rasio, perbandingan, skala dan kecepatan

BAB IPENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Pembelajaran matematika di SD selalu mengacu kepada kurikulum SD yang

telah ditetapkan oleh Dirjen Pendidikan yang disesuaikan dengan kebutuhan yang

berkembang di masyarakat. Perkembangan kemampuan peserta didik dalam

bidang matematika merupakan salah satu kunci keberhasilan peningkatan

kemampuan berfikir rasional dalam menyelesaikan permasalahan dalam

kehidupan sehari-hari dengan kekritisan.

Matematika berhubungan dengan angka-angka yang sering sekali ditentukan

dalam berbagai hal dalam kehidupan sehari-hari, sehingga matematika bukan

hanya penguasaan berhitung saja tetapi juga merupakan suatu proses pemantapan

logika berpikir yang rasional dan kritis. Soedjadi (1999:7) mengungkapkan bahwa

“ matematika sebagai wahana pendidikan tidak hanya dapat digunakan untuk

mencapai satu tujuan, misalnya mencerdaskan siswa, tetapi dapat pula untuk

membentuk kepribadian siswa serta mengembangkan ketrampilan tertentu”. Hal

itu mengarahkan kepada siswa agar dapat menjadikan matematika sebagai

kebutuhan. Serta matematika berkaitan dengan pembelajaran nilai-nilai dalam

kehidupan sehari-hari.

Pembelajaran matematika akan bermakna bagi siswa apabila guru

mengetahui karakteristik matematika sehingga guru dapat mengajarkan materi

tersebut dengan penuh dinamika dan inovasi.

Marsigit (2008) menyatakan karakteristik matematika adalah sebagai

berikut: 1) matematika sebagai kegiatan penelusuran pola dan hubungan, 2)

matematika sebagai kreativitas yang memerlukan imajinasi, intuisi, dan penemuan

3) matematika sebagai pemecahan masalah (problem solving), 4) matematika

sebagai alat komunikasi.

Selain mengetahui karakteristik matematika, guru SD perlu juga mengetahui

taraf perkembangan siswa SD sehingga mereka dapat mengajarkan matematika

secara baik dengan mempertimbangkan karakteristik ilmu matematika dan siswa

yang belajar.

1 | R a s i o , P e r b a n d i n g a n , S k a l a d a n K e c e p a t a n r a t a - r a t a

Belajar matematika merupakan pemahaman tentang konsep-konsep dan

struktur abstrak yang terdapat dalam matematika serta mencari hubungan antara

konsep-konsep dan struktur matematika. Belajar matematika harus melalui proses

yang bertahap dari konsep yang sederhana ke konsep yang lebih konkret. Setiap

konsep matematika dapat dipahami dengan baik jika pertama-tama disajikan

dalam bentuk konkret. Pernyataan ini diperkuat dengan pernyatan piaget yang

menyatakan bahwa “ siswa Sekolah Dasar (SD) umurnya berkisar anatar 7 sampai

12 tahun, dan terletak pada fase operasi konkret. Oleh karenanya sebaiknya

pembelajaran matematika di SD dibuat konkret. Konsep matematika akan dapat

dipahami dengan baik jika pembelajaran dilakukan dengan menggunakan alat

belajar yang konkret. Sehingga penggunaan alat peraga dalam pembelajaran

matematika sangat diperlukan.

Adapun tujuan pembelajaran matematika SD yaitu menumbuhkan dan

mengembangkan keterampilan berhitung sebagai latihan dalam kehidupan sehari-

hari, menumbuhkan kemampuan siswa yang dapat dialih gunakan melalui

kegiatan matematika, mengembangakan kemampuan dasar matematika sebagai

bekal belajar lebih lanjut dan membentuk sikap logis, kritis, cermat, kreatif serta

disiplin.

Materi Rasio, Perbandingan, Skala, dan Kecepatan rata-rata merupakan

salah satu topik yang menarik dalam pembelajaran matematika di Sekolah Dasar.

Secara tidak langsung, siswa sebenarnya telah melaksanakan aktifitas sehari-hari

yang berhubungan langsung dengan materi tersebut.

Dengan adanya makalah ini kami mengharapkan siswa akan mengetahui

dan memahami tentang konsep dari materi rasio, perbandingan, skala, kecepatan

rata-rata dan persen yang akan menjembatani mereka untuk mengetahui konsep

selanjutnya dengan cara informal terlebih dahulu, setelahnya kami memberikan

persoalan dengan mengangkat cerita yang berhubungan dengan materi tersebut.


BAB II

PEMBAHASAN

2.1 RASIO

2.1.1 Pengertian Rasio

Rasio adalah suatu bilangan yang digunakan untuk menyatakan sebuah

perbandingan ukuran atau nilai dari dua atau lebih objek, dan dapat

dilambangkan dengan ab , atau dalam bentuk khusus a : b, dimana bentuk pecahan

yang paling tepat untuk dikerjakan. Dengan cara ini kita akan mengetahui berapa

kali atau seberapa banyak bagian sebuah bilangan dari bilangan lain (buku seri

swadidik aljabar hal 246). Dalam menghitung rasio harus menggunakan satuan

yang sama, apabila terdapat perbedaan maka harus dilakukan penyamaan satuan

terlebih dahulu.

Besaran dari dua kuantitas berjenis sama, seperti dua panjang, bobot, jumlah

uang, dan lain-lain, dapat dibandingkan menggunakan rasio. Untuk melakukan

pengukuran, kedua kuantitas tersebut dinyatakan dengan melakukan pengukuran,

kedua kuantitas tersebut dinyatakan dengan satuan yang sama. Rasio kedua

bilangan ini menyatakan rasio kuantitas.

Dengan demikian, rasio dua jarak a meter dan b meter akan menjadi

ab atau a:b

Nilai rasio ini tidak akan berubah jika kuantitas-kuantitasnya dinyatakan dalam

satuan lain asalkan kedua kuantitasnya tersebut dinyatakan dalam satuan yang

sama. Dengan demikian, rasio 3 jam terhadap 2 jam sama dengan rasio 9 meter

terhadap 6 meter.

Permasalahan sehari-hari yang terkait dengan rasio bilangan atau

pengukuran antara lain adalah panjang atau jarak terhadap waktu, jumlah barang

dan harga barang, panjang dengan panjang, luas dengan luas, volume dengan

volume, berat barang dengan harga barang, nilai uang dengan nilai uang, umur

orang dengan umur orang, dan temperatur (suhu) dengan temperatur. Rasio terdiri

dari rasio bagian terhadap keseluruhan dan rasio bagian terhadap bagian


2.1.2 Tipe-tipe Rasio

2.1.2.1 Rasio Bagian terhadap Keseluruhan (Part-to-Whole)

Rasio bisa menyangkut perbandingan dari sebagian terhadap keseluruhan.

Sebagai contoh, rasio jumlah perempuan di kelas terhadap jumlah seluruh siswa di

kelas tersebut.

Contoh lain :

Perhatikan gambar berikut ini !

Perbandingan jumlah persegi satuan berwarna hijau terhadap jumlah keseluruhan

persegi satuan yaitu 34 atau 3 : 4 merupakan rasio bagian terhadap keseluruhan.

Karena pecahan juga merupakan rasio sebagian terhadap keseluruhan, maka setiap

pecahan juga merupakan rasio, tetapi tidak semua rasio adalah pecahan.

2.1.2.2 Rasio Bagian terhadap Bagian (Part-to-Part)

Suatu pecahan selalu merupakan perbandingan bagian-bagian terhadap

keseluruhan, tetapi rasio juga dapat menyatakan suatu bagian dari keseluruhan

terhadap bagian yang lain dari keseluruhan yang sama. Contohnya adalah jumlah

siswa perempuan di suatu kelas bisa dibandingkan dengan jumlah siswa laki-laki

dari kelas yang sama.

Contoh lain :

Perhatikan gambar berikut !

Perbandingan banyaknya persegi satuan berwarna hitam terhadap persegi satuan

berwarna hijau yaitu 13 atau 1:3 merupakan rasio bagian terhadap bagian.

Untuk mengetahui perbedaan rasio dan pecahan diberikan contoh lain

sebagai berikut. Terdapat 15 kelereng, 5 kelereng berwarna merah dan 10

kelereng berwarna putih. Rasio atau pecahan dari kelereng merah terhadap

keseluruhan adalah 5 dari 15, atau 13 dari kelereng adalah kelereng berwarna


merah. Perbandingan banyaknya kelereng merah terhadap putih bukan merupakan

suatu pecahan, tetapi merupakan rasio suatu bagian terhadap bagian yang lain.

Banyaknya kelereng merah dan kelereng putih mempunyai rasio 5 terhadap 10,

atau 1 terhadap 2.

2.1.2.3 Rasio sebagai Rate

Kedua tipe makna rasio yakni rasio sebagian terhadap keseluruhan (part-to-

whole) dan rasio bagian terhadap bagian (part-to-part) adalah tipe rasio yang

membandingkan dua kuantitas dalam unit/satuan yang sama. Di sisi lain, rasio

juga dapat diartikan sebagai rate. Rate merupakan perbandingan dua kuantitas

yang di ukur dalam satuan berbeda. Sebagai contoh, rasio 80 km per jam adalah

perbandingan dari dua jenis satuan berbeda, yakni km dan jam. Pertimbangkan

contoh lain, Azza mendapatkan Rp 65.000 per hari untuk mengasuh bayi

tetangganya. Terdapat perbedaan di antara dua kuantitas tersebut, yakni uang dan

waktu.

Dari penjelasan jenis rasio, karena dapat dinyatakan dengan pecahan, rasio

dapat dihitung dengan cara yang sama seperti pecahan.

Dengan demikian ab=axm

bxm

dan ab=a :m

b :m

Contoh :

Perhatikan gambar berikut!

Pada gambar terdapat 6 persegi satuan berwarna biru dan 2 persegi satuan

berwarna merah.


Maka, rasio banyaknya persegi satuan berwarna biru terhadap persegi satuan

berwarna merah yaitu

62=6 :2

2:2=3

1 (FPB dari 6 dan 2 adalah 2)

Catatan : untuk 31 bukan merupakan pecahan, karena syarat dari pecahan yaitu

berbentuk abdimana b≠0 dan a bukan kelipatan dari b. Tetapi

31

merupakan rasio karena merupakan suatu perbandingan bagian terhadap

bagian.

2.1.3 Pengenalan Konsep Rasio

Pembelajaran rasio pada SD dapat dilakukan dengan mengikuti teori

Brunner dari kongkrit, semi kongkrit dan abstrak.

a. Kongkrit (anactive)

Pada langkah konkret yaitu menggunakan benda-benda kongkrit yang ada di

kelas atau benda-benda yang sering siswa jumpai di lingkungannya.

Dalam pembelajaran SD guru dapat mengawali pembahasan ini dengan

menanyakan istilah rasio. Misalnya “ siapa yang pernah mendengar kata rasio dan

apa itu rasio ?” mungkin sebagian siswa ada yang mengetahui rasio dan ada yang

tidak mengetahui. Nah! Untuk mengenalkan rasio dapat dilakukan dengan

langkah-langkah peragaan berikut ini :

1. Guru menunjukkan sekantong permen.

2. Guru mengajak siswa untuk membilang banyaknya permen yang ada

pada kantong.

3. Guru mengambil beberapa permen dari kantong dan meletakkannya

kekotak A dan kemudian meletakkan sisa permen kekotak B.

4. Guru kembali mengajak siswa untuk membilang banyaknya permen

yang terdapat pada kotak A dan kotak B.

5. Guru menjelaskan bahwa banyaknya permen pada kotak A terhadap

banyaknya permen pada kotak B merupakan rasio, yaitu rasio

banyaknya banyaknya permen paHda kotak A terhadap kotak B atau


sebaliknya bahwa banyaknya permen pada kotak B terhadap

banyaknya permen pada kotak A merupakan rasio. Serta banyaknya

permen pada kotak A terhadap banyaknya permen keseluruhan(pada

kantong) atau banyaknya permen pada kotak B terhadap permen

keseluruhan juga merupakan rasio.

Catatan : jumlah masing-masing permen tergantung dari yang disiapkan oleh

guru. Serta peragaan menggunakan permen dapat pula diganti dengan benda

konkrit lainnya seperti pulpen, pensil, balon dll.

b. Semi konkrit(ekonic)

Semi kongkrit artinya alat peraga yang tidak berupa benda nyata, melainkan

hanya gambaran yang di gambarkan guru di papan tulis. Setelah siswa memahami

benda nyata tersebut, kemudian guru akan menggambarkan benda itu di papan

tulis agar siswa lebih memahami bagaimana cara untuk menentukan rasio.

Guru menggambarkan banyaknya permen pada kotak A dan kotak B

sebagai rasio, baik rasio sebagian terhadap bagian maupun keseluruhan terhadap

keseluruhan sebagai berikut :

Misalnya pada kotak A terdapat 4 buah permen dan pada kotak B terdapat 3

buah permen.

Rasio permen pada kotak A terhadap permen pada kotak B.

Rasio permen pada kotak B terhadap permen yang terdapat pada kotak A


Rasio permen pada kotak A terhadap jumlah permen keseluruhan

Rasio permen yang terdapat pada kotak A terhadap jumlah permen

keseluruhan

c. Abstrak (simbolik)

Tahapan abstrak adalah tahapan pengajaran yang hanya memuat angka-

angka dan lambang-lambang saja.

Contoh :

Terdapat 4 permen pada kotak A dan 3 pada kotak B.

1. Rasio permen pada kotak A terhadap permen pada kotak B

ditulis/disimbolkan 43 atau 4 : 3.

2. Rasio permen pada kotak B terhadap permen pada kotak A


3. Rasio permen pada kotak B terhadap permen keseluruhan



4. Rasio permen pada kotak A terhadap permen keseluruhan


2.1.4 Soal-soal berkaitan dengan Rasio

1. Perhatikan banyaknya balon yang dipegang Wati dan Budi

Pertanyaan :

a) Berapakah rasio balon yang dipegang Wati dan Budi ?

b) Berapakah rasio balon yang dipegang Wati terhadap jumlah balon

keseluruhan ?

Penyelesaian :

a)96 atau 9 : 6

b)9

15 atau 9 : 15

2. Di kelas 5 SD Sukamaju ada 15 siswa laki-laki dan 20 siswa perempuan.

Sedangkan dikelas 6 SD tersebut ada 12 siswa laki-laki dan 16 siswa perempuan.

1. Nyatakan banyaknya siswa laki-laki dan siswa perempuan di kelas 5 SD sukamaju itu sebagai sebuah rasio.

2. Nyatakan banyaknya siswa laki-laki dan siswa perempuan di kelas 6 SD sukamaju itu sebagai sebuah rasio.

Penyelesaian :


1. Rasionya adalah 1520

2. Rasionya adalah 1216

3. Pada gambar dibawah ini, tentutakan rasio dari :

Kotak X Kotak Y Kotak Z

a. Jeruk pada kotak X dan kotak Y ?

b. Jeruk pada kotak X dan kotak Z ?

c. Jeruk pada kotak Z dan kotak Y ?

Penyelesaian :

a. Rasio jeruk pada kotak X dan jeruk pada kotak Y yaitu 34

b. Rasio jeruk pada kotak X dan jeruk pada kotak Z yaitu 35

c. Rasio jeruk pada kotak Z dan jeruk pada kotak Y yaitu 54

4. Tahun 2008 ayah memasuki usia 40 tahun. Iwan berulang tahun yang ke-12. Tuliskan Rasio usia Iwan dan ayah.

Penyelesaian :

Usia Iwan 12 tahunUsia ayah 40 tahunRasio usia Iwan : usia ayah = 12 : 40

= 124

: 404


= 3 : 10

2.2 PERBANDINGAN

2.2.1 Pengertian Perbandingan

Jika empat bilangan a, b, c, d berhubungan sehingga rasio ab dan

cd setara,

bilangan-bilangan tersebut dikatakan memiliki proporsi(perbandingan) sama. Ini sesuai dengan definisi rasio bahwa a dibagi b harus menunjukkan rasio dua kuantitas dengan jenis yang sama, sementara c dibagi d juga harus menunjukkan rasio dari dua kuantitas dari jenis yang sama, meskipun jenisnya tidak perlu sama seperti pada a dan b.

Dengan demikian, a dan b dapat menyatakan ukuran dua bobot, sementara c dan d dapat menunjukkan ukuran dua harga.

Dengan kata lain, dua rasio dikatakan proporsional jika dan hanya jika

pecahan-pecahan yang mewakilinya ekuivalen. Dua rasio ekuivalen membentuk

sebuah proporsi. Kita ketahui bahwa, untuk bilangan-bilangan rasional ab = c

d

jika dan hanya jika ad = bc. Dengan demikian ab =

cd adalah sebuah proporsi jika

dan hanya jika ad=bc. Sebagai contoh, 1424 =

712 adalah sebuah proporsi, karena

14 x 12 = 24 x 7. Perbandingan/proporsi bukan hanya perbandingan 2 rasio

namun dapat pula lebih dari 2 rasio yang ekuivalen dibandingkan.

2.2.2 Pengenalan Konsep Perbandingan

a. Konkrit(anactive)

Dalam mengenalkan perbandingan, diharapkan siswa telah memahami rasio

terlebih dahulu. Untuk mengenalkan siswa mengenai konsep perbandingan, guru

menggunakan benda-benda konkrit yang ada disekitar serta dapat pula melibatkan

siswanya. Contoh langkah-langkah pengenalan konsep perbandingan dapat

dilakukan seperti berikut ini:


1. Guru memperlihatkan beberapa permen ditangannya, kemudian

mengajak siswa untuk membilang banyaknya permen tersebut

(misalnya terdapat 6 buah permen)

2. 6 buah permen akan diberikan kepada 3 orang siswa, kemudian guru

bertanya berapa permen yang akan didapat setiap siswa ? ( ada 2

buah permen untuk setiap siswa)

3. Guru bertanya kembali “jika ibu, akan memberikan permen kepada 5

orang siswa dan masing-masing mendapat 2 permen berapa permen

yang harus ibu punya?” diharapkan jawaban siswa 10 buah permen

4. Guru menjelaskan bahwa karena masing-masing siswa mendapat 2

buah permen, maka 6 buah permen yang diberikan kepada 3 orang

siswa dan 10 buah permen yang diberikan kepada 5 orang siswa atau

dalam bentuk rasio 6 buah permen terhadap 10 buah permen sama

dengan 3 buah permen terhadap 5 buah permen merupakan

perbandingan.

b.Semi Konkrit(econic)

pada tahap semi konkrit, guru menggambarkan peragaan tersebut dipapan.

6 buah permen untuk 3 orang siswa

=

10 buah permen untuk 5 orang siswa


=

Perbandingannya (2 rasio ekuivalen)

Banyaknya permen Banyaknya siswa

c.Abstrak(simbolik)

Pada tahap abstrak pengajaran hanya memuat angka-angka dan lambang-

lambang saja.

Banyaknya permen Banyaknya siswa


Perbandingan pada gambar ditulis 610

=35 .

Catatan : 610

=35 merupakan perbandingan karena 6 x 5 = 3 x 10

2.2.3 Jenis-jenis Perbandingan

2.2.3.1 Perbandingan Umum

A. Mencari nilai perbandingan dari bentuk A : B = p : q

Jika A : B = p : q, maka :

A ¿pq

x B

B ¿qp

x A

Contoh :

Diketahui A : B = 1 : 4

Jika B = 16, nilai A adalah ...

Jawab :

A = pq

x B

= 14

x16=4

Pembelajaran mencari nilai perbandingan dari bentuk A : B = p : q

Soal : Rani dan Rano memiliki rambutan. Rasio rambutan mereka adalah 3 : 4. Banyaknya rambutan Rani 36 buah. Hitunglah banyaknya rambutan Rano.


Jawab :

Pertama

Memfasilitasi peserta didik dengan kerangka berfikir yang memungkinkan

mereka kompeten untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang

terkait dengan perbandingan berupa identifikasi apa yang diketahui dan apa yang

ditanyakan.

Yang diketahui : (1) Perbandingan rambutan Rani dan Rano yaitu 3 : 4

(2) Jumlah rambutan Rani ada 36 buah

Yang ditanyakan : Banyaknya rambutan Rano ?

Kedua

Memberikan solusi penyelesaian masalah berdasarkan kerangka berfikir informal

dan formal.

a. Dengan penalaran lengkap

Karena perbandingan rambutan Rani dan Rano 3 : 4, maka rambutan Rani

diwakili 3 petak dan rambutan Rano diwakili 4 petak.

Karena diketahui jumlah rambutan Rani 36 buah, jadi setiap petak diwakili oleh

12 buah rambutan (kerangka berfikir informal). Bentuknya dapat dibuat seperti

berikut.


Jumlah semua bulatan pada ketiga petak yaitu 36 yang mewakili 36 buah

rambutan.

Untuk rambutan yang dimiliki Rano yaitu

Dengan membilang petak 1 sampai 4, jumlah semua bulatan ada 48 yang

mewakili 48 buah rambutan. Jadi jumlah rambutan milik Rano ada 48 buah.

b. Dengan menggunakan tabel

Nama Perbandingan Banyaknya

rambutan

Rani 3 36

Rano 4 X

Maka,

Nama Perbandingan Banyaknya

rambutan

Rani 3 36

Rano 4 48


3 kali 12 sama dengan 36

4 kali 12

Dari tabel, diketahui bahwa banyaknya rambutan Rano yaitu 48 buah.

c. Dengan cara singkat

Karena perbandingan rambutan Rani dan Rano 3 : 4, dan Banyak

rambutan yang dimiliki Rani 36 buah. Maka dari informasi tersebut dapat

diselesaikan sebagai berikut.

Banyaknya rambutan Rano = 34 x 36 buah

= 48 buah

B. Mencari nilai perbandingan jika ( A + B ) diketahui

Jika A : B = p : q dan A + B diketahui, maka :

A = p

p+qx ( A+B)

B = q

p+qx ( A+B)

Contoh :


Jika A + B = 1.600, nilai A dan B adalah...

Jawab :

A = p

p+qx ( A+B )

= 1

1+3x1.600

= 400

B = q

p+qx ( A+B)

= 3

1+3x1.600 = 1.200

Pembelajaran mencari nilai perbandingan jika (A+B) diketahui


Soal : Perbandingan umur Nani berbanding umur Dian adalah 3 berbanding 5.

Jumlah umur mereka 48 tahun. Berapakah umur mereka masing-masing?

Jawab :

Pertama

Kita fasilitasi peserta didik dengan kerangka berfikir yang memungkinkan



ditanyakan.

Yang diketahui adalah: (1) Perbandingan umur Nani dengan Dian 3 : 5

(2) jumlah umur Nani dan Dian 48 tahun

Yang ditanyakan adalah : Berapa umur Nani dan umur Dian ?

Kedua

Kita berikan contoh cara penyelesaiaa masalah berdasarkan kerangka

berfikir informal (corat coret dalam bentuk gambar) dan formal

(matematis dalam bentuk lambang yang hanya berupa huruf-huruf,

angka-angka, lambang-lambang operasi+, -, x, :dan lambang-lambang

relasi seperti <,>,=)

a. Dengan penalaran lengkap

(1) Karena perbandingan umurnya 3 : 5, maka umur Nani diwakili oleh 3

petak dan umur Dian diwakili oleh 5 petak. Jika keduanya dijumlah

maka gambaran kerangka pemikirannya akan berbentuk seperti berikut.


(2) Dari kerangka berfikir informal yang digambarkan diatas, guru

selanjutnya dapat menanyakan pada peserta didik “berapa petak jumlah

umur mereka(Nani dan Dian).”

Jawaban yang diharapakan : Jumlah umur mereka 8 petak = 48 tahun.

Maka

Umur Nani = 38 dari seluruhnya

= 38 x 48 tahun

= 18 tahun

Jadi umur Nani yaitu 18 tahun.

Setelah umur Nani terjawab, selanjutnya dengan cara penalaran yang sama

akan diperoleh umur Dian yaitu 30 tahun.

b. Dengan cara singkat

Perbandingan umur Nani dengan Dian 3 : 5, dan jumlah umur mereka 48

tahun.

Maka dari informasi yang diberikan pada gambar akan diperoleh perhitungan

untuk umur Nani dan umur Dian masing-masing seperti berikut.

Uang Nani = 3

3+5 x 48 tahun

= 38 x 48


= 18 tahun

Umur Dian = 5

3+5 x 48 tahun

= 58 x 48 tahun

= 30 tahun

C. Mencari nilai perbandingan jika selisih ( A – B ) diketahui

Jika A : B = p : q dan A – B diketahui, maka :

A = p

p−qx ( A−B )

B = q

p−qx ( A−B )

Catatan : (p-q) adalah selisih dari p dan q, sehingga nilainya selalu positif.

Contoh :


Jika A – B = 3.000, nilai A dan B adalah...

Jawab

A = p

p−qx ( A−B )

= 21

x3.000

= 6.000

B = q

p−qx ( A−B )


= 31

x3.000

= 9.000

Pembelajaran mencari nilai perbandingan jika selisih (A-B) diketahui

Soal : Diketahui perbandingan umur Andi dan Doni adalah 4 : 7. Selisih umur

mereka adalah 9 tahun. Berapakah umur mereka masing-masing.

Jawab :

Pertama

Kita fasilitasi peserta didik dengan kerangka berfikir yang memungkinkan



ditanyakan.

Yang diketahui adalah : (1) Perbandingan umur Andi dan Doni 4 : 7

(2).Selisih umur Andi dan Doni 9 tahun

Yang ditanyakan adalah : Berapakah umur mereka masing-masing ?

Kedua

Kita berikan contoh cara penyelesaiaa masalah berdasarkan kerangka

berfikir informal (corat coret dalam bentuk gambar) dan formal

(matematis dalam bentuk lambang yang hanya berupa huruf-huruf,

angka-angka, lambang-lambang operasi+, -, x, :dan lambang-lambang

relasi seperti <,>,=)

a. Penalaran lengkap

(1) Karena perbandingan umur Andi dan Doni 4 : 7 maka, umur

Andi diwakili 4 petak dan umur Doni diwakili 7 petak.

Selanjutnya karena juga diketahui selisih umur mereka 9

tahun maka rambaran penalarannya sebagai berikut.


(2) Dari kerangka berfikir yang digambarkan dia atas, selanjutnya guru

dapat menanyakan pada peserta didik “berapa petak selisih umur

mereka(Andi dan Doni)?”

Jawaban yang diharapakan : jumlah selisih mereka ada 3 petak = 9

tahun.

Maka

Umur Andi = 43 dari selisih umur

= 43 x 9 tahun

= 12 tahun

Umur Doni = 73 dari selisih umur

= 73 x 9 tahun

= 21 tahun

Jadi umur Andi yaitu 12 tahun dan umur Doni 21 tahun.

b. Dengan cara singkat

Karena perbandingan umur Andi dan Doni 4 : 7, dan selisih umur mereka

9 tahun

Maka dari informasi, dapat diperoleh umur mereka masing-masing sebagai

berikut.

Umur Andi = 4

7−4 x 9 tahun


= 43 x 9 tahun

= 12 tahun

Umur Doni = 7

7−4 x 9 tahun

= 73 x 9 tahun

= 21 tahun

2.2.3.2 Perbandingan Senilai

Definisi perbandingan senilai adalah dua perbandingan atau lebih yang nilainya sama, jika besaran pertama bertambah besar mengakibatkan besaran kedua juga bertambah besar.

Tabel 1 perbandingan dua besaran

Besaran Pertama Besaran KeduaA cB d

Untuk perbandingan senilai diperoleh persamaan a : b = c : d

Perhatikan contoh dibawah ini.

Contoh

Harga sebuah buku Rp.500,-. Berdasarkan pernyataan ini, ternyata dapat ditentukan harga 2 buku, 3 buku dan seterusnya. Perhatikan tabel 2 , dibawah ini!

Tabel 2Hubungan antara banyaknya Buku dan Harga buku

Banyaknya Buku Harga Buku

1 Rp. 500,- (baris pertama)2 Rp. 1.000,- (baris kedua)3 Rp. 1.500,- (baris ketiga)10 Rp. 5.000,- (baris keempat)20 Rp. 10.000,- (baris kelima)30 Rp. 15.000,- (baris keenam)


Perhatikan baris pertama dan baris ketiga pada tabel 2 diatas! Perbandingan banyaknya buku pada baris pertama dan ketiga adalah 1: 3, sedangkan perbandingan harga buku pada baris pertama dan ketiga adalah 500 : 1500. Selanjutnya, jika kita membandingkan banyaknya buku pada baris ketiga dan keempat akan diperoleh 3 : 10 dan perbandingan harganya buku pada baris ketiga dan keempat akan diperoleh 3 : 10 dan perbandingan harga buku pada baris ketiga dan baris keempat adalah 1.500 : 5.000 = 3 : 10.

Sekarang, cobalah sekali lagi mencari perbandingan banyaknya buku pada baris kedua dan kelima, kemudian carilah perbandingan harga buku pada baris kedua dan kelima. Apakah hasil kedua perbandingan tersebut sama ? ulangi sekali lagi untuk baris keempat dan kelima! Jika perhitungan anda benar akan diperoleh hasil kedua perbandingan tersebut sama.

Perhatikan lebih lanjut, pada kolom pertama jika banyaknya buku bertambah maka pada kolom kedua harga buku juga bertambah. Karena itu perbandingan pada contoh 1 di atas disebut perbandingan senilai. Jadi, ciri perbandingan senilai adalah jika suatu besaran bertambah maka besaran yang lain akan bertambah pula.

Untuk lebih memahami perbandingan senilai, perhatikan contoh-contoh berikut :

Contoh 1

Jika harga 6 kg gula adalah Rp. 15.000,-. Tentukan berapakah harga 8 kg gula.

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa contoh ini berhubungan dengan perbandingan senilai, karena semakin banyak gula yang dibeli maka semakin mahal harga gula yang harus dibayar. Selanjutnya, misalkan 8 kg gula adalah Rp. n,-. Karena perbandingan senilai maka perbandingan berat gula dengan harga 8 kg gula yaitu 15.000 : n, jadi 6 : 8 = 15.000 : n. Maka, diperoleh persamaan 6n = 8 x 15.000. Sehingga n = 20.000 , jadi harga 8 kg gula adalah Rp 20.000,-.

Contoh 2


Suatu mobil bergerak dengan kecepatan tetap, setiap 3 jam mobil tersebut menempuh 20 km. Tentukan jarak yang ditempuh mobil tersebut selama 5 jam.

Penyelesaian :

Sekali lagi, contoh ini berhubungan dengan perbandingan senilai karena semakin lama mobil berjalan maka semakin jauh jarak yang ditempuh mobil tersebut. Sekarang, misalkan jarak yang ditempuh selama 5 jam adalah n km. Karena perbandingannya senilai antara waktu yang ditempuh mobil, yaitu 3 : 5 sama dengan perbandingan jarak yang dutempuh mobil, yaitu 20 : n. Maka, diperoleh

3 : 5 = 20 : n, yang menghasilkan persamaan 3n = 100 sehingga n =33 13 km. Jadi,

jarak yang ditempuh mobil tersebut selama 5 jam adalah 3313 km.

2.2.3.3 Perbandingan Berbalik Nilai

Definisi perbandingan berbalik nilai adalah dua perbandingan atau lebih yang saling berkebalikan, jika besaran pertama bertambah besar mengakibatkan besaran kedua bertambah kecil. Berdasarkan tabel 1 diperoleh untuk perbandingan terbalik nilai diperoleh persamaan a : b = d : c.

Untuk mengilustrasikan perbandingan berbalik nilai, perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 3

Tabel berikut ini menunjukkan hubungan antara banyaknya karyawan dengan waktu yang diperlukan (dalam jam) untuk menyelesaikan suatu pekerjaan yang sama.

Tabel 3Hubungan antara Banyaknya Karyawan dengan banyaknya Jam untuk

Menyelesaikan Suatu Pekerjaan yang samaBanyaknya Karyawan Banyaknya Jam yang Diperlukan

10 6 (baris pertama)20 3 (baris kedua)30 2 (baris ketiga)


40 1,5 (baris keempat)50 1,2 (baris kelima)60 1 (baris keenam)

Perhatikan bahwa perbandingan banyaknya karyawan yang bekerja pada

baris pertama dan kedua adalah 10 : 20 = 1 : 2, sedangkan perbandingan

banyaknya jam yang diperlukan pada baris pertama dan kedua adalah 6 : 3 = 2 : 1.

Perhatikan juga bahwa kedua perbandingan tersebut tidak sama tetapi saling

berkebalikan (12 adalah kebalikan

21). Bandingkan hal ini dengan perbandingan

senilai.

Demikian juga untuk baris ketiga dan baris kelima, diperoleh

perbandingan banyaknya jam adalah 30 : 50 = 3 : 5 dan perbandingan waktu yang

diperlukan adalah 1 : 1,2 = 5 : 3. Sekali lagi diperoleh dua perbandingan yang

saling berkebalikan, jadi

Tampak pula pada tabel 3 diatas bahwa semakin banyak karyawan yang

bekerja akan semakin sedikit waktu yang digunakan untuk menyelesaikan

pekerjaan tersebut. Hal ini merupakan ciri dari perbandingan berbalik nilai, yaitu

jika suatu besaran bertambah maka besaran lainnya akan berkurang.

Contoh 4

Seekor sapi bisa menghabiskan sebuah bagian padang rumput selama 4 hari,

sedangkan seekor kambing dapat menghabiskan bagian padang rumput yang sama

selama 12 hari. Tentukan waktu yang diperlukan untuk menghabiskan bagian

padang rumput yang sama, jika sapi dan kambing makan bersama-sama.

Penyelesaian :


Karena seekor sapi bisa menghabiskan sebuah bagian padang rumput selama 4

hari berarti sehari seekor sapi dapat menghabiskan 14 bagian padang rumput.

Dengan cara yang sama sehari kambing dapat menghabiskan 1

12 bagian padang

rumput.

Jika mereka makan bersama-sama, sehari mereka dapat menghabiskan :

14 +

112 =

412 =

13 bagian padang rumput.

Karena dalam sehari sapi dan kambing menghabiskan 1/3 bagian padang

rumput, sehingga untuk menghabiskan seluruh padang rumput diperlukan 3 hari

dengan kata lain (1/3) x 3 hari = 1 padang rumput

Jadi diperlukan waktu 3 hari untuk menghabiskan bagian padang rumput

jika sapi dan kambing makan bersama-sama.

Contoh soal perbandingan yang berkaitan lebih dari 2 rasio

Contoh 1Uang Ali dibanding dengan uang Budi 3 : 5.

Uang Budi dibanding uang Cahya 2 : 3

Jumlah uang mereka Rp 62.000,-.

Berapa rupiah uang mereka masing-masing?

Jawab :


a. Kerangka berpikir informal

Karena perbandingan Ali dengan Budi 3 : 5, maka Ali diwakili oleh 3 petak

yang masing-masing petaknya berukuran p dan Budi diwakili oleh 5 petak

yang masing-masing petaknya berukuran p, sehingga Ali = 3p dan Budi = 5p

(lihat gambar).

Karena perbandingan Budi dengan Cahya 2 : 3, maka Budi diwakili oleh 2

petak baru yang masing-masing petaknya berukuran q dan Cahya diwakili oleh

3 petak yang masing-masing petaknya juga berukuran q, sehingga Budi = 2q

dan cahya = 3q (lihat gambar).

Dari gambar milik Budi kita peroleh kesamaan 5p = 2q maka q = 52 p.

Selanjutnya

semua satuan pembandingnya kita nyatakan dalam p. Hasilnya

Ali : Budi : Cahya = 3p : 5p : 3q : dengan q = 52 p

= 3p : 5p : 3×( 52 p)

= 3p: 5p : 152 p

= 6 : 10 : 15 .


Perbandingan yang baru ini mempunyai hubungan dengan sebelumnya.

Gambarannya

adalah sebagai berikut.

Karena jumlahnya diketahui = 62.000 rupiah, maka berdasarkan gambar mudah dilihat bahwa

b. Kerangka berpikir formal

Karena perbandingan uang Ali dan Budi = 3 : 5, maka Ali = 3p dan

Budi = 5p.

Karena perbandingan uang Budi dan Cahya = 2 : 3, maka Budi = 2q dan

Cahya = 3q.

Maka uang Budi = 5p = 2q.

Dari 5p = 2q diperoleh 2q = 5p, atau

q = 52 p


Karena perbandingan Ali : Budi = 3p : 5p, dan Budi : Cahya = 2q : 3q , maka

Jika dibandingkan, maka Ali : Budi : Cahya

3p : 5p

2q : 3q.

Dengan demikian maka perbandingan uang

Ali : Budi : Cahya = 3p : 5p : 3q ; dengan q = 52

p

= 3p : 5p : 3 x ( 52

p¿

= 3p : 5p : 3 x (52

p¿

= 3p: 5p : ( 152

p )

= 6 : 10 : 15


Contoh 2

Misalkan uang Ali dibanding uang Budi dibanding uang Cahya 3 : 5 : 9. Jika

selisih uang Budi dan Cahya Rp.20.000,- tentukan: (a) selisih uang Ali dan

Cahya, (b) jumlah uang Budi dan Cahya.

Jawab :

Diketahui : Uang A : B : C = 3 : 5 : 9 dan selisih uang B dengan C Rp20.000,-.

Ditanyakan: (a) Selisih uang A dan C

(b) Jumlah uang B dan CPenyelesaian:

1. Dengan penalaran lengkap

(a) Mencari selisih uang A dan C

Karena diketahui uang A : B : C = 3 : 5 : 9 maka A = 3 petak, B = 5 petak, dan

C = 9 petak. Selanjutnya karena juga diketahui selisih uang A dengan B sebesar

20.000 rupiah maka gambaran penalarannya seperti berikut.


Dari peragaan gambar yang kita buat tampak bahwa selisih B dan C =20.000.

selanjutnya karena :

Jadi selisih antara uang Ali dan Cahya = Rp.30.000,00.

b). mencari jumlah uang B dan C

Jadi jumlah uang Budi dan uang Cahya = Rp. 70.000,00.

2. Dengan cara singkat

Pada tahapan ini gambaran penyelesaian dengan penalaran lengkap

dianggap sudah ada dalam alam pikiran, sehingga cara singkat dapat

dilakukan. Karena A = 3 petak, B = 5 petak, dan C = 9 petak dan 1 petak =

5.000, maka :

(a) Selisih uang A dan C = 9 petak – 3 petak = 6 petak = 6 x 5.000 = 30.000.

Jadi selisih uang antara Ali dan Cahya = Rp.30.000,00

(b) Jumlah uang B dan C = 5 petak + 9 petak = 14 petak = 14 x 5.000 =

30.000. Jadi jumlah uang Budi dan Cahya = Rp 70.000,00.


2.3 SKALA

2.3.1 Konversi Satuan Panjang

Agar siswa dapat memahami skala dengan baik, siswa terlebih dahulu

mengenal konversi satuan utamanya konversi satuan panjang.

a. pengertian konversi satuan

Konversi satuan adalah pengubahan satuan suatu besaran ke dalam satuan

lain dengan menggunakan faktor konversi satuan. Konversi satuan dapat

dilakukan jika satuan yang akan diubah dan satuan pengubah merupakan satuan

dari besaran yang sama. Misalnya satuan kilogram dan gram, keduanya

merupakan satuan berat. Selain itu konversi satuan dapat dilakukan jika satuan

yang akan diubah dan satuan pengubah memiliki faktor konversi standar.

Misalnya satuan kilogram dan gram memiliki faktor konversi standar 1

kilogram = 1000 gram.

b. pengertian faktor konversi satuan

Yang dimaksud dengan faktor konversi satuan adalah angka yang

menunjukkan kesetaraan nilai suatu besaran antara dua satuan yang berbeda.

Faktor konversi ini bersifat tetap(konstan). Faktor konversi juga bersifat timbal

balik, artinya jika sebuah satuan A dari suatu besaran dapat diubah ke satuan B,

maka satuan B juga dapat diubah kesatuan A.

Contoh faktor konversi satuan antara lain.

1km = 1000m dan 1 m = (1/1000)km

1kg = 1000g dan 1 g = (1/1000)kg

1 jam = 60 menit dan 1 menit = (1/60) jam.


c. konversi satuan panjang

km = Kilo Meter

hm = Hekto Meter

da = Deka Meter

m = Meter

dm = Desi Meter

cm = Centi Meter

mm = Mili Meter

Untuk satuan ukuran panjang konversi dari suatu tingkat menjadi satu

tingkat di bawahnya adalah dikalikan dengan 10 sedangkan untuk konversi satu

tingkat di atasnya dibagi dengan angka 10. Contoh :

- 1 km = 10 hm

- 1 km = 1.000 m

- 1 km = 100.000 cm

- 1 km = 1.000.000 mm

- 1 m = 0,1 dam

- 1 m = 0,001 km

- 1 m = 10 dm

- 1 m = 1.000 mm

Cara menghitung :

Misalkan kita akan mengkonversi satuan panjang 12 km menjadi ukuran cm.

Maka untuk merubah km ke cm turun 5 tingkat atau dikalikan dengan 100.000.

Jadi hasilnya adalah 12 km sama dengan 1.200.000 cm. Begitu pula dengan

satuan ukuran lainnya. Intinya adalah kita harus melihat tingkatan ukuran serta

nilai pengali atau pembaginya yang berubah setiap naik atau turun tingkat/level.


2.3.2 Pengertian Skala

Skala sering digunakan dalam membuat peta atau denah. Skala adalah

perbandingan ukuran pada gambar dengan ukuran sebenarnya. Istilah Skala dalam

matematika adalah perbandingan panjang sisi antara bangun yang kecil

dibandingkan dengan bangun yang besar. Bangun yang kecil adalah bangun yang

tedapat pada gambar dan bangun yang besar adalah bangun dari obyek yang

sebenarnya.

Skala biasa ditulis 1 : ......

Suatu bilangan cacah

Contoh penulisan skala :

1 : 20.000

1 : 15.000

1 : 1.750.000

Pembanding paling sederhana

peta provinsi kalimantan timur

pada peta tertulis skala 1 :

6.000.000, artinya jika jarak

pada peta 1 cm, maka jarak


sebenarnya adalah 6.000.000

cm atau 6.000 km.

Skala 1 : 6.000.000

1. Menghitung jarak pada peta

Rumus untuk menghitung jarak pada peta dapat dinyatakan sebagai

berikut :

Jarak pada peta = skala x jarak sebenarnya

Contoh :

Jarak antara Yogyakarta – solo 54 km. Jika pada peta digunakan skala

1:1.800.000, berapakah jarak yogyakarta – solo pada peta ?

Jawab :

Jarak pada peta = skala x jarak sebenarnya

= 1

1.800.000 x 54 km

= 5.400.000 cm

1.800 .000

= 3 cm

Jadi, jarak yogyakarta – solo pada peta adalah 3 cm

2. Menghitung jarak / ukuran sebenarnya

Rumus untuk menghitung jarak sebenarnya dapat dinyatakan sebagai berikut.

Jarak sebenarnya = jarak pada peta : skala

Contoh :

Jarak kota A sampai B pada peta 8 cm. Jika peta tersebut berskala 1 : 250.000,

tentukan jarak yang sebenarnya!


Jawab :

Jarak sebenarnya = jarak pada peta : skala

= 8 cm : 1

250.000

= 8 cm x 250.000

1

= 2.000.000 cm

= 20 km

Jadi, jarak kota A sampai B yang sebenarnya adalah 20 km

3. Menentukan skala

Rumus untuk menentukan skala dapat dinyatakan sebagai berikut :

Skala = jarak pada peta : jarak sebenarnya

Contoh :

Jarak kota Y dan Z adalah 70 km. Jika jarak kedua kota pada peta 5 cm,

berapakah skala peta yang digunakan ?

Jawab :

Skala = jarak pada peta : jarak sebenarnya

= 5 cm : 70 km

= ( 5 cm : 5 cm ) : ( 7.000.000 cm : 5 cm )

= 1 : 1.400.000

Jadi, skala peta yang digunakan adalah 1 : 1.400.000

2.3.3 PENGENALAN KONSEP SKALA

Cara I

Untuk membangun pemahaman siswa tentang skala, pertama-tama

berikan mereka sebuah soal yang berkenaan dengan membuat denah. Misalkan

soalnya sebagai berikut:


10cm

5cm

Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan panjang 100 m dan lebar 50

m. Jika 1cm pada gambar denah menunjukkan 1.000 cm pada bidang tanah

sebenarnya, gambarlah denah bidang tanah itu!

Sebelum denah dibuat, di sini siswa dituntut untuk mampu

menyetarakan 100 m dan 50 m ke dalam satuan cm. Karena 100 m = 10.000

cm dan 50 m = 5.000 cm, panjang dan lebar denah itu berturut-turut adalah

10.000 / 1.000 = 10 cm dan 5.000 / 1. 000 = 5 cm.

Akhirnya dengan mudah mereka dapat menggambar denah itu, yaitu:

Sampaikan kepada para siswa bahwa kalimat yang menyatakan, “1 cm pada

gambar denah menunjukkan 1.000 cm pada bidang tanah sebenarnya” disebut

dengan denah itu mempunyai “skala 1 : 1.000”

Setelah para siswa memahami arti dari skala, mintalah mereka menyelesaikan

soal-soal yang berkenaan dengan denah. Beberapa contoh soal yang dapat

diajukan kepada anak adalah sebagai berikut:

1. Sebidang kebun mempunyai panjang 600 m. Jika kebun itu digambar pada

denah berskala 1 : 10.000, berapa panjang kebun pada denah?

2. Pada denah berskala 1 : 1.000, panjang dan lebar sebidang kebun berturut-

turut adalah 15 cm dan 10 cm. Berapa luas kebun sebenarnya?

3. Denah sebidang tanah berbentuk persegi panjang mempunyai panjang 10

cm. Jika panjang bidang tanah sebenarnya adalah 200 m, berapa skala yang

dipakai pada denah itu?

Diharapkan para siswa dapat menyelesaikan sendiri soal-soal di atas.

Jawaban para siswa yang diharapkan adalah sebagai berikut:

Penyelesaian no. 1

600 m = 60.000 cm

Skala yang digunakan adalah 1 : 10.000.

Jadi panjang kebun pada denah itu adalah 60.0000 : 10.000 = 6 cm.


Penyelesaian no. 2

Skala yang digunakan adalah 1 : 1.000.

Panjang dan lebar pada denah berturut-turut adalah 15 cm dan 10 cm.

Panjang tanah sebenarnya = 1.000 x 15 = 15.000 cm = 150 m.

Lebar tanah sebenarnya = 1.000 x 10 = 10.000 cm = 100 m.

Jadi luas tanah itu = 150 x 100 = 15.000 m2

Penyelesaian no. 3

Panjang pada denah = 10 cm.

Panjang sebenarnya = 200 m = 20.000 cm.

Jadi skala yang digunakan pada denah itu = 20.000 cm : 10 cm = 1 : 2.000.

Cara II

Dengan memperlihatkan gambar-gambar yang sebagun atau tidak sebagun.

Dari empat pasangan gambar dua bangun datar kecil dan besar pada gambar

berikut ini, pasangan pada nomor-nomor manakah yang merupakan pasangan dua

bangun datar sebangun dan pasangan manakah yang tidak sebangun?. Berikan

alasan pendukungnya. Selanjutnya jika sebangun tentukan skalanya.

Pada geometri jika ditinjau dari ukuran panjangnya “dua bangun datar

yang tampak sebangun akan terbukti sebangun “jika paling sedikit kita dapat

menunjukkan secara konsisten adanya perbandingan panjang dari ukuran-ukuran

bangun yang bersesuaian baik ke arah horisontal(mendatar) maupun ke arah

vertikal(tegak) merupakan perbandingan yang senilai”. Artinya syarat

perbandingan panjang : (1) ke arah horisontal, dan (2) ke arah vertikal yang harus

senilai dapat dipenuhi secara konsisten merupakan dua syarat minimal.

Selanjutnya perhatikan bahwa pasangan gambar :

1. Bangun yang kecil dibanding bangun yang besar

Atas : atas = 1 : 2 ; alas : alas = 4 : 8 = 1 : 2 ; tinggi : tinggi = 2 : 4 = 1 : 2

Karena perbandingannya konsisten maka pasangan gambar no.1 sebangun.



Atas : atas = 1 : 2 ; alas : alas = 4 : 9 ; tidak konsisten sehingga pasangan

gambar no.2 tidak sebangun.


Atas : atas = 4 : 8 = 1 : 2 ; tinggi : tinggi = 2 : 4 = 1 : 2 ; konsisten

sehingga pasangan gambar no.3 sebangun.


Mendatar = 2 : 4 = 1 : 2 ; vertikal = 3 : 7 ; Tidak konsisten sehingga

pasangan gambar no.4 tak sebangun.

Kesimpulan

Dari keempat pasangan bangun datar 1, 2, 3, 4 diatas pasangan yang

sebangun adalah pasangan nomor 1 dan 3, sementara pasangan nomor 2

dan 4 tidak sebangun. Untuk pasangan yang sebangun, maka skala dari

pasangan nomor 2 dan 4 masing-masing adalah skala = 1 : 2

Karena istilah skala dalam matematika adalah perbandingan panjang sisi

antara bangun yang kecil dibandingkan dengan bangun yang besar. Bangun yang

kecil adalah bangun yang terdapat pada gambar dan bangun yang besar adalah

bangun dari obyek yang sebenarnya. Dua bangun geometri dikatakan/disebut

sebangun jika (1) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan (2) perbandingan

panjang sisi-sisi yang bersesuaian (dengan sudut-sudut yang sama besar itu)

merupakan perbandingan yang senilai.

2.4 KECEPATAN RATA-RATA

2.4.1 Satuan Jarak

Dalam mengenalkan konsep jarak kepada siswa SD, guru dapat memulainya

dengan mengenalkan konsep jauh atau dekat terlebih dahulu. Misalnya :

1. Rumah Ani jauh dari sekolah, sedangkan rumah Mega dekat dari sekolah.

2. Adik dapat melompat. Kakak juga dapat melompat.

Lompatan adik dekat.

Lompatan kakak jauh.


Jadi, lompatan kakak lebih jauh dari lompatan adik.

Konsep mengenai jauh atau dekat inilah yang dinamakan jarak. Jarak

menyatakan panjang atau jauh-dekatnya antara dua benda atau tempat.

Panjang atau jauh (jalan) antara Parigi dan Palu adalah 184 km, artinya jarak

antara Parigi dan Palu adalah 184 km. Sehingga dapat dinyatakan bahwa Jarak

merupakan panjang lintasan yang dilalui.

Satuan jarak dapat dibedakan menjadi dua :

1. Satuan jarak tak baku

Contoh : jengkal, langkah, depa dll

2. Satuan jarak yang dibakukan

Contoh : kilometer (km), meter (m), atau sentimeter (cm). Penggunaannya

bergantung pada jauh-dekatnya antara 2 benda atau tempat. Jarak antara 2 kota,

dengan satuan jarak km. Jarak antara 2 rumah berdekatan, dengan satuan m. Jarak

antara 2 benda di atas meja, dengan satuan cm.

Satu hal yang perlu diketahui dan ditekankan kepada siswa adalah hubungan

antara km, hm, hingga mm, merupakan kelipatan 10, seperti terlihat pada gambar

berikut.

2.4.2 Satuan Waktu

Dalam mengenalkan konsep waktu kepada siswa SD, guru dapat

memulainya dengan mengenalkan konsep sebentar atau lama terlebih dahulu.

Misalnya :

1. Waktu yang kamu gunakan untuk bangun tidur hanya sebentar.

2. Waktu yang kamu gunakan untuk belajar disekolah lama.


Waktu merupakan sarana yang paling dekat dengan kehidupan manusia

sehari‐hari untuk dikenal dan diketahui oleh anak/siswa. Satuan waktu adalah

sebentar atau lamaya suatu peristiwa berlangsung, sebagai contoh:

1. Waktu yang diperlukan untuk bersekolah dalam sehari

2. Waktu yang diperlukan seseorang pergi ke pasar dan kembali lagi adalah

2 jam

3. Waktu yang diperlukan seseorang menuntut ilmu di jenjang sekolah

dasar adalah 6 tahun

4. Waktu yang diperlukan dalam pertandingan sepakbola dalam satu babak,

5. dan lain‐lain.

Satuan waktu dibedakan menjadi dua, yaitu:

1. Satuan waktu tak baku

Contoh : ‐ ketukan atau hitungan monoton‐ hitungan monoton 1, 2, 3, …

2. Satuan waktu yang dibakukan

Contoh: detik, menit, jam, hari, minggu, bulan, tahun, windu, atau abad.

Satu hal yang perlu diketahui dan ditekankan kepada siswa adalah hubungan

antara jam, menit dan detik adalah merupakan kelipatan 60, seperti terlihat pada

gambar berikut.


2.4.3 Hubungan Antara Jarak, Waktu Dan Kecepatan

Dalam mengenalkan konsep kecepatan kepada siswa SD, guru dapat

memulainya dengan mengenalkan konsep laju/cepat atau lambat terlebih dahulu.

Misalnya :

1. Dalam lomba lari kelinci dan kura-kura, kelinci berlari amat cepat,

sedangkan kura-kura berlari amat lambat.

2. Pesawat terbang diangkasa amat cepat, sedangkan aku bejalan lambat.

Dari konsep yang telah diajarkan mengenai laju dan lambat ini, siswa diajak

menghubungkan dengan sesuatu yang menyertainya. Cepat atau lambat itu

berkaitan dengan jarak dan waktu, maka kecepatan itu adalah perbandingan antara

jarak terhadap waktu.

Dalam mengajarkan hubungan jarak, waktu, dan kecepatan dapat pula

menghubungkan dengan kegiatan yang sering dilakukan oleh siswa. Misalnya

Jarak rumah Ani ke sekolah adalah 100 m, Ani berangkat ke sekolah dengan

berjalan kaki pada pukul 06.30 pagi, dan sampai di sekolah pada pukul 06.50

pagi. Berapakah kecepatan Ani berjalan ?

Kemudian siswa diajarkan bahwa kecepatan Ani berjalan merupakan

perbandingan antara jarak dari rumah ke sekolah terhadap waktu atau lamanya

Ani berjalan, sehingga siswa dapat menjawab bahwa

kecepatan Ani berjalan= jarak rumah Anike sekolahwaktu ataulamanya Ani berjalan

kecepatan Ani berjalan= 100 m20 menit

= 100 m1200 detik

=( 112 ) m

detik

Guru juga dapat melakukan kegiatan praktikum di luar kelas, yakni dengan

mengajak para siswa untuk mengamati suatu kegiatan yang disajikan. Misalnya

salah satu siswa diminta untuk berjalan sejauh 10 m dan salah satu siswa yang lain

menghitung lamanya siswa tersebut berjalan menggunakan stopwatch atau jam


tangan. Sehingga para siswa dapat mengamati dan menentukan kecepatan salah

seorang temannya tersebut.

2.4.4. Penyelesaian Masalah Sehari-Hari Yang Berkaitan Dengan Jarak,

Waktu, Dan Kecepatan

Agar dapat memotivasi siswa belajar mengenai jarak, waktu dan kecepatan,

hendaknya dalam contoh‐contoh soal dikaitkan dengan pengalaman siswa dalam

kehidupan sehari‐hari mereka, misalnya: menentukan lamanya waktu saat

bepergian, saat menentukan jam berapa harus berangkat ke sekolah agar tidak

terlambat datang ke sekolah, saat menentukan kecepatan kendaraan ayah agar tiba

di bandara tepat waktu, dan sebagainya. Berikut ini adalah contoh‐contoh soal

yang dikaitkan dengan kehidupan sehari‐hari.

1. Menentukan kecepatan rata-rata

Aco mengendarai kendaraan dari Ampana ke Palu sejauh 320 km dalam

waktu 8 jam. Berapakah kecepatan rata‐rata Aco?

Alternatif penyelesaian:

1. Dengan menggunakan rumus

v= st=( 320

8 ) kmjam

=40 kmjam

2. Dengan perbandingan

8 jam 320 km

1 jam 3208

km=40 km

Jadi kecepatan rata‐rata Aco adalah 40 km/jam


Ampana Palu

3. Dengan menggunakan gambar

Jadi kecepatan rata‐rata Aco dalam mengendarai kendaraan adalah 40

km/jam.

2. M enunggu

Andi naik sepeda dari kota Yogya ke kota Solo yang berjarak 65 km,

dengan kecepatan rata-rata 30 km/jam. Sedangkan Beni juga bersepeda dari kota

yang sama dengan kecepatan 25 km/jam. Mereka berangkat dalam waktu

bersamaan, dan setelah menempuh perjalanan 2 jam Andi beristirahat sambil

menunggu Beni. Berapa lama Andi menunggu Beni? (Pujiati dalam Pretes Diklat

Matematika SD, 2007: 3).

Alternatif penyelesaian:

Pada permasalahan di atas, biasanya mereka (para guru) terkecoh dengan

jarak 65 km, padahal penyelesaian sangat sederhana, yakni dengan menerapkan

rumus yang sudah ada.

Dalam 2 jam Andi menempuh jarak 60 km.

Dalam 2 jam Beni menempuh jarak 50 km.

Selisih jarak Andi dan Beni = (60 – 50) km = 10 km

Selisih jarak tersebut dapat ditempuh oleh Beni dalam waktu


v

( 1025

× 60)menit=24 menit

Jadi Andi menunggu Beni selama 24 menit

3. Berpapasan

Contoh 1: berpapasan dengan waktu berangkat sama

Jarak Yogyakarta-Malang 350 km. Ali berangkat dari Yogya ke Malang pukul

06.00 WIB dengan mobil kecepatannya 60 km/jam. Pada waktu dan rute yang

sama Budi berangkat dari Malang menuju Yogya dengan mengendarai mobil yang

kecepatannya 80 km/jam. Pada jarak berapa dan pukul berapa keduanya

berpapasan?

Alternatif penyelesaian :

Alternatif 1: menggunakan tabel

Dalam menggunakan tabel dimulai dengan perjalanan 1 jam berapa jarak

yang telah ditempuh Ali dan Budi, 2 jam, dan seterusnya sampai diperoleh

jumlah jarak yang telah ditempuh oleh Ali dan Budi jumlahnya

merupakan jarak antara Yogya dan Malang.

Dari tabel tersebut dapat dilihat ternyata:

a. Keduanya berpapasan pada pukul 08.30 WIB

b. Keduanya berapapasan setelah Ali menemuh jarak 150 km dari Yogya

atau Budi telah menempuh 200 km dari Malang.

Alternatif 2: menggunakan rumus jarak, waktu, dan kecepatan


Misalkan lama perjalanan dari berangkat sampai bertemu w jam, dengan

menggunakan rumus: jarak = kecepatan x waktu, maka diperoleh:

jarak tempuh Ali + jarak tempuh Budi = 350

(kecepatan Ali × waktu tempuh) + (kecepatan Budi × waktu tempuh) = 350

60t + 80t = 350

140t = 350

t=350140

=2 12

Jadi mereka berpapasan setelah perjalanan selama 212 jam sesudah pukul

06.00, berarti pukul 08.30 WIB.

Jarak sewaktu berpapasan:

Jarak Ali dari Yogya ( 60 x 212 ) km= 150 km

Jarak Budi dari Malang ( 80 x 212 )km= 200 km

Alternatif 3: menggunakan grafik.

Dibuat grafik garis lurus dengan ketentuan sebagai berikut.

1. Grafik perjalanan Ali dimulai dari titik (0,0), dan setiap jam ditempuh 60

km, sehingga titik kedua terletak pada koordinat (1,60). Dari titik (0,0)

ditarik garis lurus melalui (1,60) dan diperpanjang sampai berpotongan

dengan garis horisontal yang ditarik mulai dari titik (0,350) misal titik

potong tersebut dinamakan titik P.

2. Dari titik potong tersebut, ditarik garis vertikal dan memotong tegak lurus

pada garis waktu, yaitu pada titik Q. Ternyata titik Q tersebut berada pada

koordinat (0,5 56 ). Hal ini menunjukkan bahwa jarak350 km dapat

ditempuh oleh Ali dalam waktu 5 56 jam atau dapat ditempuh selama 5 jam

50 menit.


4. Grafik perjalanan Budi dimulai dari titik (0,350) dan setiap jamnya

ditempuh 80 km, sehingga titik kedua terletak pada koordinat (1,270). Dari

titik (0,350) ditarik garis lurus melalui titik (1,270) diperpanjang sampai

berpotongan dengan garis mendatar pada garis waktu, yaitu pada titik R.

Ternyata titik R tersebut terletak pada koordinat (4 56 , 0 ) Hal ini

menunjukkan bahwa jarak 350 km dapat ditempuh oleh Budi selama 4 56

jam atau selama 4 jam 22 12 menit


5. Dari grafik tersebut di atas dapat diketahui bahwa perpotongan kedua garis

tersebut berada pada titik (2 12 , 150) artinya dalam perjalanan Ali dan

Budi akan berpapasan pada pada jarak 150 km dari Yogya yang ditempuh

selama 2 jam.

Alternatif 4: menggunakan sketsa/gambar

Kecepatan berkendara Ali 60 km/jam dari Yogya

Kecepatan berkendara Budi 80 km/jam dari Malang

Jarak Yogya – Malang = 350 km

Dari sketsa/gambar di atas tampak bahwa setelah 2,5 jam mereka akan bertemu

karena jumlah jaraknya sudah 350 km.

Contoh 2 : Berpapasan dengan waktu berangkat berbeda

Adi berangkat dari kota A menuju kota B yang berjarak 159 km pada pukul 07.30

dengan mengendarai sepeda motor yang kecepatan rata‐ ratanya 48 km/jam. Seno

berangkat dari kota B menuju kota A dengan sepeda motor dengan kecepatan rata‐rata 60 km/jam. Jika Seno berangkat setengah jam setelah perjalanan Adi, pada

pukul berapakah mereka akan berpapasan? (Pujiati dalam Sukirman dan

Rachmadi W., 2000: 44).

Penyelesaian

masalah contoh 2 di atas sebetulnya prinsipnya sama


dengan contoh 1. Kita coba dengan menggunakan tabel.

Dari tabel di atas, maka Adi dan Seno akan berpapasan pada pukul 09.15, yaitu

dengan jarak 84 km dari kota A atau 75 km dari kota B.

4. Perjalanan searah sehingga terjadi penyusulan

Dalam menempuh suatu perjalanan searah dari suatu tempat

pemberangkatan agar kendaraan yang satu memungkinkan untuk tersusul oleh

kendaraan yang lain, maka kendaraan yang lebih lambat kecepatannya harus

diberi kesempatan berangkat terlebih dahulu. Dengan demikian terjadi selisih

pemberangkatan.

Contoh :

Asvin dan Septo berangkat dari Kota A menuju Kota B mengendarai sepeda

motor dengan kecepatan berturut‐turut 30 km/jam dan 50 km/jam. Asvin

berangkat terlebih dahulu, selang 3 jam baru Septo mulai berangkat. Berapa lama

Asvin tersusul Septo dan berapa lama jarak yang telah ditempuhnya?


Penyelesaian:

Alternatif 1:dengan menggunakan tabel

Prinsip pemecahan masalah ini adalah, pada saat Asvin tersusul Septo, maka

jarak tempuh keduanya sama.

Dari tabel tersebut dapat terlihat bahwa Asvin tersusul Septo setelah 7,5

jam perjalanan atau setelah Seto melakukan perjalanan dalam waktu 4,5

jam. Asvin tersusul Septo setelah menempuh jarak 225.

Alternatif 2:dengan menggunakan rumus

Kecepatan Asvin = 30 km/jam atau kA = 30 km/jam

Kecepatan Septo = 50 km/jam atau kS = 50 km/jam

Setelah 3 jam baru Septo menyusul, maka Septo telah bergerak/berjalan

wS = wA x3

Karena saat tersusul jarak tempuhnya sama, maka:

jA = jS

kA × wA = kS × wS


30wA = 50wS

30wA = 50(wA – 3)

30wA = 50wA – 150

150 = 20wA

7,5 = wA

Jadi Asvin tersusul Septo setelah 7,5 jam perjalanan atau setelah Asvin

menempuh jarak = (7,5 × 30) km = 225 km.

Alternatif 3:dengan menggunakan grafik

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

1. Dibuat grafik garis lurus.

2. Grafik perjalanan Asvin dimulai dari titik (0,0), dan setiap jam ditempuh 30

km, sehingga titik kedua terletak pada koordinat (1,30). Buat garis lurus dari

titik (0,0) melalui titik (1,30). Garis ini merupakan grafik perjalanan Asvin

3. Grafik perjalanan Septo dimulai dari titik (3,0), dan setiap jam ditempuh 50

km, sehingga titik kedua terletak pada koordinat (4,50). Buat garis lurus dari

titik (3,0) melalui titik (4,50). Garis ini merupakan grafik perjalanan Septo.



4. Dari grafik tersebut di atas ternyata perpotongan kedua garis tersebut terletak

pada titik (7 12 , 225 ), artinya Asvin tersusul Septo setelah menempuh jarak

225 km dalam waktu 7 12 jam, atau Septo dapat menyusul Asvin setelah

berkendaraan selama 4 12 jam dan menempuh jarak 225 km.


BAB IIIPENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Belajar matematika merupakan pemahaman tentang konsep-konsep dan

struktur abstrak yang terdapat dalam matematika serta mencari hubungan antara

konsep-konsep dan struktur matematika. Belajar matematika harus melalui proses

yang bertahap dari konsep yang sederhana ke konsep yang lebih konkret. Setiap

konsep matematika dapat dipahami dengan baik jika pertama-tama di sajikan

dalam bentuk konkret.

1. Rasio adalah suatu bilangan yang digunakan untuk menyatakan sebuah

perbandingan ukuran atau nilai dari dua atau lebih objek, dan dapat

dilambangkan dengan ab , atau dalam bentuk khusus a : b, dimana bentuk

pecahan yang paling tepat untuk dikerjakan.

2. Rasio bisa menyangkut perbandingan dari sebagian terhadap keseluruhan,

rasio juga dapat menyatakan suatu bagian dari keseluruhan terhadap

bagian yang lain dari keseluruhan yang sama dan juga rasio merupakan

perbandingan dua kuantitas yang di ukur dalam satuan berbeda.

3. Perbandingan / proporsi merupakan 2 rasio atau lebih yang dibandingkan.

4. Jenis-jenis perbandingan yaitu perbandingan umum, perbandingan senilai

dan perbandingan berbalik nilai.

5. Skala sering digunakan dalam membuat peta atau denah. Skala adalah

perbandingan ukuran pada gambar dengan ukuran sebenarnya. Istilah

Skala dalam matematika adalah perbandingan panjang sisi antara bangun

yang kecil dibandingkan dengan bangun yang besar. Bangun yang kecil

adalah bangun yang tedapat pada gambar dan bangun yang besar adalah

bangun dari obyek yang sebenarnya. Skala dapat dirumuskan:

Skala = Jarak peta

Jarak sebenarnya


6. Konversi satuan panjang

km = Kilo Meter

hm = Hekto Meter

da = Deka Meter

m = Meter

dm = Desi Meter

cm = Centi Meter

mm = Mili Meter

Untuk satuan ukuran panjang konversi dari suatu tingkat menjadi satu

tingkat di bawahnya adalah dikalikan dengan 10 sedangkan untuk konversi

satu tingkat di atasnya dibagi dengan angka 10

7. Kecepatan dari benda yang bergerak ialah besaran yang merupakan hasil

pembagian antara jarak tempuh dalam perjalanan dengan waktu yang

digunakan untuk menempuh jarak yang dimaksud. Kaitan antara jarak,

kecepatan dan waktu dinyatakan dengan rumus berikut :

kecepatan rata−rata= jarak tempuh perjalananwaktu perjalanan atauv= s

t

3.2 SARAN

Dengan selesainya makalah ini, penyusun berharap kepada para pembaca

agar dapat member masukan baik berupa kritik atau saran yang sifatnya

membangun agar pada perbaikan makalah ini, pembaca mendapat manfaat

yang lebih daripada sebelumnya.


Education

rasio, perbandingan, skala dan kecepatan