Embed Size (px)
Citation preview
1
• สม
บตการเท
ากน
• สม
บตการบ
วก
• สม
บตการคณ
• สม
บตการไมเทากน
ประเภ
ทของจานว
น สม
บตขอ
งจานวน
จรง
การแกส
มการ
• พห
นามด
กร 2
•
พหนามด
กรมากก
วา 2
•
คาสม
บรณ
• รากท
สอง
• ทฤ
ษฎบท
เศษเหลอ
•
การแยกตว
ประก
อบ
• การห
ารสง
เคราะห
•
สมบต
ของคาสมบ
รณ
• เสนจ
านวน
การแกอ
สมการ
• ชว
งของจานว
นจรง
•
พหนา
มดกร
2
• พห
นามด
กรมากก
วา 2
•
คาสม
บรณ
โจทย
ปญหาเกย
วกบจ
านวน
จรง
2
ระบบจานวนจรง 1.ประเภทของจานวน ในระบบจานวนทเราใชในปจจบน ไดถกพฒนามาตงแตสมยโบราณ เพราะจานวนหรอตวเลขมความเกยวของกบเรามาตงแตสมยโบราณ โดยจานวนชนดแรกทมนษยใชคอ จานวนนบหรอจานวนเตมบวก การนบจานวนของมนษยในสมยโบราณเปนการจบคระหวางสตวหรอสงของกบรอยขด เมอเวลาผานไปมนษยจงมการพฒนาแบงแยกเปนจานวนประเภทตางๆดงตอไปน 1.1 จานวนนบ ใชสญลกษณแทนดวย N ไดแก 1,2,3,4,5,… 1.2 จานวนเตม ใชสญลกษณแทนดวย I ไดแก
1) จานวนเตมบวก ใชสญลกษณแทนดวย I + ไดแก 1,2,3,4,5,… 2) จานวนเตมศนย ใชสญลกษณแทนดวย 0I ไดแก 0 3) จานวนเตมลบ ใชสญลกษณแทนดวย I − ไดแก -1,-2,-3,-4,-5,…
1.3 จานวนตรรกยะ ใชสญลกษณแทนดวย Q คอจานวนทเขยนใหอยในรป ab ไดโดยท
a,b เปนจานวนเตมและ 0b ≠ ไดแก 1) จานวนเตม เพราะจานวนเตมสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวน 1 ไดทกจานวน เชน
3 5 2 03 , 5 , 2 , 01 1 1 1
−= = − = = เปนตน
2) เศษสวน ไดแก 5 1 13, 1 ,6 2 4
− เปนตน
3
3) ทศนยมซา เชน
63.6 3.6000... 310
7351.735 1.735735... 1999162 1 1610.162 0.1626262...
990 990
= =
= =
−= = =
1.4 จานวนอตรรกยะ ใชสญลกษณแทนดวย Q′ คอจานวนทไมสามารถเขยนใหอยในรป ab ไดแก
1) ทศนยมไมซา เชน 0.17578932781… 2) กรณฑ ซงไมสามารถหาคาทแนนอนได เชน 3, 2 5, 2+ − เปนตน 3) π
1.5 จานวนจรง ใชสญลกษณแทนดวย R คอจานวนทสามารถหาคาได ไดแก 1) จานวนตรรกยะ 2) จานวนอตรรกยะ
1.6 จานวนเชงซอน ไดแก 1) จานวนจรง 2) จานวนเชงซอนซงไมใชจานวนจรง คอจานวนซงไดจากการแกสมการกาลงสองซง
เทากบจานวนลบ เชน 2 5x = − เปนตน การแบงประเภทของจานวนตางๆสามารถแสดงไดตามแผนผงดงตอไปน
4
แบบฝกหด
1. จงหาวาขอความตอไปนถกหรอผด
1.1) 19, 4, , 32
− ทกจานวนเปนจานวนจรง
1.2) คาตอบของสมการ 2 1x = − เปนจานวนเชงซอน
จานวนเชงซอน
จานวนจรง จานวนเชงซอนซงไมใชจานวนจรง
จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ
ทศนยมไมซา กรณฑซงไมสามารถหาคาทแนนอนได
π
จานวนเตม เศษสวน ทศนยมซา
จานวนเตมบวก ศนย จานวนเตมลบ
5
1.3) 2
4 ไมเปนจานวนตรรกยะ
1.4) 100 เปนจานวนอตรรกยะ
1.5) 0.16 เปนทศนยมซา
1.6) 0.439 เปนจานวนอตรรกยะ 1.7) 1.4396742…เปนจานวนอตรรกยะ 1.8) จานวนนบเปนสบเซตของจานวนเตม 1.9) กรณฑทกจานวนเปนจานวนอตรรกยะ 1.10) จานวนบางจานวนเปนทงจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ
1.11) 3 เปนจานวนอตรรกยะ แตไมเปนจานวนเชงซอน 1.12) -4 เปนจานวนเตมลบ จานวนเตม และจานวนอตรรกยะ
1.13) 13 จดเปนจานวนเชงซอน
1.14) จานวนเตมทกจานวนจดเปนจานวนจรง 1.15) จานวนเชงซอนทกจานวนเปนจานวนอตรรกยะ
2. ให a เปนจานวนตรรกยะ และ b เปนจานวนอตรรกยะ ขอใดสรปถก ก. ab เปนจานวนอตรรกยะ ข. a+b เปนจานวนอตรรกยะ ค. ab เปนจานวนตรรกยะ
6
ง. ab เปนจานวนอตรรกยะ
3. พจารณาขอความตอไปน ขอใดถก
ก. มจานวนตรรกยะทเขยนไดในรปทศนยมซา
ข. มจานวนอตรรกยะทเขยนไดในรป 2x 4. ให R แทนสญลกษณของจานวนจรง
ให Q แทนสญลกษณของจานวนตรรกยะ ให Q′ แทนสญลกษณของจานวนอตรรกยะ ให I แทนสญลกษณของจานวนเตม ให I + แทนสญลกษณของจานวนเตมบวก ให I − แทนสญลกษณของจานวนเตมลบ
จงพจารณาขอความตอไปนขอใดกลาวถก ก. Q I I Q+′ ∩ = ∩ ข. I I I+ −∪ = ค. Q I I Q+ +′ ∪ = ∪ ง. ( )I Q I+ ∩ ⊂
7
5. จงเขยนจานวนตอไปนในรปของเศษสวน 5.1) 0.4
5.2) 0.439
5.3) 0.439
5.4) 1.234
5.5) 2.89
5.6) 56.4123
8
2. สมบตของจานวนจรง
2.1 สมบตการเทากนของจานวนจรง 1) สมบตการสะทอน-จานวนจรงใดๆยอมมคาเทากบจานวนจรงนน เชน
a=a, 10=10
2) สมบตการสมมาตร-ถาจานวนจรงทหนงมคาเทากบจานวนจรงทสอง แลวจานวนจรงทสองมคาเทากบจานวนจรงทหนง เชน
ถา a=b แลว b=a หรอ a+1=6 แลว 6=a+1
3) สมบตการถายทอด- ถาจานวนจรงทหนงเทากบจานวนจรงทสอง และจานวนจรงทสองเทากบจานวนจรงทสาม แลวจานวนจรงทหนงเทากบจานวนจรงทสาม เชน ถา a=b และ b=c แลว a=c ถา a+1=15 และ 15=16-1 แลว a+1=16-1 4) สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน-จานวนสองจานวนมคาเทากน เมอบวกจานวนทงสองดวยจานวนเดยวกน ผลบวกมคาเทากน เชน ถา a=b แลว a+3=b+3 5) สมบตการคณดวยจานวนทเทากน-จานวนสองจานวนมคาเทากน เมอคณจานวนทงสองดวยจานวนเดยวกน ผลคณมคาเทากน เชน ถา a=b แลว a x (-5) = b x (-5)
9
2.2 สมบตการบวกจานวนจรง เมอ a,b,c เปนจานวนจรง 1) สมบตปด-เมอนาจานวนจรงมาบวกกน ผลบวกยอมเปนจานวนจรงเสมอ เชน
a R∈ และ b R∈ แลว a b R+ ∈ 7 R∈ และ 2 R− ∈ แลว 7 ( 2) R+ − ∈ 2) สมบตการสลบท- เมอนาจานวนจรงทหนงบวกกบจานวนจรงทสอง ผลบวกเทากบเมอนาจานวนจรงทสองบวกกบจานวนจรงทหนง เชน a+b = b+a 9+(-1) = (-1)+9 3) สมบตการเปลยนหม-เมอนาจานวนจรงทหนงบวกกบจานวนจรงทสอง แลวจงบวกกบจานวนจรงทสาม ผลบวกเทากบเมอนาจานวนจรงทสองบวกกบจานวนจรงทสาม แลวจงบวกกบจานวนจรงทหนง เชน (a+b)+c = a+(b+c) [9+(-1)]+6 = 9+[(-1)+6] 4) สมบตการมเอกลกษณ-เมอนาจานวนจรงบวกกบเอกลกษณการบวก ผลบวกเทากบจานวนจรงนน โดยทเอกลกษณการบวกเทากบ 0 เชน a+0 = a = 0+a 8+0 = 8 = 0+8 5) สมบตการมอนเวอรส-เมอนาจานวนจรงบวกกบอนเวอรสการบวก ผลบวกเทากบเอกลกษณการบวก ซงเทากบ 0 โดยทอนเวอรสการบวกคอ จานวนตรงขามของจานวนจรงนน เชน a+(-a) = 0 = (-a)+a 7+(-7) = 0 = (-7)+7 (-1)+1 = 0 = 1+(-1)
10
2.3 สมบตการคณจานวนจรง เมอ a,b,c เปนจานวนจรง 1) สมบตปด-เมอนาจานวนจรงมาคณกน ผลคณยอมเปนจานวนจรงเสมอ เชน
a R∈ และ b R∈ แลว ab R∈ 9 R∈ และ 2 R− ∈ แลว 9( 2) R− ∈ 2) สมบตการสลบท- เมอนาจานวนจรงทหนงคณกบจานวนจรงทสอง ผลคณเทากบเมอนาจานวนจรงทสองคณกบจานวนจรงทหนง เชน ab = ba 3(-2) = (-2)3 3) สมบตการเปลยนหม-เมอนาจานวนจรงทหนงคณกบจานวนจรงทสอง แลวจงคณกบจานวนจรงทสาม ผลคณเทากบเมอนาจานวนจรงทสองคณกบจานวนจรงทสาม แลวจงคณกบจานวนจรงทหนง เชน (ab)c = a(bc) [8(-1)]9 = 8[(-1)9] 4) สมบตการมเอกลกษณ-เมอนาจานวนจรงคณกบเอกลกษณการคณ ผลคณเทากบจานวนจรงนน โดยทเอกลกษณการคณเทากบ 1 เชน a • 1 = a = 1• a 1• 2 = 2 = 2 • 1 5) สมบตการมอนเวอรส-เมอนาจานวนจรงคณกบอนเวอรสการคณ ผลคณเทากบเอกลกษณการคณ ซงเทากบ 1 โดยทอนเวอรสการคณคอ จานวนจรงนนยกกาลง-1 หรอสวนกลบของจานวนจรงนน เชน 1 11a a a a− −• = = •
1 15 1 55 5
• = = •
11
6) สมบตการแจกแจง เชน a(b+c) = ab+ac 5[4+(-3)] = 5 4 [5( 3)]• + −
แบบฝกหด
1. บอกสมบตของประโยคสญลกษณตอไปน
1.1) 6+3=3+6 1.2) a• (5-7)=(5-7)• a
1.3) b• 1=b=1• b
1.4) a+0=a=0+a
1.5) (2a+b)+5=2a+(b+5)
1.6) a(2b+c)=2ab+ac
1.7) 3 ( 3) 0 ( 3) 3+ − = = − +
1.8) 2 3 3 2( )( ) 1 ( )( )
3 2 2 3− − − −
= = 1.9) [(2a)(-b)](-4)=2a[(-b)(-4)]
1.10) 1 1π π π• = = •
1.11) ถา a=b แลว a+(-2)=b+(-2)
12
1.12) ถา a=b และ b=-5 แลว a=-5
1.13) -5a-5b=-5(a+b)
1.14) a+(-3) เปนจานวนจรง
1.15) [(x+3)+(y ÷ 5)]+(-1)=(x+3)+[(y ÷ 5)+(-1)] 2. จงแสดงใหเหนวาตวดาเนนการตอไปนมคณสมบตการสลบทหรอไม 2.1) 3a b ab⊕ = + 2.2) 2a b a b⊕ = +
2.3) 2a ba b −
⊕ =
3. จงหาเอกลกษณของการดาเนนการตอไปน 3.1) 3a b a b⊕ = + −
13
3.2) a b a b ab⊕ = + − 3.3) 2a b ab⊕ = − 4. จงหาอนเวอรสของตวดาเนนการตอไปน 4.1) 3a b a b⊕ = + − จงหาอนเวอรสการ ⊕ ของ 4 จงหาอนเวอรสการ ⊕ ของ 0
14
4.2) a b a b ab⊕ = + − จงหาอนเวอรสการ ⊕ ของ -3 จงหาอนเวอรสการ ⊕ ของ 1 4.3) 2a b ab⊕ = − จงหาอนเวอรสการ ⊕ ของ 0 5. ถา
2 2( )x x y x y∗ − = + จงหาคาของ 5 3∗
15
6. ให { 1,0,1}A = − พจารณาขอความตอไปนขอใดถก ก. เซต A มสมบตปดการบวก
ข. เซต A มเอกลกษณการบวก
ค. สมาชกทกตวของเซต A มอนเวอรสการบวก 7. กาหนดให , ,a b c R∈ ทม a เปนอนเวอรสการบวกของ b จงหา c ททาให
4 4 2 12a b c+ − =
16
2.4 สมบตการไมเทากน ให a,b,c เปนจานวนจรงใดๆ 1) การเปรยบเทยบจานวนบวกและจานวนลบกบศนย a เปนจานวนบวก กตอเมอ a > 0 a เปนจานวนลบ กตอเมอ a < 0 2) สมบตการถายทอด ถา a < b และ b < c แลว a < c ถา 3 < b และ b < 5 แลว 3 < 5 3) สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน ถา a > b แลว a+c > b+c ถา 2 > -1 แลว 2+3 > -1+3 4) สมบตการคณดวยจานวนทเทากนทไมเทากบศนย ถา a < b และ c > 0 แลว ac < bc เชน 2 < 5 และ c = 3 แลว 2(3) < 5(3) ถา a < b และ c < 0 แลว ac > bc เชน 1 < 5 และ c = -3 แลว 1(-3) > 5(-3)
17
5) สมบตการตดออกของการบวก ถา a+c < b+c แลว a < b ถา 3+c < 6+c แลว 3 < 6 6) สมบตการตดออกของการคณ ถา ac < bc และ c > 0 แลว a < b 3(5) < 8(5) และ 5 > 0 แลว 3 < 8 ถา ac < bc และ c < 0 แลว a > b
6(-2) < 4(-2) และ -2 < 0 แลว 6 > 4
แบบฝกหด
1. เตม ถก หนาขอทถกตองหรอ ผด หนาขอทไมถกตองตามสมบตการไมเทากน
1.1) ถา a < b แลว 2 2a b<
1.2) ถา 8 > 4 แลว 8a > 4a เมอ a < 0
1.3) ถา 2+a > -3+a แลว 2 > -3
1.4) ถา a > b แลว a-3 > b-3
1.5) ถา a < b แลว
2 2a b> เมอ a และ b เปนจานวนลบ
1.6) ถา a+c < b+c แลว a < b เมอ a และ b เปนจานวนบวกเทานน
18
1.7) ถา a < b แลว ac > bc เมอ c < 0
1.8) -3 เปนจานวนบวก กตอเมอ -3 > 0
1.9) ถา a > b แลว 1 1a b
< เมอ a และ b เปนจานวนบวก
1.10) ถา a > b แลว 1 1a b
< เมอ a และ b เปนจานวนลบ
1.11) ถา a และ b เปนจานวนจรง ซง
2 2 2( )a b a b+ > + แลว 0ab < 1.12) สาหรบจานวนจรง a ถา 0 1a< < แลว 20 a a< < 1.13) ถา a>0 แลว a a≤ เมอ a เปนจานวนจรงใดๆ 1.14) ถา ab=b แลว a=1 เมอ a,b เปนจานวนจรงใดๆ 1.15) ถา a,b,c ปนจานวนจรงใดๆ ท ac=bc แลว เราสรปไดวา a=b
19
1.16) ถา a,b เปนจานวนจรงใดๆ ท 0a b≤ ≤ แลว เราสรปไดวา 2 2a b ab>
2. จงหาคา a และ b จากขอตอไปน 2.1) ให -1 < x < 3 และ 2 < y < 5
ก. a < x + y < b
ข. a < x - y < b
ค. a < xy < b
ง. ya bx
< <
20
2.2) ให -1 < x < 3 และ -8 < y < 2 จ. a < x + 2y < b
ฉ. a < x - 2y < b
ช. a < xy < b
ซ. xa by
< <
21
3. สมการพหนามตวแปรเดยว 3.1 การแยกตวประกอบพหนามตวแปรเดยวดกรสอง
พหนามตวแปรเดยวดกรสอง คอพหนามในรป 2ax bx c+ + เมอ a,b,c คอคาคงท โดย
ท 0a ≠ และ x คอตวแปร การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง คอ การเขยนพหนามดกรสองในรปผลคณของพหนามทมดกรตากวาตงแตสองพหนามขนไป แยกเปนกรณการแยกตวประกอบไดดงน กรณท 1 – ใชวธการดงตวประกอบรวม ( 2ax bx c+ + และ c=0)
สมการพหนามจะเหลอเปน 2 ( )ax bx x ax b+ = + ดงตวรวม x ออกมา เชน 23 4 (3 4)x x x x+ = + 22 14 2 ( 7)x x x x− + = − − เปนตน กรณท 2 – ใชวธการผลตางกาลงสอง ( 2ax bx c+ + , b=0 และ c<0)
สมการพหนามจะเหลอเปน 2ax c+ และใชสตร 2 2 ( )( )A B A B A B− = − +
ตวอยางเชน 2 2 2100 10 ( 10)( 10)x x x x− = − = − + 2 2 225 144 (5 ) 12 (5 12)(5 12)x x x x− = − = − + 2 2 2 248 75 3(16 25) 3((4 ) 5 ) 3(4 5)(4 5)x x x x x− = − = − = − + เปนตน กรณท 3 – ใชวธการแจกแจงการแยกตวประกอบ ( 2ax bx c+ + a,b,c ≠ 0) -ถา a=1 พหนามเขยนในรป 2x bx c+ + แยกตวประกอบไดเปน(x+m)(x+n)
(x)(x) = 2x
(n)(x)+(m)(x) = bx (m)(n)= c เชน
2 12 ( 3)( 4)x x x x− − = + −
22
2 3 2 ( 1)( 2)x x x x− + = − − 2 4 4 ( 2)( 2)x x x x+ + = + + เปนตน
-ถา a ≠ 1 พหนามเขยนในรป 2ax bx c+ + แยกตวประกอบไดเปน(kx+m)(px+n)
(kx)(px) = 2ax (n)(kx)+(m)(px) = bx (m)(n)= c เชน
22 5 3 (2 1)( 3)x x x x− − = + − 26 13 5 (3 1)(2 5)x x x x+ − = − +
216 24 9 (4 3)(4 3)x x x x+ + = + + เปนตน
กรณท 4 – ใชวธทาใหเปนกาลงสองสมบรณ( 2ax bx c+ + a,b,c ≠ 0) โดยสตรกาลงสองสมบรณ คอ 2 2 2( ) 2A B A AB B+ = + + และ 2 2 2( ) 2A B A AB B− = − + เชน
2 2
2 2
2
2 2
2 8 [ 2( )(1) (1)] 1 82( )(1) (1) ] 1 8
( 1) 9( 1) 3( 1 3)( 1 3)( 4)( 2)
x x x xx xxxx xx x
+ − = + + − −
= [ + + − −
= + −
= + − = + + + − = + −
หรอ
23
2 2
2
2 2
2
2 2
9 52 9 5 2[ ]2 2
9 81 81 52[ 2( )( ) ( ) ]4 16 16 29 9 81 52( )( ) ( ) ]4 4 16 2
9 1212[( ) ]4 169 112[( ) ( ) ]4 4
x x x x
x x
x x
x
x
− − = − −
= − + − −
= 2[ − + − −
= − −
= − −
9 11 9 112( )( )4 4 4 412( )( 5)2
(2 1)( 5)
x x
x x
x x
= − + − −
= + −
= + −
เปนตน
24
แบบฝกหด 1.แยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1.1 2x-10 1.2 23 3x− − 1.3 3 6x x+ 1.4 25 35x x− 1.5 3 24x x+ 1.6 4 38 24x x− 1.7 3 24 12 4x x x− + 1.8 4 3 23 6x x x− − + 1.9 2 8 15x x+ + 1.10 2 6 7x x+ − 1.11 2 2 8x x− − 1.12 2 13 42x x− + 1.13 22 3x x+ −
25
1.14 23 2 8x x+ − 1.15 26 1x x− − 1.16 212 5 2x x+ − 1.17 2 16x − 1.18 2 81x − 1.19 29 1x − 1.20 225 16x − 1.21 2 12 36x x+ + 1.22 2 6 9x x− + 1.23 24 12 9x x+ + 1.24 236 12 1x x− +
26
3.2 การแยกตวประกอบพหนามดกรสงกวาสอง ใชทฤษฎบทเศษเหลอชวยในการวเคราะหมดงน เมอ p(x) คอพหนาม 1
1 1 0...n nn na x a x a x a−
−+ + + + โดยท n เปนจานวนเตมบวก 1 1 0, ,..., ,n na a a a− เปนจานวนจรงซง 0na ≠ ถาหารพหนาม p(x) ดวยพหนาม x-c เมอ c เปนจานวนจรงแลว เศษเหลอเทากบ p(c) ตวอยางเชน
1) หาเศษซงไดจากการหารพหนาม 22 11 6x x+ − ดวย x+6 2x - 1 x+6
22 11 6x x+ −
22 12x x+
6x− − 6x− −
0 จากการตงหารพหนาม จะไดเศษเทากบ 0 แทนทจะตงหารพหนามเพอหาเศษ เราจะใช
ทฤษฎบทเศษเหลอไดวา เศษซงไดจากการหารพหนาม 22 11 6x x+ − ดวย x+6 เทากบ p(c) ในกรณน c=-6 เพราะฉะนน p(c) =p(-6)
p(-6) = 22( 6) 11( 6) 6− + − − p(-6) = 72-66-6 p(-6) = 0
เศษทไดจากการหารพหนามจงเทากบ 0
27
2) หาเศษซงไดจากการหารพหนาม 3 25 2 4x x x− + − ดวย x-1
2 4 2x x− −
x-1 3 25 2 4x x x− + −
3 2x x−
24 2x x− +
24 4x x− + 2 4x− −
2 2x− + 6−
จากการหารพหนามไดเศษเทากบ -6 จากทฤษฎเศษเหลอ เศษทไดจากการหารเทากบ p(c) = p(1) p(1) = 3 2(1) 5(1) 2(1) 4− + − p(1) = 1-5+2-4 p(1) = -6 เศษทไดจากการหารพหนาม 3 25 2 4x x x− + − ดวย x-1 คอ -6
3) หาเศษซงไดจากการหารพหนาม 23 11 5x x− − ดวย 3x+1 x - 4 3x+1 23 11 5x x− − 23x x+ -12x - 5 -12x - 4 - 1
ใชทฤษฎบทเศษเหลอ x-c = 3x+1 c = 1
3−
21 1 1( ) 3( ) 11( ) 5 13 3 3
p − − −= − − = −
เศษทไดจากการหารพหนาม 23 11 5x x− − ดวย 3x+1 คอ -1
28
ทฤษฎบทตวประกอบ เมอ p(x) คอพหนาม 1
1 1 0...n nn na x a x a x a−
−+ + + + โดยท n เปนจานวนเตมบวก
1 1 0, ,..., ,n na a a a− เปนจานวนจรงซง 0na ≠ พหนาม p(x) จะม (x-c) เปนตวประกอบ กตอเมอ p(c)=0 ตวอยาง
1) 5x-1 เปนตวประกอบของ 25 4 1x x+ − หรอไม p(x) = 25 4 1x x+ −
x-c = 5x-1 15
c =
21 1 1( ) 5( ) 4( ) 1 05 5 5
p = + − =
5 1x∴ − เปนตวประกอบของ 25 4 1x x+ − 2) x-3 เปนตวประกอบของ 3 27 5 75x x x− − + หรอไม
p(x) = 3 27 5 75x x x− − + x-c = x-3 c = 3
3 2(3) (3) 7(3) 5(3) 75 24p = − − + = 3x∴ − ไมเปนตวประกอบของ 3 27 5 75x x x− − +
ทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ
เมอ p(x) คอพหนาม 11 1 0...n n
n na x a x a x a−−+ + + + โดยท n เปนจานวนเตม
บวก 1 1 0, ,..., ,n na a a a− เปนจานวนเตมซง 0na ≠ ถา kxm
− เปนตวประกอบของพห
นาม p(x) โดยท m และ k เปนจานวนเตมซง 0m ≠ และห.ร.ม.ของ m และ k เทากบ 1 แลว m หาร na ลงตว และ k หาร 0a ลงตว ตวอยาง เชน
1) จงแยกตวประกอบของ 3 212 8 13 3x x x− − − ตวประกอบของ -3 ไดแก 1, 3± ± k
29
ตวประกอบของ 12 ไดแก 1, 2, 3, 4, 6, 12± ± ± ± ± ± m
ให km =
13−
1 1( )
3 3kx x xm
−− = − = +
p(x) = 3 212 8 13 3x x x− − − 3 21 1 1 1( ) 12( ) 8( ) 13( ) 3 0
3 3 3 3p − − − −
= − − − =
สวนการหารพหนามใหใชวธการหารสงเคราะหดงน
1
3−
12 -8 -13 -3
-4 4 3 12 -12 -9 0 จากการหารสงเคราะหจะได
3 2 2
2
112 8 13 3 ( )(12 12 9)31)(3)(4 4 3)31)(2 1)(2 3)
x x x x x x
x x x
x x x
− − − = + − −
= ( + − −
= (3 + + −
2) แยกตวประกอบของ 4 3 260 4 383 25 50x x x x− − + + ตวประกอบของ 50 ไดแก 1, 2, 5, 10, 25, 50± ± ± ± ± ± k ตวประกอบของ 60 ไดแก
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± m
เลอก 2 1,5 3
km
−=
2 1,5 3
kx x xm
− = − +
ตรวจสอบ p(km )=0 โดยการหารสงเคราะห
30
25 60 -4 -383 25 50
24 8 -150 -50
1
3−
60 20 -375 -125 0
-20 0 125 60 0 -375 0 จากการหารสงเคราะหจะได
4 3 2 2
2
2
2 160 4 383 25 50 ( )( )(60 375)5 32 1( )( )(15)(4 25)5 32 1( )( )(5)(3)(4 25)5 3
x x x x x x x
x x x
x x x
− − + + = − + −
= − + −
= − + −
2 2(5 2)(3 1)((2 ) 5 )(5 2)(3 1)(2 5)(2 5)
x x xx x x x
= − + − = − + − +
3) แยกตวประกอบของ 3 23 16 12x x x+ − + กรณ na =1 ตวประกอบของ 12 ไดแก 1, 2, 3, 4, 6, 12± ± ± ± ± ± c เลอก c = 1 x-c = x-1 1 1 3 -16 12 1 4 -12 1 4 -12 0 จากการหารสงเคราะหจะได
31
3 2 23 16 12 ( 1)( 4 12)1)( 6)( 2)
x x x x x xx x x
+ − + = − + − = ( − + −
4) แยกตวประกอบของ 3 230 71 43 6x x x− + − กรณ 1na ≠ ตวประกอบของ 6 ไดแก 1, 2, 3, 6± ± ± ± k ตวประกอบของ 30 ไดแก 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30± ± ± ± ± ± ± ± m
เลอก 15
km
= 15
kx xm
− = −
15 30 -71 43 -6
6 -13 6 30 -65 30 0 จากการหารสงเคราะหจะได
3 2 2
2
130 71 43 6 ( )(30 65 30)51)(5)(6 13 6)5
(5 1)(3 2)(2 3)
x x x x x x
x x x
x x x
− + − = − − +
= ( − − +
= − − −
5) แยกตวประกอบของ 4 3 212 44 5 100x x x x− − +
กรณ 1na ≠ ,สามารถดงตวรวม x ได 4 3 2 3 212 44 5 100 (12 44 5 100)x x x x x x x x− − + = − − +
นา 3 212 44 5 100x x x− − + มาแยกตวประกอบ
ตวประกอบของ 100 ไดแก 1, 2, 4, 5, 10, 20, 50, 100± ± ± ± ± ± ± ± k ตวประกอบของ 12 ไดแก 1, 2, 3, 6, 12± ± ± ± ± m
เลอก 52
km
= 52
kx xm
− = −
32
52 12 -44 -5 100
30 -35 -100 12 -14 -40 0 จากการหารสงเคราะหจะได
4 3 2 3 2
2
2
12 44 5 100 (12 44 5 100)5( )(12 14 40)25( )(2)(6 7 20)2
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
− − + = − − +
= − − −
= − − −
(2 5)(3 4)(2 5)x x x x = − + −
แบบฝกหด
1) หาเศษทไดจากการหารพหนามตอไปน 1.1) 2( 3 4) ( 2)x x x+ − ÷ +
1.2) 2(5 4 3) ( 1)x x x− + ÷ − 1.3) 2(3 11 4) (3 1)x x x− − ÷ +
33
1.4) 3 2( 2 4) ( 2)x x x x− + − ÷ − 1.5)
3 2(4 8 11 3) (2 1)x x x x− − − ÷ + 1.6) 3 2(9 45 4 20) (3 2)x x x x+ − − ÷ +
2) หาคา k เมอ A เปนตวประกอบของ B 2.1) A=x-1 B= 2 5x kx+ − 2.2) A=2x+3 B= 26 7x x k+ +
34
2.3) A = 2x-3 B= 3 2128 170 75kx x x− + − 2.4) A = 3x-4 B= 3 275 70 4x x kx− − −
3) แยกตวประกอบของพหนามตอไปน
3.1) 3 23 9 5x x x+ − +
35
3.2) 3 23 25 75x x x− − +
3.3) 4 3 214 68 130 75x x x x+ + + +
36
3.4) 3 2125 25 125 25x x x− − + 3.5)
4 3 26 18 12x x x x+ − − +
37
4) ให a และ b เปนจานวนจรง ถา 5 4ax bx+ + หารดวย 2( 1)x − ลงตวแลว
a b− เทากบเทาใด
5) ถา 3 2x px q+ + หารดวย 2 2x x+ เหลอเศษ 1 แลวจงหาคา p q+
38
3.3 การแกสมการกาลงสอง การแกสมการกาลงสอง คอ การหาคาตอบของสมการซงอยในรป 2 0ax bx c+ + =สามารถทาได 2 วธ
1. โดยการแยกตวประกอบ ใชหลกการแยกตวประกอบสมการพหนามดกรสอง 2. โดยการใชสตร โดยตองตรวจสอบคา 2 4b ac−
ถา 2 4 0b ac− ≥ สมการกาลงสองมคาตอบ คอ 2 4
2b b acx
a− ± −
=
ถา 2 4 0b ac− < สมการกาลงสองไมมคาตอบ ตวอยาง เชน
1) หาคาตอบของสมการ 23 18 0x x− = สามารถทาโดยการแยกตวประกอบได
23 18 03 ( 6) 0
0,6
x xx x
x
− =− =
=
และสามารถทาโดยการใชสตรกจะไดคาตอบเดยวกนคอ จาก
23 18 0x x− =
3 หารตลอดได 2 6 0x x− = 2 0ax bx c+ + =
a=1 , b=-6 , c=0
39
2
2
42
( 6) ( 6) 4(1)(0)2(1)
6 36 02
6 362
6 6 6 6,2 2
6,0
b b acxa
x
x
x
x
x
− ± −=
− − ± − −=
± −=
±=
+ −=
=
หมายเหต ใหใชวธการแยกตวประกอบกอน ถาแยกตวประกอบไมไดใหใชสตร2 4
2b b acx
a− ± −
= โดยถา 2 4 0b ac− < สมการกาลงสองไมมคาตอบ
2) หาคาตอบของสมการ 2 8 1 0x x− + = ใชการแจกแจงแยกตวประกอบ จะเหนวาไมสามารถแยกตวประกอบไดเปนจานวนเตม จงใชสตรในการหาคาตอบ จาก
2 8 1 0x x− + = 2 0ax bx c+ + = a=1 , b=-8 , c=1
2
2
42
( 8) ( 8) 4(1)(1)2(1)
8 64 42
b b acxa
x
x
− ± −=
− − ± − −=
± −=
40
8 64 42
8 602
8 2 152
4 15
4 15, 4 15
x
x
x
x
x
± −=
±=
±=
= ±
= + −
3) หาคาตอบของสมการ 24 9 2 3 7x x x− + = −
2
2
4 9 2 3 74 12 9 0(2 3)(2 3) 0
32
x x xx xx x
x
− + = −
− + =− − =
=
แบบฝกหด 1. จงหาคาตอบของสมการตอไปน 1) 2 22 6 11 4x x x+ − = −
41
2) 26 7 3 0x x+ − =
3) 29 1x =
4) 2 5 3 0x x− + − =
5) 2 23 5 4 2 10 4x x x x− − = − −
2. เกาเทาของกาลงสองของจานวนหนงเทากบ 25 จานวนนนมคาเทาไร
42
3. ผลคณของจานวนสองจานวนเรยงกนเทากบ 182 จานวนทงสองมคาเทาไร
4. สามเหลยมมมฉากรปหนงมดานประกอบมมฉากยาว x+5 เซนตเมตร และ 2x เซนตเมตร ดานตรงขามมมฉากยาว 2x+5 เซนตเมตร สามเหลยมมพนทเทาใด
43
5. ดาอายมากกวาแดง 5 ป กาลงสองของอายของดาและกาลงสองของอายของแดงรวมกนเปน 1025 ป แดงและดาอายเทาไร
6. สามเหลยมหนาจวรปหนงมความสงมากกวาความยาวฐาน 2 เซนตเมตร สามเหลยมมดานประกอบมมยอดยาว 13 เซนตเมตร สามเหลยมมความยาวรอบรปเทาใด
44
7. พอคาตงราคาสนคา 60 บาท จงขายสนคาได 40 ชน เมอขนราคาสนคาครงละ 1 บาท จะขายสนคาไดลดลง 3 ชน ถาพอคาขนราคาสนคาทาใหขายสนคาไดเงน 1792 บาท การขนราคาครงนนพอคาขายสนคาไดกชน
8. กาไรของรานคาแหงหนงเปนไปตามสมการ 24 2500y x= − เมอ x คอตนทน y
คอกาไร ตอบคาถามตอไปน 8.1) ถารานคามตนทน 60 บาท จะไดกาไรเทาไร 8.2) ถารานคามกาไร 37500 รานคามตนทนเทาไร
45
3.4 การแกสมการกาลงมากกวาสอง สามารถทาไดโดยใชหลกการแยกตวประกอบทาใหเปนพหนามกาลงหนง หรอพหนามกาลงสอง และดาเนนการแกสมการตอไป ตวอยางเชน
1. จงหาคาตอบของสมการ 3 26 13 5 0x x x+ − =
3 2
2
6 13 5 0(6 13 5) 0(3 1)(2 5) 0
1 50, ,3 2
x x xx x xx x x
x
+ − =
+ − =− + =
−=
2. จงหาคาตอบของสมการ 3 211 16 176 0x x x+ − − = จะทาโดยการแยกตวประกอบโดยการหารสงเคราะหกได แตจากโจทยจะสงเกตเหนวาสามารถแยกตวประกอบโดยการจดกลมและดงตวรวมได
3 2
2
2
11 16 176 0( 11) 16( 11) 0
( 11)( 16) 0( 11)( 4)( 4) 0
11, 4, 4
x x xx x xx xx x x
x
+ − − =
+ − + =
+ − =+ − + =
= − −
ถาทาโดยการหารสงเคราะหกจะไดคาตอบเดยวกนคอ ตวประกอบของ -176 คอ 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 88, 176± ± ± ± ± ± ± ± ± ± เลอก c = 4 x-c=x-4
46
4 1 11 -16 -176
4 60 176 1 15 44 0
3 2
2
11 16 176 0( 4)( 15 44)
4)( 11)( 4) 0
x x xx x xx x x
+ − − =
− + + = 0( − + + =
4, 4, 11x = − −
แบบฝกหด
1. จงหาคาตอบของสมการตอไปน 1) 3 2 20 0x x x− − =
47
2) 4 227 48 0x x− = 3) 3 227 63 12 28 0x x x− − + =
48
4) 4 3 22 4 10 0x x x+ − = 5) 3 39 70 0x x− − = 6) 4 3 29 17 9 18 0x x x x+ + − − =
49
7) 3 26 29 43 20 0x x x+ + + = 8) 4 3 245 246 389 152 48 0x x x x+ + + − =
50
2. จงแกสมการตอไปน
2.1) 2
1 1 1( 2) ( 1) 12x x x
− =+ +
2.2) 2 2
4 5 24 5x x
+ =+ +
51
2.3)
2 2
2 2
2 1 2 2 72 2 2 3 6
x x x xx x x x
+ + + ++ =
+ + + +
2.4) 2 2 2( 6 ) 2( 3) 81x x x− − − =
52
2.5) 2
2
21 4 64 10
x xx x
− + =− +
2.6) 4 213 36 0x x− + =
53
2.7) 4 4( 1) ( 5) 82x x+ + + = 2.8) 4 2 210( 1) 63 ( 1) 52 0x x x x+ − − + =
54
3.5 การแกสมการทอยในรปคาสมบรณ
คาสมบรณของจานวนจรง a เขยนแทนดวยสญลกษณ a โดยมความหมายคอ a เมอ 0a >
a = 0 เมอ 0a = a− เมอ 0a < ตวอยาง เชน
1. 3 3= เพราะ 3>0 [ ]a a=
2. 3 3− = เพราะ -3<0 [ ]a a= −
3. 0 0= ……………เปนตน สมบตของคาสมบรณ
ให ,a b R∈
1) 0a ≥ 5) aa
b b= เมอ 0b ≠
2) a a≥ 6) 2 2a a=
3) a a= − 7) a b a b+ ≤ +
4) ab a b= 8) a b a b− ≥ −
55
หลกในการแกสมการทตดคาสมบรณ คอ ตองทาใหคาสมบรณนนหายไป โดยอาศยนยามของคาสมบรณ มหลกดงน
[( ) ( )]x a x a x a= → = ∨ = −
ตวอยาง เชน
1. จงแกสมการ 3 4x + = วธทา
3 4x + =
3 44 3
1
xx
x
+ == −
∴ =
3 44 3
7
xx
x
+ = −= − −
∴ = −
1x∴ = หรอ -7
2. จงแกสมการ 1 42
xx
+=
−
วธทา 2x ≠
1 42
xx
+=
−
1 42
xx
+= −
−
1 4( 2)1 4 8
3 93
x xx xxx
+ = −+ = −
=∴ =
1 4( 2)1 4 8
5 775
x xx xx
x
+ = − −+ = − +
=
∴ =
3x = หรอ 75
x =
1 42
xx
+=
−
56
3. จงแกสมการ 2 3 1 1x x− + =
วธทา
4. จงแกสมการ 3 2 1 5x x+ + − = วธทา
1) พจารณาคา x ทเปนคาวกฤตจากสมการโจทย
2 3 1 1x x− + =
2 3 1 1x x− + = 2 3 1 1x x− + = −
2 3 0( 3) 0
0, 3
x xx x
x
− =− =
∴ = −
2 3 2 0( 2)( 1) 0
2,1
x xx xx
− + =− − =
∴ =
0, 3, 2,1x∴ = −
3 2 1 5x x+ + − =
3 03
xx+ =
∴ = − 2 1 0
12
x
x
− =
∴ =
57
2) นาคาวกฤต 2 คาของ x มาเขยนบนเสนจานวน จะแบงคา x ไดเปน 3 ชวงดงน
3) พจารณาคา x ในแตละชวง แลวหาคาตอบของสมการ
••1
23
12
3−
ชวง 1 3x→ < − ชวง 2
12
x→ − 3 ≤ < ชวง 3 12
x→ ≥
3 2 1 5[ ( 3)] [ (2 1)] 5
3 2 1 53 7
73
x xx x
x xx
x
+ + − =
− + + − − =− − − + =− =
−∴ =
3 2 1 5( 3) [ (2 1)] 5
3 2 1 51
1
x xx x
x xxx
+ + − =
+ + − − =+ − + =
− =∴ = −
3 2 1 5( 3) (2 1) 5
3 2 1 53 3
1
x xx x
x xxx
+ + − =
+ + − =+ + − =
=∴ =
7( 3) ( )
3x x −
< − ∧ = 1( 3 ) ( 1)2
x x− ≤ < ∧ = − 1( ) ( 1)2
x x≥ ∧ =
1x = − x∈∅ 1x =
1,1x = −
58
5. จงแกสมการ 23 1 2 3x x x− + − − =
วธทา
1) จากสมการ…………… 23 1 2 3x x x− + − − =
3 1 ( 2)( 1) 3
3 1 2 1 3
x x x
x x x
− + − + =
∴ − + − + =
2) พจารณาคาวกฤตของ x
3) นาคาวกฤต 3 คาของ x มาเขยนบนเสนจานวน จะแบงคา x ไดเปน 4 ชวงดงน
4) พจารณาคา x ในแตละชวง แลวหาคาตอบของสมการ
3 1 2 1 3x x x− + − + =
3 1 013
x
x
− =
∴ =
2 02
xx− =
∴ = 1 0
1x
x+ =
∴ = −
•
•12
3
13 1−
2
•4
59
ชวง 1 1x→ < −
2
2
2
3 1 2 1 3(3 1) [ ( 2)][ ( 1)] 33 1 ( 2)( 1) 33 1 2 3
4 4 0
( 4) ( 4) 4(1)( 4)2(1)
4 16 162
4 4 22
2 2 2
x x xx x x
x x xx x x
x x
x
x
x
x
− + − + =
− − + − − − + =− + + − + =
− + + − − =
− − =
− − ± − − −=
± +=
±=
∴ = ±
( 1) ( 2 2 2)x x< − ∧ = ±
x ∈∅
ชวง 2 13
x→ −1≤ <
2
2
2
3 1 2 1 3(3 1) [ ( 2)][( 1)] 33 1 ( 2)( 1) 33 1 ( 2) 33 1 2 3
2 0( 2) 0
0, 2
x x xx x x
x x xx x xx x x
x xx x
x
− + − + =
− − + − − + =− + − − + =
− + − − − =
− + − + + =
+ =+ =
∴ = −
1( 1 ) ( 0, 2)3
x x− ≤ < ∧ = −
0x =
60
ชวง 3 1 23
x→ ≤ <
2
2
2
2
3 1 2 1 3(3 1) [ ( 2)]( 1) 33 1 ( 2)( 1) 33 1 ( 2) 33 1 2 3
4 2 0
( 4) ( 4) 4(1)(2)2(1)
4 16 82
4 2 22
2 2
x x xx x x
x x xx x xx x x
x x
x
x
x
x
− + − + =
− + − − + =− − − + =
− − − − =
− − + + =
− + =
− − ± − −=
± −=
±=
∴ = ±
1( 2) ( 2 2)3
x x≤ < ∧ = ±
2 2x = −
ชวง 4 2x→ ≥
2
2
2
3 1 2 1 3(3 1) ( 2)( 1) 33 1 2 3
2 6 0
2 2 4(1)( 6)2(1)
2 4 242
2 282
2 2 72
1 7
x x xx x x
x x xx x
x
x
x
x
x
− + − + =
− + − + =
− + − − =
+ − =
− ± − −=
− ± +=
− ±=
− ±=
∴ = − ±
( 2) ( 1 7)x x≥ ∧ = − ±
x ∈∅
61
5) คาตอบของสมการคอ
( ) ( 0) ( 2 2) ( )x x x x∉∅ ∨ = ∨ = − ∨ ∉∅
0, 2 2x = −
6. จงแกสมการ 3 1 11 2x x+ = − วธทา
2 2
2 2
2 2
3 1 11 2
3 1 11 2
(3 1) (11 2 )(3 1) (11 2 ) 0[(3 1) (11 2 )][(3 1) (11 2 )] 0(3 1 11 2 )(3 1 11 2 ) 0(5 10)( 12) 0( 2)( 12) 0
2, 12
x x
x x
x xx xx x x x
x x x xx x
x xx
+ = −
+ = −
+ = −
+ − − =+ − − + + − =
+ − + + + − =− + =
− + =∴ = −
3.6 การแกสมการทอยในรปรากทสอง หลกในการแกสมการรปแบบน คอ
1) ทาใหเครองหมายรากทสองหายไป โดยการยกกาลงสองสมการ แลวแกสมการหาคาตอบของตวแปร ตามหลกการดงน
2( ) , 0a a a= ≥
ขอสงเกต
2
2 2( )
a a a R
a a
= , ∈
∴ ≠
62
2) ตองนาคาตอบเหลานนมาตรวจคาตอบกบสมการจากโจทยดวยวาเมอแทนคาตวแปรแลว ทาใหคาภายในรากทสองตดลบหรอไม ถาตดลบแสดงวาคาตอบนนไมใชคาตอบของสมการ โดยตรวจสอบกบคาตอบทกตว
ตวอยาง เชน
1. จงแกสมการ 1x x+ = วธทา
2 2
2
2
2
1
( 1)1
1 0
( 1) ( 1) 4(1)( 1)2(1)
1 52
x x
x xx xx x
x
x
+ =
+ =
+ =
− − =
− − ± − − −=
±∴ =
ไดคาตอบของสมการมา 2 คา คอ 1 5 1.6
2x +
= ≈ และ 1 5 0.6
2x −
= ≈ − นาไป
ตรวจคาตอบโดยการแทนคาในสมการจากโจทย
1
1.6 1 1.6
2.6 1.61.6 1.6
x x+ =
+ ≈
≈≈
1
0.6 1 0.6
0.4 0.6
x x+ =
− + ≈ −
≈ −
1. จงแกสมการ 1 2 2 4x x+ + − = วธทา
จรง เทจ
63
2 2
2 2
2 2
1 2 2 4
2 2 4 1
( 2 2) (4 1)
2 2 4 2(4)( 1) ( 1)
2 2 16 8 1 ( 1)
8 1 19
(8 1) (19 )
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
+ + − =
− = − +
− = − +
− = − + + +
− = − + + +
+ = − +
+ = −
2
2
2
64( 1) 361 3864 64 361 38
102 297 0( 3)( 99) 0
3,99
x x xx x x
x xx xx
+ = − +
+ = − +
− + =− − =
∴ =
……….ตรวจสอบคาตอบ 3x = และ 99x =
1 2 2 4
3 1 2(3) 2 4
4 4 42 2 44 4
x x+ + − =
+ + − =
+ =+ ==
1 2 2 4
99 1 2(99) 2 4
100 196 410 14 424 4
x x+ + − =
+ + − =
+ =+ ==
จรง เทจ
64
แบบฝกหด
1. จงแกสมการตอไปน
1.1) 2 3 2 3 7x x x+ − = +
1.2) 2 1 3
3x
x−
=+
65
1.3) 2 22 5 3 3 5 2x x x x+ − = − − 1.4) 2 1 3 3x x− − − =
66
1.5) 5 2 2( 3)x x+ = + 1.6) 2 4 5x x+ = −
67
1.7) 2 1 1 2x − + =
1.8) 5 1
4 05 1
xx
x−
+ =−
68
1.9) 2 2(2 1) ( 2 3) 2 1 2 3x x x x x x− − + + = − + + + 1.10) 2 1x x x− + = −
69
1.11) 23 2 5 3x x+ − =
1.12) 1 12 2
x xx x
− −=
+ +
70
1.13) 2 2 0x x− − = 1.14)
2 22 40 3 40x x x x x+ + − = + −
71
1.15) 5 6 0x x− + =
1.16) 21 1x x x+ + = −
72
1.17) 3 2 1x x+ − − =
1.18) 2 22 2 9 2 3 15x x x x− + − − + =
73
3. การแกอสมการ 4.1 การแกอสมการกาลงหนง-ใชสมบตการไมเทากนของจานวนจรงมาประยกตใชในการแกอสมการกาลงหนง โดยคาตอบของอสมการจะอยในรปแบบของ ชวงคาตอบ ซงสามารถเขยนบนเสนจานวนไดดงตอไปน - ชวง x > a หรอ ( , )a ∞
a -ชวง x a≥ หรอ [ , )a ∞
a -ชวง x a< หรอ ( , )a−∞
a -ชวง x a≤ หรอ ]( , a−∞
a
74
-ชวง a x b< < หรอ ( , )a b
a b -ชวง a x b≤ < หรอ [ , )a b
a b -ชวง a x b< ≤ หรอ ( , ]a b
a b -ชวง a x b≤ ≤ หรอ [ , ]a b
a b ตวอยาง การหาคาตอบของชวงของจานวนจรง เชน
1. จงหาชวงทเกดจาก [2,5) (3,7]∪ วธทา หาคาตอบจากเสนจานวน
2. จงหาชวงทเกดจาก ( ,9) (3,12]−∞ ∩ วธทา หาคาตอบจากเสนจานวน
•
3
2 5
7
[2,5)•
(3,7]
• • [2,5) (3,7] [2,7]∪ =
75
ตวอยาง การแกอสมการกาลงหนง เชน
1. หาคาตอบของอสมการ 3x-2 < 4 วธทา 3x < 4+2 3x < 6 x < 2
2 ∴ คาตอบของอสมการ คอ {x|x < 2}
2. หาคาตอบของอสมการ 3 4 2 1x x− ≤ + วธทา
3 4 2 13 2 4 1
5
x xx x
x
− ≤ +− ≤ +
≤
5 ∴ คาตอบของอสมการ คอ { | 5}x x ≤
3. หาคาตอบของอสมการ 2 3 4 5x− < − + ≤ วธทา
9
3 12
•
(3,12]
•( ,9) (3,12] (3,9]−∞ ∩ =
•( ,9)−∞
76
2 3 4 52 4 3 5 46 3 16 1
3 3123
1 23
xx
x
x
x
x
− < − + ≤− − < − ≤ −− < − ≤−
< − ≤
− < − ≤
− ≤ <
13
− 2
∴ คาตอบของอสมการ คอ 1{ | 2}3
x x− ≤ <
4. หาคาตอบของอสมการ 7 2 1 5 7x x x− ≤ + < − วธทา
7 2 1 5 77 2 1 2 1 5 7
7 1 2 1 7 5 28 3
8
x x xx x x x
x x x xx x
x
− ≤ + < −− ≤ + ∩ + < −
− − ≤ − ∩ + < −− ≤ ∩ 8 <
− ≤ ∩ 83
883
x
x x
<
≥ − ∩ >
-8 83
77
∴ คาตอบของอสมการ คอ 8{ | }3
x x >
5. หาเทาของจานวนหนงลบ 12 มากกวา 33 จานวนนนมคานอยทสดเทาไร
วธทา ใหจานวนนนเปน x เขยนอสมการไดเปน 5x-12 > 33 5x > 33+12 5x > 45 x > 9 ∴จานวนนนมคานอยทสดคอ 10
6. มมะมวงจานวนสองเทาของสม นาสมมาแบงเปนกอง กองละ 4 ผล แลวนามะมวงมาแบงเปนกอง กองละ 2 ผล ไดผลไมไมนอยกวา 25 กอง และไมเกน 75 กอง มสมกผล
วธทา
กาหนดให มสม x ผล แบงสมได 4x
กอง
มมะมวง 2x ผล แบงมะมวงได 22x
กอง
เขยนอสมการได
225 754 2
25 754525 754
4 425( ) 75( )5 5
20 60
x x
x x
x
x
x
≤ + ≤
≤ + ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
∴ มสมจานวน 20 ถง 60 ผล
78
4.2 การแกอสมการของพหนามกาลงสอง
อสมการของพหนามกาลงสอง อยในรปดงน กาหนดให , ,a b c R∈
2
2
2
2
0000
ax bx cax bx cax bx cax bx c
+ + >
+ + ≥
+ + <
+ + ≤
หลกในการแกอสมการพหนามกาลงสอง มดงน
1) ทาอสมการใหขวามอของอสมการเปนศนย 2) ซายมอของอสมการ ใหแยกตวประกอบของพหนามกาลงสองนน ใหอยในรปผลคณของ
ตวประกอบกาลงหนง โดยท ส.ป.ส. หนาตวแปรตองเปนจานวนบวกเสมอ 3) หาเซตคาตอบของอสมการ โดยใชเสนจานวน
ตวอยาง เชน 1. จงแกอสมการ 22 7 15 0x x− − <
วธทา
1) พจารณา ส.ป.ส. หนาตวแปร 2( )x ทาใหเปน ( )+
22 7 15 0x x− − <
2) แยกตวประกอบ
(2 3)( 5) 0x x+ − <
3) เขยนเสนจานวน กาหนดเครองหมาย ( ), ( )+ − สลบกนไป โดยเรมมาจากทางขวามอสด
ใหเปน ( )+
32
− 5
+-+
79
4) หาเซตคาตอบ
5) 3( ,5)
2x −
∴ ∈
2. จงแกอสมการ 2 1 0
3x
x−
≥+
วธทา 1) จดรปอสมการใหม จากเศษสวนใหเปนพหนามกาลงสอง ดงน
2
2 1 0, 33
(2 1) ( 3) 0( 3)
(2 1)( 3) 0
x xx
x xx
x x
−≥ ≠ −
+−
+ ≥+
∴ − + ≥
2) หาเซตคาตอบของอสมการ (2 1)( 3) 0, 3x x x− + ≥ ≠ −
3) 1( , 3) [ , )2
x∴ ∈ −∞ − ∪ ∞
32
− 5
- ++
3( ,5)2
−
22 7 15 0x x− − <
3−
12
- ++
•( , 3)−∞ −
1[ , )2
∞
80
4.3 การแกอสมการของพหนามกาลงมากกวาสอง
อสมการของพหนามกาลงมากกวาสองอยในรปดงน เชน กาหนดให , , , ,a b c d e R∈
3 2
3 2
4 3 2
4 3 2
0,0,
0,0,...
ax bx cx dax bx cx dax bx cx dx eax bx cx dx e
+ + + >
+ + + <
+ + + + ≤
+ + + + ≥
หลกในการแกอสมการพหนามกาลงมากกวาสอง มดงน
1) ทาอสมการใหขวามอของอสมการเปนศนย 2) ซายมอของอสมการ ใหแยกตวประกอบของพหนามกาลงมากกวาสองนน ใหอยในรปผล
คณของตวประกอบกาลงหนง โดยท ส.ป.ส. หนาตวแปรตองเปนจานวนบวกเสมอ 3) หาเซตคาตอบของอสมการ โดยใชเสนจานวน
หลกในการแกอสมการพหนามกาลงมากกวาสองเหมอนกบหลกในการแกอสมการพหนามกาลงสอง แตตางกนตรงการหาเซตคาตอบโดยใชเสนจานวน ตวอยาง เชน
1. จงหาคาตอบของอสมการ ( 1)( 2)( 3) 0x x x− − − ≥ วธทา ขวามอของอสมการเปนศนยแลว และซายมอของอสมการแยกตวประกอบอยในรปกาลงหนงโดยท ส.ป.ส. หนาตวแปรเปนบวกแลว…….มวธหาเซตคาตอบของอสมการโดยใชเสนจานวนดงน
[1, 2] [3, )x∴ ∈ ∪ ∞
1 2
- +
•[1, 2]
3
- +
• •[3, )∞
( 1)( 2)( 3) 0x x x− − − ≥
81
2. จงหาคาตอบของอสมการ ( 2)( 3) 0
( 1)x x
x− −
≥−
วธทา
แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............( 2)( 3) 0, 1
( 1)x x x
x− −
≥ ≠−
2 2( 2)( 3) ( 1) 0( 1) , 1( 1)
( 2)( 3)( 1) 0, 1
x x x x xx
x x x x
− −− ≥ − ≠
−− − − ≥ ≠
(1, 2] [3, )x∴ ∈ ∪ ∞
3. จงหาคาตอบของอสมการ 3.1) 2( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − ≥ 3.2) 2( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − > 3.3) 2( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − ≤ 3.4) 2( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − < วธทา
3.1) 2( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − ≥ แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............ ( 1)( 3) 0, 2x x x− − ≥ =
1 2
- +
•[1, 2]
3
+ •
[3, )∞
1
- +
•
3
+
[3, )∞
2
•( ,1]−∞
•
-
82
( ,1] [3, ) {2}x∴ ∈ −∞ ∪ ∞ ∪ 3.2) 2( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − > แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............ ( 1)( 3) 0, 2x x x− − > ≠
( ,1) (3, )x∴ ∈ −∞ ∪ ∞ 3.3) 2( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − ≤ แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............ ( 1)( 3) 0, 2x x x− − ≤ =
[1,3]x∴ ∈ 3.4) 2( 2) ( 1)( 3) 0x x x− − − < แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............ ( 1)( 3) 0, 2x x x− − < ≠
1
- +
3
+
(3, )∞
2
( ,1)−∞
1
- +
•
3
+
[1,3]
2
•
1
- +
3
+
2
(1, 2) (2,3)
83
(1, 2) (2,3)x∴ ∈ ∪
4. จงหาคาตอบของอสมการ 3 211 16 176 0x x x+ − − < วธทา
1) แยกตวประกอบของอสมการ 3 2
3 2
2 2
2
11 16 176 0( 16 ) (11 176) 0
( 16) 11( 16) 0( 16)( 11) 0
( 4)( 4)( 11) 0
x x xx x x
x x xx x
x x x
+ − − <
− + − <
− + − <
− + <∴ − + + <
2) หาเซตคาตอบ โดยใชเสนจานวน
( , 11) ( 4, 4)x∴ ∈ −∞ − ∪ −
5. จงหาคาตอบของอสมการ
5.1) 2( 2)( 3) 0
( 1)x x
x− −
≥−
5.2) 2( 2)( 3) 0
( 1)x x
x− −
>−
5.3) 2( 2)( 3) 0
( 1)x x
x− −
≤−
5.4) 2( 2)( 3) 0
( 1)x x
x− −
<−
วธทา
11−
- +
4
+
4−
( 4, 4)−
-
( , 11)−∞ −
84
5.1) 2( 2)( 3) 0
( 1)x x
x− −
≥−
แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............ ( 2)( 1) 0, 1, 3x x x x− − ≥ ≠ =
( ,1) [2, )x∴ ∈ −∞ ∪ ∞
5.2) 2( 2)( 3) 0
( 1)x x
x− −
>−
แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............ ( 2)( 1) 0, 1, 3x x x x− − > ≠ ≠
( ,1) (2,3) (3, )x∴ ∈ −∞ ∪ ∪ ∞
5.3) 2( 2)( 3) 0
( 1)x x
x− −
≤−
แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............ ( 2)( 1) 0, 1, 3x x x x− − ≤ ≠ =
1
- +
•
2
+
( ,1)−∞
3
[2, )∞
1
- +
2
+
( ,1)−∞
3
(2,3) (3, )∞
1
- +
•
2
+
3
(1, 2] •
85
(1, 2] {3}x∴ ∈ ∪
5.4) 2( 2)( 3) 0
( 1)x x
x− −
<−
แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............ ( 2)( 1) 0, 1, 3x x x x− − < ≠ ≠
(1, 2)x∴ ∈
6. จงหาคาตอบของอสมการ 3
2
( 2)( 3) 0( 1)
x xx
− −≥
−
วธทา แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............ ( 2)( 3) 0, 1x x x− − ≥ ≠
( ,1) (1, 2] [3, )x∴ ∈ −∞ ∪ ∪ ∞
7. จงหาคาตอบของอสมการ 2
3
( 2)( 3) 0( 1)
x xx
− −≥
−
วธทา แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............ ( 2)( 1) 0, 1, 3x x x x− − ≥ ≠ =
1
- +
2
+
3
(1, 2)
2
- +
•
3
+
1
[3, )∞•
(1, 2] ( ,1)−∞
1
- +
•
2
+
3
( ,1)−∞ [2, )∞
86
( ,1) [2, )x∴ ∈ −∞ ∪ ∞
8. จงหาคาตอบของอสมการ 4 3( 2)( 3) ( 1) 0x x x− − − < แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............ ( 2)( 1) 0, 3x x x− − < ≠
(1, 2)x∴ ∈ 4.4 การแกอสมการทอยในรปคาสมบรณ
ใชหลกในการแกอสมการทตดคาสมบรณ x โดยถอดคาสมบรณไดดงน กาหนดให , 0a R a∈ >
x a a x a
x a a x a
< → − < <
≤ → − ≤ ≤
( ) ( )
( ) ( )
x a x a x a
x a x a x a
> → > ∪ < −
≥ → ≥ ∪ ≤ −
ตวอยาง เชน
1. จงแกอสมการ 3 4x − < วธทา
3 44 ( 3) 44 3 4 3
1 7
xx
xx
− <
− < − <− + < < +∴ − < <
( 1, 7)x∴ ∈ −
1
- +
2
+
3
(1, 2)
87
2. จงแกอสมการ 2 1 4x − > วธทา (2 1) 4x − > หรอ (2 1) 4x − < −
2 552
x
x
>
∴ >
2 33
2
x
x
< −−
∴ <
3 5( , ) ( , )2 2
x −∴ ∈ −∞ ∪ ∞
3. จงแกอสมการ 2 1x x− > วธทา
1) หาคาวกฤตชอง x………..12 1 02
x x− = → =
2) เขยนเสนจานวน แลวแบงชวงของ x
3) หาเซตคาตอบของอสมการตามชวงของเสนจานวน
12
1
2 •
ชวง 1 12
x→ ≥
2 12 12 1
1
x xx xx xx
− >
− >− >
∴ >
ชวง 1 12
x→ ≥
1( ) ( 1)2
x x≥ ∩ >
(1, )x ∈ ∞
88
3) เซตคาตอบของอสมการ คอ
4. จงแกอสมการ 2 1x x− > วธทา
2 1(2 1)
2 12 13 1
13
x xx x
x xx xx
x
− >
− − >− < −+ <<
∴ <
ชวง 2 12
x→ <
1 1( ) ( )2 3
x x< ∩ <
1( , )3
x ∈ −∞
(1, )x ∈ ∞ หรอ 1( , )3
x ∈ −∞
1(1, ) ( , )3
x∴ ∈ ∞ ∪ −∞
89
( ) ( )
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
x x
x x
x x
− >
− >
− >
2 2(2 1) 0(2 1 )(2 1 ) 0
( 1)(3 1) 0
x xx x x xx x
− − >− − − + >
∴ − − >
เขยนเสนจานวนหาคาตอบของอสมการ
1( , ) (1, )3
x∴ ∈ −∞ ∪ ∞
5. จงแกอสมการ 3 1 1
1xx
+<
−
วธทา 3 1 1
13 11 1
1
xx
xx
+<
−+
− < <−
3 1 1
1xx
+> −
− และ 3 1 1
1xx
+<
−
13
- +
1
+
1( , )3
−∞ (1, )∞
90
3 1 11
3 1 1 01
(3 1) ( 1) 01
3 1 1 01
4 01
01
xxxx
x xx
x xx
xx
xx
+> −
−+
+ >−
+ + −>
−+ + −
>−
>−
∴ >−
3 1 11
3 1 1 01
(3 1) ( 1) 01
3 1 1 01
2 2 011 01
xxxx
x xx
x xx
xxxx
+<
−+
− <−
+ − −<
−+ − +
<−
+<
−+
∴ <−
0 ( 1) 0, 11
x x x xx
⇒ > → − > ≠−
( , 0) (1, )x∴ ∈ −∞ ∪ ∞
1 0 ( 1)( 1) 0, 11
x x x xx
+⇒ < → + − < ≠
−
0
- +
1
+
(1, )∞( ,0)−∞
1−
- +
1
+
( 1,1)−
91
( 1,1)x∴ ∈ − เซตคาตอบของอสมการ คอ
6. จงแกอสมการ 2 1 2 2x x− + < + วธทา
1) หาคาวกฤตชอง x………..12 1 02
x x− = → = และ
2 0 2x x+ = → = −
2) เขยนเสนจานวน แลวแบงชวงของ x
3) หาคาตอบของอสมการตามชวงของเสนจานวน
( ,0) (1, )x ∈ −∞ ∪ ∞ และ ( 1,1)x ∈ − [ ]( ,0) (1, ) ( 1,1)x ∈ −∞ ∪ ∞ ∩ −
( 1,0)x ∈ −
2−
12
1 ••2
3
(2 1) 2 ( 2)2 1 2 2
5 25
x xx x
x xx
− − + < − +− + + < − −
< −∴ >
ชวง 1 2x→ < −
( 2) ( 5)x x< − ∩ >
x ∈∅
92
4) เซตคาตอบของอสมการ คอ
(2 1) 2 ( 2)2 1 2 2
1 23 1
13
x xx x
x xx
x
− − + < +− + + < +
< +>
∴ >
ชวง 2 12
x→ − 2 ≤ <
1 1( 2 ) ( )2 3
x x− ≤ < ∩ >
1 1( , )3 2
x ∈
(2 1) 2 ( 2)2 1 2 22 1
1
x xx xx xx
− + < +− + < +− <
∴ <
ชวง 3 12
x→ ≥
1( ) ( 1)2
x x≥ ∩ <
1[ ,1)2
x ∈
x ∈∅ หรอ 1 1( , )3 2
x ∈ หรอ 1[ ,1)2
x ∈
1 1 1( , ) [ ,1)3 2 2
x ∈ ∪ 1( ,1)3
x ∈
93
7. จงแกอสมการ 15
xx
<−
วธทา
15
1 05
( 5)0
5
50
55 0
51 0
5
xx
xx
x xx
x xx
x
x
<−
− <−
− −<
−
− +<
−
<−
∴ <−
แปลงอสมการ เขยนเงอนไข…............ 5 0, 5, 5x x x− < ≠ ≠ −
5, 5, 5
5 5, 5, 5x x x
x x x< ≠ ≠ −
∴− < < ≠ ≠ −
( 5,5)x∴ ∈ −
94
แบบฝกหด 1. จงแกอสมการตอไปน
1.1) 2 4 4 0x x+ + >
1.2) 2 4 3 0x x− − <
1.3) 2 4 6 0x x+ + ≥
95
1.4) 3 5 1 7 5 11x x x x− < + < + < +
1.5) 28 4 3 1 11x x≤ − + <
1.6) 2 2( 4) 5x x x+ <
96
1.7) 2 12 7x
x+
>
1.8) 2 6 5xx+
≤
1.9) 2 3 0
( 2)( 5)x
x x−
>+ −
97
1.10) (1 )(1 2 ) 0
1x xx
− +>
+
1.11) 2 3
2 1 0( 4) ( 3)
xx x
+>
− −
1.12) 2 9
3 0( 2) ( 7)
xx x
+≤
+ −
98
1.13) 2 2
2
( 3 10)( 6) 02 15
x x x xx x
+ − + −≥
+ −
1.14) 20 1 5x≤ + ≤
1.15) 1
2x
x x>
+
99
1.16) 2
18 15 62 3
x xx x
−> −
+ −
1.17) 4 2
2 1x x>
− +
100
1.18) 22 7 3 7x x+ + <
1.19) 2 8 12 4x x x− + > −
101
1.20) 5 2 2
7
( 5) ( 1)( 4) 0( 2)
x x xx
− − −≥
+
1.21) 11 24 53( 2) ( 3) ( 4) 0x x x− − − ≥
1.22) 3 4 2
2 2
( 7) ( 4) ( 2) 0( 1)( 2)
x x xx x
+ + +≥
− +
102
1.23) 2 5 3x + <
1.24) 12 5 1x + ≥
1.25) 3 7 5(1 )x x+ > −
103
1.26) 4 2 1 4x x− + − >
1.27) 3 1 2 1x x− + > +
104
1.28) 1
1x
x+
>
1.29) 3 1
1x
xx
−< −
−
105
1.30) 2 1 3
1x
x+
>−
1.31) 4 4 2 10x≤ − <
106
1.32) 2 1 1x x+ > −
1.33) 2 25 5x x x x+ ≤ +
107
1.34) 1 2 1
33
xx
+ −≥
+
/
