2o ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ

laquoΣΟ ΠΤΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑΑΠΟ ΣΟΝ ΠΤΘΑΓΟΡΑ ΚΑΙ ΣΟΝ ΕΤΚΛΕΙΔΗ

Ω ΗΜΕΡΑraquoυνεργάςτηκαν Γρηγοριάδησ Γεώργιοσ Μαθηματικόσ

Πζτςασ Νικόλαοσ Φιλόλογοσ

υνοπτικό διάγραμμα τησ ιςτορίασ τησ γεωμετρίασ ζωσ τον Ευκλείδη

bull φμφωνα με τισ μαρτυρίεσ αρχαίωνςυγγραφζων θ γεωμετρία είναι δθμιοφργθματων Αιγυπτίων Οδθγικθκαν ςτθν ανακάλυψιτουσ αυτι από τθν ανάγκθ μζτρθςθσ τθσ γθσδίπλα ςτισ όχκεσ του ποταμοφ Νείλου

bull Υςτερα από κάκε πλθμμφρα του ποταμοφ καιαπομάκρυνςθ των υδάτων θ γθ ζπρεπεπάντοτε να μετριζται ξανά για λόγουσκτθματολογικοφσ και φορολογικοφσ

bull Η δθμιουργία τθσ γεωμετρίασ ωσ επιςτιμθσ γιατθν ζρευνα των ιδιοτιτων του χϊρου είναιαποκλειςτικό ζργο του ελλθνικοφ πνεφματοσ καιαποδίδεται ςτο Θαλι το Μιλιςιο ο οποίοσςυγκαταλζγεται μεταξφ των επτά ςοφϊν τθσαρχαιότθτασ

bull Μετά το Θαλι μνθμονεφονται ωσ ςπουδαίοιμακθματικοί ο Μαμζρτιοσ ο Αναξίμανδροσ και οΠυθαγόρασ ο άμιοσ ο οποίοσ ζδραςε ςτθΜεγάλθ Ελλάδα

Ήταν γνωςτό το πυθαγόρειο

θεώρημα πριν από τον Πυθαγόρα

1 Μεςοποταμία

bull το ςθmicroερινό Ιράκ ζνασ microεγάλοσ αρχαίοσπολιτιςmicroόσ αναπτφχκθκε πριν από 4000χρόνια ο πολιτιςmicroόσ τθσ Μεςοποταμίασ

bull Μεταξφ των πινακίδων που ζγιναναντικείmicroενο ειδικισ και λεπτοmicroεροφσεξζταςθσ υπάρχει microία microε τθν απλι ονοmicroαςίαlaquoYBC 7289raquo

Η πινακίδα YBC 7289

Αποδεικνφει ότι οι Βαβυλϊνιοι γνϊριηαν πϊσ ναυπολογίηουν τθν τετραγωνικι ρίηα ενόσ αρικmicroοφ microεαξιοκαφmicroαςτθ ακρίβεια (ίςθ microε αυτι microιασςφγχρονθσ αρικmicroοmicroθχανισ οκτώ ψθφίων) Άραγνϊριηαν το πυκαγόρειο κεϊρθμα

2 Αίγυπτοσ

bull Η κφρια πθγι πλθροφοριϊν για τα μακθματικά τωναρχαίων Αιγυπτίων προζρχεται από τον ΠάπυροRhind μία ςυλλογι από 84 μακθματικά προβλιματααρικμθτικισ γεωμετρίασ και ςτοιχειϊδουσάλγεβρασ θ οποία γράφθκε περί το 1650 πΧ

bull Η απουςία οποιαςδιποτε αναφοράσ ςτοπυκαγόρειο κεϊρθμα υποδθλϊνει με αρκετιβεβαιότθτα ότι οι Αιγφπτιοι δεν το γνϊριηαν

3 Πυθαγόρασ

bull φμφωνα με τθν παράδοςθο Πυκαγόρασ γεννικθκε γφρωςτο 570 πΧ ςτθ άμο

bull Γφρω ςτο 530 πΧ ο Πυκαγόρασ εγκατζλειψε τθάμο και εγκαταςτάκθκε ςτον Κρότωνα μίαελλθνικι αποικία ςτθν Κάτω Ιταλία Εκεί ίδρυςεςχολι ςτθν ουςία μια μυςτικιςτικι οργάνωςθ

bull Οι πυκαγόρειοι υιοκετοφςαν τθν ανατολικιπαράδοςθ τθσ προφορικισ μεταβίβαςθσ τθσγνϊςθσ με αποτζλεςμα να μείνουν λιγοςτζσ ζωσμθδαμινζσ γραπτζσ καταγραφζσ

1θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

Ειδικι περίπτωςθ του πυκαγόρειου κεωριmicroατοσγια τρίγωνο με γωνίεσ 450 450 και 900

2θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

β2

γ2

α2

Μετά τον Πυθαγόρα

bull Εν τω microεταξφ microεγάλεσ πολιτικζσ αλλαγζσαναδιαmicroόρφωναν τον αρχαίο κόςmicroο Η περςικιαυτοκρατορία αποκτοφςε υπεροχι και ςφντοmicroαδιαδζχκθκε τθ Βαβυλϊνα αναδεικνυόmicroενθ ςεκυρίαρχθ δφναmicroθ τθσ ανατολικισ Μεςογείου

bull Σο 490 πΧ οι Ακθναίοι νίκθςαν το ςτρατό των Περςϊν ςτον Μαρακϊνα και θ Ακινα επζβαλε τθν πολιτικι κυριαρχία τθσ ςτισ ελλθνικζσ πόλεισ - κράτθ

bull Ακολοφκθςε microιςόσ αιϊνασ ειρινθσ κατά τθδιάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντροδθmicroοκρατίασ και microάκθςθσ Ωςτόςο θ περίοδοσθρεmicroίασ ζλθξε microε τον Πελοποννθςιακό Πόλεmicroο(431-404 πΧ) ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθςτρατιωτικά από τθ πάρτθ

bull Ζπειτα το 371 πΧ θ πάρτθ νικικθκε από τισπόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει Σοκζντρο τθσ microάκθςθσ microεταφζρκθκε ςτον Σάραντατθσ Κάτω Ιταλίασ όπου οι πυκαγόρειοιαναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

υνοπτικό διάγραμμα τησ ιςτορίασ τησ γεωμετρίασ ζωσ τον Ευκλείδη

bull φμφωνα με τισ μαρτυρίεσ αρχαίωνςυγγραφζων θ γεωμετρία είναι δθμιοφργθματων Αιγυπτίων Οδθγικθκαν ςτθν ανακάλυψιτουσ αυτι από τθν ανάγκθ μζτρθςθσ τθσ γθσδίπλα ςτισ όχκεσ του ποταμοφ Νείλου

bull Υςτερα από κάκε πλθμμφρα του ποταμοφ καιαπομάκρυνςθ των υδάτων θ γθ ζπρεπεπάντοτε να μετριζται ξανά για λόγουσκτθματολογικοφσ και φορολογικοφσ

bull Η δθμιουργία τθσ γεωμετρίασ ωσ επιςτιμθσ γιατθν ζρευνα των ιδιοτιτων του χϊρου είναιαποκλειςτικό ζργο του ελλθνικοφ πνεφματοσ καιαποδίδεται ςτο Θαλι το Μιλιςιο ο οποίοσςυγκαταλζγεται μεταξφ των επτά ςοφϊν τθσαρχαιότθτασ

bull Μετά το Θαλι μνθμονεφονται ωσ ςπουδαίοιμακθματικοί ο Μαμζρτιοσ ο Αναξίμανδροσ και οΠυθαγόρασ ο άμιοσ ο οποίοσ ζδραςε ςτθΜεγάλθ Ελλάδα

Ήταν γνωςτό το πυθαγόρειο

θεώρημα πριν από τον Πυθαγόρα

1 Μεςοποταμία

bull το ςθmicroερινό Ιράκ ζνασ microεγάλοσ αρχαίοσπολιτιςmicroόσ αναπτφχκθκε πριν από 4000χρόνια ο πολιτιςmicroόσ τθσ Μεςοποταμίασ

bull Μεταξφ των πινακίδων που ζγιναναντικείmicroενο ειδικισ και λεπτοmicroεροφσεξζταςθσ υπάρχει microία microε τθν απλι ονοmicroαςίαlaquoYBC 7289raquo

Η πινακίδα YBC 7289

Αποδεικνφει ότι οι Βαβυλϊνιοι γνϊριηαν πϊσ ναυπολογίηουν τθν τετραγωνικι ρίηα ενόσ αρικmicroοφ microεαξιοκαφmicroαςτθ ακρίβεια (ίςθ microε αυτι microιασςφγχρονθσ αρικmicroοmicroθχανισ οκτώ ψθφίων) Άραγνϊριηαν το πυκαγόρειο κεϊρθμα

2 Αίγυπτοσ

bull Η κφρια πθγι πλθροφοριϊν για τα μακθματικά τωναρχαίων Αιγυπτίων προζρχεται από τον ΠάπυροRhind μία ςυλλογι από 84 μακθματικά προβλιματααρικμθτικισ γεωμετρίασ και ςτοιχειϊδουσάλγεβρασ θ οποία γράφθκε περί το 1650 πΧ

bull Η απουςία οποιαςδιποτε αναφοράσ ςτοπυκαγόρειο κεϊρθμα υποδθλϊνει με αρκετιβεβαιότθτα ότι οι Αιγφπτιοι δεν το γνϊριηαν

3 Πυθαγόρασ

bull φμφωνα με τθν παράδοςθο Πυκαγόρασ γεννικθκε γφρωςτο 570 πΧ ςτθ άμο

bull Γφρω ςτο 530 πΧ ο Πυκαγόρασ εγκατζλειψε τθάμο και εγκαταςτάκθκε ςτον Κρότωνα μίαελλθνικι αποικία ςτθν Κάτω Ιταλία Εκεί ίδρυςεςχολι ςτθν ουςία μια μυςτικιςτικι οργάνωςθ

bull Οι πυκαγόρειοι υιοκετοφςαν τθν ανατολικιπαράδοςθ τθσ προφορικισ μεταβίβαςθσ τθσγνϊςθσ με αποτζλεςμα να μείνουν λιγοςτζσ ζωσμθδαμινζσ γραπτζσ καταγραφζσ

1θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

Ειδικι περίπτωςθ του πυκαγόρειου κεωριmicroατοσγια τρίγωνο με γωνίεσ 450 450 και 900

2θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

β2

γ2

α2

Μετά τον Πυθαγόρα

bull Εν τω microεταξφ microεγάλεσ πολιτικζσ αλλαγζσαναδιαmicroόρφωναν τον αρχαίο κόςmicroο Η περςικιαυτοκρατορία αποκτοφςε υπεροχι και ςφντοmicroαδιαδζχκθκε τθ Βαβυλϊνα αναδεικνυόmicroενθ ςεκυρίαρχθ δφναmicroθ τθσ ανατολικισ Μεςογείου

bull Σο 490 πΧ οι Ακθναίοι νίκθςαν το ςτρατό των Περςϊν ςτον Μαρακϊνα και θ Ακινα επζβαλε τθν πολιτικι κυριαρχία τθσ ςτισ ελλθνικζσ πόλεισ - κράτθ

bull Ακολοφκθςε microιςόσ αιϊνασ ειρινθσ κατά τθδιάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντροδθmicroοκρατίασ και microάκθςθσ Ωςτόςο θ περίοδοσθρεmicroίασ ζλθξε microε τον Πελοποννθςιακό Πόλεmicroο(431-404 πΧ) ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθςτρατιωτικά από τθ πάρτθ

bull Ζπειτα το 371 πΧ θ πάρτθ νικικθκε από τισπόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει Σοκζντρο τθσ microάκθςθσ microεταφζρκθκε ςτον Σάραντατθσ Κάτω Ιταλίασ όπου οι πυκαγόρειοιαναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

bull Η δθμιουργία τθσ γεωμετρίασ ωσ επιςτιμθσ γιατθν ζρευνα των ιδιοτιτων του χϊρου είναιαποκλειςτικό ζργο του ελλθνικοφ πνεφματοσ καιαποδίδεται ςτο Θαλι το Μιλιςιο ο οποίοσςυγκαταλζγεται μεταξφ των επτά ςοφϊν τθσαρχαιότθτασ

bull Μετά το Θαλι μνθμονεφονται ωσ ςπουδαίοιμακθματικοί ο Μαμζρτιοσ ο Αναξίμανδροσ και οΠυθαγόρασ ο άμιοσ ο οποίοσ ζδραςε ςτθΜεγάλθ Ελλάδα

Ήταν γνωςτό το πυθαγόρειο

θεώρημα πριν από τον Πυθαγόρα

1 Μεςοποταμία

bull το ςθmicroερινό Ιράκ ζνασ microεγάλοσ αρχαίοσπολιτιςmicroόσ αναπτφχκθκε πριν από 4000χρόνια ο πολιτιςmicroόσ τθσ Μεςοποταμίασ

bull Μεταξφ των πινακίδων που ζγιναναντικείmicroενο ειδικισ και λεπτοmicroεροφσεξζταςθσ υπάρχει microία microε τθν απλι ονοmicroαςίαlaquoYBC 7289raquo

Η πινακίδα YBC 7289

Αποδεικνφει ότι οι Βαβυλϊνιοι γνϊριηαν πϊσ ναυπολογίηουν τθν τετραγωνικι ρίηα ενόσ αρικmicroοφ microεαξιοκαφmicroαςτθ ακρίβεια (ίςθ microε αυτι microιασςφγχρονθσ αρικmicroοmicroθχανισ οκτώ ψθφίων) Άραγνϊριηαν το πυκαγόρειο κεϊρθμα

2 Αίγυπτοσ

bull Η κφρια πθγι πλθροφοριϊν για τα μακθματικά τωναρχαίων Αιγυπτίων προζρχεται από τον ΠάπυροRhind μία ςυλλογι από 84 μακθματικά προβλιματααρικμθτικισ γεωμετρίασ και ςτοιχειϊδουσάλγεβρασ θ οποία γράφθκε περί το 1650 πΧ

bull Η απουςία οποιαςδιποτε αναφοράσ ςτοπυκαγόρειο κεϊρθμα υποδθλϊνει με αρκετιβεβαιότθτα ότι οι Αιγφπτιοι δεν το γνϊριηαν

3 Πυθαγόρασ

bull φμφωνα με τθν παράδοςθο Πυκαγόρασ γεννικθκε γφρωςτο 570 πΧ ςτθ άμο

bull Γφρω ςτο 530 πΧ ο Πυκαγόρασ εγκατζλειψε τθάμο και εγκαταςτάκθκε ςτον Κρότωνα μίαελλθνικι αποικία ςτθν Κάτω Ιταλία Εκεί ίδρυςεςχολι ςτθν ουςία μια μυςτικιςτικι οργάνωςθ

bull Οι πυκαγόρειοι υιοκετοφςαν τθν ανατολικιπαράδοςθ τθσ προφορικισ μεταβίβαςθσ τθσγνϊςθσ με αποτζλεςμα να μείνουν λιγοςτζσ ζωσμθδαμινζσ γραπτζσ καταγραφζσ

1θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

Ειδικι περίπτωςθ του πυκαγόρειου κεωριmicroατοσγια τρίγωνο με γωνίεσ 450 450 και 900

2θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

β2

γ2

α2

Μετά τον Πυθαγόρα

bull Εν τω microεταξφ microεγάλεσ πολιτικζσ αλλαγζσαναδιαmicroόρφωναν τον αρχαίο κόςmicroο Η περςικιαυτοκρατορία αποκτοφςε υπεροχι και ςφντοmicroαδιαδζχκθκε τθ Βαβυλϊνα αναδεικνυόmicroενθ ςεκυρίαρχθ δφναmicroθ τθσ ανατολικισ Μεςογείου

bull Σο 490 πΧ οι Ακθναίοι νίκθςαν το ςτρατό των Περςϊν ςτον Μαρακϊνα και θ Ακινα επζβαλε τθν πολιτικι κυριαρχία τθσ ςτισ ελλθνικζσ πόλεισ - κράτθ

bull Ακολοφκθςε microιςόσ αιϊνασ ειρινθσ κατά τθδιάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντροδθmicroοκρατίασ και microάκθςθσ Ωςτόςο θ περίοδοσθρεmicroίασ ζλθξε microε τον Πελοποννθςιακό Πόλεmicroο(431-404 πΧ) ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθςτρατιωτικά από τθ πάρτθ

bull Ζπειτα το 371 πΧ θ πάρτθ νικικθκε από τισπόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει Σοκζντρο τθσ microάκθςθσ microεταφζρκθκε ςτον Σάραντατθσ Κάτω Ιταλίασ όπου οι πυκαγόρειοιαναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

Ήταν γνωςτό το πυθαγόρειο

θεώρημα πριν από τον Πυθαγόρα

1 Μεςοποταμία

bull το ςθmicroερινό Ιράκ ζνασ microεγάλοσ αρχαίοσπολιτιςmicroόσ αναπτφχκθκε πριν από 4000χρόνια ο πολιτιςmicroόσ τθσ Μεςοποταμίασ

bull Μεταξφ των πινακίδων που ζγιναναντικείmicroενο ειδικισ και λεπτοmicroεροφσεξζταςθσ υπάρχει microία microε τθν απλι ονοmicroαςίαlaquoYBC 7289raquo

Η πινακίδα YBC 7289

Αποδεικνφει ότι οι Βαβυλϊνιοι γνϊριηαν πϊσ ναυπολογίηουν τθν τετραγωνικι ρίηα ενόσ αρικmicroοφ microεαξιοκαφmicroαςτθ ακρίβεια (ίςθ microε αυτι microιασςφγχρονθσ αρικmicroοmicroθχανισ οκτώ ψθφίων) Άραγνϊριηαν το πυκαγόρειο κεϊρθμα

2 Αίγυπτοσ

bull Η κφρια πθγι πλθροφοριϊν για τα μακθματικά τωναρχαίων Αιγυπτίων προζρχεται από τον ΠάπυροRhind μία ςυλλογι από 84 μακθματικά προβλιματααρικμθτικισ γεωμετρίασ και ςτοιχειϊδουσάλγεβρασ θ οποία γράφθκε περί το 1650 πΧ

bull Η απουςία οποιαςδιποτε αναφοράσ ςτοπυκαγόρειο κεϊρθμα υποδθλϊνει με αρκετιβεβαιότθτα ότι οι Αιγφπτιοι δεν το γνϊριηαν

3 Πυθαγόρασ

bull φμφωνα με τθν παράδοςθο Πυκαγόρασ γεννικθκε γφρωςτο 570 πΧ ςτθ άμο

bull Γφρω ςτο 530 πΧ ο Πυκαγόρασ εγκατζλειψε τθάμο και εγκαταςτάκθκε ςτον Κρότωνα μίαελλθνικι αποικία ςτθν Κάτω Ιταλία Εκεί ίδρυςεςχολι ςτθν ουςία μια μυςτικιςτικι οργάνωςθ

bull Οι πυκαγόρειοι υιοκετοφςαν τθν ανατολικιπαράδοςθ τθσ προφορικισ μεταβίβαςθσ τθσγνϊςθσ με αποτζλεςμα να μείνουν λιγοςτζσ ζωσμθδαμινζσ γραπτζσ καταγραφζσ

1θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

Ειδικι περίπτωςθ του πυκαγόρειου κεωριmicroατοσγια τρίγωνο με γωνίεσ 450 450 και 900

2θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

β2

γ2

α2

Μετά τον Πυθαγόρα

bull Εν τω microεταξφ microεγάλεσ πολιτικζσ αλλαγζσαναδιαmicroόρφωναν τον αρχαίο κόςmicroο Η περςικιαυτοκρατορία αποκτοφςε υπεροχι και ςφντοmicroαδιαδζχκθκε τθ Βαβυλϊνα αναδεικνυόmicroενθ ςεκυρίαρχθ δφναmicroθ τθσ ανατολικισ Μεςογείου

bull Σο 490 πΧ οι Ακθναίοι νίκθςαν το ςτρατό των Περςϊν ςτον Μαρακϊνα και θ Ακινα επζβαλε τθν πολιτικι κυριαρχία τθσ ςτισ ελλθνικζσ πόλεισ - κράτθ

bull Ακολοφκθςε microιςόσ αιϊνασ ειρινθσ κατά τθδιάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντροδθmicroοκρατίασ και microάκθςθσ Ωςτόςο θ περίοδοσθρεmicroίασ ζλθξε microε τον Πελοποννθςιακό Πόλεmicroο(431-404 πΧ) ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθςτρατιωτικά από τθ πάρτθ

bull Ζπειτα το 371 πΧ θ πάρτθ νικικθκε από τισπόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει Σοκζντρο τθσ microάκθςθσ microεταφζρκθκε ςτον Σάραντατθσ Κάτω Ιταλίασ όπου οι πυκαγόρειοιαναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

1 Μεςοποταμία

bull το ςθmicroερινό Ιράκ ζνασ microεγάλοσ αρχαίοσπολιτιςmicroόσ αναπτφχκθκε πριν από 4000χρόνια ο πολιτιςmicroόσ τθσ Μεςοποταμίασ

bull Μεταξφ των πινακίδων που ζγιναναντικείmicroενο ειδικισ και λεπτοmicroεροφσεξζταςθσ υπάρχει microία microε τθν απλι ονοmicroαςίαlaquoYBC 7289raquo

Η πινακίδα YBC 7289

Αποδεικνφει ότι οι Βαβυλϊνιοι γνϊριηαν πϊσ ναυπολογίηουν τθν τετραγωνικι ρίηα ενόσ αρικmicroοφ microεαξιοκαφmicroαςτθ ακρίβεια (ίςθ microε αυτι microιασςφγχρονθσ αρικmicroοmicroθχανισ οκτώ ψθφίων) Άραγνϊριηαν το πυκαγόρειο κεϊρθμα

2 Αίγυπτοσ

bull Η κφρια πθγι πλθροφοριϊν για τα μακθματικά τωναρχαίων Αιγυπτίων προζρχεται από τον ΠάπυροRhind μία ςυλλογι από 84 μακθματικά προβλιματααρικμθτικισ γεωμετρίασ και ςτοιχειϊδουσάλγεβρασ θ οποία γράφθκε περί το 1650 πΧ

bull Η απουςία οποιαςδιποτε αναφοράσ ςτοπυκαγόρειο κεϊρθμα υποδθλϊνει με αρκετιβεβαιότθτα ότι οι Αιγφπτιοι δεν το γνϊριηαν

3 Πυθαγόρασ

bull φμφωνα με τθν παράδοςθο Πυκαγόρασ γεννικθκε γφρωςτο 570 πΧ ςτθ άμο

bull Γφρω ςτο 530 πΧ ο Πυκαγόρασ εγκατζλειψε τθάμο και εγκαταςτάκθκε ςτον Κρότωνα μίαελλθνικι αποικία ςτθν Κάτω Ιταλία Εκεί ίδρυςεςχολι ςτθν ουςία μια μυςτικιςτικι οργάνωςθ

bull Οι πυκαγόρειοι υιοκετοφςαν τθν ανατολικιπαράδοςθ τθσ προφορικισ μεταβίβαςθσ τθσγνϊςθσ με αποτζλεςμα να μείνουν λιγοςτζσ ζωσμθδαμινζσ γραπτζσ καταγραφζσ

1θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

Ειδικι περίπτωςθ του πυκαγόρειου κεωριmicroατοσγια τρίγωνο με γωνίεσ 450 450 και 900

2θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

β2

γ2

α2

Μετά τον Πυθαγόρα

bull Εν τω microεταξφ microεγάλεσ πολιτικζσ αλλαγζσαναδιαmicroόρφωναν τον αρχαίο κόςmicroο Η περςικιαυτοκρατορία αποκτοφςε υπεροχι και ςφντοmicroαδιαδζχκθκε τθ Βαβυλϊνα αναδεικνυόmicroενθ ςεκυρίαρχθ δφναmicroθ τθσ ανατολικισ Μεςογείου

bull Σο 490 πΧ οι Ακθναίοι νίκθςαν το ςτρατό των Περςϊν ςτον Μαρακϊνα και θ Ακινα επζβαλε τθν πολιτικι κυριαρχία τθσ ςτισ ελλθνικζσ πόλεισ - κράτθ

bull Ακολοφκθςε microιςόσ αιϊνασ ειρινθσ κατά τθδιάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντροδθmicroοκρατίασ και microάκθςθσ Ωςτόςο θ περίοδοσθρεmicroίασ ζλθξε microε τον Πελοποννθςιακό Πόλεmicroο(431-404 πΧ) ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθςτρατιωτικά από τθ πάρτθ

bull Ζπειτα το 371 πΧ θ πάρτθ νικικθκε από τισπόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει Σοκζντρο τθσ microάκθςθσ microεταφζρκθκε ςτον Σάραντατθσ Κάτω Ιταλίασ όπου οι πυκαγόρειοιαναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

Η πινακίδα YBC 7289

Αποδεικνφει ότι οι Βαβυλϊνιοι γνϊριηαν πϊσ ναυπολογίηουν τθν τετραγωνικι ρίηα ενόσ αρικmicroοφ microεαξιοκαφmicroαςτθ ακρίβεια (ίςθ microε αυτι microιασςφγχρονθσ αρικmicroοmicroθχανισ οκτώ ψθφίων) Άραγνϊριηαν το πυκαγόρειο κεϊρθμα

2 Αίγυπτοσ

bull Η κφρια πθγι πλθροφοριϊν για τα μακθματικά τωναρχαίων Αιγυπτίων προζρχεται από τον ΠάπυροRhind μία ςυλλογι από 84 μακθματικά προβλιματααρικμθτικισ γεωμετρίασ και ςτοιχειϊδουσάλγεβρασ θ οποία γράφθκε περί το 1650 πΧ

bull Η απουςία οποιαςδιποτε αναφοράσ ςτοπυκαγόρειο κεϊρθμα υποδθλϊνει με αρκετιβεβαιότθτα ότι οι Αιγφπτιοι δεν το γνϊριηαν

3 Πυθαγόρασ

bull φμφωνα με τθν παράδοςθο Πυκαγόρασ γεννικθκε γφρωςτο 570 πΧ ςτθ άμο

bull Γφρω ςτο 530 πΧ ο Πυκαγόρασ εγκατζλειψε τθάμο και εγκαταςτάκθκε ςτον Κρότωνα μίαελλθνικι αποικία ςτθν Κάτω Ιταλία Εκεί ίδρυςεςχολι ςτθν ουςία μια μυςτικιςτικι οργάνωςθ

bull Οι πυκαγόρειοι υιοκετοφςαν τθν ανατολικιπαράδοςθ τθσ προφορικισ μεταβίβαςθσ τθσγνϊςθσ με αποτζλεςμα να μείνουν λιγοςτζσ ζωσμθδαμινζσ γραπτζσ καταγραφζσ

1θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

Ειδικι περίπτωςθ του πυκαγόρειου κεωριmicroατοσγια τρίγωνο με γωνίεσ 450 450 και 900

2θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

β2

γ2

α2

Μετά τον Πυθαγόρα

bull Εν τω microεταξφ microεγάλεσ πολιτικζσ αλλαγζσαναδιαmicroόρφωναν τον αρχαίο κόςmicroο Η περςικιαυτοκρατορία αποκτοφςε υπεροχι και ςφντοmicroαδιαδζχκθκε τθ Βαβυλϊνα αναδεικνυόmicroενθ ςεκυρίαρχθ δφναmicroθ τθσ ανατολικισ Μεςογείου

bull Σο 490 πΧ οι Ακθναίοι νίκθςαν το ςτρατό των Περςϊν ςτον Μαρακϊνα και θ Ακινα επζβαλε τθν πολιτικι κυριαρχία τθσ ςτισ ελλθνικζσ πόλεισ - κράτθ

bull Ακολοφκθςε microιςόσ αιϊνασ ειρινθσ κατά τθδιάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντροδθmicroοκρατίασ και microάκθςθσ Ωςτόςο θ περίοδοσθρεmicroίασ ζλθξε microε τον Πελοποννθςιακό Πόλεmicroο(431-404 πΧ) ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθςτρατιωτικά από τθ πάρτθ

bull Ζπειτα το 371 πΧ θ πάρτθ νικικθκε από τισπόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει Σοκζντρο τθσ microάκθςθσ microεταφζρκθκε ςτον Σάραντατθσ Κάτω Ιταλίασ όπου οι πυκαγόρειοιαναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

2 Αίγυπτοσ

bull Η κφρια πθγι πλθροφοριϊν για τα μακθματικά τωναρχαίων Αιγυπτίων προζρχεται από τον ΠάπυροRhind μία ςυλλογι από 84 μακθματικά προβλιματααρικμθτικισ γεωμετρίασ και ςτοιχειϊδουσάλγεβρασ θ οποία γράφθκε περί το 1650 πΧ

bull Η απουςία οποιαςδιποτε αναφοράσ ςτοπυκαγόρειο κεϊρθμα υποδθλϊνει με αρκετιβεβαιότθτα ότι οι Αιγφπτιοι δεν το γνϊριηαν

3 Πυθαγόρασ

bull φμφωνα με τθν παράδοςθο Πυκαγόρασ γεννικθκε γφρωςτο 570 πΧ ςτθ άμο

bull Γφρω ςτο 530 πΧ ο Πυκαγόρασ εγκατζλειψε τθάμο και εγκαταςτάκθκε ςτον Κρότωνα μίαελλθνικι αποικία ςτθν Κάτω Ιταλία Εκεί ίδρυςεςχολι ςτθν ουςία μια μυςτικιςτικι οργάνωςθ

bull Οι πυκαγόρειοι υιοκετοφςαν τθν ανατολικιπαράδοςθ τθσ προφορικισ μεταβίβαςθσ τθσγνϊςθσ με αποτζλεςμα να μείνουν λιγοςτζσ ζωσμθδαμινζσ γραπτζσ καταγραφζσ

1θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

Ειδικι περίπτωςθ του πυκαγόρειου κεωριmicroατοσγια τρίγωνο με γωνίεσ 450 450 και 900

2θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

β2

γ2

α2

Μετά τον Πυθαγόρα

bull Εν τω microεταξφ microεγάλεσ πολιτικζσ αλλαγζσαναδιαmicroόρφωναν τον αρχαίο κόςmicroο Η περςικιαυτοκρατορία αποκτοφςε υπεροχι και ςφντοmicroαδιαδζχκθκε τθ Βαβυλϊνα αναδεικνυόmicroενθ ςεκυρίαρχθ δφναmicroθ τθσ ανατολικισ Μεςογείου

bull Σο 490 πΧ οι Ακθναίοι νίκθςαν το ςτρατό των Περςϊν ςτον Μαρακϊνα και θ Ακινα επζβαλε τθν πολιτικι κυριαρχία τθσ ςτισ ελλθνικζσ πόλεισ - κράτθ

bull Ακολοφκθςε microιςόσ αιϊνασ ειρινθσ κατά τθδιάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντροδθmicroοκρατίασ και microάκθςθσ Ωςτόςο θ περίοδοσθρεmicroίασ ζλθξε microε τον Πελοποννθςιακό Πόλεmicroο(431-404 πΧ) ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθςτρατιωτικά από τθ πάρτθ

bull Ζπειτα το 371 πΧ θ πάρτθ νικικθκε από τισπόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει Σοκζντρο τθσ microάκθςθσ microεταφζρκθκε ςτον Σάραντατθσ Κάτω Ιταλίασ όπου οι πυκαγόρειοιαναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

3 Πυθαγόρασ

bull φμφωνα με τθν παράδοςθο Πυκαγόρασ γεννικθκε γφρωςτο 570 πΧ ςτθ άμο

bull Γφρω ςτο 530 πΧ ο Πυκαγόρασ εγκατζλειψε τθάμο και εγκαταςτάκθκε ςτον Κρότωνα μίαελλθνικι αποικία ςτθν Κάτω Ιταλία Εκεί ίδρυςεςχολι ςτθν ουςία μια μυςτικιςτικι οργάνωςθ

bull Οι πυκαγόρειοι υιοκετοφςαν τθν ανατολικιπαράδοςθ τθσ προφορικισ μεταβίβαςθσ τθσγνϊςθσ με αποτζλεςμα να μείνουν λιγοςτζσ ζωσμθδαμινζσ γραπτζσ καταγραφζσ

1θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

Ειδικι περίπτωςθ του πυκαγόρειου κεωριmicroατοσγια τρίγωνο με γωνίεσ 450 450 και 900

2θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

β2

γ2

α2

Μετά τον Πυθαγόρα

bull Εν τω microεταξφ microεγάλεσ πολιτικζσ αλλαγζσαναδιαmicroόρφωναν τον αρχαίο κόςmicroο Η περςικιαυτοκρατορία αποκτοφςε υπεροχι και ςφντοmicroαδιαδζχκθκε τθ Βαβυλϊνα αναδεικνυόmicroενθ ςεκυρίαρχθ δφναmicroθ τθσ ανατολικισ Μεςογείου

bull Σο 490 πΧ οι Ακθναίοι νίκθςαν το ςτρατό των Περςϊν ςτον Μαρακϊνα και θ Ακινα επζβαλε τθν πολιτικι κυριαρχία τθσ ςτισ ελλθνικζσ πόλεισ - κράτθ

bull Ακολοφκθςε microιςόσ αιϊνασ ειρινθσ κατά τθδιάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντροδθmicroοκρατίασ και microάκθςθσ Ωςτόςο θ περίοδοσθρεmicroίασ ζλθξε microε τον Πελοποννθςιακό Πόλεmicroο(431-404 πΧ) ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθςτρατιωτικά από τθ πάρτθ

bull Ζπειτα το 371 πΧ θ πάρτθ νικικθκε από τισπόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει Σοκζντρο τθσ microάκθςθσ microεταφζρκθκε ςτον Σάραντατθσ Κάτω Ιταλίασ όπου οι πυκαγόρειοιαναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

1θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

Ειδικι περίπτωςθ του πυκαγόρειου κεωριmicroατοσγια τρίγωνο με γωνίεσ 450 450 και 900

2θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

β2

γ2

α2

Μετά τον Πυθαγόρα

bull Εν τω microεταξφ microεγάλεσ πολιτικζσ αλλαγζσαναδιαmicroόρφωναν τον αρχαίο κόςmicroο Η περςικιαυτοκρατορία αποκτοφςε υπεροχι και ςφντοmicroαδιαδζχκθκε τθ Βαβυλϊνα αναδεικνυόmicroενθ ςεκυρίαρχθ δφναmicroθ τθσ ανατολικισ Μεςογείου

bull Σο 490 πΧ οι Ακθναίοι νίκθςαν το ςτρατό των Περςϊν ςτον Μαρακϊνα και θ Ακινα επζβαλε τθν πολιτικι κυριαρχία τθσ ςτισ ελλθνικζσ πόλεισ - κράτθ

bull Ακολοφκθςε microιςόσ αιϊνασ ειρινθσ κατά τθδιάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντροδθmicroοκρατίασ και microάκθςθσ Ωςτόςο θ περίοδοσθρεmicroίασ ζλθξε microε τον Πελοποννθςιακό Πόλεmicroο(431-404 πΧ) ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθςτρατιωτικά από τθ πάρτθ

bull Ζπειτα το 371 πΧ θ πάρτθ νικικθκε από τισπόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει Σοκζντρο τθσ microάκθςθσ microεταφζρκθκε ςτον Σάραντατθσ Κάτω Ιταλίασ όπου οι πυκαγόρειοιαναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

2θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα

β2

γ2

α2

Μετά τον Πυθαγόρα

bull Εν τω microεταξφ microεγάλεσ πολιτικζσ αλλαγζσαναδιαmicroόρφωναν τον αρχαίο κόςmicroο Η περςικιαυτοκρατορία αποκτοφςε υπεροχι και ςφντοmicroαδιαδζχκθκε τθ Βαβυλϊνα αναδεικνυόmicroενθ ςεκυρίαρχθ δφναmicroθ τθσ ανατολικισ Μεςογείου

bull Σο 490 πΧ οι Ακθναίοι νίκθςαν το ςτρατό των Περςϊν ςτον Μαρακϊνα και θ Ακινα επζβαλε τθν πολιτικι κυριαρχία τθσ ςτισ ελλθνικζσ πόλεισ - κράτθ

bull Ακολοφκθςε microιςόσ αιϊνασ ειρινθσ κατά τθδιάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντροδθmicroοκρατίασ και microάκθςθσ Ωςτόςο θ περίοδοσθρεmicroίασ ζλθξε microε τον Πελοποννθςιακό Πόλεmicroο(431-404 πΧ) ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθςτρατιωτικά από τθ πάρτθ

bull Ζπειτα το 371 πΧ θ πάρτθ νικικθκε από τισπόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει Σοκζντρο τθσ microάκθςθσ microεταφζρκθκε ςτον Σάραντατθσ Κάτω Ιταλίασ όπου οι πυκαγόρειοιαναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

Μετά τον Πυθαγόρα

bull Εν τω microεταξφ microεγάλεσ πολιτικζσ αλλαγζσαναδιαmicroόρφωναν τον αρχαίο κόςmicroο Η περςικιαυτοκρατορία αποκτοφςε υπεροχι και ςφντοmicroαδιαδζχκθκε τθ Βαβυλϊνα αναδεικνυόmicroενθ ςεκυρίαρχθ δφναmicroθ τθσ ανατολικισ Μεςογείου

bull Σο 490 πΧ οι Ακθναίοι νίκθςαν το ςτρατό των Περςϊν ςτον Μαρακϊνα και θ Ακινα επζβαλε τθν πολιτικι κυριαρχία τθσ ςτισ ελλθνικζσ πόλεισ - κράτθ

bull Ακολοφκθςε microιςόσ αιϊνασ ειρινθσ κατά τθδιάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντροδθmicroοκρατίασ και microάκθςθσ Ωςτόςο θ περίοδοσθρεmicroίασ ζλθξε microε τον Πελοποννθςιακό Πόλεmicroο(431-404 πΧ) ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθςτρατιωτικά από τθ πάρτθ

bull Ζπειτα το 371 πΧ θ πάρτθ νικικθκε από τισπόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει Σοκζντρο τθσ microάκθςθσ microεταφζρκθκε ςτον Σάραντατθσ Κάτω Ιταλίασ όπου οι πυκαγόρειοιαναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

bull Ακολοφκθςε microιςόσ αιϊνασ ειρινθσ κατά τθδιάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντροδθmicroοκρατίασ και microάκθςθσ Ωςτόςο θ περίοδοσθρεmicroίασ ζλθξε microε τον Πελοποννθςιακό Πόλεmicroο(431-404 πΧ) ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθςτρατιωτικά από τθ πάρτθ

bull Ζπειτα το 371 πΧ θ πάρτθ νικικθκε από τισπόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει Σοκζντρο τθσ microάκθςθσ microεταφζρκθκε ςτον Σάραντατθσ Κάτω Ιταλίασ όπου οι πυκαγόρειοιαναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

bull Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τονθγετικό ρόλο τθσ Ορόςθmicroο αποτζλεςε το ζτοσ387 πΧ όταν ο microεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ(427-347 πΧ) ίδρυςε τθν Ακαδθmicroία των Ακθνϊνθ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικιδιανόθςθ για τα επόmicroενα 1000 xρόvια

bull Η επόmicroενθ microεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το338 πΧ όταν ο βαςιλιάσ τθσ ΜακεδονίασΦίλιπποσ Β κακυπόταξε όλθ τθ νότια ΕλλάδαΔφο χρόνια αργότερα ο γιοσ του Φιλίππου οΑλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 πΧ) ανζβθκε ςτοκρόνο και microζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςεολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςmicroο

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

bull Σο 323 πΧ ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανεπρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν Οι ζριδεσ τωνδιαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσαυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια ΗΑίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία τουΠτολεmicroαίου Η θγεmicroονία του Πτολεmicroαίου Αξεκίνθςε το 306 πΧ microε τθν επιλογι τθσΑλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουστου και τθν ίδρυςθ ςχολισ θ οποία καγινόταν πνευmicroατικι θγζτιδα του αρχαίουκόςmicroου

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

bull Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια microιασ ςφγχρονθσπανεπιςτθmicroιοφπολθσ microεγαλοπρεπι κτιρια κιπουσκαι ζνα περίφθmicroο microουςείο Η διάςθmicroθ βιβλιοκικθ τθσδιζκετε αmicroζτρθτα (πάνω από microιςό εκατοmicromicroφριο)βιβλία (με τθ microορφι κυλίνδρων παπφρου) τα οποίαείχαν αποκτθκεί ndash microερικζσ φορζσ παράνοmicroα καικατόπιν εξαναγκαςmicroοφ ndash από οπουδιποτε microποροφςαννα βρεκοφν Μελετθτζσ από κοντινζσ και microακρινζσπεριοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια όπου καιδιζmicroεναν για εκτεταmicroζνεσ περιόδουσ microελζτθσ Χάρθ ςεαυτoφσ ο ελλθνικόσ πολιτιςmicroόσ διαδόκθκε ςε όλο τοναρχαίο κόςmicroο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισγλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι)

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

4 Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον Ευκλείδη

bull χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό

για τθ ηωι του Ευκλείδθ Ακόmicroα και θ

χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ

του είναι αςαφι όmicroωσ πικανότατα

microεγάλωςε και microορφϊκθκε ςτθν Ακινα

bull τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρειακαι δίδαξε microακθmicroατικά και γεωmicroετρία ςτοΜουςείο Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 πΧ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

bull Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλίαμακθματικϊν μερικά από τα οποία ζφταςανμζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσμασ

bull Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθμεγαλφτερθ επιρροι είναι τα ΣτοιχείαΓραμμζνο ςε 13 laquoβιβλίαraquo (ςιμερα κα ταλζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλωντων βαςικϊν γνϊςεων αρικmicroθτικισ καιγεωmicroετρίασ τθσ εποχισ του

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

Αιτήmicroατα1 Δοκζντων δφο ςθmicroείων δφναται να άγεται ευκεία

microε άκρα τα δφο ςυγκεκριmicroζνα ςθmicroεία

2 Κάκε ευκφγραmicromicroο τmicroιmicroα δφναται να προεκτείνεται επrsquo αόριςτον προσ αmicroφότερεσ τισ κατευκφνςεισ

3 Με δεδοmicroζνο οποιοδιποτε ςθmicroείο και microεοποιαδιποτε ακτίνα δφναται να γραφεί κφκλοσ

4 Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι microεταξφ τουσ ίςεσ

5 Εάν ευκεία τζmicroνουςα δφο ευκείεσ ςχθmicroατίηει εντόσ και επί τα αυτά microζρθ γωνίεσ ακροίςmicroατοσmicroικρότερου των δφο ορκών τότε οι δφο ευκείεσ προεκτεινόmicroενεσ επrsquo άπειρον κα ςυmicroπζςουν προσ το microζροσ όπου ςχθmicroατίηονται οι microικρότερεσ των δφο ορκών γωνίεσ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

Κοινζσ ζννοιεσ

1 Τα τω αυτώ ίςα είναι microεταξφ τουσ ίςα

2 Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα τα προκφπτοντα είναι microεταξφ τουσ ίςα

3 Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα τα υπόλοιπα είναι microεταξφ τουσ ίςα

4 Και τα εφαρmicroόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα microεταξφ τουσ

5 Και το όλον είναι microεγαλφτερο του microζρουσ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Πρόταςn I47Σε ορκογώνια τρίγωνα τοτετράγωνο microε πλευράαυτι που αντίκειται ςτnνoρκι γωνία (υποτείνουςα)είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ςχnmicroατίηονται microεπλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισγωνίασ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθbull Ζνασ αρικmicroόσ νοοφνταν ωσ το microικοσ κάποιου ευκφγραmicromicroου

τmicroιmicroατοσ

bull το γινόmicroενο δφο αρικmicroϊν νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόν ενόσ ορκογωνίου microε πλευρζσ τα ευκφγραmicromicroα τmicroιmicroατα που αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικmicroοφσ

bull Σο τετράγωνο ενόσ αρικmicroοφ α νοοφνταν ωσ το εmicroβαδόντετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται laquoτετράγωνο του αraquo)

Ζτςι ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ microακθmicroατικοί να κεωροφν το πυκαγόρειο κεϊρθmicroα ωσ microια ςχζςη microεταξφ εmicroβαδών

Από αυτι τθν οπτικι ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ να αποδείξει το κεϊρθmicroα microε τον ςυγκεκριmicroζνο τρόπο

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου

Σε ζνα τρίγωνο αν το τετράγωνο microεπλευρά microία από τισ πλευρζσ τουτριγώνου είναι ίςο microε τα τετράγωναπου ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφοπλευρζσ του τριγώνου τότε nπεριεχόmicroενn ςτισ δφο αυτζσπλευρζσ γωνία είναι oρκι

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου

Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ bull Ευκλείδnσ Ι 47 διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ

47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθbull Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασbull Θεώρnμα του Πυθαγόραbull Aνεμόμυλοσ επειδι θ ςχθματικι του

αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ μφλου

bull Kαρζκλα τnσ νφφnσ για λόγουσ που γνωρίηει μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ

bull Σο 641 μΧ οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια καιμε διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ότι είχεαπομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικιπυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊνεναντίον των εκνικϊν το 389 μΧ

bull Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογιτων 500000 παπφρων ndash ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι καιεπιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμουΩςτόςο μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτιτθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουνδφο ονόματα ο Θζων και ο Πρόκλοσ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

bull Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα microΧΠερίπου το 390 ςυνζγραψε microια ανακεωρθmicroζνθ εκδοχι τωνΣτοιχείων θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισπεριςςότερεσ από τισ microεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ επίςθσζγραψε ζνα Υπόmicroνnmicroα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλmicroαγζςτnτου Πτολεmicroαίου

Σο όνοmicroά του κα ςχετίηεται για πάντα microε τθν κόρθ

του τθν Τπατία (περίπου 370 - 415) θ οποία

ζγινε και θ ίδια microακθmicroατικόσ

Η Τπατία ιταν ζξυπνθ ευφραδισ και όmicroορφθ

Αυτά τα χαρακτθριςτικά ndash και κυρίωσ θ διδαςκαλία

τθσ ndash ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωmicroζνουόχλου χριςτιανϊν κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςmicroόκαι κανατϊκθκε άγρια

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

bull Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 microΧ)γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo ςποφδαςε ςτθνΑλεξάνδρεια αργότερα δε ζγινε επικεφαλιστθσ πλατωνικισ Ακαδθmicroίασ των Ακθνϊν Είναικυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόmicroνnmicroα ζνα ζργοπου περιλαmicroβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ιτων Στοιχείων και microια ιςτορικι επιςκόπθςθτθσ ελλθνικισ γεωmicroετρίασ microζχρι τθν εποχιτου Ευκλείδθ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ

Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε αραβικό κείμενο

ΣΕΛΟ ΠΑΡΟΤΙΑΗ