Upload
evia-f-kusmana
View
203
Download
10
Embed Size (px)
DESCRIPTION
ini presentasi tentang beragam persamaan trigonometri semoga dapat bermanfaat untuk kalian semua
Citation preview
ASSALAMU’ALAIKUM
PEMBAHASAN
Periodesasi Fungsi Trigonometri Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri Persamaan yang mengandung Jumlah
Perbandingan Trigonometri Persamaan Kuadrat Perbandingan
Trigonometri Persamaan berbentuk : a cos x + b sin x = c
Periodesasi Fungsi TrigonometriSecara lebih umum lagi dapat dinyatakan: sin (x + k.2π) = sin x cos (x + k.2π) = cos x tan (x + k.π) = tan x
Dalam hal ini dikatakan bahwa fungsi trigonometri adalah fungsi periodik. Sehingga periode untuk sin x, cos x, cosec x, dan sec x adalah 2π atau 360°, periode untuk tan x dan cot x adalah π atau 180°.
• Contoh 1Periode fungsi sin x adalahkarena sin x = sin (x + k.2π)
• Contoh 2
Periode fungsi sin 2x adalah
karena sin 2x = sin (2x + k.2π)
maka, sin 2x = sin 2 (x+ k.π)
• Contoh 3Periode fungsi cos 3x adalahkarena cos 3x = cos (3x + k.2π)
maka, cos 3x = cos 3 (x + k.⅔ π)
• Contoh 4Periode fungsi tan 3x adalahkarena tan 3x = tan (3x + k.180°)
maka, tan 3x = tan 3 (x + k.60°)
• Contoh 5
Periode fungsi sin ⅔ x adalah
karena sin ⅔ x = sin (⅔ x + k. 360°)
maka, sin ⅔ x = sin ⅔ (x + k. 540°)
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa fungsi trigonometri untuk satu atau beberapa sudut ruang yang tidak diketahui.Misal:Sin 2x = ½ (satu fungsi, satu sudut)Sin x cot 2x - ⅙ √3 = 0 (dua fungsi, satu sudut)Sin (x-y) – 1 = 0 (satu fungsi, dua sudut)Sin (x-y) cos (x-y) = ¼ (√3 +2) tan y (tiga fungsi, dua sudut)
Yang dimaksud bentuk dasar persamaan trigonometri adalah persamaan yang berbentuk umum :
( dengan x sudut yang tidak diketahui dan k bilangan real )
Dari bentuk-bentuk tersebut dapat langsung ditemukan x nya. Untuk sin x=k dan cos x = k dapat diselesaikan bila -1≤ k ≤1.
Karena periodiknya fungsi trigonometri maka penyelesaian umum bentuk-bentuk
dasar persamaan pada sebelumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :
(1) sin x = sin α → x = α + k.2π
atau x = (π – α)+k.2π khusus sin x = 0 → x = 0 + k.π
(2) cos x = cos α → x = ± α + k.2π khusus cos x = 0 → x = ½ π + k.π
(3) tan x = tan α → x = α + k.π dengan x R dan k bilangan bulat
Contoh soalTentukan Penyelesaian dari Persamaan berikut, untuk 00 x 3600 :
a. sin xo = 32
1 b. sin (x+30)o – 1 = 0
JawabJawab
a. sin xo =
sin x =sin (– 600 ) x2 = 180 – (– 600 )+ k. 360 x1 = (– 600 )+ k. 360 atau
k = 0 x = – 600 ( tdk. memenuhi )
k = 1 x = 3000
k = 2 x = 6600 ( tdk. memenuhi )
k = 0 x =2400
x2 = 2400 + k. 360
k = 1 x =6000
Jadi, Harga x yang memenuhi = 2400 atau 3000
( tdk. memenuhi )
32
1
b. sin (x+30)o – 1 = 0
sin (x+30)sin (x+30)o o = 1 = 1
sin (x+30)sin (x+30)o o = = sin 90sin 90o o
x1 +300=900 + k. 360x1 =600 + k. 360
atau
x2 = 600 + k. 360
k = 0 x = 600
( tdk. memenuhi )k = 1 x = 4200
k = 2 x = 7800 ( tdk. memenuhi )
Jadi, Harga x yang memenuhi = 600
x2 +300= 180 –(900 )+ k. 360
b. sin (x+30)o – 1 = 0
sin (x+30)sin (x+30)o o = 1 = 1
sin (x+30)sin (x+30)o o = = sin 90sin 90o o
x1 + 300=900 + k. 360x1 =600 + k. 360
atau
x2 = 600 + k. 360
k = 0 x = 600
( tdk. memenuhi )k = 1 x = 4200
k = 2 x = 7800 ( tdk. memenuhi )
Jadi, Harga x yang memenuhi = 600
x2 +300= 180 –(900 )+ k. 360
Contoh SoalTentukan Himpunan Penyelesaiannya :
cos 3xo = 32
1untuk 00 x 3600
JawabJawab
( tdk. memenuhi )x = –100
x = 1100 x = 2300
k = 0 x = 100 k = 1 x = 1300
k = 2 x = 2500
k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 x = 3500
3x1 = 300 + k. 360 atau 3x2 = –300 + k. 360
x1 = 100 + k. 120 atau x2 = –100 + k. 120
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah =
{100 , 1100 , 1300 , 2300, 2500, 3500 }
cos 3x = cos 300
cos 3x = 32
1
cos 3xo =
cos 3x = cos 300
3x1 = 300 + k. 360
32
1
atau 3x2 = –300 + k. 360
Contoh Soal
Tentukan Himpunan Penyelesaiannya :
tan 2xo = 3 untuk 00 x 3600
Jawab :Jawab :
tan 2xo = 3
tan 2x = tan 600
2x1.2 = 600 + k. 180
x1.2 = 300 + k. 90
k = 0 x = 300 k = 1 x = 1200 k = 2 x = 2100 k = 3 x = 3000
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah ={300 , 1200 , 2100 , 3000 }
Persamaan Berbentuk
sinpx = a, cospx = a dan tanpx = adiselesaikan dengan cara mengubah kepersamaan sederhana, yaitu dengan merubah ruas kanan (konstanta a) menjadi perbandingan trigonometri yang senama dengan ruas kiri
Contoh 1:
Himpunan penyelesaian sin 3x = ½, 0° x 180°
Jawab: sin 3x = sin 30° maka • 3x = 30° + k.360°
x = 10° + k.120° k = 0 x = 10° k = 1 x = 10° + 120° = 130°
• 3x = (180 - 30) + k.360° 3x = 150° + k.360° x = 50° + k.120°
k = 0 x = 50°k = 1 x = 50° + 120° = 170°Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah { 10°, 50°, 130°, 170°}
Contoh 2:
Himpunan penyelesaian cos (x + ¾π) = ½√2 , 0 x 2π
Jawab: cos (x + ¾π) = cos¼π
• (x + ¾π) = ¼π + 2k.π x = -¾π + ¼π + 2k.π x = -½π + 2k.π k = 1 x = -½π + 2π = 1½π
• (x + ¾π) = -¼π + 2k.π
• (x + ¾π) = -¼π + 2k.π x = -¾π - ¼π + 2k.π x = -π + 2k.π k = 1 x = -π + 2π = π Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1½π, π }
Contoh 3:
Himpunan penyelesain tan ⅓x = √3, 0° x 2π
Jawab: tan⅓x = tan ⅓π ⅓x = ⅓π + 2k.π x = π + 6k.π k = 0, x = π
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { π }
Contoh 4:
Himpunan penyelesaian 2cos x + 1= 0 , 0° x 360°
Jawab: 2cosx + 1 = 0 2cosx = -1 cosx = -½
x = 120°, 210° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120°, 210°}
Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan ini pada dasarnya seperti aljabar, yaitu:
Diingat bahwa untuk melogaritmakan suku-suku yang berperan adalah kelompok rumus Identitas
• Contoh soalTentukan HP dari sin 3 x + sin x – sin 2x = 0untuk 0° ≤ x ≤ 360° .Jawab: sin 3 x + sin x – sin 2x = 02 sin 2x cos x – sin 2x = 0sin 2x (2 cos x – 1) = 0sin 2x = 0 → 2x = 0 + n.180° → x = 0 + n. 90°
2 cos x – 1 = 0 → cos x = ½ → x = ± 60 + n. 360°
Maka HP: {0°, 60°, 90°, 180°, 270°, 300°, 360°}
Contoh soalcos 3x + cos 2x + cos x = 0 , 0°≤x≤360°. tentukan HP?Jawab:cos 3x + cos 2x + cos x = 02 cos 2x cos x + cos 2x = 0cos 2x (2 cos x + 1) = 0cos 2x = 0 → 2x = 90 + n.180 → x = 45 + n. 90°
2 cos x + 1 = 0 → cos x = ½ → x = ± 120 + n. 360° Maka HP: {45°, 120°, 135°, 225°, 240°, 315°}
Contoh soal : Selesaikan tan 2x + tan x= tan 3x, 0° ≤ x ≤ 360°
Jawab: tan 2x + tan x - tan 3x = 0 tan 3x (1 – tan 2x . tan x) – tan 3x = 0 tan 3x (1 – tan 2x . tan x – 1) = 0 tan 3x tan 2x tan x = 0 tan 3x = 0 → 3x = 0 + n.180 ° → x = 0 + n.60 °
tan 2x = 0 → 2x = 0 + n.180 ° → x = 0 + n.90 °
tan x = 0 → x = 0 + n. 180 °
Maka HP: {0°, 60°, 90°, 120°, 180°, 240°, 270°, 300°, 360°}
Persamaan Kuadrat Perbandingan Trigonometri
• Bentuk Umum:a sin²x + b sin x + c = 0a cos²x + b cos x + c = 0a tan²x + b tan x + c = 0
Persamaan Trigonometriyang berbentuk persamaan kuadrat
dalam sin, cos atau tan
Langkah-langkahnya:
1. Langsung difaktorkan bila sudah berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan.
Langkah ke-2
2. Bila belum berbentuk persamaan
kuadrat dalam sin ,cos atau tan,
ubah dulu ke bentuk persamaan
kuadrat dalam sin, cos atau tan,
dengan menggunakan:
1. Rumus trigonometri sederhana
2. Rumus trigonomteri sudut rangkap
Rumus Pendukung
• Rumus-rumus pendukung untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini terutama dengan rumus Identitas, seperti:(1) sin 2x = 2 sin x cos x(2) cos 2x = cos²x - sin²x= 2 cos²x – 1
= 1- 2 sin²x(3) tan 2x = 2 tan x
1-tan²x
Contoh 1:
Himpunan penyelesaian dari2sin2x + 3sinx – 2 = 0, 0° x 360°
Jawab:
2sin2x + 3sinx – 2 = 0(2sinx – 1)(sinx + 2) = 02sin x – 1 = 0 atau sinx + 2 = 0• 2sin x – 1 = 0 2sinx = 1 sinx = ½
Lanjutan
sinx = ½ sinx = sin 30°
x = 30° + k.360°
k = 0 x = 30°
x = (180° – 30°) + k.360°
x = 150° + k.360°
k = 0 x = 150°
• Untuk sinx + 2 = 0, sin x = -2
tidak ada nilai x yang memenuhi.
Jadi, Hp = { 30°, 150°}
Contoh 2:
Himpunan penyelesaiancos2x + 2cosx = 3, 0° x 360° Jawab: cos2x + 2cosx = 3
cos2x + 2cosx – 3 = 0 (cosx + 3)(cosx – 1) = 0
• cosx + 3 = 0 cosx = -3 tidak ada harga x yang memnuhi
LANJUTAN
(cosx + 3)(cosx – 1) = 0• cosx - 1= 0 cosx = 1
x = 0°, 360° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 360°}
Contoh 3:
Himpunan penyelesaiantan2x – 3 = 0, 0° x 360° Jawab: tan2x – 3 = 0
(tanx + √3)(tan - √3) = 0• tanx + √3 = 0 tanx = -√3
x = 120°, 300°
LANJUTAN
(tanx + √3)(tan - √3) = 0 tanx - √3 = 0 tanx = √3 x = 60°, 240°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 120°, 240°, 300°}
Contoh 4:
Himpunan penyelesaiancos2x – sinx = 1, 0° x 360° Jawab: cos2x – sinx = 1
1 - 2sin2x – sinx = 1 sinx(- 2sinx – 1) = 0 sinx = 0 atau -2sinx – 1 = 0
• sin x = 0 x = 0°, 180°, 360° • -2sinx – 1 = 0 -2sinx = 1
LANJUTAN -2sinx – 1 = 0
-2sinx = 1 sinx = -½
x = 210°, 330° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0°, 180°, 210°, 330°, 360°}
Contoh 5:
Himpunan penyelesaiancos2x – 3cosx + 2 = 0, 0° x 360° Jawab: cos2x – 3cosx +2 = 0
2cos2x – 1 – 3cosx + 2 = 0 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (2cosx – 1)(cosx – 1) = 0
• 2cosx – 1 = 0 2cosx = 1 cosx = ½
LANJUTAN
(2cosx – 1)(cosx – 1) = 0 cosx = ½ x = 60°, 300°
cosx – 1 = 0 cosx = 1 x = 0°, 360°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 60°, 300°, 360°}
Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c• Untuk menyelesaikan persamaan
a cos x + b sin x = c,c diubah menjadi bentuk k cos (x – α),dengan cara:
• a cos x + b sin x = k cos (x – α), k > 0
k (cos x cos α + sin x sin α)
k cos x cos α + k sin x sin α
k cos α . cos x + k sin α . Sin x
maka: k cos α = a tan α = b
k sin α = b a
Lanjutan
k² cos²α = a²k² sin²α = b² +k² (cos²α + sin²α) = a² + b²
k² = a² + b²k = √a² + b² → k tertentu
karena k > 0, letak α ditentukan oleh cos α dan sin α, yaitu tanda a dan b.
Contoh :Selesaikan 3 cos x + 4 sin x = 2Jawab :a = 3, b = 4, c = 2k cos (x – α) = c → k = √a²+b²
= √3²+4² = √25 = 5 tan α = =
α = 53,8°
a
b
3
4
LANJUTAN
k cos (x – α) = c5 cos (x – 53,8 °) = 2Cos (x – 53,8 °) = 0,4X – 53,8 ° = 66,25° + n . 360°X1 = 66,25° + 53,8° + n . 360°
X1 = 119,33° + n . 360°
X2 = - 66,25° + 53,8° + n . 360°
X2 = 346,43° + n . 360°
Latihan Soal1. Himpunan penyelesaian persamaan dari
cos x + sin x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah …A. {15°, 255°} D. {75°, 315°}B. {30 °, 255°} E. {105°, 345°}C. {60° , 180°}
2. Diketahui persamaan 2 sin2x + 5 sinx – 3 = 0 untuk -90° ≤ x ≤ 90°, nilai cos x adalah …A. D. B. E.C.
32
1
32
1
2
1
22
1
2
1
22
3. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0° < x < 360°
himpunan penyelesaiannya adalah … A. {135°, 315°} D. {75°, 315°}B. {60 °, 255°} E. {30° , 180°}C. {105°, 345°}
4. Bentuk (-cos x - sin x) dapat diubah menjadi bentuk …A. 2 cos (x - π) D. -2 cos (x - π )
B. 2 cos (x + π) E. 2 cos (x - π )
C. 2 cos (x + π)
3
4
3
4
6
7
3
1
6
7
3
5. Himpunan penyelesaian sin4x + sin2x = 0, untuk 0° x 360° adalah …A. {45°, 135°, 150°, 240°, 330°, 360°}B. {60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°}C. {30°, 135°, 150°, 270°, 300°}D. {60°, 120°, 150°, 270°, 360°}E. {45°, 120°, 180°, 240°, 330°, 360°}
Kunci jawaban Latihan Soal1.E 4. A2.E 5. B3.A