всех специальностей,
изучающих раздел «Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных». Оно направлено на выработку у студентов навыков решения
типовых задач. Пособие содержит краткий теоретический материал,
теоретические вопросы, индивидуальные задания, примеры решения задач и
предназначено для обеспечения самостоятельной работы студентов по
освоению раздела. Теоретические вопросы являются общими для всех
студентов; каждая из задач, входящих в данное пособие, представлена 28
вариантами. По каждой теме кратко изложены основные теоретические
сведения, приведены решения типовых примеров. В решениях приведены
основные формулы, правила, ссылки на теорию.
5
Теоретические вопросы
1. Определение функции двух переменных, ее области определения. Геометрическое истолкование этих понятий. Понятие функции трех переменных.
2. Понятие предела функций двух и трех переменных в точке. Понятие непрерывной функции нескольких переменных.
3. Частные производные функций двух и трех переменных. 4. Определение функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал первого
порядка функций двух и трех переменных. 5. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. 6. Частные производные сложной функции нескольких независимых
переменных. Полная производная. 7. Дифференцирование неявных функций одной и нескольких независимых
переменных. 8. Определение частных производных высших порядков. Дифференциал
второго порядка функций двух и трех переменных. 9. Формула Тейлора и формула Маклорена для функции двух переменных. 10. Градиент и производная по направлению. 11. Понятие точки экстремума функций двух и трех переменных. 12. Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух
переменных. 13. Необходимые и достаточные условия экстремума функции трех
переменных. 14. Понятие точки условного экстремума функции двух переменных. 15. Необходимые и достаточные условия условного экстремума функции двух
переменных. Метод множителей Лагранжа. 16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух
переменных в замкнутой ограниченной области. 17. Метод наименьших квадратов.
6
Теоретический материал и примеры решения задач
1.Область определения функции нескольких переменных.
Пусть D - множество пар yx, значений независимых переменных x и y . Определение. Если каждой паре Dyx , поставлено в соответствие
некоторое значение переменной величины z , то говорят, что z - функция двух независимых переменных x и y , определенная на множестве D (обозначается:
yxfz , ). Множество D , для элементов которого существуют значения z , называется областью определения функции ),( yxfz .
Определение. Если каждой совокупности nxxx ,...,, 21 значений
независимых переменных nxxx ,...,, 21 из некоторого множества nRD соответствует определенное значение переменной u , то говорят, что u - функция n переменных, определенная на множестве D ( nxxxfu ,...,, 21 ).
Пример решения задачи 1.
Найти и изобразить область определения функции 𝑧 = ( ).
Решение: Логарифмическая функция определена только при положительном значении аргумента, поэтому 4 − 𝑦 − 𝑥 > 0, или 𝑦 < 4 − 𝑥 . Значит, границей области будет парабола 𝑦 = 4 − 𝑥 . Кроме того, знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому 𝑥𝑦 ≠ 0, или 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0. Таким образом, область определения функции состоит из точек, расположенных ниже (внутри) параболы 𝑦 = 4 − 𝑥 , за исключением прямых 𝑥 = 0,𝑦 = 0.
2. Частные производные.
Определение. Частным приращением функции nxxxfu ,...,, 21 по переменной kx в точке nxxxM ,...,, 21 называется разность
nkkknkkkkx xxxxxfxxxxxxfuk
,...,,,,...,,...,,,,..., 111111 .
Определение. Частной производной функции nxxxfu ,...,, 21 по
переменной kx nk ,..,1 в точке nxxxM ,...,, 21 называется предел (если он существует)
k
nkkknkkkk
xk
x
x x
xxxxxfxxxxxxf
x
u
k
k
k
,...,,,,...,,...,,,,...,limlim 111111
00.
7
Обозначается kk x
f
x
u
, или ,kxu
kxf . В случае необходимости указываются
переменные, от которых зависит функция, например, nx xxxfk
,...,, 21.
Для функции yxfz , двух переменных по определению имеем
x
yxfyxxffz
x
f
x
zx
xx
,,lim
0 - частная производная по x ,
y
yxfyyxffz
y
f
y
zy
yy
,,lim
0 - частная производная по y .
Применяются также обозначения, в которых штрих сверху не ставится, например,
kxf , xf , yf .
Замечание. В соответствии с определением частная производная по
переменной kx nk ,..,1 вычисляется по обычным правилам и формулам дифференцирования, справедливым для функции одной переменной (при этом все переменные, кроме kx , рассматриваются как постоянные). Например, при вычислении частной производной по переменной x от функции yxfz , переменная y считается постоянной, и наоборот.
Определение. Частными производными 2-го порядка функции nxxxfu ,...,, 21 называются частные производные от ее частных
производных первого порядка. Согласно определению, производные второго порядка обозначаются и
находятся следующим образом:
kkxx
k x
u
xu
x
ukk2
2
- производная второго порядка по переменной kx ,
kixx
ik x
u
xu
xx
uik
2
- смешанная производная второго порядка по
переменным kx и ix . В частности, для функций двух переменных yxfz , :
,2
2
x
z
xz
x
zxx
,
2
2
y
z
yz
y
zyy
y
z
xz
xy
z
x
z
yz
yx
zyxxy
22
, . Штрихи сверху можно опустить.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.
Замечание. Результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от очередности дифференцирования при условии, что возникающие при этом смешанные частные производные непрерывны.
8
Пример решения задачи 2.
Дана функция x
yz sin . Показать, что 02 22 yyxyxx zyzxyzx .
Решение. Найдем частные производные
2cos
x
y
x
yzx ;
xx
yz y
1cos ;
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
yz
xxx sincos
2cos
2
232
;
x
y
xx
y
xz
yyy sin
1cos
12
;
x
y
x
y
x
y
xx
y
x
yz
yxy sincos
1cos
322
.
Подставляя найденные частные производные в левую часть данного уравнения, получим тождество
0sinsin2cos2
sincos2
222
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y,
что и требовалось доказать.
3. Производные сложной функции
Пусть ),...,,( 21 nxxxfu - дифференцируемая функция переменных
,,...,, 21 nxxx которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t : )(,...),(),( 2211 txxtxxtxx nn . Тогда производная сложной функции ))(),...,(),(( 21 txtxtxfu n по переменной t вычисляется по формуле:
....2
2
1
1 dt
dx
x
u
dt
dx
x
u
dt
dx
x
u
dt
du n
n
(3.1)
Если ),...,,,( 21 nxxxtfu , где )(,...),(),( 2211 txxtxxtxx nn , то производная функции u по t (она называется полной производной) равна
....2
2
1
1 dt
dx
x
u
dt
dx
x
u
dt
dx
x
u
t
u
dt
du n
n
(3.2)
Пусть ),...,,( 21 nxxxfu , где ),,...,,( 2111 mtttxx ),,...,,( 2122 mtttxx ,...),...,,( 21 mnn tttxx , при этом mttt ,...,, 21 - независимые переменные. Частные
производные функции u по переменным mttt ,...,, 21 выражаются следующим образом:
,...11
2
21
1
11 t
x
x
u
t
x
x
u
t
x
x
u
t
u n
n
9
..........................................................
,...22
2
22
1
12 t
x
x
u
t
x
x
u
t
x
x
u
t
u n
n
(3.3)
....2
2
1
1 m
n
nmmm t
x
x
u
t
x
x
u
t
x
x
u
t
u
Если ),...,,,...,( 11 nm xxttfu , где nitttxx mii ,...,1),,...,,( 21 , то
.,...,1,1
mkt
x
x
f
t
f
t
u n
l k
l
lkk
Пример решения задачи 3.
3.1. Найти производную dt
du сложной функции ,32 zxyu
.cos,,1 2 tztytx Решение. Так как функция u является функцией одной независимой
переменной t , то необходимо вычислить обыкновенную производную .dt
du
Воспользуемся формулой (3.1): .dt
dz
z
u
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
dt
du
Находим входящие в эту формулу производные:
,3,2, 22332 zxyz
uxyz
y
uzy
x
u
.sin,2,12
1t
dt
dzt
dt
dy
tdt
dx
Подставим их в формулу (3.1)
).sin(32212
1 22332 tzxytxyzt
zydt
du
Выразим переменные zyx ,, через t
.sin)1(6cos)1(8cos12
cos
sincos132cos1212
1cos
23
243234
tttttttt
tt
ttttttttt
ttdt
du
3.2. Найти частные производные y
u
x
u
, сложной функции
yx exveywwvvu ,),ln(cos 33
.
10
Решение. Функция u является функцией двух переменных v и w . Переменные v и w в свою очередь являются функциями двух независимых переменных x и y . Найдем частные производные:
xyex
w
, xey
w
, yex
v
, yxey
v
, 33
23sin
wv
vv
v
u
, 33
23
wv
w
w
u
.
Производные y
u
x
u
, найдем по формулам (3.3):
;)()(
)(3
)()(
)(3)sin(
33sin
33
2
33
2
33
2
33
2
xxy
xy
xy
yy
xy
yeeyex
eye
eyex
exex
yewv
we
wv
vv
x
w
w
u
x
v
v
u
x
u
.)()(
)(3
)()(
)(3)sin(
33sin
33
2
33
2
33
2
33
2
xxy
xy
xy
yy
xy
eeyex
eyxe
eyex
exex
ewv
wxe
wv
vv
y
w
w
u
y
v
v
u
y
u
4. Производные неявной функции
Частные производные неявной функции nxxxfu ,...,, 21 , заданной с помощью уравнения 0,,...,, 21 uxxxF n , вычисляются по формулам
),,...,(
),,...,(
1
1
uxxF
uxxF
x
u
nu
nx
k
k
nk ,..,1 , (4.1)
при условии, что 0),,...,( 1 uxxF nu .
В частности, производная неявной функции )(xy , заданной с помощью
уравнения 0),( yxF , может быть вычислена по формуле:
y
x
F
F
dx
dy
, (4.2)
при условии, что 0yF ; частные производные неявной функции ),( yxz ,
заданной уравнением 0),,( zyxF , находятся следующим образом:
z
x
F
F
x
z
, z
y
F
F
y
z
, (4.3)
при условии, что 0zF .
Замечание 1. Частная производная по переменной kx от функции
nxxxfu ,...,, 21 , заданной уравнением 0,,...,, 21 uxxxF n , может быть
11
найдена также с помощью дифференцирования этого уравнения по kx , при этом необходимо учесть зависимость u от kx . В частности, производная неявной функции )(xy , заданной с помощью уравнения 0),( yxF , может быть найдена дифференцированием уравнения 0),( yxF по переменной х, при этом необходимо учесть зависимость y от х.
Замечание 2. Производные высших порядков вычисляются на основе формул (4.1), (4.2), (4.3) или с помощью дифференцирования уравнений 0,,...,, 21 uxxxF n , 0),,( zyxF , 0),( yxF соответствующее число раз.
Пример решения задачи 4. 4.1. Найти производную первого порядка неявной функции )(xy , заданной
уравнением xyyx tg2ln 22 . Решение. 1 способ: Производная неявной функции )(xy , заданной с помощью уравнения
0),( yxF , может быть вычислена по формуле (4.2): y
x
F
F
dx
dy
.
В данном случае xytgyxyxF 22 2ln),( ,
)(cos2
2222 xy
y
yx
xFx
,
)(cos2
4222 xy
x
yx
yFy
.
Находим производную неявной функции:
222
222
222
222
2)(cos4
2)(cos2
)(cos2
4)(cos2
2
yxxxyy
yxyxyx
xy
x
yx
yxy
y
yx
x
F
F
dx
dy
y
x
.
2 способ: Продифференцируем обе части уравнения xyyx tg2ln 22 по переменной х, считая у функцией от х:
xx xyxxyx
)(tg)(2ln 22
xy
yxy
yx
yyx222 cos2
22
.
Выражаем y :
222
222
2)(cos4
2)(cos2
yxxxyy
yxyxyxy
.
4.2. Найти частные производные первого порядка неявной функции ),( yxz ,
заданной уравнением 025 2332 zyxzyx .
12
Решение. 1 способ: Производные неявной функции ),( yxz , заданной с помощью
уравнения 0),,( zyxF , могут быть вычислены по формуле (4.3): z
x
F
F
x
z
,
z
y
F
F
y
z
.
В данном случае zyxzyxzyxF 2332 25),,( , 33 210 zxyFx ,
yzyxFy 215 22 , 226 yxzFz .
Найдем частные производные неявной функции:
22
33
6
210
yxz
zxy
F
F
x
z
z
x
, 22
22
6
215
yxz
yzyx
F
F
y
z
z
y
.
2 способ: Продифференцируем обе части уравнения 025 2332 zyxzyx по переменной х, считая z функцией от yx, :
0),(),(25 2332
xyxzyyxxzyx ,
06210 2233 xx zyzxzzxy .
Выражаем xz : 22
33
6
210
yxz
zxyzx
.
Аналогично продифференцируем обе части уравнения 025 2332 zyxzyx по переменной y, считая z функцией от yx, :
0),(),(25 2332
yyxzyyxxzyx ,
02615 2222 yy zyyzzxzyx .
Выражаем yz : 22
22
6
215
yxz
yzyxz y
.
4.3. Найти производную второго порядка неявной функции )(xy , заданной
уравнением 03ln2 yxyx . Решение. 1 способ: Производная неявной функции )(xy , заданной с помощью уравнения
0),( yxF , может быть вычислена по формуле (4.2): y
x
F
F
dx
dy
.
В данном случае yxyxyxF 3ln),( 2 , 32 xFx , 11
yFy .
Находим производную dx
dy:
13
1
23
11
32
y
yx
y
x
F
F
dx
dy
y
x .
Вторую производную находим по правилу дифференцирования сложной функции, учитывая, что у зависит от х
22
2
)1(
)23()1(223
1
23
y
xyyyxy
y
yx
dx
d
dx
dy
dx
d
dx
yd dxdy
dxdy
dxdy
.
Подставляя
1
23
y
yx
dx
dy в полученное выражение, находим:
3
22
2
2
1
)1(223
y
yyyx
dx
yd
.
2 способ: Продифференцируем обе части уравнения 03ln2 yxyx по переменной х, считая у функцией от х:
0)(3)(ln2
xxyxxyx ;
y
yxyy
y
yx
1
)23(032 .
Продифференцируем еще раз обе части уравнения 032
yy
yx по
переменной х, считая у функцией от х:
0)(
20322
2
yy
yyyy
y
yx x
Выражаем )1(
2)( 22
yy
yyy
.
Подставим в полученное выражение y :
322
1
)1(223
y
yyyxy
.
4.4. Найти частные производные второго порядка неявной функции ),( yxz ,
заданной уравнением 023 332 xzyx . Решение. 1 способ: Производные неявной функции ),( yxz , заданной с помощью
уравнения 0),,( zyxF , могут быть вычислены по формуле (4.3): z
x
F
F
x
z
,
z
y
F
F
y
z
.
14
В данном случае 332 23),,( xzyxzyxF , 326 zxFx , 23yFy ,
26xzFz .
Найдем частные производные неявной функции:
x
z
zxz
zx
F
F
x
z
z
x
3
1
6
2622
3
, 2
2
2
2
26
3
xz
y
xz
y
F
F
y
z
z
y
.
Вторую производную находим по правилу дифференцирования сложной функции, считая z функцией от yx, :
232322
2
33
12
3
2
3
1
x
zz
xzx
zxzz
zx
z
zx
z
xx
zx
xx
x
,
yyy
y
zxz
y
xz
y
xz
yzyz
zx
yzxzxzy
xz
y
y
z
yy
z
3
2
23
2
42
22
2
2
2
2
4
422
2,
yy
yy
zxzx
zz
zx
z
zx
z
yyx
z
3
12
3
2
3
1332
2
.
Подставляя x
z
zx
z
3
12
,
2
2
2xz
y
y
z
в полученные выражения, находим:
522223232
2 2
9
4
3
1
33
1
3
12
33
12
zx
z
xzx
z
x
z
zxzx
zz
xzx
zx
,
52
4
22
2
3
2
23
2
22
2
22 zx
y
xz
y
xz
y
xz
y
xz
yz
xz
y
xz
y
y
zy
,
22
2
5
2
2
2
33
2
623
12
3
12
zx
y
xz
y
xz
y
xzz
xzyx
zy
.
2 способ: Продифференцируем обе части уравнения 023 332 xzyx по переменной х, считая z функцией от yx, :
0),(23 332 xyxxzyx ,
0626 23 xzxzzx .
Выражаем xz :
x
z
zxz
zxzx 3
1
6
2622
3
.
Продифференцируем еще раз обе части уравнения 0626 23 xzxzzx по переменной x, считая z функцией от yx, :
06126660626 222223 xxxxxxx zxzzxzzzzzzxzzx .
Выражаем
2
222
2
222 21
6
12666
xz
zxzzzzz
xz
zxzzzzzz xxxxxx
xx
.
15
Подставим в полученное выражение xz :
5222
2
222
2
9
4
3
13
12
3
121
zx
z
xzxzx
z
zxz
x
z
zz
zxx
.
Аналогично находятся производные
52
4
22
2
2 zx
y
xz
y
y
z
, 22
2
5
22
6 zx
y
xz
y
yx
z
.
Для нахождения 2
2
y
z
необходимо исходное уравнение 023 332 xzyx
продифференцировать дважды по y , считая z функцией от yx, .
Для нахождения смешанной производной yx
z
2
исходное уравнение
023 332 xzyx дифференцируется сначала по x, а затем по y (или наоборот).
5. Дифференциал Определение. Полным приращением функции nxxxfu ,...,, 21 в точке
nxxxM ,...,, 21 , соответствующим приращениям аргументов nxxx ,...,, 21 , называется разность nnn xxxfxxxxxxfu ,...,,,...,, 212211 .
Определение. Функция nxxxfu ,...,, 21 называется дифференцируемой в точке nxxxM ,...,, 21 , если в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде
)(...2211 oxAxAxAu nn , (5.1)
где 222
21 ... nxxx , nAAA ,...,, 21 - числа, не зависящие от
nxxx ,...,, 21 . Определение. Дифференциалом du первого порядка функции nxxxfu ,...,, 21 в точке nxxxM ,...,, 21 называется главная часть полного
приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно
nxxx ,...,, 21 :
nn xAxAxAdu ...2211 . Для дифференциала функции nxxxfu ,...,, 21 справедлива формула
n
n
dxx
udx
x
udx
x
udu
...2
2
1
1
, (5.2)
где nn xdxxdxxdx ...,,, 2211 .
В частности, для функции yxfz , двух переменных имеем
16
dyy
zdx
x
zdz
. (5.3)
Дифференциал k го порядка функции nxxxfu ,...,, 21 выражается символической формулой
udxx
dxx
dxx
udk
n
n
k
...2
2
1
1
. (5.4)
В частности, для du имеет место формула (5.2), а ud 2 находится следующим образом
n
mkmk
mk
dxdxxx
uud
1,
22 . (5.5)
Например, в случае функции yxfz , двух переменных для дифференциалов 2-го и 3-го порядков справедливы формулы
22
222
2
22 2 dy
y
zdxdy
yx
zdx
x
zzd
, (5.6)
33
32
2
32
2
33
3
33 33 dy
y
zdxdy
yx
zdydx
yx
zdx
x
zzd
. (5.7)
Пример решения задачи 5. 5.1. Найти дифференциал третьего порядка ud 3 функции xeu y ln . Решение. Найдем все частные производные до третьего порядка включительно:
xeu y
x1 , xeu y
y ln ,
2
1
xeu y
xx , xeu yyy ln ,
3
2
xeu y
xxx ,
2
1
xeu y
xxy , x
eu yxyy
1 , xeu y
yyy ln .
Найдем дифференциал третьего порядка функции u двух переменных по формулам (5.4), (5.7):
.ln1
31
32
33
3222
33
33
32
2
32
2
33
3
33
xdyedxdyx
edydxx
edxx
e
dyy
udxdy
yx
udydx
yx
udx
x
uud
yyyy
5.2. Найти дифференциал второго порядка ud 2 функции xyzzyxu 432 . Решение. Для нахождения дифференциала второго порядка функции трех переменных воспользуемся формулами (5.4), (5.5):
17
.2222
22
22
22
22
dxdzzx
udydz
zy
udxdy
yx
udz
z
udy
y
udx
x
u
udzz
dyy
dxx
ud
Найдем все частные производные до второго порядка включительно:
yzxu x 2 , xzyuy 23 , xyzuz 34 ,
2xxu , yuyy 6 , 212zuzz ,
zuxy , xuyz , yu xz .
Найдем дифференциал второго порядка функции u трех переменных: .21262 22222 ydxdzxdydzzdxdydzzydydxud
6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях значений функций
При достаточно малом 222
21 ... nxxx , согласно формуле (5.1),
для
дифференцируемой функции nxxxfu ,...,, 21 имеет место приближенное равенство duu , или
nnnn xxxdfxxxfxxxxxxf ,...,,,...,,,...,, 21212211 ,
где df определяется формулой (5.2).
В частности, для функции yxfz , двух переменных при достаточно малых yx , имеет место приближенное равенство dzz , или
yyxfxyxfyxfyyxxf yx ),(),(,, . (6.1)
Запишем формулу (6.1) в точке ),( 00 yx :
yyxfxyxfyxfyyxxf yx ),(),(,, 00000000 (6.2)
Вводя xxx 0 , yyy 0 , формулу (6.2) перепишем в виде
))(,())(,(,, 00000000 yyyxfxxyxfyxfyxf yx .
(6.3)
Имея значения функции f и ее частных производных в точке 00 , yx , по формуле (6.3) можно вычислить значение функции f в точке yx, , расположенной достаточно близко от точки 00 , yx . Пример решения задачи 6. Вычислить приближенное значение функции yxxyxyxz 32),( 2 в точке А(3,94; 2,01). Решение. Приближенное значение функции ),( yxz в точке А вычислим, используя формулу (6.3):
18
))(,())(,(,, 00000000 yyyxzxxyxzyxzyxz yx .
Имеем 01,2,94,3 yx ; положим 2,4 00 yx . Вычислим значение функции
в точке с координатами 00 , yx : 102342424, 200 yxz .
Так как 122),( yxyxz x , 32),( xyxzy , то 5),( 00 yxz x , 5),( 00 yxzy .
Подставим в формулу: 65,9)201,2(5)494,3(51001,2;94,3 z .
7. Формулы Тейлора и Маклорена
Для функции yxfz , двух переменных в точке 00 , yx формула Тейлора имеет вид
n
n
Rn
yxfdyxfdyxdfyxfyxf
!
),(...
!2
),(
!1
),(),(),( 0000
200
00 , (7.1)
где )( nn oR - остаточный член
22 yx .
В частности, с точностью до членов второго порядка относительно 00 , yyxx формулу Тейлора можно представить в виде
.))(,())()(,(2))(,(!2
1
))(,())(,(!1
1),(),(
22
00000002
000
00000000
Ryyyxfyyxxyxfxxyxf
yyyxfxxyxfyxfyxf
yyxyxx
yx
В частном случае, при 000 yx , формула (7.1) называется формулой Маклорена. Пример решения задачи 7. Разложить функцию yxeyxz 32),( в окрестности точки М(2,1), ограничиваясь членами второго порядка включительно Решение. В данном случае формула Тейлора (7.1) принимает вид
200
200
00 !2
),(
!1
),(),(),( R
yxfdyxdfyxfyxf , где 2R - остаточный член
формулы Тейлора. Найдем значения всех частных производных функции до второго порядка включительно в точке М:
2),( 32 yxx eyxz , 2)1,2( xz , )3(),( 32 yx
y eyxz , 3)1,2( yz ,
4),( 32 yxxx eyxz , 4)1,2( xxz , 9),( 32 yx
yy eyxz , 9)1,2( yyz ,
)6(),( 32 yxxy eyxz , 6)2,2( xyz .
Составим дифференциалы функции до второго порядка включительно dydxdyzdxzdz yx 32)1,2()1,2()1,2( ,
19
22222 9124)1,2()1,2(2)1,2()1,2( dydxdydxdyzdxdyzdxzzd yyxyxx .
Учитывая, что 1,2,1,2 0000 yyyydyxxxxdxyx , получим:
2
2232
2
)1(9)1)(2(12)2(4)1(3)2(21 R
yyxxyxe yx
.
8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Определение. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке 0M (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Определение. Нормалью к поверхности в ее точке 0M называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в этой точке и проходящая через точку касания 0M .
Если уравнение поверхности задано в явной форме yxfz , , то уравнение касательной плоскости в точке ),,( 0000 zyxM имеет вид
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx . (8.1)
Уравнения нормали
1),(),(0
00
0
00
0
zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
. (8.2)
Если уравнение поверхности задано в неявной форме 0),,( zyxF , то уравнение касательной плоскости в точке ),,( 0000 zyxM имеет вид
0),,())(,,())(,,( 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx . (8.3)
Уравнения нормали
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
. (8.4)
Пример решения задачи 8. 8.1. Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности yxxyxz 532 2 в точке 0M (1,2,7). Решение. Если уравнение поверхности задано в явной форме yxfz , , то уравнение касательной плоскости в точке ),,( 0000 zyxM имеет вид (8.1)
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ,
а уравнения нормали – вид (8.2)
1),(),(0
00
0
00
0
zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
.
20
Найдем значения частных производных yx ff , в точке М:
134 yxf x , 53 xf y , 1)2,1( xf , 2)2,1( yf .
Подставляя найденные значения в уравнения касательной плоскости и нормали, получим: )2(2)1(7 yxz или 042 zyx - уравнение касательной
плоскости; 1
7
2
2
1
1
zyx
- уравнения нормали.
8.2. Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности 0732 222 xzyx в точке 0M (1,0,3). Решение. Если уравнение поверхности задано в неявной форме 0),,( zyxF , то уравнение касательной плоскости в точке ),,( 0000 zyxM имеет вид (8.3)
0),,())(,,())(,,( 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx .
Нормаль определяется уравнениями (8.4)
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
.
Найдем значения частных производных zyx FFF ,, в точке 0M : 24 zxFx , yFy 6 , xzFz 2 , 5)3,0,1( xF , 0)3,0,1( yF , 6)3,0,1( zF .
Подставляя найденные значения в уравнения касательной плоскости и нормали, получим: 036)1(5 zx или 02365 zx - уравнение касательной
плоскости; 6
3
05
1
zyx
- уравнения нормали.
9. Градиент и производная по направлению
Пусть функция yxfz , определена в окрестности точки и пусть a
-
вектор, исходящий из этой точки. На векторе a
возьмем точку ),(1 yyxxM .
Определение. Производной функции yxfz , по направлению a
в точке ),( yxM называется предел (если он существует)
1
1
0
)()(lim
),(),(lim)(
1 MM
MfMfyxfyyxxfM
a
z
MM
,
где 122 MMyx .
Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных. Производная по направлению a
в точке M
характеризует изменение функции в этой точке в направлении вектора a
. Если функция yxfz , дифференцируема в точке ),( yxM , то в этой
точке
21
coscosy
z
x
z
a
z
,
где cos,cos - направляющие косинусы вектора a
. Определение. Градиентом функции yxfz , в точке ),( yxM называется
вектор, проекциями которого являются значения частных производных функции в этой точке, т.е.
jzizzgrad yx . (9.1)
Замечание. Аналогично определяются производная по направлению и градиент функции n переменных 2n .
Градиент и производная по направлению a
связаны между собой
соотношением
),( 0azgrada
z
, (9.2)
т.е. производная по направлению a
равна скалярному произведению градиента
и единичного вектора a
aa
0 .
Пример решения задачи 9.
Даны: функция 22arcsin),( yxyxz , точка
2
1
2
1,A и вектор 12,5a .
Найти: 1) zgrad в точке А; 2) производную в точке А по направлению
вектора a .
Решение. Найдем zgrad в точке А, для этого вычислим x
z
и y
z
в точке А.
Имеем:
22221
1
yx
x
yxx
z
, ,1)(
Ax
z
,1
12222 yx
y
yxy
z
1)(
Ay
z.
Таким образом, 1,1)( jiAzgrad
.
Для нахождения производной функции ),( yxfz в направлении вектора
12,5a воспользуемся формулой (9.2). Для этого найдем единичный вектор
13
12,
13
5
14425
12,50
a
aa , тогда
13
7
13
121
13
51),()( 0
aAzgradAa
z.
22
10. Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция nxxxfu ,...,, 21 определена в некоторой окрестности
точки 002
010 ,...,, nxxxM .
Определение. Функция nxxxfu ,...,, 21 имеет максимум (минимум) в
точке 002
010 ,...,, nxxxM , если существует такая окрестность точки 0M , в которой
для всех точек nxxxM ,...,, 21 ( 0MM ) выполняется неравенство
MfMf 0 (соответственно MfMf 0 ). Максимум или минимум функции называется ее экстремумом, а точки, в
которых функция имеет экстремум, называются точками экстремума (максимума или минимума).
Необходимое условие экстремума. Если функция nxxxfu ,...,, 21
имеет экстремум в точке 002
010 ,...,, nxxxM , то в этой точке
nix
Mf
i
,...,10)( 0
.
Точки, в которых выполняются эти условия, называются стационарными точками функции nxxxfu ,...,, 21 .
Достаточное условие экстремума. Пусть 002
010 ,...,, nxxxM - стационарная
точка функции nxxxfu ,...,, 21 , причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки 0M и все ее вторые частные производные непрерывны в точке 0M . Тогда:
если 0,...,, 002
01
2 nxxxud
0,...,, 002
01
2 nxxxud при любых значениях
nxxx ,...,, 21 , не равных одновременно нулю, то функция nxxxfu ,...,, 21 имеет в точке 0M минимум (максимум);
если 002
01
2 ,...,, nxxxud принимает значения разных знаков в зависимости от nxxx ,...,, 21 , то экстремума в точке 0M нет;
если 0,...,, 002
01
2 nxxxud для набора значений nxxx ,...,, 21 , не равных нулю одновременно, то требуются дополнительные исследования.
Рассмотрим случай функции двух переменных. Определение. Функция ),( yxfz имеет максимум (минимум) в точке
),( 000 yxM , если существует такая окрестность точки 0M , в которой для всех точек ),( yxM , отличных от 0M , выполняется неравенство ),(),( 00 yxfyxf
),(),( 00 yxfyxf . Необходимое условие экстремума функции двух переменных. Если
дифференцируемая функция ),( yxfz достигает экстремума в точке
23
),( 000 yxM , то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, т.е.
0),( 00 yxf x , 0),( 00 yxf y . (10.1)
Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Введем обозначения: ),( 00 yxfA xx , ),( 00 yxfB yy , ),( 00 yxfC xy , 2CABD .
Пусть ),( 000 yxM - стационарная точка функции ),( yxfz и пусть в окрестности точки 0M функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Тогда:
если 0D , то функция ),( yxfz имеет в точке ),( 000 yxM экстремум, а именно максимум при 00 BA и минимум при 00 BA ;
если 0D , то экстремум в точке ),( 000 yxM отсутствует; если 0D , то требуются дополнительные исследования.
Рассмотрим случай функции ),,( zyxfu трех переменных.
Критерий Сильвестра. 1) Для того, чтобы выполнялось неравенство
0,, 0002 zyxud
при любых значениях dzdydx ,, , не равных нулю
одновременно, необходимо и достаточно, чтобы:
0xxu , 0
yyxy
xyxx
uu
uu, 0
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
uuu
uuu
uuu
.
2) Для того, чтобы выполнялось неравенство 0,, 0002 zyxud
при любых
значениях dzdydx ,, , не равных нулю одновременно, необходимо и достаточно, чтобы:
0xxu , 0
yyxy
xyxx
uu
uu, 0
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
uuu
uuu
uuu
.
Следует помнить, что все производные вычислены в точке ),,( 0000 zyxM .
Пример решения задачи 10.
Найти экстремумы функции двух переменных yx
yxyxz186
3
12),( 23 .
Решение. Если дифференцируемая функция ),( yxfz достигает экстремума в точке
),( 000 yxM , то согласно необходимому условию экстремума, в этой точке частные производные первого порядка равны нулю.
Найдем стационарные точки функции yx
yxyxz186
3
12),( 23 :
24
06
62
2 x
xzx , 018
3
22
yyz y .
Решая данную систему, получаем две стационарные точки 1M (1,-3), 2M (-1,-3). Воспользуемся достаточным условием экстремума функции двух
переменных. Найдем ),( 00 yxfA xx , ),( 00 yxfB yy , ),( 00 yxfC xy , 2CABD .
Рассмотрим точку 1M (1,-3): 24A , 2B , 0C . Так как 048 D , то точка 1M (1,-3) является точкой экстремума, а именно минимума, так как
0A . Найдем минимум функции: 17min z . Рассмотрим точку 2M (-1,-3): 24A , 2B , 0C . Так как 048 D ,
то в точке 2M (-1,-3) экстремума нет. Пример решения задачи 11.
Найти экстремумы функции трех переменных zy
z
x
yxu
2
4
22
0,0,0 zyx . Решение. Найдем стационарные точки заданной функции u . Для этого составим систему уравнений:
,022
,04
2
,04
1
2
2
2
2
2
zy
zu
y
z
x
yu
x
yu
z
y
x
решая которую, получим .1;1;5,0 000 zyx Найдем частные производные
второго порядка: 3
2
2x
yuxx ,
3
22
2
1
y
z
xu yy , 3
42
zyuzz , 22x
yuxy , 0xzu ,
2
2
y
zu yz . Вычислим их значения в стационарной точке )1;1;5,0(M : 4xxu ,
3yyu , 6zzu , 2xyu , 0xzu , 2yzu .
Найдем дифференциал второго порядка функции u в стационарной точке )1;1;5,0(M :
dydzdxdy dz dy dx u d 4 4 6 3 4 222 2 .
Воспользуемся критерием Сильвестра. В данной задаче:
25
04 xxu , 08
yyxy
xyxx
uu
uu, 032
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
uuu
uuu
uuu
.
Согласно критерию Сильвестра, 02 ud . Значит, точка )1;1;5,0(M
является точкой минимума функции zy
z
x
yxu
2
4
22
согласно достаточному
условию экстремума. Значение функции в точке минимума 4min u .
11. Условный экстремум Рассмотрим задачу о нахождении экстремума функции nxxxfu ,...,, 21
при условии, что nxxx ,...,, 21 связаны уравнениями
nk xxx ,...,, 21 , nmmk ;,...,1 . (11.1) Уравнения (11.1) называются уравнениями связи. Определение. Функция nxxxfu ,...,, 21 имеет условный максимум
(условный минимум) в точке 002
010 ,...,, nxxxM , если существует такая
окрестность точки 0M , в которой для всех точек nxxxM ,...,, 21 ( 0MM ), удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство MfMf 0 (соответственно MfMf 0 ).
Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа
nk
m
kknmn xxxxxxfxxL ,...,,,...,,,...,,,..., 21
12111
,
где постоянные k mk ,...,1 называются множителями Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума. Если функция nxxxfu ,...,, 21 имеет условный экстремум в точке 00
2010 ,...,, nxxxM , то в
этой точке
,,...,10)( 0 ni
x
ML
i
mk
ML
k
,...,10)( 0
.
Для нахождения точки, в которой возможен условный экстремум, будем иметь систему nm уравнений:
,,...,10,...,,
,,...,10
21 mkxxx
nix
L
nk
i
(11.2)
26
из которой находятся неизвестные 002
01 ,...,, nxxx , 00
201 ,...,, m .
Достаточное условие условного экстремума. Пусть 002
01 ,...,, nxxx ,
002
01 ,...,, m решения системы (11.2). Функция nxxxfu ,...,, 21 имеет в точке
002
010 ,...,, nxxxM условный максимум, если
0,...,,,,...,, 002
01
002
01
2 mnxxxLd и условный минимум, если
0,...,,,,...,, 002
01
002
01
2 mnxxxLd
при любых значениях ndxdxdx ,,, 21 , не равных нулю одновременно, и таких,
что mkdx
xn
xxdx
x
xxn
nknk ,...,10,...,
...,..., 00
11
1
001
.
Условный экстремум функции двух переменных
В случае функции yxfz , двух переменных при уравнении связи 0),( yx функция Лагранжа примет вид
),(,, yxyxfyxL . Система (11.2) запишется в виде
.0),(
,0),,(
,0),,(
yx
yxL
yxL
y
x
.0),(
,0),(),(
,0),(),(
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
Пусть 000 ,, yx - решение этой системы и
),,(),,(),(
),,(),,(),(
),(),(0
00000000
00000000
0000
yxLyxLyx
yxLyxLyx
yxyx
yyxyy
xyxxx
yx
.
Тогда, если 0 , то функция yxfz , имеет в точке ),( 000 yxM условный максимум; если 0 – условный минимум. Можно также применить критерий Сильвестра для функции Лагранжа. Критерий Сильвестра: 02 Ld (функция имеет условный минимум) тогда и только тогда, когда
01 xxL , 02
yy
xy
xy
xx
L
L
L
L
и 02 Ld (функция имеет условный максимум) тогда и только тогда, когда
01 xxL , 02
yy
xy
xy
xx
L
L
L
L,
27
для любых значений dydx, , не равных нулю одновременно и таких, что 0 dydx yx .
Пример решения задачи 12.1. Найти условный экстремум функции двух переменных 1 yxz , если
уравнение связи имеет вид 06 33 xxyy . Решение. Составляем функцию Лагранжа:
33 61),(,),,( xxyyyxyxyxfyxL , const . Найдем точки, в которых возможен условный экстремум. Для этого
составим систему уравнений (11.2):
.06
,0631
,0361
33
2
2
xxyy
xyL
xyL
y
x
Из первого и второго уравнений системы находим и приравниваем полученные выражения:
xyxy 63
1
36
122
,
отсюда xyxy 6336 22 или xyxyyx 2 . Рассмотрим два случая: 1) 0 yx , тогда yx . Подставляем в уравнение связи: 062 23 xx ;
находим два корня 3,0 21 xx , тогда 3,0 21 yy . Значения 0,0 11 yx не
являются решениями системы, значения 3,3 22 yx - ее решения при 9
1
. 2) 2 yx , тогда xy 2 . Подставляем в уравнение связи:
0)2(6)2( 33 xxxx или, 08 , что неверно. Решений нет.
Значит, система имеет единственное решение 3 yx , 9
1 .
Способ 1. Воспользуемся достаточным условием условного экстремума. Найдем частные производные: xLxx 6 , 6xyL , yLyy 6 ,
236 xyx , xyy 63 2 и составим определитель:
0432
2329
3229
990
),,(),,(),(
),,(),,(),(
),(),(0
00000000
00000000
0000
yxLyxLyx
yxLyxLyx
yxyx
yyxyy
xyxxx
yx
.
Вывод: функция 1 yxz имеет в точке )3,3(M условный максимум. Значение функции в точке условного максимума 5max z .
28
Способ 2: xLxx 6 , 6xyL , yLyy 6 . Найдем дифференциал второго
порядка функции L в точке )3,3(M при 9
1 :
.23
42)3,3()3,3(2)3,3()3,3( 22222 dydxdydxdyLdxdyLdxLLd yyxyxx
Воспользуемся критерием Сильвестра:
021 , 09
32
2
32
32
22
.
Значит, 02 Ld для любых значений dydx, , не равных нулю одновременно. Таким образом, функция 1 yxz имеет в точке )3,3(M условный максимум. Значение функции в точке условного максимума есть 5max z .
Пример решения задачи 12.2.
Найти условный экстремум функции 22 8
11
yxz при уравнении связи
2 yx . Решение. Способ 1. Составим функцию Лагранжа:
28
11),(,),,(
22 yx
yxyxyxfyxL , const .
Найдем точки, в которых возможен условный экстремум. Для этого составляем систему уравнений:
02
,04
1
,02
3
3
yx
yL
xL
y
x
и решаем ее. Из первого уравнения выражаем 3
2
x , из второго уравнения
выражаем 34
1
y . Приравнивая
33 4
12
yx , получаем yx 2 . Подставим в
третье уравнение 2022 yyy . Таким образом, система имеет
единственное решение .321,2,4 yx
Находим .64
3
128
3)2,4()2,4(2)2,4()2,4( 22222 dydxdyLdxdyLdxLLd yyxyxx
Дифференцируя уравнение связи, получаем 0 dydx , откуда dydx .
Подставляя dy в выражение для Ld 2 , получаем:
29
.0128
3
64
3
128
3 2222 dxdxdxLd Значит, функция 22 8
11
yxz имеет
условный максимум при 2,4 yx . Значение функции в точке условного
максимума есть 32
1max z .
Способ 2. В данном случае переменная x легко выражается через y из уравнения связи: yx 2 . Подставляя yx 2 в уравнение функции
22 8
11
yxz , мы получаем функцию одной переменной y :
22 8
1
2
1
yyz
.
Исследуя функцию 22 8
1
2
1
yyz
одной переменной на
экстремум, получаем: 2y - точка локального максимума, 32
1z -
максимальное значение функции в этой точке.
12. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области
Если функция ),( yxfz дифференцируема в ограниченной замкнутой области D , то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной, или в граничной точке области D .
Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой в ограниченной замкнутой области, нужно:
1)найти стационарные точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;
2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области;
3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример решения задачи 13.1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции yyxyxz 22 32 в ограниченной замкнутой области D , заданной системой неравенств
0,0,1 xyyx . Решение.
Область D представляет собой треугольник, ограниченный координатными осями и прямой 1 yx .
30
1) Найдем стационарные точки функции внутри области D . В этих точках частные производные равны нулю:
.0162
,0
yx
yx
Решая данную систему, получим точку
81,8
1K . Эта точка не принадлежит области D ,
следовательно, в области D стационарных точек нет. 2) Исследуем функцию на границе области. Поскольку граница состоит
из трех участков, описываемых тремя различными уравнениями, то будем исследовать функцию на каждом участке отдельно:
0y . На этом участке 2xz )10( x . Так как 2xz - возрастающая
функция переменной x при 0x , то на отрезке 1,0 наименьшее значение функции z будет в точке (0,0): 0)0,0( z , а наибольшее – в точке (1,0):
1)0,1( z .
0x . На этом участке yyz 23 )10( y . Найдем производную
16 yz . Из уравнения 016 y получаем 61y . Таким образом,
наибольшее и наименьшее значения функции z на границе 0x находятся среди ее значений в точках (0,0), (0,1), 6
1,0 . Найдем эти значения:
2)1,0( z , 121)6
1,0( z .
1 yx или xy 1 , )10( x . На этом участке 274 2 xxz .
Решая уравнение 078 xz , получим 87x , следовательно,
81
871 y . Значение функции в этой точке равно 16
11)81,8
7( z , а на
концах отрезка 1,0 значения функции найдены выше. 3) Сравнивая полученные значения 0)0,0( z , 1)0,1( z , 2)1,0( z ,
121)6
1,0( z , 1611)8
1,87( z , заключаем, что наибольшее и наименьшее
значения функции в замкнутой области D равны соответственно
1611)8
1,87( zzнаиб и 2)1,0( zzнаим .
Пример решения задачи 13.2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 32 yxz в замкнутой
области D , заданной неравенством .122 yx Решение. Область D представляет собой круг радиуса 1 с центром в начале координат.
x
y
1
1
0
31
1) Найдем стационарные точки функции внутри области D . В этих точках частные производные равны нулю:
.02
,01
y
x
z
z
Следовательно, стационарных точек нет. 2) Исследуем функцию на границе области. Составляем функцию Лагранжа
132),,( 22 yxyxyxL . Используя необходимые условия существования экстремума, получим систему уравнений
.1
,022
,021
22 yx
yL
xL
y
x
Решим полученную систему. Из первого уравнения выражаем x2
1 , из
второго уравнения выражаем y
1 . Приравнивая
yx
1
2
1 , получаем
xy 2 . Подставим в третье уравнение 5
114 22 xxx . Таким образом,
имеем две точки
5
2,
5
1,
5
2,
5
121 MM . Найдем значения функции в
полученных точках: 35)(,35)( 21 MzMz .
Таким образом, наибольшее значение функции равно 35)( 1 Mzнаиб ;
наименьшее значение функции равно 35)( 2 Mzнаим .
13. Метод наименьших квадратов
В различных исследованиях на основании эксперимента требуется установить аналитическую зависимость )(xfy между двумя переменными величинами x и y . Широко распространенным методом решения этой задачи является метод наименьших квадратов.
Пусть в результате эксперимента получено n значений функции y при соответствующих значениях аргумента x . Результаты сведены в таблицу
х 1x 2x … nx
у 1y 2y … ny
32
Вначале устанавливается вид аппроксимирующей функции ,...),,,( cbaxy , или из теоретических соображений, или на основании характера расположения на плоскости Oxy точек, соответствующих экспериментальным значениям. Далее, при выбранном виде функции, необходимо подобрать входящие в нее параметры ,...,, cba так, чтобы она наилучшим образом отражала рассматриваемую зависимость.
Метод наименьших квадратов заключается в следующем. Рассмотрим сумму квадратов разностей значений iy , полученных в результате эксперимента, а также найденных в результате вычисления значений функции
,...),,,( cbax в соответствующих точках ix :
n
iii cbaxycbaS
1
2,...),,,(,...),,( . (13.1)
Подберем параметры ,...,, cba так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение. Таким образом, задача свелась к исследованию функции ,...),,( cbaS на экстремум. Из необходимого условия экстремума функции нескольких переменных следует, что эти значения ,...,, cba удовлетворяют системе уравнений
,...0,0,0
c
S
b
S
a
S,
или, в развернутом виде,
...................................
,0,...,,,
,...,,,
,0,...,,,
,...,,,
,0,...,,,
,...,,,
1
1
1
n
i
iii
n
i
iii
n
i
iii
c
cbaxcbaxy
b
cbaxcbaxy
a
cbaxcbaxy
(13.2)
В случае линейной аппроксимации вида baxy функция ),( baS
принимает вид
n
iii baxybaS
1
2)(),( .
Это функция с двумя переменными a и b . Исследуем ее на экстремум. Запишем необходимые условия экстремума:
.)(
,)(
02
02
1
1
n
iii
i
n
iii
baxyb
S
xbaxya
S
33
Отсюда получаем следующую систему уравнений относительно неизвестных a и b
.
,
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
ynbxa
yxxbxa
11
111
2
(13.3)
Можно показать, что система (13.3) имеет единственное решение, и при найденных значениях a и b функция ),( baS имеет минимум.
В случае квадратичной аппроксимации вида cbxaxy 2 функция (13.1) имеет вид
n
iiii cbxaxycbaS
1
22 )(),,( .
Система уравнений (13.2) принимает вид
n
iiii
n
iiiii
n
iiiii
cbxaxy
xcbxaxy
xcbxaxy
1
2
1
2
1
22
0)(
,0)(
,0)(
или, в развернутой форме
n
i
n
ii
n
iii
n
i
n
ii
n
ii
n
iiii
n
i
n
ii
n
ii
n
iiii
ncxbxay
xcxbxaxy
xcxbxaxy
1 11
2
1 11
2
1
3
1 1
2
1
3
1
42
.0
,0
,0
(13.4)
Получили систему трех линейных уравнений для определения трех неизвестных cba ,, .
Если требуется найти функцию вида cx
b
x
ay
2, то функция (13.1)
запишется в виде
n
i iii c
x
b
x
aycbaS
1
2
2),,( .
Система уравнений (13.2) для определения неизвестных параметров cba ,,принимает вид
34
n
i iii
n
i iiii
n
i iiii
cx
b
x
ay
xc
x
b
x
ay
xc
x
b
x
ay
12
122
132
0
,01
,01
или, в развернутой форме
n
i
n
i i
n
i ii
n
i
n
i i
n
i i
n
i ii
i
n
i
n
i i
n
i i
n
i ii
i
ncx
bx
ay
xc
xb
xa
x
yx
cx
bx
ax
y
1 112
1 12
13
142
1 13
14
153
.011
,0111
,0111
(13.5)
Пример решения задачи 14. Экспериментально получены пять значений функции )(xfy при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице.
x 1 2 3 4 5
y 3 4 2,5 1,5 0,5
Методом наименьших квадратов найти функцию вида baxy , выражающую приближенно функцию )(xfy . Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции baxy . Решение. Будем искать функцию )(xfy в виде линейной функции baxy . Система (13.3) принимает вид:
.
,
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
2
5i
ii
i
iii
ii
ii
ybxa
yxxbxa
Учитывая, что
15543215
1
i
ix , 5554321 222225
1
2 i
ix ,
35
х
у
5,115,05,15,2435
1
i
iy , 275,055,145,2342315
1
i
ii yx ,
будем иметь
.,
,
511515
271555
ba
ba
Решая эту систему, находим: 750,a , 55,4b . Уравнение искомой прямой имеет вид: 55,475,0 xy . Строим график
Пример решения задачи 15. 15.1. Экспериментально получены шесть значений функции )(xfy при шести значениях аргумента, которые записаны в таблице.
x 0 1 2 3 4 5
y 0,7 0,5 1,5 2,0 2,5 4,3
Методом наименьших квадратов найти функцию вида cbxaxy 2 , выражающую приближенно функцию )(xfy . Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции
cbxaxy 2 . Решение. Будем искать функцию )(xfy в виде квадратичной функции cbxaxy 2 . Система (13.4) принимает вид:
6
1
6
1
6
1
2
6
1
6
1
6
1
26
1
3
6
1
6
1
26
1
36
1
42
.06
,0
,0
i ii
iii
i ii
ii
iiii
i ii
ii
iiii
cxbxay
xcxbxaxy
xcxbxaxy
Учитывая, что
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
36
155432106
1
i
ix ,
55543210 2222226
1
2 i
ix ,
225543210 3333336
1
3 i
ix ,
979543210 4444446
1
4 i
ix ,
5,113,45,20,25,15,07,06
1
i
iy ,
413,455,240,235,125,017,006
1
i
ii xy ,
1723,4255,2160,295,145,017,006
1
2 i
ii xy ,
будем иметь
.0615555,11
,0155522541
,055225979172
cba
cba
cba
Решая эту систему, находим: 14,0a , 01,0b , 64,0c .
Уравнение искомой функции имеет вид: 64,001,014,0 2 xxy . Строим график
15.2. Экспериментально получены пять значений функции )(xfy при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице.
x 1 2 3 4 5
y 0,8 -0,1 -1,2 -1,3 -1,4
Методом наименьших квадратов найти функцию вида cx
b
x
ay
2 ,
выражающую приближенно функцию )(xfy . Сделать чертеж, на котором
37
в декартовой прямоугольной системе координат построить
экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции cx
b
x
ay
2.
Решение.
Будем искать функцию )(xfy в виде функции cx
b
x
ay
2 . Система (13.5)
принимает вид:
5
1
5
1
5
12
5
1
5
12
5
13
5
142
5
1
5
13
5
14
5
153
.0511
,0111
,0111
i i ii ii
i i ii ii ii
i
i i ii ii ii
i
cx
bx
ay
xc
xb
xa
x
y
xc
xb
xa
x
y
Учитывая, что
283,215
1
i ix
, 464,115
12
i ix, 186,1
15
13
i ix, 08,1
15
14
i ix, 037,1
15
15
i ix,
9,35
1
i
iy , 329,05
12
i i
i
x
y, 624,0
5
13
i i
i
x
y.
будем иметь
.05283,2464,19,3,0464,1186,108,1329,0,0186,108,1037,1624,0
cbacbacba
Решая эту систему, находим: 57,1a , 87,0b , 64,1c .
Уравнение искомой функции имеет вид: 64,187,057,1
2
xxy .
Строим график
38
Пример решения задачи 16. Из прямоугольного листа жести шириной а изготовить желоб призматической формы, чтобы его поперечное сечение имело наибольшую площадь. Решение. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 – лист жести, 𝑎 = 𝐴𝐷. Обозначим 𝑥 = 𝐴𝐸, тогда 𝐹𝐷 = 𝑥, 𝐸𝐹 = 𝑎 − 2𝑥 (рис.1). Из листа жести изготовили желоб с поперечным сечением 𝐴𝐷𝐹𝐸 (рис.2), тогда нижнее основание желоба равно 𝐸𝐹 = 𝑎 − 2𝑥 , боковая сторона равна 𝐹𝐷 = 𝑥.
Рис.1. Лист жести Рис.2. Поперечное сечение желоба Сечение желоба представляет собой равнобокую трапецию, следует найти ее верхнее основание и высоту. Обозначим через величину угла: ADF . Из точки F опускаем перпендикуляр FG на сторону AD , из треугольника GDF находим ,cosxGD и высоту трапеции sinxGF , отсюда
cos222 xxaGDEFAD - верхнее основание трапеции. Обозначим через z площадь трапеции ADFE .
Тогда cossinsin2sin 22 xxaxz . Имеем функцию двух переменных ,x . Требуется найти наибольшее значение функции z в области
20
, 2
0a
x .
Составим систему для нахождения стационарных точек функции:
.02coscos2cos
,0cossin2sin4sin22
xxaxz
xxazx
По условию задачи 0sin,0 x , поэтому система уравнений принимает вид
.02coscos2cos
,0cos24
xxa
xxa
Решая систему, находим: 3
,2
1cos
ax . По условию данной задачи
максимум функции z существует, следовательно, максимальное значение
функции будет при 3
,60a
x .
x α α
A
E F
D G
x
x
a-2x
E
A
F
D
B
C
39
Расчетные задания Задача 1. Найти и изобразить области определения следующих функций:
№ 𝒛(𝒙, 𝒚) № 𝒛(𝒙, 𝒚)
1 𝑧 = 𝑦 − 2𝑥 + 42𝑦 15 𝑧 = ln (𝑥 + 𝑦 − 3) + ln 𝑦
2 𝑧 = ln (9 − 𝑦 − 𝑥 ) + √ln 𝑥 16 𝑧 = ln (𝑦)2 − 𝑥 − 𝑦
3 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 + 𝑥 − 𝑦 17 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 − 6 + 1√𝑥
4 𝑧 = 𝑒 𝑥 + 𝑦 18 𝑧 = arccos (𝑥 + 𝑦)
5 𝑧 = ln(𝑦) + ln (sin 𝑥) 19 𝑧 = 4 − 𝑥 + 𝑦
6 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − 𝑦) 20 𝑧 = ln(𝑥 + 𝑦 )
7 𝑧 = 𝑦 − 𝑥 21 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦
8 𝑧 = ln(𝑥) + ln (cos 𝑦) 22 𝑧 = ln (𝑦 − 1)𝑥 + 𝑦 − 4
9 𝑧 = ln (𝑥)𝑥 + 𝑦 − 6 23 𝑧 = 𝑒
10 𝑧 = ln(𝑥 − 2𝑦 + 4) + √𝑥 24 𝑧 = ln (4 − 𝑦 − 𝑥 ) + √𝑥
11 𝑧 = 9 − 𝑦 − 𝑥 + 𝑥𝑦 25 𝑧 = ln (2𝑥 − 𝑦 + 6)√𝑥
12 𝑧 = arccos (𝑥 + 2𝑦) 26 𝑧 = 2𝑥 −𝑦
13 𝑧 = ln (2𝑥)𝑥 + 𝑦 − 25 27 𝑧 = arcsin (2𝑥 − 𝑦)
14 𝑧 = ln (𝑦 − 3𝑥 + 6) 28 𝑧 = ln(𝑥) + ln (sin 𝑦)
Задача 2. Проверить, удовлетворяет ли функция ),( yxfz данному уравнению
№ ),( yxfz уравнение
1. 22ln yxyxz xxyyyx zzzz 22
2. xyez 022 yyxx zyzx
40
№ ),( yxfz уравнение
3. 2yxz
z
zz
yz
yyyy
21
4. x
yz 0 xyyy zxzy
5. yxz 3sin 09 xxyy zz
6. 22 yx
xz
0 yyxx zz
7. yexz ln 0 xxyxyx zzzz
8. 22 yxz 0 xyxy zzzz
9. 22 yxyxez xyyx zz
z
zz
10. 2cos yxz xyxyy zyzz 22
11. )3(sin2 xyz xxyy zz 9
12.
y
xarctgz 0 yyxx zz
13. xyxyz cossin)( 0)( yxy zzyx
14. x
yz 02 22 yyxyxx zyzxyzx
15. x
yyz 022 yyxx zyzx
16. 522 yx
yz
0
112
y
zz
yz
x yx
17. xyez 022 22 xyzzyzxyzx yyxyxx
18. )arcsin(xyz xyyyxx zyxxyzz )( 22
19.
y
xtgz 0 xxxy z
y
xz
20. yxz 7sin 049 xxyy zz
21. yx eez ln 02 yyxyxx zzz
22. xyyxz cossin 0 zzz yyxx
23. xyxez 02 22 yyxyxx zyzxyzx
41
№ ),( yxfz уравнение
24. xyz xyx zyzzx
25. 12ln 22 xyxz 0 yyxx zz
26. y
xz
cos
sin xyyx zzzz
27. y
xz 0 yxy zzx
28. y
xz arccos yxxy zz
Задача 3. Найти производные сложной функции.
№ 𝒖(𝒙, 𝒚) производные
1 xxyyxyxu 322
3
1,ln
x
u
, ?dx
du
2 tytxy
xu cos,sin,arcsin
?
dt
du
3 2222 ,, vwywvxyxu xy ?,
v
u
w
u
4 432332 4,,1, tztytxyzyzxu ?dt
du
5 yxvxywv
w
w
vu cos,sin, ?,
y
u
x
u
6 12ln,,1 2
tyex
y
xtgarcu t ?
dt
du
7 xxyyxeu x 222
2
1,ln
x
u
, ?dx
du
8 yx exveywwvwvu ,),ln( 2 ?,
y
u
x
u
9 4323223 tztytxzyyxxzu ,,, ?dt
du
10 vwywvxyx
eu
xy
sin,cos,
?,
v
u
w
u
11 xxyy
xyxu cos,
1
2
x
u
, ?dx
du
42
№ 𝒖(𝒙, 𝒚) производные
12 teytexxtgyu tt cos,sin, 2 ?dt
du
13 xyvxywww
vu cos,,2
2 ?,
y
u
x
u
14 xxyx
eeu
yx
ln,
2
x
u
, ?dx
du
15 3,1, tyexxytgarcxu t ?dt
du
16 vwywvxyx
eu
xy
sin,cos,
?,
v
u
w
u
17 tgxxyxy
yxu
,
22
x
u
, ?dx
du
18 tztytxxzyxu sin,,1, 32332 ?dt
du
19 xyvyxww
vu ln,,
arcsin 75
2 7
1
5
1 ?,
y
u
x
u
20 vwywxyeu xy sin,ln, ?,
v
u
w
u
21 xxey
y
yxyu
,1
2 2
x
u
, ?dx
du
22 tytxy
xu cos,sin,
2arccos
?
dt
du
23 2
222
v
wyvwxxytgu ,ln, ?,
v
u
w
u
24 xyvyxww
wvu cos,2,
2 753
?,
y
u
x
u
25 xxyeeu yx 3
3
1,ln
x
u
, ?dx
du
26 tytxy
xarctgu sin,cos,
?
dt
du
27 222 ,ln, vwyvwxxytgarcu ?,
v
u
w
u
28 32432 ,1,1ln, tztytxzyxu ?dt
du
43
Задача 4. Найти первую производную неявной функции.
№ функция № функция
1. 52sin 33 xyyx . 15. ztgyxz 2
2. zzyx cos222 . 16. 2ln5 22 yxz
3. 222 yxyze xz 17. 7ln2 xyxe y
4. 02332 yxzyx 18. 1coscoscos 222 zyx
5. xyarctgyx 22ln 19. 0532 5232 xyyxyx
6. xyzzx 23 32 20. 0335 xzyxz
7. 2 xy eyex 21. xy yx
8. 132222 zxzyx 22. zzyx sin222
9. 232 422224 yxyxyx 23. 12)( 32 yxyxtg
10. 12 zyxezyx 24. xzxyz 73
11. xyy
x
cos 25.
y
xxyarctg
12. xzxyz 25 2 26. 0 zarctgzyx
13. 022 zxezyyx 27. 22cos 22 xyyx
14. 0lnln 22 xyyx 28. 02 2332 zyxzyx
Задача 5. Найти дифференциалы n -го порядка ud n следующих функций ( zyx ,, - независимые переменные).
1. xeu y cos , 3n . 7. yxyxu ln5ln353 , 3n .
2. xyzzyxu 2333 , 2n . 8. xyzeu , 2n .
3. x
y
y
xu , 3n . 9. yxu 2sin5
3
, 3n .
4. zyxeu 32 , 2n . 10. xzzyyxu 222 , 2n .
5. )3cos()2sin( yxu , 3n . 11.y
xu cosln , 3n .
6. )ln( zyxu , 2n . 12. zyxeu 432 , 2n .
44
Задача 6. Вычислить приближенное значение функции ),( yxz в точке А.
№ z(x,y) координаты точки А
№ z(x,y) координаты точки А
1 3 2 32 xyx (3,94; 2,01) 15 xyyx 22 23 (-0,98; 2,97)
2 225 xxy (1,98; 3,92) 16 1222 yxyx (1,98; 3,91)
3 22 22ln yx (0,48; 0,54) 17 xyarctgy 2 (0,01; 2,95)
4 yxxyx 23 (1,06; 2,92) 18 yxyx 5cos2 2 (1,99; 0,02)
5 yx 7 (1,94; 1,03) 19 22 yxyx (1,02; 1,96)
6 224e yx (0,98; 2,03) 20 3 2 62 yx (0,97; 0,98)
7 xyyx sin22 (0,05; 1,96) 21 yxyx 4522 (3,05; 1,98)
8 xyx 23ln 2 (1,03; 0,98) 22 xyyx 32 22e (0,98; 2,03)
9 yxyx 632 (3,96; 1,03) 23 22 32 yxyx (1,96; 1,04)
10 22 10arcsin xxy (3,99; 0,01) 24
y
xy sin2 (0,05; 4,98)
11 xyx 22e (0,05; 2,97) 25 xyxy 532 2 (3,04; 3,95)
12 yxyx 3622 (2,02; 2,97) 26 xyyx sin222 (0,04; 2,97)
13 xyyx 23 (2,06; 1,96) 27 yxy 2lne (0,98; 0,03)
14
y
xarcsin2 (0,04; 3,96) 28 xyxy 22 2 (0,97; 2,03)
13. xyu 22 cos3 , 3n . 21. xyy
xu sin
2 , 3n .
14. x
z
z
y
y
xu , 2n . 22. y
x
z
y
y
zu , 2n .
15. x
xyu15
1 , 3n . 23. yxu 32 , 3n .
16. 2222 xyzzyxu , 2n . 24. )23ln( zyxu , 2n .
17. x
yu sinln , 3n . 25. , 3n .
18. xzzyyxu 333 , 2n . 26. xyzu cos , 2n .
19. yxu 3ln2ln , 3n . 27. yxu 23 , 3n .
20. zyxeu 524 , 2n . 28. 54
43
32
21
zyyxu , 2n .
yeu x sin
45
Задача 7. Разложить функцию ),( yxz по формуле Тейлора в точке М, ограничиваясь членами второго порядка включительно
№ ),( yxz М № ),( yxz М
1. yxcossin
4,
4
6. xye (0, 1)
2. yxe 2 (4, -2) 7. yxsinsin
4,
4
3. yx (1, 1) 8. yx 2ln (2, 3)
4. 23ln yx (1, 0) 9. yx 23 (2, 1)
5. yx 2 (4, 1) 10.y
x
sin
sin
4,
4
Разложить функцию ),( yxz по формуле Маклорена в точке М, ограничиваясь членами третьего порядка включительно
Разложить функцию ),( yxz по формуле Тейлора в точке М
№ ),( yxz М № ),( yxz М
20. yxxy 452 (-1, 2) 25. yxxyx 23 (-1, 3)
21. 1222 yxyx (3, -2) 26. yxyx 3622 (1, -2)
22. yxyx 4522 (1, 1) 27. yxyx 362 (2, 3)
23. 22 32 yxyx (1, -1) 28. xyyx 22 23 (2, 1)
24. xyxy 22 2 (4, 1)
№ ),( yxz № ),( yxz № ),( yxz
11. yex cos 14. )1ln(sin yx 17. 1ln yex
12. yxsincos 15. xe y sin 18. )1ln(cos xy
13. 12ln xe y 16. yxcoscos 19. xe y cos
46
Задача 8. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к указанной поверхности в точке А.
№ поверхность А
1 1232 zxy (1; 2; 2)
2 yxxyxz 23 (1; 3; 4)
3 83 3 zxyz (0; 2; -2)
4 yxyxz 632 (4; 1; 22)
5 22 2ln yxz (3; 2; 0)
6 1222 zyx (2; 2; 3)
7 yxyxz 3622 (2; 3; 16)
8 52 32 zxyx (1; 2; 1)
9 8822 222 zxzzyx (-2; 0; 1)
10 yxyxz 4522 (3; 2; 28)
11 28 32 zxxyx (2; -3; 2)
12 22 32 yxyxz (2; 1; 11)
13 01531243 22 zyzxzxyx (-1; -1; 2)
14 22ln yxz (1; 0; 0)
15 3444 zyx (1; 1; 1)
16 xyyxz 22 23 (-1; 3; 24)
17 326 222 zxyxxy (1; 2; 3)
18 133 333 zyx (2; 2; 1)
19 1222 yxyxz (2; 3; 19)
20 0 xzexy (5; -1/5; 0)
21 225ln yxz (1; 2; 0)
22 xyxyz 22 2 (1; 2; 8)
23 6333 xyzzyx (1; 2; -1)
24 2032 334 zyx (1; 2; 1)
25 22 yxyxz (1; 2; 7)
47
№ поверхность А
26 0223 22 zyzxzxyx (1; 1; 1)
27 228ln yxz (-1/2; 1; 0)
28 xyxyz 532 2 (3; 4; 57)
Задача 9. Дана функция ),( yxz , точка ),yA(x 00 и вектор ),( 11 yxa . Найти: 1) zgrad в точке А;
2) производную в точке А по направлению вектора a .
№ z(x,y) А а
1 )2( xyarctg (-1, 2) (-3, 4)
2 xyyx 35 22 (3, 2) (2, 3)
3 22 24ln yx (2, 2) (1, -1)
4 324 23 yxx (-1, 2) (4, -3)
5 xyyx 22 (2, 2) (-4, 3)
6 22 45ln yx (1, 1) (2, -1)
7 222 53 xyyx (1, 1) (2, 1)
8 22e yyx (2, 4) (3, 1)
9 22 32 yxyx (2, 1) (3, -4)
10 )( 3 yxarctg (-1, 3) (-1, -4)
11 3 22 22 xyx (3, 2) (-5, 1)
12 2
2 1
yx (2, -1) (1, 4)
13
x
y 2arcsin (2, 1) (-1, 1)
14 23sin xyyx (2, 4) (-1, 3)
15 3
1
y
x (2, -1) (-2, 1)
16 xyyx 22 (1, 1) (2, -1)
48
№ z(x,y) А а
17 xyy 24e (4, 2) (6, 8)
18 22 35ln yx (1, 1) (3, 2)
19 3 223 yxyx (3, 4) (1, 1)
20 xyx 65 2 (2, 1) (1, 2)
21 )( 2xyarctg (2, 3) (4, -3)
22
y
x2arcsin (1, 2) (5,-12)
23 22 43ln yx (1, 3) (2, -1)
24 xyyx 27 22 (3, 1) (-2, 3)
25 45 24 xyx (3, 2) (5, 1)
26 yx 42e (2, 1) (-3, 1)
27 3223ln yyx (-2, 3) (2, 3)
28 22sin xyyx (-2, 2) (1, -1)
Задача 10. Найти экстремумы функции двух переменных ),( yxz .
№ ),( yxz № ),( yxz
1 yx
yx23
8 23 8 44 22ln yxyx
2 yxyx 121233 44 9 yx
xyyx1122
3 yxyx ln8ln63 2 10 yx
xy54
3
4 yxxyyxyx 3333 2233 11 322 9ln yxyx , (x>0)
5 yx
xy56
5 12 yx
xy24
42
6 xyyx
22
111 13 yxyx ln3ln4 34
7 yxxyyxyx 24242233 14 yxxyyxyx 9922 2233
49
№ ),( yxz № ),( yxz
15 yxxyyxyx 662233 22 yx
xy71
16 yx
yx122 23 yxxyyxyx 9922 2233
17 yxyx ln24ln3232 24 yxyx ln81ln832
18 yxyx 646422 44 25 yx
xy97
3
19 yx
xy65
4 26 yxxyyxyx 553322 2233
20 xyyx ln29 23 27 yxyx ln54ln323
21 yxyx ln12ln65 28 yx
xy98
Задача 11. Найти экстремумы функции трех переменных ),,( zyxu .
№ ),,( zyxu № ),,( zyxu
1 zyxyzyx 42222 222 10 yzxyzyx 384 222
2 zyxxzyx 442 23444 11 6
6 zyxxyz
, 0,0,0 zyx
3 4
4 zyxxyz
, 0,0,0 zyx 12
9
262
94
222 z
yxyz
yx
4 zyxzyxzzyx 433222 13
5 zyxzyx ln72ln288ln16294 222 14 3
3 zyxxyz
, 0,0,0 zyx
6 zyxxzzyxyzyx 43222 15 16
1 zyx
xyz
7 5
5 zyxxyz
, 0,0,0 zyx 16
zy
z
x
yx
12 22
, 0z
8 zyxxzzyxy
zyx 212432
222 17 zz
y
y
x
x
1
9 zyxxzyx 442 23444 18 )(31
333zyx
zyx
zy
xxzyx 42
22 23444
50
№ ),,( zyxu № ),,( zyxu
19 zy
z
x
yx
28 22
, 0z 24 yxy
z
z
x
2162 22
, 0x
20 22
22 23444 zyxxzyx 25
5
15 z
yx
y
z
x
21 zxz
y
y
x
16 26 z
z
y
y
x
x
22 1628 , 0x
22 y
z
x
y
z
x 1
2
2 , 0y 27 )(4
1444
zyxzyx
23 )(21
222zyx
zyx 28
zx
z
y
xy
42 22
, 0z
Задача 12. Найти условный экстремум функции ),( yxz при указанном уравнении связи.
№ z(x,y) уравнение связи
1 yx 456 922 yx
2 yx
42 142 yx
3 3
lnln2
2
3 yx
x
y 1
55
6
yx
4 yx
111
8
11122
yx
5 431212 22 yxyx 254 22 yx , 0x
6 xy 122 yx , 0x
7 yx 435 2522 yx
8 33
41
yx 1328 yx
9 665
yxxy 122 yx 0,0 yx
10 22 122 yxyx 254 22 yx , 0x
11 22
11
yx 2 yx
51
№ z(x,y) уравнение связи
12 yx 32 164 yx
13 yyxyx 422 22 82 yx
14 yx
321
10
16422
yx
15 108 yx 5
11122
yx
16 22 yxyx 122 yx , 0x
17 7
ln
2
ln7
yx
y
x 1
5
2
5
7
yx
18 22 2
144
yx 3 yx
19 yxxy
332
5 122 yx 0,0 yx
20 yx 2
11122
yx
21 yxyx ln7ln373 110
7
10
3
yx
22 yx 841 88 22 yx
23 yx 32 164 yx
24 yx 225 124 22 yx
25 773
yxxy 122 yx 0,0 yx
26 xyx 42 12 yx
27 43
yx 122 yx
28 117
7
22yx
2
3
2
1 33 yx 0,0 yx
52
Задача 13. Найти наименьшее и наибольшее значение функции ),( yxz в замкнутой области D , заданной системой неравенств.
№ z(x,y) область D
1 xyxyx 42 22 3,0,1 xyxy
2 xy 122 yx
3 142 22 xyxyx 3,0,01 xyyx
4 xyyx 233 20,11 yx
5 435 22 yxyx 1,1,1 xyyx
6 36494 22 yxyx 0,0,1 xyyx
7 27922 xyyx 30,30 yx
8 2xy 122 yx
9 yxxyyx 22 0,0,3 xyyx
10 yxyxyx 222 22 2,0,2 xyxy
11 12 22 yx 0,0,3 xyyx
12 6424 22 yxyx 0,0,02 xyyx
13 yxyx 22 3 1,1,1 xyyx
14 22 22 yxyx 20,11 yx
15 2210 xxy 240 xy
16 xyyx 633 21,20 yx
17 22 xyx 044 2 yx
18 xyx 2 30,11 yx
19 yyxyx 422 22 1,1,82 xyyx
20 xyyx 333 20,20 yx
21 2223 yxyx 1,0, xyxy
22 168 33 xyyx 11,20 yx
23 yxyx 3252 0,0,1 xyyx
24 xyxyx 42 22 0,0,02 xyyx
53
№ z(x,y) область D
25 yxyx 42 0,0,6 xyyx
26 yxxyyx 22 0,0,3 xyyx
27 4183 22 yxyx 10,10 yx
28 22
53xy
yxxy 0,0,1
82 xy
yx
Задача 14. Экспериментально получены пять значений функции )(xfy при пяти значениях аргумента x , которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию вида baXY , выражающую приближенно (аппроксимирующую) функцию )(xfy . Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат изобразить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции baXY .
хi
№ 1 2 3 4 5
1 6,1 6,7 5,9 2,7 4,1 2 4,4 5,4 3,7 2,3 1,7 3 5,7 6,7 5,6 3,9 3,6 4 4,2 4,6 3,6 1,2 1,9 5 5,9 6,9 5,4 3,4 3,9 6 3,7 4,9 3,6 1,3 2,0 7 5,4 6,4 5,3 3,1 3,3 8 4,5 5,4 4,3 1,7 2,6 9 5,0 6,1 4,5 2,7 3,2 10 3,8 4,8 3,5 2,9 1,5 11 5,6 6,2 5,2 3,1 3,4 12 3,7 4,9 3,6 1,3 2,0 13 5,3 6,4 5,2 3,2 3,4 14 4,5 5,2 3,8 1,8 2,2 15 6,0 6,3 5,4 3,3 3,5 16 4,3 5,3 3,8 1,8 2,3 17 3,9 4,9 3,4 1,4 1,9 18 6,0 6,6 5,9 2,9 4,1 19 5,1 6,1 4,6 2,6 3,1 20 4,7 5,7 4,2 2,2 2,7 21 6,9 7,9 6,4 4,4 4,9 22 5,2 6,2 4,7 2,7 3,2
54
хi
№ 1 2 3 4 5
23 5,7 6,7 5,2 3,2 3,7 24 4,5 5,5 4,0 2,0 2,5 25 4,9 5,9 4,4 2,4 2,9 26 3,9 4,9 3,4 1,4 1,9 27 5,5 6,5 5,0 3,0 3,5 28 4,7 5,9 4,6 2,3 3,0
Задача 15. Экспериментально получены значения функции )(xfy , которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию
вида cbXaXY 2 (для нечетных вариантов) и cX
b
X
aY
2 (для четных
вариантов), аппроксимирующую функцию )(xfy . Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат изобразить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции.
хi 0 1 2 3 4 5 хi 1 2 3 4 5
1 5,2 5,7 5,3 4,9 3,6 1,8 2 2,5 0,8 0,4 0,3 0,0
3 -0,3 -0,9 -0,1 0,6 2,2 5,0 4 2,7 0,8 0,5 0,4 0,3
5 1,2 1,7 1,2 0,4 -0,7 -2,8 6 1,1 -1,1 -1,2 -1,5 -1,6
7 -0,5 -0,7 -0,4 0,4 2,3 4,2 8 2,3 0,6 0,5 0,2 0,2
9 1,2 1,6 1,5 0,6 -1,2 -3,2 10 4,1 1,7 1,3 1,2 0,7
11 -0,1 -1,3 -1,2 -0,2 1,4 3,9 12 0,6 -1,2 -1,6 -1,7 -1,7
13 1,0 1,6 1,5 0,4 -1,3 -3,7 14 2,5 0,8 0,4 0,4 0,3
15 -0,2 -1,2 -1,5 -1,4 0,3 2,0 16 1,4 -0,3 -0,8 -0,7 -1,0
17 -1,6 -0,2 0,0 -0,7 -2,5 -5,5 18 4,0 1,8 1,4 1,2 0,9
19 -1,5 -2,8 -2,6 -1,6 0,4 3,1 20 3,8 1,8 1,3 1,1 1,0
21 -0,3 -2,4 -2,8 -1,8 -0,3 2,6 22 2,2 -0,2 -0,5 -0,7 -0,8
23 -0,5 -1,5 -1,8 -0,8 1,6 4,5 24 2,5 0,8 0,4 0,2 0,1
25 -0,3 0,6 1,3 2,0 1,7 1,2 26 2,0 -0,4 -0,5 -0,6 -0,8
27 -0,8 0,4 0,3 -0,5 -2,0 -4,9 28 3,3 1,5 1,0 0,7 0,6
55
Задача 16. Решить прикладные задачи на наибольшее и наименьшее значения.
1. Найти размеры цилиндра наибольшего объема, изготовленного из заготовки в форме шара радиуса R .
2. Крыша дома имеет поперечное сечение в форме равнобедренного треугольника. Каковы должны быть размеры поперечного сечения помещения прямоугольной формы, встроенного на чердаке, чтобы объем помещения был наибольшим.
3. Найти размеры заготовки наибольшего периметра в форме прямоугольного треугольника, гипотенуза которого задана.
4. Изготовить из жести прямоугольную коробку (без крышки) данной емкости V с наименьшими затратами материала.
5. В шар диаметра d вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
6. Найти размеры цилиндрического сосуда наибольшей вместимости с поверхностью S .
7. Имеется прямоугольный лист железа заданных размеров. Вырезать в его углах одинаковые квадраты такого размера, чтобы объем получившейся при загибании краев емкости был наибольшим.
8. Поверхность прямоугольного параллелепипеда равна Q . Найти размеры параллелепипеда наибольшего объема.
9. Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда равна a . Найти размеры параллелепипеда наибольшего объема.
10. Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема при условии, что длина его диагонали равна d .
11. Найти конус вращения объема V с наименьшей полной поверхностью. 12. В шар диаметра d вписать цилиндр с наименьшей полной поверхностью. 13. Из всех прямоугольных параллелепипедов с полной поверхностью S
найти тот, который имеет наибольший объем. 14. Определить размеры конуса наибольшего объема, при условии, что его
боковая поверхность равна S . 15. Из всех прямоугольных треугольников площадью S найти такой,
гипотенуза которого имеет наименьшее значение. 16. Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот, площадь которого
наибольшая. 17. Из всех треугольников, имеющих периметр p , найти наибольший по
площади. 18. Из всех прямоугольников с заданной площадью S найти такой, периметр
которого имеет наименьшее значение. 19. Из всех прямоугольных параллелепипедов объемом V найти тот, полная
поверхность которого наименьшая. 20. Представить число 0a в виде произведения четырех положительных
сомножителей так, чтобы их сумма была наименьшей.
56
21. Найти треугольник данного периметра p2 , который при вращении около одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.
22. Определить наружные размеры открытого прямоугольного ящика с заданной толщиной стенок d и емкостью V так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала.
23. Из всех треугольников с одинаковым основанием и одним и тем же углом при вершине найти наибольший по площади.
24. В шар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
25. В данный прямой круговой конус вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
26. При каких размерах открытого прямоугольного ящика с заданным объемом V его поверхность будет наименьшей?
27. Требуется вырезать из круга сектор таким образом, чтобы из него можно было сделать конусообразный фильтр с максимальным объемом.
28. Задан объем открытой цилиндрической емкости. Каковы должны быть ее размеры, чтобы длина сварных швов была минимальной? (Заготовки: лист в форме круга – основание, прямоугольный лист – боковая поверхность).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания (с программой) / Под ред. Ю.С. Арутюнова. – М.: Высшая школа, 1985.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1,2. – М. Высшая школа, 1980.
3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: Методические указания к выполнению контрольной работы / Сост.: Н.Я. Горячева, Ю.А. Решетников. – Ульяновск, 1999. – 20 с.
4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике / Сост.: А.В. Анкилов, Н.Я. Горячева, Т.Б. Распутько. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 32 с.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 415 с.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч. Ч.1. – М.: Айрис-пресс, 2010. – 288 с.
7. Сборник задач по математике Ч.2.: Учеб. пособие для втузов. / под общ. ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 432с.
8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 680 с.
Учебное электронное издание
ВЕЛЬМИСОВ Петр Александрович ПОКЛАДОВА Юлия Валерьевна
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Учебное пособие
Усл. печ. л. 3,26. Объем данных 1,03 Мб. ЭИ № 25.
Печатное издание
ЛР №020640 от 22.10.97 Подписано в печать 16.11.2012. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 3,26. Тираж 140 экз. Заказ 1130 . Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.
Ульяновский государственный технический университет
432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32. Тел.: (8422) 778-113.
E-mail: [email protected]
