ôN thi tốt nghiep thpt-montoan-theo dan gbai - truonghocso.com

TN.THPT.2010 90 GV: GV: GV: GV: DDDD��ng Ph��c Sang��ng Ph��c Sang��ng Ph��c Sang��ng Ph��c Sang

TRANG GHI CHÚ ��℡℡℡℡��

.............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. ..............................................................................................................

TR��NG THPT CHU V N ANTR��NG THPT CHU V N ANTR��NG THPT CHU V N ANTR��NG THPT CHU V N AN T� TOÁN T� TOÁN T� TOÁN T� TOÁN –––– TINTINTINTIN

D��ng Ph��c SangD��ng Ph��c SangD��ng Ph��c SangD��ng Ph��c Sang

Moân ToaùnMoân ToaùnMoân ToaùnMoân Toaùn

2010

OÂn taäp Toát nghieäp

www.VNMATH.com www.VNMATH.com

Welcome

Rectangle

Welcome

Rectangle

Welcome

Rectangle

GV: GV: GV: GV: D��ng Ph��c SangD��ng Ph��c SangD��ng Ph��c SangD��ng Ph��c Sang 89 TN.THPT.2010TN.THPT.2010TN.THPT.2010TN.THPT.2010

Đề số 30 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 1

1

xy

x

+=

− có đồ thị ( )C .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

2. Tìm tất cả những điểm trên ( )C có toạ độ nguyên.

Câu II (3,0 điểm):

1. Giải bpt: 20,5 0,5

log (4 11) log ( 6 8)x x x+ < + +

2. Tìm m để hàm số 3 2 2( ) 3 3( 1)f x x mx m x m= − + − + (1) đạt

cực tiểu tại điểm x = 2

3. Tính tích phân: 3

2 3. ln

e

e

dxI

x x= ∫

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông

tại B, SA ⊥ (ABC). Biết AC = 2a, SA = AB = a. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ A đến mp(SBC).

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho M(0;1;–3); N(2;3;1) 1.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua N và vuông góc với

đường thẳng MN. 2.Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua 2,0 điểm M, N và tiếp

xúc với mặt phẳng (P).

Câu Va (1,0 điểm): Tính 2 2(1 2. ) (1 2. )P i i= + + −

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;–3;3), đường

thẳng d:3

1 2 1

x y z += =

− và mp (P): 2 2 9 0x y z+ − + = .

1.Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với đường thẳng d.

2.Tìm toạ độ điểm I thuộc đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) bằng 2.

Câu Vb (1,0 điểm): Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu

diễn số phức z thỏa điều kiện: 4 2 8 16 4z i i z− = − + − ---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle



Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = 4 212

4y x x= −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho.

2. Tìm m để pt: 4 28 0x x m− + + = có 4 nghiệm thực phân biệt. Câu II (3,0 điểm):

1. Tìm GTLN,GTNN của 4

( ) 23

f x xx

= − + −−

trên đoạn 0;2

2. Tính tích phân: ln 2

20 9

x

x

e dxI

e=

−∫

3. Giải phương trình: 4 4 4

log log ( 2) 2 log 2x x+ − = −

Câu III (1,0 điểm): Cắt 1 hình nón bằng mp(P) qua trục của nó ta được một thiết diện là tam giác đều cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên bởi hình nón đó?

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Cho điểm (3; 1;2)I − và ( ) : 2 3 0x y zα − + − =

1. Viết pt đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (α). 2. Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua I và song song với mặt

phẳng (α). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β).

Câu Va (1,0 điểm): Tính z , biết: 21( 3 2 )( 3 2 ) (3 )

2z i i i= + − − +

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểm ( 2;1; 1)A − − và

đường thẳng 3 4

:2 1 3

x y zd

− −= =

−

1. Viết ptmp(P) chứa đường thẳng (d) và đi qua điểm A. 2. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d). 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và cắt (d) tại hai điểm

có độ dài bằng 4. Câu Vb (1,0 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức:

2 (3 4 ) ( 1 5 ) 0z i z i− + + − + =

---------- Hết ----------


Ph�nPh�nPh�nPh�n IIII. KHO SÁT . KHO SÁT . KHO SÁT . KHO SÁT HÀM S�HÀM S�HÀM S�HÀM S�

I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1111 Tìm tập xác định D. 2222 Tính đạo hàm y ′ .

3333 Cho 0y ′ = để tìm các nghiệm x0 và các số xi làm y ′KXĐ. 4444 Tính lim ; lim

x xy y

→−∞ →+∞ và tìm các tiệm cận (nếu có).

5555 Vẽ bảng biến thiên và điền đầy đủ các chi tiết của nó. 6666 Nêu sự ĐB, NB và cực trị của hàm số. 7777 Tìm 1 số điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số.

�� Giao điểm với trục hoành: cho y = 0 và tìm x. �� Giao điểm với trục tung: cho x = 0 và tìm y. �� Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba).

8888 Bổ sung 1 số điểm và vẽ đồ thị hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số a. Dạng 1: Viết pttt tại 1 điểm M0.

Xác định x0, y0 (hoành độ & tung độ của điểm M0) Tính y ′ sau đó tính

0( )y x′ hay

0( )f x′

Dùng công thức để viết pttt

0 0 0( )( )y y f x x x′− = −

b. Dạng 2: Viết pttt biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Tính y ′ suy ra 0( )f x′

Cho 0( )f x k′ = để tìm nghiệm x0 (nhớ: x0 chứ không phải x)

Có x0, tìm y0 và dùng công thức viết pttt 3. Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x)

1111 Đưa phương trình về dạng: f(x) = BT(m) 2222 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao

điểm của đồ thị ( )C : y = f(x) và đường thẳng y = BT(m).

3333 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng kết quả

Lưu ý: đôi khi bài toán chỉ cho tìm tham số m để pt có 3 hay 4 nghiệm, ta không lập bảng KQ như trên mà dựa vào đồ thị ta nêu trường hợp đúng với yêu cầu của bài toán là được.

m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm pt… … … …. ….


Welcome

Rectangle


4. Tính diện tích hình phẳng a.Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường: ( )y f x= , trục hoành, ,x a x b= = (a b≤ )

( )b

aS f x dx= ∫

Lưu ý: Cho ( ) 0f x = (1) để tìm nghiệm của nó:

☺☺☺☺ Nếu (1) không có nghiệm trên đoạn [a;b] thì

( ) ( )b b

a aS f x dx f x dx= =∫ ∫

☺☺☺☺ Nếu (1) có đúng 1 nghiệm ;c a b∈ [ ] thì

( ) ( ) ( )b c b

a a cS f x dx f x dx f x dx= = +∫ ∫ ∫

☺☺☺☺ Nếu (1) có đúng 2 nghiệm 1 2, ;c c a b∈ [ ] (và <

1 2c c ) thì

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )b c c b

a a c cS f x dx f x dx f x dx f x dx= = + +∫ ∫ ∫ ∫

b.Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường: ( )y f x= , ( )y g x= , ,x a x b= = (a b≤ )

( ) ( )b

aS f x g x dx= −∫

Lưu ý: Để tính tích phân trên ta cũng cho ( ) ( ) 0f x g x− = (2) để tìm nghiệm thuộc [a;b]

rồi chia tích phân cần tính thành 1 hoặc nhiều tích phân trên các đoạn con của đoạn [a;b]

5. Tính thể tích vật thể tròn xoay Hình H: ( )y f x= , Ox, ,x a x b= =

quay quanh trục hoành Ox

2[ ( )]b

aV f x dxπ= ∫

6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b] cho trước 1111 Ghi nhận xét: hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [a;b] đã cho.

2222 Tính y ′

3333 Cho 0y ′ = để tìm các nghiệm xi ∈ [a;b] và các số jx ∈ [a;b]

làm cho y ′không xác định. 4444 Tính các f(xi), f(xj) và f(a), f(b) 5555 Chọn GTLN và GTNN cho hàm số từ các kết quả ở bước 4.



Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 4 22y x x= − + .

1. Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 4 22 0x x m− + = . Câu II (3,0 điểm): 1. Giải phương trình: 3 3 2

log log ( 2) log 2 0x x+ + − =


2

13I x x dx= +∫

3. Tìm GTLN,GTNN của 3 23 9 35y x x x= − − + trên [–4;4].

Câu III (1,0 điểm): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là

tam giác vuông tại B, � 060ACB = , cạnh BC = a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn

Câu IVa (2,0 điểm): Cho mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 6 0x y z x y z+ + − − − = .

1. Tìm toạ độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu. 2. Mặt cầu (S) cắt ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C

khác gốc O. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Câu Va (1,0 điểm): Chứng minh rằng: 4 2(1 ) 2 (1 ) 0i i i+ − + = .

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Cho hai đường thẳng ∆ và ∆′ lần lượt có phương

trình như sau:

23

: 1 2 , :

4 2 2

x tx t

y t y t

z z t

′ = − + = + ′′∆ = − + ∆ = = ′= +

1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trên. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và song song với ′∆

Câu Vb (1,0 điểm): Tìm căn bậc hai của số phức sau: 4 6 5z i= +

---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle




2

xy

x

+=

−.


2. Biện luận theo m số giao điểm của ( )C và (d): y = mx – 1.

Câu II (3,0 điểm): 1. Giải bất phương trình:

2 2log log ( 2) 3x x+ − >


2

01I x dx= −∫

3. Tìm GTLN,GTNNcủa hàm số y = sin2x – x trên ;2 2

π π −

.

Câu III (1,0 điểm): Tính thể tích hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

A(1;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y + z – 1 = 0. 1. Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P). 2. Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên (P). Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình z2 – 2z +5 = 0 trên tập số phức và

tính môđun của các nghiệm này. B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểm A(–1;2;3) và

đường thẳng d có phương trình 2 1

1 2 1

x y z− −= = .

1. Viết phương trình (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d. 2. Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với d.

Câu Vb (1,0 điểm): Viết dưới dạng lượng giác của số phức z = 1 – 3i .

---------- Hết ----------


7. Điều kiện để hàm số có cực trị 1111 ĐK cần: bài toán cho hàm số ( )y f x= đạt cực trị tại 1 điểm x0 nào đó thì ta dùng 0( ) 0f x′ = (nếu hàm số có đạo hàm tại 0

x )

2222 Nếu dấu của y ′ là dấu của một tam thức bậc hai có biệt thức

∆ thì hàm số ( )y f x= có 2 cực trị 0⇔ ∆ >

8. Biện luận số giao điểm của (C):y = f(x) với (H): y = g(x) Để biện luận số giao điểm của 2 đường nêu trên ta lập phương trình hoành độ giao điểm của chúng. Số nghiệm của PTHĐGĐ bằng với số giao điểm của 2 đường đã nêu.

II. BÀI TẬP MINH HOẠ

Bài 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau đây:

a. 3 3 2y x x= − + b. 4 22y x x= − c.2 3

2 1

xy

x

+=

−

Bài giải

Câu a: Hàm số 3 3 2y x x= − +

TXĐ: D = R

Đạo hàm: 23 3y x′ = −

Cho 20 3 3 0 1y x x′ = ⇔ − = ⇔ = ±

Giới hạn: lim ; limx x

y y→−∞ →+∞

= −∞ = +∞

Bảng biến thiên:

x –∞ –1 1 +∞

y ′ + 0 – 0 + y 4 +∞

–∞ 0

Hàm số ĐB trên các khoảng (–∞;–1) và (1;+∞)

NB trên khoảng (–1;1) Hàm số đạt cực đại bằng 4 tại CÑ –1x =

đạt cực tiểu bằng 0 tại CT 1x =

Cho 6 . 0 0y x y x′′ ′′= = ⇔ = . Điểm uốn (0;2)I

Giao điểm với trục hoành: 0 2; 1y x x= ⇔ = − =

Giao điểm với trục tung: 0 2x y= ⇒ =


Welcome

Rectangle


Đồ thị hàm số:

Câu b: Hàm số 4 22y x x= −

TXĐ: D = R

Đạo hàm: 34 4y x x′ = −

Cho 30 4 4 0 0; 1y x x x x′ = ⇔ − = ⇔ = = ±

Giới hạn: lim ; limx x

y y→−∞ →+∞

= +∞ = +∞


x –∞ –1 0 1 +∞

y ′ – 0 + 0 – 0 + y +∞ 0 +∞

–1 –1

Hàm số ĐB trên các khoảng (–1;0) và (1;+∞)

NB trên khoảng (–∞;–1) và (0;1)

Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại CÑ 0x =

đạt cực tiểu bằng –1 tại CT 1x = ±

Giao điểm với trục hoành: 0 0; 2y x x= ⇔ = = ±

Giao điểm với trục tung: 0 0x y= ⇒ =




Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 3 22 3 1y x x= − + −


2. Viết pttt của ( )C tại điểm có hoành độ x = – 1.

Câu II (3,0 điểm): 1. Tính tích phân: 420

1 tan

cos

xI dx

x

π+

= ∫

2.Giải bất phương trình: 2

2 1log 0

1

x

x

+>

−

3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ln( 2)y x x= + và Ox

Câu III (1,0 điểm): Cho lăng trụ đều .ABC A B C′ ′ ′ có đáy là tam giác

đều ABC cạnh bằng a, (a >0), góc � 030B CC′ ′ = . Gọi V, V′ lần

lượt là thể tích của khối lăng trụ .ABC A B C′ ′ ′ và khối đa

diệnABCA B′ ′ . Tính tỉ số V

V

′


Câu IVa (2,0 điểm):Cho m.cầu (S): 2 2 2 2 4 6 11 0x y z x y z+ + − + − − =

1.Xác định toạ độ tâm và tính bán kính mặt cầu (S). 2.Viết pt mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại điểm M(1; 1; –1).

Câu Va (1,0 điểm): Xác định phần thực, phần ảo của 1

11 2

iz i

i

−= + +

+

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và

đường thẳng d có phương trình:

1 2

1

x t

y t

z t

= + = − + = −

. Viết phương trình

của đường thẳng d’ qua M, vuông góc và cắt d. Câu Vb (1,0 điểm): Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu

diễn các số phức z thỏa 2z i− ≤ . ---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle



Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 3 23 1y x x= + + .


2. Viết pttt của đồ thị ( )C tại điểm cực đại của ( )C .

Câu II(3,0 điểm): 1. Tính tích phân: 4

0

tan

cos

xI dx

x

π

= ∫

2.Giải phương trình: log2 2(4.3 6) log (9 6) 1x x− − − =

3.Tìm GTLN,GTNN của 3 22 3 12 2y x x x= + − + trên [ 1;2]−

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, SA = 2a. Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm

A(1; 0; 11), B(0; 1;10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2). 1.Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C. 2.Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = 5. Chứng minh

mặt cầu này cắt mặt phẳng (P).

Câu Va (1,0 điểm): Cho 2(1 2 )(2 )z i i= − + . Tính môđun của số phức z .

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Cho M(1;−1;1), ( ) : 2 0P y z+ = và 2 đường thẳng

1

1:

1 1 4

x y z−∆ = =

−,

2

2

: 4

1

x t

y t

z

= −∆ = + =

1. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng (∆2). 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng (∆1),

(∆2) và nằm trong mặt phẳng (P).

Câu Vb (1,0 điểm): Giải phương trình: 23 2 3 0z z− + = trên tập �

---------- Hết ----------


Câu c: Hàm số 2 3

2 1

xy

x

+=

−

TXĐ: {1

\ }2

D = �

Đạo hàm: 2

80,

(2 1)y x D

x

−′ = < ∀ ∈−

Giới hạn: lim 1 ; lim 1x x

y y→−∞ →+∞

= =

( ) ( )

1 12 2

lim ; limx x

y y− +

→ →

= −∞ = +∞

Suy ra, y = 1 là phương trình tiệm cận ngang.

1

2x = là phương trình tiệm cận đứng.


x –∞ 1

2 +∞

y ′ – –

y 1 –∞

+∞

1 Hàm số luôn NB trên từng khoảng xác định Hàm số không có cực trị

Giao điểm với trục hoành: 3

02

y x= ⇔ = −

Giao điểm với trục tung: 0 3x y= ⇒ = −


–3


Welcome

Rectangle


Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số:

a. 3 3 2y x x= − + tại điểm trên ( )C có hoành độ bằng 2.

b. 4 22y x x= − tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 8.

c.2 3

2 1

xy

x

+=

− tại giao điểm của ( )C với trục tung.

Bài giải Câu a: Cho hàm số 3 3 2y x x= − + và 0

2x =

30 0

2 2 3.2 2 4x y= ⇒ = − + =

2 20

3 3 ( ) (2) 3.2 3 9y x f x f′ ′ ′= − ⇒ = = − =

Vậy, pttt tại 0

2x = là: 0 0 0

( )( )y y f x x x′− = −

4 9( 2)

4 9 18

9 14

y x

y x

y x

⇔ − = −

⇔ − = −

⇔ = −

Câu b: Cho hàm số 4 22y x x= − và 0

8y =

(VN)

24 2 4 2 0 0

0 0 0 0 0 20

4 28 2 8 2 8 0

2

x xy x x x x

x

= ⇔ = ±= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ =−

34 4y x x′ = −

Với 0 02 8x y= ⇒ = và 3

0( ) (2) 4.2 4.2 24f x f′ ′= = − =

pttt tại 02x = là: 0 0 0

( )( )y y f x x x′− = −

8 24( 2)

8 24 48

24 40

y x

y x

y x

⇔ − = −

⇔ − = −

⇔ = −

Với 0 02 8x y= − ⇒ = và 0

( ) ( 2) 24f x f′ ′= − = −

pttt tại 02x = − là: 0 0 0

( )( )y y f x x x′− = −

8 24( 2)

8 24 48

24 56

y x

y x

y x

⇔ − = − +

⇔ − = − +

⇔ = − +

Vậy, hai tiếp tuyến cần tìm là: 24 40y x= − và 24 56y x= − +



Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 2 1

1

xy

x

+=

+ có đồ thị là ( )C


2. Viết phương trình đường thẳng qua M(1;0) cắt ( )C tại hai điểm

A, B sao cho đoạn thẳng AB nhận M làm trung điểm. Câu II (3,0 điểm):

1. Giải phương trình: 20,5 0,5

log (5 10) log ( 6 8)x x x+ = + +

2. Tính tích phân: 3 32

0sin .cosA x xdx

π

= ∫

3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 3 2cos 6 cos 9 cos 5y x x x= − + + .

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a.

1. Chứnh minh SA vuông góc BD. 2. Tính thể tích khối chóp theo a. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp

S.ABC với A(2;3;1), B(4;1;–2), C(6;3;7) và S(–5;–4;8). 1. Lập phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C. 2. Tính độ dài đường cao hình chóp S.ABC.

Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình 2 2 5 0z z− + = trên tập số phức B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

H(1;1;–1) và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x + 2y – z – 5 = 0. 1. Lập phương trình đường thẳng (d) qua H và vuông góc (P). 2. Chứng tỏ H thuộc (P). Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc

(d), tiếp xúc (P) tại H và có bán kính R = 3.

Câu Vb (1,0 điểm): Cho 2( ) (3 4 ) 1 5f z z i z i= − + − + . Tính (2 3 )f i+ ,

từ đó suy ra nghiệm phương trình: 2 (3 4 ) 1 5 0z i z i− + − + =

---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle



Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 2 42y x x= −


2. Dùng ( )C , biện luận theo m số nghiệm pt: 4 22 0x x m− + = .



20 4 3

dxI

x x=

+ +∫

2. Giải bất phương trình: 1 1

15 15

log ( 2) log (10 ) 1x x− + − ≥ − .

3. Tìm GTLN,GTNN của hàm số 3 22 3 1y x x= + − trên 1;1

2

−

Câu III (1,0 điểm): Cho khối hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam

giác đều cạnh a, SA= a 2 , SA vuông góc với mp(ABC). Hãy tính thể tích của khối chóp.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm

A(3;6;2) , B(6;0;1) , C(–1;2;0) , D(0;4;1). 1.Viết phương trình mặt phẳng (BCD). 2.Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc mp(BCD).

Câu Va (1,0 điểm): Tìm môđun của số phức: 31 4 (1 )z i i= + + − .

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường

thẳng:(d1):

2 4

6

1 8

x t

y t

z t

= + = − = − −

và (d2): 7 2

6 9 12

x y z− −= =

−

1. Chứng minh (d1) song song (d2). 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả (d1) và (d2). Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị

hàm số: ; 2xy e y= = và đường thẳng 1x =

---------- Hết ----------


Câu c: Cho hàm số 2 3

2 1

xy

x

+=

−. Viết pttt tại giao điểm với trục tung.

0 00 3x y= ⇒ = −

02 2

8 8 8( ) (0) 8

1(2 1) (2.0 1)y f x f

x

− − −′ ′ ′= ⇒ = = = = −− −

Vậy, pttt tại 00x = là: 0 0 0

( )( )y y f x x x′− = −

3 8( 0)

3 8

8 3

y x

y x

y x

⇔ + = − −

⇔ + = −

⇔ = − −

Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số:

a. 3 3 2y x x= − + biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.

b. 4 22y x x= − biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x.

c.2 3

2 1

xy

x

+=

− biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

1

2y x=

Bài giải Câu a: Cho hàm số 3 3 2y x x= − + và 9k =

23 3y x′ = −

2 20 0 0 0

9 ( ) 9 3 3 9 4 2k f x x x x′= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±

Với 0 02 4x y= ⇒ =

pttt tại 02x = là: 0 0 0

( )( )y y f x x x′− = −

4 9( 2)

4 9 18

9 14

y x

y x

y x

⇔ − = −⇔ − = −

⇔ = −

Với 0 02 0x y= − ⇒ =

pttt tại 02x = − là: 0 0 0

( )( )y y f x x x′− = −

0 9( 2)

9 18

y x

y x

⇔ − = +

⇔ = +

Vậy, hai tiếp tuyến cần tìm là: 9 14y x= − và 9 18y x= +

Câu b: Cho hàm số 4 22y x x= − , t.tuyến s.song với ∆:y = 24x.

34 4y x x′ = −

Vì tiếp tuyến song song với ∆:y = 24x nên có hsg k =24


Welcome

Rectangle


3 30 0 0 024 4 4 24 4 4 24 0 2k x x x x x= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ =

Với 0 02 8x y= ⇒ = và 3

0( ) (2) 4.2 4.2 24f x f′ ′= = − =

Vậy, pttt tại 02x = là: 0 0 0

( )( )y y f x x x′− = −

8 24( 2)

8 24 48

24 40

y x

y x

y x

⇔ − = −

⇔ − = −

⇔ = −

Câu c: 2 3

2 1

xy

x

+=

−, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

1

2y x=

2

8

(2 1)y

x

−′ =−

Vì tiếp tuyến vuông góc với ∆:1

2y x= nên có hsg k = –2

20 02

0

82 ( ) 2 2 (2 1) 4

(2 1)k f x x

x

−′= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ − =−

hoaëc 20 0 0 0

3 14 4 3 0

2 2x x x x⇔ − − = ⇔ = = −

Với 0 0

33

2x y= ⇒ =

pttt tại 0

3

2x = là: 0 0 0

( )( )y y f x x x′− = −

33 2( )

22 6

y x

y x

⇔ − = − −

⇔ = − +

Với 0 0

11

2x y= − ⇒ = −

pttt tại 0

1

2x = − là: 0 0 0( )( )y y f x x x′− = −

11 2( )

22 2

y x

y x

⇔ + = − +

⇔ = − −

Vậy, hai tiếp tuyến cần tìm là: 2 6y x= − + và 2 2y x= − −

Bài 4 : a.Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số: 3 23 1y x x= − + −

b.Dựa vào đồ thị ( )C biện luận số nghiệm phương trình 3 23 0x x m− + =


Đề số 22 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 3 23 1y x x= + + .


2. Viết pttt với ( )C tại điểm có hoành độ bằng 1

3. Tính diện tích h.phẳng giới hạn bởi ( )C và đường thẳng y = 1

Câu II (3,0 điểm): 1.Giải phương trình: 2 22.2 9.14 7.7 0x x x− + = .

2.Tính tích phân: 1

2 lne x xI dx

x

+= ∫

3.Tìm GTLN, GTNN của h.số 3 26 9y x x x= − + trên đoạn [2;5].

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a,

cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 060 . Tính thể tích khối chóp trên.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong kg Oxyz cho (2;0; 1), (1; 2; 3), (0;1;2)A B C− −

1.Viết phương trình mă�t phẳng (α) qua ba điê�m A, B, C. 2.Tìm hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O trên mặt phẳng (α) Câu Va (1,0 điểm): Tìm phần thực và phần ảo của: 35 4 (2 )z i i= − + −

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt

phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình:

( ) : 9 5 4 0P x y+ + + =z và

1 10

: 1

1 2

x t

d y t

z t

= + = + = − −

1.Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P).

2.Cho đường thẳng d1 có phương trình 2 2 3

31 5 1

x y z− − += =

−.

Chứng minh hai đường thẳng d và d1 chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và song song với đường thẳng d1.

Câu Vb (1,0 điểm): Tính giá trị của biểu thức 2 2(1 2) (1 2)P i i= − + +

---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle


Đề số 21 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 4 22 1y x x= − + + có đồ thị ( )C .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C .

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 2( 1) 22

mx − + =

Câu II (3,0 điểm): 1.Giải phương trình:

2 0,5log (4.3 6) log (9 6) 1x x− + − =


31

ln1

xI x dx

x

= + ∫

3.Tìm GTLN,GTNN của hàm số 342 sin sin

3y x x= − trên π[0; ] .

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Biết cạnh bên hợp với đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm SA.Tính thể tích của khối chóp M.ABC.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm

A(–2;1;–1), B(0;2; –1), C(0;3;0), D(1;0;1). 1.Viết phương trình đường thẳng BC. 2.Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D lập thành một tứ diện. Tính

thể tích tứ diện ABCD.

Câu Va (1,0 điểm): Tính 2 2(1 2) (1 2)P i i= − + +

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:

1 2

5 23 4

( ) : 1 ( ) ; ( ) :2 1 1

5

x tx y z

d y t t d

z t

= + + − = − ∈ = = − = −

�

1.Chứng minh 1 2d d� . Viết ptmp chứa

1 2,d d .

2.Tính khoảng cách giữa 1d và

2d .

Câu Vb (1,0 điểm): Tìm m để đồ thị của hàm số 2

( ):1

x x mCm y

x

− +=

−

(với 0m ≠ ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc nhau.


Bài giải Câu a: Thực hiện 9 bước giải như Bài 1a để có được đồ thị như sau

Câu b: 3 2 ( ) 3 2 3 23 0 3 3x x m x x m x x m∗− + = ⇔ − = − ⇔ − + =

3 23 1 1x x m⇔ − + − = − Số nghiệm của phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng : 1d y m= −

Ta có bảng kết quả

m m – 1 Số giao điểm của ( )C và d

Số nghiệm của phương trình (*)

m > 4 m – 1 > 3 1 1 m = 4 m – 1 = 3 2 2

0 < m < 4 – 1 < m – 1 < 3 3 3 m = 0 m – 1 = – 1 2 2 m < 0 m – 1 < – 1 1 1

Bài 5 : a.Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số: 4 23 1y x x= − + +

b.Tìm m để phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt: 4 23 0x x m− + =

Bài giải Câu a: Thực hiện 8 bước giải như Bài 1b để có được đồ thị dưới đây

Câu b: 4 2 (*)3 0x x m− + =

4 23 1 1x x m⇔ − + + = + Số nghiệm của phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng

: 1d y m= +

Dựa vào đồ thị phương trình (*) có 4

nghiệm phân biệt 13 9

1 1 04 4

m m⇔ < + < ⇔ < <


Welcome

Rectangle


Bài 6 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau đây trên đoạn đã chỉ ra: a. 3 28 16 9y x x x= − + − trên đoạn [1;3]

b. 2 4 ln(1 )y x x= − − trên đoạn [– 2;0]

Bài giải Câu a: Hàm số 3 28 16 9y x x x= − + − liên tục trên đoạn [1;3]

23 16 16y x x′ = − +

Cho (loaïi)

(nhaän)2

4

0 3 16 16 0 4

3

x

y x xx

=′ = ⇔ − + = ⇔ =

; ; 4 13( ) (1) 0 (3) 63 27

f f f= = = −

Vì 13

6 027

− < < nên ; ax[1;3] [1;3]

13min 6 m

27x xy y

∈ ∈= − =

Câu b: Hàm số 2 4 ln(1 )y x x= − − liên tục trên đoạn [– 2;0]

24 2 2 4

21 1

x xy x

x x

− + +′ = + =− −

Cho (nhaän)

(loaïi)2 1

0 2 2 4 02

xy x x

x

= −′ = ⇔ − + + = ⇔ =

; ; ( 1) 1 4 ln 2 ( 2) 4 4 ln 3 (0) 0f f f− = − − = − =

Vì 1 4 ln2 4 4 ln3 0− < − < nên ; ax[ 2;0] [ 2;0]min 1 4 ln2 m 0

x xy y

∈− ∈−= − =

III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TẠI LỚP 1. Bài tập về hàm số bậc ba Bài 7 : Cho hàm số: 3 – 3 1y x x= + , có đồ thị là ( )C

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b.Viết pttt với ( )C tại điểm thuộc ( )C có hoành độ bằng 2.

c.Biện luận số nghiệm của phương trình 3 – 3 1 0x x m+ + = . Bài 8 : Cho hàm số: 3 23 4y x x= − + − , có đồ thị là ( )C


b.Viết pttt với ( )C song song với đường thẳng d: 9 7y x= − +

c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và trục hoành.

Bài 9 : Cho hàm số: 3 3y x x= + , có đồ thị là ( )C





3

xy

x

−=

− + ( )C .


2. Viết pttt của ( )C tại giao điểm của ( )C với trục tung.


1. Giải bất phương trình: 3

3 5log 1

1

x

x

−≤

+

2. Giải phương trình sau đây trong tập số phức: 23 2 0z z− + =

3. Tính tích phân: 4 44

0(cos sin )I x x dx

π

= −∫

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a,

cạnh bên là 3a . Tính thể tích hình chóp S.ABCD II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình nâng cao Câu IVa (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

cong: 2ln , lny x y x= =

Câu Va (2,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0) , B(0;2;0) , C(0;0;3).

1.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm A,B,C. 2.Gọi (d) là đường thẳng qua C và vuông góc mặt phẳng (ABC).

Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (Oxy). B. Theo chương trình chuẩn Câu IVb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

cong: 2 3,y x x y x x= − = −

Câu Vb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0) , B(0;2;0) , C(0;0;3).

1.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm A,B,C. 2.Viết phương trình mặt cầu tâm O(0,0,0) tiếp xúc mặt phẳng

(ABC).

---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle



Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 3 212 3

3y x x x= − + có đồ thị ( )C


2. Biện luận số nghiệm của p.trình: 3 26 9 3 0x x x m− + − + =

Câu II (3,0 điểm): 1.Tìm GTLN, GTNN của 2

2 1

xy

x

−=

+ trên đoạn 1; 3


1

0

1

3xI x x e dx

= + ∫

3.Giải phương trình: 22 2

log (2 1). log (2 4) 3x x++ + =

Câu III (1,0 điểm): Một hình nón có đỉnh S, khoảng cách từ tâm O của

đáy đến dây cung AB của đáy bằng a, � 30SAO = � , � 60SAB = � . Tính độ dài đường sinh theo a.


Câu IVa (2,0điểm): Cho A(3;1;2) và 1

:1 1 1

x y z−∆ = =

− −

1.Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng ∆

2.Tìm toạ độ giao điểm N của ∆ và mp(P): 2 1 0x z− − = . Viết pt

đ.thẳng d nằm trong (P), biết d đi qua điểm N và vuông góc với ∆.

Câu Va (1,0 điểm): Tìm môđun của số phức: 1 3

2

iz

i

+=

+

B. Theo chương trình nâng cao

Câu IVb (2,0 điểm): Trong kg Oxyz, cho d: 1 2

2 2 1

x y z− += =

− và mặt

cầu (S): 2 2 2 4 2 4 7 0x y z x y z+ + − − + − = . Viết phương trình:

1.mp (P) chứa Ox và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 4. 2.Đ.thẳng ∆ đi qua tâm của (S), cắt và vuông góc với d.

Câu Vb (1,0 điểm): Cho hàm số 2 4 3

1

x xy

x

+ −=

+. Chứng minh rằng tích

các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị đến hai đường tiệm cận của nó luôn là một hằng số.

---------- Hết ----------


b.Viết pttt với ( )C tại điểm thuộc ( )C có hoành độ 0 1x = −

c. Tìm m để đ.thẳng : 4d y mx m= − + cắt ( )C tại 3 điểm pb.

Bài 10 : Cho hàm số: 3 23y x x= + , có đồ thị là ( )C


b.Tìm m để pt sau có ba nghiệm phân biệt: 3 23 2 0x x m+ − − = c.Tìm điểm thuộc đồ thị ( )C sao cho tiếp tuyến với ( )C tại điểm

này có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 11 : Cho hàm số: 3 2 1y x mx m= − + − , m là tham số.

a.Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi 3m = .

b.Viết pttt của ( )C vuông góc với đường thẳng d:1 1

3 3y x= −

c.Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm 2x = . 2. Bài tập về hàm số trùng phương

Bài 12 : Cho hàm số: 4 22y x x= −

a.Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b.Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C tại điểm cực đại của ( )C

c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và trục hoành.

Bài 13 :Cho hàm số: 4 22 3y x x= + −


b.Viết pttt của ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành.

c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C với trục hoành.

Bài 14 :Cho hàm số: 4 21 33

2 2y x x= − + có đồ thị ( )C .


b.Viết pttt với ( )C tại điểm thuộc ( )C có hoành độ 0

2x = .

c.Tìm m để pt sau có 4 nghiệm phân biệt 4 26 1 0x x m− + + =

Bài 15 :Cho hàm số: 2 2(1 ) 6y x= − − có đồ thị ( )C


b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 22 0m x x− + = c.Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24.

Bài 16 :Cho hàm số: 4 22 3y x x= − + + đồ thị ( )C

a.Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b.Tìm m để pt 4 22 0x x m− + = có bốn nghiệm phân biệt.


Welcome

Rectangle


3. Bài tập về hàm số nhất biến

Bài 17 :Cho hàm số: 2 1

1

xy

x

+=

− có đồ thị ( )C

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C hàm số.

b.Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.

c.Tìm m để ( )C cắt đ.thẳng d: ( 1) 3y m x= + + tại 2 điểm p.biệt.

Bài 18 :Cho hàm số: 3( 1)

2

xy

x

+=

− ( )C .


b.Viết pttt với ( )C tại giao điểm của ( )C với trục tung.

c.Tìm tất cả các điểm trên ( )C có toạ độ nguyên.

Bài 19 : Cho hàm số: 2 1

1

xy

x

+=

+ có đồ thị là ( )C .


b.Lập phương trình tiếp tuyến với ( )C , biết tiếp tuyến đó song

song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.


2

xy

x

−=

−

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b.CMR, với mọi giá trị của m , đường thẳng y x m= − luôn cắt

đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt.

Bài 21 : Cho hàm số: 3

1y

x=

+ có đồ thị là ( )C .


b.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C trục hoành và hai

đường thẳng 0, 2x x= = .

c.Viết pttt với đồ thị ( )C tại giao điểm của ( )C với trục tung.

4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài 22 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây

a. 3 2( ) 2 3 12 10f x x x x= − − + trên đoạn [3; – 3]

b. 5 4 3( ) 5 5 1f x x x x= − + + trên đoạn [–1; 2]

c. 2( ) ( 2 ) xf x x x e= − trên đoạn [0; 3] d. 2( ) ln(1 2 )f x x x= − − trên đoạn 2;0]−[

e. ( ) 2 ln( 1) 3 ln 2f x x x x= − + − trên đoạn [2;4]


Đề số 18 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 4 22 1.y x x= − +

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị( )C hàm số trên.

2. Tìm m để pt 4 22 0x x m− + + = có 4 nghiệm phân biệt. Câu II (3,0 điểm): 1. Giải phương trình: 4 2

log ( 3) log ( 7) 2 0x x+ − + + =


1

1

(1 )I dx

x x=

+∫

3. Tìm GTLN,GTNN của hàm số2

1

xy

x

−=

+ trên đoạn 0;2

Câu III (1,0 điểm): Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (1,5 điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểmM(1;2;0) và mặt

phẳng( ) : 2 3 0.x y zα + + + =

1.Viết pt mặt cầu( )S có tâm M và tiếp xúc mặt phẳng( ).α

2.Tìm toạ độ tiếp điểm giữa mặt cầu( )S và mặt phẳng( ).α

Câu Va (1,5 điểm):

1. Viết pttt ∆ của2

( ) :1

xC y

x

+=

− tại điểm có hoành độ 0

2.x =

2. Giải phương trình sau trong tập số phức: 3 8 0z − = B. Theo chương trình nâng cao. Bài IVb (1,5 điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểm (1; 2;3)M − và

đường thẳng 1 6 1

: .2 1 4

x y zd

+ − += =

1. Viết pt mặt cầu( )S có tâm M và tiếp xúc đường thẳng( ).d

2. Tìm toạ độ tiếp điểm giữa mặt cầu( )S và đường thẳng( ).d

Câu Vb (1,5 điểm):

1. Viết pttt của2 2

( )2

x xC y

x

+ +=

+: tại điểm có hoành độ bằng 1

2. Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 ( 1) 0z i z i− + + =


Welcome

Rectangle




2

x

xy

−−

= có đồ thị ( )C


2. Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 1 cắt ( )C tại 2,0 điểm pb.


1.Giải bất phương trình: ln 1 sin

222

log ( 3 ) 0e x x

π + − + ≥


0(1 sin )cosI x xdx

π

= +∫

3.Tìm GTLN,GTNN của hàm số x

x

ey

e e=

+ trên đoạn [ ln 2; ln 4 ]

Câu III (1,0 điểm): Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

1

2 2

( ) : 3

x t

d y

z t

= − = =

và 2

2 1( ) :

1 1 2

x y zd

− −= =

−.

1.Chứng minh rằng hai đường thẳng 1 2( ),( )d d vuông góc nhau

nhưng không cắt nhau.

2.Viết phương trình đường vuông góc chung của 1 2( ),( )d d .

Câu Va (1,0 điểm): Tìm môđun của số phức 31 4 (1 )z i i= + + −

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (1,0 điểm): Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục

hoành phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y = lnx, y=0, x = 2.

Câu Vb (2,0 điểm): Cho điểm A(3;2;1) và đường thẳng d:3

2 4 1

x y z += =

1.Viết pt đường thẳng (d’) qua A vuông góc với (d) và cắt (d). 2.Tìm điểm B đối xứng của A qua (d).

---------- Hết ----------


f. 3 2( ) 6 9f x x x x= − + trên đoạn [0; 4]

g.2 1

( )3

xf x

x

−=

− trên đoạn [0; 2]

Bài 23 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây

a. 3 22 sin 3 sin siny x x x= − − b. 22 sin 3 cos 2y x x= − −

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẠI NHÀ 1. Bài tập về hàm số bậc ba

Bài 24 :Cho hàm số: 3 21

3y x x= −


b.Viết pttt của ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 0.

Bài 25 : Cho hàm số: 3 22 3 1y x x= − − , đồ thị ( )C


b.Tìm toạ độ giao điểm của ( )C với đường thẳng d: 1y x= −

c.Dùng ( )C biện luận theo m số nghiệm pt: 3 22 3 0x x m− − =

Bài 26 : Cho hàm số: 3 23 2y x x= − + − , có đồ thị ( )C

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b.Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với ( )C tại điểm A(0; –2)

c.Biện luận theo m số giao điểm của ( )C và : 2d y mx= −

Bài 27 : Cho hàm số: 34 3 1y x x= − − , có đồ thị là ( )C


b.Tìm m để pt: 34 3 1x x m− − = có 3 nghiệm phân biệt. Bài 28 : Cho hàm số: 3 2 22 3( 1) 6 2y x m x mx m= − + + −

a.Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi 1m = .

b.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C , Ox , 1, 2x x= =

c.Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại x = 1. Khi đó, xác định giá trị cực trị của hàm số tại đó.

2. Bài tập về hàm số trùng phương Bài 29 :Cho hàm số: 2 42y x x= − có đồ thị ( )C .

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C .

b.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và trục hoành.

c.Dùng đồ thị ( )C hãy tìm điều kiện của k để phương trình sau

đây có 4 nghiệm phân biệt: 4 22 0 (*)x x k− + =


Welcome

Rectangle


Bài 30 :Cho hàm số: 4 2 ( 1)y x mx m= − − + có đồ thị ( )Cm

a.Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm ( 1; 4)M −

b.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi 2m = − .

c.Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi ( )C và trục hoành. Tính thể

tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay ( )H quanh trục hoành.

Bài 31 :Cho hàm số: 4 22y x mx= − + có đồ thị ( )Cm

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi 1m = .

b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C1) tại điểm ( 2; 0)A .

c.Xác định m để hàm số ( )Cm có 3 cực trị.

Bài 32 :Cho hàm số: 4 2 2(1 2 ) 1,y x m x m= − − + − m là tham số.

a.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại 1x = . Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số với m vừa tìm được.

b.Dùng đồ thị ( )C biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 24 8 3 0x x k− − − =

3. Bài tập về hàm số nhất biến

Bài 33 :Cho hàm số: 3

21

yx

= +−


b.Viết pttt với đồ thị ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành.

c.Tìm m để d: y x m= − + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt.


1

xy

x

− +=

+ có đồ thị ( )C .

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b.Tìm điểm M trên trục hoành mà tiếp tuyến đi qua M song song với đường thẳng d: y = – 2x


3

xy

x

+=

− có đồ thị ( )C .


b.Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C tại 3

1;2

A −

Bài 36 : Cho hàm số: 2

1

xy

x

−=

+ ( )C

a.Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b.Tìm m để đường thẳng d: 2y mx= + cắt cả hai nhánh của ( )H .


Đề số 16 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 3 23 1y x x= − + −


2. Viết pttt của ( )C biết nó vuông góc với 1

( ) : 20109

d y x= − .

Câu II (3,0 điểm): 1. Giải phương trình: 3 3

2 2log (25 1) 2 log (5 1)x x+ +− = + +

2. Tìm GTLN, GTNN của 3 22 3 12 2y x x x= + − + trên [–1;2]

3. Tính tích phân sau: 2220

sin 2[ ]

1 sin )

x xI e dx

x

π

= ++∫

Câu III (1,0 điểm): Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mp(BCD). Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho M(1; 2; –2), N(2 ; 0; –1)

và mặt phẳng (P): 3 2 1 0x y z+ + − = .

1. Viết pt mặt phẳng (Q) qua 2,0 điểm M, N và vuông góc (P). 2. Viết pt mặt cầu (S) tâm I(–1; 3; 2) và tiếp xúc mặt phẳng (P). Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có

phương trình: 3 3y x x= − và y x=

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho A(1;2; –2), B(2;0; –1)

và đường thẳng (d): 1 2

2 1 1

x y z− += =

−.

1. Viết pt mặt phẳng (P) qua 2,0 điểm A; B và song song với (d). 2. Viết pt mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với đường thẳng (d). Tìm

toạ độ tiếp điểm. Câu Vb (1,0 điểm): Tìm a để diện tích h.phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2 4 4

1

x xy

x

− + −=

−, tiệm cận xiên của nó và hai đường thẳng x = 2;

x = a (với a > 2) bằng 3. ---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle



Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 3 21 2

3 3y x mx x m= − − + + ( )Cm .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi m = 0.

2. Tìm m để ( )Cm đạt cực đại tại 02x =

Câu II.(3,0 điểm):

1. Tìm GTLN, GTNN của 4 28 16y x x= − + trên đoạn [–1; 3].

2. Tính tích phân 7 3

3 20 1

xI dx

x

=+

∫

3. Giải bất phương trình: 0,5

2 1log 2

5

x

x

+≤

+

Câu III (1,0 điểm): Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC), SA = a; AB = AC= b, � 60BAC °= . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz 1.Viết pt mặt cầu tâm I(–2;1;1) t.xúc với mp: 2 2 5 0x y z+ − + =

2.Tính khoảng cách giữa 2mp: ( ) : 4 2 12 0; ( ) : 8 4 2 1 0x y z x y zα β− − + = − − − = .

Câu Va(1,0 điểm): Giải phương trình: 4 23 4 7 0z z+ − = trên tập � . B. Theo chương trình nâng cao

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho d:1 1

2 1 2

x y z− += =

và hai m.phẳng ( ) : 2 5 0; ( ) : 2 2 0x y z x y zα β+ − + = − + + = .

Lập phương trình mặt cầu tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng ( ),( )α β .

Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các

hàm số: , 2 , 0y x y x y= = − =

---------- Hết ----------



1

xy

x

−=

− có đồ thị là ( )C .


b.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và hai trục toạ độ.

c.Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng: 3y x= − + và tiếp xúc với đồ thị ( )C

4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài 38 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây

a. 3 2( ) 3 9 2f x x x x= − + + + trên đoạn [–2; 2]

b. 3 2( ) 3 4f x x x= − − trên đoạn 12; 3

c. 2( ) 25f x x= − trên đoạn [– 4 ; 4]

d.4

( ) 12

f x xx

= − + −+

trên đoạn [– 1; 2]

e.2ln

( )x

f xx

= trên đoạn 31;e

f.ln

( )x

f xx

= trên đoạn 2;2

ee

g. 34( ) 2 sin sin

3f x x x= − trên đoạn 0;π

h. ( ) cos (1 sin )f x x x= + trên đoạn 0;2π

i. 2( ) (3 ) 1f x x x= − + trên đoạn [0; 2]

j. ( ) 2 sin sin 2f x x x= + trên đoạn 3

0;2

π[ ]

k. 24y x x= + −

l. 2( ) 2 5f x x x= + − m. cos 2 sin 3y x x= − +


Welcome

Rectangle


Ph�nPh�nPh�nPh�n II. PH��NG TRII. PH��NG TRII. PH��NG TRII. PH��NG TRÌNH ÌNH ÌNH ÌNH –––– B�T PH��NG TRÌNH M� B�T PH��NG TRÌNH M� B�T PH��NG TRÌNH M� B�T PH��NG TRÌNH M� –––– LÔGARITLÔGARITLÔGARITLÔGARIT I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Nhắc lại về công thức luỹ thừa

�� Cho a > 0, b > 0 và m,n ∈ R. Khi đó,

( ).

1 1

nm n m n m mn

mmnm n m n

n

n n

n n

a a a a a

aa a a

a

a aa a

+

−

−−

= =

= =

= =

i i

i i

i i

( ) .n n n

n n

n

n n

ab a b

a a

b b

a b

b a

−

=

=

=

i

i

i

�� M Na a M N= ⇔ = (với a > 0) �� Nếu a > 1 thì m na a m n> ⇔ > (hàm số mũ xy a= ĐB)

�� Nếu 0 < a < 1 thì m na a m n> ⇔ < (hàm số mũ xy a= NB)

2. Nhắc lại về công thức lôgarit �� Với các ĐK thích hợp ta có

�� logab a bαα= ⇔ = �� log 1 0

a=

�� log 1aa = �� log

aaα α=

�� log

ab

a b= �� log loga ab bα α=

�� 1

log logaa

b bαα

= �� log logn

maa

mb b

n=

�� log log loga a am n m n= +. �� log log log

a a a

mm n

n= −

�� log

loglog

ca

c

bb

a= ��

1log

logab

ba

=

�� log loga aM N M N= ⇔ = (với a > 0)

�� Nếu a > 1 thì log loga aM N M N> ⇔ > (hàm số lôgarit ĐB)

�� Nếu 0 < a < 1 thì log loga aM N M N> ⇔ < (hàm số lôgarit NB)

3. Phương trình mũ a. Phương pháp đưa về cùng cơ số

M Na a M N= ⇔ = b. Phương pháp đặt ẩn số phụ Đặt xt a= (với điều kiện t > 0), thay vào pt để biến đổi pt theo t Giải pt tìm t, rồi đối chiếu với ĐK t > 0




1

x

xy

+−

= có đồ thị ( )C


2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C đi qua điểm M(1; 8)

Câu II (3,0 điểm): 1. Giải bất phương trình: 13 3 2x x−− =


0sin 2 ( cos 2 )I x x x dx

π

= +∫

3. Giải phương trình: 2 4 7 0z z− + = trên tập số phức. Câu III (1,0 điểm): Một hình trụ có bán kính đáy R = 2, chiều cao

2h = . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục của hình trụ. Tính cạnh của hình vuông đó.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

M(1;0;5) và (P):2 3 1 0x y z− + + = , (Q): 5 0x y z+ − + = .

1. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q). 2. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua giao tuyến (d) của (P)

và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (T):3 1 0x y− + = .

Câu Va (1,0 điểm): Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi parabol 2 2y x x= − + và trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo

thành khi quay hình ( )H quanh trục hoành.

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường

thẳng (d):3 1 3

2 1 1

x y z+ + −= = và (P): 2 5 0x y z+ − + = .

1.Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). 2.Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). 3.Viết phương trình đường thẳng ( )∆ là hình chiếu của đường

thẳng (d) lên mặt phẳng (P).

Câu Vb (1,0 điểm): Giải hệ phương trình sau: 22

2

4 . log 4

log 2 4

y

y

x

x

−

−

= + =


Welcome

Rectangle




2

4

xy a bx= + − (1)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi a = 1 và b = 2. 2.Tìm a,b để hàm số (1) đạt cực trị bằng 5 khi x = 2. Câu II (3,0 điểm):

1.Giải bất phương trình: 23 3 6 0x x− − ≥


0

1

4 1

xI dx

x

+=

+∫

3.Tìm GTLN, GTNN của 3 2( ) 2 3 12 1f x x x x= + − + trên 1; 3 − .

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh AB = a,

góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 060 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai

điểm A(1;–2;1), B(–3;1;3). 1.Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. 2.Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu

vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (Oyz).

Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trìnhb 4 24 15 4 0z z+ − = trên tập � B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho bốn

điểm A(3;–2;–2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(–1;1;2). 1.Viết phương trình mặt phẳng (BCD). 2.Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là A và tiếp xúc với

mp(BCD). Tìm toạ độ tiếp điểm của mp(BCD) với mặt cầu (S). Câu Vb (1,0 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức

2( 2 ) 6( 2 ) 13 0z i z i+ − − + − + = .

---------- Hết ----------


Nếu có t > 0 thì thay ngược lại xt a= để tìm x và kết luận c. Phương pháp lôgarit hoá Lấy lôgarit 2 vế pt đưa pt về dạng đơn giản hơn

4. Phương trình lôgarit a. Phương pháp đưa về cùng cơ số

0log log

a a

MM N

M N

>= ⇔ =

b. Phương pháp đặt ẩn số phụ Đặt log

at x= , thay vào pt để biến đổi pt theo t

Giải pt tìm t, sau đó thay vào loga

t x= để tìm x.

c. Phương pháp mũ hoá Mũ hoá 2 vế của pt với cơ số hợp lý đưa về pt đơn giản hơn.

5. Bất phương trình mũ Cũng có các cách giải như cách giải phương trình mũ, lôgarit.


Bài 1 : Giải các phương trình sau đây:

a.2 35 625x x+ = b.

2 3 62 16x x− − = c. 12 .5 200x x+ = Bài giải

Câu a: 2 23 3 4 2 25 625 5 5 3 4 3 4 0x x x x x x x x+ += ⇔ = ⇔ + = ⇔ + − =

hoaëc 1 4x x⇔ = = − Vậy, pt có 2 nghiệm: vaø 1 4x x= = −

Câu b: 2 23 6 3 6 4 2 22 16 2 2 3 6 4 3 10 0x x x x x x x x− − − −= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ − − =

hoaëc 5 2x x⇔ = = − Vậy, pt có 2 nghiệm: vaø 5 2x x= = −

Câu c: 12 .5 200 2.2 .5 200 10 100 2x x x x x x+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = Vậy, pt có nghiệm duy nhất: x = 2

Bài 2 : Giải các phương trình sau đây: a.9 10.3 9 0x x− + = b.25 3.5 10 0x x+ − = c. 32 2 2 0x x−− − = d.6.9 13.6 6.4 0x x x− + =

Bài giải Câu a: 29 10.3 9 0 3 10.3 9 0x x x x− + = ⇔ − + =

Đặt 3xt = (ĐK: t > 0), phương trình trở thành:

(nhaän)

(nhaän)2 1

10. 9 09

tt t

t

=− + = ⇔ =


Welcome

Rectangle


1 3 1 0xt x= ⇔ = ⇔ = 9 3 9 2xt x= ⇔ = ⇔ = Vậy, phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 0 và x = 2.

Câu b: 225 3.5 10 0 5 3.5 10 0x x x x+ − = ⇔ + − = Đặt 5xt = (ĐK: t > 0), phương trình trở thành:

(loaïi)

(nhaän)2 5

3. 10 02

tt t

t

= −+ − = ⇔ =

52 5 2 log 2xt x= ⇔ = ⇔ =

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: 5

log 2x =

Câu c: 3 282 2 2 0 2 2 0 (2 ) 2 8 0

2

x x x x x

x

−− − = ⇔ − − = ⇔ − − =

Đặt 2xt = (ĐK: t > 0), phương trình trở thành:

(nhaän)

(loaïi)2 4

2. 8 02

tt t

t

=− − = ⇔ = −

4 2 4 2xt x= ⇔ = ⇔ = Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 2.

Câu d: 6.9 13.6 6.4 0x x x− + = . Chia 2 vế của pt cho 4x ta được: 2

9 6 3 36. 13. 6 0 6. 13. 6 0

4 4 2 2

x x x x − + = ⇔ − + =

Đặt 3

2

x

t =

(ĐK: t > 0), phương trình trở thành:

(nhaän)

(nhaän)

2

3

26 13. 6 02

3

tt t

t

=− + = ⇔ =

3 3 3

12 2 2

x

t x = ⇔ = ⇔ =

12 3 2 3 3

13 2 3 2 2

x x

t x

− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = −

Vậy, phương trình đã cho có 2 nghiệm: 1x = ±



Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 2 3

( )1

xy f x

x

+= =

−.

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho.

2.Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó song

song với đường thẳng y = 5x – 1 Câu II (3,0 điểm): 1. Tìm GTLN,GTNN của hàm số: cos2 – 1y x= trên đoạn [0; π].

2. Giải bất phương trình: 22

log ( 1) log (5 ) 1x x− > − +


1

ln 1. lne

x xI dx

x

+= ∫

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh BC = 2a, SA = a, SA ⊥ mp(ABCD), SB hợp với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai

đường thẳng: 1 2

1 1 2 2

1 2

1 2 2 3

( ) : 3 ( ) : 1

1 2 2

x t x t

y t y t

z t z t

= + = + ∆ = − ∆ = − = − = − +

;

1. Chứng tỏ hai đường thẳng (∆1) và (∆2) chéo nhau.

2. Viết PT mặt phẳng (α) chứa (∆1) và song song với (∆2).

Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình trên tập số phức: z4 + z2 – 12 = 0 B. Theo chương trình nâng cao

Câu IVb (2,0 điểm): Cho 1 1

:2 1 2

x y zd

− += =

−.

1. Viết ptđt (∆) nằm trong (Oxy), vuông góc với (d) và cắt (d).

2. Viết PT mp(α) chứa (d) và hợp với (Oxy) một góc bé nhất. Câu Vb (1,0 điểm): Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức

2 (1 5 ) 6 2 0z i z i− + − + = .

---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle



Câu I (4,0 điểm): Cho ( )C hàm số: 3 23 4x xy + −= có đồ thị ( )C

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C

2.Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.

3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và trục hoành.



2

0

4I x dx= −∫

2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 3

3 2

xy

x

+=

− trên đoa�n [2; 3].

Câu III (1,0 điểm): Cho hình lăng trụ .ABC A B C′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A′ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên ( )AA C C′ ′ tạo với

đáy một góc bằng 45� . Tính thể tích của khối lăng trụ này. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho ba điê�m A(–1;1;2),

B(0;1;1), C(1;0;4).

1.Chứng minh ∆ABC vuông. Viết PT tham số của cạnh BC.

2.Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C và O.

Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình: 2 1 0z z− + = trên � B. Theo chương trình nâng cao

Câu IVb (2,0 điểm): Cho(d):

1 2

2

1

x t

y t

z

= + = = −

và (P): 2 2 1 0x y z+ − − = .

1.Viết pt m.cầu có tâm thuộc (d), bán kính bằng 3 và tiếp xúc (P). 2.Viết phương trình đường thẳng (∆ ) qua M(0;1;0), nằm trong

(P) và vuông góc với đường thẳng (d). Câu Vb (1,0 điểm): Trên tập số phức, tìm B để phương trình bậc hai

2 0z Bz i+ + = có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i− ---------- Hết ----------


Bài 3 : Giải các phương trình sau đây:

a. 2 4 8log log log 11x x x+ + = b.5 25 0,2

log log log 3x x+ =

c. 22 2

log log 6 0x x− − = d. 22 2

4 log log 2x x+ =

e. 23 3

3 log 10 log 3x x= − f. 2ln( 6 7) ln( 3)x x x− + = −

Bài giải Câu a:

2 4 8log log log 11 (1)x x x+ + = .

Điều kiện: x > 0 Ta có, 2 32 2 2

(1) log log log 11x x x⇔ + + =

(nhaän)

2 2 2

2 2

6

1 1log log log 11

2 311

log 11 log 66

2 64

x x x

x x

x

⇔ + + =

⇔ = ⇔ =

⇔ = =

Vậy, pt có nghiệm duy nhất x = 64.

Câu b: 5 25 0,2

1log log log (2)

3x x+ = .

Điều kiện: x > 0

Ta có, ( )2 1

1

5 5 5(2) log log log 3x x −

−⇔ + =

( )

( ) (nhaän)

5 5 5 5 5

2

35 5 5 5

2

33

1 3log log log 3 log log 3

2 2

2log log 3 log log 3

3

3 3

x x x

x x

x

⇔ + = ⇔ =

⇔ = ⇔ =

⇔ = =

Vậy, pt có nghiệm duy nhất 3 3x = .

Câu c: 22 2

log log 6 0x x− − = .

Điều kiện: x > 0 Đặt

2logt x= , phương trình trở thành

(n)

(n)

32 2

22

3 log 3 2 86 0

2 log 2 2 4

t x xt t

t x x

= = = = − − = ⇔ ⇔ ⇔ = = = =

Vậy, pt có 2 nghiệm: x = 4 và x = 8.


Welcome

Rectangle


Câu d: 22 2

4 log log 2 (4)x x+ =

Điều kiện: x > 0 1

2

2 22 2 2

2

(4) 4 log log 2 4 log 2 log 2 0x x x x⇔ + = ⇔ + − =

Đặt 2logt x= , phương trình trở thành

(n)

(n)

12

21

2 2

11 log 1 2

24 2 2 0 1 1log

2 2 2 2

t x xt t

t xx

− = − = − = = + − = ⇔ ⇔ ⇔ = = = =

Vậy, pt có 2 nghiệm: 1

2x = và 2x = .

Câu e: 23 3

3 log 10 log 3 (5)x x= −

Hướng dẫn: đặt 3

logt x=

Đáp số: ; 327 3x x= =

Câu f: (6)2ln( 6 7) ln( 3)x x x− + = −

Điều kiện: 2 6 7 0

3 0

x x

x

− + > − >

(loaïi)

(6) (nhaän)

2 2 26 7 3 7 10 0

5

xx x x x x

x

=⇔ − + = − ⇔ − + = ⇔ =

Vậy, phương trình có duy nhất nghiệm: x = 5 Bài 4 : Giải các bất phương trình sau đây:

a.26 3 77 49x x+ − ≤ b.

2 7 23 9

5 25

x x− + + >

c.22 7 11(0,5) 16x x− − + ≥ d.4 3.2 2 0x x− + <

Bài giải Câu a:

2 26 3 7 6 3 7 2 27 49 7 7 6 3 7 2x x x x x x+ − + −≤ ⇔ ≤ ⇔ + − ≤ 26 3 9 0x x+ − ≤

Bảng xét dấu: cho VT = 0 1; 3x x⇔ = = −

x –∞ –3 1 +∞ 26 3 9x x+ − + 0 – 0 +

Vậy, bpt có tập nghiệm S = [–3;1]




1

xy

x

+=

− (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 2. Viết pttt của đồ thị hàm số (1) tại giao điểm của đồ thị và Ox. 3. Tìm m để đường thẳng d: y = mx +1 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai

điểm phân biệt. Câu II (3,0 điểm): 1. Giải phương trình: 13 3 4.x x−+ = (2) 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đây trên

đoạn 1;e

e

: 2. lny x x=


lne

I x xdx= ∫

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), ∆ABC đều cạnh a, SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Dành cho thí sinh học theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;1),

B(1;2;4), C(–1; 3; 1). 1. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB. 2. Tìm toạ độ điểm M trên Oy sao cho M cách đều hai điểm B và C.

Câu Va (1,0 điểm): Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường xy xe= ,

2x = và y=0. Tính thể tích của vật thể tròn xoay có được khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox.

B. Dành cho thí sinh học theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 2; 4),

B(4;0;4), C(4; 2; 0), D(4; 2; 4). 1. Lập phương trình mặt cầu đi qua A,B,C,D. 2. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).

Câu Vb (1,0 điểm): Parabol có phương trình y x=2 2 chia diện tích hình

tròn x y+ =2 2 8 theo tỉ số nào?

---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle




1

xy

x

−=

−


2. Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m đường thẳng (d):y x m= − + luôn cắt ( )C tại 2,0 điểm phân biệt.


1. Tính 240

cos

(1 sin )

xI dx

x

π

=+

∫

2. Giải phương trình: 2ln ln 2 0x x− − = .

3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 24y x= − .

Câu III (1,0 điểm): Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh AB = a, góc

giữa mặt bên và mặt đáy bằng 060 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

(P): 2 2 1 0x y z+ − + = và hai điểm A(1; 7; –1), B(4; 2; 0).

1. Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng AB. 2. Viết pt đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của AB lên (P).

Câu Va (1,0 điểm): Tìm số phức z biết: 2(2 3 ) (1 ) 4 5i z i i− − + = +

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương

trình: 2 2 2( ) : 2 4 4 3 0S x y z x y z+ − + + − = + và 2 đường thẳng:

(d1): 1

1 1 1

x y z−= =

−, (d2):

2 2

1

x t

y t

z t

= + = − = +

1. Chứng minh d1, d2 chéo nhau. 2. Viết pt tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó song song với d1 và d2. Câu Vb (1,0 điểm): Viết số phức z = 1 + i dưới dạng lượng giác rồi tính

15(1 )i+ .

---------- Hết ----------


Câu b:

2 27 2 7 2 223 9 3 3

7 2 25 25 5 5

x x x x

x x

− + + − + + > ⇔ > ⇔ − + + <

2 7 0x x⇔ − + < Bảng xét dấu: cho VT = 0 0; 7x x⇔ = =

x –∞ 0 7 +∞ 2 7x x− + – 0 + 0 –

Vậy, bpt có tập nghiệm S = (–∞;0)∪(7;+∞)

Câu c: 2 2 22 7 11 2 7 11 4 2 7 11 41

(0,5) 16 ( ) 2 2 22

x x x x x x− − + − − + + −≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

2 22 7 11 4 2 7 15 0x x x x⇔ + − ≥ ⇔ + − ≥

Bảng xét dấu: cho VT = 0 3

5;2

x x⇔ = − =

x –∞ –5 3

2 +∞

22 7 15x x+ − + 0 – 0 +

Vậy, bpt có tập nghiệm [3

( ; 5] ; )2

S = −∞ − ∪ +∞

Câu d: 4 3.2 2 0x x− + < Đặt 2xt = (ĐK: t > 0), bpt trở thành

2 3 2 0t t− + < Bảng xét dấu: cho VT = 0 1; 2t t⇔ = =

t –∞ 1 2 +∞ 2 3 2t t− + + 0 – 0 +

Như vậy, 1 2 1 2 2 0 1xt x< < ⇔ < < ⇔ < < Vậy, tập nghiệm của bpt là S = (0;1)

Bài 5 : Giải các bất phương trình sau đây: a. 3log (4 3) 2x − < b. 2

0,5log ( 5 6) 1x x− + ≥ −

c. 21 1

3 3

log (2 4) log ( 6)x x x+ ≤ − − d. 2lg(7 1) lg(10 11 1)x x x+ ≥ − +

Bài giải Câu a:

3log (4 3) 2x − <

Điều kiện: 3

4 3 04

x x− > ⇔ >


Welcome

Rectangle


3log (4 3) 2 4 3 9 3x x x− < ⇔ − < ⇔ <

Kết hợp với ĐK ta nhận các giá trị 3

34

x< <

Vậy, bpt có tập nghiệm 3( ;3)4

S =

Câu b: 20,5

log ( 5 6) 1x x− + ≥ −

Điều kiện: hoaëc 2 5 6 0 2 3x x x x− + > ⇔ < >

2 2 10,5

log ( 5 6) 1 5 6 (0, 5)x x x x −− + ≥ − ⇔ − + ≤ 2 5 4 0 1 4x x x⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

Kết hợp với ĐK ta nhận các giá trị: 1 2

3 4

x

x

≤ < < ≤

Vậy, tập nghiệm của bpt là [1;2) (3; 4]S = ∪

Câu c: 21 1

3 3

log (2 4) log ( 6)x x x+ ≤ − −

Điều kiện: hoaëc 2 2 36 0

322 4 0

x xx xx

xx

< − >− − > ⇔ ⇔ > > −+ >

2 2

1 1

3 3

log (2 4) log ( 6) 2 4 6x x x x x x+ ≤ − − ⇔ + ≥ − −

2 3 10 0 2 5x x x⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Kết hợp với ĐK ta nhận các giá trị: 3 5x< ≤

Vậy, tập nghiệm của bpt là (3;5]S =

Câu d: 2 2lg( 2) lg(2 5 2)x x x+ ≥ − +

Điều kiện: hoaëc hieån nhieân

2

2

2 5 2 0 12

21 0 :

x xx x

x

− + > ⇔ < > + >

2 2 2 2lg( 2) lg(2 5 2) 2 2 5 2x x x x x x+ ≥ − + ⇔ + ≥ − +

2 5 0 0 5x x x⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤

Kết hợp với ĐK ta nhận các giá trị: hoaëc 1

0 2 52

x x≤ < < ≤

Vậy, tập nghiệm của bpt là 1

[0; ) (2;5]2

S = ∪



Câu I (4,0 điểm): Cho hàm số 3 3 2y x mx= + + có đồ thị ( )Cm . 1. Khảo sát vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi m = –1.

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C với trục hoành và các

đường thẳng x = –1, x = 1. 3. Xác định m để đồ thị ( )Cm có cực trị.


1.Giải phương trình: 2.4 5.2 2 0x x− + =

2.Tính tích phân I = 1

21

2 1

1

xdx

x x−

+

+ +∫

Câu III (1,0 điểm): Cho khối chóp đều S.ABC cạnh đáy AB = a, góc giữa

cạnh bên và mặt đáy là 60o . Tính thể tích khối chóp theo a. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3,0 điểm

A(2;0;0), B(0;1;0); C(0;0;3). 1.Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 2.Viết phương trình mặt cầu có tâm là gốc toạ độ, tiếp xúc với mặt

phẳng (ABC).

Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình trên tập số phức: 2 1 0z z+ + = . B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm

A(1, 0, 0) ; B(0, 1, 0) ; C(0, 0, 1) ; D(–2, 1, 2). 1.Chứng minh ABCD là một tứ diện. Tính thể tích của nó. 2.Tính độ dài đường cao hạ từ A của khối chóp ABCD.

Câu Vb (1,0 điểm): Viết dạng lượng giác số phức 1 3z i= + .

---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle



Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 4 22 1x xy − += ( )Cm

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

2. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi ( )C và trục hoành quanh trục hoành.

Câu II (3,0 điểm):1. Giải phương trình: 2 1 13 8.6 4 0x x x+ +− + =

2. Tính tích phân: 1(ln 1)

e

I x dx= +∫

3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số lny x x= −

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình

bình hành với AB = a, BC = 2a và � 60ABC = � ; SA vuông góc với đáy và SC tạo với đáy góc α .

1. Tính độ dài của cạnh AC. 2. Tính theo a và α thể tích của khối chóp S.ABCD. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3,0 điểm

A(2;0; 1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng ( ) : 2 0x y zα + + − = .

1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (α ).

2. Viết phương trình mặt cầu (S) qua 3,0 điểm A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (α)

Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình 2 2 8 0z z− + = trên tập số phức. B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Cho hình hộp chữ nhật 1 1 1 1

.ABCDABC D có các

cạnh 1AA a= , AB = AD = 2a. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm

các cạnh AB, AD, AA1.

1. Tính theo a khoảng cách từ 1

C đến mặt phẳng (MNK).

2. Tính theo a thể tích của tứ diện 1

C MNK .

Câu Vb (1,0 điểm): Tính giá trị của biểu thức: 2 4 101 (1 ) (1 ) ... (1 )M i i i= + + + + + + +

---------- Hết ----------GV: GV: GV: GV: D��ng Ph��c SangD��ng Ph��c SangD��ng Ph��c SangD��ng Ph��c Sang 23 TN.THPT.2010TN.THPT.2010TN.THPT.2010TN.THPT.2010

III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TẠI LỚP Bài 6 : Giải các phương trình sau đây

a.9 10.3 9 0x x− + = b.2.16 15.4 8 0x x− − =

c. 9log 24 3.2 9 0x x− + = d. 6 33. 2 0x xe e− + =

e. 33 3 12x x−+ = f. 2 6 72 2 17x x+ ++ = g. 1 3 21 3.2 2 0x x− −− + = h.5.4 2.25 7.10 0x x x+ − = i. 64 8 56 0x x− − = j.3.4 2.6 9x x x− = k. 17 2.7 9 0x x−+ − = l. 2 22 9.2 2 0x x+ − + = m. 2 13 9.3 6 0x x+ − + = n.9 4.3 45 0x x− − =

o. 21.5 5.5 250

5x x+ = p.4.9 12 3.16 0x x x+ − =

Bài 7 : Giải các phương trình sau đây a. 4 2 12 2 5 3.5x x x x+ + ++ = + b. 2 5 2 32 2 12x x+ ++ =

c. 2 1 23 3 108x x− + = d. 2 25 7 5 .17 7 .17 0x x x x− − + =

e. 2 8 1 32 4x x x− + −= f.

2 56

22 16 2x x− −

=

g. 4 8 2 53 4.3 27 0x x+ +− + = h. 7 1 2(0, 5) .(0, 5) 2x x+ − = Bài 8 : Giải các phương trình sau đây

a. 2lg( 6 5) lg(1 ) 0x x x− + − − = b. 17

27

log ( 2) log (8 ) 0x x+ + − =

c. 13

3log (2 7) log ( 5) 0x x− + + = d.2 4 8

11log log log

3x x x+ + =

e. 22 2

log 5 log 4 0x x− + = f. 2 2lg 3 lg lg 4x x x− = −

g.2

5log 2 log

2xx+ = h. 2

5 5log 4 log 3 0x x− + =

i. 2ln( 2 4) ln(2 )x x x− − = − j. 3 3log log4 5.2 4 0

x x− + =

Bài 9 : Giải các bất phương trình sau đây

a. 2 6 72 2 17x x+ ++ > b. 2 –3 25 – 2.5 3x x− ≤

c. 4 2 3x x> + d. 4 2 –22.16 – 2 – 4 15x x x ≤

e.5.4 2.25 7.10x x x+ ≤ f. 14

4 16 2 log 8x x+ − ≥

Bài 10 : Giải các bất phương trình sau đây a.

2 2log ( 5) log (3 – 2 ) – 4x x+ ≤ b.

4 4log ( 7) log (1 – )x x+ >

c. 8 8

22 log ( 2) – log ( 3)

3x x− − > d.

1

3

3 1log 1

2

x

x

−>

+


Welcome

Rectangle


e. 22 2

log log 0x+ ≤ f.1

3

5log log 3 –

2xx >

Bài 11 : Tính giá trị biểu thức 5 3 8

1 4

log 3 log 6 3 log 981 27 3A = + +

Bài 12 : Tính 5 4 8

41

log 4 log 9 3 log 516 8 5B = + +

Bài 13 : Biết 2log 14 a= , tính 56

log 32 theo a

Bài 14 : Tính 30

log 8 theo a và b, biết 30 30

log 3 ; log 5a b= =

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 15 : Giải các phương trình sau đây

a.9 3 6 0x x− − = b.2.25 5 1 0x x+ − =

c. 9 2.3 15 0x x+ − = d. 27 8.7 7 0x x+ + =

e. 2 12 2 6x x+ − = f. 2 16 13.6 2 0x x+ + + =

g. 13 (3 30) 27 0x x+ − + = h. 2 4 15 – 110.5 – 75 0x x+ + =

i. 2 3 25 5 20x x−− = j. 2 4 2 59 4.3 27 0x x+ +− + =

k. 4.9 12 3.16 0x x x+ − = l.(2 3) (2 3) 4 0x x+ + − − =

m.64 8 56 0x x− − = n. 2 1 23 3 108x x− + =

o.( )1

5 7 21, 5

3

xx

+− =

p. 2 24. 3x xe e−− =

Bài 16 : Giải các phương trình sau đây a. 3 9 27log log log 11x x x+ + = b. 2

3 3log 6 log 9 0x x− + =

c. 2log 2 log 2x

x+ = d. 2lg lg 2 0x x− − =

e.55

log ( 2) log (4 5)x x+ = + f. 12

22

log ( ) log (6 2 ) 0x x x+ + + =

g. 23

log ( 8 ) 2x x− = h.3

log log 9 3x

x + =

i. 222

log 3. log 2 0x x− + = j. 20,5 2

log log 2x x+ =

Bài 17 : Giải các phương trình sau đây a.

2 2log ( 5) log ( 2) 3x x− + + =

b. 23 3

log ( 5) log (2 5)x x x− − = +

c. 4 3lg lg(4 ) 2 lgx x x+ = + d.

5 5 5log log ( 6) log ( 2)x x x= + − +



Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 4 22 3y x x+ −= − .


2. Tìm m để phương trình: 4 22 mx x+ =− có đúng bốn nghiệm phân biệt.


1.Giải bất phương trình: 20,1 0,1

log ( 2) log ( 3)x x x+ − > + .

2.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 3

( )1 3

xf x

x

−=

− trên đoạn [1; 4].


0( sin )cosI x x xdx

π

= +∫

Câu III (1,0 điểm): Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt

bên và mặt đáy bằng 045 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A

thoả 2 2OA i j k= − + −��

và mặt phẳng ( ) : 2 5 0P x y z− + − = .

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).

2.Tìm toạ độ điểm A′ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).

Câu Va (1,0 điểm): Tìm môđun của số phức 32 3 (1 )z i i= − + + . B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A

thoả mãn hệ thức 4 3OA i j k= + −��

(1; 4; –3) và đường thẳng d có

phương trình: 3 3

2 1 2

x y z− += =

1. Hãy tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên d. 2. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d.

Câu Vb (1,0 điểm): Viết dạng lượng giác của số phức 1 3z i= + .

---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle


Đề số 5 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm):

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 4 22y x x= − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

2. Dựa vào đồ thị ( )C , hãy biện luận theo m số nghiệm của phương

trình 4 22 0x x m− + = Câu II (3,0 điểm):


sin

cos

xI dx

x

π

= ∫

2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 2 5y x x= + + trên

đoạn 3;0 − .

3. Giải phương trình: 14 9.2 2 0x x+ − + = . Câu III (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường

thẳng 1 1

2 1 2

x y zd

− += =: và mặt phẳng ( )2 3 4 0P x y z+ − − =:

1. Tìm toạ độ giao điểm của d và mặt phẳng ( )P .

2. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P .

II. PHẦN RIÊNG (2,0 điểm): A. Theo chương trình cơ bản

Câu IVa (1,0 điểm): Viết pttt với đồ thị hàm số 2 2 2

1

x xy

x

− +=

−, biết

tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 3

: 20104

d y x= +

Câu Va (1,0 điểm): Cho hình chóp đều .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối chóp theo a.

B. Theo chương trình nâng cao

Câu IVb (1,0 điểm): Cho 3z i= + . Tìm dạng lượng giác của 2z . Câu Vb (1,0 điểm): Cho hình chóp đều .S ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a.

---------- Hết ----------


e.5 5 5

1. log 3 log (3 2) log (3 4)x xx ++ − = −

f.2 2

1log log ( 1)( 4) 2

4

xx x

x

−+ − + =

+


a. 2

3 9x x− < b.2 2 3 0x x−+ − <

c.

22 37 9

9 7

x x− ≥ d. 4 3.2 2 0x x− + >

e. 2 13 3 28x x+ −+ ≤ f. 2 32 4x x− + <


a. 1 12 2

2log (5 10) log ( 6 8)x x x+ < + +

b.2 2

log ( 3) log ( 2) 1x x− + − ≤

c.1 1

2 2

log (2 3) log (3 1)x x+ > +

d. 1 1

5 5

log (3 5) log ( 1)x x− > +

e.3 3

log ( 3) log ( 5) 1x x− + − <

Bài 20 : Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:

a. 33( 1)y x −= − b. 2 2( 4 3)y x x −= − +

c. 4

2

log 3y

x=

− d.

2

2log ( 2 2)y x x= − +


Welcome

Rectangle


Ph�nPh�nPh�nPh�n III. NGUYÊN HÀM III. NGUYÊN HÀM III. NGUYÊN HÀM III. NGUYÊN HÀM –––– TÍCH PHÂNTÍCH PHÂNTÍCH PHÂNTÍCH PHÂN I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Các công thức nguyên hàm

11

2

1. .

( )1. ( ) .

1 11 1 ln. ln .

1 1 2. 2 .

1.

dx x C a dx ax C

ax bxx dx C ax b dx C

a

ax bdx x C dx C

x ax b a

ax bdx x C dx C

ax ax b

x

ααα α

α α

++

= + = +

+= + + = ⋅ +

+ ++

= + = ++

+= + = +

+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

i i

i i

i i

i i

i

2

1 1 1 1.

( )

. .

sin( )cos . sin cos( ).

cossin . cos sin( ).

ax bx x ax b

dx C dx Cx a ax bax b

ee dx e C e dx C

aax b

x dx x C ax b dx Ca

x dx x C ax b dx

++

= − + = − ⋅ +++

= + = +

+= + + = +

= − + + = −

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

i

i i

i i

i i

2 2

2 2

( )

tan( )1 1. tan .

cos cos ( )cot( )1 1

. cot .sin sin ( )

ax bC

aax b

dx x C dx Cax ax b

ax bdx x C dx C

ax ax b

++

+= + = +

++

= − + = − ++

∫ ∫

∫ ∫

i i

i i

2. Công thức tích phân Với ( )F x là 1 nguyên hàm của hàm số ( )f x trên đoạn [a;b] thì

( ) ( ) ( ) ( )b

a

bf x dx F x F b F a

a= = −∫

3. Phương pháp đổi biến số Các cách đổi biến thông dụng:

Gặp ( )

( )

f x

g x, ta thường đặt ( )t g x= (mẫu thức)

Gặp ( )f xe , ta thường đặt ( )t f x= (phần mũ)

Gặp ( )f x trong dấu ngoặc ( ), ta đặt ( )t f x= (trong ngoặc)

Gặp ( )f x hoặc ( )n f x , ta thường đặt ( )t f x= (dấu căn)



Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 3 23 1xy x= − + − có đồ thị ( )C

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C

2.Viết pttt với đồ thị ( )C tại điểm 0x , biết

0( ) 0y x′′ = .

Câu II (3,0 điểm): 1.Giải phương trình 3 4 2 23 9x x− −= .

2.Cho hàm số 2coty x= . Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số, biết

rằng đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm ( ; 0)6

Mπ

.

3.Tìm m để hàm số 3 1y x mx= − + đạt cực tiểu tại 0

1x = .

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng 6 , đường cao h = 1. Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.


Câu IVa (2,0 điểm):Cho d:2 3

1 2 2

x y z+ += =

− và (P):2 5 0x y z+ − − =

1.Chứng minh rằng d cắt (P) tại 1,0 điểm A. Tìm toạ độ điểm A. 2.Viết pt đ.thẳng ∆ đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với d Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

1ln , ,y x x x e

e= = = và trục hoành.

B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường

thẳng (d):

2 4

3 2

3

x t

y t

z t

= + = + = − +

và mặt phẳng (P): 2 5 0x y z− + + + =

1.Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P). 2.Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P), song song với

(d) và cách (d) một khoảng là 14 . Câu Vb (1,0 điểm): Tìm căn bậc hai của số phức 4z i= − .

---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle



Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 3 2– 3 2y x x= + , có đồ thị là ( )C

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2.Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ bằng 3.

Câu II (3,0 điểm): 1.Giải phương trình: 2

3 3log (3 1) log (3 9) 6x x++ + =


20 ( 1)

x

x

eI dx

e=

+∫

3.Tìm GTLN,GTNN của 4 2( ) 36 2f x x x= − + trên đoạn 1; 4 −

Câu III (1,0 điểm): Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 060 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt

phẳng (P):2 6 0x y z+ − − =

1. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A(1;1;1) lên mặt phẳng (P). 2. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P). Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình: 2 2 5 0z z− + = trên tập số phức. B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường

thẳng (d):

1 2

2

3

x t

y t

z t

= − + = + = −

và mặt phẳng (P): 2 3 0x y z− + + = .

1.Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

2.Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc (d), bán kính bằng 6 và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Câu Vb (1,0 điểm): Viết dạng lượng giác của số phức 1 3z i= − .

---------- Hết ----------


Gặp ln x (có kèm theo dx

x), ta đặt lnt x= (lnx)

Gặp xα , có kèm theo 1xα− , ta đặt t xα= 4. Phương pháp tích phân từng phần

. . .b b

a a

bu dv u v v du

a= −∫ ∫

Các cách đặt u,dv thông dụng: (lưu ý: ( )P x là một đa thức)

Gặp ( ). sin .P x ax dx∫ , ta đặt ( )

sin .

u P x

dv ax dx

= =

Gặp ( ).cos .P x ax dx∫ , ta đặt ( )

cos .

u P x

dv ax dx

= =

Gặp ( ). .axP x e dx∫ , ta đặt ( )

.ax

u P x

dv e dx

= =

Gặp . sin .axe bx dx∫ , ta đặt sin .

axu e

dv bx dx

= =

( ). ln .nf x x dx

dx

x

∫Gaëp

(khoâng coù keøm theo) ta đặt

ln

( ).

nu x

dv f x dx

= =

5. Tính diện tích hình phẳng a.Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường: ( )y f x= , trục hoành, ,x a x b= = (a b≤ )

( )b

aS f x dx= ∫

Lưu ý: Cho ( ) 0f x = (1) để tìm nghiệm của nó:

☺☺☺☺ Nếu (1) không có nghiệm trên đoạn [a;b] thì

( ) ( )b b

a aS f x dx f x dx= =∫ ∫

☺☺☺☺ Nếu (1) có đúng 1 nghiệm ;c a b∈ [ ] thì

( ) ( ) ( )b c b

a a cS f x dx f x dx f x dx= = +∫ ∫ ∫

☺☺☺☺ Nếu (1) có đúng 2 nghiệm 1 2, ;c c a b∈ [ ] (và <

1 2c c ) thì

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )b c c b

a a c cS f x dx f x dx f x dx f x dx= = + +∫ ∫ ∫ ∫


Welcome

Rectangle


b.Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường: ( )y f x= , ( )y g x= , ,x a x b= = (a b≤ )

( ) ( )b

aS f x g x dx= −∫

Lưu ý: Để tính tích phân trên ta cũng cho ( ) ( ) 0f x g x− = (2) để tìm nghiệm thuộc [a;b]

rồi chia tích phân cần tính thành 1 hoặc nhiều tích phân trên các đoạn con của đoạn [a;b]

6. Tính thể tích vật thể tròn xoay Hình H: ( )y f x= , Ox, ,x a x b= =

quay quanh trục hoành Ox

2[ ( )]b

aV f x dxπ= ∫


Bài 1 : Tính các tích phân sau đây 1

2 20 ( 4)

xA dx

x=

+∫ 2

20

sin

(1 cos )

xB dx

x

π

=+

∫

1

ln 1e xC dx

x

+= ∫

22

13 . .xD x e dx

−= ∫

Bài giải

Câu a:1

2 20 ( 4)

xA dx

x=

+∫ . Đặt 2 4 2 .2

dtt x dt x dx xdx= + ⇒ = ⇒ =

Đổi cận: x 0 1 t 4 5

Vậy,

55

24 4

1 1 1 1 1 1.

2 2 5 4 402

dtA

tt

= = − = − + = ∫

Câu b: 220

sin

(1 cos )

xB dx

x

π

=+

∫ . Đặt 1 cos sin .t x dt x dx= + ⇒ =−

sin .x dx dt⇒ = − Đổi cận: x 0

2π

t 2 1

Vậy,

21 2

2 22 1 1

1 1 1 1 1.

2 1 2

dtB dt

tt t

− = = = − = − − = ∫ ∫


Đề số 2

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 3 23 1xy x= − + − có đồ thị ( )C


2. Biện luận số nghiệm phương trình sau theo k: 3 23 0xx k− + = Câu II (3,0 điểm): 1.Giải phương trình:

0,5log 2 log (0, 5) 1 0

xx − + =


0( )xI x x e dx= +∫

3. Tìm GTLN,GTNN của h.số 3 22 3 12 2y x x x= + − + trên [ 1;2]−

Câu III (1,0 điểm): Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC A B C′ ′ ′ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.


Câu IVa (2,0 điểm): Cho 1

2 2

( ) : 3

x t

d y

z t

= − = =

và 2

2 1( ) :

1 1 2

x y zd

− −= =

−

1. CMR, 1 2( ),( )d d vuông góc nhau nhưng không cắt nhau.

2. Viết phương trình đường vuông góc chung của 1 2( ),( )d d .

Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình: 2 3 4 0z z− + − = trên tập � B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Cho mp( ) : 2 2 3 0x y zα − + − = và 2 đường thẳng

1 2

4 1 3 5 7( ) : ( ) :

2 2 1 2 3 2

x y z x y zd d

− − + + −= = = =

− − ;

1. CMR, 1( )d song song mặt phẳng ( )α và 2

( )d cắt mặt phẳng ( )α

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1( )d và 2

( )d .

3.Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với mặt phẳng ( )α ,

cắt đường thẳng 1

( )d và 2

( )d lần lượt tại M và N sao cho MN = 3.

Câu Vb (1,0 điểm): Tìm nghiệm của phương trình 2z z= , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z.

---------- Hết ----------


Welcome

Rectangle


CÁC ĐỀ ÔN TẬP TỐT NGHIỆP THPT - 2010



1

xy

x

+=

−

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 2. Tìm m để đường thẳng :d y x m= − + cắt ( )C tại 2 điểm pbiệt.

Câu II (2,0 điểm): 1. Giải phương trình:

2 2log ( 3) log ( 1) 3x x− + − =


0 2 1

xdxI

x

=+

∫

Câu III (1,0 điểm): Tìm GTLN và GTNN của h.số 2cos – cos 2y x x= +

Câu IV (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a. 1. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). 2. Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a.


Câu Va (2,0 điểm): Trong kgOxyz cho (2; 1;1), (0;2; 3) ( 1;2; 0)A B C− − −,

1. CMR, A,B,C không thẳng hàng. Viết phương trình mp(ABC). 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.

Câu VIa (1,0 điểm): Giải phương trình: 22 1 0z z− + = trên tập � B. Theo chương trình nâng cao

Câu Vb (2,0 điểm):Cho (1; 0; 2), ( 1; 1; 3)A B− − − và ( ) 2 – 2 1 0P x y z+ + =: 1. Viết ptmp(Q) qua A,B và vuông góc với mặt phẳng (P) 2. Viết pt mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Câu VIb (1,0 điểm): Cho hàm số 2 3

1

x xy

x

−=

+( )C . Tìm trên ( )C các

điểm cách đều hai trục toạ độ.

---------- Hết ----------


Câu c: 1

ln 1e xC dx

x

+= ∫ . Đặt

1ln 1t x dt dx

x= + ⇒ =

Đổi cận: x 1 e t 1 2

Vậy,

22 2 22

1 1

2 1 3.

2 2 2 2

tC t dt= = = − =∫

Câu d:22

13 . .xD x e dx

−= ∫ . Đặt 2 2

2

dtt x dt xdx xdx= ⇒ = ⇒ =

Đổi cận: x –1 2 t 1 4

Vậy,

44 1 44

1 1

3 . 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

t te dt e e e e eD

−= = = − =∫

Bài 2 : Tính các tích phân sau đây

2

0. sinE x xdx

π

= ∫ 2

13 . xF x e dx

−= ∫

1(ln 1)

e

G x dx= +∫

Bài giải

Câu e: 2

0. sinE x xdx

π

= ∫ . Đặt sin cos

u x du dx

dv xdx v x

= = ⇒ = = −

Như vậy, 22

0. . cos cos

0

b

a

bE uv v du x x xdx

a

ππ

= − = − +∫ ∫

22 2 2( .cos 0) sin 0 sin sin 0 1

0xπ

π π π= − − + = + − =

Câu f:2

13 . xF x e dx

−= ∫ . Đặt

3 3x x

u x du dx

dv e dx v e

= = ⇒ = =

Như vậy, 2 22

2 111 1

(3 . ) 3 (6 3 ) 3x x xF x e e dx e e e−−− −

= − = + −∫

2 2 1 2 2 23 3 3 66 3( ) 6 3 3e e e e e e

e e e e

−= + − − = + − + = +

Câu g: 1(ln 1)

e

G x dx= +∫ Đặt 1ln 1u x du dxx

dv dx v x

= + = ⇒ = =

11 1.(ln 1) 1. 2 1 2 1 1

ee eG x x dx e x e e e= + − = − − = − − + =∫


Welcome

Rectangle


Bài 3 : Tính các tích phân sau đây 2

1

1( )xH x e dx

x= −∫

22

0( 1)I x x xdx= + +∫

3

21

2 1e x xJ dx

x

− += ∫ 2

0(1 2 sin )sinK x xdx

π

= +∫

Bài giải

Câu h: 2 2 2 2

1 1 1 1

1( ) ( 1) 1.x x xH x e dx xe dx xe dx dx

x= − = − = −∫ ∫ ∫ ∫

Xét 2

1 1:xH xe dx= ∫ Đặt

x x

u x du dx

dv e dx v e

= = ⇒ = =

2 222 2 2 2

1 111

. 2 2 ( )x x xH xe e dx e e e e e e e e⇒ = − = − − = − − − =∫

Xét 2 2

12 11 2 1 1H dx x= = = − =∫

Vậy, 21 2

1H H H e= − = −

Câu i: 2 2 2

2 2 2

0 0 0( 1). . 1.I x x x dx x dx x xdx= + + = + +∫ ∫ ∫

Xét

232

21

0 0

8

3 3

xI x dx= = =∫

Xét 2

22

01.I x xdx= +∫ . Đặt 2 1 2t x dt xdx= + ⇒ =

Đổi cận: x 0 2 t 1 5

31 22

5 55 5

2 31 1 12 1

1 5 5 1

2 2 3 32.

t t t tI dt t dt

−⇒ = = = = =∫ ∫

Vậy, 1 2

5 5 7

3I I I

+= + =

Câu j: 3 2

2 21 1

2 1 2 1 1( ) 2 ln

12

e e ex x xJ dx x dx x

x xx x

− + = = − + = − − ∫ ∫

2 2 21 1 1 1 32 ln 2 ln 1

2 2 1 2 2

e ee

e e

= − − − − − = − −


b.Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

Bài 9 :Cho một hình trụ có bán kính r và chiều cao 3h r=

a.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b.Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

Bài 10 :Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC vuông góc với nhau từng

đôi một. Biết SA = a, 3AB BC a= = . Tính thể tích của khối chóp và tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài 11 :Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, (a >0). Tam giác SAC cân tại S góc SAC bằng 600 ,(SAC) ⊥ (ABC) . Tính thể tích của của khối chóp S.ABC theo a.

Bài 12 : Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên bằng 2a và gấp đôi độ dài cạnh đáy.

Bài 13 :Cho hình chóp tứ giác đều, tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD

Bài 14 :Tính tỉ số thể tích giữa tứ diện đều và hình cầu ngoại tiếp nó. Bài 15 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên

2SA a= và vuông góc với mặt đáy, góc giữa SC và mặt đáy bằng 450 .Tính thể tích của khối chóp.

Hy v�ng Tài li�u này s� giúp ích đ��c ph�n nào cho các em v��t qua đ��c K! thi T"t nghi�p s#p t$i. Hãy c" g#ng ôn t(p th(t t"t, làm th(t k+ các đ, thi m-u và … c" lên!


Welcome

Rectangle


II. BÀI TẬP VỀ DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH Bài 1 :Cho hình chóp đều S.ABC có M là trung điểm cạnh AB, AM = a.

a.Chứng minh rằng AB SC⊥

b.Tính thể tích của khối chóp S.ABC biết 2A a=S Bài 2 :Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.

Gọi I là trung điểm BC. a.Chứng minh rằng ( )BC SAI⊥

b.Tính thể tích của khối chóp S.ABC c.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SC tạo với mặt đáy một góc 600. a.Chứng minh rằng ( ) ( )SAC SBD⊥

b.Tính thể tích khối chóp S.BCD c.Chứng minh rằng trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, từ đó xác định diện tích của nó.

Bài 4 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a,AD = 2a. Hai mặt bên (SAB),(SAD) cùng vuông góc với đáy và SAD là tam giác vuông cân. a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD b.Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Bài 5 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SAC là tam

giác đều cạnh a, 5SB SD a= = . a.Chứng minh rằng ( )SO ABCD⊥

b.Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 6 :Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, Hai mặt bên

(SAB),(SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm BC.

Cho BC = a, 3SA a= và góc giữa 2 mặt phẳng (SBC),(ABC) bằng 300. a.Chứng minh rằng ( ) ( )SAI SBC⊥

b.Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài 7 :Cho lăng trụ tam giác đều .ABC A B C′ ′ ′ có cạnh đáy bằng a, A′B

tạo với mặt đáy một góc 600. Gọi I là trung điểm BC. a.CMR, ( )BC A AI′⊥ b.Tính thể tích lăng trụ.

Bài 8 :Cho một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai mặt đáy bằng 7 cm. a.Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó.


Câu k: 22 2

0 0(1 2 sin )sin (sin 2 sin )K x xdx x x dx

π π

= + = +∫ ∫

2 2

0

2 2

sin 2(sin 1 cos2 ) cos

02

sin sin 0cos cos 0 0 1

2 2 2

xx x dx x x

π π

π π π π

= + − = − + −

= − + − − − + − = +

∫

Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây a. 3 3 2y x x= − + , trục hoành, 1x = − và 3x =

b. 2 42y x x= − và 24y x= − −

c. 3 2y x x= − và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ bằng –1

d. 3y x x= − và 2y x x= −

Bài giải

Câu a: Ta có, 3( ) 3 2f x x x= − + . Xét đoạn [–1;2]

Diện tích cần tìm là: 2

3

13 2S x x dx

−= − +∫

Cho 3 2 [ 1;2]3 2 0

1

xx x

x

= − ∉ −− + = ⇔ =

1 23 3

1 1( 3 2) ( 3 2)S x x dx x x dx

−⇒ = − + + − +∫ ∫

1 24 2 4 2

1 1

3 3 5 212 2 4

4 2 4 2 4 4

x x x xx x

−

= − + + − + = + =

Câu b: Ta có, 2 4

4 22

( ) 2( ) ( ) 3 4

( ) 4

f x x xf x g x x x

g x x

= − ⇒ − = − + + = − −

Cho 4 23 4 0x x− + + =2

2

12

4

xx

x

= −⇔ ⇔ = ± =

Xét đoạn [–2;2]

Diện tích cần tìm là:2

4 2

23 4S x x dx

−= − −∫

252

4 2 3

2 2

96( 3 4) 4

5 5

xS x x dx x x

− −

⇒ = − − = − − = ∫ (đvdt)


Welcome

Rectangle


Câu c: Với hàm số 3 2 : ( )y x x C= − , 0 0

1 1x y= − ⇒ = 2

03 2 ( ) ( 1) 1y x f x f′ ′ ′= − ⇒ = − =

pttt của ( )C tại 0x là: 1 1( 1) 2y x y x− = + ⇔ = +

Ta có, 3

3( ) 2( ) ( ) 3 2

( ) 2

f x x xf x g x x x

g x x

= − ⇒ − = − − = +

Cho 3 13 2 0

2

xx x

x

= −− − = ⇔ =. Xét đoạn [–1;2]


3

13 2S x x dx

−= − −∫

2

4 223

1 1

3 27( 3 2) 2

4 2 4

x xS x x dx x

− −

⇒ = − − = − − = ∫ (đvdt)

Câu d: Ta có,3

3 22

( )( ) ( ) 2

( )

f x x xf x g x x x x

g x x x

= − ⇒ − = + − = −

Cho 3 2 2 0 2; 0; 1x x x x x x+ − = ⇔ = − = = .

Xét đoạn [–2;1]


3 2

22S x x x dx

−= + −∫

0 1

3 2 3 2

2 0( 2 ) ( 2 )S x x x dx x x x dx

−⇒ = + − + + −∫ ∫

0 14 3 4 3

2 2

2 0

37

4 3 4 3 12

x x x xx x

−

= + − + + − = (đvdt)

Bài 5 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh trục Ox biết (H) giới hạn bởi: siny x= ,Ox, 0x = và 3

2x π=

Bài giải Ta có, ( ) sinf x x= . Xét đoạn [ ]3

20; π

Thể tích cần tìm là:3

22

0(sin )V x dx

π

π= ∫

(ñvtt)

3 3 322 2 2

0 0 0

3 22

1 cos 2 1 cos 2sin

2 2 2

sin 2 3 sin 3 3.0

02 4 4 4 4

x xV xdx dx dx

x x

π π π

π

π π π

π π ππ π π

− = = = − = − = − − =

∫ ∫ ∫


c. Hình lăng trụ - hình hộp:

Lăng trụ Lăng trụ đứng Hình hộp tam giác tam giác chữ nhật d. Hình cầu – hình trụ - hình nón

2. Các công thức tính diện tích – thể tích a. Thể tích (diện tích) khối chóp – khối nón �� Công thức tính thể tích:

1

.3

V B h=

�� Diện tích xung quanh mặt nón:

( ). .

xqS r lπ=noùn

�� Lưu ý: diện tích hình tròn bán kính r là: 2.S rπ= b. Thể tích (diện tích) khối lăng trụ – khối trụ �� Công thức tính thể tích: .V B h= �� Diện tích xung quanh mặt trụ: ( )

2. . .xqS r lπ=truï

�� Diện tích toàn phần của hình trụ:

( ) 2.tp xqS S S= +truï ñaùy

c. Thể tích (diện tích) khối cầu �� Công thức tính thể tích:

34.

3V Rπ=

�� Diện tích mặt cầu: 24S Rπ=m.caàu


Welcome

Rectangle


I

CB

A D

S

Ph�n VI. HÌNH H&C KHÔNG GIANPh�n VI. HÌNH H&C KHÔNG GIANPh�n VI. HÌNH H&C KHÔNG GIANPh�n VI. HÌNH H&C KHÔNG GIAN I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Một số hình không gian thường gặp a. Hình chóp tam giác:

Hình 1: dùng cho các loại hình chóp: �� Chóp tam giác có 1 cạnh vuông góc với mặt đáy. �� Chóp tam giác có 3 cạnh đôi một vuông góc nhau. Hình 2: dùng cho các loại hình chóp: �� Chóp tam giác đều. �� Tứ diện đều (6 cạnh đều bằng nhau). b. Hình chóp tứ giác:

Hình 1: Hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) và đáy ABCD là:

�� Hình bình hành. �� Hình chữ nhật. �� Hình vuông. �� Hình thoi. Chú ý: sẽ chứng minh được: �� 4 mặt bên là các tam giác vuông

�� BC⊥(SAB) và CD⊥(SAD) �� Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm I của SC

Hình 2: Hình chóp S.ABCD có SO⊥(ABCD) và đáy ABCD là:

�� Hình bình hành. �� Hình chữ nhật. �� Hình vuông. �� Hình thoi. Đặc biệt: với hình chóp đều: �� 4 cạnh bên bằng nhau, 2 mặt chéo vuông góc nhau �� Tâm mặt cầu ngoại tiếp nằm trên SO.

Hình 1

Hình 2


III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TẠI LỚP Bài 6 : Tính các tích phân sau đây:

a.1

3 4

0(1 )x x dx+∫ b.

4

23

2 1

2

xdx

x x

+

+ −∫ c.

1

2 20

5

( 4)

xdx

x +∫

d. 3

0sin cosx xdxπ

∫ e. 2sin 2 1

4

cos 2x

xdx

e

π

π +∫ f. 2

0

sin

1 3 cos

xdx

x

π

+∫

g.2 3

1

ln 2e xdx

x

+∫ h.

22

0 3 1

x dx

x +∫ i.

21

0. xx e dx−∫


a. 2

0sinx xdx

π

∫ b.1

0(2 1) xx e dx−∫ c. 2

0cos 2x xdx

π

∫

d.ln 5

ln 22 xxe dx∫ e.

2

0

xxe dx∫ f.2

1ln

e

xdx∫

g.2

2

1ln xdx∫ h. 4

0(2 1)cosx xdx

π

−∫ i. 2

4

0sin xdx

π

∫


a.1

2

0( 1)x x xdx+ +∫ b.

12

01 x xdx+∫

c. 4

0( 2 cos )sinx x xdx

π

+∫ d.1

2

0. xx e dx∫

e.1ln( 1)

e

x dx+∫ f.1

( ln )e

x x x dx+∫

g. cos2

0( )sinxe x xdx

π

+∫ h. cos24

0. sin 2xe xdx

π

∫

i.1

0( 1) xx e dx+∫ j.

23

1

3 2x xdx

x

+ −∫

Bài 9 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây

a. 3 21 2

3 3y x x=− + − , trục hoành, x = 0 và x = 2.

b. 2 1, 1, 2y x x x= + = − = và trục hoành.

c. 3 12y x x= − và 2y x= .

d. 2 2y x x= − + và 2y x+ = .

e. 3 1y x= − và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng –2.


Welcome

Rectangle


Bài 10 : Tính thể tích các vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục hoành: a. 2 4 ,y x x= − 0, 0, 3y x x= = =

b. cos , 0y x y= = , 0,x x π= =

c. tan , 0y x y= = , 0,4

x xπ

= =

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẠI NHÀ Bài 11 : Tính các tích phân sau đây:

a.2

21

2 1

1

xdx

x x

−

− +∫ b.1

2 20 (2 1)

xdx

x +∫ c. 21

1

0. xx e dx+∫

d. 2

0

sin .

8 cos 1

x dx

x

π

+∫ e. 2

20

cos

(1 sin )

xdx

x

π

+∫ f.

3

0. 1x x dx+∫

g.3

1 . ln 1

e dx

x x +∫ h.

14

1

xe

dxx

−

∫ i.1/2

21

xedx

x∫

j. 2

0sin cosx xdx

π

∫ k. 32

0sin xdx

π

∫ m.1

0

1x x dx+∫

n. 4

0tan xdx

π

∫ o.1

0

2 1

1

xdx

x

+

+∫ p.

8

31 . ln 1

e dx

x x +∫

q.3

1 2

1

1dx

x x+∫ r. 3 22

0sin .cosx x dx

π

∫ s.ln 2

0 1 x

dx

e−+∫


a. 2

02 cosx xdx

π

∫ b.1

2

0

xxe dx∫ c. 4

0sin 2x xdx

π

∫

d.1

lne

x xdx∫ e. 2

1(ln 1)

e

x x dx+∫ f.1

0(2 1) xx e dx−∫

g.3

2 2

0( 1). xx e dx+∫ h. 4

0(2 1)sinx xdx

π

+∫ i. 4

0sinxe xdx

π

∫


a.1

0( )xx e xdx+∫ b.

2

1 ( 1)

dx

x x +∫ c.4

1 ( 2)

dx

x x +∫

d.2

2 2 3

1( 1)x x dx+∫ e.

22 3 2

0( 4)x xe e dx+∫ f.

2

1(2 1)lnx xdx+∫


Bài 26 : Cho A(6; 2; –5), B(–4; 0; 7). a.Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB b.Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.

Bài 27 : Cho A(–2; 6; 3), B(1; 0; 2), C(0; 2; –1), D(1; 4; 0) a.Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

b.CMR, ∆BCD vuông, từ đó tính diện tích tam giác BCD.

c.Tính thể tích khối chóp ABCD. Bài 28 : Viết phương trình mặt phẳng (α):

a.Đi qua A(1; 2; 3) và song song với mp(Oxy) b.Đi qua A(1; 2; 3) và song song với mặt phẳng: x + y + z = 0.

Bài 29 : Cho ( ) : 3 2 5 0x y zα − − + = và 1 7 3

:2 1 4

x y zd

− − −= =

a.CMR, d α� b.Tính khoảng cách giữa d và α

Bài 30 : Cho A(1;0;0) và H là hình chiếu của A lên 2 1

:1 2 1

x y z− −∆ = =

a.Tìm tọa độ điểm H. Từ đó tính khoảng cách từ điểm A đến ∆.

b.Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆.

Bài 31 : Cho bốn điểm A(1; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ;1) và D(-2 ; 1 ; -1) a.Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện. b.Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD. c.Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD


Welcome

Rectangle


Bài 18 : Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 0) a.Chứng minh tam giác ABC vuông và tính diện tích của nó. b.Viết phương trình mặt phẳng (ABC). c.Tính khoảng cách từ điểm D(1;1;1) đến mặt phẳng (ABC), từ đó suy ra thể tích của tứ diện ABCD.

Bài 19 : Cho A(1;–1; 3), B(3;0;1), C(0;4;5) a.Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua C và vuông góc với AB. b.Viết PTTS của đường thẳng đi qua C và vuông góc với (α).

Bài 20 : Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 5) a.Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với BC. b.Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (α)

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẠI NHÀ

Bài 21 : Cho (α): 3x – 2y – z + 5 = 0 và ∆:1 7 3

2 1 4

x y z− − −= =

a.Chứng tỏ rằng ∆ song song với (α). b.Tính khoảng cách giữa ∆ và (α).

Bài 22 :Viết PTTS của đường thẳng a.Đi qua M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương (2; 3;1)a = −

�

b.Đi qua N(2; 0; –3) và song song với đường thẳng

1 2

3 3

4

x t

y t

z t

= + = − − =

c.Đi qua A(2; –1; 3) và vuông góc với (α): x + y – z + 5 = 0. d.Đi qua P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4).

Bài 23 : Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng ∆:

2

1 2

x t

y t

z t

= + = + =

a.Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đthẳng ∆. b.Tìm tọa độ A′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆ c.Viết phương trình mặt phẳng chứa A và ∆

Bài 24 : Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0. a.Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên (α). b.Tìm tọa độ M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng (α). c.Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với (α).

Bài 25 : Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0. a.Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α). b.Viết ptmp đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (α)


g. 3

0

2 sin

2 cos

xdx

x

π

+∫ h.0

( cos )xx e x dxπ

+∫ i.2

2

0( )xx x e dx+∫

Bài 14 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây

a. 3 3 2y x x= − + và trục hoành.

b. 2 2y x x= − và 2 4y x x= − +

c. 2 2y x x= − và y x=

d. 3 2y x x= − và ( )11

9y x= −

e.1

1 ( ), 1y C xx

= + = và tiếp tuyến với ( )C tại điểm 3

2;2

.

f.3 1

, , 01

xy Ox x

x

− −= =

−

g.1

ln , ,y x x x ee

= = = và trục hoành.

h.ln

1x

y xx

= − + , 1y x= − và x e=

Bài 15 : Tính thể tích các vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục hoành: a. 2 42 , , 1, 2y x x Ox x x= − = − =

b. 2

, 0,2

y yx

= =−

0, 1x x= =

c. 22 , 1y x y= − =


Welcome

Rectangle


Ph�nPh�nPh�nPh�n IV. S� PH'CIV. S� PH'CIV. S� PH'CIV. S� PH'C I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Các công thức và phép toán về số phức

2 1i = −i ( , )z a bi a b= + ∈i � Cho . Khi đó,

☺☺☺☺ 2 2z a b= + ☺☺☺☺ z a bi= −

1 2.z a bi z c di= + = +i Cho vaø Khi ñoù,

☺☺☺☺ 1 2

a cz z

b d

== ⇔ =

☺☺☺☺ 1 2

( ) ( ).z z a c b d i+ = + + +

☺☺☺☺ 1 2

( ) ( ).z z a c b d i− = − + −

☺☺☺☺ 1 2. ( ) ( ).z z ac bd ad bc i= − + +

☺☺☺☺ 1 1 2 1 2

22 2 2

2.

z z z z z

z z zz

= =

0a a∈ <i � Cho vaø . Khi đó, a có 2 căn bậc hai phức là: .a i±

2. Giải phương trình bậc hai hệ số thực (với ∆ < 0) trên tập số phức

Cho phương trình bậc hai 2 0 ( , , 0)az bz c a b c a+ + = ∈ ≠� vaø

��Tính 2 4b ac∆ = − và ghi kết quả dưới dạng 2( . )i∆

��Kết luận phương trình có 2 nghiệm phức:

1 22 2

b i b iz z

a a

− − ∆ − + ∆= = vaø

Lưu ý: + Chỉ được dùng công thức nghiệm ở trên khi ∆ < 0

+ Trường hợp 0∆ ≥ ta giải pt bậc hai trên tập số thực (như trước).

+ Khi giải pttrùng phương trên C, ta đặt 2t z= (không cần ĐK cho t)

II. BÀI TẬP MINH HOẠ Bài 1 : Thực hiện các phép tính

a.(2 4 )(3 5 ) 7(4 3 )i i i+ − + − b. 2(3 4 )i− c. 2

3 2

i

i

++


III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TẠI LỚP Bài 9 : Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)

a.Viết ptmp(ABC) và chứng minh A,B,C,D không đồng phẳng. b.Tính khoảng cách từ điểm D đến mp(ABC) c.Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mp(ABC). d.Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên (ABC).

Bài 10 :Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4) a.Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. b.Viết PTTS của đường thẳng qua A và song song với BC. b.Viết PTTS của đường thẳng qua A và vuông góc với mp(ABC)

Bài 11 :Cho A(1;2;3),B(1;6;2) và mặt phẳng (β): 2x + y – 2z – 1 = 0. a.Viết phương trình mặt cầu

1( )S có tâm A và tiếp xúc với mp(β).

b.Viết phương trình mặt cầu 2

( )S có tâm B và đi qua điểm A.

c.Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (β). Từ đó, tìm toạ độ giao điểm của d và (β).

Bài 12 : Viết PTTS của đường thẳng d: a.Đi qua A(–2;3;1) và có vtcp (2;0; 3)a =

�

b.Đi qua A(4;3;1) và song song với đường thẳng

1 2

: 3

3 2

x t

y t

z t

= +∆ = − = +

Bài 13 : Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6) a.Viết PTTQ của mp(ACD) và chứng minh B không thuộc (ACD) b.Viết PTTQ mp(α) đi qua AB và song song với CD. c.Viết pt mặt cầu đường kính BD.

Bài 14 :a.Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(5;–3;7) và đi qua M(1;0;7). b.Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M. c.Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P).

Bài 15 :Viết phương trình mặt cầu (S) biết: a.(S) có đường kính AB với A(1;2;3), B(3;2;1) b.(S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc mặt phẳng (α): 3y + 4z + 1 = 0.

Bài 16 :Cho I(–2; 1; 1) và mặt phẳng (α): x + 2y – 2z + 5 = 0 a.Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mp(α) b.Viết ptmp đi qua tâm I(–2;1;1) và song song với mặt phẳng (α).

Bài 17 :Cho m.cầu (S): x2 + y2 + z2 – 9 = 0 và mp(α): x + 2y – 2z + 9 = 0 a.Xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P). b.Viết ptmp(β) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (α). Xác định toạ độ tiếp điểm của (S) và (β)


Welcome

Rectangle


Bài 8 :Xét vị trí tương đối của đường thẳng 1 3

:1 1 3

x y zd

+ −= =

− với

a. : 1

1 2

2

3 6

x t

y t

z t

= +∆ = − = +

b. : 82

2

2

1 4

x t

y t

z t

= +∆ = − = +

c. : 43

1 2

1 3

x t

y t

z t

= − −∆ = + = − +

Bài giải Câu a: d đi qua điểm 0

( 1; 3;0)M − , có vtcp (1; 1; 3)u = −�

∆1 đi qua điểm 0(1;0; 3)M ′ , có vtcp (2; 2;6)u ′ = −

�

Vì 1 1 3

2 2 6

−= =

− nên ,u u ′

� � cùng phương với nhau.

Hơn nữa thay toạ độ điểm M0 vào pt ∆1 ta thấy không thoả mãn.

Kết luận 0 1

M ∉ ∆ và d || ∆1

Câu b: d đi qua điểm 0( 1; 3;0)M − , có vtcp (1; 1; 3)u = −

�

∆2 đi qua điểm 0(2;8;1)M ′ , có vtcp (1; 2; 4)u ′ = −

�

Vì 1 1

1 2

−≠

− nên ,u u ′

� � không cùng phương với nhau.

1 3 3 1 1 1

[ , ] ; ; (2; 1; 1)2 4 4 1 1 2

u u − − ′ = = − − − −

� �

vaø caét nhau

0 0

0 0 2

(3;5;1)

[ , ]. 2.3 1.5 1.1 0

M M

u u M M d

′ =

′ ′⇒ = − − = ⇒ ∆

��

��

Câu c: d đi qua điểm 0( 1; 3;0)M − , có vtcp (1; 1; 3)u = −

�

∆3 đi qua điểm 0( 1; 4; 1)M ′ − − , có vtcp ( 2;1;3)u ′ = −

�

Vì 1 1

2 1

−≠

− nên ,u u ′

� � không cùng phương với nhau.

1 3 3 1 1 1[ , ] ; ; ( 6; 9; 1)

1 3 3 2 2 1u u

− − ′ = = − − − − −

� �

vaø cheùo nhau

0 0

0 0 2

(0;1; 1)

[ , ]. 8 0

M M

u u M M d

′ = −

′ ′⇒ = − ≠ ⇒ ∆

��

��


Bài giải

Câu a: 2(2 4 )(3 5 ) 7(4 3 ) 6 10 12 20 28 21i i i i i i i+ − + − = − + − + − 6 10 12 20 28 21 54 19i i i i= − + + + − = −

Câu b: 2 2(3 4 ) 9 24 16 9 24 16 7 24i i i i i− = − + = − − = − −

Câu c: 2

2 2 2

(2 )(3 2 )2 6 4 3 2 6 2 8

3 2 (3 2 )(3 2 ) 133 4 3 4

i ii i i i i i

i i i i

+ −+ − + − − + −= = = =

+ + − − +

Bài 2 : Tìm môđun của số phức sau đây

a. 23 2 (1 )z i i= + + + b.3

(1 )(2 )

iz

i i

+=

+ −

Bài giải

Câu a: 23 2 (1 ) 3 2 3 221 2 1 2 1z i i i i i i i= + + + = + + + + = + + + −

2 2 2 23 4 3 4 5z i z a b⇒ = + ⇒ = + = + =

Câu b: 2

3 3 3 31

(1 )(2 ) 2 2 1 32 2

i i i iz

i i i i ii i i

+ + + += = = = =

+ − − + + +− + −

2 2 2 21 0 1z a b⇒ = + = + = Bài 3 : Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 3 5 4iz z i+ = +

Bài giải 2 3 5 4 2 5 3 4 (2 5) 3 4iz z i iz z i i z i+ = + ⇔ − = − + ⇔ − = − +

2

2 2

( 3 4 )( 5 2 )3 4 15 6 20 8 7 26

5 2 ( 5 2 )( 5 2 ) 29( 5) 4

i ii i i i iz

i i i i

− + − +− + − − + −⇔ = = = =

− + − + − + − −

Bài 4 : Giải các phương trình sau đây trên tập số phức:

a. 23 2 0z z+ + = b. 4 22 3– 0z z+ =

c. 3 1 0z − = d. 2 2 0z z− + − =

Bài giải

Câu a: 23 2 0z z+ + = (1)

Ta có, 2 21 4.3.2 23 0 ( 23. )i∆ = − = − < ⇒ ∆ =

Vậy, phương trình (1) có 2 nghiệm phức phân biệt

1 23 1 23

6 6 6

iz i

− −= = − − và

1 23 1 23

6 6 6

iz i

− += = − +


Welcome

Rectangle


Câu b: 4 22 3– 0z z+ = (2)

Đặt 2t z= , phương trình (2) trở thành:

2 32

22

11 1– 0

3 3.3

zt zt t

t z iz

= ±= = + = ⇔ ⇔ ⇔ = − = ± = −


1z = ± và 3.z i= ±

Câu c: 3 (3) 22 (*)

11 0 ( 1)( 1) 0

1 0

zz z z z

z z

= −+ = ⇔ + − + = ⇔ − + =

Giải (*), ta có 2 2( 1) 4.1.1 3 0 ( 3 )i∆ = − − = − < ⇒ ∆ =

Ph.trình (*) có 2 nghiệm phức pb :1

1 3

2

iz

+= ;

2

1 3

2

iz

−=


1z = − , 1 3

2 2z i= + và

1 3

2 2z i= −

Câu d: 2 2 0z z− + − = (4)

Ta có, 2 21 4.( 1)( 2) 7 0 ( 7. )i∆ = − − − = − < ⇒ ∆ =


1 7 1 7

2 2 2

iz i

−= = − +

− và

1 7 1 7

2 2 2

iz i

+= = − −

−

Bài 5 : Tìm môđun của số phức z biết: 3 (3 )(1 ) 2iz i i+ − + =

Bài giải

Câu a: 23 (3 )(1 ) 2 3 3 3 2iz i i iz i i i+ − + = ⇔ + + − − =

2 22 2

2 2 2 23 3 3 1 2 3 2 2

3 3 3

2 2 2 2

3 3 3

iiz i i iz i z i

i

z a b

− −⇔ + + − + = ⇔ = − − ⇔ = = +

⇒ = + = + =


Điểm: (1;1;1)A

PTTQ: 0 0 0

( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

1( 1) 6( 1) 1( 1) 0

1 6 6 1 0

6 6 0

x y z

x y z

x y z

⇔ − + − − − =

⇔ − + − − + =

⇔ + − − =

Câu c: vtpt: ( 6; 2; 4)n MN= = − −��

Điểm: ( 1;2; 3)I − là trung điểm đoạn MN

PTTQ: 0 0 0

( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

6( 1) 2( 2) 4( 3) 0

6 6 2 4 4 12 0

6 2 4 14 0

3 2 7 0

x y z

x y z

x y z

x y z

⇔ − + − − + − =

⇔ − − − + + − =

⇔ − − + − =

⇔ + − + =

Bài 7 :Cho (0;1;2), ( 3;1;4), (1; 2; 1)A B C− − − . Viết PTTS của đ.thẳng d:

a.d đi qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC b.d đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Bài giải

Câu a: Trung điểm đoạn BC: 1 3

( 1; ; )2 2

I − −

vtcp:3 1

( 1; ; )2 2

n AI= = − − −��

PTTS của đường thẳng AI

03

0 21

0 2

1 ( )

2

x tx x at

y y bt y t t

z z ct z t

= − = + = + ⇔ = − ∈ = + = −

�

Câu b: Hai véctơ: ( 3; 0;2), (4; 3; 5)AB BC= − = − −��

vtpt của mặt phẳng (ABC):

0 2 2 3 3 0[ . ] ; ; (6; 7;9)

3 5 5 4 4 3n AB BC

− − = = = − − − − −

��

vtcp của d: (6; 7;9)du n= = −� �

PTTS của d: 0

0

0

1 6

2 7 ( )

1 9

x x at x t

y y bt y t t

z z ct z t

= + = + = + ⇔ = − − ∈ = + = − +

�


Welcome

Rectangle


Điểm: (0; 3;2)A

PTTQ: 0 0 0

( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

26 5( 3) 2( 2) 0

26 5 15 2 4 0

26 5 2 19 0

26 5 2 19 0

x y z

x y z

x y z

x y z

⇔ − − − − − =

⇔ − − + − + =

⇔ − − − + =

⇔ + + − =

Câu c: vtpt: (0; 4; 3)n AM= = −��

Điểm: (1;1;1)M

PTTQ: 0 0 0

( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

0 4( 1) 3( 1) 0

4 4 3 3 0

4 3 1 0

x y z

y z

y z

⇔ + − − − =

⇔ − − + =

⇔ − − =

Bài 6 : Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau đây: a.(α) đi qua 3 điểm (0;1;2), ( 3;1;4), (1; 2; 1)A K D− − − .

b.(α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD, biết (1;1;1), (2;1;2), ( 1;2;2), (2;1; 1)A B C D− −

c.(α) là mp trung trực của đoạn MN, với (2; 3;1), ( 4;1;5)M N −

Bài giải Câu a: Hai véctơ: ( 3;0;2)AK = −

��

(4; 3; 5)KD = − −��

vtpt:

0 2 2 3 3 0[ . ] ; ; (6; 7;9)

3 5 5 4 4 3n AK KD

− − = = = − − − − −

��

Điểm: (0;1;2)A

PTTQ: 0 0 0

( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

6 7( 1) 9( 2) 0

6 7 7 9 18 0

6 7 9 11 0

x y z

x y z

x y z

⇔ − − + − =

⇔ − + + − =

⇔ − + − =

Câu b: Hai véctơ: (1;0;1)AB =��

(3; 1; 3)CD = − −��

vtpt: 0 1 1 1 1 0

[ . ] ; ; (1;6; 1)1 3 3 3 3 1

n ABCD = = = − − − − −

��


III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TẠI LỚP Bài 6 : Thực hiện các phép tính

a.(2 4 )(3 5 ) 7(4 3 )i i i+ − + − b. 2(1 2 ) (2 3 )(3 2 )i i i− − − +

c. 2(3 4 )i− d. 3(2 3 )i+

e.5

(4 5 ) (4 3 )i i + − + f. 2( 2 3)i−

g. 2010(1 )i+ h. 2010(1 )i−

i.(3 2 )(1 3 )

(2 )1 3

i ii

i

+ −+ −

+ j.

(2 ) (1 )(4 3 )

3 2

i i i

i

+ + + −+

k.(3 4 )(1 2 )

4 31 2

i ii

i

− ++ −

− l. 2 2(1 3 ) (1 3 )i i+ + −

Bài 7 : Viết các số phức sau dưới dạng a + bi rồi tìm môđun của chúng

a.z i i= + + + 23 2 (1 ) b. – –z i i= + 34 3 (1 )

c.3

(1 )(2 )

iz

i i

+=

+ − d.

2 2

2 2

(1 2 ) (1 )

(3 2 ) (2 )

i iz

i i

+ − −=

+ − +

e.1

1

iz

i

−=

+ f.

51

1

iz

i

+ = −

Bài 8 : Giải phương trình sau trên tập số phức a.2 3 5 4iz z i+ = + b.(3 4 ) (1 2 )(4 )i z i i+ = + +

c.( 2 3) 2 3 2 2i z i i− + = + d.2 1 3

1 2

i iz

i i

+ − +=

− +

e.3 (2 3 )(1 2 ) 5 4z i i i+ + − = + f. 2(1 – ) (2 – ) 2 3i z i i+ = +

g.3 (2 ) 1 2 (1 ) 3z i iz i i− + = + +

Bài 9 : Cho 2(1 2. )z i= + .Tính z

Bài 10 : Cho 3

4

(1 )

(1 )

iz

i

+=

−. Tính z

Bài 11 : Cho 31

1 3( )

2 2z i= − + và 3

2

1 3( )2 2

z i= + . Tính z1.z2

Bài 12 : Tìm số phức z có phần thực và phần ảo bằng nhau và 2 2z = Bài 13 : Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a. 0z z+ + =23 2 b. – 0z z + =2 4 7 c. – 0z z + =22 5 4 d. 2 7 0z z+ + = e. 23 2 7 0z z+ + = f. 2 4 7 0z z− + =


Welcome

Rectangle


g. 2 2 17 0z z+ + = h. 2 3 3 0z z+ + = i. 2 1 0z z− + = j. 0z + =3 8 k. – 0z z+ =4 22 3 l. 4 22 3 5 0z z+ − =

Bài 14 : Cho số phức 1 3z i= + .Tính 2 2z z+

Bài 15 : Cho các số phức 1 2 3

3 2 , 2 , 1 3z i z i z i= + = + = − . Hãy biểu

diễn các số phức 1 2 3 1 2 3, , , , ,z z z z z z trên mặt phẳng phức.

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẠI NHÀ Bài 16 : Thực hiện các phép tính

a.(1 4 )(2 3 ) 5( 1 3 )i i i− + − − − b. 2(2 3 ) (1 3 )(5 2 )i i i− − − +

c. 2(2 4 )i i− + d. 3(2 )i−

e.3

(5 ) (2 7 )i i − − + f. 2( 2 3)i−

g. (2 3 )(1 2 )

(2 4 )1

i ii

i

+ −+ −

+ h.

(2 ) (1 )(1 3 )

3 9

i i i

i

+ − − −−

i. (3 4 )(1 2 )

4 31 2

i ii

i

− ++ −

− j. 2 2(1 3 ) (1 3 )i i+ − −

Bài 17 : Tính z z+ , biết a. 2(1 )1 3 2z i i= − + − b. 33 (1 )2(2 – ) –z i i= +

c.3

(1 )(2 )

iz

i i

−=

− + d.

2 2

2 2

(1 2 ) (1 )

(3 2 ) (2 )

i iz

i i

− − −=

− − −

e.2

1

(1 )

iz

i

−=

+ f.

61

1

iz

i

+ = −

Bài 18 : Giải phương trình sau trên tập số phức a.2 . 1 5. 2i z z i− = − b.(3 ) (1 )(4 2 )i z i i− = + −

c.(2 ) 3 2i z i i− + = + d.2 1 3

1 2 2

i izi i

+ − −=

+ +

e.3 (2 3 )(1 2 ) 5 4z i i i+ + − = + f. 2(1 ) (1 – ) 2 3i z i i+ + = −

Bài 19 : Tính Cho 2(1 2. ) 3z i i= − + .Tính z

Bài 20 : Cho 3

4

(1 )

(1 )

iz

i

−=

+. Tính

1

z

Bài 21 : Cho 31

1 3( )

2 2z i= − + và 3

2

1 3( )2 2

z i= + . Tính z1.z2

Bài 22 : Tìm số phức z có phần thực và phần ảo đối nhau và 2 2z =


Câu b: Tâm: 1 23

( ; ; )2

I − là trung điểm đoạn thẳng BC.

Bán kính: 69

2 2

BCR = =

( 2 2 2(0 2) (2 1) ( 6 2) 69BC = − + − + − − = )

Phương trình mặt cầu: 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

3 69( 1) ( ) ( 2)

2 4

x a y b z c R

x y z

− + − + − =

⇔ − + − + + =

Câu c: Tâm: C(0;2; –6).

Bán kính: 2 2 2

0 2.2 2( 6) 1 15( ,( )) 5

31 ( 2) 2R d C P

− + − += = = =

+ − +

Phương trình mặt cầu:

2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

( 2) ( 6) 25

x a y b z c R

x y z

− + − + − =

⇔ + − + + =

Bài 5 : Cho mặt cầu 2 2 2( ) : 2 6 8 1 0S x y z x y z+ + − + − + = , hai điểm

(0; 3;2), (1; 1; 1)A B − −

a.Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu. b.Viết phương trình mp(α) đi qua cạnh AB và tâm I của m.cầu. c.Viết phương trình mp(β) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm (1;1;1)M

Bài giải

Câu a: Ta có

2 2 1

2 6 3

2 8 4

1 1

a a

b b

c c

d d

− = − = − = = − ⇔ − = − = = =

. Nên toạ độ tâm: (1; 3; 4)I −

Bán kính: 2 2 2 2 2 21 ( 3) 4 1 5R a b c d= + + − = + − + − =

Câu b: Hai véctơ: (1; 4; 3)AB = − −��

(0; 2;5)BI = −��

vtpt:

4 3 3 1 1 4[ , ] ; ; ( 26; 5; 2)

2 5 5 0 0 2n AB BI

− − − − = = = − − − − −

��


Welcome

Rectangle


Bài 3 : Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) biết:

a.1

: 2

2

x t

d y t

z t

= − = + =

và ( ) : 3 4 6 0x y zα + − − =

b.1 4

:1 1 3

x y zd

+ −= =

− và ( ) : 3 2 2 0x y zα − − − =

Bài giải Câu a: Thay x,y,z từ PTTS của d vào PTTQ của ( )α ta được

3(1 ) 4(2 ) (2 ) 6 0

3 3 8 4 2 6 0

5 0 5

t t t

t t t

t t

− + + − − =⇔ − + + − − =⇔ − + = ⇔ =

Thay t = 5 trở lại vào PTTS của d, ta được 1 5 4

: 2 5 7

2.5 10

x

d y

z

= − = − = + = = =

Vậy, giao điểm của d và (α) là ( 4;7;10)H −

Câu b: Dạng PTTS của d:

1

( )

4 3

x t

y t

z t

= − + = − ∗ = +

Thay x,y,z từ ( )∗ vào PTTQ của ( )α ta được 11

2t = −

Thay 11

2t = − trở lại vào ( )∗ , ta được g.điểm

13 11 25( ; ; )

2 2 2H − −

Bài 4 : Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2; –6) và mp( ) : 2 2 1 0P x y z− + + =

a.Viết phương trình mặt cầu tâm B, đi qua A b.Viết phương trình mặt cầu đường kính BC. c.Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

Bài giải Câu a: Tâm: B(2;1;2)

Bán kính: 2 2 2(2 1) (1 3) (2 1) 6R AB= = − + − + − =

Phương trình mặt cầu: 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − = 2 2 2( 2) ( 1) ( 2) 6x y z⇔ − + − + − =


Bài 23 : Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. 23 1 0z z− + = b. 2 – 4 5 0z z + = c. 23 – 5 4 0z z− − = d. 2 1 0z z− + − = e. 22 4 9 0z z+ + = f. 2 4 6 0z z− + − = g. 23 6 17 0z z+ + = h. 2 3 3 0z z− + = i. 3 27 0z − = j. 3 2 8 8 0z z z+ + + = k. 4 2 – 12 0z z− = l. 4 23 2 5 0z z+ − =

Bài 24 : Cho số phức 2 2z i= − .Tính 2 2z z+


Welcome

Rectangle


Ph�n V. Ph�n V. Ph�n V. Ph�n V. PH��NG PHÁP TO( Đ*PH��NG PHÁP TO( Đ*PH��NG PHÁP TO( Đ*PH��NG PHÁP TO( Đ* TRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIAN

I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Tọa độ của véctơ và tọa độ của điểm trong không gian

�� 1 2 3 1 2 3( ; ; )a a a a a a i a j a k= ⇔ = + +

� � � � �

�� ( ; ; )M x y z OM xi y j zk= ⇔ = + +��

�� ( ; ; )B A B A B A

AB x x y y z z= − − −��

�� Trung điểm I của đoạn AB �� Trọng tâm G của tam giác ABC

2

2

2

A BI

A BI

A BI

x xx

y yy

z zz

+ = + = + =

3

3

3

A B CG

A B CG

A B CG

x x xx

y y zy

z z zz

+ + = + + = + + =

2. Tích vô hướng và tích có hướng

Cho 2 véctơ ( ; ; ) ( ; ; )a x y z b x y z′ ′ ′= =� �

;

�� Tích vô hướng: .a b xx yy zz′ ′ ′= + +� �

�� Tích có hướng: , ; ;y z z x x y

n a by z z x x y

= = ′ ′ ′ ′ ′ ′

�� [ ]

�� 2 2 2a x y z= + +�

�� 2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B A

AB x x y y z z= − + − + −

�� 2 2 2 2 2 2

.cos( , )

. .

a b xx yy zza b

a b x y z x y z

′ ′ ′+ += =

′ ′ ′+ + + +

��

3. Một số tính chất và ứng dụng

�� . 0a b a b⊥ ⇔ =� � � �

�� Nếu [ , ]n a b=� ��

thì n a n b⊥ ⊥��

;

�� ,a b� �

cùng phương với nhau [ , ] 0a b⇔ =� � �

�� , ,a b c� � �

đồng phẳng [ , ]. 0a b c⇔ =� � �


Bài giải Câu a: CMR, ∆ABC vuông, tính diện tích của nó

2 2 2( 2; 2; 4) ( 2) ( 2) 4 2 6AB AB= − − ⇒ = − + − + =��

(0; 2; 1) 5AC BC= − − ⇒ =��

. 2.0 2.( 2) 4.( 1) 0AB AC⇒ = − − − + − =��

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Diện tích tam giác ABC:1 1

. .2 6. 5 302 2ABC

S ABAC∆ = = =

Câu b: Viết PTTS của trung tuyến AM Điểm M là trung điểm BC nên 1

2(0;1; )M −

vtcp: 32

( 1; 2; )u AM= = − −��

PTTS của trung tuyến AM:

0

03

0 2

1

3 2 ( )

2

x x at x t

y y bt y t t

z z ct z t

= + = − = + ⇔ = − ∈ = + = − +

�

Câu c: Viết PTTQ của mặt phẳng (ABC)

Hai véctơ: ( 2; 2; 4)AB = − −��

(0; 2; 1)AC = − −��

vtpt:

2 4 4 2 2 2[ , ] ; ; (10; 2; 4)

2 1 1 0 0 2n AB AC

− − − − = = = − − − − −

��

Điểm: (1; 3; –2)A

PTTQ: 0 0 0

( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

10( 1) 2( 3) 4( 2) 0

10 10 2 6 4 8 0

10 2 4 4 0

5 2 2 0

x y z

x y z

x y z

x y z

⇔ − − − + + =⇔ − − + + + =⇔ − + + =⇔ − + + =

Câu d: Khoảng cách từ M(2;1;2) đến mặt phẳng (ABC)

2 2 2

5.2 1 2.2 2 15 30( ,( ))

2305 ( 1) 2d M ABC

− + += = =

+ − +


Welcome

Rectangle


11. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho : 0

0

0

( )

x x at

d y y bt

z z ct

= + = + ∗ = +

và mặt phẳng : (1)( ) 0P Ax By Cz D+ + + =

Thay ( )∗ vào (1) ta được phương trình (2) theo biến t.

� Nếu phương trình (2) vô nghiệm t thì kết luận d || (P)

� Nếu phương trình (2) có vô số nghiệm t thì kết luận d ⊂ (P) � Nếu phương trình (2) có duy nhất nghiệm t = t0 thì thay t = t0 trở

lại vào phương trình ( )∗ ta tìm được 0 0 0

( ; ; )x y z . Kết luận d và (P)

cắt nhau tại điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z


Bài 1 : Cho 3 , 2 ,OA i j k OB i j k OC j= + + = + + =��

a.CMR, ∆ABC cân. b.Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

Bài giải Câu a: Từ giả thiết ta suy ra (1; 3;1), (1;1;2), (0;1; 0)A B C

2 2 2(0; 2;1) 0 ( 2) 1 5AB AB= − ⇒ = + − + =��

2 2 2( 1;0; 2) ( 1) 0 ( 2) 5BC BC= − − ⇒ = − + + − =��

Suy ra, AB = BC hay tam giác ABC cân tại B.

Câu b: ( 1; 3; 1)D D D

AD x y z= − − −��

( 1; 0; 2)BC = − −��

ABCD là hbh

1 1 0

3 0 3

1 2 1

D D

D D

D D

x x

AD BC y y

z z

− = − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = − = − = −

��

Vậy, (0; 3; 1)D −

Bài 2 : Cho A(1;3;–2), B(–1;1;2), C(1;1;–3) a.CMR, ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC. b.Viết PTTS của đường trung tuyến AM của tam giác ABC. c.Viết PTTQ của mặt phẳng (P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC. d.Tính khoảng cách từ điểm M(2;1;2) đến mặt phẳng (ABC)


4. Phương trình mặt cầu �� Mặt cầu (S) biết trước tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình

2 2 2 2( – ) – –x a y b z c R+ + =( ) ( )

�� Với điều kiện, phương trình có dạng: 2 2 2 – 2 – 2 – 2 0x y z ax by cz d+ + + =

là phương trình mặt cầu có tâm (a;b;c) và có bán kính 2 2 2R a b c d= + + −

Lưu ý: + M.phẳng α tiếp xúc với mặt cầu (S) thì (S) có bán kính ( , )R d I α=

5. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Nếu (P) đi qua

0 0 0 0( ; ; )M x y z , có vtpt ( ; ; )n A B C=

� thì (P) có PTTQ

0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

Lưu ý (về việc xác định vtpt của mp) ☺☺☺☺ ( ) ( )P Q� thì ( )P nhận

Qn�

làm vtpt.

☺☺☺☺ ( )P AB⊥ thì ( )P nhận AB��

làm vtpt.

☺☺☺☺ ( )P d⊥ thì ( )P nhận du�làm vtpt.

a. Cách xác định vtpt của (P) khi biết 2 véctơ có giá song song (hoặc chứa trong) (P)

Nếu ( ; ; ) , ( ; ; )a x y z b x y z′ ′ ′= =� �

có giá song song (chứa trong (P)) thì

(P) có vtpt: , ; ;y z z x x y

n a by z z x x y

= = ′ ′ ′ ′ ′ ′

�� [ ]

Lưu ý: (về việc xác định véctơ có giá song song với mp) ☺☺☺☺ ( ) ( )P Q⊥ thì

Qn�

có giá song song ( )P

☺☺☺☺ ( )P AB� thì AB��


☺☺☺☺ ( )P chứa M,N thì MN��

có giá song song

☺☺☺☺ ( )P d� thì du� có giá song song ( )P

☺☺☺☺ ( )P chứa ∆ thì u∆�


b. Cách xác định vtpt của (P) khi biết PTTQ của (P) Mp ( ) : 0P Ax By Cz D+ + + = có vtpt ( ; ; )n A B C=

�

c. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng (P) đi qua ( ; 0; 0)A a , (0; ; 0), (0;0; )B b C c có

PTTQ (P): 1x y z

a b c+ + =


Welcome

Rectangle


6. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng Cho ( ) : 0P Ax By Cz D+ + + = có vtpt ( ; ; )n A B C=

�

và ( ) : 0Q A x B y C z D′ ′ ′ ′+ + + = có vtpt ( ; ; )n A B C′ ′ ′ ′=�

a. Hai mặt phẳng song song với nhau

.

( ) ( ).

n k nP Q

D k D

′ =⇔ ′ ≠

� �

�

(Đặc biệt: nếu , , ,A B C D′ ′ ′ ′ đều khác 0 thì A B C D

A B C D= = ≠

′ ′ ′ ′)

b. Hai mặt phẳng trùng nhau

.

( ) ( ).

n k nP Q

D k D

′ =≡ ⇔ ′ =

� �

(Đặc biệt: nếu , , ,A B C D′ ′ ′ ′ đều khác 0 thì A B C D

A B C D= = =

′ ′ ′ ′)

c. Hai mặt phẳng cắt nhau ( ) ( ) .P Q n k n ′⇔ ≠

� � caét

��Hai mặt phẳng vuông góc ( ) ( )P Q n n ′⊥ ⇔ ⊥

� � (Hay: . 0n n ′ =

� �)

7. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Cho

0 0 0 0( ; ; )M x y z và ( ) : 0P Ax By Cz D+ + + = . Khi đó,

0 0 00

2 2 2( ,( ))

Ax By Cz Dd M P

A B C

+ + +=

+ +

8. Phương trình tham số của đường thẳng Đường thẳng d đi qua 0 0 0 0( ; ; )M x y z , có vtcp ( ; ; )u a b c=

�, có PTTS

0

0

0

: ( )

x x at

d y y bt t

z z ct

= + = + ∈ = +

�

Lưu ý: Nếu ( ; ; ) , ( ; ; )a x y z b x y z′ ′ ′= =��

là 2 véctơ có giá vuông góc với

d thì vtcp của d cũng được tìm bằng công thức: ,u a b=��

[ ] 9. Phương trình chính tắc của đường thẳng Đường thẳng d đi qua

0 0 0 0( ; ; )M x y z , có vtcp ( ; ; )u a b c=

�, có PTCT

0 0 0:x x y y z z

da b c

− − −= =


Lưu ý: (về cách xác định vtcp cho đường thẳng)

☺☺☺☺ d đi qua 2 điểm A,B (cho trước toạ độ) thì d có vtcp AB��

☺☺☺☺ d || ∆ (cho trước PT) thì d có vtcp u u∆=� �

☺☺☺☺ d ⊥(P) (cho trước PT) thì d có vtcp

Pu n=� �

☺☺☺☺ d vuông góc với giá của 2 véctơ ,a b�� thì d có vtcp [ , ]u a b=

��

☺☺☺☺ d song song với mp (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ thì d vuông góc với giá

của 2 véctơ Pn�

và u∆�

nên d có vtcp

,P

u n u∆=� � �

[ ]

10. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng Cho đường thẳng d qua 0 0 0 0

( ; ; ),M x y z có vtcp ( ; ; )u a b c=�

và đường thẳng d ′ qua 0 0 0 0( ; ; ),M x y z′ ′ ′ ′ có vtcp ( ; ; )u a b c′ ′ ′ ′=

�

Đặt [ ],n u u ′=� � �

a. d và d′ song song nhau c. d và d′ cắt nhau

ñieåm

0

0nd d

M d

=′ ⇔ ′ ∉

��

� caét .

0 0

0

0

nd d

n M M

≠′ ⇔ ′ =

��

��

b. d và d′ trùng nhau d. d và d′ chéo nhau

ñieåm 0

0nd d

M d

≠′≡ ⇔ ′ ∈

��

cheùo .

0 0

0

0

nd d

n M M

≠′ ⇔ ′ ≠

��

��


Welcome

Rectangle

Education

ôN thi tốt nghiep thpt-montoan-theo dan gbai - truonghocso.com