PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR

Universitas Sanata Dharma

Aljabar & Trigonometri

Integrating academic exce l lence and humanistic value

Fase-FaseBulan

Bagaimana kita bisa menjelaskan fase-base bulan?Mengapa bentuk bulan yang terlihat dari bumi berubah-ubah?Kapan kita melihat bulan baru, bulan sabit, dan bulan purnama?

Integrating academic exce l lence and humanistic value

PersamaanTrigonometriSederhana

Ketika menyelesaikan sembarang persamaan trigonometri, maka yang harus kita lakukan adalah mengubah persamaan tersebut ke dalam persamaan trigonometri sederhana

𝑇𝑇 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐dimana 𝑇𝑇 adalah fungsi trigonometri dan 𝑐𝑐 adalah konstanta.

Integrating academic exce l lence and humanistic value

ContohSoal

Selesaikan persamaan sin 𝑥𝑥 = 32

.

PEMBAHASAN Cari Selesaian dalam Satu Periode. Nilai sin 𝑥𝑥 bernilai positif ketika 𝑥𝑥 di Kuadran I dan II. Padahal

sin 60° = 32

Sehingga,𝑥𝑥 = 60°𝑥𝑥 = 180° − 60° = 120°

Kuadran I

Kuadran II

Integrating academic exce l lence and humanistic value

Cari Semua Selesaian. Karena fungsi sinus berulang setiap 360°, maka semua selesaiannya adalah

𝑥𝑥 = 60° + 𝑘𝑘 � 360°𝑥𝑥 = 120° + 𝑘𝑘 � 360°

dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.

Integrating academic exce l lence and humanistic value

KALKULATOR

GRAFIK

Integrating academic exce l lence and humanistic value

PersamaanFungsiSinus

Selesaian Umum Persamaan Fungsi SinusJika sin 𝑥𝑥 = sin𝜃𝜃, maka

𝑥𝑥 = 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 360°, atau𝑥𝑥 = 180° − 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 360°

dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.CATATAN Jika 𝜃𝜃 dalam radian, maka kita ganti 360° dengan 2π.

Integrating academic exce l lence and humanistic value

LatihanSoal

Tentukan semua selesaian persamaan berikut.sin 𝑥𝑥 = −1

2

Integrating academic exce l lence and humanistic value

ContohSoal

Selesaikan persamaan cos 𝑥𝑥 = 12

2 dan daftarlah beberapa selesaiannya.PEMBAHASAN Cari Selesaian dalam Satu Periode. Nilai cos 𝑥𝑥 bernilai positif ketika 𝑥𝑥 di Kuadran I dan IV. Padahal

cos 45° = 12

2

Sehingga,𝜃𝜃 = 45°𝜃𝜃 = −45°

Kuadran I

Kuadran IV

Integrating academic exce l lence and humanistic value

Cari Semua Selesaian. Karena fungsi cosinus berulang setiap 360°, maka semua selesaian persamaan yang diberikan adalah

𝑥𝑥 = 45° + 𝑘𝑘 � 360°𝑥𝑥 = −45° + 𝑘𝑘 � 360°

dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.Jika kita substitusi 𝑘𝑘 = −1, 0, 1, 2 maka kita dapatkan beberapa selesaian berikut.

𝑥𝑥 = −405°,−315°,−45°, 45°, 315°, 405°, 675°, 765°

𝑘𝑘 = −1 𝑘𝑘 = 0 𝑘𝑘 = 1 𝑘𝑘 = 2

Integrating academic exce l lence and humanistic value

KALKULATOR

GRAFIK

Integrating academic exce l lence and humanistic value

PersamaanFungsiCosinus

Selesaian Umum Persamaan Fungsi CosinusJika cos 𝑥𝑥 = cos𝜃𝜃, maka

𝑥𝑥 = 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 360°, atau𝑥𝑥 = −𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 360°

dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.CATATAN Jika 𝜃𝜃 dalam radian, maka ganti 360°dengan 2π.

Integrating academic exce l lence and humanistic value

LatihanSoal

Selesaikan persamaan berikut, kemudian tuliskan beberapa selesaiannya.

cos 𝑥𝑥 = −12

Integrating academic exce l lence and humanistic value

ContohSoal

Tentukan selesaian persamaan tan 𝑥𝑥 = 2.PEMBAHASAN Cari Selesaian dalam Satu Periode.

tan 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 = tan−1 2𝑥𝑥 ≈ 63,4°

Selesaian tersebut merupakan satu-satunya selesaian dalam satu periode.

Integrating academic exce l lence and humanistic value

Cari Semua Selesaian. Karena periode tangen adalah 180°, maka semua selesaian persamaan yang diberikan adalah

𝑥𝑥 = 63,4° + 𝑘𝑘 � 180°

Integrating academic exce l lence and humanistic value

KALKULATOR

GRAFIK

Integrating academic exce l lence and humanistic value

PersamaanFungsiTangen

Selesaian Umum Persamaan Fungsi TangenJika tan 𝑥𝑥 = tan𝜃𝜃, maka

𝑥𝑥 = 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 180°dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.

Integrating academic exce l lence and humanistic value

LatihanSoal

Carilah selesasian umum persamaan berikut.tan 𝑥𝑥 = 2 + 3

Integrating academic exce l lence and humanistic value

CaraPemfaktoran

Selesaikan persamaan 2 sin2 𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥 − 1 = 0.PEMBAHASAN Kita faktorkan bentuk pada ruas kiri.

2 sin2 𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥 − 1 = 02 sin 𝑥𝑥 − 1 sin 𝑥𝑥 + 1 = 0

2 sin 𝑥𝑥 − 1 = 0 atau sin 𝑥𝑥 + 1 = 0sin 𝑥𝑥 = 1

2atau sin 𝑥𝑥 = −1

Integrating academic exce l lence and humanistic value

Periode fungsi sinus adalah 360°. Sehingga kita tentukan selesaiannya untuk 0 ≤ 𝑥𝑥 < 360°.

sin 𝑥𝑥 = 12

𝑥𝑥 = 30° atau 𝑥𝑥 = 150°sin 𝑥𝑥 = −1

𝑥𝑥 = 270°Jadi, selesaian persamaan yang diberikan adalah

𝑥𝑥 = 30° + 𝑘𝑘 � 360°𝑥𝑥 = 150° + 𝑘𝑘 � 360°𝑥𝑥 = 270° + 𝑘𝑘 � 360°

Integrating academic exce l lence and humanistic value

LatihanSoal

Selesaikan persamaan berikut.cos2 𝑥𝑥 − cos 𝑥𝑥 = 0

Integrating academic exce l lence and humanistic value

PertanyaanReflektif

• Apa yang membedakan antara membuktikan identitas trigonometri dan menyelesaikan persamaan trigonometri?

• Bagaimana kalian melihat selesaian persamaan2 sin2 𝑥𝑥 − 1 = 0

dalam selang 0, 2𝜋𝜋dengan menggunakankalkulator grafik?

Integrating academic exce l lence and humanistic value

Fase-FaseBulan

Jika sudut yang dibentuk oleh matahari, bumi, dan bulan adalah 𝜃𝜃, maka nilai

𝐹𝐹 = 12

1 − cos𝜃𝜃

akan menentukan bentuk bulan.Bulan baru : 𝐹𝐹 = 0Bulan sabit : 𝐹𝐹 = 0,25Kuartal awal/akhir : 𝐹𝐹 = 0,5Bulan purnama : 𝐹𝐹 = 1

Integrating academic exce l lence and humanistic value

𝜃𝜃 = 60°

F = 0,25 (bulan sabit)

𝜃𝜃 = 300°

F = 0,25 (bulan sabit)

Integrating academic exce l lence and humanistic value

#HaveANiceDay