Naizmenične veličine Sinusoidalne veličine - amplituda, fekvencija, početna faza. Vektori - kompleksni račun. Otpor, induktivitet i kapacitet u naizmeničnom strujnom krugu. Ohmov zakon u naizmeničnom strujnom krugu. I i II Kirchhoffov zakon u naizmeničnom strujnom krugu. Vektorski dijagram napona i struja.

t

u,i

u=f(t)=konst.

i=f(t)=konst.u(t)

i(t)

Uvodni pojmoviMatematička funkcija koja opisuje sinusnu veličinu:

U strujnim krugovima radi se o naponima i strujama:

x t A t sin

A sin

V sin

iMAX

uMAX

tIti

tUtu

• x posmatrana veličina koja se menja po sinusnom zakonu,• A predstavlja maksimalnu vrednost (amplitudu) koju ta veličina

može poprimiti,• a(t) argument funkcije sinus, koji je funkcija vremena t.

gdje je:

• w=2f [rad/s] - kružna frekvencija,• f [Hz], - frekvencija (f =1/T, T[s] - period),• i [rad], [] – početne faze.

gdje je:

Uvodni pojmoviRešavanje zadataka sa vremenski promjenljivim

(sinusoidalnim) veličinama:

Preslikavanje u kompleksno područje vrši se odgovarajućim matematičkim postupkom.

• direktno rešavanje problema u vremenskom području - vrlo komplikovano (rešavanje diferencijalnih jednačina),

• rešavanje problema preslikavanjem u kompleksno područje čime se izbegava vremenska dimenzija problema i pojednostavnjuje proračun.

u(t)=f(U, t, ) sustav dif. jedn. u(t)=f(U, t, j)cplxu=f(U, ) u=f(U, )c plxt u(t)=f(U, t, ) sustav dif. jedn. u(t)=f(U, t, j)cplxu=f(U, ) u=f(U, )c plxt

Uvodni pojmovi

Izraz u vitičastoj zagradi na desnoj strani može se predstaviti sa rotirajućim vektorom, pri čemu je:

• w - ugaona brzina kojom vektor rotira oko svog početka,• UMAX - amplituda vektora.

Re

Im

U= U MAX

/2

t

Može se pokazati da važi izraz:

U t U eMAX MAXj t sin Im

Kako bi se radio sa efektivnom vrednostima sinusne veličine vrši se deljenje amplitude s faktorom 2.

Budući da se radi o dvodimenzionim vektorima oni se najčešće zapisuju uz pomoć kompleksnih brojeva:

Uvodni pojmovi

• x osa označava se kao realna osa,• y osa označava se kao imaginarna osa i sve veličine dobivaju prefiks j.

Re

Im (j)

A

jBU

Pri tome je:

sin

cos

UB

UA

odnosno:

A

Barctg; BAU 22

Uvodni pojmovi Stoga vrede sledeći načini zapisa vektora:

UU

jBA

U

Pri tome je sabiranje lakše izvesti sa prvim načinom zapisa:

dok je množenje i deljenje jednostavnije s drugim načinom zapisa:

2121221121 BBjAAjBAjBAUU

212

1

22

11

2

1

2121221121

U

U

U

U

U

U

UUUUUU

Zadatak

f = 50 [Hz] UMAX1 = UMAX2 = 100 [V] j1 = 30 [°] j2 = 60 [°]

Dva izvora naizmeničnog sinusnog napona spojena su redno. Odredite ukupni napon koji daju ovi izvori.

u1(t)

u2(t)

u(t)=u 1(t)+u 2(t)

+

+